Apuntes de Geometría

C. Penalva; G. Torregrosa

PARALELISMO EN EL PLANO

Introducción Veamos cómo pueden estar situadas dos rectas distintas en el espacio. Fijándonos en la figura, observamos: (1) Dos rectas que no se intersecan y que no son coplanarias, por ejemplo las rectas r1 y r3; en este caso se dice que las rectas se cruzan. (2) Dos rectas que se cortan en un punto, son coplanarias. Por ejemplo r1 y r2; se dice que las rectas son secantes. (3) Dos rectas que no tienen ningún punto en común y son coplanarias: r2 y r3, por ejemplo; en este caso se dice que las rectas son paralelas.

Definiciones 1.-Dos rectas se cruzan si no son coplanarias. -Dos rectas distintas son paralelas si son coplanarias y no se cortan. -Si r1 y r2 son paralelas, lo indicaremos r1 || r2. -Si dos segmentos pertenecen a rectas paralelas, diremos que son paralelos. (Como ejercicio, definir: semirrectas paralelas, semirrecta y recta paralelas, etc.)

Tª.1.- Dos rectas paralelas determinan un único plano. Prueba: Si r1 || r2, sabemos por la definición que están en un plano α. Veamos que no pertenecen a ningún otro. Sea P ∈ r2, considerando el punto P y la recta r1, existe un único plano que contiene a ambos. Por tanto existe solamente un plano que contiene a r1 y a r2, debido a que todo plano que contiene a r2, contiene a P.

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De la definición de rectas paralelas, parece que para averiguar si dos rectas son paralelas, tendríamos que prolongarlas indefinidamente. Por este motivo vemos los teoremas que siguen, que nos van a permitir asegurar el paralelismo de dos rectas de una forma más "cómoda".

Tª.2.- En un plano, si dos rectas son perpendiculares a una tercera recta, entonces son paralelas. Prueba: Sean r1 y r2 dos rectas perpendiculares a r, veamos que r1 || r2. Sea r1 ∩ r = {P} y r2 ∩ r = {Q}. Por hipótesis, r1 y r2 son coplanarias. Demostremos ahora que su intersección es vacía.

Supongamos que r1 ∩ r2 = {M}. Entonces por el punto M existirían dos perpendiculares, r1 y r2 a r. Pero vimos que la perpendicular a una recta por un punto es única. Veamos ahora la existencia de paralelas.

Tª.3.- Existencia de paralelas Sea P un punto exterior a una recta r, entonces existe al menos una recta que pasa por P, paralela a r. Prueba: Dada la recta r y el punto P, sabemos que existe la recta s que pasa por P y es perpendicular a r.

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Sea t la recta que pasa por P y es perpendicular a s (en el plano que contiene a r y a P). Entonces por el teorema anterior: t || r.

Parece lógico probar ahora que: por un punto exterior a una recta, existe una única paralela. Esta proposición es uno de los postulados de Euclides, que aparece en su obra "Elementos", escrita 300 años a.C. A lo largo del tiempo, los matemáticos supusieron que era un teorema, finalmente en el siglo XIX, se descubrió que el axioma de las paralelas no podía probarse a partir de otros axiomas, (de hecho, negando este axioma surgen otras geometrías). Nosotros volveremos a esta cuestión más adelante.

Estudiemos ahora el concepto de recta transversal:

Def.2.- Una transversal a dos rectas r1 y r2 coplanarias es una recta s que las interseca en dos puntos diferentes.

Observemos que las rectas cortadas por la transversal pueden ser o no paralelas.

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Def.3.- Dadas dos rectas r1 y r2, cortadas por una transversal s en los puntos P y Q respectivamente, consideremos los puntos A ∈ r1 y B ∈ r2, tales que A y B están en lados opuestos respecto de la recta s. Entonces a los ángulos ^APQ y ^PQB los llamamos ángulos alternos internos.

Tª.4.- Si dos rectas se cortan por una transversal, y un par de ángulos alternos internos son congruentes, entonces el otro par de ángulos alternos internos también son congruentes. Prueba:

α’ β

β’ α

Veamos que si ^α ≡ ^α’, entonces ^β ≡ ^β'. Sabemos que ^α’ ≡ ^1, por opuestos por el vértice, luego ^1 ≡ ^α. Pero ^β' y ^2 son adyacentes de congruentes, luego ^β' ≡ ^2. Además, ^2 ≡ ^β por opuestos por el vértice, por tanto ^β ≡ ^β'.

Damos a continuación una generalización del teorema 2: Tª.5.- de los ángulos alternos internos Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si un par de ángulos alternos internos son congruentes, entonces dichas rectas son paralelas. Prueba:

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Sean r1 y r2 las dos rectas cortadas por la transversal s, y sean P y Q los puntos de intersección. Entonces por el teorema anterior si un par de ángulos alternos internos son congruentes, el otro par de ángulos alternos internos también son congruentes. Veamos que r1 y r2 son paralelas.

Supongamos que r1 ∩ r2 = {A}. Consideremos un punto B perteneciente a la semirrecta opuesta de PA. Tenemos que ^BPQ es un ángulo exterior de ∴APQ, entonces por el teorema del ángulo exterior: ^BPQ > ^PQA, lo cual es una contradicción, ya que estos ángulos forman un par de ángulos alternos internos y por hipótesis son congruentes. Por tanto r1 y r2 no se cortan, es decir r1 ⎢⎢r2.

Hemos visto que, a partir de la congruencia de los ángulos alternos internos, se puede determinar el paralelismo de rectas. Veamos que esto también es posible, a partir de la congruencia de otros pares de ángulos, que serán:

- Ángulos alternos internos: 3 y 6; 4 y 5. - Ángulos correspondientes: 1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8. 62

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- Ángulos interiores en el mismo lado de la transversal: 3 y 5; 4 y 6.

Def.4.- Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si ^α y ^β son ángulos opuestos por el vértice y ^β y ^γ son ángulos alternos internos, entonces se dice que ^α y ^γ son ángulos correspondientes.

Es decir, ángulos correspondientes son los que están a un mismo lado de la transversal (colaterales), y son uno interno y otro externo.

Def.5.- Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si ^α y ^β son ángulos alternos internos, ^γ y ^δ también son ángulos alternos internos y ^α y ^γ son adyacentes, entonces ^α y ^δ son ángulos internos en el mismo lado de la transversal, diremos que son ángulos colaterales internos.

Tª 6.- Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces un par de ángulos alternos internos son congruentes.

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Prueba:

Es evidente, puesto que por ángulos opuestos por el vértice tenemos que ^α ≡ ^γ, luego ^γ y ^β son ángulos alternos internos congruentes.

Tª.7.- Teorema de los ángulos correspondientes Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si un par de ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas. Prueba:

Sean ^α y ^β ángulos correspondientes congruentes, sabemos por el teorema 6 que existe un par de ángulos alternos internos congruentes y entonces, por el teorema 5, las rectas son paralelas.

Tª.8.- Dadas dos rectas cortadas por una transversal, si un par de ángulos colaterales internos son suplementarios, las rectas son paralelas. Prueba: inmediata.

Los recíprocos de los teoremas que caracterizan el paralelismo de las rectas no tienen por qué ser ciertos. Es decir, para poder afirmar que: si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes, los ángulos correspondientes son congruentes y los ángulos colaterales internos son suplementarios,

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necesitamos demostrar la unicidad de la paralela, que se establece en el axioma del paralelismo, que vemos a continuación. Mediante el teorema de existencia de paralelas, sabemos que dado un punto exterior a una recta, existe una recta paralela a la dada y que contiene al punto. Intuitivamente "vemos" que esta paralela es única. Esto lo enunciamos mediante el siguiente

Ax.20.- Axioma del paralelismo Dados una recta r y un punto P exterior a la recta, existe una única recta que pasa por P y es paralela a r.

Ahora ya podemos establecer los recíprocos de los teoremas anteriores:

Tª.9.- Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son congruentes. Prueba:

Supongamos que siendo r1 ⎢⎢ r2 y s una transversal a r1 y r2, ^α y ^β no son congruentes. Consideremos el ángulo ^α y la semirrecta QP, entonces sabemos que existe una única semirrecta QA tal que ^AQP ≡ ^α. Sea r la recta que contiene QA, r ≠ r2. Puesto que tenemos ángulos alternos internos congruentes, r1 ⎢⎢ r, contradicción con el axioma del paralelismo, puesto que por el punto Q existen dos paralelas a r1. Corolario 9.1.- Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, cada par de ángulos correspondientes son congruentes.

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Prueba: inmediata.

Corolario 9.2.- Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos colaterales internos son suplementarios. Prueba: inmediata. Tª.10.- En un plano π, si una recta interseca a una de dos rectas paralelas, en un único punto, entonces interseca también a la otra. Prueba:

Si r no cortase a r2 ⇒ r ⎢⎢ r2. Por el punto {P} = r ∩ r1, P ∉ r2 , tendríamos dos paralelas a r 2. Tª.11.- En un plano π, si dos rectas r1 y r2 son paralelas y r2 es paralela a r3, entonces r1 y r3 son paralelas. Prueba: inmediata. Tª.12.- En un plano π, si dos rectas r1 y r2 son paralelas y r1 es perpendicular a la recta s, entonces r2 y s son perpendiculares. Prueba:

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r1 ⎢⎢ r2 ⇒ ^α ≡ ^δ y ^β ≡ ^γ. R1 es perpendicular a s ⇒ ^α ≡ ^β ⇒ ^δ ≡ ^γ. Como ^δ y ^γ son adyacentes, tenemos que ^δ y ^γ son rectos ⇒ las rectas s y r2 son perpendiculares.

PARALELISMO APLICADO A TRIÁNGULOS

Tª.13.- En cualquier triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180°. Prueba:

Dado ∴ABC, trazamos por B la paralela a AC, sea ésta r. B1 y ^A son alternos internos (¿) luego ^B1 ≡ ^A. Por la misma razón ^B2 ≡ ^C. Tenemos pues m(^ABP) = m(^B) + m(^B2 ) ⇒ m(^B1 ) + m(^ABP) = m(^B1 ) + m(^B) + m(^B2 ) = 180°. Luego se verifica: m(^A) + m(^B) + m(^C) = 180°.

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Corolario 13.1.- Dada una correspondencia entre dos triángulos, si dos pares de ángulos correspondientes son congruentes, entonces el tercer par de ángulos correspondientes son también congruentes. Prueba: inmediata

Corolario 13.2.- Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios. Prueba: inmediata

Corolario 13.3.- En cualquier triángulo, la medida de un ángulo exterior, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes. Prueba: inmediata

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CUADRILÁTEROS

Introducción A partir de la idea intuitiva que todos tenemos sobre el concepto de cuadrilátero, vamos a tratar de formalizar convenientemente dicho concepto. A continuación veremos distintas definiciones que podemos utilizar alternativamente, según sea el propósito de nuestro estudio. Es importante darse cuenta de las ventajas e inconvenientes que cada una de ellas implica a la hora de presentar el tema a nuestros alumnos. Parece claro que, para los primeros niveles, la más adecuada es la más intuitiva. Pero conviene tener presente que, generalmente, tenemos que generalizar el estudio de los polígonos, y por tanto sería deseable dar una definición menos intuitiva, más compleja, pero de gran ayuda en la generalización.

Def.1.- Dos triángulos se dicen consecutivos si su intersección es un lado.

Def.2.- Dados dos triángulos consecutivos, coplanarios y tales que tres vértices cualesquiera de ellos no están alineados, a la figura unión de dichos triángulos la llamamos cuadrilátero.

Los puntos A, B, C y D, se llaman vértices del cuadrilátero.

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Los ángulos ^BAD, ^ABC, ^BCD y ^CDA, se llaman ángulos del cuadrilátero (exactamente serían la intersección de cada ángulo con la figura), y los denotamos con ^A, ^B, ^C y ^D, respectivamente. Los segmentos AB , BC , CD , y DA , se llaman lados del cuadrilátero. El perímetro de un cuadrilátero es la suma de las longitudes de sus lados. Un cuadrilátero lo indicaremos por ABCD, siendo A, B, C y D, sus vértices.

Nota.- Observamos que con esta definición no son cuadrilátero:

Def.3.- Diremos que un cuadrilátero es convexo, si es una figura convexa.

En el caso en que estemos interesados en el estudio de cuadriláteros convexos exclusivamente, podríamos dar como definición: "Dados cuatro puntos coplanarios tales que se han podido ordenar, y tres consecutivos cualesquiera no estén alineados, y las rectas determinadas por cada dos puntos consecutivos, dejan en un mismo semiplano a los otros dos puntos restantes, llamamos cuadrilátero convexo al conjunto de puntos comunes a todos estos semiplanos.

Nota.- Esta definición de apariencia más compleja, sin embargo es fácilmente generalizable.

Def.4.- Dos lados de un cuadrilátero son opuestos si no se intersecan. Dos ángulos de un cuadrilátero son opuestos si no tienen un lado común. Dos lados de un cuadrilátero son consecutivos si tienen un vértice común. Dos ángulos de un cuadrilátero son consecutivos si tienen un lado del cuadrilátero común.

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Las diagonales de un cuadrilátero son los segmentos que unen dos vértices no consecutivos del mismo.

A continuación damos una clasificación de los cuadriláteros en: paralelogramos y no paralelogramos.

Def.5.- Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los dos pares de lados opuestos paralelos.

Un cuadrilátero no paralelogramo notable es: Def.6.- Un trapecio es un cuadrilátero que tiene uno y solo un par de lados opuestos paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio.

Nota.- Observamos que, según la definición, un paralelogramo no es un trapecio.

Def.7.- El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio se llama mediana.

Def.8.- La altura de un trapecio es el segmento que va desde uno de sus lados paralelos, perpendicularmente al otro lado paralelo.

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Def.9.- Un trapecio se dice que es isósceles si sus lados no paralelos son congruentes.

Vamos a estudiar propiedades de los paralelogramos: Tª.1.- Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes. Prueba: Si ABCD es un paralelogramo, entonces ∴ABD ≡ ∴CDB.

Es evidente que por ser BC ⎢⎢ AD , tenemos ángulos alternos internos congruentes. Análogamente, como AB ⎢⎢ DC , también son congruentes los ángulos ^ABD y ^BDC.

Luego aplicando ALA, los triángulos son congruentes.

Corolarios.-

1.- En un paralelogramo, dos lados opuestos cualesquiera son congruentes. (demostración evidente) 2.- En un paralelogramo, dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes. (demostración evidente) 3.- En un paralelogramo, dos ángulos consecutivos cualesquiera son suplementarios. (demostración evidente) 4.- Si dos rectas son paralelas, los puntos de una de las rectas equidistan de la otra recta. Prueba:

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Sabemos que d(P,r2) es la longitud del segmento PP' , siendo P' la intersección de r2 con la recta perpendicular a r2 trazada por P. Análogamente d(Q,r2 ). Pero si PP' ⊥ r2 y QQ' ⊥ r2, entonces PP' ⎢⎢ QQ' , luego PQQ'P' es un paralelogramo. Aplicando ahora el teorema 1 tenemos probado el corolario.

Este corolario nos dice Def.10.- La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia de un punto de una de

ellas a la otra.

Ejercicio.- Analizar la definición de altura de un trapecio.

Tª.2.- Cada diagonal de un paralelogramo corta a la otra en un punto equidistante de sus

extremos. (Obsérvese que las respectivas mitades de cada diagonal no tienen por qué ser congruentes) Prueba:

Sabemos por los teoremas de incidencia vistos anteriormente que toda semirrecta de origen B, interior a ^B corta a un segmento de extremos en los lados de ^B, como es en este caso AC . Luego aplicando ALA a los triángulos ∴AOD y ∴COB, resulta que ∴AOD ≡ ∴COB ⇒ OB ≡ OD , y AO ≡ CO .

Def.11.- El punto intersección de las diagonales de un paralelogramo se llama centro del

paralelogramo.

PARALELOGRAMOS PARTICULARES:

Def.12.- Un rombo es un paralelogramo que tiene los cuatro lados congruentes.

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Def.13.- Un rectángulo es un paralelogramo que tiene un ángulo recto.

Def.14.- Un cuadrado es un rectángulo que tiene los cuatro lados congruentes.

Justifiquemos las definiciones anteriores:

Tª.3.- Si un paralelogramo tiene un ángulo recto, entonces tiene los cuatro ángulos rectos.

Prueba: inmediata por los corolarios 2 y 3 del teorema 1.

A continuación vemos una caracterización del rombo:

Tª.4.- Las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente.

Prueba:

Ya sabemos que se cortan en su punto medio (?), y son ⊥ teniendo en cuenta que si dos puntos de r equidistan de A y B, entonces r es la mediatriz de AB .

Recíprocamente: Tª.5.- Si las diagonales de un cuadrilátero se cortan perpendicularmente por su punto

medio, entonces el cuadrilátero es un rombo. Nota.- La condición de cortarse por su punto medio es indispensable, pues la "cometa" no es rombo y sus diagonales se cortan perpendicularmente. Prueba: es inmediata usando la congruencia LAL.

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Hasta ahora, hemos visto propiedades que verifican los paralelogramos, veamos ahora condiciones que ha de verificar un cuadrilátero para que podamos asegurar que es un paralelogramo.

Tª.6.- Si un cuadrilátero tiene los dos pares de lados opuestos congruentes, es un

paralelogramo. Prueba: inmediata.

Tª.7.- Si dos lados de un cuadrilátero son paralelos y congruentes, entonces el

cuadrilátero es un paralelogramo. Prueba: inmediata.

Tª.8.- Si cada diagonal de un cuadrilátero corta a la otra en su punto medio, el

cuadrilátero es un paralelogramo. Prueba: inmediata.

Ejercicio.- Demostrar el teorema 5 usando el teorema 8.

A partir de los resultados sobre cuadriláteros, podemos obtener algunos resultados notables referidos a triángulos en general y particularmente a triángulos rectángulos.

Tª.9.- De la paralela media

El segmento de extremos los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longitud. Prueba:

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Dado el triángulo ∴ABC, sean D y E los puntos medios de AB y BC respectivamente. Veamos que entonces DE ⎢⎢ AC y d(D,E) = d(A,C) / 2. Consideremos la semirrecta opuesta a la ED, en ésta tomamos F tal que EF ≡ DE, y trazamos FC. Tenemos que : ^BED ≡ ^FEC por opuestos por el vértice; luego aplicando LAL se deduce que ∴BED ≡ ∴CEF ⇒ FC ≡ AD y ^FCE ≡ ^DBE. Luego por ángulos alternos internos congruentes deducimos que AB ⎢⎢ CF. En el cuadrilátero ADFC tenemos dos lados AD y FC paralelos y congruentes ⇒ ADFC es un paralelogramo ⇒ DE ⎢⎢ AC. También se verifica que en un paralelogramo los lados opuestos son congruentes ⇒ AC ≡ DF. Pero d(D,F) = 2d(D,E), luego d(D,E) = d(A,C) / 2.

Tª.10.- La longitud de la mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es

igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa. Prueba:

Dado el triángulo ∴ABC, recto en ^A, sea M el punto medio de la hipotenusa, AM es la mediana relativa a la hipotenusa. Entonces veamos que d(A,M) = d(B,C) / 2. Por B trazamos la paralela a AC, y por C trazamos la paralela a AB que se cortan en D, pues en caso de no cortarse, tendríamos que son paralelas y como BD ⎢⎢ AC, y también DC ⎢⎢ AB, entonces serían paralelas AB y AC ⇒ contradicción. Tenemos pues que ABCD es un paralelogramo (rectángulo o cuadrado), y en un paralelogramo cada diagonal corta a la otra en su punto medio, luego M ∈ AD ⇒ AM ⊂ AD y AM ≡ MD .

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Considerando los triángulos ∴BDC y ∴ACD, rectos en ^D y ^C respectivamente, tenemos

que

(∗)

BC ≡ AD ⇒

BC ≡ 2BM ≡ 2 AM ⇒ d(A,M) =

d(B, C) d( A, D) = 2 2

⇒

BM ≡ AM

y

como

d(B, C) 2

(∗) En general, las diagonales de un rectángulo son congruentes y por tanto también sus mitades.

Tª.11.- Teorema del triángulo 30-60-90

Si en un triángulo rectángulo un ángulo agudo mide 30°, entonces la longitud del lado opuesto es igual a la mitad de la longitud de la hipotenusa. Prueba:

Dado el triángulo ∴ABC, recto en ^A, y m(^B) = 30° , sea M el punto medio de BC , sabemos que AM ≡ BM ≡ MC . En el triángulo ∴AMC tenemos que AM ≡ MC ⇒ el triángulo es isósceles ⇒ ^MAC ≡ 60° y ^β ≡ 60° ⇒ ∴AMC es equiángulo y por tanto equilátero. Luego AM ≡ MC ≡ AC ⇒ d( A, C) =

d(B, C) . 2

Recíprocamente, es inmediato probar: Tª.12.- Si la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo es la mitad de la longitud de

la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto mide 30°.

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SEGMENTOS INTERCEPTADOS POR RECTAS PARALELAS

Def.13.- Dadas las rectas paralelas r1 y r2, si una transversal las interseca en A y B

respectivamente, entonces decimos que r1 y r2 interceptan (o determinan) el segmento AB en la transversal.

Supongamos que dadas tres rectas paralelas r1, r2 y r3, son cortadas por una transversal en los puntos A, B y C respectivamente, si AB ≡ BC , entonces decimos que las tres rectas interceptan segmentos congruentes en la transversal.

Veamos a continuación que si tres rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una transversal, entonces interceptan segmentos congruentes en cualquier transversal.

Primero veamos:

Tª.13.- Si tres rectas paralelas interceptan segmentos congruentes en una transversal s,

entonces interceptan segmentos congruentes en toda transversal t que sea paralela a s. Prueba: Sean las rectas paralelas r1, r2y r3, y sean A, B y C los puntos de intersección con s respectivamente. Sea t una paralela a s, y sean D, E y F los puntos de intersección con las rectas paralelas respectivamente.

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Entonces: ADEB es un paralelogramo ⇒ AB ≡ DE. BEFC es un paralelogramo ⇒ BC ≡ EF Por hipótesis AB ≡ BC, luego DE ≡ EF.

Tª.14.- Si tres rectas paralelas interceptan segmentos congruentes en una transversal,

entonces interceptan segmentos congruentes en cualquier transversal. Prueba: Sean r1 ⎢⎢r2 ⎢⎢r3, y s1 ,s2 transversales a ellas, si AB ≡ BC, veamos que DE ≡ EF.

Suponemos que s1 y s2 no son paralelas, si fuesen paralelas ya estaría probado por el teorema anterior. Sea s3 la paralela a s1 por el punto E, sabemos que GE ≡ EH, y además ^GDE ≡ ^EFH y ^DGE ≡ ^EHF, entonces ∴DEG ≡ ∴FEH ⇒ DE ≡ EF. 79

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Corolario 1.- Si más de tres rectas paralelas interceptan segmentos congruentes en una

transversal, entonces interceptan segmentos congruentes en cualquier otra transversal. Es decir, si A1 A2 ≡ A2 A3 ≡ ..., se deduce que B1 B2 ≡ B2 B3 ≡ ...

Se prueba aplicando sucesivamente el teorema anterior.

Def.14.- Decimos que dos o más rectas son concurrentes, si existe un punto común a

todas ellas. El punto común se llama punto de concurrencia.

Def.15.- Al conjunto de rectas de un plano concurrentes en un punto se le llama haz de

rectas.

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Tª.15.- En todo triángulo, las medianas son concurrentes, y su punto de concurrencia

dista las dos terceras partes de la longitud de cada mediana, del vértice al lado opuesto. Prueba: Dado el triángulo ∴ABC, sean M, N y P los puntos medios respectivos de los lados AC, AB y BC.

Veamos que las medianas AP, BM y CN son concurrentes en un punto G tal que: d(C,G) = 2/3 d(C,N);d(A,G) = 2/3 d(A,P) y d(B,G) = 2/3 d(B,M).

1) Consideremos las rectas r1, r2, r3, r4 y r5, paralelas a AP y que interceptan en BC cuatro segmentos congruentes. 2) Puesto que r1, r2, r3, r4 y r5 dividen a BC en cuatro segmentos congruentes, r3, r4 y r5 dividen a PC en dos segmentos congruentes, entonces por el teorema anterior: r3, r4 y r5 dividen a AC en dos segmentos congruentes ⇒ r4 corta a AC en el punto M. 3) Ahora bien, r1, r2, r3, y r4 dividen a BQ en tres segmentos congruentes, luego r1, r2, r3, y r4 dividen a BM en tres segmentos congruentes, luego d(G,B) = 2/3 d(B,M). 4) Por tanto tenemos que BM y AP se cortan en un punto G tal que d(G,B) = 2/3 d(B,M).

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Utilizando el mismo razonamiento, trazamos rectas paralelas a CN y tenemos:

5) Las medianas BM y CN se cortan en el punto G' tal que d(B,G') = 2/3 d(B,M). Ahora bien, por el teorema del punto fijo sabemos que G ≡ G', luego las tres medianas se cortan en un punto G tal que d(B,G) = 2/3 d(B,M). Falta probar que d(C,G) = 2/3 d(C,N) y d(A,G) = 2/3 d(A,P). Para ello trazamos paralelas a AC, de forma que dividan a BC en seis segmentos congruentes, quedando por tanto divididos en seis segmentos congruentes AB y BM; luego las rectas dividen a AP y CN en tres segmentos congruentes, siendo G un punto tal que verifica lo que queremos probar.

Def.16.- El punto de intersección de las tres medianas es el centro de gravedad del triángulo. Este punto se llama baricentro.

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