Programa Entrenamiento MT-21
SOLUCIONARIO Guía de ejercitación avanzada
SGUICEN035MT21-A16V1
Función potencia y función raíz cuadrada
TABLA DE CORRECCIÓN Guía de ejercitación Función potencia y función raíz cuadrada ÍTEM 1
ALTERNATIVA HABILIDAD ASE E
2
E
Aplicación
3
D
ASE
4
E
ASE
5
B
ASE
6
D
ASE
7
C
Aplicación
8
B
ASE
9
A
Aplicación
10
B
ASE
11
A
ASE
12
C
Aplicación
13
E
Aplicación
14
E
Aplicación
15
B
ASE
16
C
Comprensión
17
D
ASE
18
A
ASE
19
E
ASE
20
D
ASE
21
D
ASE
22
C
ASE
23
E
ASE
24
C
ASE
25
B
Aplicación
26
C
Aplicación
27
C
ASE
28
B
ASE
29
C
ASE
30
B
ASE
1. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad I)
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE
Falsa, ya que para que una raíz con índice par pertenezca a los reales, la cantidad subradical debe ser mayor o igual a 0. Entonces, f (x) = x 6 3 (x + 6) ≥ 0 x ≥ – 6. Luego, el dominio de la función corresponde a todos los x mayores o iguales que – 6, y no solo a los reales positivos.
II)
Falsa, ya que f (x) admite valores desde – 6 hacia adelante. Luego, su gráfica se encuentra en el primer y segundo cuadrante.
III)
Falsa, ya que f (– 6) = en los reales.
6 6 3 0 3 = 0 + 3 = 3. Luego, f (– 6) existe
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.
2. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación
9 Reemplazando en la función resulta g = 8
1
9 8
9 1 8
1
3 8
3 8
.
1
Racionalizando resulta: 3 1 8 3 3 8 8 ( 8 3) 2 (8 2 8 3 9) 8 · = · = 6 8 17 12 2 17 3 98 1 3 3 8 8 8 1 8 9 Por lo tanto, el valor de g es 12 2 17 . 8
3. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE
Primero se debe determinar el valor de m. Reemplazando en la función resulta f (2) =
m 2 1 = 3. Despejando la ecuación queda:
m 2 1 = 3 2m + 1 = 9 2m = 8 m=4 Entonces, f (x) =
(Elevando al cuadrado) (Despejando)
4 x 1 f (m) = f (4) =
4 4 1 17
Por lo tanto, el valor de f (m) es 17 .
4. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE 3 IR.
I)
Falsa, ya que podemos determinar f(0) =
II)
Falsa, el recorrido de la función es IR+ {0}.
III)
Falsa, el valor de f(– 3) = 0 IR.
Por lo tanto, las tres afirmaciones son falsas.
5. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE
I)
Falsa, ya que f(15) = 0 IR.
II)
Falsa, el recorrido de la función es IR+ U {0}.
III)
Verdadera, ya que f(– 8) =
8 15 23 IR.
Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera.
6. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE
El dominio de una función corresponde a los valores de x que pueden ser reemplazados en la función. Si llamamos g (x) = x 2 + 2x – 15, entonces f ( x) g ( x) . Por lo tanto, sólo pueden reemplazarse valores de x de tal manera que g (x) = x 2 + 2x – 15 ≥ 0. Las raíces de la función g (x) = x 2 + 2x – 15 son x = – 5 y x = 3, para los cuales la función toma valor 0. Como la concavidad de g (x) es positiva, entonces la función tomará valores positivos para todos los x a la izquierda de – 5 y a la derecha de 3. Por lo tanto, el dominio de la función f (x) es ]– ∞, – 5] [3, + ∞[.
7. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación
El dominio de una función corresponde a los valores de x que pueden ser reemplazados en la función para que f (x) exista, entonces: 1–x≥0 (Restando 1) –x≥–1 (Multiplicando por – 1) x≤1 Lo que corresponde al intervalo ]– ∞, 1]. El recorrido de una función corresponde a todos los valores reales que puede tomar la función. Toda función raíz cuadrada tiene como recorrido los números reales positivos y el 0. Pero si se suma una constante fuera de la función, esta constante marca el menor valor que toma la función, es decir, el punto de partida del recorrido. Como la función f (x), fuera de la raíz cuadrada se le suma (– 1), entonces el menor valor que toma la función es – 1, es decir, el recorrido es [– 1, + ∞[. Luego, Dom f = ]– ∞, 1] y Rec f = [– 1, + ∞[
8. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad Para que la expresión
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE
3 x pertenezca a los reales debe cumplirse que 3 – x ≥ 0, es
decir, x ≤ 3. Luego, se puede descartar los gráficos A (x ≤
3 ), D (x ≥ 3), y E (x ≥
3 ).
Dado que 3 x ≥ 0, entonces el recorrido es [0, +[, es decir sobre el eje X, lo que está representado en la alternativa B. Por lo tanto, el gráfico que mejor representa a la función real f (x) = representado en la alternativa B.
3 x es el
9. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación
Si el punto (1, 2) pertenece a la gráfica de la función g(x), significa que g(1) = 2. Luego: 3 g(x) = (Reemplazando con x = 1) xa 3 g(1) = 1 a 3 2 = (Despejando) 1 a
2 1 a = 3 4· (1 – a) = 9 4 – 4a = 9 4 – 9 = 4a – 5 = 4a 5 = a 4
(Elevando al cuadrado) (Despejando a)
Por lo tanto, el valor numérico de a es
5 . 4
10. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE
x 2 x , para todo x en los reales. Como a · b < 0, significa que uno de los dos es positivo y el otro negativo. Como b > a, entonces es posible concluir que b es positivo y a es negativo. Luego,
Por lo tanto,
a2 a a y
b2 b b
a 2 b 2 = – a + b.
11. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad La función h(x) =
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE (1 x)2 es equivalente a |1 – x| para cualquier valor de x en los
reales. Es decir, h(x) = 1 – x para x ≤ 1 y h(x) = – (1 – x) para x ≤ 1. Luego: I)
Falsa, ya que en general |1 – x| 1 + x.
II)
Verdadera, ya que h(– 1) = |1 – (– 1)| = |1 + 1| = 2 y h(2) = |1 – 2| = |– 1| = 1.
III)
Falsa, ya que h(0) = |1 – 0| = |1| = 1. Entonces, el gráfico de h intersecta al eje de las ordenadas en (0, 1).
Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.
12. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación
6( x 2) = x + 3
(Elevando al cuadrado)
6·(x + 2) = (x + 3)² 6x + 12 = x² + 6x + 9 0 = x² + 6x + 9 – 6x – 12 0 = x² – 3
(Eliminando paréntesis) (Ordenando) (Reduciendo)
Entonces, x² = 3, lo que significa que x = Con x = 3
3 yx= 3
6( 3 2) 3 3
Como el lado derecho de la igualdad es positivo, x = 3 es una solución. Por lo tanto, la solución negativa de la ecuación
6( x 2) = x + 3 es 3 .
13. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación
x + 1 = x 1 x² + 2x + 1 = x + 1 x² + 2x + 1 – x – 1 = 0 x² + x = 0 x(x + 1) = 0
(Elevando al cuadrado) (Ordenando) (Reduciendo) (Factorizando)
Las soluciones de dicha ecuación son x = 0 y x = – 1. Al comprobar las soluciones en la ecuación original, en ambos casos se cumple la igualdad. Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación x + 1 =
x 1 es {– 1, 0}.
14. La alternativa correcta es E Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada Aplicación
ax n a (2a 1 )n a 2n a n 2n 1 2 Si h(x) = , entonces h (2a–1) = n 1 2 2 2 a a 2 Por lo tanto, h (2a–1) es igual a a
n 1
.
n 1
15. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE 4
1 1 1 1 4 I) Falsa, ya que h 1 5 1 5 1 , 25 5 5 5 5
y h 5 1 5
5 = 1 – 5·25 = 1 – 125 = – 124 4
II) Verdadera, ya que m4 = (– m)4. Es una función simétrica con respecto al eje Y. III) Falsa, ya que la gráfica tiene forma parabólica con concavidad negativa, por lo cual la función no tiene un menor valor, pero sí un mayor valor, que en este caso es 1. Por lo tanto, solo la afirmación II es verdadera.
16. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia Comprensión
Como x es un número real, entonces: x6 ≥0 (Multiplicando por 2) 6 2x ≥ 0 (Sumando 5) 6 2x + 5 ≥ 5 (Multiplicando por 3) 6 3·(2x + 5) ≥ 15 Esto significa que la función h(x) toma valores desde el 15 hacia arriba. Por lo tanto, el recorrido de la función es [15, +∞[.
17. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE
La función f (x) = (ax)n es igual a an·xn. Como n es un número entero mayor que 2, entonces se reconocen dos casos: * Si n es par, entonces el gráfico tiene la forma de la función cuadrática. * Si n es impar, entonces el gráfico tiene la forma de la función cúbica. En caso de que la función esté multiplicada por un factor negativo, entonces la gráfica sufre una simetría con respecto al eje X, o sea las ramas invierten su sentido de crecimiento. Luego: I)
Verdadera, ya que si a es negativo y n es impar, entonces an es negativo. Es decir, f tiene la forma de la simétrica de la función cúbica.
II)
Verdadera, ya que si a es negativo y n es par, entonces an es positivo. Es decir, f tiene la forma de la función cuadrática.
III)
Falsa, ya que la gráfica representa una función que tiene la forma de la simétrica de la función cuadrática. Para eso se necesitaría que n fuera par y an fuera negativo, lo que es imposible.
Por lo tanto, solo los gráficos I y II podrían representar una función de la forma f (x) = (ax)n.
18. La alternativa correcta es A. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE
1 1 1 , entonces a = . Además, f (– 2) = ·(– 2)n = – 8, luego 8 8 8 n (– 2) = 64, lo que solo se cumple si n = 6. Luego:
Como f (1) = a·1n =
I) Verdadera, ya que se calculó anteriormente. II) Falsa, ya que se calculo anteriormente que n = 6. 1 6 1 6 1 III) Falsa, ya que f (x) = x , entonces f (4) = 4 4.096 = – 512. 8 8 8 Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
19. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE
El gráfico mostrado tiene dos ramas crecientes con forma parabólica cuyo vértice corresponde al punto (– 6, 0). Entonces, corresponde a una función p(x) = a(x + 6)n, con a positivo y n par. Luego, se puede descartar las alternativas A, B y D. El punto (0, 18) pertenece al gráfico de la función, lo que significa que p(0) = 18. Analizando cada una de las alternativas restantes resulta: C) h(x) = 2(x + 6)² h(0) = 2·6² = 2·36 = 72
( x 6) 4 E) n(x) = 72
64 1296 18 n(0) = 72 72
Por lo tanto, la función que representa mejor al gráfico adjunto es n(x) =
( x 6) 4 . 72
20. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE
Desarrollando la función resulta g(x) = (x² – 1)·(1 – x) = x² – 1 – x³ + x Luego, g(x) = – x³ + x² + x – 1. Como el término cúbico es negativo, entonces el gráfico de g está invertido con respecto al original. Además, como el coeficiente de posición es negativo, entonces el gráfico de g intersecta al eje Y en la semirrecta negativa. El único gráfico que cumple con ambas características es el que se encuentra en la alternativa D, por lo cual se pueden descartar los demás. Por lo tanto, el gráfico que mejor representa a la función g es el que se encuentra en la alternativa D.
21. La alternativa correcta es D. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE 3
x3 x3 x3 x f (x) = y g(x) = 3 . Luego: 2 2 8 2
I)
x3 x3 1 1 > , entonces > . 8 2 8 2 Es decir, f (x) > g(x) para cualquier valor positivo de x. Verdadera, ya que si x > 0, entonces x³ > 0. Como
3
II)
III)
x x3 1 x3 x3 x 2 Falsa, ya que f = g(x) = . 2 2 8 16 8 2 x3 f ( x) x3 8 Verdadera, ya que 23 3 . Como x 0, entonces se puede g ( x) x 2 x 8 f ( x) simplificar y queda = 4. g ( x)
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
22. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE
Para encontrar los puntos de intersección entre dos funciones es necesario resolver la ecuación que se forma al igualarlas. Luego: f (x) = g(x) x6 = 2x4 x² = 2
(Cuatro de las soluciones son x = 0. Si x ≠ 0, se divide por x4) (Aplicando raíz cuadrada)
x = 2 Luego, los puntos de intersección de las funciones son A(0, 0), B( 2 , 8) y C( 2 , 8), como muestra la gráfica:
Los puntos de intersección mencionados forman el triángulo ABC, de base 2 2 y altura 8. Entonces, su área es
base altura 2 2 8 8 2. 2 2
Por lo tanto, los puntos de intersección de las gráficas forman un polígono cuya área es
8 2.
23. La alternativa correcta es E. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE
Para determinar los intervalos donde una función es mayor que otra, se debe analizar los puntos de intersección entre ellas, planteando la igualdad. Entonces: f (x) = h(x) x3 = x5 1 = x²
(Una solución inmediata es x = 0. Si x 0, se divide por x3) (Esta igualdad tiene dos soluciones, x = 1 y x = – 1)
Luego, los gráficos de las funciones se intersectan en tres puntos: – 1, 0 y 1.Entonces, hay cuatro intervalos de interés: ]–, – 1] ; [– 1, 0] ; [0, 1] y [1, +[. Analizándolos: * ]–, – 1] x ≤ – 1 x² ≥ 1 Al multiplicar por x³ (negativo) la desigualdad se invierte x5 ≤ x³ h(x) ≤ f (x) * [– 1, 0] – 1 ≤ x ≤ 0 0 ≤ x² ≤ 1 Al multiplicar por x³ (negativo) la desigualdad se invierte 0 ≥ x5 ≥ x³ h(x) ≥ f (x) * [0, 1] 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x² ≤ 1 Al multiplicar por x³ (positivo) 0 ≤ x5 ≤ x³ h(x) ≤ f (x) * [1, +[
x ≥ 1 x² ≥ 1
Al multiplicar por x³ (positivo) x5 ≥ x³ h(x) ≥ f (x) Luego, la función h(x) es mayor o igual a f (x) para el segundo y cuarto caso. Por lo tanto, h(x) ≥ f (x) solo para el intervalo [– 1, 0] [1, +[.
24. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE
Si el gráfico de la función real g(x) = (px + m)3 intersecta al eje Y en el punto (0, – 8), entonces g(0) = (p·0 + m)3 = m³ = – 8. Luego, m =
3
8 = – 2.
Además, si intersecta al eje X en el punto (6, 0), entonces g(6) = (p·6 – 2)3 = 0. Para que 2 1 esto se cumpla, (p·6 – 2) debe ser 0. Luego, p = 6 3 1 5 x 5 6 1 Entonces, g(x) = 2 . Luego, g(5) = 2 . 27 3 3 3 3 3
3
Por lo tanto, el valor numérico de g(5) es
3
3
1 . 27
25. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia Aplicación
Aplicando la fórmula del interés compuesto, tenemos: C = K(1 + i)n C = 40.000(1 + 0,1)3 C = 40.000(1,331) C = 53.240 Al cabo de 3 años, el capital acumulado es $53.240.
26. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia Aplicación
Aplicando la fórmula del interés compuesto, tenemos: C = K(1 + i)n C = 80.000(1 + 0,05)2 C = 80.000(1,05)2 C = 80.000(1,1025) C = 88.200 Al cabo de 24 meses el capital acumulado es $88.200.
27. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE
(1) m es un número primo. Con esta información, no es posible determinar el recorrido de la función, ya que existen infinitos números primos. (2) m es múltiplo de 3. Con esta información, no es posible determinar el recorrido de la función, ya que existen infinitos números múltiplos de 3. Con ambas informaciones, es posible determinar el recorrido de la función, ya que solo el 3 es un número primo múltiplo de 3. Luego, el recorrido de la función f (x) = es [3, + ∞[. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
x +3
28. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad
Función exponencial, función logarítmica y función raíz cuadrada ASE
(1) h(a) = 0. Con esta información, no es posible determinar el valor numérico de h(3a), ya que h(a) =
aa =
0 = 0. O sea, no se puede determinar el valor de a.
(2) h(2a) = 1. Con esta información, es posible determinar el valor numérico de h(3a), ya que h(2a) =
2a a =
Luego, h(3a) =
3a a 2a 2 .
a = 1 a = 1.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.
29. La alternativa correcta es C. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE
Como f (x) = axn, entonces f (a) = a·an = an+1. Luego: (1) a es un número negativo. Con esta información, no se puede afirmar que f (a) es un número negativo, ya que si la base es negativa el signo del resultado depende del exponente. (2) n es un número par. Con esta información, no se puede afirmar que f (a) es un número negativo, ya que el exponente es n + 1 (impar). Y si el exponente es impar el signo del resultado depende de la base. Con ambas informaciones, se puede afirmar que f (a) es un número negativo, ya que si la base es negativa y el exponente es impar, entonces el resultado es negativo. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
30. La alternativa correcta es B. Unidad temática Habilidad
Desigualdades, inecuaciones y función potencia ASE
(1) a = 2. Con esta información, no es posible determinar la cantidad de puntos de intersección entre los gráficos de h y p, ya que en este caso el parámetro a determina la proporción dentro del gráfico, pero no su forma. (2) n = 3. Con esta información, es posible determinar la cantidad de puntos de intersección entre los gráficos de h y p, ya que una función potencia de exponente par positivo y una función potencia de exponente par negativo siempre se intersectan en dos puntos. Por lo tanto, la respuesta es: (2) por sí sola.