PROBLEMAS DE PORCENTAJE USANDO DIAGRAMAS Una variedad de problemas de porcentajes descritos en palabras implica la relación entre el “por ciento,” “la parte” y “el parte del total todo.” Cuando esto se representa mediante una recta numérica, las soluciones se pueden encontrar utilizando el razonamiento lógico o fracciones parte de 100% equivalentes (proporciones). Estos modelos lineales pueden tener un aspecto como el diagrama de la derecha.

5.1.1 y 5.1.2

total

100%

Para más información, vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 5.1.2 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplo 1 Sam’s Discount Tires anuncia un neumático que originalmente cuesta $50 a la venta por $35. total ¿Cuál es el porcentaje de descuento? parte del total $50 neumático $15 menos

Un diagrama posible para esta situación se muestra a la derecha:

?%

100%

parte de 100%

En esta situación, es fácil pensar que ya que el total de número de porcentaje (100%) es el doble del total del número de costo ($50), el número de porcentaje ahorrado es el doble del número de costo ahorrado y por lo tanto es un descuento del 30%. El problema también puede ser resuelto ? = 100 utilizando una proporción 15 . 50

Ejemplo 2 Martin recibió 808 votos a la alcaldía de Smallville. Si este fue el 32% del total de votos emitidos, ¿cuántas personas votaron por el alcalde de Smallville? parte del total

Un diagrama posible para esta situación se muestra a la derecha:

total

? número de votos 808 votos 32%

100%

parte de 100%

En este caso, es mejor escribir un par de fracciones equivalentes como una proporción: Se se utiliza el Uno Gigante, el multiplicador es 100 32 = 3.125 así que Un total de 2525 personas votaron para el alcalde de Smallville.

808 32

⋅ 3.125 = 3.125

2525 100

808 32

x = 100

.

Tenga en cuenta que la proporción en este problema también podría ser resuelto utilizando la multiplicación cruzada. © 2014 CPM Educational Program. All rights reserved.

Core Connections en español, Curso 2

Problemas Utilice un diagrama para resolver cada uno de los siguientes problemas. 1.

La prueba de Inglés de Sarah tenía 90 preguntas y ella contestó 18 preguntas incorrectamente. ¿Qué porcentaje de las preguntas contestó ella correctamente?

2.

Los pantalones cargo que se venden regularmente por $36 se ofrecen a un descuento de 30%. ¿Cuánto es el descuento?

3.

La cuenta para una estancia en un hotel fue $188 dólares incluyendo $15 de impuestos. ¿Qué porcentaje de la cuenta fue el impuesto?

4.

Alicia contestó 60 preguntas correctamente en su examen de ciencias. Si recibió una puntuación de 75%, ¿cuántas preguntas había en el examen?

5.

Los zapatos de baloncesto están en oferta para el 22% de descuento. ¿Cuál es el precio normal, si el precio de venta está a $42?

6.

Sergio sacó 80% en su examen de matemáticas. Si respondió correctamente a 24 preguntas, ¿cuántas preguntas había en el examen?

7.

Un abrigo de $65 está en oferta por $52. ¿Qué porcentaje de descuento se le da?

8.

Ellen compró pantalones cortos de fútbol a la venta por $6 de descuento del precio regular de $40. ¿Qué porcentaje ahorró?

9.

De acuerdo con las reglas escolares, Carol tiene que convencer a un 60% de sus compañeros de clase a votar por ella con el fin de ser elegida presidente de la clase. Hay 32 estudiantes en su clase. ¿Cuántos estudiantes hay que convencer?

10.

Un suéter que se vendía regularmente por $52 está en oferta a 30% de descuento. ¿Cuál es el precio de venta?

11.

Jody encontró un par de sandalias de $88 marcado con 20% de descuento. ¿Cuál es el valor monetario del descuento?

12.

Ly obtuvo el 90% en un examen. Si respondió a 135 preguntas correctamente, ¿cuántas preguntas había en el examen?

13.

Para el final de temporada de lucha libre, Mighty Max había bajado siete libras y ahora pesa 128 libras. ¿Cuál fue el porcentaje de disminución de su peso inicial?

14.

George tiene 245 tarjetas en su colección de tarjetas de béisbol. De ellas, 85 de las tarjetas son los lanzadores. ¿Qué porcentaje de las tarjetas son los lanzadores?

15.

Julio compró zapatos de fútbol a un descuento de 35% en una oferta y ahorró $ 42. ¿Cuál fue el precio original de los zapatos?

Respuestas 1. 4. 7. 10. 13.

80% 80 preguntas 20% $36.40 más o menos 5%

2. 5. 8. 11. 14.

$10.80 $53.85 15% $17.60 más o menos 35%

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3. 6. 9. 12. 15.

más o menos 8% 30 preguntas 20 estudiantes 150 preguntas $120

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RAZONES

5.1.1 y 5.1.2

Una razón es una comparación de dos cantidades por la división. Se puede escribir de varias maneras: 65 millas , 65 millas: 1 hora o 65 millas a 1 hora 1 hora Para más información vea el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 5.1.1 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplo Una bolsa contiene las siguientes canicas: 7 claras, 8 rojas y 5 azules. Las siguientes razones pueden establecerse: a.

Razón de azul con el número total de canicas ⇒

b.

Razón de rojo a claro ⇒

c.

Razón de rojo a azul ⇒

d.

Razón de azul a rojo ⇒

5 20

=

1 4

.

8 . 7 8 . 5 5 . 8

Problemas 1.

2.

La bebida del jugo favorito de Molly se hace mezclando 3 tazas de jugo de manzana, 5 tazas de jugo de arándano y 2 tazas de gaseosa de jengibre. Determine las siguientes razones: a.

Razón de jugo de arándano al jugo de manzana.

b.

Razón de gaseosa de jengibre al jugo de manzana.

c.

Razón de gaseosa de jengibre a bebida de jugo terminada (la mezcla).

Un autobús de 40 pasajeros está llevando a 20 niñas, 16 niños y 2 maestros en un viaje de campo a la capital del estado. Determine las siguientes razones: a.

Razón entre niñas y niños.

b.

Razón entre niños y niñas.

c.

Razón de los maestros a estudiantes.

d.

Razón de los maestros a los pasajeros.

3.

Es importante para Molly (del problema uno) mantener las mismas razones cuando mezcla cantidades más grandes o más pequeñas de la bebida. De lo contrario, la bebida no sabe bien. Si ella necesita un total de 30 tazas de bebida de jugo, ¿cuántas tazas de cada líquido se debe usar?

4.

Si Molly (del problema uno) necesita 25 tazas de bebida de jugo, ¿cuántas tazas de cada líquido se debe usar? Recuerde que las razones deben seguir iguales.

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Respuestas 5 3

b.

2 3

c.

2 10

=

1 5

1.

a.

3.

9 tazas jugo de manzana, 15 tazas jugo de arándano, 6 tazas gaseosa de jengibre

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20 16

=

5 4

b.

16 20

=

4 5

c.

2 36

2.

a.

d.

4.

7 12 tazas jugo de manzana, 12 12 tazas jugo de arándano, 5 tazas gaseosa de jengibre

2 38

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EVENTOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES

5.2.3

Dos eventos son independientes si el resultado de un evento no afecta al resultado del otro evento. Por ejemplo, si saca un naipe de una baraja estándar, pero la reemplaza antes de sacar de nuevo, los resultados de los dos sorteos son independientes. Dos eventos son dependientes si el resultado de un evento afecta el resultado del otro evento. Por ejemplo, si saca un naipe de una baraja estándar y no la reemplaza para el siguiente sorteo, los resultados de los dos sorteos son dependientes.

Ejemplo 1 1 Juan sacó un naipe rojo de la baraja estándar. Esta probabilidad es 26 52 o 2 . Él devuelve el naipe a la baraja. ¿Cambiará la probabilidad de sacar un naipe rojo la próxima vez?

No, su probabilidad de sacar un naipe rojo la próxima vez no va a cambiar, ya que devolvió el naipe. Todavía hay 26 naipes rojos de los 52. Este es un ejemplo de un evento independiente; su extracción y sustitución de un naipe rojo no afecta a las selecciones posteriores de la baraja.

Ejemplo 2 Brett tiene una bolsa de 30 caramelos multicolores. 15 son de color rojo, 6 son de color azul, 5 son verdes, 2 son de color amarillo y 2 son de color marrón. Si saca un caramelo de color amarillo y se lo come, cambia esto su probabilidad de tirar cualquier otro caramelo de la bolsa? Sí, esto cambia la probabilidad, porque ahora tiene sólo 29 caramelos en la bolsa y sólo 1 de 2 o 1 ; ahora es 1 . Del caramelo amarillo. Originalmente, su probabilidad de amarillo era 30 15 29 15 1 15 1 mismo modo, rojo era 30 o 2 y ahora es 29 , más que 2 . Este es un ejemplo de un evento dependiente.

Problemas Decida si estos eventos son eventos independientes o dependientes. 1.

Lanzar una moneda, y lanzarla de nuevo.

2.

Tomar un negro 7 fuera de una baraja y no devolverlo, a continuación, sacar otro naipe.

3.

Tomar un regaliz rojo de una bolsa y comerlo, y después tomar otro trozo de regaliz.

Respuestas 1.

independiente

2.

dependiente

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3.

dependiente

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EVENTOS COMPUESTOS Y MÉTODOS DE CONTEO

5.2.3 – 5.2.6

PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS A veces, cuando usted está encontrando una probabilidad, usted está interesado en cualquiera de dos resultados que tienen lugar, pero no ambos. Por ejemplo, usted puede estar interesado en sacar un rey o una reina de una baraja. En otras ocasiones, usted podría estar interesado en un evento seguido por otro evento. Por ejemplo, puede que desee arrojar un uno en un dado y luego arrojar un seis. Las probabilidades de combinaciones de eventos simples se llaman eventos compuestos. Para encontrar la probabilidad de que sea un evento u otro que no tiene nada en común con la primera, se puede calcular la probabilidad de cada evento por separado y luego añadir sus probabilidades. Utilizando el ejemplo anterior de sacar un rey o una reina de una baraja: 4 y P(reina) = 4 4 4 8 2 P(rey) = 52 52 así que P(rey o reina) = 52 + 52 = 52 = 13 Durante dos eventos independientes, para encontrar la probabilidad de que tanto uno como el otro evento ocurra, se puede calcular la probabilidad de cada evento por separado y luego multiplicar sus probabilidades. Usando el ejemplo de arrojar un uno seguido de un seis en un dado: 1 P(1) = 16 y P(6) = 16 entonces P(1 luego 6) = 16 ⋅ 16 = 36 Tenga en cuenta que usted llevaría a cabo el mismo cálculo si quería saber la probabilidad de arrojar un uno en un dado verde y un seis en un dado rojo, si usted arrojó los dos al mismo tiempo.

Ejemplo 1 Una ruleta está dividida en cinco secciones iguales numeradas 1, 2, 3, 4 y 5. ¿Cuál es la probabilidad de girar un 2 o un 5? Paso 1: Paso 2:

Determine ambas probabilidades: P(2) = 15 y P(5) = 15 Ya que estos eventos son de lo uno o el otro, añada las fracciones que describen cada probabilidad: 15 + 15 = 25 La probabilidad de girar un 2 o un 5 es

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2 5

: P(2 o 5) =

2 5

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Ejemplo 2 Si cada una de las regiones de cada ruleta a la derecha es del mismo tamaño, ¿qué es la probabilidad de girar cada ruleta y conseguir una camiseta verde?

blanco white

rojo red

verde green

azul blue

suéter sweater

camiseta t-shirt

sudadera sweatshirt

Paso 1:

Determine ambas probabilidades: P(verde) = 14 y P(camiseta) = 13

Paso 2:

Puesto que usted está interesado en el evento compuesto de tanto verde y una 1 camiseta, multiplique ambas probabilidades: 14 ⋅ 13 = 12 La probabilidad de girar una camiseta verde es

1 12

: P(camiseta verde) =

1 12

Problemas Supongamos en cada uno de los problemas a continuación que los eventos son independientes el uno del otro. 1.

Un dado, numerado 1, 2, 3, 4, 5 y 6, se arroja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 o un 6?

2.

Mary está jugando un juego en que se arroja un dado y hace girar una ruleta. ¿Cuál es la probabilidad de que obtendrá tanto el 3 y el negro que necesita para ganar el juego?

• •

•

•• •

azul blue

rojo red

negro black

3.

Una ruleta está dividida en ocho secciones iguales. Las secciones están numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. ¿Cuál es la probabilidad de girar un 2, 3 o un 4?

4.

Patty tiene una caja de 12 lápices de colores. Hay 2 azules, 1 negro, 1 gris, 3 rojas, 2 verdes, 1 naranja, 1 morado y 1 amarillo en la caja. Patty cierra los ojos y elige un lápiz. Ella tiene la esperanza de elegir un lápiz de color verde o rojo. ¿Cuál es la probabilidad de que obtendrá su deseo?

5.

Utilice las ruletas de la derecha para decirle a Pablo posibilidades de conseguir el camión plateado que quiere.

scooter auto scooter car truck camión

6.

azul blue negro black plateado silver

En el camino a la escuela, el autobús escolar tiene que ir a través de dos señales de tráfico. La primera luz es verde por 25 segundos de cada minuto, y la segunda luz es de color verde durante 35 segundos de cada minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas luces serán verdes en el camino a la escuela?

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7.

Hay 250 estudiantes en South Lake Middle School. 125 disfrutan de la natación, 50 disfrutan de patinar en monopatín y 75 disfrutan el sóftbol. Si el disfrute de estos deportes es independiente, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante disfruta de los tres deportes?

8.

John tiene una bolsa de caramelos de goma. Hay 100 caramelos en la bolsa. 14 de los caramelos son de cereza, 14 de los caramelos son de naranja, 14 de los caramelos son de regaliz, y 14 de los caramelos son de limón. ¿Cuál es la probabilidad de que John elige uno de sus sabores favoritos, naranja o cereza?

9.

Una encuesta a nivel nacional mostró que sólo el 4% de los niños les gusta comer habas. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier de dos niños les gustan las habas?

Respuestas 1.

2 6

5.

1 12

9.

1 625

o

1 3

= 0.0016

2.

1 18

6.

25 ⋅ 35 60 60

≈ 0.243

3.

3 8

7.

125 ⋅ 50 ⋅ 75 250 250 250

4. 3 8. = 100

5 12 2 4

o

1 2

8.

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MÉTODOS DE CONTEO Hay varios modelos diferentes que puede utilizar para determinar todos los posibles resultados de eventos compuestos cuando se producen tanto en un evento y el otro: una lista sistemática, una tabla de probabilidad y un árbol de probabilidad. Vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 5.5.2 del texto Core Connections en español, Curso 2 para más detalles sobre estos tres métodos. No sólo se puede usar una tabla de probabilidad para ayudar a enumerar todos los resultados, pero también se puede usarlo para ayudar a determinar las probabilidades de eventos compuestos independientes cuando se producen tanto en un evento y otro. Por ejemplo, la tabla de probabilidad siguiente (a veces llamado un modelo de área) ayuda a determinar las probabilidades del Ejemplo 2 anterior:

1 3 1 3 1 3

1 4

1 4

1 4

1 4

blanco

rojo

azul

verde

suéter sudadera camiseta

Cada caja en el rectángulo representa el evento compuesto tanto de un color y el tipo de ropa (suéter, sudadera, o camiseta). El área de cada cuadro representa la probabilidad de obtener cada combinación. Por ejemplo, la región sombreada representa la probabilidad de obtener una 1 . camiseta verde: 14 ⋅ 13 = 12

Ejemplo 3 En un picnic con su clase Will y Jeff estaban jugando un juego donde arrojaban un tiro libre y luego lanzaban una moneda. Cada niño sólo anota un tiro libre de tres intentos. Use una tabla de probabilidad (modelo de área) para encontrar la probabilidad de que uno de los chicos anota un tiro libre y, a continuación, lanza la moneda y voltea la cara. ¿Cuál es la probabilidad de que se pierde el tiro libre y luego lanza la cara?

cara H

cruz T

anota Make Miss pierde Miss pierde

Al encontrar el área de los rectángulos pequeños, las probabilidades son: P(anota y cara) = 13 ⋅ 12 = 16 , y P(pierde y cruz) = 23 ⋅ 12 = 26

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Ejemplo 4 Chris posee un carrito de café que estaciona fuera de la corte del centro todas las mañanas. 65% de sus clientes son abogados; el resto son miembros del jurado. 60% de las ventas de Chris incluye un panecillo, un 10% incluye cereales y el resto son sólo café. ¿Cuál es la probabilidad de que un abogado compre un panecillo o cereales? Las probabilidades pueden ser representados en un modelo de área de la siguiente manera: Las probabilidades se pueden calcular así: La probabilidad de que un abogado compre un panecillo o cereales es 0.39 + 0.065 = 0.455 o 45.5%.

abogado 0.65 jurado.35 panecillo 0.60 cereales 0.10 sólo café 0.30 panecillo 0.60 cereales 0.10 sólo café 0.30

abogado 0.65 0.39 0.065 0.195

Ejemplo 5 normal

La heladería local tiene opciones de conos, normal, de azúcar o de la galleta. Sus opciones de helado son vainilla, chocolate, chicle o yogur de fresa congelado. Los siguientes ingredientes están disponibles para los conos de helado: chispitas, pedacitos de chocolate y las nueces picadas. ¿Cuáles son los posibles resultados de un cono y una bola de helado y una cobertura? ¿Cuántos resultados son posibles?

Vainilla

cono de galleta normal

Chocolate

normal

Chicle

Hay cuatro sabores posibles, cada uno con tres posibles conos. Entonces cada uno de los 12 resultados pueden tener tres posibles coberturas. Hay 36 resultados para el evento compuesto de elegir un sabor, cono y una cobertura.

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azúcar cono de galleta

Tablas de probabilidad son útiles sólo cuando hay dos eventos. En esta situación hay tres eventos (cono, sabor, cobertura), por lo que vamos a utilizar un árbol de probabilidad.

Tenga en cuenta que la lista de los resultados, y el número total de resultados, no cambia si cambiamos el orden de los acontecimientos. Podríamos fácilmente haber elegido el cono primero.

azúcar

Yogur Congelado

azúcar cono de galleta normal

azúcar

cono de galleta

jurado.35 0.21 0.035 0.105

chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados chispitas pedacitos de chocolate nueces picados

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Problemas Utilice tablas de probabilidad o diagramas de árbol para resolver estos problemas. 1. ¿Cuántas combinaciones diferentes son posibles en la compra de una bicicleta nueva si las siguientes opciones son disponsibles? •

bicicleta de montaña o bicicleta de carretera

•

pintura negra, roja, amarilla o azul

•

3 velocidades, 5 velocidades o 10 velocidades

2. Un nuevo camión está disponible con: •

transmisión estándar o automática

•

tracción en las 4 ruedas o tracción 2 × 2

•

cabina regular o extra

•

cama larga o corta

¿Cuántas combinaciones son posibles? 3. Un asesor de impuestos clasifica el 25% de los hogares en la ciudad por tener un gran patio trasero, un 65% por tener un pequeño patio trasero y el 10% por no tener patio trasero. 30% de los hogares tiene un techo de tejas, el resto tiene algún otro tipo de techo. ¿Cuál es la probabilidad de que una casa con un techo de tejas tenga un patio trasero? 4. Hay espacio para sólo 96 alumnos en la Universidad Escuela Secundaria para matricularse en una clase de “manualidades”: 25 alumnos en la madera, 25 alumnos de la metalurgia y el resto en imprenta. Tres cuartas partes de los espacios están reservados para los alumnos de cuarto año y una cuarta parte es para los alumnos de tercer año. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno matriculado en la clase de manualidades está de cuarto año y en la imprenta? ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno matriculado en la clase de manualidades está de tercer año y en la madera o la metalurgia? 5. Las compañías de seguros utilizan probabilidades para determinar la tasa que van a cobrar por una póliza de seguro. En un estudio de 3000 personas que tenían pólizas de seguro de vida, una compañía de seguros recoge los siguientes datos de cómo las personas de edad eran cuando murieron, en comparación con lo alta que eran. En este estudio, ¿cuál era la probabilidad de ser alto (más de 6 pies) y morir joven (menor de 50 años de edad)? ¿Cuál era la probabilidad de ser alto y morir menos de 70 años de edad? ¿Cuál era la probabilidad de estar entre 50 y 70 años de edad? 80 años de edad 111 999

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Respuestas 1. Hay 24 combinaciones posibles, como se muestra a continuación. negro rojo

Montaña

amarillo azul

negro Carretera

rojo amarillo

azul

3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades

3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades 3 velocidades 5 velocidades 10 velocidades

2. Hay 16 combinaciones posibles, como se muestra a continuación. tracción en las 4 ruedas

cabina regular

tracción en las 4 ruedas

cabina regular

tracción 2×2

cabina regular

tracción en las 4 ruedas

cabina regular

Estándar

Automático

cabina extra

cabina extra

cabina extra

cabina extra

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cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta cama larga cama corta Core Connections en español, Curso 2

3. La probabilidad es 0.075 + 0.195 = 0.27 o 27%.

techo de tejas 30% otro techo 70%

gran patio trasero 25% 0.075

pequeño patio trasero 65% 0.195

no patio trasero 10%

4. La probabilidad de una alumno de cuarto año en imprenta es de aproximadamente 0.359%. La probabilidad de un alumno de tercer año en la madera o la metaluría es 0.065 + 0.065 ≈ 0.13. 4º año madera

3 4

3º año

25 96 25 96 46 96

≈ 0.065

metalurgía imprenta

1 4

≈ 0.065 ≈ 0.359

5. La probabilidad de ser alto (más de 6 pies) y morir joven (menor de 50 años de edad) es 30 3000 = 0.01. La probabilidad de ser alto y morir menos de 70 años de edad es 30+25+52 ≈ 0.036. La probabilidad 3000 25+52+225+468 ≈ 0.257. 3000

de estar entre 50 y 70 años de edad es

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RESOLVER PROBLEMAS DE PALABRAS (EL PROCESO 5-D)

5.3.4 y 5.3.5

El Proceso 5-D es un método que los estudiantes pueden usar para resolver varios tipos de problemas, especialmente problemas de palabras. Las D’s representan Describir, Definir, Desarrollar, Decidir y Declarar. Cuando los estudiantes usan el Proceso 5-D, les proporciona un registro del pensamiento del estudiante. Los patrones en la tabla dirigen directamente en escribir ecuaciones algebraicas para los problemas de palabras. Escribir ecuaciones es una de las más importantes habilidades de álgebra que los estudiantes puedan aprender. Usando el Proceso 5-D ayuda esta habilidad ser accesible para todos los estudiantes. Para poder ayudar a los estudiantes ver las relaciones en un problema de palabras, requerimos que incluyan por las menos cuatro entradas (hileras) en sus tablas. La repetición de las operaciones se necesita para ver como las columnas están relacionadas. Después los estudiantes hubieron practicado usando el Proceso 5-D para resolver los problemas, empezamos a generalizar desde los patrones en la tabla a escribir ecuaciones que representan las relaciones en el problema. También creemos que escribir la respuesta en una oración después que la tabla este completa es importante porque muchos estudiantes olvidan lo que realmente es la ecuación. Esta oración ayuda al estudiante mirar el cuadro completo y resume al problema. Vea el recuadro de Apuntes de matemáticas en la Lección 5.3.3 del texto Core Connections en español, Curso 2.

Ejemplo 1 Una caja de fruta tiene tres veces más nectarinas que toronjas. Juntos hacen 36 piezas de fruta. ¿Cuantas piezas de cada tipo de fruta hay? Paso 1:

Describir: El número de nectarinas es tres veces el número de toronjas. El número de nectarinas más el número de toronjas es igual a 36.

Pasó 2:

Definir:

Prueba 1:

Configure una tabla con columnas. La primera columna debe ser el elemento de que menos conozca. Escoja cualquier cantidad fácil para esa columna.

Definir nro. de toronjas 11

¿Qué más debemos saber? El número de nectarinas, que es tres veces más que el número de toronjas.

Prueba 1:

Definir nro. de toronjas nro. de nectarinas 11 3(11) = 33 El ejemplo continúa en la página siguiente →

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Continuación del ejemplo de la página anterior. Paso 3:

Desarrollar: ¿Cuál es el número total de frutas? Definir nro. de toronjas

nro. de nectarinas

11

33

Prueba 1: Paso 4:

Desarrollar total de piezas de fruta 44

Decida: Necesitamos verificar el total de piezas de fruta basado en la prueba #1 de 11 toronjas y compárelo al total que se le dio en el problema. Definir nro. de toronjas

nro. of nectarinas

11

33

Prueba 1:

Desarrollar total de piezas de fruta 44

Decidir ¿36? demasiado alto

Empiece otra prueba. Nuestro total era 44; el total necesitado es 36, así que nuestro prueba empezó demasiado alto y nuestro próxima prueba debe empezar más bajo. Definir nro. de toronjas

nro. of nectarinas

11 10

33 30

Prueba 1: Prueba 2:

Desarrollar total de piezas de fruta 44 40

Decidir ¿36? demasiado alto demasiado alto

Empiece otra prueba. Nuestro total era 40; el total necesitado es 36, así que nuestro prueba empezó demasiado alto y nuestro próxima prueba debe empezar todavía más bajo. Definir nro. de toronjas

nro. of nectarinas

11 10 8

33 30 24

Prueba 1: Prueba 2: Prueba 3:

Desarrollar total de piezas de fruta 44 40 32

Decidir ¿36? demasiado alto demasiado alto demasiado alto

Empiece otra prueba. Nuestro total era 32; el total necesitado es 36, así que nuestro prueba empezó demasiado bajo y el próxima prueba debe ser más alto que 8 pero menos que 10. Definir nro. de toronjas

nro. of nectarinas

11 10 8 9

33 30 24 27

Prueba 1: Prueba 2: Prueba 3: Prueba 4: Paso 5:

Declarar:

Desarrollar total de piezas de fruta 44 40 32 36

Decidir ¿36? demasiado alto demasiado alto demasiado bajo correcto

La respuesta fue encontrada. Responda en una oración. Hay 9 toronjas y 27 nectarinas en una caja.

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Ejemplo 2 El perímetro de un rectángulo es 120 pies. Si la longitud del rectángulo es 10 pies más que el ancho, ¿cuáles son las dimensiones (longitud y ancho) del rectángulo? ancho

Describir/Dibujar: ancho + 10

Empiece con el ancho por que, de las dos respuestas requeridas, es el que de menos sabemos. La longitud es 10 pies más que el ancho, así que suma 10 a la primera prueba. Definir Prueba 1:

Ancho 10

Longitud 20

Desarrollar Perímetro (10 + 20) · 2 = 60

Decida ¿120? demasiado bajo

Ya que la prueba de 10 resulto en una respuesta que es demasiada baja, debemos incrementar el número en la próxima prueba. Ponga atención al resultado de cada prueba mientras disminuya las pruebas posibles para llegar a la respuesta. Nota: mientras los estudiantes reciban más experiencia usando el Proceso 5-D, aprenderán a hacer mejores pruebas de un paso a otro para resolver los problemas más rápido o establecer un patrón que necesitan para escribir una ecuación. Definir Prueba 1: Prueba 2: Prueba 3: Prueba 4:

Ancho 10 20 30 25

Longitud 20 30 40 35

Desarrollar Perímetro (10 + 20) · 2 = 60 100 140 120

Decidir ¿120? demasiado bajo demasiado bajo demasiado alto correcto

Declarar: Las dimensiones son 25 y 35 pies.

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Ejemplo 3 Jorge tiene unas monedas de 10 centavos y 25 centavos. Tiene 10 más monedas de 10 centavos que monedas de 25 centavos y la colección de monedas tiene un valor de $2.40. ¿Cuántas monedas de 10 centavos y de 25 centavos tiene Jorge? Nota: Este tipo de problema es más difícil que otros porque el número de cosas que se preguntan es diferente a su valor. Columnas separados para cada parte del problema se debe de agregar a la tabla, como se muestra a continuación abajo. Frecuentamente los estudiantes olvidan escribir el 3º y 4º columna. Describir: El número de monedas de 25 centavos más 10 es igual al número de monedas de 10 centavos. El valor total de las monedas es $2.40.

Intento 1: Intento 2: Intento 3: Intento 4:

nro. de monedas de 25¢ 10 8 6 4

Definir nro. de valor de monedas monedas de 10¢ de 25¢ 20 2.50 18 2.00 16 1.50 14 1.00

valor de monedas de 10¢ 2.00 1.80 1.60 1.40

Desarrollar

Decidir

valor total

¿$2.40?

4.50 3.80 3.10 2.40

demaciado alto demaciado alto demaciado alto correcto

Declarar: Jorge tiene cuatro monedas de 25 centavos y 14 monedas de diez centavos.

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PREGUNTAS ÚTILES PARA HACERLE A SU ESTUDIANTE Si su estudiante tiene dificultades con un problema de 5-D, podría ser porque él/ella no entiende el problema, no porque él/ella no entienda el proceso. Aquí hay algunas preguntas que se puede hacer cuando su hijo/a no entienda el problema. (Estos también ayudan en situaciones que no sea problema de palabras.) 1.

¿Qué te están pidiendo que encuentres?

2.

¿Qué información se te ha dado?

3.

¿Hay información que no se necesite? Si es así, ¿qué es?

4.

¿Hay información esencial que haga falta? Si es así, ¿qué información necesitas?

NOTA SOBRE TÍTULOS DE COLUMNAS 1.

Puede seleccionar cualquier número en la primera prueba. Diez o la edad del estudiante son números adecuados para la primera prueba. El resultado le ayudará a determinar qué numero usar en la segunda prueba.

2.

Continúe estableciendo columnas por medio de preguntar “¿Qué más se debe saber para determinar si el número que usamos para la prueba es correcto o demasiado bajo o demasiado alto?”

3.

Ponga la respuesta a una calculación en cada columna. Estudiantes a veces ponen la respuesta a varias calculaciones mentales en una columna (vea la nota en el Ejemplo 3.)

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Problemas Resuelva estos problemas usando el Proceso 5-D. Escriba cada respuesta en una oración. 1.

Una tabla de madera que mide 100 centímetros de largo está cortada en dos piezas. Una pieza es 26 centímetros más largo que el otro. ¿Cuáles son las longitudes de las dos piezas?

2.

Thu es cinco años mayor que su hermano Tuan. La suma de sus edades es 51. ¿Cuáles son sus edades?

3.

Tomas está pensando en un número. Si triplica el número y le resta 13, el resultado es 305. ¿Cuál es el número del que está pensando Tomas?

4.

Dos números consecutivos tienen la suma de 123. ¿Cuáles son los dos números?

5.

Dos números par consecutivos tienen la suma de 246. ¿Cuáles son los números?

6.

La edad de Joe es tres veces la edad de Aaron y Aaron es seis años mayor que Christina. Si la suma de sus edades es 149, ¿cuál es la edad de Christina? ¿La edad de Joe? ¿Y la de Aaron?

7.

El granjero Fran tiene 38 animales en un corral, consistiendo de solamente gallinas y cabras. Si estos animales tienen 116 patas, ¿cuántos de cada tipo de animal hay?

8.

Una tabla de madera que mide 156 centímetros de largo es cortada en tres partes. Las dos partes más grandes miden igual y son 15 centímetros más largos que la parte pequeña. ¿Qué tan largas son las tres partes?

9.

Juan tiene 15 monedas, todas de 5 centavos y 10 centavos. Esta colección de monedas vale 90 centavos. ¿Cuántas monedas de 5 centavos y de 10 centavos hay? (Pista: crea columnas separadas para, “Número de monedas de 5 centavos,” “El valor de monedas de 5 centavos,” “Número de monedas de 10 centavos,” y “El valor de monedas de 10 centavos.”)

10.

Los boletos para la obra en la escuela cuestan $5.00 por adulto y $3.50 para estudiantes. Si el valor total de los boletos que se vendieron fue $2517.50 y 100 más estudiantes que adultos compraron boletos, ¿cuántos adultos y estudiantes compraron boletos?

11.

Una tabla de madera que mide 250 centímetros de largo es cortada en cinco piezas. Tres piezas cortas tienen longitudes iguales y dos son 15 centímetros más largas que las cortas. ¿Cuánto miden las tablas?

12.

Conrad tiene una colección de tres tipos de monedas: monedas de 5 centavos, 10 centavos y 25 centavos. Hay una cantidad igual de monedas de 5 centavos y 25 centavos, pero tres veces más monedas de 10 centavos. Si el valor de la colección es $9.60, ¿cuantas monedas de 5, 10 y 25 centavos hay?

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Respuestas 1.

Las longitudes de las tablas son 37 cm y 63 cm.

2.

Thu tiene 28 años y su hermano tiene 23 años.

3.

Tomas está pensando en el número 106.

4.

Los dos números consecutivos son 61 y 62.

5.

Los dos números par consecutivos son 122 y 124.

6.

Christina tiene 25 años, Aaron 31 y Joe 93.

7.

El granjero Fran tiene 20 cabras y 18 gallinas.

8.

La longitud de las tablas son 42, 57 y 57 centímetros.

9.

Juan tiene 12 monedas de 5 centavos y 3 de 10 centavos.

10.

255 boletos para adultos y 355 boletos para estudiantes fueron comprado para la obra de la escuela.

11.

Las longitudes de las tablas son 44 y 59 centímetros.

12.

Conrad tiene 16 monedas de 5 centavos, 16 monedas de 25 centavos y 48 monedas de 10 centavos.

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