PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Manuel Calvo CURSO 2005/06

Cap´ıtulo 1 ´ METODOS ELEMENTALES ´ DE INTEGRACION 1.1.

Ecuaciones de variables separables

1) Calcula, por separaci´on de variables, la soluci´on general de las siguientes ecuaciones de primer orden. Adem´as, en caso de dar condiciones iniciales, determina las soluciones de los problemas de valor inicial (PVI) as´ı como su intervalo maximal de definici´on. 1). . . . . . . . . . . 2). . . . . . . . . . . 3). . . . . . . . . . . 4). . . . . . . . . . . 5). . . . . . . . . . .

dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx

x2 + 1 , y(−3) = 4, 2 − 2y x =− , y(1) = 2 y 3x + 3xy 2 =− 2 . yx + 2y s x2 + x2 y 2 = . y 2 + x2 y 2 x + xy 2 = , y(1) = 0. 4y =

3

y(−3) = −2.

6). . . . . . . . . . . 7). . . . . . . . . . . 8). . . . . . . . . . . 9). . . . . . . . . . . 10). . . . . . . . . . . 11). . . . . . . . . . .

dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dr dθ

= −3y cot(x),

y(π/2) = 2.

sen2 y , y(π/4) = π/4. cos2 x y =− 3 2 . x y + x3 3x + xy 2 =− , y(2) = 1. 2y + x2 y (y 2 + 2y − 3)(x − 2) = 2 , (x + 2x − 3)(y − 2) sen θ + e2r sen θ = , r(π/2) = 0. 3er + er cos θ =−

2) La ecuaci´on 4y 2 − x4 dy = , dx 4xy no es separable. Comprueba que la transformaci´on y → v dada por y = vx convierte la ecuaci´on anterior en otra de variables separables. Resuelve la nueva ecuaci´on y calcula la soluci´on general de la ecuaci´on original.

3) Una ecuaci´on de la forma dy y f (xy) = , dx x g(xy) no es separable. Sin embargo comprueba que la transformaci´on y → v dada por y = v/x convierte la ecuaci´on anterior en otra separable. Aplica esta t´ecnica para calcular la soluci´on general de las siguientes ecuaciones: dy y − xy 2 = , dx x + x2 y

dy 1 − xy + x2 y 2 = . dx x2 − x3 y

4

1.2.

Problemas de ecuaciones homog´ eneas

1) Calcula la soluci´on general de las siguientes ecuaciones homog´eneas. En el caso de dar condiciones iniciales calcula la soluci´on particular y su intervalo maximal de definici´on

1). . . . . . . . . . .

dy 2y 2 − x2 = . dx xy

2). . . . . . . . . . .

3xy + 2y 2 dy = . dx x2

3). . . . . . . . . . .

xy − 3(x2 + y 2 ) arctan(y/x) dy = . dx x2

4). . . . . . . . . . .

dy y sen(y/x) + x = . dx x sen(y/x)

5). . . . . . . . . . .

y + 2x exp(−y/x) dy = . dx x

6). . . . . . . . . . . 7). . . . . . . . . . . 8). . . . . . . . . . .

3x + 2y dy = , dx x √ 2 dy x + y2 = . dx x dy x3 + y 3 = , dx xy 2

y(1) = 2.

y(1) = 1.

2) Calcula la soluci´on general de las siguientes ecuaciones reducibles a homog´eneas.

1) . . . . .

dy x+y+4 = . dx x−y−6

2) . . . . .

dy x+y−1 = . dx x + 4y + 2

3) . . . . .

dy x+y+4 = . dx x+y−6

4) . . . . .

dy 2x + 3y − 1 = . dx 4x + 6y

5

3) Haciendo un cambio y → u del tipo u = y/xn con exponente n adecuado calcula la soluci´on general de las siguientes ecuaciones

1.3.

dy 1 − xy 2 = , dx 2x2 y

dy y − xy 2 = , dx x + x2 y

dy 2 + 3xy 2 = , dx 4x2 y

dy 1 − 2xy − 2x2 y − 2x3 y 2 − 3x4 y 2 = . dx x2 (1 + x)(1 + yx2 )

Ecuaciones lineales

1) Describe el conjunto de soluciones de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales dy 1 = y+x dx x−1 

1). . . . . . . . . . .



dy 2 + (log x)y = log x + (log x)2 dx x 

2). . . . . . . . . . . 3). . . . . . . . . . .

x



dy + 2y = 3 dx

y 0 = 2y + x2 + 5

4). . . . . . . . . . .

(1 + ex )

5). . . . . . . . . . .

dy + ex y = 0 dx

(1 − x3 )

6). . . . . . . . . . .

dy = 3x2 y dx

dy + cot(x)y = 2 cos x dx

7). . . . . . . . . . . 8). . . . . . . . . . .

x

dy + 4y = x3 − x dx

9). . . . . . . . . . .

(1 − cos x) dy + (2y sen x − tan x) dx = 0

10). . . . . . . . . . .

y dx + (xy + 2x − y ey ) dy = 0

11). . . . . . . . . . .

(x − 1)

dy + (x + 1)y = x3 + 3x2 − 2x dx 6

x3

12). . . . . . . . . . .

dy + (2 − 3x2 )y = x3 dx

13). . . . . . . . . . .

y ln y dx + (x − ln y) dy = 0

14). . . . . . . . . . .

dy + cot x y = 5 ecos x dx

15). . . . . . . . . . .

dr + (2r cot θ + sen(2θ)) dθ = 0

16). . . . . . . . . . .

y(1 + y 2 ) dx = 2(1 − 2xy 2 ) dy

17). . . . . . . . . . . (1 + sen y) dx = [2y cos y − x(sec y + tan y)] dy

1.4.

Ecuaciones diferenciales exactas

1) Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en la forma P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, comprueba su exactitud y resuelve aquellas que sean exactas.

1). . . . . . . . . . .

dy x − y2 = . dx 2xy + y

2). . . . . . . . . . .

2 xy y 0 = x2 − y 2 .

3). . . . . . . . . . .

dy x = . dx x+y

4). . . . . . . . . . .

dy x − y cos x = . dx sen x + y

5). . . . . . . . . . .

(ye−x − sen x)dx − (e−x + 2y)dy = 0. 

6). . . . . . . . . . .

y x + dx + (log x + 2y)dy = 0. x 2



7). . . . . . . . . . .

dy y(y − ex ) = x . dx e − 2xy

8). . . . . . . . . . .

(x2 + x)dy + (2xy + 1 + 2 cos x)dx = 0.

9). . . . . . . . . . .

(x x2 + y 2 − y)dx + (y x2 + y 2 − x)dy = 0.

q

q

10). . . . . . . . . . . (4x3 y 3 + 1/x)dx + (3x4 y 2 − 1/y)dy = 0. 7

!

11). . . . . . . . . . . 12). . . . . . . . . . .

!

y 1 y − + 2 dx + + 2y(x + 1) dy = 0. x(x + y) x+y 2



2



2



2



2

2xyex y + y 2 exy + 1 dx + x2 ex y + 2xyexy − 2y dy = 0.

2) Resuelve las siguientes ecuaciones con las condiciones iniciales indicadas y determina su intervalo maximal de definici´on

1). . . . . . . . . . .

y 2 − 2x dy = , dx 2y − 2xy

2). . . . . . . . . . .

dy 2x − sen y = , dx x cos y

y(1) = 2. y(2) = 0.

3). . . . . . . . . . . 2xydx + (x2 + 1)dy = 0,

y(1) = −3.

4). . . . . . . . . . . (x2 + 2ye2x )y 0 + 2xy + 2y 2 e2x = 0, 5). . . . . . . . . . .

dy sen(2x) − tan y = , dx x sec2 (y)

y(1) = 1.

y(π) = π/4.

3) Para cada una de las ecuaciones siguientes, obtener un factor integrante de la forma indicada y resolverlas 1). . . . . . . . . . . (x − x2 − y 2 )dx + ydy = 0, 2). . . . . . . . . . . (2y − 3x)dx + xdy = 0, 3). . . . . . . . . . . (3x2 + y 2 )dx − 2xydy = 0,

µ = µ(x2 + y 2 ). µ = µ(x). µ = µ(x).

4). . . . . . . . . . . (xy − 2y 2 )dx − (x2 − 3xy)dy = 0, 5). . . . . . . . . . . (4xy + 3y 4 )dx + (2x2 + 5xy 3 )dy = 0, 6). . . . . . . . . . . (8y + 4x2 y 4 )dx + (8x + 5x3 y 3 )dy = 0,

µ = xα y β . µ = xα y β . µ = xα y β .

7). . . . . . . . . . . (y + x3 y + 2x2 )dx + (x + 4xy 4 + 8y 3 )dy = 0,

8

µ = µ(xy).

4) Dada la ecuaci´on diferencial P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, donde P y Q son funciones homog´eneas del mismo grado, 1 es un factor integrante de dicha ecuaci´on xP + yQ supuesto xP (x, y) + yQ(x, y) 6≡ 0.

Prueba que µ =

Estudia el caso xP + yQ ≡ 0. Aplica el ejercicio anterior a la resoluci´on de las ecuaciones 1)

y 2 dx + (x2 − xy − y 2 )dy = 0,

2)

(x4 + y 4 )dx − xy 3 dy = 0.

5) Dada la ecuaci´on P dx + Qdy ≡ yf1 (xy)dx + xf2 (xy)dy = 0 con xP − yQ = xy(f1 (xy) − f2 (xy)) 6≡ 0, Prueba que

1 es un factor integrante en el conjunto apropia(xP − yQ)

do. Aplica el ejercicio anterior a la resoluci´on de las ecuaciones 1)

y(x2 y 2 + 2)dx + x(2 − 2x2 y 2 )dy = 0,

2)

y(2xy + 1)dx + x(1 + 2xy − x3 y 3 )dy = 0.

Algunos tipos de factores integrantes

9

Condici´on sobre la ED

Factor Integrante

Py − Qx = g(x) Q Py − Qx = −g(y) P Py − Qx = g(x + y) Q−P Py − Qx = g(x − y) P +Q Py − Qx = g(xy) yQ − xP Py − Qx = g(x2 + y 2 ) xQ − yP nQ mP − = Py − Qx x y

R

µ(x) = exp ( g) (x) R

µ(y) = exp ( g) (y) R

µ(x + y) = exp ( g) (x + y) µ(x − y) = exp ( g) (x − y) R

R

µ(xy) = exp ( g) (xy) µ(x2 + y 2 ) = exp ((1/2) g) (x2 + y 2 ) R

µ(x, y) = xn y m

6) Calcula la soluci´on general de las siguientes ecuaciones diferenciales buscando un factor integrante adecuado para cada ejercicio 1)

x dx + (y + 4y 3 x2 + 4y 5 ) dy = 0.

2)

(x + x4 + 2x2 y 2 + y 4 ) dx + y dy = 0

3)



xy +

√



1 − x2 y 2 dx + x2 dy = 0 !

4)

y +2 y − x(x + y) 2

1 dx + + 2y(x + 1) x+y

5)

(tan y − tan2 y cos x) dx − x sec2 y dy = 0.

6)

xy 0 + y log x = y log y + y.

!

dy = 0.

7) Prueba que si µ y ν son dos factores integrantes independientes de P dx + qdy = 0 entonces su soluci´on general es µ = cν. Ilustra el resultado calculando dos factores integrantes de xdy − ydx = 0. 10

8) Prueba que si la ecuaci´on P dx + Qdy = 0 es exacta y homog´enea su soluci´on general es P x + Qy = c. aplica el resultado a la ecuaci´on (x2 + y 2 )dx + 2xydy = 0.

1.5.

Ecuaciones de tipo Bernoulli

1) Calcula la soluci´on general de las siguientes ecuaciones de Bernoulli 1)

y 0 − y = xy 5

2)

y 0 + 2xy + xy 4 = 0

4)

1 1 y 0 + y = (1 − 2x)y 4 3 3 0 2 y + y = y (cos x − sen x)

5)

xy 0 = y + xy 3 (1 + log x)

6)

xy 0 + y = x3 y 6

3)

7) 8)

1.6.

dx x − + x3 cos y = 0 dy y 2 y + (xy − x3 )y 0 = 0

Campos de pendientes de ecuaciones diferenciales

1) Dado el siguiente campo de pendientes de una ecuaci´on diferencial

11

dibuja aproximadamente algunas curvas soluci´on de dicha ecuaci´on

2) Usando el campo de pendientes de la ecuaci´on diferencial, haz un esbozo del espacio de fases de las siguientes ecuaciones 1)

y0 = y3 − y

2)

y 0 = y cos y

3)

y0 =

4)

y 4 − 5y 2 + 4 y2 √ y 0 = y sen y

5)

y0 =

sen y y

3) El campo de pendientes de la ecuaci´on diferencial y 0 = x2 + y 2 para x ∈ [−2, 2], y ∈ [−1, 1] es

12

Dibuja algunas curvas integrales de dicho campo. Prueba que si y(x) es soluci´on definida en [0, a), −y(x) tambi´en es soluci´on en x ∈ (−a, 0] y por tanto las curvas soluci´on son sim´etricas respecto al origen. Prueba que toda soluci´on y(x) explota en tiempo finito, es decir existe 0 < τ < +∞ tal que l´ım |y(x)| = +∞ x→τ

4) El campo de pendientes de la ecuaci´on homog´enea y 0 = 1 + (y/x) para x ∈ [0, 2], y ∈ [−1, 1] tiene la forma

13

Esboza algunas curvas soluci´on. Resuelve la ecuaci´on por m´etodos anal´ıticos y compara con el comportamiento geom´etrico.

1.7.

Trayectorias ortogonales a una familia de curvas

1) Halla la familia de curvas ortogonal a la familia de c´ırculos con centro en el eje OX y que pasan por el origen.

2) Halla las trayectorias ortogonales a la familia de c´ırculos que pasan por los puntos (1, 9) y (0, −1).

3) Calcula las trayectorias ortogonales a las siguientes familias de curvas

14

1) xy = C

2) y = C x2

3) y = C ex

4) y = C x4

5) y 2 = 4C(x + C)

6) y 2 =

x3 C −x

4) Prueba que las trayectorias ortogonales a una familia de curvas dada en las coordenadas polares ρ y θ por la ecuaci´on diferencial dρ = f (ρ, θ) dθ verifica la ecuaci´on

ρ2 dρ =− dθ f (ρ, θ)

5) Calcula las trayectorias ortogonales a las siguientes familias de curvas 1) ρ = 2C sen θ

2) ρ =

C 1 − cos θ

3) ρ = C(sec θ + tan θ)

6) La familia de curvas que forma un ´angulo α con otra familia Γ dada por f (x, y, y 0 ) = 0 verifica f x, y,

y 0 − tan α 1 + y 0 tan α

!!

= 0.

Calcula la familia de curvas que forma un ´angulo de 45 grados con la familia de c´ırculos de centro el origen.

7) Calcula la familia de curvas que forma un ´angulo de 45 grados con la familia de circunferencias cuyo centro est´a situado en la bisectriz del primer cuadrante y pasan por el origen. 15

Cap´ıtulo 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR 2.1.

Sistemas lineales con coeficientes constantes

1) Calcula la soluci´on general de los siguientes sistemas diferenciales lineales: 3 1 1 −8et    0 x =  1 3 7  x +  −33et  , t −8e 4 4 0 

x0 =



1 1 x+ −1 1 



x0





10 −3 0   =  18 −5 0  x, 9 −3 1 

x0

5 cos t , 5 cos t

2 2 0 =  7 −5   3  x, −1 3 1 

x0





−2 1 1   =  −9 4 3  x, −5 1 4









−10 5 4  x0 =   −17 9 7  x, −11 5 5 



1 0 1   x0 =  −3 2 3  x, −2 0 4 



13 −7 5   x0 =  28 −14 9  x, 12 −6 4

16





5 −3 3 3(−6 + t)e−t     =  1 1 3  x +  −2(6 + t)e−t  , 4(−10 + t)e−t 4 4 8 

x0





x0

x0

x0



−1 5 5   =  15 9 15  x, 10 10 4 





5 1 1   0 x =  −3 9 3  x, −1 1 7 



 







7 −1 2 −13    =  2 4 1 x + exp(t)    −16  , −1 1 7 −32 

x0



0 −1 2 5 −3 2 1 exp(t)       0 x =  6 −4 4  x + =  1 0 1  x, 2, 1 + t2 0 0 1 4 −4 5 1 √ √       6 0 3 0 1 3 − 3 √ √    x0 =  =  0 3   −2 8 5  x,  x +  −1  ,  −√ 3 √ 1 −1 1 7 3 − 3 0 

x0







−4 2 1   =  −15 7 3  x, −7 2 4





3 0 −1   x0 =  6 1 −3  x. 1 1 −1

2) Calcula la soluci´on de los siguientes problemas de valores iniciales: a) 



1 1 0   0 x =  1 −1 1  x, 0 0 2

 

1

  x(0) =  1  .

1

b) 



14 6 9   0 x =  −38 −15 −36  x, 2 0 9





0   x(0) =  0  . 1/3

3) Calcular las soluciones generales de los siguientes sistemas lineales con coeficientes constantes x0 = Ax + b(t), 17

donde la matriz A ∈ IR4×4 y la funci´on vectorial b : IR → IR4 est´an dados respectivamente por: 1-1) 1  −1  A=  0 0 

1 1 1 0 0 1 0 −1

t+1 t − 1   . b(t) =   2  1

0 1  , 1 1







1-2) 0  −1  A=  0 0 

1 1 2 2 0 0 0 −1

1

0 2  , 1 0

 



0   b(t) = (et + cos t)   . 1

1

1-3) 1 1 0  1 3 2  A=  1 −1 2 −2 0 −2

2 0  , 0 2



3



  2   b(t) = e2t   . 1

0

1-4) 3 0 1  0 3 1 A=   1 −1 3 −1 1 0 

1 1  , 0 3 

−2  0   b(t) = e3t   .  1  1 



1-5) 3 −1 0 0 1 1 1 −1    A= , 0 0 3 −1  0 0 1 1 

t+1  1    b(t) = e2t  .  0  1







1-6) 2 1 0 0  0 6 −3 −2    A= ,  0 4 −1 −2  0 10 −5 −3 



1  0    b(t) = e3t  .  1  −1 



1-7) 0 2 3 −3 1 8 −1 −5    A= ,  0 −2 3 1  1 4 −1 −1 



18

1  0    b(t) =  4t  . e  0 



1-8) 0 −2 0 −1 1 0 0 0    , A= 0 1 0 0  0 0 1 0 

0  −1    . b(t) =   0  1 





1-9) −1 −2 −1 0  0 0 1 0    , A=  0 −1 −2 0  0 1 1 −1 

sen t + cos t   0   . b(t) =    0 − sen t + cos t 





4) Resuelve el siguiente sistema lineal homog´eneo −3  −1  x0 =   −2 −1 

1 0 1 0

1 0 0 0    x. 0 0  1 −1 

y encuentra los subespacios bidimensionales S ⊂ IR4 invariantes por el flujo del espacio f´asico, es decir tales que si x(t0 ) ∈ S para alg´ un t0 entonces x(t) ∈ S para todo t ∈ IR.

5) Dada la ecuaci´on lineal y 0 (x) = −ay(x) + q(x),

(1)

donde a > 0 es constante y q es una funci´on continua en [0, +∞) tal que existe l´ım q(x) = b. x→+∞

Probar que para toda condici´on inicial y(0) = y0 , la u ´nica soluci´on de (1) definida para todo x ≥ 0 verifica l´ım y(x) =

x→+∞

19

b a

(2)

6) Dado el sistema lineal x0 = Ax , con 0  −2  A=  0 0

2 0 0  0 0 √0  . 0 0 2 √ 0 − 2 0





i) ¿Cu´antas soluciones peri´odicas linealmente independientes tiene ? ii) ¿Son peri´odicas todas las soluciones ?

7) Dados los vectores de IR3 u1 = (1, 1, 0)T , u2 = (0, 1, 1)T , u3 = (1, 1, 1)T ,

(a) Determinar A ∈ IR3×3 tal que las soluciones ϕ(t) del sistema lineal homog´eneo de coeficientes constantes x0 = Ax satisfagan: (i) Si ϕ(0) ∈ IR3 se encuentra en el subespacio engendrado por u1 y u2 entonces existe l´ım ϕ(t) |t|→+∞

(ii) Si ϕ(0) = u3 entonces existe l´ım exp(−2t)ϕ(t).

|t|→+∞

(b) Calcula una soluci´on particular del sistema lineal x0 = Ax + (t2 , t, 1)T .

8) Sea ϕ la soluci´on de la ecuaci´on diferencial de orden n con coeficientes constantes x(n) + an−1 x(n−1) + . . . + a0 x = 0, que verifica las condiciones iniciales x(0) = x0 (0) = . . . = x(n−2) (0) = 0,

x(n−1) (0) = 1.

Demostrar que ϕ, ϕ0 , . . . , ϕ(n−1) es un sistema fundamental de soluciones de dicha ecuaci´on. ¿ Puede deducirse de lo anterior que toda ecuaci´on de orden n con coeficientes constantes tiene una matriz fundamental sim´etrica? 20

9) Resuelve el sistema x0 (t) = Ax(t) + b(t) siendo −1 0  0   1        + t b(t) = e3t   1   −1  0 0

1 −2 −2 −1 0 3 0 −1    , A= 1 1 4 1  1 1 1 4 











10) Resuelve el sistema x0 (t) = Ax(t) + b(t) siendo −1 −1 0 0  1 −3 0 0    A= ,  1 0 −2 0  1 0 0 −2 

0



  0   b(t) = e−2t   t

1

11) Resuelve el sistema x0 (t) = Ax(t) + b(t) siendo 0 0 2 4  −1 −2 0 −2    A= ,  1 0 −2 2  −1 0 −1 −4 

2.2.

2 1  2   1      b(t) = e−2t   + t   0   −1  −1 −1











Sistemas y ecuaciones lineales con coeficientes variables

1) (a) Resolver la ecuaci´on diferencial t(1 − t2 )y 0 (t) + (2t2 − 1)y(t) = t3 , analizando separadamente los casos |t| < 1 y |t| > 1. (b) Discutir la existencia y unicidad de soluci´on del problema de valor inicial de la ecuaci´on anterior junto a la condici´on inicial y(t0 ) = y0 , seg´ un los valores de t0 , y0 . ¿ Qu´e condiciones deben imponerse sobre t0 , y0 para que el correspondiente PVI admita soluci´on global y ∈ C 1 (IR). 21

2) Sea el sistema lineal y0 = A(t)y donde A(t) es continua en un intervalo ¯ T ). Probar que si una matriz J de IR y verifica A∗ (t) = −A(t), (A∗ = A fundamental es unitaria para un punto de J lo es para todo punto de J.

3) Determinar la soluci´on general del sistema (

x0 = (3t − 1)x − (1 − t)y + t exp(t2 ) y 0 = −(t + 2)x + (t − 2)y − exp(t2 )

sabiendo que el sistema homog´eneo tiene una soluci´on de la forma (x(t), y(t)) = (φ(t), −φ(t)).

4) Sea la ecuaci´on lineal homog´enea de segundo orden con coeficientes variables L(x) = a0 (t) x00 + a1 (t) x0 + a2 (t) x = 0, (1) donde a0 (t) 6= 0, t ∈ J, ai (t) ∈ C(J), J intervalo de IR y supongamos que ϕ(t) es una soluci´on de (1) tal que ϕ(t) 6= 0 en J. Verificar que el cambio x −→ y dado por x = yϕ(t), permite reducir la resoluci´on de la ecuaci´on (1) a otra de primer orden mas una cuadratura. Calcular una segunda soluci´on de (1) linealmente independiente de ϕ(t).

5) Sabiendo que la ecuaci´on (t2 − 1)x00 − 2tx0 + 2x = 0 tiene la soluci´on x(t) = t2 + 1. Hallar su soluci´on general.

6) Calcular la soluci´on general de (sen2 t) y 00 − 2 sen t cos t y 0 + (1 + cos2 t) y = 0, sabiendo que la raz´on de dos soluciones independientes es t. 22

7) Calcular la soluci´on general de t2 y 00 − t(t + 2) y 0 + (t + 2) y = 0, sabiendo que tiene dos soluciones particulares cuyo cociente es et .

8) Dada la ecuaci´on de segundo orden y 00 − t−1 y 0 + f (t)y = 0. Hallar f de tal manera que existan dos soluciones tales que una sea el cuadrado de la otra.

9) Calcular la soluci´on general de la ecuaci´on t2 x00 − 2x = t3 et .

2.3.

(1)

Sistemas lineales con coeficientes peri´ odicos (Teor´ıa de Floquet)

1) Probar que si λ es un multiplicador asociado a un sistema lineal con coeficientes peri´odicos de periodo τ , existe un exponente caracter´ıstico µ tal que exp(τ µ) = λ y rec´ıprocamente.

2) Probar que si λ es un multiplicador real del sistema τ -peri´odico y0 = A(t)y existe al menos una soluci´on ϕ(t) tal que ϕ(t + τ ) = λϕ(t).

3) Sea Y(t) matriz fundamental unidad de y0 = A(t)y donde A(t) es τ −peri´odica. Probar que existen n − r soluciones peri´odicas linealmente independientes si y solo si rang (Y(τ ) − I) = r. 23

4) Dado el sistema lineal x0 =



3 sen2 t − 1 3 sen t cos t + 1 x 3 sen t cos t − 1 3 cos2 t − 1 

(1)

i) Sin integrar, probar que existe al menos una soluci´on no acotada para t → +∞. ii) Sabiendo que (1) tiene la soluci´on particular x(t) = e2t (sen t, cos t)T resolver expl´ıcitamente el sistema.

5) Dado el sistema lineal 

x0 y0





=

−1 − cos t 0 cos t −1



x y



escribir la soluci´on general en la forma de Floquet. ¿Cuales son los multiplicadores y los exponentes caracter´ısticos ?.

6) Se considera el sistema lineal con coeficientes peri´odicos 



1 1 0   0 x = (1 + cos t)  0 2 1  x 0 0 3

(1)

i) Calcular los multiplicadores asociados al sistema (1). ii) Determinar las matrices Ω(t) y Q de la descomposici´on de Floquet Φ(t) = Ω(t) exp(tQ), donde Φ(t) es matriz fundamental de (1), Q es constante y Ω(t) es 2π−peri´odica. iii) Estudiar la existencia de soluciones peri´odicas.

24

7) Sea ϕ(t) una funci´on real continua y ω-peri´odica. Probar que Z t

Φ(t) =

ϕ(s)ds

0

se puede expresar en la forma Φ(t) = Ψ(t) + αt, donde Ψ(t) es ω-peri´odica y α es constante. Aplicar el apartado anterior para dar una matriz fundamental del sistema lineal x0 = ϕ(t)Ax (1) donde A es una matriz constante y ϕ(t) es continua y ω-peri´odica. Expresar dicha matriz fundamental en la forma de Floquet. ¿ Calcular los exponentes caracter´ısticos?

8) Sea x0 = f (x) sistema no lineal aut´onomo que tiene la soluci´on particular x = ϕ(t) ∈ C 2 (J) con J intervalo de IR . Probar que ϕ0 (t) verifica la ecuaci´on variacional respecto a la soluci´on ϕ(t). Suponiendo que ϕ(t) es peri´odica de periodo τ . Probar que la ecuaci´on variacional tiene al menos un multiplicador unidad.

9) Sea la ecuaci´on x00 + (x2 + x02 − 1)x0 + x = 0.

(1)

Sabiendo que tiene la soluci´on peri´odica x = sen t escribir el sistema variacional correspondiente a esta soluci´on peri´odica y calcular sus multiplicadores.

10) Hallar la soluci´on general del sistema 0

x =



sen t sen 2t x, 0 cos t 

y con la correspondiente matriz fundamental X(t), obtener una descomposici´on de la forma X(t) = Ω(t) exp(tQ) con Q constante y Ω peri´odica. 25

11) Las mismas cuestiones que en el ejercicio anterior para las sistemas de ecuaciones   −1 0 0 x = x (1) sen t −1 0

x =



−1 + cos t 0 x cos t −1 

(2)

12) Consideremos la ecuaci´on de segundo orden x00 + a1 (t)x0 + a2 (t)x = 0

(1)

donde a1 (t) y a2 (t) son continuas en R y peri´odicas de periodo ω. Sean ϕ1 (t), ϕ2 (t) soluciones de (1) tales que ϕ01 (0) = 0,

ϕ1 (0) = 1,

ϕ02 (0) = 1

ϕ2 (0) = 0,

Escribir la ecuaci´on de segundo orden (1) como sistema de primer orden y probar que los multiplicadores son las ra´ıces de λ2 − αλ + β = 0 donde α = ϕ1 (ω) + ϕ02 (ω),



β = exp −

Z 0

ω



a1 (t)dt

Se considera ahora a1 = 0. Probar que si |α| < 2 los multiplicadores son complejos conjugados de modulo 1 y todas las soluciones est´an uniformemente acotadas en R. Con las mismas hip´otesis de 2). Probar que si |α| > 2 ninguna soluci´on de la ecuaci´on puede estar uniformemente acotada en toda la recta real.

13) Sea el sistema peri´odico bidimensional 0

y =



sen2 t sen t cos t + 1 y sen t cos t − 1 cos2 t 

(1)

Sabiendo que y(t) = (cos t, − sen t)T es soluci´on de (1), calcular una segunda soluci´on independiente. 26

Escribir la matriz fundamental Y(t) obtenida con las dos soluciones anteriores en la forma de Floquet. Verificar que la matriz C tal que Y(π) = Y(0)C, no se puede poner en la forma C = exp(π Q),

con Q real, pero en cambio C2 s´ı puede escribirse en la forma C2 = exp(2π Q),

con Q real.

14) Sea el sistema lineal x0 = A(t)x + b(t),

(1)

donde A ∈ C(IR, IRm×m ), b ∈ C(IR, IRm ) y τ −peri´odicas es decir A(t) = A(t + τ ),

b(t) = b(t + τ ),

∀t ∈ IR

Sea Φ(t) matriz fundamental de (1) en t = 0. Probar que (1) tiene una soluci´on τ −peri´odica si y solo si la aplicaci´on T : IRm → IRm T (y) = Φ(τ )y + η (2) donde η=

Z

τ

Φ(τ )Φ−1 (s)b(s)ds

0

tiene un punto fijo. Como consecuencia del apartado anterior, v´ease que si Φ(τ ) no tiene un valor propio unidad el sistema (1) tiene una soluci´on τ −peri´odica. Sea el caso particular A(t) = A constante y supongamos que dicha matriz no tiene autovalores imaginarios puros. Entonces x0 = Ax + b(t) tiene una u ´nica soluci´on peri´odica. Sea ξ(t) = x(t; 0, y) soluci´on de (1). V´ease que para k = 1,2. . . . ξ((k + 1)τ ) = Φ(τ )ξ(kτ ) + η

(3)

y por tanto ξ((k + 1)τ ) = Φk+1 (τ )y +

k X j=0

27

Φj (τ )η

(4)

V´ease que si existe z ∈ IRm tal que zT Φ(τ ) = zT ,

zT η 6= 0

la soluci´on ξ(t) es no acotada. Como consecuencia de este resultado probar que (1) tiene una soluci´on peri´odica si y solo si tiene una soluci´on uniformemente acotada.

2.4.

Sistemas lineales matriciales

1) Probar que si B conmuta con A, B conmuta con exp(tA). exp(A + B) = exp(A) exp(B) = exp(B) exp(A). (A + B)n =

  n 0

An +

  n 1

An−1 B +

  n 2

An−2 B 2 + . . . +

  n n

Bn.

2) Probar que la soluci´on de y 0 (t) = Ay(t),

y(t0 ) = y0 ∈ IRm

es y(t) = exp[(t − t0 )A] y0 .

3) Sean a, b y c constantes reales no simult´aneamente nulas. i) Prueba que el polinomio m´ınimo de 



0 c −b  A =  −c 0 a   b −a 0 es λ3 + µ2 λ = 0 donde µ2 = a2 + b2 + c2 .

28

ii) Demuestra que exp[tA] = I +

sen(tµ) (1 − cos(tµ)) 2 A+ A. µ µ2

4) Dada la matriz 



4 −1 −2   3  A =  −4 3 7 −3 −4 Calcula exp(A) y A100 .

5) (C´alculo de exp(tA) por el m´etodo de Putzer) Sea P (z) = (z − λ1 )(z − λ2 ) . . . (z − λq ) el polinomio m´ınimo de una matriz A ∈ IRm×m donde los valores propios λi est´an repetidos tantas veces como indica su multiplicidad en el polinomio m´ınimo y sean P0 (z) = 1, P1 (z) = (z − λ1 ), P2 (z) = (z − λ1 )(z − λ2 ), . . . i) Prueba que P0 (A), P1 (A), . . . Pq−1 (A) son linealmente independientes en el conjunto de matrices reales m × m. ii) Teniendo en cuenta que P (A) = Pq (A) = 0 toda potencia Ak con k ≥ 0 puede escribirse como combinaci´on lineal de P0 (A), . . . , Pq−1 (A) iii) Por tanto, sustituyendo Ak ,k ≥ 0 en funci´on de P0 (A), P1 (A), . . . Pq−1 (A) en el desarrollo de la exponencial exp(tA), se llega a una expresi´on de la forma exp[tA] = r1 (t)P0 (A) + r2 (t)P1 (A) + . . . + rq (t)Pq−1 (A), con ciertas funciones reales ri (t). iv) Teniendo en cuenta que A Pj (A) = Pj+1 (A) + λj+1 Pj (A),

j = 0, . . . , q − 1

Demuestra que dichas funciones verifican    r10 λ1 0 . . . 0 r1  0      r2  1 λ2 . . . 0   r2    . =    ..  , ... ...  .     .   .  . . . . . . 1 λq rq rq0 



29





  r1 (0) 1     r2 (0)  0   . =  ..   .   .  .  0 rq (0)

v) Aplicaremos el m´etodo de Putzer al c´alculo de exp(tA) donde A est´a dada por   −7 21 18   A =  −15 29 18  5 −7 2 Primero calculamos el polinomio caracter´ıstico pcar (λ) = det(λI − A) = (λ − 8)3 El polinomio m´ınimo es divisor del polinomio caracter´ıstico, por tanto ser´a de la forma P (z) = (z − 8)q con q ≤ 3. Para decidir el valor de q miraremos la dimensi´on del ker (A − 8I). Puesto que 



−15 21 18  A − 8I =  −15 21 18   5 −7 −6 vemos que solo hay una fila independiente luego dim ker (A − 8I) = 2, lo que implica que hay dos vectores propios independientes y por tanto dos cajas de Jordan de tama˜ no 2 y 1. En consecuencia el polinomio m´ınimo es 2 P (z) = (z − 8) . Con las notaciones anteriores P1 (z) = z − 8

P0 (z) = 1, Las funciones r1 (t) y r2 (t) verifican r10 = 8r1 ,

r1 (0) = 1

=⇒ r1 (t) = e8t .

r20 = r1 + 8r2 = e8t + 8r2 ,

r2 (0) = 0

La soluci´on general de la ecuaci´on anterior r2 (t) = r2h (t) + r2p (t) = Ce8t + te8t por la condici´on inicial C = 0, luego r2 (t) = te8t En definitiva 



exp[tA] = r1 (t)P0 (A) + r2 (t)P1 (A) = e8t I + te8t (A − 8I)

30

2.5.

M´ etodos operacionales en ecuaciones lineales

1) Sea L(z) = z m + am−1 z m−1 + . . . a1 z + a0 tal que a0 6= 0. Prueba (por inducci´on en el grado de L(z)) que para todo polinomio pn (t) de grado n, la ecuaci´on lineal de coeficientes constantes L(D) x(t) = pn (t),

(D = d/dt)

posee una u ´nica soluci´on particular xp (t) polin´omica del mismo grado n. 2) Sea L(z) = z m + am−1 z m−1 + . . . + aq z q tal que aq 6= 0. Prueba que para todo polinomio pn (t) de grado n, la ecuaci´on lineal de coeficientes constantes L(D) x(t) = pn (t), posee una u ´nica soluci´on particular xp (t) de la forma xp (t) = tq πn (t) donde πn es un polinomio de grado n. 3) Dada la ecuaci´on lineal no homog´enea L(D) x ≡ (Dm + am−1 Dm−1 + . . . + a0 I) x = f (t),

(2.1)

comprueba que si se aplica el m´etodo de variaci´on de las constantes al sistema lineal equivalente a (2.1) se obtiene una soluci´on particular de la forma xp (t) = u1 (t)ϕ1 (t) + . . . + um (t)ϕm (t), donde hϕ1 (t), . . . , ϕm (t)i es una base de soluciones de L(D)x = 0 y las derivadas u0j de las uj son soluciones del sistema lineal      

ϕ1 ϕ01 .. .

ϕ2 ϕ02 .. .

ϕm−1 1

ϕm−1 2

... ... .. .

ϕm ϕm .. .



u01 u02 .. .



0    ..    .   =      0    f (t) u0m . . . ϕm−1 m 



Aplica el resultado anterior para calcular la soluci´on general de x00 + x = esen t (1 + cos2 t − sen t). 4) Calcula la soluci´on general de las siguientes ecuaciones 1. x00 + x0 − 2x = e2t sen(2t) 2. x000 + 2x00 − x = e−t cos(2t) 3. x(4) + 3x00 + 4x = −4et (3 cos(2t) + 5 sen(2t)) 4. x(4) + 5x00 + 4x = 2et (11 + 14t + 5t2 ) 5. x(4) + 2x00 + x = cos t. 31