Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio

Geometría en el espacio Planos y Rectas

Laura Hidalgo Solís Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa

19 de Marzo de 2012

Geometría en el espacio

Planos en el espacio

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Anteriormente vimos que es posible encontrar un número infinito de vectores, no paralelos entre si, que sean perpendiculares a un vector dado en R3 , y que las representaciones geométricas ordinarias de estos vectores estén en el mismo plano. Usando éstos hechos se puede especificar un plano en el espacio. Plano Si P es un plano y S un punto en P, y si ~n es un vector no nulo cuya representación geométrica es perpendicular a P, entonces un punto U(x, y , z) está sobre P si y sólo si (~u − ~s) · ~n = 0 La ecuación 1 es una ecuación del plano P.

(1)

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P

 

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Puesto que U(x, y , z) es cualquier punto de P, la ecuación 1 es simplemente una afirmación de que el vector ~n tiene una representación geométrica que es perpendicular a todo vector geométrico cuyo punto inicial sea S y este sobre P. Un vector no nulo perpendicular a un plano P recibe el nombre de vector normal a P. Si U(x, y , z), ~n = (A, B, C) y ~s · ~n = −D, la ecuación 1 puede reescribirse como AX + BY + CZ + D = 0

(2)

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Nótese que la ecuación Ax + By + Cz = D es una ecuación de primer grado con respecto a las variables x, y , z, y que los coeficientes de estas variables son las componentes respectivas del vector normal ~n. Recíprocamente, si T (x2 , y2 , z2 ) es un punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 2 y, por tanto, a la ecuación 1, se verifica que A(x2 − x1 ) + B(y2 − y1 ) + C(z2 − z1 ) = 0 y como esta igualdad establece que la recta ` , que pasa por los puntos T y S es perpendicular al vector normal ~n y, por tanto, está sobre el plano P, resulta que el punto T que está sobre ` está también sobre el plano. Por tanto, la ecuación 2 es la ecuación del plano. Se le llama la ecuación cartesiana general del plano .

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Esto es:

Laura Hidalgo Solís

Teorema

Planos en el espacio

La ecuación general de un plano es de la forma Ax + By + Cz + D = 0,

Rectas en el espacio

en donde A, B, C y D son constantes, y ~n = (A, B, C) son es su vector normal. Reciprocamente: Teorema Toda ecuación lineal de la forma Ax + By + Cz + D = 0 en la que por lo menos uno de los tres coeficientes A, B y C es diferente de cero, representa un plano cuyo vector normal es ~n = (A, B, C).

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Ejemplo 1 Podemos obtener la ecuación cartesiana del plano que pasa por S(1, 2, 3) y tiene vector normal ~n = (−1, 3, 5) como sigue: De la ecuación 1 tenemos: (~u − ~s) · ~n = 0 o equivalentemente, ~u · ~n = ~s · ~n Si U(x, y , z), sustituyendo los valores tenemos −x + 3y + 5z = −1 + 6 + 15 = 20 Por lo que, la ecuación cartesiana del plano que pasa por S(1, 2, 3) y tiene vector normal ~n = (−1, 3, 5) está dada como −x + 3y + 5z = 20

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Ejemplo 2 De geometría euclidiana sabemos que tres puntos no colineales determinan un plano, si A(3, 4, 1), B(−1, −2, 5) y C(1, 7, 1) podemos encontrar la ecuación del plano P que contiene a estos puntos de, al menos, dos formas distintas. Primeramente, sean ~v1 = ~b − ~a = (−4, −6, 4), ~v2 = ~c − ~a = (−2, 3, 0). entonces ~j ~k ~i ~n = ~v1 × ~v2 = −4 −6 4 −2 3 0 = (−12, −8, −24) de donde, una ecuación de P es −12x − 8y − 24z = (3, 4, 1) · (−12, −8 − 24) = −92 o equivalentemente 3x + 2y + 6z = 23

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Nuesto segundo método, como A, B y C no son colineales, estos se encuentran en un plano, cuya ecuación es de la forma Ax + By + Cz + D = 0 y por tanto, satisfacen esta ecuación, es decir, 3A + 4B + C + D = 0 −A − 2B + 5C + D = 0 A + 7B + C + D = 0 Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones en 4 variables tenemos: a=

23 3 t, b = t, c = 3t, d = − t, 2 2

t ∈ R.

Tomando b = 2, tenemos a = 3, c = 6 y d = −23, por lo que, una ecuación para P es 3x + 2y + 6z − 23 = 0.

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Definiciones Si P1 es un plano con vector normal ~n1 , y P2 es otro plano con vector normal ~n2 , entonces 1 P1 y P2 son paralelos si y sólo si ~ n1 × ~n2 = ~0. 2

P1 y P2 son perpendiculares si y sólo si ~n1 · ~n2 = 0.

Obsérvese que de esta definición, todo plano es paralelo a si mismo, ya que, para todo vector ~n se tiene que ~n × ~n = ~0.

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Rectas en el espacio Si S(x1 , y1 , z1 ) y T (x2 , y2 , z2 ) son dos puntos distintos, ellos determinan una recta `, así el vector ~v = ~t − ~s = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) tiene una representación geométrica que está sobre ` y que por lo tanto es paralela a `. Entonces el vector ~v = ~t − ~s es un vector de dirección de `. Mediante un razonamiento análogo al realizado en R2 podemos demostrar que si U(x, y , z) representa un punto en el espacio entonces ~u = ~s + λ(~t − ~s),

λ∈R

es una ecuación paramétrica vectorial de `.

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Esto es, si U(x, y , z) es un punto en la recta `, entonces el ~ = ~u − ~s tiene una representación geométrica que vector w ~ es paralelo a ~v , esto también está sobre `, y por lo tanto, w ~ = λ~v para algún λ ∈ R, es decir: es, w

Rectas en el espacio

~ = λ~v w ~u − ~s = λ(~t − ~s) ∴ ~u = ~s + λ(~t − ~s) Así, podemos decir que la recta ` es {U ∈ R3 ; ~u = ~s + λ(~t − ~s),

λ ∈ R}

o equivalentemente {U ∈ R3 ; ~u = ~s + λ~v ,

λ ∈ R}

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

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Así, una ecuación paramétrica vectorial de la recta ` que pasa por S(x1 , y1 , z1 ) y T (x2 , y2 , z2 ) es: (x, y , z) = (x1 , y1 , z1 ) + λ(x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) o bien

(x, y , z) = (x1 + λ(x2 − x1 ), y1 + λ(y2 − y1 ), z1 + λ(z2 − z1 ) La recta ` tiene asociado el siguiente sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas:

x

= x1 + λ(x2 − x1 )

y

= y1 + λ(y2 − y1 )

z = z1 + λ(z2 − z1 )

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Si las diferencias x2 − x1 , y2 − y1 , y z2 − z1 no son todas cero entonces ~v = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) es un vector de dirección de `, y por lo tanto x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 son números directores de `. Si x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 son todos distintos de cero entonces x − x1 y − y1 z − z1 = = x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 son las ecuaciones simétricas de la recta ` dada. Si el vector de dirección ~v se escribe como ~v = (v1 , v2 , v3 ) entonces: x − x1 y − y1 z − z1 = = v1 v2 v3 son las ecuaciones simétricas de `.

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Notamos que podemos reescribir las ecuaciones simétricas de ` como:

Planos en el espacio

x − x1 v1 x − x1 v1

Rectas en el espacio

= =

y − y1 v2 z − z1 v3

o equivalentemente v2 x − v1 y + (v2 y1 − x1 v 1) = 0 v3 x − v1 z + (v3 z1 − v1 x1 ) = 0 Pero cada una de estas ecuaciones corresponde a un plano, es decir, en R3 podemos visualizar una recta como la intersección de dos planos.

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Si una recta es paralela a un eje de coordenadas, entonces dos de los números directores son cero, y en lugar de las ecuaciones simétricas se tiene simplemente las ecuaciones que expresan las dos coordenadas constantes en cada punto sobre la recta. De esta manera, 1

si la recta ` que es paralela al eje z pasa por el punto S(x1 , y1 , z1 ) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones x = x1 , y y = y1

2

si la recta ` que es paralela al eje y pasa por el punto S(x1 , y1 , z1 ) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones x = x1 , y z = z1

3

si la recta ` que es paralela al eje x pasa por el punto S(x1 , y1 , z1 ) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones y = y1 , y z = z1

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Si una recta es paralela a un plano de coordenadas, entonces uno de los números directores es cero, en este caso tenemos sólo una ecuación simétrica, y la otra ecuación expresa simplemente la coordenada constante de un punto sobre la recta. 1

si la recta ` que es paralela al plano xy pasa por el punto S(x1 , y1 , z1 ) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones y − y1 x − x1 = , y z = z1 . v1 v2

2

si la recta ` que es paralela al plano yz pasa por el punto S(x1 , y1 , z1 ) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones y − y1 z − z1 = , y x = x1 . v2 v3

3

si la recta ` que es paralela al plano xz pasa por el punto S(x1 , y1 , z1 ) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones x − x1 z − z1 = y y = y1 . v1 v3

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Ejemplo 1

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Deseamos obtener las ecuaciones paramétrica vectorial, el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas y las ecuaciones simétricas de la recta ` que pasa por los puntos S(2, 3, −1) y T (1, 0, 3). Como S 6= T , entonces ~v = ~t − ~s = (−1, −3, 4) es un vector de dirección de `. Por lo que, un punto U(x, y , z) ∈ ` si, y sólo si ~u = ~s − λ~v

λ∈R

∴ (x, y , z) = (2, 3, −1) + λ(−1, −3, 4)

λ∈R

es la ecuación paramétrica vectorial de la recta `.

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La recta por S(2, 3, −1) y T (1, 0, 3)

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De la ecuación (x, y , z) = (2, 3, −1) + λ(−1, −3, 4) podemos deducir el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta `. x

= 2−λ

y

= 3 − 3λ

z = −1 + 4λ

con λ ∈ R

Despejando el parámetro λ tenemos: y −3 z +1 x −2 = = =λ −1 −3 4 obteniéndose así las ecuaciones simétricas de la recta `. x −2 y −3 z +1 = = −1 −3 4

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De la igualdad plano

x −2 y −3 = obtenemos la ecuación del −1 −3 3x − y − 3 = 0,

Rectas en el espacio

y de la igualdad plano

z +1 x −2 = obtenemos la ecuación del −1 4 4x + z − 7 = 0.

Por lo que, en particular podemos ver a la recta ` como la intersección de los planos 3x − y − 3 = 0 y 4x + z − 7 = 0. y −3 z +1 También podemos usar la ecuación = , por lo −3 4 que la recta ` también está sobre el plano 4y + 3z − 9 = 0.

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La recta por S(2, 3, −1) y T (1, 0, 3) vista como la intersección de los planos 3x − y − 3 = 0 y 4x + z − 2 = 0.

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Ejemplo 2 Si S(1, 2, 3) y T (3, 4, 3), entonces ~v = ~t − ~s = (2, 2, 0), por lo que, la ecuación paramétrica cartesiana de la recta ` que pasa por S y T es (x, y , z) = (1, 2, 3) + λ(2, 2, 0) El sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas está dado por x = 1 + 2λ, y = 2 + 2λ, z = 3 de donde, x −1 y −2 = , z=3 2 2 Así, ` es la intersección de los planos x − y + 1 = 0,

z=3

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La recta por S(1, 2, 3) y T (3, 4, 3)

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Ejemplo 3

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Si S(2, 3, 4) y T (3, 3, 4), entonces ~v = ~t − ~s = (1, 0, 0), de donde la ecuación paramétrica vectorial de la recta ` que pasa por S y T está dada como (x, y , z) = (2, 3, 4) + λ(1, 0, 0) De aquí, deducimos el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas x = 2 + λ,

y = 3,

z=4

de donde, podemos ver a ` como la intersección de los planos y = 3 y z = 4.

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La recta por S(2, 3, 4) y T (3, 3, 4)

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Rectas dirigidas Tal como sucede en R2 , si un vector ~v ∈ R2 es un vector de dirección de una recta `, entonces −~v es también un vector de dirección de ` y se puede considerar que la dirección de ` es la de ~v o la de −~v . Cuando se asocia una recta `, a un vector de dirección particular ~v , se dice que ` es una recta dirigida, y que su dirección es la de ~v . Por ejemplo la recta ` que pasa por S(2, 3, −1) y que tiene al vector ~v = (−1, −3, 4) como vector de dirección es la misma recta que pasa por S y que tiene al vector −~v = (1, 3, −4), como vector de dirección; pero estas dos descripciones de ` especifican dos rectas dirigidas distintas puesto que sus sentidos son opuestos.

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El ángulo que forman dos rectas dirigidas se define como el ángulo φ, con 0 ≤ φ ≤ π, que forman sus vectores de dirección. Nótese que esta definición se aplica a todas las rectas dirigidas en el espacio, sin importar si se intersecan o no. Por ejemplo, si `1 y `2 son las rectas cuyos √ vectores de dirección son ~v1 = (−1, −1, 0) y ~v2 = (1, 1, 6, respectivamente, entonces cos φ = de donde φ = 2π/3.

~v1 · ~v2 1 =− ~ ~ 2 kv1 kkv2 k

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Una recta ` es paralela a un plano P, si y sólo si un vector de dirección de ` es perpendicular a un vector normal a P. Nótese que ` puede estar contenida en P. Una recta ` es perpendicular a un palno P, si y sólo si un vector de dirección de ` es paralelo a un vector normal de P. Definiciones Si ~v es un vector de dirección de la recta ` y ~n es un vector normal al plano P, entonces 1 2

` es paralela a P si y sólo si ~v · ~n = 0 ` es perpendicular a P si y sólo si ~v × ~n = ~0.

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Recta paralela a un plano

Planos en el espacio Rectas en el espacio





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Recta perpendicular a un plano

Planos en el espacio Rectas en el espacio

 

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Relaciones entre rectas y planos

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Al estudiar geometría notamos que dos planos dados o son paralelos (coinciden o nunca se cortan), o se intersectan en una recta. Propiedad Dos planos cuyos vectors normales no sean paralelos se intersectan en una recta. Esta recta recibe el nombre de recta de intersección de los planos.

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Si P1 , P2 son tales planos, con vectores normales ~n1 y ~n2 respectivamente, entonces cualquier recta contenida en Pj debe tener vector de dirección perpendicular a ~nj para j = 1, 2. Por tanto, un vector de dirección ~v de la recta de intersección de estos planos no paralelos debe ser perpendicular a las normales a ambos planos, puesto que el producto cruz de dos vectores dados es un vector perpendicular a cada uno de los vectores dados, entonces ~v = ~n1 × ~n2 es un vector de dirección de la recta de intersección de dichos planos.

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Propiedad Si ~n1 es un vector normal al plano P1 y ~v2 es un vector normal al plano P2 , y si P1 y P2 se intersectan en una recta `, entonces ~v = ~n1 × ~n2 es un vector de dirección de `. Si se desea determinar `, entonces deberá obtenerse además las coordenadas de un punto S en `.

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Ejemplo Deseamos obtener una ecuación paramétrica vectorial de la recta ` de intersección de los planos x + 2y − 6 = 0, z = 4. Un vector normal al plano x + 2y − 6 = 0 es ~n1 = (1, 2, 0), y un vector normal al plano z = 4 es ~n2 = (0, 0, 1), de donde, un vector de dirección ~v de ` es ~i ~j ~k ~v = 1 2 0 = (2, −1, 0) 0 0 1 Una solución particular del sistema de ecuaciones x + 2y = 6

z=4

es S(6, 0, 4), por lo que, una ecuación paramétrica vectorial de la recta ` es ` : (x, y , z) = (6, 0, 4) + λ(2, −1, 0).

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Existen varias relaciones posibles entre las posiciones relativas y las intersecciones comunes de tres planos en el espacio: 1 Si los tres planos son paralelos: entonces no existe intersección común a menos que los tres planos coincidan, en cuyo caso la intersección común es todo el plano. 2 Si dos, pero no los tres, planos son paralelos entonces no existe intersección común a menos que los dos planos paralelos coincidan, en cuyo caso la intersección común es una recta. 3 Si no hay un par de planos paralelos, pero sus rectas de intersección (por pares) son paralelas, entonces no existe intersección común, a menos que las rectas de intersección coincidan, en cuyo caso la intersección común es una recta.

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4 Si no hay ningún par de planos paralelos y sus rectas de intersección no son paralelas, entonces los planos se intersectan en un único punto. En este caso, las coordenadas del punto se pueden obtener resolviendo tres ecuaciones lineales simultáneas, que representan a los planos. Las intersecciones de un plano con los ejes de coordenadas resultan también útiles para trazar una gráfica del plano. Estas intersecciones tienen coordenadas de la forma (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c), respectivamente. Puesto que estas intersecciones son también los puntos donde las trazas cortan a los ejes de coordenadas, se pueden también emplear para trazar las gráficas de las trazas.

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Intersecciones de rectas y planos

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Dados una recta y un plano en el espacio hay tres posibles configuraciones: 1

La recta es paralela al plano pero no lo intersecta.

2

La recta es paralela al plano y está completamente contenida en el plano.

3

La recta intersecta al plano en un sólo punto.

Pero la recta es paralela al plano si y sólo si un vector de dirección de la recta es perpendicular a un vector normal del plano.

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Propiedad Si ` no es paralela a P, entonces ` intersecta a P en un sólo punto. Si ~v es un vector de dirección de ` y ~n es un vector normal a P esto sucede si ~v · ~n 6= 0.

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Ejemplo Encuentre las coordenadas del punto S de intersección de la recta ` : x − 2 = −y − 1 = −z − 6 y el plano 3x − 2y + 3z + 16 = 0. Notamos que ~v = (1, −1, −1) y ~n = (3, −2, 3), así ~v · ~n = (1, −1, −1) · (3, −2, 3) = 3 + 2 − 3 = 2 6= 0 Por lo que ` no es paralela a P, de donde, se intersectarán en un único punto. Para obtener este punto, consideremos a ` como la intersección de los planos x − 2 = −y − 1 y x − 2 = −z − 6, despejando y y z en términos de x obtenemos x − 1 = −y , x + 4 = −z o equivalentemente y = 1 − x, z = −x − 4.

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Sustituyendo estos valores en la ecuación P : 3x − 2y + 3z + 16 = 0 obtenemos

0 = 3x − 2(1 − x) + 3(−x − 4) + 16 = 3x − 2 + 2x − 3x − 12 + 16 = 2x + 2 Por lo cual x = −1, sustituyendo en los valores de y y z tenemos y = 2, z = −3, ∴ S(−1, 2, −3). Comprobación: S ∈ ` : −1 − 2 = −2 − 1 = 3 − 6 y −3 − 4 − 9 + 16 = 0.

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F órmulas de distancia

Planos en el espacio Rectas en el espacio

Distancia de un punto a un plano Si S es un punto y P es un plano, si T es cualquier punto sobre P, y ~n es un vector normal a P, entonces la distancia que separa a S de P, que denotaremos d(S, P), es igual al valor absoluto de la componente escalar de ~s − ~t paralela a ~n. Es decir d(S, P) =

|(~s − ~t) · ~n| . k~nk

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Para obtener una expresión cartesiana de d(S, P), nótese que la ecuación cartesiana Ax + By + Cz + D = 0 de P se puede escribir como (x, y , z) · (A, B, C) + d = 0; es decir, para cualquier punto T sobre P, se tiene ~t · ~n + d = 0, o sea ~t · ~n = −d. Tomando en cuenta esto, sea S(x1 , y1 , z1 ) y sustitúyanse estas coordenadas en la ecuación

d(S, P) = = =

|(~s − ~t) · ~n| k~nk |(x1 , y1 , z1 ) · (A, B, C) + d √ A2 + B 2 + C 2 |Ax + By + Cz + D| √ A2 + B 2 + C 2

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Ejemplo Deseamos encontrar el lugar geométrico de los puntos U(x, y , z) ∈ R3 que son equidistantes de los planos cuyas ecuaciones son P1 : 2x + 2y − z − 1 = 0 y P2 : x − 2y + 2z + 1 = 0. Esto es L : {U(x, y , z); d(U, P1 ) = d(U, P2 )}. Usando la fórmula de la distancia de un punto a un plano tenemos: |x − 2y + 2z + 1| |2x + 2y − z − 1| √ =p 22 + 22 + 12 12 + (−2)2 + 22 de donde |2x + 2y − z − 1| = |x − 2y + 2z + 1| o equivalentemente: 2x + 2y − z − 1 = ±(x − 2y + 2z + 1) Por lo cual L = {(x, y , z) ∈ R3 ; x + 4y − 3z − 2 = 0} ∪ {(x, y , z) ∈ R3 ; 3x + z = 0} es decir, L es la unión de dos planos perpendiculares.

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Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto S a una recta ` se define como la longitud del segmento perpendicular a la recta que va de la recta al punto. Para calcular la distancia de S a ` : ~u = ~t + λ~v , λ ∈ R, que denotaremos d(S, `), procederemos de la siguiente forma: La distancia de S a un punto T en ` es k~s − ~tk, y que d(S, `) = k~s − ~tk sen θ Pero, como demostramos anteriormente, para cualesquier dos vectores ~u , ~v ∈ R3 se tiene que k~u × ~v k = k~u kk~v k sen θ. k~u × ~v k Sustituyendo en Entonces, si ~v 6= ~0, k~u k sen θ = k~v k esta ecuación ~u = ~s − ~t tenemos d(S, `) =

k(~s − ~t) × ~v k k~v k

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Ejemplo 7,6,5 Calculemos la distancia que separa el punto S(7, 6, 5) y −1 z −1 x −1 = = . de la recta ` : 6 7 8 Notamos que un punto T ∈ ` es T (1, 1, 1), y un vector de dirección ~v de ` es ~v = (6, 7, 8), de donde ~s − ~t = (7, 6, 5) − (1, 1, 1) = (6, 5, 4) Así ~i ~j ~k 6 5 4 = (12, −24, 12) 6 7 8 p √ 2 2 2 ~ de donde √ k(~s − t) × ~v k = √ 12 + (−24) + 12 = 864 y k~v k = 62 + 72 + 82 = 149 Por lo que, r 864 d(S, `) = ' 2.408 149 ~ (~s − t) × ~v =