Planetenentstehung 6. Kapitel: Von Planetesimalen zu Planeten Wilhelm Kley Institut fur ¨ Astronomie & Astrophysik Abtlg. Computational Physics

Wintersemester 2012/13

W. Kley:

Planetenentstehung (WS 2012/13)

6. Zu den Planeten

¨ Ubersicht

6.1 Konzepte 6.2 Von den Planetesimalen zu den Protoplaneten 6.3 Entstehung terrestrischer Planeten 6.4 Entstehung der Gasriesen

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1

6. Zu den Planeten

Problemstellung

Planetesimale: ¨ - Objekte ab etwa 1-10km bis etwa Mond-große. ¨ - Ausgangspunkt fur Phase der Planetenentstehung, ¨ spatere - gravitative Wechselwirkung wichtig. In diesem Massenbereich ist aerodynamische Reibung sehr klein ¨ ¨ Moglich: Inhomogenitaten der Dichte der Scheibe → Gezeiten-Wechselwirkung ¨ Bei 1km Ausgangsgroße werden 1011 Teilchen gebraucht, um die terrestrischen Planeten zu erzeugen. ¨ Numerisch sehr aufwandig: - viele Teilchen - lange Entwicklungszeit (viele dynamische Zeiten) =⇒ Kombination von statistischen und numerischen Methoden

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6.1 Konzepte

Gravitative Fokussierung I

Gravitational Focussing ¨ ¨ ¨ Zwei Korper konnen nur durch physische Stoße anwachsen ¨ Durch gegenseitige Gravitation wird effektiver Streuquerschnitt erhoht

(R.Mardling) ¨ Bei großem Abstand haben Korper den Impact Parameter R0 und Geschw. vrel = v∞, Der kurzeste Abstand sei Rp mit Geschw, vp. ¨

Drehimpulserhaltung R0 vrel = Rp vp

(1)

Energieerhaltung 1 2 1 G(m1m2) µ vrel = µ vp2 − 2 2 Rp mit der reduzierten Masse µ = m1m2/(m1 + m2)

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(2)

3

6.1 Konzepte

Gravitative Fokussierung II

(R.Mardling)

Fur ¨ den effektiven Wirkungsquerschnitt σ folgt " σ ≡ πR02 = πRp2 Fgrav = πRp2 1 +



vesc vrel

2 # (3)

mit dem gravitativen Steigerungsfaktor Fgrav und der Entweichgeschwindigkeit  vesc =

2G(m1 + m2) Rp

1/2 (4)

In einer ‘kalten’ Planetesimalscheibe mit vrel  vesc ist der Streuquerschnitt ¨ somit vielfach großer als ohne Gravitation. W. Kley:

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6.1 Konzepte

¨ Dreikorpereffekte ¨ Trajektorien im Dreikorperproblem sehr komplex (chaotisch) (hier: Stern und zwei Planetesimale) ¨ Wichtig: Hill-Sphare (gestrichelt)

 rHill =

mp 3M∗

1/3 ap

(5)

Grav. Einflussbereich des Planetesimals (Greenzweig & Lissauer, 1993)

Gravitativer Fokussierungfaktor Fgrav als Funktion von vesc/vrel gestrichelt: Gl. (3) Note: vesc/vrel  1 heißt: Sehr dunne Scheibe: ¨ ¨ Dreikorpereffekte limitieren Fgrav (durchgez. Linie) (Lissauer, 1993)

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6.1 Konzepte

Wachstumsmoden ¨ Zwei Moden moglich: Geordnet ¨ Massenverhaltnis zweier Teilchen strebt gegen Eins Runaway Große Teilchen wachsen schneller als kleine (Kokubo, 2001)

Betrachte Wachstum von zwei Teilchen mit Massen m1 und m2 mit m1 > m2 d dt



m1 m2



m1 = m2



1 dm1 1 dm2 − m1 dt m2 dt

 (6)

d.h. relatives Wachstum 1/m(dm/dt) ist wichtig. ¨ Falls relatives Wachstum mit m anwachst: Runaway-Wachstum ¨ Falls relatives Wachstum mit m abfallt: geordnetes Wachstum Betrachte nun Massenwachstum W. Kley:

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6

6.1 Konzepte

Massenwachstum

Mit Hilfe des Streuquerschnitts σ (Gl. 3) wird das Massenwachstum eines Planetesimal der Masse mp

dmp = ρpart vrel σ = ρpart vrel πRp2 Fgrav dt

(7)

falls jede Kollision zum Wachstum fuhrt (100% Sticking). ρpart = Dichte der ankomm. Teilchen ¨ Mit

ρpart ≈

Σpart ΣpartΩK = 2Hpart 2vrel

(8)

√ wegen Hpart ∼ vrel/ΩK , wobei fur ¨ vrel ≈ e2 + i2vK hier die Geschwindigkeitsdispersion der Planetesimalscheibe eingesetzt wird. Damit

"

dmp 1 = ΣpartΩK πRp2 1 + dt 2



vesc vrel

2 # (9)

- Wachstum proportional zu Σpart ¨ - Wachstum proportional zu ΩK : d.h. langsamer bei großen Abstanden - Geschw. vrel geht nur in Fokussierungsfaktor ein Note: Mit Zunehmender Masse beeinflusst der wachsende Planet die Geschw. ¨ Dispersion (vrel) und die Oberflachendichte Σpart. W. Kley:

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7

6.1 Konzepte

Geordnetes Massenwachstum

Einfaches Beispiel: Sei Fgrav = const., und Bezeichnung m = mp

dm 2 2/3 ∝ Rp ∝ m dt

(10)

Rp ∝ t

(11)

ΣpartΩK dRp = Fgrav dt 8ρplanet

(12)

¨ Mit der Losung Mit m = (4/3)πRp3 ρplanet wird aus Gl. 9

Mit Σpart = 10g/cm3, ρplanet = 3g/cm3 wird

dRp −1 ' 0.2Fgrav cm yr dt

(13)

Sehr kleines Wachstum: Brauche großen Fokussierungsfaktor. ¨ Fur ¨ Rp ' 1000km in 105yr wird Fgrav ∼ 5000 benotigt. Hier geordnet wegen 1 dm ∝ m−1/3 m dt W. Kley:

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(14)

8

6.1 Konzepte

Runaway Wachstum

Betrachte also große Fgrav

mit vrel = const. "

Fgrav =

 1+

vesc vrel

2 #

2 vesc m ' 2 ∝ vrel Rp

(15)

damit: Runaway Wachstum: 1 dm ∝ Rp ∝ m1/3 m dt

(16)

¨ mit der Losung m(t) =

1 −1/3 (m0

−

kt)3

(17)

D.h. m → ∞ in endlicher Zeit! ¨ ¨ Bei großerer Masse des schnell wachsenden Korpers werden Geschwindigkeit ¨ und Dichte der umgebenden Planetesimale durch diesen verandert. ⇒ Modifikationen Betrachte jetzt das Wachstum zu Planeten genauer W. Kley:

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Methoden

6.2 Protoplaneten

Statistisch Direct N-Body Bewegungsgleichung fur ¨ N Planetesimale

d~ vi dt

N

=

X ~ xi ~ xi − ~ xj −GM − Gm j 3 |~ xi|3 |~ x − ~ x | i j j6=i

+

f~gas + f~col

(18)

f~gas: Reibungswiderstand durch GasTeilchen WW ¨ f~col: Geschw.-Anderung bei Kollisionen Die Geschwindigkeitsdispersion der ¨ Teilchen vdisp wird durch diese Krafte ¨ gedampft. Vorteil: genaue Methode ¨ Nachteil: benotige sehr viele Teilchen

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Wahrscheinlichkeitsverteilung f (~ r, ~ v ), ausgedruckt durch fR(e, i) ¨ Teilchendichte n = f d3v ¨ Lose: a) Boltzmanngleichung ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ˙ ˙ +~ r +~ v = + ∂t ∂~ r ∂~ v ∂t coll ∂t grav (19) ¨ coll: Anderungen durch Kollisionen grav: grav Streuung und b) Koagulationsgleichung ∞ X 1 X dnk = Aij ninj − nk Aik ni dt 2 i+j=k i=1

(20) ¨ mit nk ∝ Anzahl der Teilchen einer Große Vorteil: modelliere Gesamt-Ensemble Nachteil: nur statistisch

10

6.2 Protoplaneten

Runaway-Wachstum I

Beispiel N-body - Rechnung: Planetesimale in Ring um 1AE mit Breite ∆a = 0.02AE ¨ 3000 Korper mit je m = 1023 g mit Dichte ρ = 2gcm−3 Z.Zt. t = 200, 000 Jahre: ¨ - 1 Korper (•) mit 100 facher Anfangsmasse: ¨ von •: geringe Exzentrizitat - durch Dynamical friction ¨ ¨ - kleine Korper haben e erhoht - große haben e erniedrigt In der Fruhphase erfolgt Wachstum ¨ durch eine Runaway-Phase (E.Kokubo) W. Kley:

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6.2 Protoplaneten

Runaway-Wachstum II

Gleiche N-body - Rechnung: gestrichelt: 105 Jahre durchgezogen: 2 × 105 Jahre Massen zwischen 1023-1024g beinhalten Großteil der Masse. Kumulative Massenverteilung folgt Potenzgesetz ∂nc ∝ mα ∂m

(21)

nc(m) = Teilchenzahl mit Masse > m. Hier α ' −2.5 (α < −2.0 charakteristisch fur ¨ Runaway) Massereiches Teilchen (•) separiert von Verteilung (Senke) W. Kley:

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(E.Kokubo)

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6.2 Protoplaneten

Gravitational Stirring

Gravitative WW zwischen kleinen ¨ und großen Korpern ¨ mittlere Exzentrizitat ¨ Erhoht und Inklination der Kleinen Gleichverteilung der Energie zwischen e und i gilt < e2 >= 4 < i2 > < x >: Mittelwert

(E.Kokubo)

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6.2 Protoplaneten

Runaway-Wachstum III

Beispiel: Statistische Rechnung in Box bei 1AE, ∆a = .17AE

(Wetherill & Stewart, 1993) W. Kley:

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6.2 Protoplaneten

Runaway-Wachstum VI

Beispiel: Statistische Rechnung, 100 radiale Zonen, bei m > 1024 diskret

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6.2 Protoplaneten

Oligarchisches Wachstum

¨ Rechnungen zeigen kleine Zahl von massereicheren Embryos mit gleichmaßiger Separation N klein, d.h. N-body jetzt gunstiger ¨ Setze obige N-Body Rechnung fort ¨ 4000 Korper, je m = 1.5 × 1023 g Plus 2 Saat-protoplaneten M1 = M2 = 40m z.Zt. t = 0 in ∆a = 0.042AE ¨ 4 mal großere Radien (f = 4) d.h. schneller Zeitskalen Resultat: ¨ - große Korper wachsen gleichschnell Mend ≈ 8Minit - Kleine langsamer, m(t ¯ = 104) ≈ 1.6minit - große haben e erniedrigt Selbstlimitierter Runaway ¨ ¨ fur M wachst vdisp ¨ großere ab M ≈ 50m wird vdisp ∝ M 1/3 damit wird (1/M )dM/dt ∝ ΣpM −1/3 ⇒ geordnetes Wachstum W. Kley:

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(Kokubo&Ida, 1998) 16

6.2 Protoplaneten

Ende des Wachstums

Runaway ist lokal ¨ ¨ Große Korper haben ≈ kreisformigen Orbit =⇒ endliches Reservoir an Kollionspartnern

=⇒ Isolation Mass (Miso) Kollisionen erfolgen mit Teilchen aus Feeding Zone, d.h. heißt aus einem radialen Bereich der Ausdehnung des Hillradius   mp 1/3 RHill = a 3M Teilchen kommen aus Bereich ∆a mit Masse m = 2π 2a ∆aΣp, sei ∆a = CRHill

 Miso = 4πaC

Miso 3M

1/3 aΣp

(22)

Seien jetzt 2M⊕ zwischen 0.5 und 1.5AE, und Σp ∼ a−3/2 und Σp = 8 gcm−3 bei 1AE und √ C = 2/ 3, dann wird

Miso ≈ 0.05M⊕

(23)

¨ D.h. etwa 40 Korper (Proto-Planeten) mit mittlerem Abstand ∆a ≈ 0.025AE Bei der Distanz von Jupiter ergibt sich

Miso ≈ 5 − 9M⊕ W. Kley:

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6.3 Terrestrische

Problemstellung

¨ Nach der oligarchischen Phase nur wenige Protoplaneten (≈ Mondgroße) ubrig ¨ Wechselwirkung durch Gravitation

Ansatz: Klassische N-Body Rechungen Schwierigkeit: zwar wenig Teilchen (≈ 100), aber lange Zeitskalen (108 Jahre) ⇒ brauche gute (symplektische) Integratoren Beispiel: (Chambers, 2001) 16 N-body Simulationen, Start mit 153-158 Embryos Verteile ca. 2 Erdmassen zwischen 0.3 und 2.0 AE Verschiedene Typen: Alle Massen gleich, Bimodal, radiales Massenprofil Einschließlich Jupiter & Saturn (auf heutigen Bahnen) 100% Sticking (vollkommen inelastisch) Drehimpuls geht in Rotation (Spin) Integrator: (Mercury-Package, John Chambers, 1999)

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6.3 Terrestrische

¨ - Gr. Halbachse Exzentrizitat

(Chambers, 2001) W. Kley:

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6.3 Terrestrische

Material-Mischung

Die Farben geben den Ursprungsort des Materials der Planeten an W. Kley:

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6.3 Terrestrische

Probleme

¨ ¨ Sonnensystemahnliche Systeme sind moglich meist 3-4 terrestrische Planeten,

Entstehung in ca. 108 Jahren

Aber: Diskrepanzen im Einzelnen - Oft keine hohe Massenkonzentration wie bei Venus und Erde - Planeten haben zu großes e und i im Vergleich zum Sonnensystem ¨ - Spin-Orientierungen eher zufallig

(Chambers, 2001; Paper I (mit weniger Teilchen): Wetherill & Chambers, 1998) W. Kley:

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6.3 Terrestrische ¨ Mit Jupiter (stationar)

Neue Rechnungen Mit Jupiter-Migration

Mit Jupiter-Migrat. (lang)

Wasseranteil

Langzeit N-body Simulationen etwa 2000 Objekte zu Beginn ca. 10 MErde in [0.5, 5.0]AU (Raymond et al., 2006-2007)

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6.3 Terrestrische

Verbesserungen

¨ Zu hohe Exzentrizitaten: Brauche dissipativen Prozess • Planetesimale: ubrig geblieben aus Entstehung ¨ - Reservoir durch Kollisionen aufgefullt ¨ ¨ - Dampfen e und i - werden in clean-up Phase von Planeten akkretiert vesc(surface) < vesc (orbit)

• Gasscheibe: ubrig geblieben aus Entstehung ¨ ¨ - Dampft e und i durch Gezeitenwechselwirkung Problem bei allen Prozessen: ¨ ¨ Stoße der Oligarchen miteinander benotigt exzentrische Bahnen, ¨ aber Dampfungsprozesse reduzieren e: Gegensatz ! ¨ Interessanter moglicher Ausweg: Dynamical Shake-Up Modell (Nagasawa, Lin, Thommes; 2005, 2008) ¨ Idee: Andere Planeten (hier Jupiter & Saturn) und auch Gasscheibe verursachen Prazession ¨ der Apsidenlinie, gplanet = d$planet/dt, des wachsenden Planeten (sakularer Effekt). ¨ Falls Prazessiongeschwindigkeit des Planeten gleich derjenigen von Jupiter gJup (oder Saturn) ¨ ¨ wird, tritt Resonanz ein: ⇒ Erhohung der Exzentrizitat

Scheibeneinfluss nimmt mit der Zeit ab: ⇒ Resonanz wandert von außen nach innen: sweeping secular resonance W. Kley:

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6.3 Terrestrische

Shake-Up Beispiel

Grun ¨ Planeten ¨ Masse ∝ Flache Blaue Linie: Lage der Resonanz (ν5): gplanet = gJup Resonanz ‘treibt’ Planeten vor sich her • Verschmelzungsprodukt ◦ heraus gestreut Rechts: Endmassen mit radialer Variation ◦ Sonnensystem (Thommes et al., 2008)

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6.3.1 Wasser

Anteil

Große Kugel: (D = 1400km) Gesamter Wasservorrat der Erde MH2O = 0.02%MErde Mittlere Kugel: (D = 272km) Gesamtes Frischwasser Kleine Kugel: (D = 57km) in Seen & Flussen ¨ Im Mantel: 10 mal so viel ? ¨ Expt. zur Loslichkeit von H2O in Gestein

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6.3.1 Wasser

Herkunft

Primordial, d.h. aus Erdinnern ? (Theorie von Michael Drake) siehe z.B. vorherige Simulationen (Raymond e.a.) ¨ an Oberflache durch z.B. Vulkanismus Aber: - Wasser in Lava von Hawaii-Vulkanen entspricht Ozeanen - protosolarer Nebel zu heiß bei 1 AE - Erde zu heiß bei Wachstum durch Kollisionen - oder aber zuviel Wasser in Erde ⇒ Erde entweder trocken oder zu nass bei Geburt ? ¨ Spatere Einbringung ? z.B. durch Kometen (Theorie von John Oro) ¨ - Kometen: Schmutzige Schneeballe - oder durch Asteroiden (siehe Meteoriten) ¨ Hier, Klarung durch Isotopenuntersuchung: ¨ ¨ - Messe Verhaltnis: D/H-Verhaltnis (Deuterium/’Protium’) ¨ Deuterium wurde im Wesentlichen im Urknall erzeugt, spater nur vernichtet. Teilweise widersprechende Ergebnisse ! W. Kley:

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6.3.1 Wasser

D/H Messung beim Komet Hartley 2

(Herschel Team, ESA, 2011) kurzester Erdabstand ∼ 0.13 AE = 20 Mio. km, im Oktober 2010 ¨ Im Spektrum: Blau: H218O und Rot: HDO W. Kley:

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6.3.1 Wasser

¨ D/H in Korpern des Sonnensystems

(Herschel Team, ESA, 2011)

⇒ Jupiter-Typ Kometen haben D/H wie Erde, Oort-Wolken-Kometen nicht ¨ ¨ (Note: D/H ist Teilchenzahlverhaltnis, nicht Massenverhaltnis) (D/H)Erde = 0.015% W. Kley:

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6.3.1 Wasser

Aber: Weitere Elemente

(Marty, 2012) ¨ Verhaltnis:

15

N/14N gegen D/H

¨ ¨ ! ⇒ Ursprung des Wasser noch nicht vollstandig geklart W. Kley:

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6.3.2 Mond

Entstehung I

¨ Zu erklarende Merkmale: • Drehimpuls des Mondes • Sehr geringer Eisenanteil (niedrige Dichte) ¨ Entstehung (30 Mio. Jahre nach Sonnensystemursprung) • spate • Sauerstoffisotopenanteile identisch zur Erde ¨ • Leicht fluchtige Elemente unterhaufig ¨ 4 vorgeschlagene Entstehungszenarien: a) Einfang (Capture) b) Doppelplanet

- unwahrscheinlich - dynamisch schwierig ¨ - Elementhaufigkeiten W. Kley:

- Bahnneigungen von Erde/Mond - Dichteunterschied - Drehimpuls

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6.3.2 Mond

Entstehung II

c) Spaltung (Fission)

d) Einschlag (Impact)

+ geringer Eisenanteil + Sauerstoffanteile - brauche 2,5 Std. Erdrotation - volatile Elemente

+ Dichteunterschied + Sauerstoff + Fluchtige Elemente ¨ + Drehimpuls

Einschlagtheorie:

(Hartmann & Davis (1975), Cameron & Ward 1976)

- Heute vorherrschende Theorie ¨ - Haufigkeit eines Einschlags ¨ ¨ - Benotigt Einschlag eines marsgroßen Korpers: Theia W. Kley:

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6.3.2 Mond

Der Einschlag

Smoothed Particle Hydrodynamics Simulation Farbkodierung: Aufheizung des Materials Simulationszeit: 24 Stunden, Erdrotationsperiode am Ende: 5 Std. (Canup & Asphaug, 2001)

Problem: ¨ - identische Sauerstoff-Isotopenhaufigkeit: Mond-Erde - aber: Mond besteht fast nur aus Impaktor-Material W. Kley:

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6.3.2 Mond

Sauerstoff-Isotope

δ 18O= 18O/ 16O (normalisiert auf Erdwerte) SMOW: Standard Mean Ocean Water ∆ 17O: misst Abstand von δ 17O von der terrestrischen Linie TFL: terrestrische Fraktionslinie, MFL, AFL, EFL analog ¨ Unterschiedliche Isotopenhaufigkeiten im Sonnensystem (Gradient?) aber Erde-Mond identisch ⇒ Brauche Mischungsprozess W. Kley:

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6.3.2 Mond

Mondakkretionsscheibe

Gute Mischung der Materialien in protolunarer Akkretionsscheibe ¨ Funktioniert aber nur gut fur Elemente nicht fur ¨ volatile (fluchtige) ¨ ¨ refraktare ¨ aber auch Wolfram- und Titanhaufigkeiten identisch (Touboul ea. 2007, Chang ea 2012)

⇒ Probleme W. Kley:

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6.3.2 Mond

Andere Projektile

¨ Bisher: Einschlage mit MTheia = 0.1-0.15 MErde (Typ A) (abgestimmt auf den Gesamt-Drehimpuls des Erde-Mond Systems) Jetzt (2012) - Neue Rechungen: (B) MTheia = 2% MErde, schnelles Objekt (Cuk & Stewart) → Mond hat nur bis 8% von Theia (C) MTheia ≈ 30-45% MErde, (Canup) → sehr gute Mischung beider Materialien (A) wie bisher, aber mit hoher Geschwindigkeit (Reuffer) → Mond hat nur sehr kleinen Anteil von Theia

¨ ⇒ Klarung durch weitere geochemische Untersuchungen

W. Kley:

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6.3.2 Mond

¨ ¨ Einschlag von ahnlich großen Korpern

Smoothed Particle Hydrodynamics Simulation (300,000 Teilchen) ¨ Zwei Korper mit 45 und 55% der (heutigen) Erdmasse mit mehr Drehimpuls als heutiges System (Verlust durch ’evection resonance’) (erlaubt mehr Freiheit bei Einschlagparameters) Farbkodierung: Temperatur des Materials (von 2000 bis uber 6440 K) ¨ etwa 3 Mondmassen verbleiben in Scheibe um Erde → Mondbildung (Canup, 2012)

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6.3.2 Mond

Schnell rotierende Erde

Smoothed Particle Hydrodynamics Simulation ¨ Zwei Korper mit Erd- und etwa Marsmasse mit mehr Drehimpuls als heutiges System (Erde rotiert schneller) - erlaubt mehr Freiheit bei Einschlagparameters - Verlust durch ’evection resonance’ etwa 2-3 Mondmassen verbleiben in Scheibe um Erde → Mondbildung (Cuk & Stewart, 2012) Der Einschlag

W. Kley:

Evection Resonance

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6.3.2 Mond

¨ Anderung der Erdrotation (Sedimente)

Graphik: ¨ Tageslange (LOD) vs. Zeit vor 2 Mia. Jahren: ¨ Tageslange = 19-20 Stunden Knick: Kontinentaldrift ? ¨ Anfangslange: 16-17 Stunden

W. Kley:

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6.4 Gasriesen

Szenarien

¨ Im wesentlichen 2 Moglichkeiten zur Entstehung der Gasriesen 1) Core Accretion Model oder core instability model Zuerst bilden sich die Kerne, dann wird das Gas akkretiert

(globaler Mechanismus)

(L.Mayer)

(E.Kokubo) W. Kley:

2) Gravitational Instability model ¨ Direkte Bildung durch Instabilitat der Gas/Staub Scheibe

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39

6.4.1 Kernakkretion

Prinzip

Kleiner Kern

Planetesimal- Akkretion

¨ spharische Gas-Akkretion (Runaway-Prozess)

(R.Nelson) W. Kley:

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40

6.4.1 Kernakkretion

Kern-Hulle ¨ Struktur

Warum schnelle Gasakkretion auf Planeten? ¨ Betrachte spharisch-symmetrische Struktur eines (wachsenden) Planeten bestehend aus einem Kern (Masse Mcore) und einer Hulle ¨ (Menv ) Die gesamte Masse ist Mtot = Mcore + Menv (24) ¨ Die Hulle vom Planeten zur ¨ reicht von Rcore bis Rout, welcher durch Ubergang Gasscheibe bestimmt ist. Rout? Wird grob definiert durch: - Durch thermische Effekte, Rout ≈ GMtot/c2s (vgl. Bondi-Radius, vesc = cs), ¨ - oder Gezeitenkrafte Rout ≈ RHill (vgl. Roche-Radius, RR = [Mp/(3M∗)]1/3). ¨ ¨ - Wahle den jeweils kleineren Wert (große Unsicherheit weil fließender Ubergang)

¨ Bei kleiner Hullenmasse ist großter Anteil zur Leuchtkraft durch ¨ Planetesimalakkretion (M˙ core) gegeben GMcore M˙ core L= Rcore

(25)

¨ L wird spater als konstant (durch die Hulle) angenommen. ¨ W. Kley:

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41

6.4.1 Kernakkretion

Aufbaugleichungen

Gleichungen (hydrostatisch), im Wesentlichen identisch zu Sternaufbaugleichungen dp dr L(r) 4πr2

Hydrostatik: Strahlungsdiffusion:

GM (r) ρ 2 r 4 σT 3 dT = − 3 κRρ dr = −

(26) (27)

M (r) Masse innerhalb des Radius r , L(r) Leuchtkraft am Radius r (hier constant), ¨ σ Stefan-Boltzmannkonstante, κR Rosseland-Opazitat ¨ Dividiere Gleichungen und ersetze dT /dp durch T /p, d.h. den Werten am Ubergang KernHulle ¨ (Rcore). (vgl. Ableitung von globalen Relationen bei Sternen)

3κRL p 16πσGM Als Zustandsgleichung wird die ideale Gasgleichung verwendet ⇒

T4 '

(28)

Rgas ρT p= µ

(29)

Rgas Gaskonstante, µ mittleres Molekulargewicht W. Kley:

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42

Aufbaugleichungen

6.4.1 Kernakkretion

Mit L = const. und M (r) = Mtot (geringe Hullenmasse) folgt ¨ Hydrostatik

T

Strahlungsdiffusion

µ GMtot 1 · Rgas r  4 64πσ µGMtot 1 · 3 3κRL Rgas r

'

ρ '

(30) (31)

Die Masse der Hulle ¨ ist nun gegeben durch (mit κR = const.) R Zout

Menv =

2

4πρ(r)r2dr =

256π σ 3κRL



µGMtot Rgas

4

 ln

Rout Rcore

 (32)

Rcore 3 Fur ) wird ¨ einen Kern konstanter Dichte (ρcore ∝ Mcore/Rcore

GMcore M˙ core 2/3 ˙ L= ∝ Mcore Mcore Rcore

(33)

mit Mtot = Mcore + Menv und konstantem Logarithmus (in Gl. 32) folgt W. Kley:

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43

Kritische Kernmasse

6.4.1 Kernakkretion

 Mtot ' Mcore +

K κR



4 Mtot 2/3 Mcore

(34)

K ist eine Konstante bzgl. Mcore und ¨ Mtot, hangt aber von µ und M˙ core ab. Die Gleichung (34) hat keine reelle ¨ Losung fur ¨ Mtot, falls Mcore zu groß. ¨ Großte Masse Mcrit ist (aus dMcore/dMtot = 0)

Mcore vs. Mtot (Stevenson, 1982)

Mcrit ' 0.38

 κ 3/4 R

K

(35)

Fur ¨ typische Parameter (bei 5AE) 3/7

D.h. Oberhalb einer kritischen Kernmasse (Mcrit) hat eine Hulle kein ¨ hydrostatisches Gleichgewicht ⇒ Kontraktion und Akkretion W. Kley:

Planetenentstehung (WS 2012/13)

Mcrit ' 20κR M⊕

(36)

mit κR in Einheiten von [cm2/g] Mizuno (1980): detailliertes numerisches Modell 44

6.4.1 Kernakkretion

Diskussion: Core-Accretion-Model Schematisches Wachstum

Genauere Modellrechnungen ergeben Resultate ≈ wie im rechten Bild Typische Anwachszeit ≈ 106 Jahre Aber Details sehr unsicher: ¨ κR Opazitat: Kleinere Werte in Hulle erlauben schnelleres ¨ Wachstum ¨ Abhangig von Staubmenge

Konvektion: in Hulle ¨ ¨ verandert Strahlungstransport

Chemische Zusammensetzung: µ Accretionsrate: M˙ env Eindimensionale vs. mehrdimensionale Modelle

Migration durch Scheibe ¨ radiale Wanderung andert Akkretionsrate

W. Kley:

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(Scholarpedia)

Kernbildungszeit < 106 Jahre Hydrostat. Phase: einige 106 Jahre Masse hier ≈ 10M⊕ Start Runaway bei (5 − 10) × 106 Jahren 45

6.4.1 Kernakkretion

Diskussion: Core-Accretion-Model

Vorteil: ¨ Erklarung der Kerne der Solaren Planeten Aber: Parameter-Finetuning notwendig Fur ¨ Σsolid  10g/cm2: zu viele schwere Elemente im Vergleich zum heutigen Jupiter Fur ¨ Σsolid  10g/cm2: Kernbildungszeit zu lang, kein Gas mehr ubrig ¨ (Nur Neptunmasse Planeten um massearme Sterne ?) Lange Zeitskalen zur Bildung von Uranus & Neptun ¨ Mogliches Szenario: Bildung von (U,N) ¨ in der Nahe von Jupiter und Saturn, anschließend Streuprozess, vgl. NizzaModell

W. Kley:

(www.oklo.org)

Planetenentstehung (WS 2012/13)

46

6.4.1 Kernakkretion

Ende des Wachstums

¨ genug Gas zur Verfugung In der Entstehungsregion von Jupiter ware gewesen ¨ ¨ fur Planeten. Was begrenzt das Wachstum? ¨ ein viel großeren Falls RHill ≥ H(Scheibendicke) Falls RHill < H(Scheibendicke)

(Armitage)

¨ Scheibe kaum gestort ⇒ wenig Einfluss auf Wachstum (Armitage)

Scheibe unterbrochen ⇒ Einfluss auf Wachstum W. Kley:

Planetenentstehung (WS 2012/13)

47

6.4.1 Kernakkretion

Luckenbildung ¨ 0

Was verursacht die Entstehung einer Lucke am Ort des Planeten in der Schei¨ be? • Nur zum Teil die Akkretion von Materie auf den Planeten • Vor allem Drehimpulstransport von dem Planeten auf die Scheibe Zwei Betrachtungsweisen: • Impulsapproximation (Bewegung einzelner Teilchen) ¨ • Hydrodynamische Sichtweise (Uberlagerung von Schallwellen)

W. Kley:

Planetenentstehung (WS 2012/13)

48

6.4.1 Kernakkretion Luckenbildung ¨ I ¨ und Gasdruck Breite der Lucke wird bestimmt durch Gravitation, Viskositat ¨ Untersuche Drehimpulstransport aufgrund Gravitationswechselwirkung Impulsapproximation: Teilchen (der Gas¨ scheibe) wird nur in nachster Umgebung vom ¨ Ablenkung um Winkel δ Planeten (•) gestort. beim Vorbeigang (Kepler:hyperbolische Bahn) 2

2

2

2

cot (δ/2) = vrel∆r /(G mp) Relativgeschwindigkeit vrel = rdΩ(rd) − rpΩp. ¨ ⇒ spez. Drehimpulsanderung des Gases pro Vorbeigang (durch ∆vϕ)

∆j = −vrelrd(1 − cos δ) ≈ −

2G2m2prd 3 (∆r)2vrel

Vorbeigang: alle ∆t = 2π/|Ω − Ωp| d.h. Austauschrate: j˙ = ∆j/∆t Gesamter Austausch

J˙ ≡

Z∞

Σ j˙ 2πrd(∆r)

(37)

∆r0

W. Kley:

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(Cassen, 2003) 49

6.4.1 Kernakkretion

Luckenbildung ¨ II

Nach Entwicklung von Ω(r) um Ωp und Integration folgt 8 ˙ Jgrav = − 27



rp ∆r0

3 

mp M∗

2

Ω2pΣrp4

(38)

Bem: ¨ - Trotz dieser einfachen Naherung ist Ergebnis fast exakt. ¨ folgt J˙ aus komplexen hydrodynamischen Wellenphanomenen ¨ - In Realitat ¨ - Minuszeichen: Innere Scheibe verliert Drehimpuls, d.h. außere gewinnt ¨ - In der Nahe des Planeten (∆r0 → 0) steigt J˙ steil an =⇒ Im Bereich der des Planeten wird Scheibe ‘weggedruckt’ (Lucke) ¨ ¨ ˙ gilt am Ort des Planeten Fur ¨ die viskosen Drehmomente (J) J˙visc = M˙ jp = 3πΣν rp2Ω

(39)

Fur muss J˙grav ≥ J˙visc sein. Sei kleinstes ∆r = RHill, dann ¨ Luckenbildung ¨ q ≥ qvisc '

W. Kley:

10ν Ωp rp2

Planetenentstehung (WS 2012/13)

(wobei q =

mp ) M∗

(40)

50

6.4.1 Kernakkretion

Luckenbildung ¨ III

Ein zweites Kriterium (fur folgt aus der Bedingung, dass ¨ eine Luckebildung) ¨ ¨ großer ¨ die Hillsphare als die Scheibendicke wird, RHill ≥ H 

q ≥ qHill

H '3 r

3 (41) p

Fur ¨ typische Parameter der protoplanetaren Scheibe liefern beide Kriterien ¨ eine ahnliche Grenzmasse fur zwischen Jupiter- und Saturn¨ Luckenbildung: ¨ masse. ¨ ¨ erklart. ¨ Damit wurde die erreichte Masse von Jupiter zunachst sehr schon ¨ D.h. Gute Ubereinstimmung mit dem Sonnensystem ¨ Spatere hydrodynamische Rechungen zeigten, dass die Masse jedoch daruberhinaus wachsen kann ¨ ¨ D.h. Gute Ubereinstimmung mit den extrasolaren Planeten (→ Kapitel 7)

W. Kley:

Planetenentstehung (WS 2012/13)

51

6.4.1 Kernakkretion Mp = 1 MJup, ap = 5.2 AE,

Dynamische Luckenbildung ¨ Scheibe um 1 M Stern

Hydrodynamische Entwicklung (Navier-Stokes)

Allgemeines Kriterium fur (Crida et al., 2006) ¨ Luckenbildung ¨ 3 H 50 + ≤1 4 RHill q Re

(42)

mit q = mp/M∗, Re = r22Ωp/ν. W. Kley:

Planetenentstehung (WS 2012/13)

52

¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Vorbemerkung

Typisches Verhalten einer massereichen Scheibe bei der Eigengravitation: Nicht-axialsymmetrische ¨ Storungen mit Bildung von Spiralarmen (vgl. Galaxien) In Abb. rechts Scheibe mit Mdisk = 0.07M um Stern mit M∗ = 0.5M mit tcool = Pout(Rout) Bildausdehnung 120AE ¨ (dagestellt: Teff , ahnlich zu ρ) (Mejia et al. 2005)

W. Kley:

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Direkter Kollaps

¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Ein genugend massereiche, bzw. kuhle Scheibe ist gravitativ instabil falls ¨ ¨ (aufgrund des Toomre-Kriteriums) Q=

csΩ < Qcrit = 1 πGΣ

(43)

(fur ¨ κ = Ω). Betrachte jetzt Scheibe bei 10AE mit H/r ≈ 0.05 (d.h. cs ' 0.33km/s). Fur ¨ Q = 1 wird Σ ' 103g/cm2 ¨ ¨ benotigt. Dies ist viel großer als der MMSN (Minimum Mass Solar Nebula). ¨ konnte ¨ Gravitationsinstabilitat nur in noch fruherem Stadium stattfinden, wenn ¨ die Scheibenmasse noch hoch ist. ¨ Charakteristische instabile Wellenlange war λcrit = 2c2s /(GΣ) ¨ Die Masse eines solchen Fragments ware Mp ∼

πΣλ2crit

4πc4s = 2 ∼ 2MJup G Σ

Also potentiell Gasriesen geeigneter Masse produzierbar! (Idee geht zuruck ¨ auf Kuiper (1951) oder Cameron (1978)) W. Kley:

Planetenentstehung (WS 2012/13)

54

¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

¨ Instabilitatsbereich

Betrachte viskose Akkretionscheibe mit M˙ = 3πνΣ c3s ⇒Q∝ M˙ ¨ nach außen Schallgeschwindigkeit fallt ab. Instabilster Bereich am Außenrand der Scheibe Heizung durch externe Quellen wird ¨ beeinflussen Stabilitat In Abb. rechts Scheibe mit ≈ 160MJup • lokal isotherm γ = 1 ◦ lokal adiabatisch γ = 1.4 ( p ∝ ργ )

W. Kley:

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(Boss, 1997)

55

¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Beispielrechnung I

3D, Finite Differenzen-Code, Nr = 51, Nθ = 23, Nϕ = 64, Mdisk ≈ 140MJup, p ∝ ργ (Boss, 1997) ¨ Anfangsbed.: kleine m = 2 Storung, und Random-Noise

A) lokal isotherm (γ = 1)

B) lokal adiabatisch (γ = 1.4)

Jeweils zwei ’Protoplaneten’ bilden sich am Außenrand (Pfeile) . W. Kley:

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¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Beispielrechnung II

(L. Mayer, 2004) SPH: 106 Teilchen lokal isotherm (d.h. H/r = const.) R = 20AE Oben: Qmin = 1.8 Unten: Qmin = 1.4 Links: t = 160 Jahre Rechts: t = 350 Jahre

¨ Falls moglich: ¨ sehr schnell, Instabilitat auf dynamischen Zeitskalen tdyn ' Ω−1

W. Kley:

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¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Bspl.: Kuhlung ¨ der Scheibe

SPH-Rechnung 200,000 Teilchen, Qmin ' 2 Scheibe zu Beginn lokal isotherm (H/r = const) Tout(20AU ) = 100K Oben links: Ohne Kuhlung nach 350 Jahren ¨ - glatte Dichteverteilung - keine Fragmentation - Q > 1 uberall in Scheibe ¨ dann Einschalten von Kuhlung ¨

tcool = 0.2 K /Jahr (konstante Kuhlrate) ¨ Snapshots zu 450, 550, 650 Jahren Fragmentation falls T ≤ 42K (dann Q < 1)

W. Kley:

(Mayer et al. 2004)

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58

¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Kuhlung/Heizung ¨ I

¨ (Fragmentation) wird bestimmt durch Heizung und Kuhlung Lokale Instabilitat ¨ der Scheibe. ¨ ¨ ¨ Uberwiegt ¨ Uberwiegt Kuhlung ⇒ Instabilitat, Heizung ⇒ Stabilitat ¨ Heizprozesse: - interne Stoßwellen (Spiralarme, Shockdissipation) ¨ (α-Scheiben, visk. Dissipation) - Viskositat - externe Heizung (durch Zentralstern & nahe Sterne, wichtig in Außenbereichen)

Kuhlprozesse: ¨ - Zustandsgleichung lokal isotherm (≡ starke Kuhlung): Gas kann sich (z.B. bei Kompression) nicht aufheizen ¨ oft lokal isotherm fur ¨ geringe Dichten, dann adiabatisch oberhalb ρcrit (Sternentstehung) - einfache Kuhlgesetze (Def. durch Kuhlrate Λcool = /tcool) ¨ ¨ tcoolΩ = const. (fester Bruchteil der Rotationsperiode) tcool = const. (fester Wert) ¨ - Strahlungskuhlung (an Scheibenoberflache) ¨ ¨ κR ∝ ZT β (κR durch Staubteilchen verursacht, Z : Metall-Hfgkt.) mit Opazitat

tcool

etherm 4 −3+β ∝ T /T ∝ T Z ' eff 4 2σTeff

4 4 (hier optisch dick: Teff = Tmid /τ mit der optischen Tiefe τ ∼ ΣκR ) ¨ typisch: −3 < β < 3, d.h. tcool wachst mit sinkendem T

W. Kley:

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¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Kuhlung/Heizung ¨ II

¨ Kuhlzeit tcool ist Kontrollparameter, der mogliche Fragmentation bestimmt ¨ (Gammie, 2001)

tcool ≤ 3Ω−1 ⇒ Fragmentation

(44)

tcool ≥ 3Ω−1 ⇒ keine Fragmentation

(45)

¨ Einfache Abschatzung: ¨ In einer dunnen, stationaren (viskosen) Akkretionsscheibe halten sich Kuhlung & Heizung die ¨ ¨ Waage (Pringle, 1981) 4 1 −1 tcool ' Ω 9 γ(γ − 1)α Fur ¨ α ∼ 10−2, γ = 1.4 ergibt sich ∼ 12 Perioden. ¨ (grobe Zeitskala zur Anderung der thermischen Struktur einer Akk.-Scheibe)

Weitere Komplikationen: - Konvektion in der Scheibe (Effizienz des Strahlungstransports) - Effizienz der Turbulenz (Magneto-Rotational-Instability, Dead-zones) ¨ - Chemische Zusammensetzung (Opazitat) ¨ ¨ - Außere Einflusse, z.B. Sternvorbeigang (‘Triggerung’ einer Instabilitat) ¨ ¨ der Fragmente gegen Scherung in der Scheibe - Stabilitat W. Kley:

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60

¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat Im wesentlichen 2 alternativ Methoden SPH Smoothed-ParticleHydrodynamics

Numerik: Methoden GASOLINE (SPH)

GADGET2 (SPH)

Indiana Code (Cyl.Grid)

FLASH (AMR-Cart.Grid)

Gitter-Codes finite Differenzen, finite ¨ Volumen, Riemann-Loser ... ¨ Einzelheiten hangen z.T. von numerischen Parametern ab: ¨ - kunstlicher Viskositat ¨ ¨ - Auflosung (Gitterpunkte, Teilchenzahl) - Eigengravitation ¨ ¨ ¨ (Loser, Glattungsl ange) ...

Wichtig: Vergleiche mit verschiedenen Methoden W. Kley:

(Durison et al. 2007)

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¨ Numerik: Auflosung 3D SPH Rechnungen (F. Meru, 2010)

¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Hydrodynamik: MStar = 1 M , MDisk = 0.1 M ¨ und β-Kuhlung, Nur kunstliche Viskositat β = tcoolΩ, 0.25 ≤ r ≤ 25 ¨ ¨ Teilchenzahlvariation (32,000 bis 16 Mio.) at t = 5.3, 6.4, 5.3, 2.5 ORP

W. Kley:

Planetenentstehung (WS 2012/13)

fragmentiert N, nicht , borderline

62

Numerik: Potential

¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat 2D Gitter-Simulationen (FARGO)

¨ (Glattung berucksichtigt vertikale Dicke der Scheibe) ¨

1 Ψ∝ 2 (s + 2)1/2 ¨ (s ist Abstand zweier Massenelemente in der Scheibe,  der Glattungsparameter)

 = 0.6H

¨ Realistische Glattung: ≈H W. Kley:

 = 0.006H

(Muller, Kley & Meru 2012) ¨

⇒ weniger Fragmentation

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¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Animation I

Entwicklung einer selbstgravitierenden protoplanetaren Scheibe Hydrodynamik: MStar = 0.5 M , MDisk = 0.07 M ¨ (AV) Mit radiativer Kuhlung & kunstlicher Viskositat ¨ ¨ Mit (oben) /ohne (unten) Einstrahlung (Irradiaton) Links: Dichte & rechts Temperatur (Durison et al., 2005)

W. Kley:

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¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Animation II

¨ in protoplanetarer Scheibe Gravitations-Instabilitat Hydrodynamik: MStar = 1 M , MDisk = 0.1 M Lokal isotherm (L. Mayer, 2002)

W. Kley:

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¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Animation III

2D Gitterrechnungen Hydrodynamik: MStar = 1 M , Viskose Heizung und radiative Kuhlung ¨ (Tobias Muller, 2010) ¨

MDisk = 0.5 M

W. Kley:

MDisk = 1.0 M

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¨ 6.4.2 Gravitationsinstabilitat

Wechselwirkung mit Teilchen

Im Gas eingebettete Teilchen erfahren (hydrodynamische) Reibung Bewegen sich relativ zum Gas in Richtung der Druckmaxima d.h. hier: Ansammlung in den Spiralarmen ¨ ⇒ Unterstutzung der Instabilitat ¨ ⇒ Anreicherung mit Metallen (Kerne ?) ¨ und Gravitationsinstabilitat ¨ Kombination von Kerninstabilitat

(Rice et al. 2005) W. Kley:

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