MiBM, rok I, S-I o , inż.

dr Krzysztof Żyjewski

17 lutego 2015

Pochodna funkcji jednej zmiennej Def:(pochodnej funkcji w punkcie) Jeśli funkcja f : D → R, D ⊂ R określona jest w pewnym otoczeniu punktu x0 ∈ D i istnieje (x0 ) 0 )−f (x) = lim f (xx−x to funkcję skończona granica ilorazu różniczkowego: f 0 (x0 ) = lim f (x0 +∆x)−f ∆x 0 x→x0

∆x→0

f (x) nazywamy różniczkowalną w punkcie x0 , a granicę f 0 (x0 ) pochodną funkcji f (x) w punkcie x0 . Def. (pochodnej jednostronnej) Pochodną prawostronną (lewostronną) funkcji f w punkcie x0 nazywamy granicę prawostronną (lewostronną) ilorazu różnicowego f (x) − f (x0 ) x − x0
i oznaczamy odpowiednio przez f+0 (x0 ), f−0 (x0 ) . Warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej: Funkcja f ma pochodną w punkcie x0 wtw, gdy f+0 (x0 ) = f+0 (x0 ). Pochodne funkcji elementarnych: Lp. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.

Wzór 1 (c)0 = 0 (xα )0 = αxα−1 √ 0 1 ( n x) = n √ n n−1 x 0

(sin x) = cos x (cos x)0 = − sin x (tg x)0 = cos12 x (ctg x)0 = − sin12 x (ax )0 = ax · ln a (ex )0 = ex (ln x)0 = x1 (loga x)0 = x ln1 a 1 (arcsin x)0 = √1−x 2 −1 0 (arccos x) = √1−x2 1 (arctg x)0 = 1+x 2 −1 (arcctg x)0 = 1+x 2

Wzór 2 (α )0 = αα−1 · 0  √ 0 n 0  = n√ n n−1  0

Uwagi c∈R α ∈ R \ {0, 1} n ∈ N \ {0, 1}; x > 0 0

(sin ) = (cos ) ·  (cos )0 = (− sin ) · 0 0 (tg )0 = cos2  0 (ctg )0 = − sin2  (a )0 = a · ln a · 0 (e )0 = e · 0 0 (ln )0 =  0 (loga )0 = ln a 0 (arcsin )0 = √1− 2 0 − 0 (arccos ) = √1−2 0 (arctg )0 = 1+ 2 −0 (arcctg )0 = 1+ 2

x 6= π2 + kπ, k ∈ N x 6= kπ, k ∈ N a>0 x>0 a > 0, a 6= 0; x > 0 |x| < 1 |x| < 1

Podstawowe wzory rachunku różniczkowego: Jeśli funkcje f, g : D → R, D ⊂ R są różniczkowalne w punkcie x0 ∈ D to funkcje f + g, f − g, f · g, fg (o ile g(x0 ) 6= 0) są różniczkowalne w x0 ∈ D oraz zachodzą wzory: 1) (f ± g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g 0 (x0 ), 2) (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g(x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 ),
0 0 (x0 )g 0 (x0 ) 3) fg (x0 ) = f (x0 )g(xg02)−f , o ile g(x0 ) 6= 0 (x0 ) 1

MiBM, rok I, S-I o , inż.

dr Krzysztof Żyjewski

17 lutego 2015

4) (f ◦ g)0 (x0 ) = g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 ), 1 o ile f 0 (x0 ) 6= 0. 5) f −1 (f (x0 )) = f 0 (x 0) Reguła de L’Hospitala: Jeśli funkcje f, g : D → R, D ⊂ R są określone i różniczkowalne w jednym ze zbiorów postaci: 1) D := (a, x0 ) − ∞ ≤ a < x0 ≤ +∞, 2) D := (x0 , b) − ∞ ≤ x0 < b ≤ +∞, 3) D := (a, x0 ) ∪ (x0 , b) − ∞ ≤ a < x0 < b ≤ +∞ oraz g 0 (x0 ) 6= 0 dla każdego x ∈ D i istnieją granice: lim f (x) = lim g(x) = {0, −∞, +∞} oraz 0 lim f 0 (x) x→x0 g (x)

x→x0

∈ R to istnieje granica

lim f (x) x→x0 g(x)

x→x0

i

lim

x→x0

f (x) f 0 (x) = lim 0 . g(x) x→x0 g (x)

Rodzaj przekształceń wykorzystywanych w obliczaniu granic za pomocą reguły L’Hospitala Rodzaj nieoznaczoności 0·∞

∞−∞

1∞ , ∞0 , 00

Stosowane przekształcenie f ·g =

f 1 g

lub f · g =

f −g =

1 − f1 g 1 fg

f g = eg ln f

g 1 f

Otrzymana nieoznaczoność 0 0

lub

∞ ∞

0 0

0·∞

Równanie stycznej do wykresu funkcji: Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0 to istnieje niepionowa styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x0 , y0 ) postaci: y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 ). Kąt przecięcia dwóch funkcji : Jeżeli funkcje f i g posiadają punkt wspólny (x0 , y0 ) oraz mają w tym punkcie pochodne właściwe to ostry kąt φ miedzy stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie x0 wyraża się wzorem 0 f (x0 ) − g 0 (x0 ) . φ = arctan 1 + f 0 (x0 ) · g 0 (x0 ) W przypadku gdy 1 + f 0 (x0 ) · g 0 (x0 ) = 0 to styczne te są prostopadłe. Uwaga: Ostry kąt φ miedzy stycznymi do wykresów funkcji w punkcie x0 możemy również liczyć ze wzoru: φ = β − α, gdzie α to kąt pomiędzy styczną do funkcji f w punkcie x0 a dodatnim kierunkiem osi Ox; β to kąt pomiędzy styczną do funkcji g w punkcie x0 a dodatnim kierunkiem osi Ox.

2

MiBM, rok I, S-I o , inż.

dr Krzysztof Żyjewski

17 lutego 2015

Badanie przebiegu zmienności funkcji (etapy): 1) wyznacz dziedzinę funkcji, 2) zbadaj podstawowe własności funkcji tj. parzystość, nieparzystość, okresowość, punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych, 3) wyznacz asymptoty (pionowe, poziome, ukośne) oraz oblicz granice na krańcach przedziału określoności i w otoczeniu punktów nieciągłości (granice jednostronne), 4) zbadaj pierwszą pochodną, a) oblicz pochodną funkcji, b) wyznacz miejsce zerowe-tu mogą być ekstrema lokalne funkcji, c) określ znak pochodnej – wyznaczamy przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji, 5) zbadaj drugą pochodną; a) wyznacz miejsca zerowe- tu mogą być punkty przegięcia, b) określ znak drugiej pochodnej-wyznaczamy przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji oraz punkty przegięcia funkcji, 6) zbierz otrzymane informacje o funkcji w tabeli 7) sporządź wykresu funkcji. Twierdzenie Lagrange’a: Jeśli funkcja f : [a, b] → R, gdzie [a, b] ⊆ R jest ciągła w [a, b] i różniczkowalną w przedziale (a, b) to (a) . istnieje c ∈ (a, b) taka, że f 0 (c) = f (b)−f a−b Wzór Taylora: Jeżeli funkcja f (x) ma n−tą pochodną f (n) (x) w pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt x0 , wówczas dla każdego x z tego przedziału ma miejsce następujący wzór Taylora: 00 (x ) (n−1) (x ) (n) 0 0 0 0) (x − x0 ) + f 2! (x − x0 )2 + . . . + f (n−1)! (x − x0 )n−1 + f n!(cn ) (x − x0 )n , gdzie f (x) = f (x0 ) + f (x 1! x0 < cn < x gdy x > x0 lub x < cn < x0 gdy x < x0 . • Ostatni wyraz we wzorze Taylora oznaczamy przez Rn i nazywamy resztą wzoru Taylora(podana wyżej reszta to reszta Lagrange’a). • Wzór postaci: f (x) = f (x0 ) + +f

(n) (x

n!

0)

f 0 (x0 ) (x 1! n

− x0 ) +

f 00 (x0 ) (x 2!

− x0 )2 + . . . +

f (n−1) (x0 ) (x (n−1)!

− x0 )n−1 +

(x − x0 ) + . . . nazywamy szeregiem Taylora.

• Jeśli we wzorze Taylora przyjmiemy x0 = 0 otrzymamy tzw. wzór Maclaurina. Twierdzenie: Funkcja jest rozwijalna w szereg Taylora w przedziale(x0 − δ, x0 + δ), δ > 0, jeżeli wewnątrz tego przedziału: a) funkcja ma pochodne każdego rzędu, b) lim Rn = 0, gdzie Rn oznacza resztę szeregu ze wzoru Taylora. n→∞

3

MiBM, rok I, S-I o , inż.

dr Krzysztof Żyjewski

17 lutego 2015

1. Korzystając z definicji obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: 1 ; x0 6= 1. a) f (x) = x2 ; x0 ∈ R, b) f (x) = sin x; x0 ∈ R, d) f (x) = 1−x √ 3x−4 1+sin 2x 2 e) f (x) = 2x−3 ; x0 = 2, f) f (x) = 2 x + 5 x0 = 2; g) f (x) = 1−sin 2x x0 = 0. 2. Korzystając z definicji pochodnych jednostronnych sprawdzić czy istnieją pochodne funkcji: a) f (x) = |x| w punkcie x0 = 0; b) f (x) = x|x| w punkcie x0 = 0. 3. Korzystając ze wzorów na pochodną funkcji 2 5 (a) f (x) = 5x 3 − 3x 2 + 2x−3 (b) √ √ (d) f (x) = (4x2 − 2x x)(2x + x) (e) (g) f (x) = (5x − x5 )10 (h) (j) f (x) = cos 2x (k) 3x+4 (n) (m) f (x) = ln x2 +1 x x 2 (p) f (x) = 2 3 + x − 1 (q) x 23 (s) f (x) = 32x (t) √ (v) f (x) = x arcctg x (w) (y) (b) (e) (g)

elementarnych, oblicz: f (x) = 31 x3 − 23 x4 + 13 x6 5 3 f (x) = 2x−1 √ 4 x3 f (x) = x √ 4x 2 f (x) = ex +4 sin x+cos x f (x) = sin x−cos x f (x) = ln3 x2 f (x) = arctan(ln x) 

(c) (f ) (i) (l) (o) (r) (u)

√ 5 f (x) = x3 2 f (x) = x 2x−3x+1 √ 2 +4 f (x) = x2 + 2x − 10 f (x) = tan2 (3x − 4) f (x) = 3x x3 + x2 log5 x f (x) = 5sin x √ f (x) = 6 arctg x x

(x) f (x) = x2e+2 f (x) = ln 2ln√xx q 2 x e−3x √ f (x) = ln arctg e2x (z) f (x) = ln 1+sin (a) f (x) = 1−sin x arcctg 3 x √ p f (x) = e−x · 4 (x3 + 1)3 · sin2 x (c) f (x) = earccos 1+ln(2x−1) (d) f (x) = log2 (e2x + 1) √ √ √ 4 f (x) = 2(2x2 + 5) x2 + 1 + 3 ln(x + x2 + 1) (f ) f (x) = 3√arcsin 3x+1 + 2 4x2 + 2x − 2 p √ √ 5 x+tan x f (x) = (3 + x)(2 + x) − ln( 4 + x + 1 + x) (h) f (x) = qsin cot ln ex

(i) f (x) = log 1 (24x + x2 ) + 4x2 sin(ln x)

(j) f (x) =

3

6

√ (x+4)2 x+2 √ 7 3x+4

4. Obliczyć pochodne : 2 a) f (x) = xln x b) f (x) = xx c) f (x) = 10x−3x d) f (x) = (tg√x)cos x √ x 1 e) f (x) = x x3 − 3x2 + 2 f) f (x) = x ln x g) f (x) = logx sin2 x h) f (x) = log√ x ex . x Wskazówka: w podpunktach a-f wykorzystać metodę pochodnej logarytmicznej, w podpunktach g-h zamianę podstawy logarytmu. 5. Oblicz pochodną aż do 6 rzędu z funkcji: a) y = x4 + 4x2 − 1, b) y = x6 − 4x3 + 15x2 − 16x + 5,

c) y = cos x.

6. Oblicz podane granice korzystając z reguły de L’Hospitala: 2 −4 2x a) lim xx−2 , b) lim sinx5x , c) lim sin , sin 3x

d) lim

x→2

x→0

ln x , x→+∞ x

e) lim

i) lim+ (x − 2)e

1 x−2

x→2

m) lim+ tg x · ln x, x→0

x3 −2x+1 , 3 x→+∞ 4x +2 1 j) lim ( x sin − x12 ), x x→0 1 n) lim (e2x + x) x , x→0

f) lim ,

x→0

x→0

x4 2, e x→+∞ x

g) lim

k) lim x

1 x−1

x→1

o) lim

x→+∞

2 π

h) lim+ x ln x, x→0

l) lim (x2 − e2x ) ,

, arctg x

x−sin x , x3

x→+∞


x2

(tg x)tg 2x p) lim π− x→ 2

7. Napisz równanie stycznej do wykresu danej funkcji w podanym punkcie: a) y = √ x2 + 5x − 1, (x0 , y0 ) = (1, 5), b) y = 3x−4 2x−3 √ , (x0 , y0 ) = (2, 2), c) y = 1 + x3 , gdy y0 = 3, d) y = 2 x2 + 5; gdy x0 = 2. 8. Obliczyć kąty, pod jakimi przecinają się wykresy funkcji: a) f (x) = x3 − x2 + 4x + 1, g(x) = x + 4; b) f (x) = 2x , g(x) = 4x .

4

MiBM, rok I, S-I o , inż.

dr Krzysztof Żyjewski

17 lutego 2015

9. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczność poniższych funkcji: 2 a) f (x) = −x3 + x2 − x, b) f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 2, c) f (x) = (x+2) , d) f (x) = x+3 4x − x2 2 −x f) f (x) = x e g) f (x) = xe e) f (x) = x2 +4

ln x x

10. Znaleźć ekstrema następujących funkcji i wyznaczyć asymptoty. 6x , c) f (x) = (x2 − 2x) ln x − 32 x2 + x a) f (x) = x2 e−x , b) f (x) = x2 +2x+4 11. Określ przedziały wypukłości i punkty przegięcia funkcji: 1 a) f (x) = 1+x b) f (x) = 2x3 + 3x2 − 4x + 10, c) f (x) = x2 ln x, 2,

d) f (x) = arctg x1 .

12. Wyznacz ekstrema globalne funkcji na odpowiednich przedziałach: a) f (x) = 2x3 − 3x2 + 1, x ∈ [0, 10], b) f (x) = x1 + 4x2 , x ∈ [ 41 , 1]. 13. Znajdź wszystkie możliwe asymptoty podanych funkcji: 2x , c) f (x) = x − 2 arctg x, d) f (x) = x + a) f (x) = x arctg x, b) f (x) = x ln x−2

ln x x

14. Narysuj wykres funkcji w oparciu o podane w tabeli informacje : a) −∞ (−∞, 1) 1 0 + X + X 1 2

x y’ y” y oraz lim− f (x) = +∞, x→1

(1, +∞) +∞ 0 + X 0

lim f (x) = 3, f+0 (1) = −1.

x→1+

b) x y’ y” y

−∞ (−∞, −1) −1 0 + X 0 + X 2 X

oraz lim − f (x) = +∞, x→−1

(−1, 0) 0 (0, 3/2) 3/2 (3/2, +∞) +∞ + 0 0 -1 0 + + 0 -4 −∞

lim f (x) = −∞

lim (f (x) + x + 3) = 0.

x→+∞

x→−1+

c) x y’ y” y

−∞ (−∞, −1) −1 1 + 0 0 −∞ 0

(−1, 0) 0 + X + X 1

(0, 1) 1 0 + + 0

(1, +∞) + +

+∞ 1 +∞

oraz lim (f (x) − x − 2) = 0, lim (f (x) − x + 2) = 0 x→−∞

x→+∞

15. Zbadaj przebieg zmienności funkcji: 2 a)f (x) = x2x b)f (x) = x − ln(x + 1), 2 −4 , 2 d) f (x) = 2x − 3x 3 , e) f (x) = x1 e−x ,

5

c) f (x) = x3 + x2 − 16x − 16, f) f (x) = (x + 1)4 e−x .

dr Krzysztof Żyjewski

MiBM, rok I, S-I o , inż.

17 lutego 2015

16. Używając twierdzenia Lagrange’a wykazać, że | sin x − sin y| ≤ |x − y| 17. Wykazać, że równanie x3 − 3x2 + 35 x + 1 = 0 ma tylko jeden pierwiastek. 18. Korzystając z różniczki funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych funkcji: √ 3 1 a) 7.999, b) arctg 1, 005, c) sin 290 , e) e0,04 , f ) √3,98 19. Napisz wzór Taylora z resztą Lagrange’a dla podanej funkcji, wskazanego punktu x0 i liczby n: a) f (x) = sin x, x0 = 0, n = 5, b) f (x) = ex , x0 = 0, n = 5, 20. Rozwiń w szereg Taylora funkcję f (x) = x3 + 6x2 − 1 w otoczeniu punktu x = 1. 21. Rozwiń w szereg Maclaurina funkcję f (x) = ln(x + 1). 22. Stosując wzory Maclaurina oblicz: a) e z dokładnością 10−2 , b) ln 1.1 z dokładnością 10−4 . 23. Oblicz jaki kąt tworzy z osią OX styczna do krzywej y = x2 − 3x − 6 w x = 1. 24. Punkt materialny porusza się ze zmienną prędkością. Położenie tego punktu w chwili t jest opisane wzorem x(t) = 3 · 2t + 2−3t . Oblicz przyśpieszenie punktu w chwili, w której jego prędkość jest równa 0. 25. Wytrzymałość belki o przekroju prostokątnym jest proporcjonalna do długości podstawy tego przekroju i proporcjonalna do kwadratu wysokości. Jak należy wyciąć belkę o największej wytrzymałości z pnia o średnicy 30cm? 26. Wśród wszystkich prostokątów o danym polu S znajdź ten o najmniejszym obwodzie. 27. Wśród wszystkich prostokątów o danym polu S znajdź ten o najmniejszej przekątnej. 28. Wśród wszystkich prostokątów wpisanych w okrąg o promieniu R znajdź ten o największym polu. 29. Znajdź największa objętość stożka o zadanej tworzącej l. 30. Policzyć największa objętość walca, którego całkowita powierzchnia jest równa S.

6