Technische Betriebswirtschaft D. Bangert

Physik und Umwelt

Thermodynamik LE3

Physik und Umwelt – Lerneinheit 3 Hauptsätze der Thermodynamik Wärmeübertragung Wärmeschutz und energetische Sanierung

Dampfmaschine von James Watt

Dieter Bangert März 2016

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1 Hauptsätze der Thermodynamik Das Studium der Wärme und ihrer Umformungen war für die Entwicklung der modernen Zivilisation von großer wissenschaftlicher und noch größerer technischen und wirtschaftlichen Bedeutung. John Desmond Bernal (1901 – 1971)

1.1 Erster Hauptsatz (Energieerhaltung) Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik schränkt die in der Natur vorkommenden Prozesse ein: Nur solche Prozesse sind möglich, bei denen die Gesamtenergie konstant bleibt. Innerhalb eines Systems können die verschiedenen Energieformen jedoch ineinander umgewandelt werden. Dabei sind Wärme und Arbeit gleichwertig. Wärme kann aus Arbeit erzeugt und umgekehrt kann Wärme in Arbeit umgewandelt werden. Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik stellt daher eine Zusammenfassung der experimentellen Erfahrung aus der Energieumwandlung dar. Er wird üblicherweise in verschiedenen Formulierungen angegeben: Wärme und Arbeit sind gleichwertig. Wärme kann in Arbeit und Arbeit in Wärme umgewandelt werden. Oder: Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art; das heißt, es gibt keine Maschine, die ständig Arbeit abgibt, ohne gleichzeitig Energie aufzunehmen. dU = dQ + dW Bei reversibler Volumenänderungsarbeit ist dW = -pdV. Der Erste Hauptsatz der Thermodynamik stellt eine andere Formulierung des verallgemeinerten Energieerhaltungssatzes der Mechanik dar: dE = dQ + dW Die Rolle der mechanischen Energie dE spielt in der Thermodynamik die innere Energie dU. Die Änderung der inneren Energie dU eines geschlossenen Systems ist gegeben durch die Summe von übertragener Wärme dQ und mechanischer Arbeit dW, die das System an seiner Umgebung verrichtet. Dabei gilt die Vorzeichenkonvention: dQ, dW sind positiv, wenn das System Wärme und Arbeit aufnimmt; dQ, dW sind negativ, wenn das System Energie nach außen abgibt.

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2 Reversible und irreversible Prozesse Nach dem 1. Hauptsatz sind alle Energieformen ineinander umwandelbar, wenn nur ihre Summe unverändert bleibt (Energieerhaltung). Die Erfahrung zeigt nun, dass die in der Natur möglichen Prozesse einer zusätzlichen Einschränkung unterliegen. Nicht alle im Einklang mit dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik stehenden Umwandlungsprozesse werden auch tatsächlich beobachtet. Manche Prozesse verlaufen in der Natur offensichtlich nur in einer Richtung ab, nicht aber umgekehrt. Man nennt sie irreversibel, d.h. nicht umkehrbar. Diejenige Größe, die die Richtung von irreversiblen Zustandsänderungen festgelegt, ist die Entropie S (grch. entrepo: umkehren). Sie ist neben p, T, V eine weitere wichtige Zustandsgröße der Thermodynamik. Bei reversiblen Zustandsänderungen in einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtentropie S konstant. Bei irreversiblen Zustandsänderungen nimmt die Gesamtentropie im abgeschlossenen System stets zu. Die Entropie kann bei allen Zustandsänderungen nie abnehmen. Die Entropie S eines Systems ist ein Maß für die mikroskopische Realisierungswahrscheinlichkeit eines speziellen Zustands des Systems. Beispiel:

2.1

Zwei Wassermengen verschiedener Temperatur mischen sich von selbst so, dass sich eine einheitliche Mischtemperatur einstellt.

Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik

Die experimentelle Erfahrung zeigt: - Wärme geht von selbst nur von einem Körper höherer Temperatur auf einen Körper tieferer Temperatur über. - Nur ein Teil der Wärme lässt sich in Arbeit umwandeln. Diese Erfahrungstatsachen führen zu folgenden Formulierungen des Zweiten Hauptsatzes: Es existiert keine periodisch arbeitende Maschine, die einem einzelnen Wärmereservoir nur Wärme entzieht und daraus ausschließlich Arbeit erzeugt. Oder: In einem isolierten System kann die Entropie nicht abnehmen, d.h. es gilt ∆S ≥ 0 . Alle Vorgänge in einem abgeschlossenen System verlaufen von selbst so, dass sich Ordnung in Unordnung umwandelt. Der Endzustand ist immer derjenige, in dem der Ordnungszustand des Systems minimal ist. Das abgeschlossene System strebt somit dem Zustand maximaler Unordnung oder maximaler Entropie an. Ein Perpetuum mobile 2. Art, d.h. eine Maschine, die gegen den 2. Hauptsatz verstößt, ist unmöglich. Im Gegensatz zum Perpetuum mobile 1. Art würde diese Maschine nicht gegen den Energieerhaltungssatz verstoßen. Das Perpetuum mobile 2. Art wäre ein Prozess, der LE-3-3

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einem System Wärme entzieht um diese vollständig in Arbeit umzuwandeln. Als Konsequenz ergibt sich gemäß Kapitel 4 die prinzipielle Beschränkung des Wirkungsgrades η von Wärmekraftmaschinen zu:

η < η th = 1 −

T2 T1

η th ist der thermodynamische Grenzwert des Wirkungsgrades. BeispieIe: I R R E V E R S I B L E

PROZESSE

Diffusion von Wolken Wärmekontakt B A

TA

T B

heiß

kalt

TAB

mittlere Temperatur TAB

Abb. 1: Beispiele für nichtumkehrbare Prozesse Werden zwei Körpern mit unterschiedlichen Temperaturen TA und TB in Wärmekontakt gebracht, in dem die thermisch isolierende Zwischenwand entfernt wird, so stellt sich durch Temperaturausgleich eine mittlere Temperatur TAB ein.

2.2 Entropie Der 1. Hauptsatz sagt nichts über die Richtung aus, in der ein Vorgang ablaufen kann. Zur Beschreibung von irreversiblen Vorgängen, die ohne äußere Einwirkung nur in eine Richtung ablaufen, dient die Entropie S. Die Änderung der Entropie dS ist wie folgt definiert: dS =

dQ T

[ S ] = J/K LE-3-4

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Mit dieser Definition der Entropie wird folgende experimentelle Beobachtung erfasst:

Wärme ist um so wertvoller ist, je höher die Temperatur ist, bei der sie zur Verfügung steht. Für reversible adiabatische Vorgänge folgt aus dQ = 0 auch dS = 0 und damit S = konst. Adiabatische Vorgänge laufen daher bei konstanter Entropie ab und heißen daher auch isentropisch. Während die Temperatur nur für thermische Gleichgewichtszustände definiert ist, kann die Entropie für jeden beliebigen Zustand eines thermodynamischen Systems festgelegt werden.

2.3 Freie Energie Da jedes System das Bestreben hat, in einen Zustand niedrigstmöglicher Energie überzugehen, verlaufen z. B. chemische Reaktionen nur dann von selbst, wenn ein Energieunterschied zwischen den Ausgangs- und den Endprodukten besteht. A + B → C + D + Energie Dieser Energieunterschied stellt dabei die treibende Kraft für die chemische Reaktion dar und ist gleichzeitig die Ursache für die chemische Bindung. Als Beispiel soll dazu die Bildung von Wasser aus Wasserstoff H2 und Sauerstoff O 2 betrachtet werden:

2 H2 + O 2 → 2 H2 O + Energie Obwohl die Bildung von Wasser aus Wasserstoff und Sauerstoff eine exotherme Reaktion ist, passiert zunächst überhaupt nichts, wenn man beide Gase durch Wegnehmen einer Trennwand in einem Gefäß mischt.

Abb. 2: Diffusion und Vermischung zweier getrennter Gase Zwischen dem Ausgangszustand ( H2 -/ O 2 -Gemisch) des Reaktionssystems und dem Endzustand ( H2 O ) scheint eine Energiebarriere zu liegen, die das System daran hindert, sofort in den energetisch günstigeren Zustand zu gelangen. Um diese Barriere zu überwinden, ist Energie notwendig, die als Aktivierungsenergie bezeichnet wird. LE-3-5

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Abb. 3: Definition der Aktivierungsenergie Zwischen dem Ausgangszustand und dem Endzustand einer Reaktion A + B → C + D liegt ein Energieberg, dessen Höhe durch die so genannte Aktivierungsenergie gegeben ist. Diese Energie muss dem System A + B erst zugeführt werden, bis es vom höchsten Punkt, dem Übergangszustand, in den energetisch günstigsten Endzustand (C + D) "herunterfallen" kann. Je höher die Aktivierungsenergie, um so langsamer läuft die Reaktion ab. Durch Zufuhr z. B. von Wärme wird das System den Berg gewissermaßen hinaufgeschoben; daher werden alle chemischen Reaktionen durch Erhitzen der Ausgangsstoffe beschleunigt. Bevor durch die Bildung neuer chemischer Bindungen Bindungsenergie gewonnen wird, muss Energie zugeführt werden, um die Bindungen der Ausgangsstoffe aufzubrechen. Wird diese Aktivierungsenergie, die nichts mit der eigentlichen Reaktionsenergie zu tun hat, von außen zugeführt, so wird die exotherme Reaktion eingeleitet (hier: Knallgasexplosion). Durch Verwendung so genannter Katalysatoren, d.h. Stoffe, die die chemische Reaktion beschleunigen ohne selbst als Ausgangsstoffe oder Endprodukte aufzutreten, wird die Aktivierungsenergie einer chemischen Reaktion herabgesetzt.

Abb. 4: Wirkungsweise von Katalysatoren Ein Katalysator beschleunigt eine Reaktion, in dem er die Aktivierungsenergie herabsetzt. Bei Anwesenheit eines Katalysators weniger Energie gebraucht, um das System den Aktivierungsberg hinauf zuschieben. Der Effekt ist für Hin- und Rückreaktion der Gleiche; deshalb verschiebt die Anwesenheit des Katalysators nicht die Lage eines chemischen LE-3-6

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Gleichgewichts. Dieser Vorgang wird Katalyse genannt. In der Technik werden oft fein verteilte Metalle (z. B. Platin) als Katalysatoren verwendet. In der Biochemie werden Enzyme, d.h. große Proteinmoleküle als Katalysatoren eingesetzt. Mit Hilfe des Entropiebegriffes ist es möglich, die Energie darzustellen, die ein System tatsächlich abzugeben in der Lage ist. Man nennt sie Freie Energie F und es gilt für sie: F = U - TS Diese Beziehung zeigt, dass die tatsächlich verfügbare Energie, die Freie Energie F, sich aus dem Bilanzwert für die innere Energie U, vermindert um den Anteil T ⋅ S , ergibt. Das Produkt T ⋅ S stellt die thermische Energie dar, die im System durch Änderung ihres Ordnungszustandes infolge der betrachteten Umwandlung selbst verbraucht wird und damit nicht mehr verfügbar ist.

3 Thermodynamischer Wirkungsgrad und Carnot-Prozess Ändert man durch äußere Einwirkungen den Zustand eines thermodynamischen Systems, so bezeichnet man diesen Vorgang als thermodynamischen Prozess. Einen Prozess, bei dem sich ein System nach einer Folge von Zustandsänderungen wieder im Ausgangszustand befindet, nennt man Kreisprozess. Man unterscheidet Kreisprozesse in geschlossenen Systemen von Kreisprozessen in offenen Systemen. In geschlossenen Systemen wird die Wärmeenergie mittels Wärmeleitung durch geschlossene Wände von außen in das in der Wärmekraftmaschine strömende Fluid (Flüssigkeit, Gas, Dampf) übertragen, so z. B. in der Dampfkraftmaschine vom Feuerungsraum zum Heizkessel. In offenen Systemen werden die Reaktionswärmen durch chemische Reaktion der Brennstoffe mit Sauerstoff in der Wärmekraftmaschine freigesetzt. Daher stellen alle Brennkraftmaschinen offene Systeme dar, bei denen Brennstoff und Luft von außen zugeführt und die Abgase nach außen abgeführt werden. Der Carnot-Prozess nach Sadi Carnot (1796 - 1832) ist dabei der wichtigste Kreisprozess der Thermodynamik. Er gibt an, wie Wärme bei einer gegebenen Temperatur am besten in Arbeit umgewandelt wird. Der Carnot-Prozess ist ein Kreisprozess in einem geschlossenen System. Jede zyklisch, d.h. in einem Kreisprozess arbeitende Maschine nimmt Wärme auf und gibt Wärme ab. Man bezeichnet einen Kreisprozess als reversibel oder umkehrbar, wenn der Anfangszustand ohne Änderung der Umgebung erreicht wird. Der reversible Kreisprozess stellt jedoch einen praktisch nicht durchführbaren Idealprozess dar, mit dem die praktisch realisierbaren irreversiblen Kreisprozesse verglichen werden. Man bezeichnet die reversiblen Kreisprozesse daher auch als Vergleichsprozesse. Der Carnot-Prozess stellt einen idealisierten Kreisprozess dar, der aus zwei reversiblen isothermen Zustandsänderungen und zwei reversiblen adiabatischen Zustandsänderungen besteht. Das Arbeitsgas befindet sich dabei in einem Zylinder mit beweglichem Kolben. Durch Verschiebung des Kolbens kann Volumenänderungsarbeit verrichtet werden. Der Carnot-Prozess stellt die beste Realisierung für die Umwandlung von Wärme in Arbeit dar. Der Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses kann daher von keinem anderen Kreisprozess übertroffen werden.

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Im Folgenden kennzeichnet Wik die am Arbeitsgas bei Kompression während der Zustandsänderung i → j verrichtete und damit zugeführte Arbeit. Mit − Wlm wird die vom Arbeitsgas bei Expansion über den beweglichen Kolben während der Zustandsänderung l → m nach außen abgegebene Arbeit bezeichnet. Der Carnot-Prozess, der durch insgesamt vier Zustandsänderungen realisiert wird, beginnt in Abb. 5 mit der isothermen Expansion des Arbeitsgases von V1 nach V2 . Der Zylinder steht dabei in thermischen Kontakt mit einem Wärmereservoir mit einer hohen Temperatur T1 . Seine Wärmekapazizät ist so groß, dass eine ihm entnommene und dem Gas zugeführte Wärmemenge keinen Einfluss auf die Temperatur T1 des Reservoirs hat. 1. Isotherme Expansion vom Zustand p1, V1 in den Zustand p2, V2 bei T1 = konst. zu Die nach außen isotherm abgegebene Arbeit − W12 wird in Form von Wärmeenergie Q12 dem umgebenden Wärmereservoir entnommen und dem Arbeitsgas zugeführt: V2

W12 = − ∫ pdV V1

V2

V2

V1

V1

zu − W12 = Q12 = ∫ pdV = ∫ nRT1

Zustandsgleichung:

V dV V2 n dV m = ∫ RT1 = RT1 ln 2 V V M V1 V1 M

pV =

p=

m RT1 M

m RT1 M V

2. Adiabatische (isentrope) Expansion von p 2 , V2 nach p 3 , V3 . Sie erfolgt ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung (dQ = 0). Die abgegebene Arbeit − W23 ist gleich der Abnahme der inneren Energie: W23 = c V m( T3 − T2 ) = c Vm(T2 − T1) = −c Vm(T1 − T2 )

− W23 = c V m(T1 − T2 ) 3. Isotherme Kompression von p3, V3 nach p4, V4. Hierbei wird dem Gas isotherm Arbeit zugeführt. Der Zylinder steht dabei in thermischen Kontakt mit einem Wärmereservoir mit einer niedrigen Temperatur T2 . Seine Wärmekapazizät ist so groß, dass eine dem Gas entnommene und ihm zugeführte Wärmemenge keinen Einfluss auf die Temperatur T2 des Reservoirs hat. Die der Kompressionsarbeit entsprechende Wärmemenge − Q 34 wird an das Wärmereservoir abgegeben:

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V4

V3

V3

W34 = − ∫ pdV = − ∫

W34 = −

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m dV m V ab RT2 = − RT2 ln 4 = −Q12 M V M V3

m V m V RT2 ln 4 = RT2 ln 3 M V3 M V4

4. Adiabatische (isentrope) Kompression von p4, V4 nach p1, V1. Dies ist die Umkehrung von Schritt 2. V1

W41 = − ∫ pdV = c Vm(T1 − T4 ) V4

W41 = c V m(T1 − T2 ) Dabei wird dem Gas die gleiche Arbeit W41 = − W23 zugeführt, die von ihm während der adiabatischen Expansion nach außen abgegeben wurde. Durch Addition der vier Teilprozesse lässt sich die insgesamt von dem Arbeitsgas abgegebene Arbeit − ∆W ermitteln, die gemäß Konvention mit negativen Vorzeichen versehen ist: − ∆W = − W12 − W23 + W34 + W41 = − W12 + W34 da W23  =  W 41 

folgt

− W23 + W 41 = 0

− ∆W = − W12 + W34 − ∆W =

m V V R (T1 ln 2 + T2 ln 4 ) M V1 V3

Für adiabatische (isentrope) Zustandsänderungen gilt das Poissonsche Gesetz: pV κ = konst. oder TV κ −1 = konst. Für die im p,V-Diagramm des Carnotschen Kreisprozesses eingezeichneten Adiabaten, welche die isentrope Expansion (Kurve → ) und die isentrope Kompression (Kurve → ) beschreiben, gilt:

T1V2κ −1 = T2 V3κ −1 T2 V4κ −1 = T1V1κ −1 Division liefert:

(

V V2 κ −1 ) = ( 3 ) κ−1 V1 V4

oder

V2 V3 = V1 V4 LE-3-9

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Damit folgt für − ∆W , der beim Durchlaufen des Kreisprozesses insgesamt abgegebenen Arbeit, der sog. Nutzarbeit : m V R(T1 − T2 ) ln 2 M V1

− ∆W =

Dabei gilt:

ln

V V V V4 V = ln( 3 ) −1 = −1⋅ ln 3 = − ln 3 = − ln 2 V3 V4 V4 V4 V1

Aus dem Wärmereservoir mit der höheren Temperatur T1 wird während der isothermen zu Expansion ( → ) die größere Wärmemenge Q12 entnommen. Sie wird dem thermodynamischen System zugeführt und bestimmt über den Anteil, der in mechanische Arbeit überführt werden kann, den Wirkungsgrad. Im übernächsten Schritt des Kreisprozesses wird vom System während der isothermen Kompression ( → ) die kleinere Wärmemenge − Q ab 34 an das Wärmereservoir mit der niedrigeren Temperatur T2 abgegeben. Diese Wärmemenge ist dann für den Prozess „verloren“.

Der Wirkungsgrad η th ist definiert als Quotient aus abgegebener Arbeit − ∆W und der dem zu Wärmebad entnommenen und damit dem System zugeführten Wärme Q12 .

− ∆W η = = zu Q12 th

m R(T1 M m RT1 M

V2 T V1 T1 − T2 = = 1- 2 V T1 T1 ln 2 V1

− T2 )ln

Für den thermodynamischen Wirkungsgrad erhält man:

η th = p

T1 - T2 T = 1- 2 T1 T1

1 T = konst. 2 p ,V 1

p ,V1 1

2

2

∆W p4 ,V

4

p ,V

4

3

3

3

T2 = konst. V

Abb. 5: Schematisches p-V-Diagramm eines Carnotschen Kreisprozesses LE-3-10

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Die während eines Zyklus des Kreisprozesses nach außen abgegebene Arbeit − ∆W , die auch als Nutzarbeit bezeichnet wird, entspricht betragsmäßig dem in Abb. 5 grau unterlegtem Flächeninhalt, der von den vier Zustandsänderungskurven umschlossenen Fläche. Die vier Teilprozesse eines Carnotschen Kreisprozesses sind:

1. Isotherme Expansion ( → ) 2. Adiabatische Expansion ( → ) 3. Isotherme Kompression ( → ) 4. Adiabatische Kompression ( → ) Beim rechtsläufigen Kreisprozess wird das p, V-Diagramm im Uhrzeigersinn durchlaufen.

Abb. 6: Realisierung der 4 Teilprozesse eines Carnotschen Kreisprozesses Hinweis: Die Indizes der Zustandsgrößen in den oben aufgeführten Formeln hängen von der Nummerierung der vier Zustandsänderungen ab. Diese wird durch den beliebig wählbaren Ausgangspunkt bestimmt.

4 Verbrennungsmaschinen Verbrennungsmotoren sind Kolbenmaschinen, die in der Regel Zylinder und Kolben verwenden. Am gebräuchlichsten sind dabei Hubkolbenmotoren. Ein Kreiskolbenmotor, der nach seinem Erfinder Felix Wankel (1902 – 1988) Wankelmotor genannt wird, konnte sich am Markt nicht durchsetzen. Das Gas im Zylinder könnte je nach Art des eingesetzten Brennstoffes z. B. eine Mischung von Kohlenwasserstoffen und Luft sein. Wenn das Gemisch gezündet wird, wandelt sich die im Brennstoff gespeicherte chemische Energie in Wärmeenergie um. Die entstehenden heißen Verbrennungsgase bauen dabei einen hohen Druck auf, der den Kolben in Bewegung setzt. Wird der Kolben über eine Pleuelstange mit einer Kurbelwelle verbunden, so kann die kinetische Energie der Translationsbewegung des LE-3-11

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Kolbens in kinetische Energie der Rotation umgesetzt werden. Obwohl Verbrennungsmotoren offene Systeme sind, können sie näherungsweise als geschlossene Systeme betrachtet werden. Man unterscheidet 2-Takt- und 4-Takt-Verfahren, wobei jede Kolbenverschiebung einen Takt darstellt. Beim heute üblichen Viertaktmotor wird der Kolben während eines Kreisprozesses viermal verschoben. Jeder vierte Takt ist dabei ein Arbeitstakt, d. h. alle zwei Umdrehungen gibt der Viertaktmotor nach außen Arbeit ab. Verbrennungsmotoren werden in Dieselmotoren (Erfinder: Rudolf Diesel (1858 – 1913)) und in Ottomotoren eingeteilt. Ottomotoren sind Benzinmotoren, die nach dem Erfinder des Viertaktmotors Nikolaus Otto (1832 – 1889), Ottomotoren genannt werden.

Ottomotoren werden mit Benzin betrieben. Benzin ist ein Gemisch, das hauptsächlich aus gesättigten kettenförmigen Kohlenwasserstoffen (Alkane mit der Summenformel CnH2n+2) mit n = 5 - 9 Kohlenstoffatomen besteht. Diesel- und Heizöl enthalten vor allem Alkane mit 12 bis 18 C-Atomen. Der Flammpunkt von Benzin ist sehr niedrig (zwischen – 55°C und –25°C), je nach Zusammensetzung. Benzindämpfe sind aus diesem Grund sehr leicht entzündlich und feuergefährlich. Mit Luft bilden die Dämpfe explosive Gemische. Im Ottomotor erfolgt die Zündung des Benzindampf-Luft-Gemisches durch einen elektrischen Zündfunken der Zündkerze. Man spricht von externer Zündung oder Fremdzündung. Im Dieselmotor entzündet sich das Gemisch aus Luft und feinsten Öltröpfchen durch die bei der Verdichtung auftretende adiabatische Kompressionswärme von selbst. Dieselmotoren benötigen keinen Vergaser und keine elektrische Zündung; sie sind Selbstzünder. Im Folgenden sollen einige technische Kreisprozesse vorgestellt werden. Die Kreisprozesse, die in realen Verbrennungskraftmaschinen ablaufen, können durch idealisierte Vergleichsprozesse angenähert werden, die sich aus reversiblen Zustandsänderungen zusammen setzen. Als Fluid wird dabei das ideale Gas eingesetzt. Obwohl Verbrennungsmotoren offene Systeme darstellen, können sie näherungsweise als geschlossene Systeme beschreiben werden.

4.1 Otto-Prozess Es soll der Wirkungsgrad eines normalen Viertakt-Benzinmotors (Ottomotor) untersucht werden, wie er z. B. im Auto verwendet wird. Während eines Zyklus bewegt sich der Kolben zweimal abwärts und zweimal aufwärts, was zur Bezeichnung Viertakt geführt hat. Die verschiedenen Phasen eines vollständigen Zyklus sind nachstehend in Abb. 7 dargestellt. Die Kreisprozesse, die in technischen Wärmekraftmaschinen ablaufen, können durch idealisierte Vergleichsprozesse angenähert werden. Beim Otto-Prozess verbrennt das Benzin-Luftgemisch nach der Zündung so schnell, dass die Wärmezufuhr als isochore Zustandsänderung betrachtet werden kann. Der Otto-Prozess beginnt in Abb. 7 unten links mit dem Ansaugtakt (e → f) und wird dann über den Verdichtungstakt als rechtsläufiger Prozess im Uhrzeigersinn durchlaufen.

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1. Ansaugtakt

2. Verdichtungstakt

p

b

c a Z 1 bar

f e

3. Arbeitstakt 0

4. Auslaßtakt

d V1

V2

V

Abb. 7: Arbeitszyklus des Viertakt-Ottomotors als rechtsläufiger Kreisprozess in schematischer Darstellung im p, V-Diagramm 1. Ansaugtakt

:

Einlass des Benzin-Luft-Gemischs

2. Verdichtungstakt :

Adiabatische Kompression des Benzin-Luft-Gemischs Zündpunkt Z : Zündung und schnelle Verbrennung

3. Arbeitstakt

Adiabatische Expansion des heißen Gases. Nur während dieses Taktes gibt der Motor Arbeit nach außen ab.

4. Auslasstakt

: :

Ablassen der Verbrennungsrückstände zum Auspuff

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Zeichenerklärung: a = Z Das komprimierte Benzin-Luft-Gemisch wird mit einer Zündkerze gezündet (Z = Zündpunkt). a → b Plötzlicher Druckanstieg nach der Zündung infolge der Verbrennung. Der Otto-Prozess stellt eine Gleichraumverbrennung dar. c

Ende der isentropen (adiabatischen) Expansion, das Auslassventil wird geöffnet.

c → d Das heiße noch unter Druck stehende Gas verlässt den Zylinder nahezu isochor durch das Auslassventil. Der Druck fällt auf den Umgebungsdruck ab. e

Der Kolben hat das restliche Gas aus dem Zylinder gedrückt (d → e), danach schließt sich das Auslassventil, und das Einlassventil öffnet sich.

f

Frisches Benzin-Luft-Gemisch ist angesaugt worden, das Einlassventil schließt sich.

f → a Das frische Gemisch wird isentrop (adiabatisch) komprimiert. Der Otto-Prozess (Abb. 8) kann idealisierend durch zwei isentrope und zwei isochore Zustandsänderungen angenähert werden.

p

3

p Qzu 23 p p

∆w

2

4 Qab 41

p =p

1 V2

V1

V

Abb. 8: p, V-Diagramm des idealen Otto-Prozesses Ein Benzin-Luftgemisch setzt bei der Verbrennung pro Liter Brennstoff ungefähr 30 MJ Wärmeenergie frei. Der Heizwert von Benzin beträgt Hu = 42 MJ/kg. Nur ein Bruchteil dieser Wärmemenge kann in nutzbare mechanische Energie umgewandelt werden. Dieser Bruchteil wird als der ideale thermische Wirkungsgrad ηth des Motors bezeichnet: ηth =

∆W ∆W = zu ∆Qa,b Q23 LE-3-14

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Dabei entspricht die grau unterlegte Fläche ∆W = Wn der vom Motor beim einmaligen zu ist die vom Gemisch Arbeitskreislauf geleisteten mechanischen Nutzarbeit. ∆Qa,b = Q 23

nach erfolgter Zündung freigesetzte und dem Motor in Folge einer Gleichraumverbrennung isochor zugeführte Verbrennungswärme. Die Nutzarbeit ∆W = Wn ist die Differenz der zwischen b und c (beim Otto-Vergleichsprozess zwischen 3 und 4) während des Arbeitstaktes durch isentrope Expansion abgegebenen Volumenänderungsarbeit und der zwischen d und a (beim Otto-Vergleichsprozess zwischen 1 und 2) durch isentrope Kompression während des Verdichtungstaktes am Benzin-Luft-Gemisch verrichteten Volumenänderungsarbeit. Im Fall der isentropen Kompression wird diese Arbeit in innere Energie umgewandelt und führt zu einer Temperaturerhöhung des komprimierten Gemisches. Während des Auslasstaktes wird die Wärmemenge ∆Q c,d = Q ab 41 durch Ablassen der Verbrennungsrückstände zum Auspuff abgegeben. ∆W = W b→c - W d→a = WV 34 − WV 12 ∆W =

∆W =

pb V2 V p V V [1 - ( 2 ) κ −1 ] - a 2 [1 - ( 2 ) κ −1 ] κ −1 κ −1 V1 V1

(p b − p a ) V 2 κ −1

[1 - (

V2 κ −1 ) ] V1

Für ein Gas mit der Masse m gilt aufgrund der Zustandsgleichung: m (p - pa) V2 = R (Tb - Ta) b M

m R(Tb − Ta ) V M [1- ( 2 ) κ −1 ] ∆W = cp − c V V1 cV Unter Ausnutzung der Mayerschen Gleichung cp - cv = ∆W = cv m (Tb - Ta) [1 - (

m folgt dann: M

V2 κ −1 ) ] V1

Die Wärmemenge ∆Qa,b, die benötigt wird, um das Gas der Masse m von Ta = T2 auf Tb = T3 zu erwärmen, ist: ∆Qa,b = m cv (Tb - Ta) = m c V (T3 − T2 ) Damit folgt schließlich für den idealen thermischen Wirkungsgrad:

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∆W

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∆W

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V2 κ −1 1 1 ) = 1− = 1 − κ −1 th V ∆Q a,b V1 Q ε ( 1 ) κ −1 V2 Der Wirkungsgrad ηth hängt dabei nur vom Verdichtungs- oder Kompressionsverhältnis V ε = 1 ab. Um einen hohen Wirkungsgrad zu erzielen, sollte ε möglichst groß gewählt V2 werden. In der Kfz-Praxis besitzen Ottomotoren je nach Modell Verdichtungsverhältnisse zwischen 9 und 11. Das Verdichtungsverhältnis wird durch die Gefahr der unerwünschten vorzeitigen Explosion des Benzin-Luftgemisches infolge von Selbstzündung („Klopfen“) nach oben begrenzt. η Otto =

=

zu 23

= 1- (

Für den Otto-Prozess lässt sich der Wirkungsgrad auch über ein Temperaturverhältnis definieren. Für eine adiabatische Zustandsänderung gilt: T ⋅ V κ −1 = const. Damit erhält man für die adiabatische Kompression während des Verdichtungstaktes:

T1V1κ −1 = T V2κ −1

(

oder

V1 κ −1 T2 ) = . V2 T1

Für die adiabatische Expansion während des Arbeitstaktes gilt: T3 V2κ −1 = T4 V1κ −1

(

oder

V1 κ −1 T3 ) = . V2 T4

Für den Wirkungsgrad erhält man damit:

ηOtto = 1− th

T1 T = 1− 4 . T2 T3

Beispiel: Wie groß ist der theoretische Wirkungsgrad eines Benzinmotors mit einem Verdichtungs- oder Kompressionsverhältnis von a) ε = 8 : 1 und b) ε = 11 : 1 ? κ = 1,4 (Luft)

Annahme: a)

V1 = 8 V2

ηthOtto = 1 −

1

ε

κ −1

= 1-

b)

1 = 0,56 8 0,4

V1 = 11 V2

ηthOtto = 1 −

1

ε

κ −1

= 1−

1 = 0,62 110,4

Der Wert von etwa 62 % stellt die theoretische Obergrenze für den Wirkungsgrad eines Ottomotors dar. Tatsächlich haben Benzinmotoren Wirkungsgrade, die nur halb so groß oder sogar noch kleiner sind. Das hat mehrere Ursachen: Das Benzin verbrennt nicht vollständig; LE-3-16

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die Zylinderwände werden gekühlt, folglich geht Wärme im Kühlsystem verloren; schließlich werden heiße Abgase ausgestoßen und außerdem spielt die Reibung im Motor eine Rolle. Als Faustformel gilt: Jeweils ein Drittel der bei der Verbrennung freiwerdenden Wärme wird als mechanische Antriebsenergie genutzt, als Abwärme an das Kühlsystem und an das Abgassystem abgegeben. Ein Gas- oder Heizöl-Brenner kann bei der Erzeugung von Wärme ohne Brennwerttechnik je nach Abgasverlust auf etwa 95 % Wirkungsgrad kommen, ein Benzinmotor dagegen verwandelt im Allgemeinen nur ungefähr 25 % der im Brennstoff gespeicherten chemischen Energie in mechanische Bewegungsenergie; der Rest geht zum größten Teil als Wärme verloren. Beim Ottomotor verlässt das Betriebsmittel den Kreislauf nach einmaligem Durchlauf als heißes Auspuffgas mit der Temperatur T4 , das sich dann auf die Umgebungstemperatur T1 abkühlt.

Beispiel: V1 8 = erhält man unter V2 1 der Annahme einer adiabatischen Expansion eines idealen Gases für das Verhältnis von Auspuff- und Verbrennungstemperatur:

Bei einem Verdichtungs- oder Kompressionsverhältnis ε =

T T4 V = c = ( 2 ) κ −1 T3 Tb V1 Da das Gas hauptsächlich aus Luft besteht ist κ = 1,4: 1 T4 = ( 8 )0,4 = 0,435 T3 Ist T3 = 2250 °C, so ist die Abgastemperatur T4 = 979 °C.

4.2 Diesel-Prozess Treibstoffe aus schwereren Erdölfraktionen verdampfen nicht so leicht wie Benzin und sind auch schwieriger durch Funken zu zünden. Rudolf Diesel ließ 1892 einen Motor patentieren, bei dem eine im Zylinder erzeugte Mischung aus Ölnebel und Luft allein durch adiabatische Kompression zum Zünden gebracht wurde. Bei der heute üblichen Technik der DirektEinspritzung wird der Treibstoff direkt unter Anpassung an die jeweilige Motorbelastung in den Brennraum des Zylinders eingespritzt. Dieser selbstzündende Dieselmotor arbeitet im Viertaktzyklus. Jedoch wird bei ihm nur Luft angesaugt und verdichtet. Die DieselölEinspritzung erfolgt dann so in die durch Kompression erhitzte Luft, dass die Verbrennung durch Selbstzündung näherungsweise isobar erfolgt.

LE-3-17

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Beim Dieselmotor liegt somit eine Gleichdruckverbrennung vor. Das Kompressionsverhältnis liegt üblicherweise bei Werten von etwa 20:1 und kann in Sonderfällen bis zu 30:1 reichen. Der Diesel-Prozess stellt einen technischen Kreisprozess dar, und zwar einen reversiblen Vergleichsprozess, der aus zwei adiabatischen, einer isobaren und einer isochoren Zustandsänderung besteht. Die bei dem Kreisprozess gewonnene mechanische Nutzarbeit ∆W errechnet sich aus der Summe der am Kreisprozess beteiligten Wärmeenergien. zu ∆W = Q 23 − Q ab 41

∆W ergibt sich aus der Summe der am Kreisprozess beteiligten Volumenänderungsarbeiten und entspricht damit der von der Folge der vier Zustandsänderungen umschlossenen Fläche. Unter dem Wirkungsgrad versteht man den Quotienten aus der von der Wärmekraftmaschine abgegebenen Energie in Form der mechanischen Nutzarbeit ∆W und der zu aufgewendeten Energie in Form der zugeführten Wärmeenergie Q 23 . zu − Q ab Qab ∆W Q 23 41 ηth = zu = = 1 − 41 zu Q 23 Q zu Q 23 23

ηDiesel = 1− th

m ⋅ c V ⋅ (T4 − T1 ) T4 − T1 = 1− m ⋅ c p ⋅ (T3 − T2 ) κ ⋅ (T3 − T2 )

Um einen möglichst großen thermischen Wirkungsgrad zu erzielen, muss die Temperaturdifferenz (T4 – T1) möglichst klein sein. Der thermische Wirkungsgrad ist somit um so größer, je kleiner die Auslasstemperatur T4 , d. h. je größer die Abkühlung bei der isobaren Expansion ist. Gleichzeitig sollte die Temperaturdifferenz (T3 – T2) möglichst groß sein. Dazu müsste bei der Gleichdruckverbrennung durch vollständige Ausnutzung des Brennstoffs und optimierten Reaktionsbedingungen des Verbrennungsprozesses eine hohe Temperatur T3 erreicht werden. Andererseits liefert eine detaillierte Rechnung: V3 κ ) −1 V2 = 1− . V3 V1 κ −1 κ ⋅( − 1)( ) V2 V2 (

ηDiesel th

Mit Hilfe der Größen VH = Hubvolumen (VH = V1 – V2) VK = Kompressionsvolumen VK = V2 VE = Einspritzvolumen (VE = V3 – V2) folgt für das Verdichtungs- oder Kompressionsverhältnis ε :

LE-3-18

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ε=

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VH + VK V1 = VK V2

und für das Einspritzverhältnis ϕ (auch Volldruckverhältnis genannt)

ϕ=

VK + VE V3 = . VK V2

Der ideale thermische Wirkungsgrad des Dieselmotors ergibt sich dann zu:

ηthDiesel = 1 −

1

ε

⋅ κ −1

ϕκ − 1 . κ ⋅ (ϕ − 1)

Einen großen thermischen Wirkungsgrad erreicht man mit einem großen Verdichtungsverhältnis ε und einem kleinen Einspritzverhältnis (oder Volldruckverhältnis) ϕ . Wie beim Ottomotor nimmt somit auch beim Dieselmotor der Wirkungsgrad mit zunehmenden Verdichtungs- oder Kompressionsverhältnis zu. Da beim Dieselmotor ε um den Faktor 2 größer als beim Ottomotor ist, übertrifft der Wirkungsgrad des Diesel-Prozesses den des Otto-Prozesses. Allerdings ist der mittlere Kolbendruck im Dieselmotor wesentlich höher als im Ottomotor. Q zu

p

2

p

2

3 ∆w

4 p 4

Q ab 4

p

1 V2

V3

V1

V

Abb. 9: p, V-Diagramm des idealisierten Diesel-Prozesses Ablauf des in Abb: 9 dargestellten Diesel-Prozesses:

→

: Adiabatische Kompression, dabei erhitzt sich die Luft auf etwa 700° C.

→

: Dieselkraftstoff wird eingespritzt. Es erfolgt Selbstzündung und Zufuhr der zu . Infolge isobarer Expansion (GleichdruckVerbrennungswärme Q 23 verbrennung: p 2 = p 3 ) wird Volumenänderungsarbeit auf den Kolben übertragen.

→

: Das Kompressionsvolumen VK = V2 hat sich um das Einspritzvolumen VE auf das Volumen V3 = VK + VE vergrößert. Es erfolgt adiabatische Expansion, bei der weitere Volumenänderungsarbeit auf den Kolben übertragen wird. LE-3-19

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→

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: Das heiße Gas entspannt sich isochor, d.h. bei konstantem Volumen und entweicht über das geöffnete Auslassventil zum Auspuff. Dabei wird die Wärmemenge Qab 41 abgeführt und der Ausgangszustand wieder erreicht. Der Kreisprozess ist geschlossen.

5 Enthalpie In technischen Prozessen wird oft die Energie eines unter Druck stehenden Gases hoher Temperatur in einer Wärmekraftmaschine in Arbeit umgesetzt. Erfahrungsgemäß ist dabei neben der Temperatur auch der Druck des Gases für die Umwandlung in Arbeit von Bedeutung. Die druckunabhängige innere Energie U ist daher für die Beurteilung der "Arbeitsfähigkeit" eines solchen Gases nicht hinreichend. Diese Überlegungen führten 1876 Josiah Willard Gibbs(1830 – 1903) zur Definition einer weiteren kalorischen Zustandsgröße, die seit 1909 nach Heike Kamerlingh Onnes (1853 – 1926), dem Entdecker der Supraleitung, als Enthalpie H (grch. en thalpein = erwärmen) bezeichnet wird. Sie dient als Maß für den Wärmeinhalt eines thermodynamischen Systems. Das Formelzeichen H für die Enthalpie stammt von der englischen Bezeichnung heat content für den Wärmeinhalt. Die innere Energie U dient somit zur Beschreibung von Systemen und deren Veränderung bei konstantem Volumen V ( isochore Zustandsänderung). Zur Beschreibung von Systemen und deren Veränderungen unter konstantem Druck p (isobare Zustandsänderung) wird die Enthalpie H eingeführt. H = U + pV [H]=J Der Term pV in der Definition der Enthalpie H stellt die Volumenänderungsarbeit Wv dar, die erforderlich wäre, um dem thermodynamischen System unter Umgebungsbedingungen, die durch den Druck p charakterisiert sind, einen Raumanspruch mit dem Volumen V zu verschaffen. Bei einem Gas ist die Enthalpie H = f(T, p) als die Summe aus innerer Energie U und der Energie pV infolge eines von außen aufgeprägten Druckes gegeben. Differentiation nach der Temperatur T liefert: dH dU d dp dU dV dT = dT + dT (p V ) = dT + p dT + V dT oder: dH =dU + pdV + Vdp Mit Hilfe des 1. Hauptsatzes dQ = dU + pdV folgt: dH = dQ + Vdp oder LE-3-20

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dQ = dH - Vdp Für konstanten Druck p gilt: dp = 0 dQ = dH

oder

Q=H In Worten: Die Enthalpie ist die Wärmemenge, die bei konstantem Druck zugeführt wird. Die physikalische Größe Enthalpie wird dort verwendet, wo Prozesse bei konstantem Druck ablaufen. Bei einer Stoffumwandlung oder Bildung einer chemischen Verbindung ist die Enthalpie der Endprodukte HE, im Allgemeinen nicht gleich der Summe der Enthalpien der Ausgangsstoffe HA. Die Differenz ∆H = HE - HA nennt man Wärmetönung der chemischen Reaktion bzw. der Stoffumwandlung. Ist ∆H > 0, so erfolgt der Prozess unter Wärmeaufnahme (endothermer Prozess), wie beispielsweise das Verdampfen von Wasser. Hierbei muss dem System von außen Energie zugeführt werden. Ist ∆H < 0, so wird bei dem Prozess Wärme frei (exothermer Prozess), wie beispielsweise beim Verbrennen von Kohlenstoff.

5.1 Freie Enthalpie Der Begriff der Enthalpie dient auch der Darstellung des gesamten Energieinhaltes von Arbeitsstoffen wie Dämpfen oder Wärmeüberträgern. Auch die Enthalpie beschreibt dabei nur das energetisch mögliche. Welche Prozesse tatsächlich ablaufen und wie viel Energie wirklich frei, d.h. verfügbar wird, folgt aus der Freien Enthalpie G. Analog zur Freien Energie F gilt für die Freie Enthalpie G: G = H - TS Diese Beziehung wird auch als Gibbs-Helmholtzsche Gleichung bezeichnet.

Abb. 10: Freie Enthalpie LE-3-21

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5.2 Enthalpiezunahme beim Schmelzen und Verdampfen Die spezifischen Verdampfungswärmen der Stoffe sind stets wesentlich größer als die spezifischen Schmelzwärmen. Ebenso wie beim Schmelzen wird beim Verdampfen eine Abtrennarbeit verrichtet. Während beim Schmelzen Atome gegen die Bindungskräfte des festen Körpers verschoben werden, geschieht dies beim Verdampfen gegen die kleineren Bindungskräfte der Flüssigkeit. Sowohl beim Schmelzen als auch beim Verdampfen wird dabei die Bewegungsenergie der Moleküle vergrößert. Diese Zunahme der Bewegungsenergie der Moleküle führt zu einer Zunahme der inneren Energie U. Da die Verdampfung bei konstanter Temperatur erfolgt, gilt:

Der Dampf eines Stoffes besitzt eine größere innere Energie als die Flüssigkeit bei gleicher Temperatur. Beim Übergang vom flüssigen zum dampfförmigen Zustand vergrößert sich das Dampfraumvolumen gegenüber dem Volumen der Flüssigkeit. Der entstehende Dampf leistet dabei Volumenänderungsarbeit gegen den äußeren Druck. Die zum Verdampfen erforderliche zugeführte Wärmemenge ∆Q setzt sich aus der Erhöhung der inneren Energie ∆U und der vom Dampf verrichteten Volumenänderungsarbeit ∆W zusammen. Beim Verdampfen einer Flüssigkeit, die immer bei der Verdampfungs- oder Siedetemperatur erfolgt, erhöht sich der Wärmeinhalt um die Verdampfungswärme ∆Q und es gilt:

∆Q = ∆H = ∆U + ∆W Die Verdampfungswärme wird auch als Verdampfungsenthalpie bezeichnet. Der deutsche Ingenieur Richard Mollier (1863 – 1935) erstellte Zustandsdiagramme für Dämpfe, die auch als Mollier-Diagramme bezeichnet werden. Für jeden dampfartigen Stoff existiert eine Temperatur, oberhalb der eine Verflüssigung auch mit größten Drücken nicht mehr möglich ist. Diese Temperatur wird als kritische Temperatur und der zugehörige Druck als kritischer Druck bezeichnet. Beispiel: Wasser ( ϑkr = 374,12 °C; pkr = 221,15 bar)

6 Spezifische Zustandsgrößen In GdP-LE-1 wurde zwischen intensiven und extensiven Größen unterschieden. Intensive Zustandsgrößen behalten bei der Teilung eines thermodynamischen Systems, unabhängig von der Masse, ihren Wert. Sie sind daher masse-unabhängig. Extensive Zustandsgrößen ändern ihren Wert bei der Teilung des Systems proportional zur Masse. Extensive Zustandsgrößen eines Systems lassen sich additiv aus den entsprechenden Zustandsgrößen der Teilsysteme zusammensetzen. Um die Abhängigkeit der extensiven Zustandsgrößen von der oft zufälligen Masse eines Systems auszuschließen, können diese Größen auf die Systemmasse m bezogen werden. Damit erhält man die so genannten spezifischen Zustandsgrößen. Sie werden mit Kleinbuchstaben charakterisiert.

LE-3-22

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Spezifisches Volumen

υ=

V m

mit der Einheit [ υ] = m 3 / kg ,

Spezifische innere Energie

u=

U m

mit der Einheit [u] = J/kg,

Spezifische Entropie

s=

S m

mit der Einheit [s] = J/(kg K)

Spezifische Enthalpie

h=

H m

mit der Einheit [h] = J/kg

7 Das thermodynamische Gleichgewicht Ein thermodynamisches System ist im Gleichgewicht, wenn es sich zeitlich nicht mehr ändert. Durch äußere Einflussnahme kann jedoch der Gleichgewichtszustand gestört werden. Das Gleichgewicht heißt stabil, wenn nach Wegfall der Äußeren Einflussnahme, das System wieder in den ursprünglichen Gleichgewichtszustand zurückfällt. Bei mechanischen Systemen entspricht der Gleichgewichtszustand dem Minimum der potentiellen Energie Epot. Bei Verschiebung des Systems aus dem Gleichgewichtszustand entstehenden rücktreibende Kräfte, die zum Minimum der potentiellen Energie hin gerichtet sind. Für ein isoliertes thermodynamisches System bestimmt die Entropie den Gleichgewichtszustand.

Das thermodynamische Gleichgewicht ist der Zustand maximaler Entropie. Jeder benachbarte Zustand entwickelt sich im Sinne zunehmender Entropie zum stabilen Gleichgewichtszustand hin. Bei einem System, das Energie, aber keine Materie mit der Umgebung austauschen kann, muss die Umgebung mit einbezogen werden. Von selbst laufen nur Prozesse ab, für die

∆SSystem + ∆SUmgebung ≤ 0 ist. Der Gleichgewichtszustand liegt bei SSystem + SUmgebung = max oder

∆SSystem + ∆SUmgebung = 0 . Diese Definition hat den Nachteil, das nicht nur Systemeigenschaften das Gleichgewicht bestimmen, sondern noch die Entropieänderung ∆SUmgebung berücksichtigt werden muss. Bei einem massedichten System ist nur ein Wärmeaustausch ∆Q mit der Umgebung möglich. Ist ∆Q die dem System zugeführte Wärme, so verliert die Umgebung die Wärmemenge ∆Q . Die Entropieänderung der Umgebung ist folglich: LE-3-23

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∆SUmgebung = −

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∆Q . T

Damit erhält man für den Gleichgewichtszustand des Systems:

∆SSystem =

∆Q T

oder unter Weglassung des Index „System“

∆S =

∆Q . T

Nach dem 1. Hauptsatz dient ∆Q teils zur Erhöhung der inneren Energie U des Systems, teils zur negativ zu rechnenden Arbeitsleistung durch das System. Damit erhält man die Gleichgewichtsbedingung

∆S =

∆U − ∆W T

oder

∆U − ∆W − T∆S = 0 . Wenn nur Druckarbeit möglich ist gilt ∆W = −p∆V und man erhält:

∆U + p∆V − T∆S = 0 . Wird zwangsweise auch das Volumen V konstant gehalten, so ist p∆V = 0 und man erhält bei konstanter Temperatur T die Gleichgewichtsbedingung

∆(U − TS) = 0 . Wegen F = U – TS folgt:

∆F = 0 .

Unter isotherm-isochoren Bedingungen ist das thermodynamische Gleichgewicht gegeben durch das Minimum der freien Energie F = U – TS. Änderungen in der freien Energie F stellen die „rücktreibenden Kräfte“ dar, die die Prozesse in Richtung Gleichgewichtszustand treiben. Sind dagegen p und T konstant, d.h. unter isotherm-isobaren Bedingungen folgt aus

∆U + p∆V − T∆S = 0 mit G = U + pV – TS ∆(U + pV − TS) = 0 oder LE-3-24

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∆G = 0 .

Unter isotherm-isobaren Bedingungen ist das thermodynamische Gleichgewicht durch das Minimum der freien Enthalpie G gegeben. Änderungen in der freien Enthalpie G stellen die „rücktreibenden Kräfte“ dar, welche die thermodynamischen Prozesse in Richtung Gleichgewichtszustand treiben. Wenn Wärmeaustausch unterbunden ist ( ∆Q = 0), aber Arbeitsleistung möglich ist, wird T∆S = 0 und aus ∆U + p∆V − T∆S = 0 folgt mit p = konst.

∆(U + pV ) = 0 oder mit H = U + pV

∆H = 0 .

Unter adiabatisch-isobaren Bedingungen liegt das thermodynamische Gleichgewicht im Minimum der Enthalpie H. Unter adiabatisch-isochoren Bedingungen ist ∆Q = 0 und ∆V = 0, folglich wird T∆S = 0 und aus ∆U + p∆V − T∆S = 0 folgt

∆U = 0 .

Unter adiabatisch-isochoren Bedingungen liegt das thermodynamische Gleichgewicht im Minimum der inneren Energie U.

8 Wärmetransport 8.1 Wärmeübertragungsarten Die Ausbreitung der Wärme stellt eine Energieübertragung dar. Sie kann durch - Wärmeleitung - Wärmeströmung (Konvektion) - Wärmestrahlung erfolgen. Voraussetzung für das Entstehen eines Wärmestromes zwischen zwei Systemen ist ein thermisches Ungleichgewicht, also eine Temperaturdifferenz. Nach dem 2. Hauptsatz erfolgt der Wärmetransport immer in Richtung von der höheren zur niedrigeren Temperatur, und zwar so lange, bis kein Temperaturunterschied mehr besteht. Die in der Zeiteinheit dt transportierte Wärmemenge dQ nennt man den Wärmestrom I Q .

IQ =

dQ = Q& dt LE-3-25

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[ IQ ] = J/s = W Der Wärmestrom wird in der Literatur gelegentlich auch durch das Symbol Φ bezeichnet. Die „treibende Kraft“ für den Wärmestrom ist ein Temperaturgefälle, der so genannte Temperaturgradient. Die Wärmeausbreitung kann durch Leitung, Konvektion oder Strahlung erfolgen. Diese drei Vorgänge können einzeln, aber auch gemeinsam auftreten.

8.2 Wärmeleitung Fließt ein Wärmestrom durch einen Körper, so spricht man von Wärmeleitung. Zunächst soll die Wärmeleitung durch ebene Wände betrachtet werden. Die experimentelle Erfahrung zeigt: Für die Wärmeleitung ist ein Temperaturgefälle notwendig. Die pro Zeitintervall dt durch die Querschnittsfläche A hindurchströmende Wärmemenge dQ, nämlich der Wärmestrom IQ ist der ebenen Fläche A und der Temperaturdifferenz ∆T direkt und der Dicke d des Körpers umgekehrt proportional: dQ A I Q = dt = λ ∆T d Der Proportionalitätsfaktor λ ist eine Materialkonstante, sie wird Wärmeleitfähigkeit genannt. -1

[ λ ] = W/(m K) oder [ λ ] = W cm K

-1

Isolation

T1

T 2

A

A d

Abb. 11: Wärmeleitung durch eine seitlich isolierte Wand (dunkele Isolierschicht) A : Wandfläche, d : Wanddicke In der Wärmeschutzpraxis wird die Länge des Wärmeleiters als Wanddicke d bezeichnet, um die Verhältnisse mit großen Flächen und kleinen Dicken angemessen zu charakterisieren. Die im Zeitintervall dt durch die Querschnittsfläche A einer Wand

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hindurchgetretene Wärmemenge dQ ist somit dem Temperaturgefälle

T1 - T2 d

=

∆T , dem ∆x

Querschnitt A und der Zeitdauer dt proportional. Ist beispielsweise T1 > T2, dann folgt: ∆T = T1 − T2 > 0 . Für die Dicke d gilt: d = x 2 − x 1 = ∆x . Die Temperaturen T1 und T2 an den Enden des wärmeleitenden Körpers werden konstant gehalten. Dann stellt sich im stationären Fall ein zeitlich konstantes Temperaturprofil T(x) ein, d. h. an jeder Stelle x des Körpers herrscht eine konstante Temperatur T(x).

Abb. 12: Temperaturgradient und Wärmestrom durch eine Wand (Fläche A, Dicke d)

dQ = λ ⋅ A ⋅

T − T1 ∆T dT dt = λA ⋅ ∆∆Tx dt = −λ ⋅ A ⋅ 2 dt = λ ⋅ A ⋅ (− )dt d x 2 − x1 dx

dT dT ∆T ersetzt. Der Ausdruck stellt mathematisch einen durch ∆x dx dx Temperaturgradienten dar, der geometrisch als die Steigung der Funktion T(x) interpretiert werden kann. Er beschreibt die Körpertemperatur T als Funktion des Ortes x.

Hierbei wurde

dQ dT = Q& = I Q = λ ⋅ A ⋅ ( − ). dt dx In dem wärmeleitenden Stab ist aufgrund der angenommenen Homogenität die Wärmeleitfähigkeit überall gleich. Es bildet sich aufgrund der ebenen Geometrie in Übereinstimmung mit der experimentellen Beobachtung ein lineares Temperaturgefälle aus. Das Minuszeichen berücksichtigt die Erfahrungstatsache, dass die Wärme immer in Richtung des Temperaturabfalls (von heiß nach kalt) fließt. Mit Hilfe der Wärmestromdichte

q& =

IQ & Q = jQ = A A

erhält man die 1. Wärmeleitungsgleichung: q& = − λ ⋅

dT dx

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Die Wärmestromdichte q& (oder j Q ) ist dem Temperaturgefälle proportional. Dieser Sachverhalt wird als 1. Wärmeleitungsgleichung oder auch als Fourier’sches Wärmeleitungsgesetz bezeichnet (Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768 - 1830, franz. Mathematiker und Physiker). Das Fouriersche Wärmeleitungsgesetz gilt nur für den stationären Fall, d. h. bei konstantem Temperaturgefälle. Durch geeignete technische Maßnahmen kann das Temperaturgefälle ständig aufrechterhalten werden. Das heißt:

In jedem beliebig herausgegriffenen Volumenelement des Wärmeleiters bleibt dann die Temperatur konstant. Es fließt an jeder Stelle genauso viel Wärme zu wie ab. Die Wärmeleitung erfolgt nur in Materie. Die Wärmeleitfähigkeit ist jedoch keine Stoffkonstante. Sie ist vielmehr temperatur-abhängig. In nichtmetallischen Festkörpern erfolgt die Wärmeleitung durch Energieübertragung mittels Gitterschwingungen infolge der elastischen Kopplung der Atome/Moleküle und nimmt häufig mit steigender Temperatur aufgrund der Zunahme von Gitterdefekten ab. Die Wärmeleitfähigkeit der Metalle wird zusätzlich durch freie Leitungselektronen bestimmt und ist wesentlich größer als bei Nichtmetallen. In Gasen und Flüssigkeiten erfolgt die Wärmeleitung durch unregelmäßige Stöße zwischen den Molekülen und ist oft von Transportvorgängen in Form von makroskopischen Strömungen (Konvektion) überlagert. Sie nimmt bei Gasen mit wachsender Temperatur zu. Die folgende Tabelle listet die Wärmeleitfähigkeiten einiger Stoffe bei Zimmertemperatur auf.

Material Diamant Aluminium Gold Kupfer Silber Stahl (unlegiert) Stahl (V2A) Normalbeton Glas Holz (Fichte/Eiche) Kork PVC Polystyrol (EPS) Sandstein/Kalkstein Ruß Wasser Luft Argon Krypton

-1

-1

λ/ Wm K 1000 – 3300 237 317 400 427 45 – 65 14 2,1 0,5 – 1,2 0,13 - 0,2 0,05 0,16 0,035 2,2 0,07 0,6 0,025 0,017 0,009

Tab. 1: Wärmeleitfähigkeit bei 20°C

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Für die während einer Zeitspanne ∆t = t 2 − t 1 durch Wärmeleitung transportierte Wärmemenge Q erhält man: t2

Q

Q=

∫ dQ = ∫ IQ dt = λ 0

t1

t

2 A A A ∆T ∫ dt =λ ∆T (t 2 - t 1 ) = λ ∆T ∆t d d d t1

Oft wird in Anlehnung an das Ohmsche Gesetz [elektrischer Widerstand (R) = Spannung (U) / elektrische Stromstärke (I)] ein Wärmeleitwiderstand R als Quotient aus der vorhandenen Temperaturdifferenz ∆T und dem dadurch verursachten Wärmestrom I Q definiert: R=

∆T IQ

Insbesondere ergibt sich damit für den Wärmeleitwiderstand R: R=

1 d λ A

[R]=K/W Von besonderem technischen Interesse ist der Wärmetransport durch Rohrleitungen z. B. zu Heizzwecken und zur Warmwasserversorgung. Dabei treten durch stationäre Wärmeleitung durch die zylindrische Rohrwand Energieverluste auf. Im Folgenden soll ein Rohr der Länge L und der Wanddicke d = R a − R i betrachtet. Die Rohrwand habe die Wärmeleitfähigkeit λ . Das Fourier’sche

Wärmeleitungsgesetz liefert für den Wärmestrom IQ durch eine Rohrwand den Ansatz IQ = λ ⋅ A ⋅ ( −

dT ). dx

Wird als Abstandskoordinate der Radius r verwendet und der Temperaturgradient − durch −

dT dx

dT ersetzt, so folgt mit der Mantelfläche A = 2πrL für die Wärmestromstärke I Q : dr

IQ = −λ 2πrL

dT dr

Zur Berechnung des Temperaturprofils T(r) verfährt man folgendermaßen: dT = −

IQ 1 dr λ2πL r

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T

IQ r 1 ∫ dT = − λ2πL R∫ r dr Ti i

T(r ) − Ti = −

IQ r ln λ2πL R i

T Ti

T(r)

Ta Ri

Ra r

Abb. 13: Nichtlineares Temperaturprofil durch ein Rohr bei Ti > Ta Ti ist die Temperatur des strömenden Mediums im Innenrohr, R i ist der Innenradius, R a der

Außenradius des Rohres, dort herrschen die Wandtemperaturen Twi bzw. Twa . Ta ist die Umgebungstemperatur im Außenraum. Für einen beliebigen Abstand r mit R i ≤ r ≤ R a ergibt sich bei stationärem Wärmestrom IQ ein nichtlineares Temperaturprofil T(r): T (r ) = Twi −

IQ λ 2πL

ln

r . Ri

Für eine einschalige zylindrische Wand (Rohr) mit Ti > Ta folgt: Twa = Twi −

IQ λ 2πL

ln

Ra . Ri

Damit ergibt sich für den Wärmestrom IQ durch Wärmeleitung durch eine Rohrwand: IQ =

λ 2π L (Twi − Twa ) R ln a Ri

Bei nichtstationärer Wärmeleitung ändert sich die Temperatur in einem herausgegriffenen Volumenelement ∆V an der Stelle x durch unterschiedlichen Zu- und Abfluss von Wärme. Für die zeitliche Änderung der in ∆V = A∆x steckenden Energie ∆Q erhält man:

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Abb. 14: Zur Ableitung der 2. Wärmeleitungsgleichung dQ dq& = A ⋅ q& ( x ) − A ⋅ q& ( x + ∆x ) = − A ⋅ ∆x ⋅ dt dx Die Änderung der Energiedichte w =

∆V = A∆x :

∆Q folgt aus obiger Gleichung durch Division durch ∆V

dw dq& =− dt dx Die Wärmezufuhr lässt sich durch die zugehörige Temperaturänderung ausdrücken: dQ = c ⋅ m ⋅ dT Wegen dw =

dQ folgt: dV

dw = c ⋅ ρ ⋅ d T . c ist die spezifische Wärmekapazität und ρ die Massendichte des Mediums. Aus

dw dq& =− erhält man dann: dt dx

c ⋅ρ⋅

dT dq& =− . dt dx

Wird für die Wärmestromdichte q& das Fourier’sche Wärmeleitungsgesetz eingesetzt, so folgt als Ergebnis die 2. Wärmeleitungsgleichung für eindimensionalen Wärmetransport:

∂T( x, t ) λ ∂ 2 T( x, t ) = ⋅ . ∂t cρ ∂x 2

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Die Temperatur T( x, t ) ist dabei eine Funktion von Ort und Zeit. Bei nicht-stationärer Wärmeleitung ist also eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung zu lösen.

λ m2 = G T wird Temperatur-Leitwert genannt. Ihre Einheit ist . Der c ⋅ρ s Temperatur-Leitwert bestimmt die Zeit τ , die zum Temperaturausgleich benötigt wird, sie wird thermische Relaxationszeit genannt. Für sie gilt Die Größe

d 2 d 2 ρc τ= = . GT λ Die Größe d charakterisiert die Abmessung des Raumbereiches, über den sich das Temperaturgefälle erstreckt.

8.3 Wärmeübertragung durch Konvektion Unter einem Wärmeübergang (konvektiver Wärmeübergang) versteht man die Übertragung von Wärmeenergie durch die Grenzfläche zweier angrenzender Körper mit verschiedenen Aggregatzuständen. Berührt ein Fluid (Flüssigkeit oder Gas) mit der Temperatur TF eine feste Wand mit der Temperatur TW , so findet an der Grenzfläche der beiden Medien ein konvektiver Wärmeübergang statt. An der Übergangsstelle tritt dabei ein Temperatursprung ∆T = TW − TF auf. Der übertragene Wärmestrom ist der Berührungsfläche A und dieser

Temperaturdifferenz ∆T proportional. dQ I Q = dt = h A ∆T

Der Proportionalitätsfaktor h heißt Wärmeübergangskoeffizient. Gelegentlich wird für den Wärmeübergangskoeffizienten in der Literatur noch das früher übliche Symbol α verwendet. Er hängt von der Oberflächenbeschaffenheit der Wand ab und wird wesentlich durch die Strömungsgeschwindigkeit der Flüssigkeiten bzw. der Gase an der Grenzfläche Wand/Fluid bestimmt. Beim konvektiven Wärmetransport unterscheidet man zwischen freier und erzwungener Konvektion. Die freie Konvektion beruht auf dem Auftrieb des fluiden Mediums infolge seiner temperaturabhängigen Dichte. Durch Wärmeausdehnung nimmt nämlich die Dichte des fluiden Mediums ab. Die durch Sonneneinstrahlung über dem Erdboden erhitzte Luft dehnt sich aus. Ihre Dichte nimmt ab und sie steigt gegenüber der sie umgebenden Kaltluft auf. Dieser Vorgang wird in der Meteorologie Thermik genannt und beuht auf freier Konvektion. Der Strom aufsteigender Warmluft, die Thermik, wird beispielsweise von Greifvögeln oder Segelflugzeugen ausgenutzt, um „antriebslos“ Höhe über dem Erdboden zu gewinnen. Freie Konvektion kann auch in einem mit Wasser gefülltem Kochtopf auf der heißen Herdplatte beobachtet werden. Bei der erzwungenen Konvektion handelt es sich um eine durch Pumpen oder Ventilatoren hervorgerufene Zwangskonvektion. Ein Beispiel für erzwungene

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Konvektion stellt das Umluftgebläse eines Backofens dar.Die Konvektion stellt somit eine Form der Wärmeübertragung dar, die durch eine (materielle) Strömung des fluiden Mediums bewirkt wird. Für die durch Wärmeübergang in der Zeitspanne ∆t durch das Fluid 1 (Luft) in die Wand transportierte Wärmemenge Q gilt: Q = h A ∆T∆t [h ] =

W m2 K

Besteht für eine Wand ein Temperaturgefälle gemäß Abb. 15, so gilt für den Wärmetransport durch Wärmeübergang an der linken Grenzfläche: Q1 = h i A∆Ti ∆t

(Wärmeübergang Fluid 1 / Wand)

∆Ti = ϑ1 − ϑ w,i ϑ1 ist die mittlere Temperatur des Fluids 1 (Innenraumtemperatur) und ϑ w,i die Oberflächentemperatur der Innenseite der Wand.

ϑ

Fluid 1

ϑ1 ϑ w,i

αi

Wand Fluid 2

d

αa

ϑw,i

ϑw,a

λ

ϑw,a

ϑ2 x

Abb. 15: Wärmeübergang ( αi = hi und α a = ha ) an Grenzschichten (schematisch) Für den Wärmeübergang an der rechten Grenzfläche gilt: Q 2 = h a A∆Ta ∆t

(Wärmeübergang Wand / Fluid 2)

∆Ta = ϑ w,a − ϑ 2

ϑ2 ist die mittlere Temperatur des Fluids 2 (Außentemperatur der Luft) und ϑ w ,a die Oberflächentemperatur der Außenseite der Wand. Durch die einschalige Wand, die wärmetechnisch durch Wanddicke d und Wärmeleitfähigkeit λ charakterisiert ist, findet ein Wärmetransport durch Wärmeleitung statt. Die Konvektion setzt einen Energieaustausch LE-3-33

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Thermodynamik LE3

durch Erhöhung der Teilchenenergie der Gas- oder Flüssigkeitsmoleküle des Fluids und anschließenden Transport der Teilchen an eine Stelle niederer Temperatur voraus.

Die Konvektion in Gasen und Flüssigkeiten beruht auf Energie- und Massentransport. Die Wärmeleitung in festen Körpern erfolgt dagegen nur durch Energietransport. Beispiel: Abkühlung/ Erwärmung eines Körpers in einem umgebenden Medium konstanter Temperatur Eine heiße Metallkugel der Masse m, der spezifischen Wärmekapazität c, der Oberfläche A und mit der Anfangstemperatur T0 wird in ein kaltes Wasserbad von gegebener Temperatur TU getaucht. Es gelten folgende idealisierende Voraussetzungen: Das Bad ist derart groß, dass seine Temperatur durch den Prozess nicht beeinflusst wird. Der eingetauchte Körper hat jederzeit überall dieselbe Temperatur. ∆T = T( t ) − TU sei die Temperaturdifferenz zwischen den Körper und dem umgebenden Bad. dQ Ausgehend vom Wärmestrom I Q = dt = h A ∆T = hA(T − TU ) wird Wärme an die Umgebung abgegeben. Der Körper kühlt sich dadurch ab. Seine Temperatur T = T(t) ist dadurch eine Funktion der Zeit. Im infinitesimal kleinen Zeitintervall dt gibt er die Wärmemenge dQ = −mcdT an das umgebende Wärmebad ab. Durch das negative Vorzeichen wird berücksichtigt, dass die Temperatur abnimmt. Denn für eine Temperaturabnahme ist dT < 0 und folglich sind dann dQ und I Q > 0. dQ − mcdT = hA(T − TU ) dt = dt dT hA =− dt T − TU mc T

∫ T0

t

dT hA =− dt T − TU mc 0

∫

Zum Anfangszeitpunkt t = 0 ist T = T0 . Auswertung des Integrals liefert schließlich: ln

T − TU hA =− t T0 − TU mc

Nach Delogarithmierung folgt: − t T − Tu = e mc T0 − TU hA

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Die Abkühlungsfunktion ergibt sich damit zu T ( t ) = (T0 − TU )e

−

hA t mc

+ TU .

Die Temperatur senkt sich im Laufe der Zeit exponentiell und nähert sich der Umgebungstemperatur TU an. T(t) T0

TU 0

t

Abb. 16: Abkühlung eines heißen Körpers auf Umgebungstemperatur TU

8.4 Wärmedurchgang Der Wärmedurchgang durch eine beliebige Wand wird durch die Beziehung dQ I Q = dt = U A ∆T beschrieben. Der Proportionalitätsfaktor U wird nach EN ISO Wärmedurchgangskoeffizient oder U - Wert der Wand genannt. In der physikalischen Fachliteratur ist allerdings auch noch die alte Bezeichnung k-Wert gebräuchlich. [U]=

W m2 K

Ist eine einschalige ebene Wand der Dicke d beidseitig von zwei Fluiden z. B. Luft umgeben, so findet zunächst ein Wärmeübergang vom Gas auf die Wand statt. In der Wand wird die Wärmeenergie durch Wärmeleitung übertragen. Die Wand gibt dann die Wärmeenergie wieder durch Wärmeübertragung an die Luft ab. Im stationären Fall bleibt die Temperatur T(x) an jeder Stelle x konstant, d.h. die Wärmeaufnahme ist an jeder Stelle der Wand gleich der dortigen Wärmeabgabe.

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T

1 TL i

Luft

3

TW

i

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Luft

Wand 2

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TWa

4 TLa

d

x

Abb. 17: Wärmedurchgang durch eine einschalige ebene Wand Der Wärmestrom IQ ist im stationären Fall überall gleich groß.

Für den Wärmedurchgangskoeffizienten U dieser einschaligen Anordnung gilt: Wärmeübergang an der Innenwand ( h i = h 1 ):

(1)

I Q = h 1 ⋅ A ⋅ (ϑ L ,i − ϑ W ,i )

IQ

oder

ϑ L , i − ϑ W ,i =

oder

ϑW ,i − ϑW ,a =

h1 ⋅ A

Wärmeleitung durch die Wand:

(2)

IQ =

λ ⋅ A ⋅ (ϑW ,i − ϑW ,a ) d

IQ λ ⋅A d

Wärmeübergang an der Außenwand ( h a = h 2 ):

(3)

I Q = h 2 ⋅ A ⋅ (ϑ W , a − ϑ L , a )

ϑ W ,a − ϑ L ,a =

oder

IQ h2 ⋅ A

Durch Addition der rechten und linken Seiten der Gleichungen (1) – (3) erhält man: (ϑ L ,i − ϑ W ,i ) + ( ϑ W ,i − ϑ W , a ) + (ϑ W , a − ϑ L , a ) =

IQ h1 ⋅ A

+

IQ IQ + λ h2 ⋅ A ⋅A d

Umformung liefert: ϑ L,i − ϑ L,a = ∆ϑ =

IQ A

⋅(

1 d 1 + + ) oder h1 λ h 2

IQ =

1 ⋅ A ⋅ ∆ϑ . 1 d 1 + + h1 λ h 2

In Kurzform erhält man für den Wärmedurchgang die Gleichung: LE-3-36

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IQ = U A ∆T Koeffizientenvergleich liefert für den Wärmedurchgangskoeffizienten U einer einschaligen ebenen Wand: 1 1 1 d = + + . U h1 h 2 λ Für eine mehrschalige ebene Wand aus insgesamt n verschiedenen wärme-leitenden Schichten und m Wärmeübergängen lässt sich der Wärmedurchgangskoeffizient U auf die Wärmeleitfähigkeiten λ i der einzelnen Schichten mit den jeweiligen Schichtdicken di und die Wärmeübergangskoeffizienten h j zurückführen. Es gilt:

1 i =n di j =m 1 = ∑ + ∑ U i =1 λi j =1 h j

ϑ ϑi ϑw,i ϑg

αi

d1

d2

λ1

λ2

1

2

ϑ w,a ϑa

αa x

Abb. 18: Wärmedurchgang durch eine zweischalige ebene Wand mit λ 1 > λ 2 und h i = α i sowie h a = α a

Für den Wärmedurchgang durch eine zylindrische Rohrwand müssen zunächst die Wärmeströme infolge Wärmeübergang an der Innen- und Außenseite der Rohrwand berechnet werden. Für den Wärmestrom durch Wärmeübergang innen bzw. außen gilt: I Q = h i A i (Ti − Twi ) = h i 2πR i L(Ti − Twi ) I Q = h a A a (Twa − Te ) = h a 2πR a L(Twa − Ta )

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Dabei sind h i und h a die Wärmeübergangskoeffizienten innen bzw. außen und A i = 2πR i L sowie A a = 2πR a L sind die Wandflächen innen bzw. außen. Aus der Temperaturbilanz Ti − Ta = (Ti − Twi ) + (Twi − Twa ) + (Twa − Ta )

und aus dem Tatbestand, dass alle Wärmeströme im stationären Zustand gleich groß sind, folgt die Berechnungsformel für den Wärmedurchgang: IQ =

2πL(Ti − Ta ) = UA(Ti − Ta ) 1 1 R 1 + ln a + R ihi λ R i R a h a

U ist der Wärmedurchgangskoeffizient und A = 2πR a L ist die von der Rohrgeometrie abgängige Außenfläche. U=

1 Ra R R 1 + a ln a + R ihi λ Ri ha

Besteht das Rohr aus mehreren Schichten, addieren sich die einzelnen Wärmeleitwiderstände (analog zur ebenen mehrschaligen Wand) zum Gesamtwärmeleitwiderstand. Beispielsweise erhält man dann für den Wärmestrom infolge Wärmedurchgang durch eine zweischalige Rohrwand (Rohr mit Isolierschicht): IQ =

2π L (Ti − Ta ) = UA(Ti − Ta ) 1 1 R 1 Ra 1 + ln 1 + ln + R i h i λ1 R i λ 2 R 1 R a h a

R i ist der Innenradius des Innenrohres (1. Rohres mit der Wärmeleitfähigkeit λ1 ), dort herrscht die Temperatur Twi . R1 ist der Außenradius des Inennrohres (identisch mit dem Innenradius des Außenrohres). R a ist der Außenradius des Außenrohres mit der Wärmeleitfähigkeit λ 2 . Dort herrscht die Wandtemperatur Twa . Mit A = 2πR a L folgt für den

Wärmedurchgangskoeffizienten U eines zweischaligen Rohres: U=

1 Ra R R R R 1 + a ln 1 + a ln a + R i h i λ1 R i λ 2 R 1 h a

8.5 Wärmestrahlung Aus Erfahrung ist bekannt, dass alle Körper bei höheren Temperaturen eine spürbare Wärmestrahlung abgeben. Wird ein Temperaturausgleich infolge Wärmeleitung und Konvektion zwischen zwei Körpern unterschiedlicher Temperatur unterbunden, indem sie ins Vakuum gebracht werden, so stellt man fest, dass sich trotzdem eine einheitliche Temperatur einstellt. Die Wärmestrahlung setzt keine Materie für den Energietransportvorgang voraus. Sie erfolgt somit auch durch den materiefreien Raum (Vakuum). LE-3-38

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Systeme oder Körper verschiedener Temperatur stehen in Strahlungswechselwirkung untereinander. Sie tauschen Wärmestrahlung, die wie Licht eine elektromagnetische Strahlung ist, aus. Alle Körper strahlen daher Wärme ab, man spricht von Emission, und nehmen Wärmestrahlung, die von anderen Körpern ausgeht, auf. Dieser Vorgang wird Absorption genannt. Durch Wärmestrahlung kann Wärmeenergie auch im materienfreien Raum transportiert werden, wie das Beispiel der Sonneneinstrahlung durch den Weltraum auf die Erde zeigt. Welche Energie ein Körper dabei durch Wärmestrahlung abgibt, ist nur von seiner Eigentemperatur nicht aber von der Temperatur der Umgebung abhängig. Wird die Temperatur eines Körpers erhöht, so steigt nicht nur die von ihm ausgesandte Strahlungsleistung an, sondern es ändert sich auch die spektrale Zusammensetzung. Unter Wärmestrahlung (nahe und mittlere Infrarotstrahlung) versteht man dabei den infraroten Spektralbereich mit Wellenlängen zwischen 0,8 µm - 10 µm . Die sog. extreme Infrarotstrahlung reicht bis zu einer Wellenlänge von 1000 µm und grenzt dort an die Mikrowellenstrahlung. Beispiel: Farbeindruck einer erhitzten Stahlprobe als Funktion seiner Temperatur ϑ / °C 650 900 950 1000 1100 ≥ 1300

Farbeindruck Dunkelrot Hellrot Orange Gelb Hellgelb Weiß

Die von der Sonne emittierte Strahlung gelangt durch den interplanetarischen Raum zur Erde. Sie besteht im Wesentlichen aus dem sichtbaren Licht (SL), der ultravioletten Strahlung (UV) und der infraroten Strahlung (IR), die auch als Wärmestrahlung bezeichnet wird. Die Solarstrahlung stellt jedoch nur einen kleinen Ausschnitt aus dem gesamten Spektrum der elektromagnetischen Strahlung dar, zu dem auch die Röntgenstrahlung und die extrem kurzwellige Gammastrahlung gehört.

HF ... 6 10 Hz ...

SL UV ... IR fernes nahes IR IR

Radiowellen Mikrowellen 109 Hz

10 12 Hz 1mm

100µm

1015 Hz

f

λ 1µm 100nm Abb

Abb. 19: Ausschnitt aus dem elektromagnetischen Strahlungsspektrum

Der Infrarotstrahlung schließt sich in Richtung abnehmender Frequenzen (zunehmender Wellenlängen) der elektrotechnisch genutzte Hochfrequenzbereich (HF) an. Die elektromagnetische Strahlung wird auch als Photonenstrahlung bezeichnet. Details werden im Rahmen einer Einführung in die Atomphysik dargestellt. LE-3-39

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Zwischen der Wellenlänge λ und der Frequenz f einer elektromagnetischen Welle besteht die Beziehung: λ f=c

[λ]=m 1 [ f ] = s = Hz Dabei gilt: 1 s-1 = 1 Hz (Hertz)

c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Strahlung, die Lichtgeschwindigkeit. c = 2,99792454 ⋅ 108 m / s ≈ 3 ⋅ 108 m / s

Eine elektromagnetische Welle mit der Frequenz f transportiert die Strahlungsenergie E: E=hf Der Proportionalitätsfaktor h ist das Plancksche Wirkungsquantum, eine fundamentale Konstante der Atomphysik. h = 6,626 ⋅ 10 −34 Js Die von einem Körper ausgehende Strahlungsleistung P = E& ist identisch mit dem EnergiedE oder Strahlungsstrom E& = = Φ der Strahlungsquanten, den sog. Photonen. Die dt Strahlungsleistung hängt von der Temperatur T des Körpers, seiner Fläche A sowie seiner Oberflächenbeschaffenheit ab. Als fotometrische Größe wird der Strahlungsstrom, üblicherweise mit dem Formelzeichen Φ versehen, auch als Strahlungsfluss bezeichnet. [P] = [E& ] = [Φ ] = W Unter dem spektralen Strahlungsfluss Φ λ versteht man den auf das Wellenlängenintervall dλ bezogenen Anteil des Strahlungsflusses, der durch Photonen im Wellenlängenbereich zwischen λ und λ + dλ hervorgerufen wird. Φλ =

dΦ dλ

und

[Φ λ ] =

W m

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∞

Es gilt:

Φ = ∫ Φ λ dλ 0

Die auf die Senderfläche A bezogene Strahlungsleistung wird Strahlungsflussdichte ϕ oder spezifische Ausstrahlung M genannt. ϕ=M=

P Φ = A A

und

[M] =

W m2

A ist die Senderfläche des Strahlers. Analog erhält man für die spektrale Strahlungsflussdichte oder spezifische spektrale Ausstrahlung Mλ : Mλ =

dM Φ λ 1 dΦ = = dλ A A dλ

und

[Mλ ] =

W m3

Bringt man beispielsweise einen Kupferwürfel mit verschiedener Oberflächenbeschaffenheit von 4 seiner 6 Seitenwände (Seitenfläche 1: blank poliert; Seitenfläche 2: farbig lackiert; Seitenfläche 3: weiß; Seitenfläche 4: mattschwarz lackiert) auf eine einheitliche Temperatur T, so stellt man fest, dass die Strahlungsintensität der Seitenflächen verschieden ist.

Abb. 20: Massiver Kupferwürfel mit konstanter Temperatur T

Die weiße Fläche strahlt stärker als die blank polierte, die bunte strahlt stärker als die weiße und die schwarze Fläche strahlt am stärksten. Man sagt, das Emissionsvermögen oder der Emissionsgrad ist verschieden; es hängt offensichtlich von der Oberflächenbeschaffenheit der Körper ab. Die Erfahrung zeigt ferner, dass ein dunkler Körper sich bei auftreffender Strahlung stärker erwärmt als ein heller. Das Absorptionsvermögen oder der Absorptionsgrad ist ebenfalls verschieden. Das größte Absorptionsvermögen besitzt ein Körper, der alle einfallende Strahlung vollständig absorbiert. Er besitzt das Absorptionsvermögen α = 1 und erscheint einem Beobachter im auffallenden Licht schwarz, da er keinerlei Strahlung reflektiert. Einen solchen LE-3-41

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Körper nennt man einen ideal schwarzen Körper oder einen schwarzen Strahler. Die beste Realisierung eines schwarzen Strahlers stellt ein beheizter Hohlzylinder der Temperatur T mit einer kleinen Öffnung A dar. Der Strahlungsstrom, der von außen durch die kleine Öffnung in den Hohlraum eintritt, wird im Innern nach mehrfacher Reflexion nach Maßgabe seines Absorptionsgrades schließlich vollständig absorbiert ( α = 1). Der aus dem Hohlraum durch die Öffnung mit der Fläche A austretende Strahlungsstrom ist identisch mit dem von einer schwarzen Fläche gleicher Temperatur ausgehenden Strahlungsstrom. Die von einem schwarzen Strahler ausgehende Strahlung wird daher auch Hohlraumstrahlung genannt. Der auf einen Körper auftreffende Strahlungsstrom Φ 0 kann absorbiert (Anteil Φ a ), reflektiert (Anteil Φ r ) oder durchgelassen (Anteil Φ d ) werden.

Φ0

Φa =α Φ 0 Φr =ρ Φ 0

Φd =τ Φ 0

Abb. 21: Absorption, Reflexion und Transmission von Strahlung

Es gilt:

α=

Φa Φ0

ρ=

Φr Φ0

τ=

Φd Φ0

α heißt Absorptionsgrad, ρ ist der Reflexionsgrad und τ wird Transmissionsgrad genannt. Mit diesen Definitionen folgt: α+ρ+τ =1

α , ρ und τ stellen dimensionslose Stoffkennzahlen dar. [α] = [ρ ] = [τ ] = 1 LE-3-42

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Unter einem schwarzen Körper (Strahler) versteht man denjenigen Körper, der das Absorptionsvermögen α S = 1 besitzt, der somit die einfallende Strahlung im gesamten Spektrumbereich vollständig absorbiert und in Wärme umwandelt.

Für den schwarzen Körper (Strahler) gilt: αS = 1

und

ρS = τS = 0

Für den weißen Körper (Strahler) gilt:

ρW = 1 und

α W = τ W = 0.

Der schwarze als auch der weiße Körper (Strahler) sind theoretische Grenzfälle. Die meisten Körper sind im Hinblick auf ihr Absorptionsvermögen dagegen grau, d.h. sie absorbieren von der Strahlung unabhängig von ihrer Wellenlänge stets den gleichen Anteil (0 < α < 1). Im Unterschied dazu absorbieren farbige Körper im optischen Bereich die Strahlung verschiedener Wellenlängen unterschiedlich stark. Ihr Absorptionsvermögen α ist somit wellenlängenabhängig. α = α ( λ ) wird daher auch spektraler Absorptionsgrad genannt. Messungen bei verschiedenen Wellenlängen führen ebenfalls auf verschiedene ρ − und τ − Werte. Diese Größen sind daher ebenfalls von der Wellenlänge λ und der Temperatur T abhängig. Stellt man zwei nach außen isolierte Körper 1 und 2 (Abb. 22) gleicher Fläche A mit den Absorptionsvermögen α 1 und α 2 im Vakuum gegenüber, so ergibt sich Folgendes: Der linke Körper (Index 1) im oberen Teil der Abb. 22 emittiert den Strahlungsstrom Φ 1 , der rechte Körper (Index 2) Φ 2 . Von der auf Körper 1 auftreffenden Strahlung Φ 2 absorbiert der linke Körper α 1Φ 2 und reflektiert Φ r ,1 = ρ1Φ 2 = (1 − α 1 )Φ 2 .

Der rechte Körper absorbiert α 2 Φ 1 und reflektiert Φ r ,2 = ρ 2 Φ 1 = (1 − α 2 )Φ 1 .

Im thermischen Gleichgewicht sind für beide Körper die emittierten und absorbierten Strahlungsströme identisch. Andernfalls würde sich im Widerspruch zum 2. Hauptsatz der Thermodynamik von selbst eine Temperaturdifferenz aufbauen. Im Strahlungsgleichgewicht folgt: Φ 1 + Φ 1,r = Φ 2 + Φ 2,r

Φ 1 + (1 − α 1 )Φ 2 = Φ 2 + (1 − α 2 )Φ 1 LE-3-43

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Φ1

α1

=

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Φ2

α2

Vakuum

1

1

α1

2

2

(1-α1 )Φ2

α2

(1-α2)Φ1

verspiegelt Vakuum 1

2

s

αs =1

α