Praktikum Nichtlineare FEM Einfuhrung ¨
FEM II - Einfuhrung ¨
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Ziele des Praktikums ¨ • Uberblick uber die Berechnung nichtlinearer Strukturen ¨ • Umgang mit der kommerziellen FEM-Software ANSYS ¨ • Anwendung der in der Vorlesung prasentierten Materialmodelle ¨ • Nutzung der Losungsverfahren fur ¨ nichtlineare Probleme ¨ • Behandlung ausgewahlter einfacher Beispiele
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Praktikumsablauf 1 Einfuhrung ¨ 2 Nichtlinear-elastisches Materialverhalten ¨ 3 Zeitunabhangiges elastisch-plastisches Materialverhalten 4 Kriechen, Spannungsrelaxation 5 Große Deformationen 6 Knickung / Durchschlagproblem 7 Kontaktprobleme 8 Komplexes Anwendungsbeispiel
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Beispiele fur ¨ nichtlineare Probleme (1)
Schenkelhalsprothese (Quellen: ¨ Diplomarbeit A. Batz Projektarbeit S. Rasche)
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Beispiele fur ¨ nichtlineare Probleme (2)
Bohrungsdrucken ¨ (Quelle: . Vortrag - Meinel/Ansorge: Conference on Mechanical Design and Production, MDP 8, Cairo, 4.-6. Januar 2004 FEM II - Einfuhrung ¨
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Beispiele fur ¨ nichtlineare Probleme (3)
.
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¨ Grundannahmen fur ¨ Linearitat • infinitesimal kleine Verschiebungen und Verschiebungsgradienten • infinitesimal kleine Verzerrungen → linearer Zusammenhang zw. Verzerrungen und Verschiebungsgradienten εij = 21 (ui,j + uj,i )
Momentankonfiguration t
F Ausgangskonfiguration
• linearer Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen σij = fij (εkl ) → lineare Funktion
t = to Bo K A A
• konstante Randbedingungen
A A
A A
X = RA
¨ ⇒ Feldgroßen haben sowohl in der Ausgangs- als auch in der Momentan¨ konfiguration annahernd die gleichen Werte FEM II - Einfuhrung ¨
B
Z 6
3
x=r
e3
A 6
A - e 1 e 2 Z 2
A
Z1
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¨ bei infinitesimalen Deformationen Lineare Elastizitat • lineare FEM-Grundgleichung: Ku = f - unabhangig ¨ von den Verschiebungen u
¨ → Losung eines linearen Gleichungssystems notwendig ¨ • Losung mittels direkter (z.B. G AUSSscher Algorithmus) oder iterativer Methoden (z.B. CG-Verfahren) • Superpositionsprinzip gilt
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Klassifizierung nichtlinearer Probleme
Geometrisch nichtlinear
Physikalisch nichtlinear
¨ Veranderliche Randbedingungen
PP PP
PP P
• Große Deformationen
skleronom
PP P
P q P
? ?
rheonom
⇓
⇓
• Kontaktprobleme • Durchschlagprobleme
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z.B.:
z.B.:
• elastisch nichtlinear
• viskoelastisch
• elastisch-plastisch
• viskoplastisch
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¨ Beispiele fur ¨ physikalische Nichtlinearitat elastisch-plastisches Material
nichtlinear elastisches Material
z.B.: Metalle
z.B.: Gummi, Kunststoffe
σ 6
σ 6
σF
εF
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-
-
ε
ε
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¨ Beispiele fur ¨ geometrische Nichtlinearitat Kontakt
Durchschlagproblem
2
obstacle net
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1 -1
-0.5
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0
0.5
1
1.5
2
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Verzerrungs- und Spannungsmaße bei großen Deformationen Verzerrungstensoren
Spannungstensoren
L AGRANGEscher Verzerrungstensor
2. P IOLA -K IRCHHOFFscher Spannungstensor
EIJ =
1 2
T (2) = T (2) (X, t)
(UI,J + UJ,I + UK,I UK,J )
A LMANSIscher Verzerrungstensor
eij =
1 2
1. P IOLA -K IRCHHOFFscher Spannungstensor T (1) = T (1) (x, X, t)
(ui,j + uj,i − uk,i uk,j )
C AUCHYscher Spannungstensor σ = σ(x, t)
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¨ Losung des nichtlinearen Randwertproblems • nichtlineare FEM-Gleichung: K(u) u = f - abhangig ¨ von den Verschiebungen u
⇒ iterative Vorgehensweise erforderlich ¨ • Auswahl numerischer Verfahren zur Losung des nichtlinearen Randwertproblems ➣ N EWTON -R APHSON-Verfahren ➣ modifiziertes N EWTON -R APHSON-Verfahren ➣ Sekantenverfahren ¨ ➣ Bogenlangenverfahren ¨ ¨ • Feldgroßen (Spannungen, Verzerrungen, Innere Variable) konnen nicht direkt ¨ berechnet werden → Losung des Anfangswertproblems in jedem Iterationsschritt des Randwertproblems notwendig (numerische Integration) FEM II - Einfuhrung ¨
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