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1 Ein bisschen Theorie

Ein Parkett- oder Pflasterstein ist eine Figur, welche durch eine endlich lange und geschlossene Linie eingeschlossen ist, die sich weder schneidet noch irgendwo zusammenfällt. Bedecken diese Pflastersteine eine Ebene lückenlos und ohne Überlappungen, spricht man von einer Parkettierung. Dabei muss das entstehende Muster in mindestens zwei Richtungen periodisch sein und jeder Pflasterstein muss durch eine Kongruenzabbildung (Verschiebung, Spiegelung, Drehung oder Gleitspiegelung) auf jeden anderen Stein des Musters abbildbar sein. Die Forderung nach der Periodizität lässt nur Drehungen um 60°, 90°, 120° und 180° zu. 1.2 Klassifikation Parkettierungen lassen sich auf zweierlei Arten klassifizieren: A Einteilung durch Gruppen Fasst man alle Symmetrieabbildungen einer beliebigen Parkettierung zusammen, welche dieses auf sich selbst abbilden, erhält man die Gruppe der Symmetrieabbildungen dieser Parkettierung. Mit Hilfe der Gruppentheorie kann gezeigt werden, dass es nur 17 verschiedene Symmetriegruppen von Parkettierungen der Ebene gibt. B Graphentheorie Jeder Parkettstein besteht aus Ecken und Kanten, wobei jeder Eckpunkt zu mindestens zwei weiteren Steinen gehört und jede Kante zu einem weiteren Pflasterstein. Umläuft man nun einen Stein und notiert zu jeder Ecke die Zahl der Steine, zu denen diese Ecke gehört, ergibt sich eine Sequenz von natürlichen Zahlen. F. Laves zeigte 1931, dass nur 11 verschiedene solcher Knüpfmuster möglich sind:

(3,3,3,3,3,3)

(3,3,3,3,6)

(3,3,3,4,4)

(3,3,4,3,4)

(3,4,6,4)

(3,6,3,6)

(3,12,12)

(4,4,4,4)

(4,8,8)

(4,6,12)

(6,6,6)

PARKETTIERUNG

1.1 Definition

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2 Parkettierung durch regelmäßige Vierecke

3 Beispiele 3.1 Straßenpflaster

3.2 Parkettierungen von M.C. Escher

PARKETTIERUNG

Will man eine Ebene mit regelmäßigen Vielecken parkettieren, so müssen die Innenwinkel dieser Vielecke der folgenden Bedingung genügen: (n − 2 ) ⋅ 180 muss ein Teiler n von 360 sein (vgl. 1.1). Daraus ergeben sich für die Zahl n der Ecken nur die Werte 3, 4 und 6. Für Fünfecke (Pentagone) ergeben sich nicht schließbare Lücken:

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B

4 Konstruktion

Zu Grunde legt man eine geometrische Figur, mit der sich eine Ebene parkettieren lässt, beispielsweise ein Rechteck. Die Seiten der Figur ersetzt man durch beliebige, zusammenhängende Linien, welche sich aber nicht überschneiden dürfen. Die Kurven AB und BC werden kopiert und auf die gegenüberliegende Seite verschoben.

D

A

C

B

D

C

A

B

Anschließend werden die Figuren passend zusammengesetzt:

4.2 Variationen Je nach zugrundeliegender Figur kann bzw. muss der oben angesprochene Vorgang abgeändert werden. Beispielsweise können die Kurven nicht nur verschoben, sondern auch gleichzeitig an einer Achse senkrecht durch die Seitenmitte gespiegelt werden. Bei Dreiecken ist wie folgt vorzugehen:

Jedes Teil, das ausgeschnitten wird, Stelle angefügt werden. Dabei muss ursprünglichen übereinstimmen. Bei ecksseite wird die Seite halbiert, das Stück oben wieder angesetzt.

muss an anderer die Lage mit der der linken Dreiausgeschnittenen

Nun werden die Figuren aneinandergesetzt. Unter http://geometrie.diefenbach.at/Fliesen/parkettierung.htm finden sich weitere Beispiele für verschiedene zugrundeliegende Figuren.

PARKETTIERUNG

4.1 Grundidee

B

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§ § § §

§

Die Schüler/innen konstruieren einen „Pflasterstein“ und erstellen eine Kartonvorlage, mit dessen Hilfe die Parkettierung durchgeführt wird. Hierbei ist eine besonders exakte Arbeitsweise nötig, da sich kleine Ungenauigkeiten summieren können. Eventuell kann hier fächerübergreifend mit dem Fach Kunst gearbeitet werden. Im Internet finden sich Programme zur Erstellung von Parkettierungen (z.B. Tesselmania). Diese können im Anschluss an die Fertigung „per Hand“ ausprobiert werden. Mit Microsoft Word lassen sich mit den Werkzeugen der Zeichenleiste (insbesondere des Gitters, also der Ausrichtung von Zeichenelementen an einem Raster, und der Freihandkurven) und der Möglichkeit, Elemente zu kopieren, ebenfalls Parkettierungen erstellen (die Konstruktion unter 4.1 wurde beispielsweise mit Word erstellt). Vertiefende Themen könnten sein: Parkette mit verschiedenen Bausteinen, Klassifizierung, Gruppentheoreme, Nicht-periodische Parkettierungen und deren Konstruktion (Penrose-Parkettierungen), Färbeprobleme, Biographien von M.C. Escher und R. Penrose.

6 Quellen Britta Späth, „Parkettierungen und Muster“ http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/projekt/quasi8.htm Hubert Massin´s Mathekiste (Studienseminar Mönchengladbach) http://www.mathekiste.de/bildertess/parkettstart.htm Technische Universität Bergakademie Freiberg http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/mce/flaechenauf.html Claus Schönleber, Frank Klinkenberg-Haaß, „Goldene Schnittmuster“ http://195.245.245.38/penrose/f-d-penrose.html Dr. Ulrich Grevsmühl, PH Freiburg, u.a. finden sich hier zwei Powerpoint-Vorträge zur Parkettierung http://home.ph-freiburg.de/grevsmue/euklid.html Matej Hojak, „Parkettierungen“ http://geometrie.diefenbach.at/Fliesen/parkettierung.htm

7 Kontakt Thomas Böttner Eduard-Spranger-Gymnasium Tübinger Str. 71 70794 Filderstadt Email: [email protected]

PARKETTIERUNG

5 Anregungen

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8 Anhang Die Anregungen aus der Sitzung des „Arbeitskreises Angewandte Mathematik“ (www.anwendungsorientiert.de) vom 18.11.03 sollen hier noch erwähnt werden:

Die Anregung geschah durch Dr. Michael Winkler vom Life-Science-Lab, Universität Heidelberg (www.iwr.uni-heidelberg.de/~Michael.Winckler/). Eine zufällige Parkettierung lässt sich mit Hilfe eines Quadratischen Grundmusters und einer Münze erzeugen. Wirft man eine Münze, so wird – je nachdem, ob man Zahl oder Kopf geworfen hat – das Feld mit einer der beiden folgenden Zeichen ausgefüllt: Zahl:

Kopf:

Anschließend werden aneinanderhängende Flächen gleich eingefärbt. Es entsteht eine zufällige, nichtperiodische Parkettierung der Ebene. Erhöht man die Zahl der Muster, lassen sich diese Muster auch mit einem Würfel erzeugen.

8.2 Weitere Anregungen Nach dem Vortrag ergaben sich in den Gesprächen mit den Kolleginnen und Kollegen weitere Anregungen: § Escher hat anscheinend alle möglichen Parkettierungen (vgl. Klassifizierung, Kapitel 1.2) in Bildern umgesetzt. § In der Moschee „Alhambra“ in Granada, Spanien, sind alle möglichen Parkettierungen in Mosaiken umgesetzt (Beispielbilder finden sich unter http://home.tonline.de/home/zimmermann-goerlitz/al-hamra.htm) Vielen Dank an alle Kolleginnen und Kollegen für Anregungen, Kritik und viel positive Resonanz!

PARKETTIERUNG

8.1 Unperiodische bzw. zufällige Parkettierung