PRAWA ZACHOWANIA Prawa zachowania – najbardziej fundamentalne prawa: o ”zewnętrzne”: prawo zachowania pędu, prawo zachowania momentu pędu, prawo zachowania energii; o ”wewnętrzne”: prawa zachowania np. całkowitej liczby nukleonów w reakcji jądrowej, zachowanie liczby leptonowej, barionowej

Zachowanie pędu Pojęciem nierozłącznie związanym z pojęciem siły jest pojęcie masy bezwładnej (inercjalnej). Masa bezwładna jest miarą oporu jaki stawia przyśpieszane ciało. Pęd cząstki: r r

p = mv

Równanie to można zapisać w postaci:

r r r r p = i mv x + j mv y + kmv z

z vA

Całkowity pęd izolowanego układu cząstek pozostaje stały.

mA rB

rA O

r r mAv A + mBv B = const

mB

Dla układu złożonego z wielu cząstek mamy: vB

y

x

Zasada zachowania pędu dla dwóchrizolowanych cząstek r

m Av A + mBv B = const

N r r r r mAv A + mBv B + L + mNv N = ∑ mi v i = const i =1

http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/a_fizyka/04_pracaienergia/sld021.htm

http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/a_fizyka/04_pracaienergia/sld022.htm

http://oen.dydaktyka.agh.edu.pl/dydaktyka/fizyka/a_fizyka/04_pracaienergia/sld023.htm

Zderzenie sprężyste niecentralne Całkowity pęd

r r r r p1pocz + p2 pocz = p1koń + p2koń

i energia E1pocz + E2 pocz = E1koń + E2koń

muszą być zachowane. Dla składowych pędu mamy równania m1v1pocz = m1v1koń cos θ1 + m2v 2koń cos θ 2 0 = −m1v 1koń sin θ1 + m2v 2koń sin θ 2 zaś dla energii 1 1 1 2 2 m1v1pocz = m1v1koń + m2v 22koń 2 2 2

Zachowanie momentu pędu r Moment pędu (kręt) cząstki o pędzie p i znajdującej się w punkcie określonym wektorem r

wodzącym r jest zdefiniowanym wzorem:

r r r r r L = r × mv = r × p

Wektor momentu pędu możemy wyrazić za pomocą wektorów jednostkowych i składowych pędu, jako

r L=

r i x

r j y

r k z

px

py

pz

r r r = i (ypz − zpy ) + j (zpx − xpz ) + k (xpy − ypx )

Siła jest przyczyną ruchu postępowego.

r Moment siły (inaczej moment obrotowy), zwykle oznaczany symbolem T , jest przyczyną

ruchu obrotowego.

(a)

(b) z

z

p

F

m

m

r k i x

L

j

r y T

O

x

r (a) Cząstka o masie m i pędzie p w kierunku –y będzie miała moment pędu

y

r r r L = r × p.

r (b) Cząstka o masie m, na którą działa siła r Fr (wr płaszczyźnie yz) ma moment obrotowy względem początku układu równy T = r × F

Moment siły r r r T = r×F

Różniczkując moment pędu względem czasu

r r r r d r dL d r = × mv + r × (mv) dt dt dt r r r r r r Ponieważ dr dt = v, (dr dt ) × mv = 0 oraz F = (d dt )(m v ), więc r dL r r r = r ×F =T dt

r Pochodna momentu pędu względem czasu t jest równa momentowi siły T działającemu na tę cząstkę.

Ruch planet o o

Siły przyciągania grawitacyjnego skierowane promienia toru ciała r r wzdłuż r r r r i F są zgodnie skierowane, więc T = r × F = 0 i z wyrażenia (2.10) otrzymujemy,

r że moment pędu L = const

Dla układu wielu ciał i sił

r n r d⎛n r⎞ T = ∑Ti = ⎜ ∑ Li ⎟ dt ⎝ i =1 ⎠ i =1 Wypadkowy moment siły układu izolowanego jest zerowy (momenty sił pochodzące od sił wewnętrznych działających pomiędzy dowolną parą cząstek, znoszą się wzajemnie)

d dt i dlatego

( )

r ∑L = 0

r ∑ L = const

Jest to prawo zachowania momentu pędu: jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ jest równy zeru, to całkowity moment pędu tego układu jest stały.

Obracający się dysk Rozważmy ciało stałe obracające się z prędkością kątową ω wokół przytwierdzonej osi przechodzącej przez środek masy ciała. Jeżeli element masy Δ m j położony jest w odległości rj od osi obrotu, to jego prędkość vj = rjω, a moment pędu ciała jest sumą

(

)

L = ∑ r j Δm j v j = ∑ r j Δm j (r j ω ) = ∑ r j2 Δm j ω

L

Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności

I = ∑ r j2 Δm j

vj

Δm j

Obracający się dysk

W przypadku ciągłego rozkładu masy

I = ∫ r 2 dm Zatem:

L = Iω

Ponieważ T = dL/dt, możemy napisać:

dω T =I = Iα dt gdzie α oznacza przyśpieszenie kątowe. W układzie środka masy energia kinetyczna

K= Tak więc

czyli

1 1 1 2 2 ( ) Δ m v = Δ m r ω = ∑ ∑ j j j j 2 2 2 1 2 K = Iω 2

1 L2 1 (Iω ) = K= 2 I 2 I 2

(∑ Δm r )ω 2 j j

2

Zachowanie energii a)

b)

z

z vA

A

O

dr α

r

C

F

A B

dr

r

Fc

α

B

vB O

y

x

y x

D

r r (a) Praca wykonana przez siłę F przy przesunięciu cząstki na odległość dr jest B r r r r r równa dW = F ⋅ dr . (b) W przypadku siły zachowawczej Fc praca W AB = ∫ Fc ⋅ dr jest A

niezależna od toru łączącego punkty A i B

Różniczkowa praca siły F jest zdefiniowana jako:

r r dW = F ⋅ dr

Całkowita praca siły F wzdłuż toru AB

r r B = ∫ F ⋅ dr = ∫ Fcosα dr B

W AB Jeżeli

r F

A

A

jest wypadkową wszystkich sił działających na cząstkę, to

r r B dvr r B r r = ∫ F ⋅ dr = ∫ m dr = ∫ mv dv dt A A A B

W AB

r r ponieważ dr / dt = v . Po scałkowaniu W AB =

vB

∫ mv

vA

dv =

1 1 mv B2 − mv A2 = K B − K A 2 2

Wielkość K = (1 2)mv 2 nazywamy energią kinetyczną. Zasada równoważności pracy i energii mówi, że wypadkowa praca wykonana przez wszystkie siły działające na cząstkę równa jest odpowiedniej zmianie energii kinetycznej cząstki.

r O sile Fc mówimy że jest siłą zachowawczą, jeżeli r r r W AB = ∫ Fc ⋅ dr = ∫ Fc ⋅ dr = const ACB

ADB

r Jeżeli praca wykonana przez siłę Fc przemieszczająca cząstkę z punktu A do B jest r niezależna od toru łączącego punkty A i B, to siła Fc jest siłą zachowawczą. Przykład A

y

h1-h2

m h1 Fg = m g

r j O

B

i

h2 x

Praca wykonana przez zachowawczą siłę grawitacyjną jest niezależna od drogi między punktami A i B.

r r r Ponieważ Fg = − j mg , więc praca wykonana przez siłę grawitacyjną Fg jest równa W AB =

h2

h2 r r r ∫ (− j mg ) ⋅ (i dx + j dy ) = ∫ − mgdy = mg (h1 − h2 ) = mgh

h1

h1

Ponieważ praca wykonana przez siłę grawitacyjną jest niezależna od tego po jakim torze porusza się cząstka między punktami A i B, więc jest to siła zachowawcza. Energię potencjalną definiujemy jako pracę wykonaną przez siłę zachowawczą

r r = ∫ Fc ⋅ dr = U A − UB B

U AB

A

Skalarna funkcja r położenia U(x,y,z) jest funkcją energii potencjalnej związaną z siłą zachowawczą Fc . Wielkości UA i UB są wartościami funkcji U(x,y,z) wyznaczonymi w punktach końcowych toru. Zwykle B wybiera się w nieskończoności i przyjmuje, że UB = 0. Wtedy energia potencjalna w dowolnym punkcie A wynosi

U A = U AB

A r r r Ar r r = ∫ Fc ⋅dr = − ∫ Fc ⋅dr = − ∫ Fc ⋅ dr B

A

B

∞

Energia potencjalna w dowolnym punkcie jest zdefiniowana jako praca wykonana przez równą, lecz przeciwnie skierowaną siłę, potrzebną do przemieszczenia cząstki z nieskończoności do danego punktu położenia.

Włączając zarówno siły zachowawcze jak i niezachowawcze

W AB (zachowawcze ) + W AB (niezachowawcze ) = K B − K A Ponieważ W AB ( zachowawcze ) = U A − UB , więc:

W AB (niezachowawcze) = (K B − K A ) − (U A − UB ) lub

W AB (niezachowawcze) = (K B + UB ) − (K A + U A )

Jeżeli wszystkie siły są zachowawcze

K A + U A = K B + UB = const Jest to prawo zachowania energii mechanicznej: jeżeli wszystkie siły działające na cząstkę są zachowawcze, to całkowita energia cząstki w każdym jej położeniu jest wielkością stałą zwaną całkowitą energią mechaniczną. Jeżeli uwzględnimy wszystkie siły, to praca wykonana przez siły niezachowawcze pojawi się zawsze w postaci jakiejś formy energii. Jeżeli np. siła niezachowawcza jest siłą tarcia, to energia powstająca w wyniku jej działania ma postać energii wewnętrznej. Zasada zachowania energii: energia układu izolowanego może przekształcać się z jednej postaci w inną, jednak energia całkowita w jej różnorodnych formach nie może być ani stworzona z niczego, ani też unicestwiona.