´ Ordenes y funciones b´ asicas (segunda parte)

Pr´ actica 2.

Operaremos con matrices, resolveremos ecuaciones y Objetivos: sistemas y calcularemos l´ımites, derivadas e integra les  

−2 3 7 Una matriz es una lista de vectores (sus filas). La matriz  4 −1 0  5 9 6 se escribir´a (puede escribirse sin espacios y sin  ): QMatriz={

{-2,3,7}, {4,-1,0}, {5,9,6}

}

Para referirnos a una fila, por ejemplo a la tercera, escribimos QMatriz[[3]]. Si deseamos usar, por ejemplo, el elemento (3,4) (de la fila tercera el cuarto elemento) ponemos QMatriz[[3,4]]. • Introduce la anterior matriz y genera con Table una lista formada con los elementos de la diagonal. • Usa Table para definir una nueva matriz formada por los cuadrados de los elementos de la matriz QMatriz. (Observa la Tabla I y ver´ as otra forma de hacerlo). Las operaciones y funciones m´as usuales con matrices se recogen en la tabla ´ I. Usala para realizar los siguientes ejercicios. 1 −2  • Introduce la matriz Amat= −3 7 2 2 triz usando Table llamada Bmat con gunda y tercera columna de Amat 

• Con (a) (b) (c) (d) (e)

−1 4 , y forma una nueva ma1 dos filas formadas con la se

las matrices anteriores realiza los siguientes c´ alculos: Amat por la traspuesta de Bmat Amat3 -5Amat-3Amat3 |Amat| Inversa de Amat si existe.

Tabla I: Operaciones y funciones con matrices. A.B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u.v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Transpose[A] . . . . . . . . . . . . . . . Inverse[A] . . . . . . . . . . . . . . . . . Det[A] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Minors[A,m] . . . . . . . . . . . . . . . . MatrizPower[A,n] . . . . . . . . . . A^n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IdentityMatrix[n] . . . . . . . . . DiagonalMatrix[lista ]. . . .

producto de la matriz A por B matriz A por vector v producto escalar de u por v traspuesta de A inversa de A determinante de A da la lista con todos los menores de orden m de la matriz A An =A· · ·A cada elemento de A lo eleva a n y es distinto de lo que entendemos por An matriz identidad de orden n forma una matriz diagonal poniendo en la diagonal los elementos de la lista

Como sabr´as, si dado un sistema de ecuaciones Ax = b se verifica que A es una matriz cuadrada y |A| = 6 0, entonces la soluci´on del sistema es x = A−1 b. • Usa lo anterior para resolver el sistema de ecuaciones siguiente 

2x + y + z = −6   x + 3y + 2z = 2  2x + y + 2z = 4 

Para cualquier sistema de ecuaciones lineales Ax = b es posible hallar sus soluciones usando LinearSolve[A,b] y NullSpace[A]. El primero de ellos te da una u ´nica soluci´on, tanto si el sistema es compatible determinado (una u ´nica soluci´on) como si es indeterminado (infinitas soluciones), pero si es incompatible (carece de soluciones) nos da un mensaje en el que nos informa de que no existe soluci´on.

Pr´ actica 2.

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2

Para saber si el sistema tiene m´as soluciones, a parte de la dada por LinearSolve, es necesario encontrar una base del subespacio definido por el sistema homog´eneo Ax = 0. Esta base nos la proporciona el comando NullSpace[A]. Ve´amoslo en el siguiente ejemplo. 

x − y = −1   − 2z = 2 Sea el sistema 2x  4x − 3y − z = −2  Llamemos Coefic a la matriz del sistema y Term={-1,2,-2} el vector de los t´erminos independientes. Ejecutamos: LinearSolve[Coefic,Term] El programa nos devuelve la soluci´on {1,2,0} . El sistema es entonces compatible. Para saber si la soluci´on es u ´nica o no usamos NullSpace NullSpace[Coefic] El programa devuelve {1,1,1}. El sistema es, por tanto, indeterminado y la soluci´on ser´a (x, y, z) = (1, 2, 0) + λ(1, 1, 1); esto es, x = 1+λ y = 2+λ z = λ

  

λ∈R

 

• Usa el anterior procedimiento para encontrar, si existen, las soluciones del sistema: 

x + 2y + z − t = −6   2x − 3y + z + t = 2  x + 9y + 2z − 4t = 4 

1.

Resolviendo ecuaciones y sistemas. Los comandos para resolver ecuaciones son los siguientes: Solve[ecua ==0,var ]: Da las soluciones algebraicas de forma exacta, tanto reales como complejas, de la ecuaci´on ecua=0, lo cual es siempre posible cuando la ecuaci´on es polin´omica hasta el grado 4. Para las polin´omicas de mayor grado no da la soluci´on si no las encuentra algebraicas, pero se prepara para darla de forma aproximada. Para obtenerla basta con escribir a continuaci´on N[%] NSolve[ecua ==0,var ]: Da las soluciones de forma aproximada de ecuaciones algebraicas.

FindRoot[ecua ==0,{var,valor }]: Esto ser´a necesario para ecuaciones que contienen funciones trascendentes (trigonom´etricas, exponenciales, etc.) aunque tambi´en puede ser usada para cualquier otra. En este caso es necesario indicar

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3

un valor inicial cercano a la soluci´on y que podemos obtener mediante la gr´afica de ecua. Tambi´en puede ponerse un intervalo que contiene a la soluci´on {var,valor,valmin,valmax }. Para sistemas de ecuaciones podemos usar esos mismos comandos usando listas de ecuaciones y listas de variables. • Encuentra los valores de a ∈ R tales que 2−a 6 24 −4 −8 − a −24 1 1 2−a

=0

Observa que las soluciones de las ecuaciones se dan en forma de lista como x -> {x1 , x -> x2 , ... }, esto nos resultar´a muy u ´til para asignar variables. Como recordar´as, Cuando detr´as de una expresi´on ponemos /. x -> x1, se sustituye la variable x por el valor x1. As´ı pues, si escribo sol = y /.

Solve[y^2-5y+6, y]

Sustituir´a la variable y por las dos soluciones de la ecuaci´on y dar´a la lista {2,3}. Ya que sol=y ser´a sol={2,3}. Y como ya sabemos sol[[1]] ser´ a la primera soluci´ on y sol[[2]] ser´a la segunda. Ya puedes imaginar c´omo conseguir dar nombres distintos a cada una de las soluciones: {sol1,sol2} = y /.

Solve[y^2-5y+6, y]

• Usa FindRoot para encontrar una soluci´ on de la ecuaci´ on cos x = x. Representa las funciones x y cos x para tomar un valor inicial. Usa /. para sustituir la soluci´ on en la ecuaci´ on y comprobar que se verifica.

• Encuentra una soluci´ on del sistema (

2.

sen x + sen y = p 3/2 cos x + cos y = 3/2

C´ alculo de l´ımites. x2 escribimos: x→∞ 3x2 − 5x + 4 Limit[x^2/(3x^2-5x+4), x -> Infinity]

Para hallar el l´ımite lim

1

El l´ımite por la izquierda lim e x se calcula as´ı x→0−

Limit[Exp[1/x], x -> 0, Direction -> 1]

Pr´ actica 2.

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4

1

Igualmente, el l´ımite por la derecha lim e x se calcula x→0+

Limit[Exp[1/x], x -> 0, Direction -> -1] • Calcula los anteriores l´ımites.

√

 n

n son asint´ oticamente e equivalentes; esto es, el l´ımite del cociente (cuando n tiende a infinito) es uno.

• Demuestra que las sucesiones n! y

2πn

Como recordar´as una funci´on f (x) es derivable en x = x0 si existe el l´ımite f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h lim

Para que ello ocurra en funciones definidas a trozos debemos comprobar si coinciden los l´ımites por la derecha y por la izquierda: lim

h→0−

f (x0 + h) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) = lim + h h h→0

• Estudiar si es posible asignar un valor a f (1) para que la siguiente funci´ on sea derivable (

f (x) =

3.

x2 −1 x−1 sen(x−1) x−1

si x < 1 si x > 1

C´ alculo de derivadas. Para calcular la derivada de la funci´on

x2 escribimos x−1

D[x^2/(x-1),x] Si deseamos calcular, por ejemplo, la tercera derivada en el punto x = 2 ponemos entonces D[x^2/(x-1),{x,3}] /.

x -> 2

• Calcula las anteriores derivadas.

Dada una funci´on f (x) sabemos que la recta tangente a esta funci´on en el punto x0 viene dada por y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) Pr´ actica 2.

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5

2

3

−4) √ • Halla la recta tangente a f (x) = (x en x = 1. Representa 5 2x7 −1 ambas en un mismo gr´ afico y halla los puntos de intersecci´ on de la tangente y la gr´ afica de f (x).

• Calcula los m´ aximos y m´ınimos de la funci´ on f (x) del ejercicio anterior. Dada una funci´on f (x, y) de dos variables, se denominan puntos cr´ıticos o estacionarios a los puntos (x, y) que anulan la derivada respecto a x y la derivada respecto a y. Los m´aximos y m´ınimos relativos se encuentran entre estos puntos. Si un punto cr´ıtico no es ni m´aximo ni m´ınimo recibe el nombre de punto de silla. • Halla los puntos cr´ıticos de la funci´ on f (x, y) = x3 +3xy 2 −15x−12y. Usa ContourPlot o Plot3D para saber si son m´ aximos, m´ınimos o puntos de silla.

4.

C´ alculo de integrales. x2 + 1 escribimos x2 − 1 Integrate[(x^2 + 1)/(x^2 - 1), x]

Para hallar una primitiva de la funci´on

Z

El c´alculo de la integral definida 0

π



πx sen 2πx − dx se efect´ ua 2 4 

Integrate[ Pi x/2 - Sin[2 Pi x]/4, {x,0,Pi} ] Z

1

La integral doble −1

Z

√ + 1−x2

q

1 − x2 − y 2 dy dx se calcula

√

− 1−x2

Integrate[ Sqrt[ 1-x^2-y^2 ], {x,-1,1}, {y,-Sqrt[1-x^2],Sqrt[1-x^2]} ] • Halla el valor de las tres integrales anteriores.

Cuando el programa Mathematica no encuentra la primitiva es necesario hacer el c´alculo de las integrales de forma aproximada usando NIntegrate Z 1

en vez de Integrate. Por ejemplo, para hallar

2

e−x dx escribimos

0

NIntegrate[ Exp[-x^2], {x,0,1} ] • Halla de forma aproximada el valor de

Z 0

Z

+∞

Ya que

Z

f (x) dx = lim a

π



πx sen 2πx − dx 2 4 

n

n→+∞ a

f (x) dx conocemos las ´ordenes necesarias

para calcular este tipo de integrales impropias.

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6

• Calcula el valor de

Z 0

+∞

1 dx 1 + x2

• Hallar el ´ area de la superficie encerrada entre las gr´ aficas de las 1 1 − x2 funciones f (x) = 2 y . Usa Plot para representar x +x+1 x+2 ambas funciones y ver la superficie pedida. Puedes usar la opci´ on PlotStyle para que cada una aparezca de un color diferente; por ejemplo, con PlotStyle− >{RGBColor[1, 0, 0], RGBColor[0, 0, 1]} pintar´ a la primera de rojo y la segunda de azul.

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