Universidade de São Paulo Faculdade de Arquitetura e Urbanismo
PEF 2602 – Estruturas na Arquitetura II: Sistemas Reticulados
Exercício 3
Grupo 14: Cíntia Mara Oliveira Felipe Pistori Devitte Lígia B. L. Melo Renata M. C. Guedes
São Paulo, Novembro de 2009
Cíntia Mara Oliveira
nº USP: 5915020
Felipe Pistori Devitte
nº USP: 5915969
Lígia B. L. Melo
nº USP: 5914972
Renata M. C. Guedes
nº USP: 5915715
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Estrutura da estação de trens Lehrter, Berlim 1º Passo: Para analisar a estrutura da estação de trens Lehrter, em Berlim, o primeiro passo do trabalho foi desenhar o arco ACDB no programa Ftool, apresentado no corte da estrutura da estação.
C
A
D
B
Em segundo lugar, foi determinado o carregamento uniformemente distribuído que age sobre a cobertura da estação de trem. O carregamento uniformemente distribuído sobre a projeção horizontal da cobertura é de 2kN/m² e o espaçamento entre arcos é de 11,4m (o valor do espaçamento foi determinado a partir do número do grupo – 14). Dessa forma se obtêm o valor de 22,8kN/m para a força que age sobre o arco.
A partir da aplicação da força sobre o arco pode-se determinar todos os diagramas de esforços solicitantes da estrutura. Em seguida estão apresentados todos esses diagramas: Forças Normais, Forças Cortantes (Verticais), Momentos Fletores, além da deformada da estrutura.
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Diagrama de Forças Normais
Diagrama de Forças Cortantes (Verticais)
Diagrama de Momentos Fletores
Deformada da Estrutura
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A estrutura possui um eixo de simetria, que é o seu ponto central. Visualmente isso já poderia ser visto, mas é comprovado pelos diagramas de esforços. Neles, podemos ver que os valores das forças normais são espelhados em relação ao ponto central, assim como as forças cortantes, que possuem os seus valores espelhados e somente se alteram no seu tipo, de tração (sinal positivou) ou de compressão (sinal negativo) e no sentido de tendência do giro, horário (positivo) ou anti-horário (negativo). Os Momentos Fletores também possuem os mesmos valores em ambos os lados, espelhados a partir do ponto central da estrutura. O arco ACDB apresentado é articulado nos pontos A e B, ou seja, nos apoios. Um arco triarticulado é articulado também no ponto central. O comportamento do arco estudado em comparação com um arco triarticulado é bastante distinto, principalmente no diagrama de momentos fletores. A forma do Diagrama de Momentos Fletores do arco ACDB é bastante semelhante ao posicionamento e à geometria dos cabos que são utilizados na estrutura.
C
D
B
A
Esquema estrutural.
Esquema estrutural montado no Ftool.
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2º Passo: Em seguida, para continuar nossa análise, inserimos os cabos e os montantes no arco, conforme indicado no corte na estação de trem de Lehrter, mantivemos o mesmo carregamento uniformemente distribuído de 22,8kN/m e obtivemos seus diagramas:
Diagrama de Forças Normais
Diagrama de Forças Cortantes (Verticais)
Diagrama de Momentos Fletores
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Deformada da Estrutura
Como era de se esperar, os cabos e os montantes não possuem Forças Verticais nem Momentos Fletores, somente Forças Normais. As Forças Normais que atuam no arco ACDB aumentaram, porém elas foram compensadas pelas forças existentes nos cabos e montantes que foram inseridos na estrutura. Dessa forma as Forças Normais que atuam na estrutura se mantiveram as mesmas. Isso pode ser notado pelos valores das reações de apoio verticais que são iguais nos dois casos (915,71kN). A adição dos cabos e dos montantes fez com que houvesse uma redução no valor da Reação Horizontal dos apoios. No primeiro caso valia 695,91kN e no segundo valia 658,07kN. Com os Momentos Fletores também houve uma redução drástica. No primeiro caso o momento fletor máximo que atuava na estrutura era de 3057,80kNm; no segundo caso esse valor reduz para 1754,61kNm. Essa redução se deve a diminuição das Forças Verticais atuantes na estrutura. A deformação da estrutura é idêntica nas duas situações.
3º Passo: O terceiro passo do exercício foi retirar o carregamento uniformemente distribuído aplicado sobre o arco e aplicar uma variação térmica de -1ºC (∆T0) nos cabos da estrutura, a qual simula uma carga de protensão nos cabos.
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A partir daí, foram determinados os diagramas de esforços solicitantes. Apenas os de Forças Normais e de Momentos Fletores serão utilizados para a análise.
Diagrama de Forças Normais gerado pela variação de temperatura de -1ºC
Diagrama de Momentos Fletores gerado pela variação de temperatura de -1ºC
A Força Normal máxima que existe na variação de -1ºC é de 3,20kN. Essa é a força normal nos cabos que se unem ao apoio. O momento fletor máximo gerado por essa variação de temperatura é de 7,09kNm e se encontra no arco, nos trechos AC e DB (na segunda articulação depois do ponto A e em seu ponto simétrico).
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Para determinar o valor da variação de temperatura adequado para anular o máximo momento fletor gerado pela forçar uniformemente distribuída de 22,8kN/m é preciso fazer uma relação de proporcionalidade. Assim, usamos os valores dos momentos fletores, nos dois casos, no ponto cujo momento fletor é máximo no carregamento uniformemente distribuído de 22,8kN/m. -1ºC ---------- 6,76kNm
(momento fletor gerado pela variação de temperatura no mesmo ponto do momento fletor máximo no carregamento de 22,8kN/m )
X ºC ---------- 1754,61kNm (momento fletor máximo gerado pela força de 22,8kN/m) X = -1754,61/ 6,76
X = -259,55 ºC
Conclui-se que uma variação de temperatura de aproximadamente 260ºC (∆T1) representa a carga de protensão nos cabos suficiente para anular o momento fletor máximo de 1754,61kNm gerado pela força uniformemente distribuída de 22,8kN/m.
Diagrama de Forças Normais gerado pela variação de temperatura de -260 ºC
Comparando o diagrama de Momentos Fletores gerado pela variação de temperatura de -260ºC com o diagrama de Momentos Fletores gerado pela força uniformemente distribuída de 22,8kN/m, verificamos que eles são inversos, ou seja, possuem sentidos opostos: os momentos gerados pela força uniformemente distribuída e os gerados pela protensão tendem a girar a estrutura em sentidos opostos. Isso pode ser comprovado observando a deformação da estrutura nos dois casos: pela força de 22,8 KN ela tende a abrir, já pela protensão, ela tende a se fechar.
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Deformada da Estrutura gerada pela força uniformemente distribuída de 22,8 KN/m
Deformada da Estrutura gerada pela variação de temperatura de -260ºC (protensão)
4º Passo: Colocando no mesmo gráfico a protensão (∆T1= -260ºC) e a força uniformemente distribuída (22,8kN/m) obtemos as seguintes informações:
Diagrama de Forças Normais gerado pela variação de -260ºC e da força de 22,8kN/m
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Diagrama de Forças Cortantes gerado pela variação de -260ºC e da força de 22,8kN/m
Diagrama de Momentos Fletores gerado pela variação de -260ºC e da força de 22,8kN/m
Deformada da Estrutura gerada pela variação de -260ºC e da força de 22,8kN/m
Nestes diagramas obtidos pela junção da protensão com a carga uniformemente distribuída verificamos várias mudanças em relação aos outros já vistos. As forças Normais nos cabos aumentaram drasticamente; no arco elas também aumentaram, mas em menor intensidade. Os momentos fletores não deixaram de existir na estrutura, porém no ponto cujo momento fletor era máximo, quando a estrutura era submetida somente a força uniformemente distri11
buída de 22,8kN/m (ponto central dos trechos AC e DB do arco), é praticamente nulo (da ordem 0,3kNm). Esse resultado era esperado, já que a carga de protensão aplicada (gerada pela variação de temperatura de -260ºC) foi calculada para anular o momento fletor máximo da estrutura. É bastante interessante esse artifício aplicado pelo engenheiro. Se utilizando da forma do momento fletor e da protensão nos cabos para anular o momento fletor máximo que as forças geram no arco para criar uma estrutura interessante e diferenciada.
5º Passo: A última coisa feita foi aplicar uma carga uniformemente distribuída adicional de 2,5kN/m no trecho AC, da esquerda para a direita, simulando, por exemplo, a força que o vento aplica na estrutura.
Estrutura submetida à todas as forças exigidas
Diagrama de Forças Normais
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Diagrama de Forças Cortantes
Diagrama de Momentos Fletores
Deformada da Estrutura
Somente com a carga uniformemente distribuída de 22,8kN/m e a protensão as forças que atuavam na estrutura eram simétricas em relação ao seu eixo central. Com a adição dessa força uniformemente distribuída de 2,5kN/m no trecho AC é causada uma assimetria nas forças que atuam na estrutura. O trecho AC do arco sofre mais esforços com essa nova força aplicada, porém, com os cabos, acontece um fato interessante. Os cabos que estão sobre o trecho AC eles são menos solicitados que aqueles que estão sobre o trecho DB, ou seja, estão mais frouxos, enquanto os outros estão mais traciona13
dos. Dessa forma notamos que as forças normais nos cabos do trecho AC são menores que as do trecho DB. Esse fato que ocorre com os cabos gera uma mudança nos momentos fletores na estrutura e, conseqüentemente na sua deformação, que agora está deslocada para a direita. Todas as deformações mostradas estão em escala bem maior do que realmente são devido a problemas de escala que existem no programa ftool.
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