Probabilidad

PRACTICA CON PROBLEMAS DE PROBABILIDAD Copyright © 2010, 2007, 2004 Pearson Education, Inc. All Rights Reserved.

4.1 - 1

EJEMPLO 1

¿Cuál regla aplica?

En el juego ¿De Acuerdo o No?, le presentan a un concursante 26 maletas que contienen cantidades que van desde $ 0.01 a $ 1,000,000. Las cantidades se distribuyen en las maletas al azar antes de comenzar. El concursante deberá escoger una maleta inicial que se separa a un lado en lo que el juego progresa. ¿Cuál es la probabilidad de que el concursante elija una maleta con un valor de al menos 100,000 dólares si los premios se desglosan como sigue:

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EJEMPLO 1 (cont.) ¿Cuál regla aplica? Solución: • El evento E: “Elegir una maleta que contiene al menos $100,000.” no es un evento compuesto. • Cada premio fue asignado al azar a una de las 26 maletas, por lo que los resultados son igualmente probables. • Calculamos P(E) usando el enfoque clásico. N E  7 P E     0.269 N S  26

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EJEMPLO 1 (cont.) ¿Cuál regla aplica? N E  7 P E     0.269 N S  26

Interpretación: • La posibilidad de que el concursante elija una maleta valorada en al menos $100,000 es el 26.9%. • En 100 juegos diferentes, esperaríamos que en cerca de 27 juegos un concursante escogiera una maleta valorada en al menos $ 100,000.

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EJEMPLO 2 ¿Cuál regla aplica? Supongamos que usted lanza una moneda y luego tira un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cruz y luego tirar un 5? Solución: Este es un evento compuesto ( es un “y, and,∩”). • E = " obtener una cruz " y F = " tirar un 5" • E y F son independientes por que lo que salga en el dado no se afecta por lo que salió en la moneda. • Para determinar P(E y F) usaremos la fórmula 𝑷 𝑬 ∩ 𝑭 = 𝑷 𝑬 ∙ 𝑷(𝑭) Interpretación: De cada 100 • P(E) = 1/2 y P(F) = 1/6 veces que se repite el experimento, se espera que en 𝟏 𝟏 • 𝑷 𝑬∩𝑭 = ∙ cerca de 8 ocasiones obtener • 𝑷 𝑬∩𝑭 =

𝟐 𝟔 𝟏 ≈ 𝟏𝟐

𝟎. 𝟎𝟖𝟑𝟑

una cruz y tirar un 5.

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EJEMPLO 3 ¿Cuál regla aplica? Según la Oficina del Censo de Estados Unidos, el 19.1% de los hogares estadounidenses están en el Noreste. Además, el 4.4% de los hogares estadounidenses ganan $75,000 al año o más, y se encuentra en el noreste. Determine la probabilidad de que un hogar estadounidense seleccionado aleatoriamente gana más de $ 75,000 por año, teniendo en cuenta que la casa se encuentra en el noreste.

Solución: Debemos buscar una probabilidad condicional con los eventos E = " un hogar que está en el Noreste" y F = " un hogar donde se gana más de $75,000" Nos piden la probabilidad de elegir al azar un hogar que gana más de $75,000 dado que ese hogar está en el noreste. Esto es, P(F|E). Para determinar P(F|E) usaremos la fórmula 𝑷(𝑬𝒚𝑭) 𝑷 𝑭|𝑬 = Interpretación: De cada 100 veces que se 𝑷(𝑬) elige al azar un hogar que se encuentra en el 𝟎. 𝟎𝟒𝟒 noreste, se espera que en cerca de 23 𝑷 𝑭|𝑬 = 𝟎. 𝟏𝟗𝟏 ocasiones los ingresos sean mayor que 5-6 𝑷 𝑭|𝑬 = 𝟎. 𝟐𝟑𝟎𝟒 $75,000.

EJEMPLO 4 ¿Cuál regla aplica? Un comité está formado por 4 mujeres y 3 hombres. El comité seleccionará al azar a 2 personas para atender una conferencia en Hawái. Encuentre la probabilidad de que las dos personas elegidas sean mujeres. Solución: • Este es un evento compuesto ( es un “y”). • E = " seleccionar una primera mujer" y F = " seleccionar una segunda mujer " • E y F son dependientes por que elegir una primera mujer afecta la probabilidad de elegir la segunda. • Debemos hallar P(E y F) con la Regla General de Multiplicación 5-7

EJEMPLO 4 ¿Cuál regla aplica? Un comité …. continuacion Hallar P(E y F) con la Regla General de Multiplicación.

• P(E) = 4/7 y P(F|E) = 3/6 𝟒 𝟑 • 𝑷 𝑬𝒚𝑭 = ∙ • 𝑷 𝑬𝒚𝑭 =

𝟕 𝟔 𝟏𝟐 ≈ 𝟒𝟐

𝟎. 𝟐𝟖𝟓𝟕

Interpretación: De cada 100 veces que se repite el experimento, se espera que en cerca de 29 ocasiones se elijan dos mujeres para hacer el viaje. 5-8

EJEMPLO 5 ¿Cuál regla aplica? De acuerdo con una encuesta de enero de 2008, el 14% de los adultos estadounidenses tienen uno o más tatuajes, el 50% han perforado sus orejas, y el 65% de los que tienen uno o más tatuajes también han perforado sus orejas. ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto estadounidense seleccionado aleatoriamente tenga uno o más tatuajes y las orejas agujeradas? Solución: • Este es un evento compuesto ( es un “y”). • E = "uno o más tatuajes" y F = "orejas perforadas,“ • Debemos determinar si F y E son independientes o no. • Como P (F) = 0.50 y P (F | E) = 0.65, P (F) ≠ P (F | E), o sea la probabilidad de F se afectó con la ocurrencia de E. Por lo tanto, los dos eventos no son independientes. • Debemos hallar P(E y F) con la Regla General de Multiplicación

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EJEMPLO 5 (cont.) Hallar P(E y F) con la Regla General de Multiplicación.

Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar al azar un adulto estadounidense que tiene uno o más tatuajes y las orejas agujeradas es de 9.1%. © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

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EJEMPLO 6 ¿Cuál regla aplica? Supongamos que se establece un sistema de defensa por satélite en el que 4 satélites que actúan de forma independiente detectar un misil balístico entrante en 9 de 10 ocasiones. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los cuatro satélites detecta un misil balístico entrante? Solución: Este es un evento compuesto: uno o más (un ó). • E = "1 detecta“ ó “2 detectan“ ó “3 detectan“ ó “4 detectan” • En vez de calcular todas la formas en que se puede dar este evento, podemos usar complementos. • Si A = satélite detecta, entonces 𝐴𝑐 = “el satélite no detecta” • 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 – P(A) • 𝑃(𝐴𝑐 ) = 1 – 0.9 = 0.1 • Si E = al meno un satélite detecta entonces E c = ningún satélite detecta • 𝑷 𝐸 𝑐 = 𝑷 𝐴𝑐 ∙ 𝑷(𝐴𝑐 ) ∙ 𝑷(𝐴𝑐 ) ∙ 𝑷(𝐴𝑐 ) • 𝑷 𝐸 𝑐 = 𝟎. 𝟏 ∙ 𝟎. 𝟏 ∙ 𝟎. 𝟏 ∙ 𝟎. 𝟏 • 𝑷 𝐸 𝑐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏 • 𝑷 𝐸 =1 – 0.0001 = 0.9999 5-11

EJEMPLO 7 ¿Cuál regla aplica? ¿Cuál es la probabilidad de que el apuntador de la ruleta se detenga sobre un sector verde o amarillo? Solución: Este es un evento compuesto: (un ó). • E = “escoger el color verde” • F = “escoger el color amarillo” • Note que E y F son mutuamente excluyentes por que no se pueden dar a la vez. • Usaremos la fórmula 𝑷 𝑬∪𝑭 =𝑷 𝑬 +𝑷 𝑭 𝟑 𝟏 𝑷 𝑬∪𝑭 = + 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟒 𝑷 𝑬∪𝑭 = ≈ 𝟎. 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟐 Interpretación: De cada 100 veces que se gire la ruleta, se espera que en cerca de 33 ocasiones la ruleta elija el color verde o el color amarillo.

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EJEMPLO 8 ¿Cuál regla aplica? ¿En la víspera de Año Nuevo, la probabilidad de que una persona tenga un accidente de auto es 0.09. La probabilidad de que una persona que conduzca ese día en estado de embriaguez es de 0.32 y la probabilidad de que una persona que tiene un accidente de auto esté en estado de embriaguez es 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona conduzca en estado de embriaguez o que tenga un accidente de auto? Solución: Este es un evento compuesto: (un ó). • E = “Persona conduce un auto estando ebrio” • F = “Persona se accidenta.” • Note que E y F NO son mutuamente excluyentes por que P(E y F) (que se da en la descripción del problema) NO es 0. • Usaremos la fórmula 𝑷 𝑬 ∪ 𝑭 = 𝑷 𝑬 + 𝑷 𝑭 − 𝐏(𝐄 ∩ 𝑭) 𝑷 𝑬 ∪ 𝑭 = 𝟎. 𝟑𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟗 − 𝟎. 𝟏𝟓 𝑷 𝑬 ∪ 𝑭 = 𝟎. 𝟐𝟔 5-13

EJEMPLO 9 ¿Cuál técnica de conteo usar? El 17 de febrero de 2008, el Daytona International Speedway fue sede de la 50 ª edición de la Daytona 500. Considerado, por muchos, el evento más esperado en la historia de las carreras, la carrera llevaba un bolso récord de casi $18.7 millones. Con 43 pilotos en la carrera, • en cuántas maneras diferentes pueden ocurrir los cuatro primeros lugares (primero, segundo, tercero y cuarto lugar)?

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EJEMPLO 9 ¿Cuál técnica de conteo usar? (cont.) • En este caso las posiciones representan premios, Por lo tanto, el orden importa. • Queremos hallar las formas diferentes de elegir un grupo de 4 pilotos de los 43. • Podemos usar la fórmula de permutación.

43! = 39!

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EJEMPLO Asignación de asientos ¿De cuántas maneras pueden sentarse tres hombres y tres mujeres alrededor de una mesa circular de seis asientos suponiendo que deben alternar asientos? (hombre-mujerhombre-mujer, etc.)

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EJEMPLO Asignación de asientos Solución: Forma 2: Usando la regla de multiplicación • Supongamos que comenzamos con sentar una mujer.

𝟑 _______

𝟑 _______

𝟐 _______ 𝟐 _______

3 opciones para una mujer en la primera posición

3 opciones para un hombre en la segunda posición

2 opciones para una mujer en la tercera posición

2 opciones para un hombre en la cuarta posición

𝟏 _______ _______

𝟏

1 opción para una mujer en la quinta posición

1 opción para un hombre en la sexta posición

𝟑 × 𝟑 × 𝟐 × 𝟐 × 𝟏 × 𝟏 = 𝟑𝟔 • Hay 36 formas de sentar los 6 hombres y mujeres. 5-17

EJEMPLO 9 ¿Cuál técnica de conteo usar? El consejo de la ciudad Hazelwood consta de 5 hombres y 4 mujeres. ¿Cuántos subcomités diferentes se pueden formar que contengan 3 hombres y 2 mujeres? • Para seleccionar a los hombres, debemos tener en cuenta el número de formas de elegir 3 hombres a la vez de un grupo de 5. • Para seleccionar a las mujeres, debemos tener en cuenta el número de formas de elegir 2 mujeres a la vez de un grupo de 3. N(subcomités)= N(formas de elegir 3 hombres) • N(formas de elegir 2 mujeres)

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EJEMPLO 9 ¿Cuál técnica de conteo usar? (cont.) Dado que el orden de selección no importa en ambos casos, utilizamos la fórmula de combinación. N formas de elegir 3 hombres =

N formas de elegir 2 mujeres =

6

• N(subcomités) = 10 • 6 = 60. • Hay 60 subcomités posibles que contienen 3 hombres y 2 mujeres. © 2010 Pearson Prentice Hall. All rights reserved

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