Problemas para entrenamiento (abril 2013)

1. En el cálculo ∗1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 4 ∗ 5 se puede remplazar ∗ por + o por −. ¾Cuál de los siguientes números no se puede obtener? (a) 1

(b) 3

(c) 7

(d) 13

(e) 17

2. Hay 5 cartas numeradas del 1 al 5 en la línea superior de la gura. En cada movimiento se pueden intercambiar dos cartas. ¾Cuál es el mínimo número de intercambios que deben hacerse para obtener el arreglo mostrado en la línea inferior de la gura?

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

(e) 5

3. En la gura hay 11 cuadros que se van a llenar con números enteros positivos de tal manera que cada tres cuadros consecutivos sumen 21. Si en el primer cuadro se escribe 7 y en el noveno se escribe 6, ¾qué número se escribe en el segundo cuadro? 7

(a) 6

6

(b) 7

(c) 8

(d) 10

(e) 21

4. El dibujo muestra 24 palitos colocados sobre una mesa formando 9 cuadrados iguales. ¾Cuál es el mínimo número de 1

palitos que deben quitarse para que queden 5 cuadrados completos si cualquiera de los palitos que se queda es lado de al menos un cuadrado? ...................... ...................... ...................... .. .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ........................................................................... . . . . .... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... .... .... ... ... ... ... .... .... .... .... .. . .. .. .......................................................................

(a) 4

(b) 6

(c) 8

(d) 9

(e) 16

5. En una esta cuatro amigos se van a dar regalos entre sí de manera que cada uno dé un regalo y reciba otro (desde luego, nadie debe regalarse a sí mismo). ¾De cuántas formas es posible hacer la distribución? (a) 3

(b) 4

(c) 6

(d) 8

(e) 9

6. En la gura se muestran 6 cuadrados. Sabiendo que el segmento de A a B mide 24, ¾cuál es la suma de los perímetros de los 6 cuadrados?

A

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B

(a) 48 cm (b) 72 cm (c) 96 cm (d) 56 cm (e) 106 cm 2

7. Numeré cada una de mis cajas usando etiquetas con todos los números del 1 al 30, pero me equivoqué y repetí el número 23 dos veces, el número 5 tres veces y el número 12 cuatro veces. ¾Cuántas cajas numeré? (a) 33

(b) 35

(c) 36

(d) 37

(e) 39

8. En la gura, ABCD y EF GH son dos cuadrados iguales. El área de la región sombreada es 1. ¾Cuál es el área del cuadrado ABCD? A

B

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E

D

F

C

H

(a)

1 2

(b)

2 3

(c)

3 4

G

(d) 1

(e) depende de la gura

9. En cierta población de ratones el 25% son blancos y el 75% son negros. De los ratones blancos el 50% tiene ojos azules y de los negros el 20% tiene ojos azules. Si sabemos que 99 ratones tienen ojos azules, ¾cuántos ratones tiene la población? (a) 360 (b) 340 (c) 240 (d) otra respuesta (e) sin solución 10. Amado dibujó un margen en una hoja de papel cuidando que la distancia entre el margen y la orilla fuera siempre la 3

misma. El perímetro de la hoja es 8 cm más largo que el perímetro del margen, ¾cuántos centímetros hay entre el margen y la orilla? ............................................................................... ... ... ... ... .................................................... ... .. .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ................................................... ... .. ................................................................................

(a) 1 (b) 2 (c) 4 (d) 8 (e) depende del tamaño de la hoja 11. Un pueblo tiene 987 654 casas. ¾Cuál es la mínima cantidad de dígitos que deben tener los números telefónicos del pueblo si cada casa tiene un solo teléfono y ningún número telefónico empieza con 0? (a) 9 · 105

(b) 106 − 1

(c) 97

(d) 6

(e) 7

12. Aquiles corre detrás de una tortuga. En un principio la distancia entre ellos es de 990 metros. Si Aquiles recorre 100 metros cada minuto y la tortuga recorre 1 metro cada minuto, ¾en cuántos minutos alcanzará Aquiles a la tortuga? (a) 8

(b) 9

(c) 10

(d) 11

(e) 12

13. En la gura, cada triángulo pequeño tiene área 1. ¾Cuál es el área de la región sombreada?

4

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(a) 20

(b) 22.5

(c)



(d) 25

450

(e) 32

14. En la gura, el ángulo en A y el ángulo en B son rectos y el área de ABCD es el triple que el área de ACB . ¾Cuánto vale área(ADB) ? área(ACB) B

C

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A

(a) 2

(b)

3 2

D

(c) 1

(d)

5 2

(e)

2 3

15. Un acertijo consiste en adivinar la forma y el color que tiene un objeto a partir de las 5 armaciones verdaderas siguientes: Si es azul, entonces es redondo. Si es cuadrado, entonces es rojo. Es azul o amarillo. Si es amarillo, entonces es cuadrado. Es cuadrado o redondo. 5

¾Cómo es el objeto? (a) azul y redondo (b) azul y cuadrado (c) amarillo y redondo (d) rojo y redondo (e) ninguna de las anteriores 16. El área sombreada es igual a triángulo ABC ?



(a) 2 3

(b) 2

(c) 4



3. ¾Cuál es el área del

(d) 5



(e) 4 3

17. Sea 1, 4, 9, 16, . . . la sucesión de los cuadrados de los enteros positivos. El número 108 es un término de esta sucesión. ¾Cuál es el término que le sigue en la sucesión? (a) (104 + 1)2 (d) (108 )2

(b) (108 + 1)2 (c) (105 )2 (e) (104 )2 + 1

18. Pedro hizo un examen de admisión para entrar en la universidad y obtuvo el 80% de las respuestas correctas. Resulta que dejó sin contestar 5 preguntas pero que todas las demás las respondió correctamente. ¾Cuántas preguntas tenía el examen? (a) 20

(b) 25

(c) 30

(d) 35

(e) 40

19. ¾Cuántos números de 3 dígitos abc (con a 6= 0) son tales 6

que a + 3b + c es múltiplo de 3? (a) 100

(b) 300

(c) 330

(d) 600

(e) 990

20. La gura muestra un sólido formado con 6 caras triangulares. En cada vértice hay un número. Para cada cara consideramos la suma de los tres vértices de esa cara. Si todas las sumas son iguales y dos de los números son 1 y 5 como se muestra, ¾cuál es la suma de los 5 números? 1

5

(a) 9

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(b) 12

(c) 17

(d) 18

(e) 24

21. Queremos colorear los cuadrados de la cuadrícula usando los colores A, B , C y D de tal manera que cuadrados vecinos no tengan el mismo color (cuadrados que comparten un solo vértice también se consideran vecinos). Algunos de los cuadrados ya están coloreados como indica la gura. ¾Cuáles son las posibilidades para el cuadrado sombreado? A B C D B B 7

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(a) sólo B (b) sólo C (c) sólo D (d) cualquiera de C o D (e) no es posible 22. El triángulo ABC de la gura tiene área 1. Los puntos P , Q, R y S en los lados de ABC son tales que AP = P Q = QC y BR = RS = SC . ¾Cuál es el área de la región sombreada? A

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P

Q

B

(a)

(b)

1 4

1 3

R

S

(c)

1 2

C

(d)

(e)

2 3

3 4

23. Si a y b son dos enteros positivos con máximo común divisor 3 y tales que ab = 0.4, ¾cuánto vale ab? (a) 10

(b) 18

(c) 30

(d) 36

(e) 90

24. El diagrama muestra dos cuadrados, uno tiene lados de 2 m de longitud y el otro tiene lados de 1 m. ¾Cuál es el área de la zona sombreada?

(a) 1 m2

(b) 2 m2 8



(c) 2 2 m2

(d) 4 m2

(e) depende de la posición de los cuadrados

25. Juan está en una avenida a 3 Km de su casa. él sabe que los autobuses pasan por ahí cada 40 minutos y que viajan a 30 Km/h, pero no sabe a qué hora pasó el último autobús, así que empieza a caminar, sabiendo que si el autobús lo alcanza, él podrá tomarlo. ¾Cuál es la mínima velocidad a la que debe caminar para que tenga la posibilidad de llegar a su casa al menos 1 minuto antes que si no caminara? (a) 3.5 Km/h (b) 4 Km/h (c) 4.5 Km/h (d) 5 Km/h (e) 5.5 Km/h 26. Si 4x = 9 y 9y = 256, ¾a qué es igual xy ? (a) 2006

(b) 48

(c) 36

(d) 10

(e) 4

27. Isabel escoge 8 puntos de los marcados. ¾Cuál es la probabilidad de que cuatro de los puntos escogidos sean los vértices de un rectángulo? • • • • • • • • • • • •

(a)

1 4

(b)

1 2

(c)

2 3

(d)

3 4

(e) 1

28. El residuo de la división de 1001 por un número de un dígito es 5. ¾Cuál es el residuo de la división del número 2006 por el 9

mismo dígito? (a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) 5

(e) 6

29. ¾Cuál de los números siguientes no puede escribirse como √ x + x para x un entero? (a) 870

(b) 110

(c) 90

(d) 60

(e) 30

30. ¾Cuántos enteros positivos tienen la propiedad de que al eliminarles la última cifra el nuevo número es 141 del original? (a) 0

(b) 1

(c) 2

(d) 3

(e) 4

31. Un cuadrado está dividido en 18 cuadrados más pequeños, 17 de los cuales tienen lado 1. ¾Cuál es el área del cuadrado grande? (a) 25

(b) 49

(c) 81

(d) 100

(e) 225

32. ¾Cuántos enteros n tienen la siguiente propiedad: entre los divisores positivos de n, distintos de 1 y n, el mayor es 15 veces el más pequeño. (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) una innidad (e) otra respuesta 33. ¾Para cuántos valores del número real b la ecuación x2 − bx + 80 = 0 tiene dos soluciones enteras pares distintas? (a) innidad

(b) 0

(c) 1

10

(d) 2

(e) 3

34. Una caja contiene 7 tarjetas numeradas del 1 al 7. María toma, al azar, tres tarjetas de la caja y después Carla toma 2 de las restantes, sin enseñárselas a María; sin embargo María, que es muy inteligente, le dice a Carla: “Sé que la suma de tus cartas es par.” ¾Cuál es la suma de las cartas de María? (a) 6

(b) 9

(c) 10

(d) 12

(e) 15

35. ¾Cuántos números de 2 cifras (es decir, del 10 al 99) son tales que el dígito de la derecha es más grande que el de la izquierda? (Por ejemplo, 23 es uno de los números que cumple la propiedad pero 44 no.) (a) 9

(b) 18

(c) 26

(d) 30

(e) 36

36. En un examen hay 12 problemas de matemáticas que se distribuyen, para su calicación, entre miembros de un jurado. Si cada problema debe revisarse por exactamente 2 miembros del jurado y cada miembro calica exactamente 3 problemas, ¾cuántos miembros hay en el jurado? (a) 6

(b) 8

(c) 12

(d) 18

(e) 24

37. En un grupo de personas las mujeres son más de 45% pero menos de 50%. ¾cuál es el menor número posible de mujeres en ese grupo? (a) 3

(b) 4

(c) 5

(d) 6

(e) 7

38. ¾Cuántas parejas (a, b) de enteros positivos satisfacen a2 + 8b = 2008? 11

(a) ninguna

(b) 1

(c) 2

(d) 8

(e) 11

39. Los lados del triángulo ABC se prolongan hacia ambos lados hasta los puntos P , Q, R, S , T y U de tal forma que |P A| = |AB| = |BS|, |T C| = |CA| = |AQ| y |U C| = |CB| = |BR|. Si el área de ABC es 1, ¾cuál es el área del hexágono P QRST U ? Q

P

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A

C

U

T

(a) 9

(b) 10

(c) 12

B

R

S

(d) 13

(e) falta información

40. En un concurso de matemáticas hubo 100 competidores que tenían que resolver 4 problemas. Resultó que 90 concursantes resolvieron el primer problema, 85 resolvieron el segundo, 80 resolvieron el tercero y 70 resolvieron el cuarto. ¾Cuál es el mínimo número posible de concursantes que resolvieron los 4 problemas? (a) 5

(b) 10

(c) 15

12

(d) 20

(e) 25