Optimal Financial Decision Making under Uncertainty Asset Price Dynamics: Shocks and Regimes

SEMINARARBEIT Optimal Financial Decision Making under Uncertainty Asset Price Dynamics: Shocks and Regimes Institut fu¨r Financial and Actuarial Mathe...
Author: Rosa Arnold
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SEMINARARBEIT Optimal Financial Decision Making under Uncertainty Asset Price Dynamics: Shocks and Regimes Institut fu¨r Financial and Actuarial Mathematics TU Wien unter der Anleitung von Gerhold Stefan durch

Mathias Ku ¨ hrer Matrikelnummer: 01426605 Wintersemester 2017/18

Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Einf¨ uhrung in die Thematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Risikofaktoren in Finanzm¨ arkten 2.1 Regime durch Grenzen . . . . . . . 2.2 Regime durch unbekannte Zust¨ande 2.3 Marktbeispiel . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Bullenmarkt . . . . . . . . . 2.3.2 B¨arenmarkt . . . . . . . . . 2.3.3 Transitmarkt . . . . . . . . 2.4 Regime Probe . . . . . . . . . . . .

1 1 1

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3 6 8 10 10 10 10 10

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4 Anwendung: Exchange Traded Funds 4.1 Vorhergesagte Asset Returns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Portfolio Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 19 20

5 Folgerung

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Literatur

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3 Diskrete Zeit Modelle 3.1 Faktormodell . . . . . . . . . 3.2 Regime-Switching-Modell . . . 3.3 Vergleich zu anderen Modellen 3.3.1 Modelle . . . . . . . . 3.3.2 Auswahlkriterien . . .

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1 Einleitung Die vorliegende Arbeit basiert haupts¨achlich auf dem Buch Optimal Financial Decision Making under Uncertainty von Consigli Giorgio, Kuhn Daniel und Brandimarte Paolo. In manchen Stellen der Arbeit wurde zus¨atzlich auf andere Quellen zur¨ uck gegriffen.

1.1 Vorgehen Die Arbeit befasst sich mit der Bewegung von Preise von Verm¨ogensgegenst¨anden, sogenannten Assets, wie zum Beispiel Aktien, Anleihen usw. Zun¨achst werden wir uns den wirtschaflichen Faktoren widmen und uns anhand von Beispielen, den Zusammenhang dieser Faktoren und der Dynamik der Asset-Preise anschauen. Danach sehen wir uns zwei Methoden an, wie Regime gesch¨atzen werden k¨onnen. Mit den gesch¨atzen Regime werden wir ein lineares Faktor-Modell zu einem RegimeSwitching-Modell erweitern, welches verschiedene Regime zul¨asst, außerdem werden wir dieses Modell mit anderen vergleichen. Anhand der Exhcange Traded Funds testen wir dann das Regime-Shwitching-Modell.

1.2 Einf¨ uhrung in die Thematik Wertpapierkurse sind daf¨ ur bekannt eine Nicht-Normalverteilung zu haben, mit ”Heavy Tails”. Diese werden wir sp¨ater genau definieren. Es gibt Modifiaktionen der geometrischen Standard Brown’schen Bewegung, welche die oben genannten ”Heavy Tails”miteinbeziehen. Dies passiert entweder durch das Hinzuf¨ ugen eines Punktprozesses oder durch das Klassifizieren in Regime. Mit der zweiten Methode folgt der Preis einem Wiener-Prozess innerhalb der Regime, jedoch ¨andern sich die Parameter zwischen den Regimen. Die unbedingte Verteilung der Renditen ist eine Mischung aus normalen Verteilungen. Die Gemeinsamkeit dieser Methoden sind die Risikofaktoren. Bei der ersten Methode h¨angt die Intensit¨at der Schocks von der Menge der Risikofaktoren ab, welche das genau sind, wird in Kapitel 2 besprochen. Die Faktoren bestimmen die Schocks, welche ein Teil der Renditen sind. Logischerweise beeinflussen somit die Faktoren auch die Renditen. Mit der Regime-Methode ist der aktuelle wirtschaftliche Zustand nicht bekannt und wird von Periode zu Periode durch Beobachtung der Faktoren bestimmt. Die Charakterisierung der einzelnen Regime geschieht durch die Beschreibung der Mengen der Risikofaktoren. Die Schockzeiten durch die Faktoren zu definieren ist eine alternative Methode um Regime zu bestimmen, außerdem wird in dieser Arbeit die Klassifikation durch Schocks und durch den Expectation-Maximum-Algorithmus behandelt. Die Beziehung Faktoren → Regime → Schocks unterteilt den Finanzmarkt in homogene Epochen. Der Grund f¨ ur das Anwenden der Regime-Struktur liegt in der verbesserten Sch¨atzung der Parameter.

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Es gibt viele Faktoren, die die Handelsentscheidung von Investoren und folglich auch die Preise der Verm¨ogensgegenst¨ande beeinflussen. Um eine Entscheidung zu treffen, errechnet sich der Investor die Erwartung des Wertpapierkurses und stellt sich dabei die Frage: Wird der Kurs sinken oder steigen und wie stark ist die Ver¨anderung? Es ist offensichtlich, dass die wirtschaftliche Lage eine wichtige Informationsquelle f¨ ur die Investitionsentscheidungen und die zuk¨ unftige Preisentwicklung ist. Große Abweichungen der Indikatoren haben einen enormen Einfluss auf die Preisentwicklung. Ein Vorgehen, um die wirtschaftlichen Faktoren miteinzubeziehen, ist durch nicht-homogene Punktprozesse, dessen Motivation erstens das Verhalten des Investors und zweitens die Wahrscheinlichkeit einer Kursumkehr ist. Die gebr¨auchliche Definition von Risiko ist das Produkt der Wahrscheinlichkeit des Eintritts und der Schadensh¨ohe der Gefahr. Damit hat der Punktprozess einen nat¨ urlichen Hintergrund. Es gibt auch noch alternative Vorg¨ange um die wirtschaftlichen Faktoren in die Dynamik der Verm¨ogenspreise einfließen zu lassen. Faktormodelle wurden sehr oft verwendet um den Diskontierungsfaktor der Assets zu sch¨atzen, jedoch haben sie Beschr¨ankungen, weil all die Parameter zusammengefasst sind, zum Beispiel die Zinsrate und der Volatilit¨atsindex, und dadurch unempfindlich gegen¨ uber drastischen Ver¨anderungen sind. Das Marktmodell kann die wirtschaftliche Lage, die Laune der Investoren usw. wiedergeben. Ein System, meist gennant das ”Regime-SwitchingModell”, kann als Menge von stochastischen Differentialgleichungen dargestellt werden, dessen Koeffizienten einer zeit-stetigen Markov-Kette entsprechen. Die Pr¨asenz von Regimen generiert eine Regime-Switching-Struktur. Das Markov Regime-Switching Modell wurde jahrzehntelang auf die wirtschaftliche und finanzielle Modelierung angewendet. Hamiltion wendete diese Modell auf das US Bruttoinlandsprodukt (engl.: ”gross domestic product”) an und bestimmte damit diverse Regime in der US Wirtschaft, auf Grund der erhaltenen Daten. Schwert betrachtete, dass die Verm¨ogensrenditen mit der Marktvolatilit¨at in Verbindung gebracht werden k¨onnen. Diese Modellierung wirft einige Fragen auf: Was sind plausible Marktregime? Wie oft wechseln solche Regime? Wann ¨andern sich diese Regime und was verleitet sie dazu? Noch 2 wichtige Definitionen: • Regime: Das ist ein Markttyp, der sich durch seine Eigenschaften charakterisieren l¨asst, beispielsweise durch seine Volatilit¨at. • Schock: Dies ist ein pl¨otzlich auftretendes Ereignis, welches zu einer Ver¨anderung des gesamtwirtschaftlichen Angebots bzw. der gesamtwirtschaftlichen Nachfrage f¨ uhrt.

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2 Risikofaktoren in Finanzm¨ arkten Wir nehmen an, dass die wirtschaftliche Gesamtsituation durch eine große Anzahl an Risikofaktoren beschrieben wird, sowohl makro- als auch mikro¨okonomische Indikatoren. Ft sei der Vektoren dieser Indikatoren zum Zeitpunkt t: Mikro¨okonomische Faktoren: • F1t = aktuelle Aktienrendite (SR1t ): Log Return von t − 1 zu t • F2t = aktuelle Anleiherendite (BR2t ): Log Return von t − 1 zu t • F3t = aktueller W¨ahrungsgewinn (SR3t ): Log Return von t − 1 zu t • F4t = aktuelle implizite Volatilit¨at (IR4t ): V IX Index dividiert durch 100 Makro¨okonomische Faktoren: • F5t = Dividendenrendite (DY5t ): Gesamte Dividendenrendite zum Zeitpunkt t • F6t = Zinsrate (RF6t ): U.S. Interbank Offer Rate zum Zeitpunkt t • F7t = Yield Spread (Y S7t ): 10 Jahre U.S. Staatsanleihe - 3 Monate Staatsanleihe zum Zeitpunkt t • F8t = Credit Spread (CS8t ): U.S. Corporate BAA - U.S. Corporate AAA zum Zeitpunkt t ”Yield Spread”bzw. ”Credit Spreadßind Anglizismen und beschreiben die Renditendifferenz zwischen zwei Investments. In Abb.2.1 bzw. Abb.2.2 werden die w¨ochentlichen Werte dieser Mikro- bzw. Makro¨okonomische Faktoren gezeigt. Es ist interessant zu sehen, wie diese zusammenh¨angen. Zum Beispiel ist die Korrelation innerhalb der Untermengen (F1t , F4t , F6t , F7t )

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(F2t , F3t , F5t , F8t )

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und groß und zwischen dieser Mengen klein. Daraus kann man schließen, dass die einzelnen Faktoren eine unterschiedliche Aussagekraft auf den Finanzm¨arkten haben. Sp¨ater werden wir (1) und (2) als Faktor-Indizes definieren.

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Abb.2.1: Mikro¨okonomische Faktoren von 04.J¨anner.1999 bis 17.November.2009

Abb.2.2: Makro¨okonomische Faktoren von 04.J¨anner.1999 bis 17.November.2009 Die Dynamik des Finanzmarktes wir durch die der Faktoren bestimmt. Der Markt wird in Zeitepochen unterteilt. Außerdem werden die Marktzust¨ande durch eine zeitstetige Markov-Kette beschrieben. Der Zustandsraum S = {S1 , ..., Sm } ist endlich und die Zust¨ande werden als Regime angesehen. Die Bewegung der Markov-Kette wird durch die Intensit¨at gij beschrieben,

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welche die Umwandlungsquote von Regime i zu Regime j ist. Die Quote von Regime i zum Zeitpunkt t zum Regime j zum Zeitpunkt t + h zu wechseln ist: P[S(t + h) = j|S(t) = i] = gij · h + o(h), → 0 f¨ ur wobei h die Gr¨oße des Intervalls ist und f¨ ur die Fehlerfunktion gilt: o(h) h h → 0. Falls sich der Prozess in Regime i befindet, ist die Wahrscheinlichkeit aus diesem Regime zu wechseln, die Summe aller PIntensit¨at von i zu einem andere Regime, welches nicht i ist, zu wechseln, also: gi = j6=i gij . Die Wahrscheinlichkeit im selben Regime zu bleiben ist daher die Gegenwahrscheinlichkeit aus i zu wechseln: P[S(t + h) = i|S(t) = i] = (1 − gi ) · h + o(h). g ¨ Die Ubergangswahrscheinlichkeit von i zu j u ¨berzugehen ist dann: pij = giji . Die ¨ Ubergangswahrscheinlichkeitsfunktion Pij (t) = P[S(t) = j|S(0) P = i] ist stetig und erf¨ ullt somit die Chapman-Kolmorogov Gleichung Pij (t+s) = k∈S Pik (t)Pkj (s). Dies erlaubt uns die Umwandlung der Regime zu diskreten Zeitpunkten zu betrachten. ¨ F¨ ur die Ubergangswahrscheinlichkeitsfunktion Pij (d) ist die Intervall-Gr¨oße fix, also ¨ vernachl¨assigen wir d und nehmen die Ubergangsmatrix P = Pij als fix an. Nun haben wir unsere Markov-Kette, welche die Markov-Eigenschaft erf¨ ullt und zwar , ¨ dass die Ubergangswahrscheinlichkeiten nur vom momentanen Zustand und nicht von den vergangen Zust¨anden abh¨angt. Wir nehmen an, dass die Faktoren Fit durch ein Regime-Switching VAR(1) Modell beschrieben werden: Ft = αSt + Ft−1 βSt + St , wobei αSt und βSt Regime-abh¨angige Koeffizienten sind undPSt ein i.i.d. Prozess mit multivariater Standard-Normalverteilung, mit Kovarianz St , ist. Innerhalb der Regime sind die Faktoren stochastische Prozesse. Außerdem folgen die Regime ei¨ ner Markov-Kette mit der Ubergangsmatrix P . Folgende Annahmen wurden f¨ ur die Dynamik zwischen den Zeitpunkten gemacht: 1. In einem Intervall (t, t + d) gibt es maximal einen Regime-Wechsel. τi ist die Zeit, die es daf¨ ur ben¨otigt, und ist exponentiell mit dem Parameter gi . Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wechsel innerhalb des Intervalls stattfindet ist: P[τi ≤ d] = 1 − e−gi d ≈ gi d. Falls d kleiner ist, ist klarerweise die M¨oglichkeit eines Wechseln geringer. 2. Wir w¨ahlen das Intervall immer so, dass der m¨ogliche Wechsel immer zu Beginn des Intervalls ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass es einen Wechsel gibt und dass dieser von Regime i zu j ist: Pij (d) ≈ gi d × pij . 3. Die Wahrscheinlichkeit in einem Regime zu bleiben, ist hoch, falls sich die benachbarten Regime weiter entfernen. Regime werden durch Grenzen charakterisiert. Wir nehmen an, dass es erwartete Werte der Faktoren gibt und

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dass bei einer gr¨oßeren Abweichung von diesen, die Wahrscheinlichkeit eines Regime-Wechsels steigt. F¨ ur die Marktfaktoren definieren wir uns die Menge der unabh¨angigen Indizes als X Eit = aij Fjt , i = 1, 2 (3) Diese ben¨otigt man um die Regime bestimmen zu k¨onnen. Klarerweise bestimmen die Bewegungen der Faktoren die der Indizes, da diese nichts anderes als Linearkombination von Faktoren sind. In Abb.2.3 wird ein einfache Darstellung von Regime und deren Grenzen gezeigt. Die Verwendung von Indizes wurde von Vliet und Blitz eingef¨ uhrt, welche nur mit einem einzigen Index ein sinnvolle Investitionsstrategie aufgestellt haben.

Abb.2.3: Regime und deren Grenzen

2.1 Regime durch Grenzen Ein Problem den Markt durch Regime zu beschreiben ist, der m¨ogliche RegimeWechsel. Mit dem vorher definierten autoregressiven Modell wird angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit von solchen Wechseln als eine Funktion der Abweichung der Faktoren von stabilen Level beschreiben wird. Die Regime sind nicht direkt vorgegeben, darum m¨ ussen wir sie sch¨atzen. Um ein Regime zu bestimmen brauchen wir die Parameter des stochastischen Prozesses. Ein direkte Anwendung um die Regime zu sch¨atzen, basiert auf der Beobachtung der Faktoren und wird uns einen sehr wertvollen Einblick in das Geschehen des Wechsels geben. Außerdem sei noch erw¨ahnt, dass das stochastische Modell ein guter Mechanismus ist, um m¨ogliche Regime-Wechsel vorherzusehen. Dies ist der Grundstein um ein sinnvolle Investitionsentscheidung zu treffen. Nun betrachten wir die vorher eingef¨ uhrten Faktor-Indizes. Dabei werfen wir ein genaueres Auge auf deren gemeinsame Verteilung, was uns erlaubt eine obere und

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untere Grenze zu definieren. Dies machen wir so, dass die Werte, die sich ober bzw. unter der Grenze befinden, in einem anderen Regime sind. In diesem Unterkapitel wird eine Such-Methode pr¨asentiert, die auf den Grenzen der Regime basiert. Dazu wird ein passendes Gitter geformt und auf diesem werden die optimalen Grenzen definiert, welche von der Abweichung der Indizes abh¨angig sind. Das Kriterium f¨ ur die Optimalit¨at dieser Grenzen ist der Anpassungsfehler f¨ ur die erhaltenen Faktor-Werte. ˆ Dazu berechnen wir den Anpassungsvektor Ft (k) f¨ ur die gesch¨atzten Parameter der Regime, die durch die Grenzpunkte k = (k1 , k2 ) definiert sind. Außerdem soll f¨ ur ˆ diesen Vektor Fit (k) der Fehler von tats¨ achlichen Vektor Fit minimiert werden, also P der ”mean fitting error ”M F E(k) = T1 Tt=1 (Ft − Fˆt (k))0 (Ft − Fˆt (k)) soll m¨oglichst klein sein. Um eine Sch¨atzmethode zu pr¨asentieren muss man zuerst noch ein paar Dinge definieren. F¨ ur jeden Faktor-Index betrachten wir die Index-Abweichung ψˆjt = ejt − ej , ∗ ∗ wobei ej der Mittelwert und σ ) , ψj2 ˆj die Kovarianz ist. Die Grenzgitterpunkte (ψj1 f¨ ur niedrige und hohe Abweichungen ist vorbestimmt als die Gr¨oße der Abweichung von der Mitte, sprich das sind dieGrenzen. Mit u ¨ber bzw. unter diesen Extremwerten  ∗ ∗ ˆ ˆ Grenzen, also, Zeit f¨ ur die gilt ψj1,t < ψj1 und/oder ψj2,t > ψj2 werden neue Regime definiert. Das Prozedere sieht folgender Maßen aus:

1. Wir suchen uns ein Gitter ωˆ σj > 0, wobei σ ˆ die Kovarianz ist, und f¨ ur jeden Faktor-Index die Punkte (wj1 , wj2 ). Wir setzen kj1 = kj2 = 0. 2. Als n¨achstes nehmen wir einen ganzzahligen Gitter-Punkt k = {k1 , k2 } = {(k11 , k21 ), (k11 , k21 )} her und sehen uns f¨ ur diesen, die Extremwerte ψˆj1,t = wj1 + kj1 ωˆ σj und ψˆj2,t = wj2 − kj2 ωˆ σj an, womit man folgende Mengen bestimmen kann:  ∗ ∗ T1k = t | [ψˆ12,t > ψ12 ] ∩ [ψˆ22,t > ψ22 ]  ∗ ∗ T2k = t | ψˆ1t + ψˆ1t > 0, [ψˆ12,t < ψ12 ] ∪ [ψˆ22,t < ψ22 ]  ∗ ∗ T3k = t | ψˆ1t + ψˆ1t < 0, [ψˆ11,t > ψ11 ] ∪ [ψˆ21,t > ψ21 ]  ∗ ∗ T4k = t | [ψˆ11,t < ψ11 ] ∩ [ψˆ21,t < ψ21 ] 3. Man nimmt an, dass es genaue Regime zu den Zeitmengen {T1k , T2k , T3k , T4k } gibt. F¨ ur diese Folge von Regime berechnet man die ML-Sch¨atzung der Parameter f¨ ur das VAR(1) Model.

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4. Mit den eben bestimmten Zeitmengen aus 2. und den gesch¨atzten Parameter aus 3. berechnet man die angepassten Faktor-Werte f¨ ur Fˆt und dessen PT 1 0 ˆ ˆ M F E(k) = T t=1 (Ft − Ft (k)) (Ft − Ft (k)), der m¨oglichst klein sein soll. 5. Wir w¨ahlen einen neuen ganzzahligen Gitterpunkt und kehren zu Schritt 2. zur¨ uck. 6. Wenn die Schritte 2. bis 5. f¨ ur alle Gitter-Punkte erledigt sind, w¨ahlen wir die Regime-Grenzen und Schockzeiten der kleinsten M F E(k). Diesen Punkt definieren wir als: k ∗ = argmink M F E(k) Die Grenz-Methode identifiziert das Regime, in dem man sich befindet zu jeden Zeitpunkt: {S : t, t = 1; ...; T }, wobei St = i falls t ∈ Tik∗ , sprich falls man sich in der Zeit¨ menge mit dem kleinsten MFE befindet. Außerdem wird noch die Ubergangsmatrix tij ˆ definiert P = (ˆ pij ) wobei pˆij = t , tij ist dabei die Anzahl der Wechsel von Regime i zu Regime j.  P Zusammenfassend hat man nun die gesch¨atzten Parameter α ˆ St , βˆSt , ˆ St f¨ ur den ˆ ˆ ¨ angepassten Vektor Ft (k) und die Ubergangswahrscheinlichkeit-Matrix P .

2.2 Regime durch unbekannte Zust¨ ande Die gerade gezeigte Methode, Regime direkt u ¨ber die Werte der Faktoren zu sch¨atzen, hat ein Problem. Der Markt wird meistens so betrachtet, dass man das Regime, in dem man sich gerade befindet, nicht kennt und die erhaltenen Faktoren eine Widerspiegelung der unbekannte Regime sind. Daher nimmt man die Regime als Paramter an, die zus¨atzlich zu den Koeffizienten des VAR (1) Modell, gesch¨atzt werden m¨ ussen. Diese Standard-Sch¨atzungsmethode ist eine Anpassung des EM-Algorithmus. Die Kernidee des EM-Algorithmus ist es, mit einem zuf¨allig gew¨ahlten Anfangswert zu starten, und abwechselnd die Zuordnung der Daten zu den einzelnen Teilen des Modells (Expectation-Schritt) und die Parameter des Modells an die neueste Zuordnung (Maximization-Schritt) zu verbessern. Um den Algorithmus zu beschreiben, welcher auf das Regime-Switching-Modell angewandt wurde, pr¨asentieren wir eine allgemeine Version des EM-Algorithmus. Dazu definieren wir folgende Sachen: P • Θ ist die Menge der Parameter {αSt , βSt , St , P } • X ist die Folge der Faktoren {Fit } • Y ist die Folge der nicht bekannten Regime {St } • Y ist die Raum aller m¨oglichen Y • Die Maximum Log-Likelihood ist:

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  P maxΘ ln P (X, Y ; Θ) , y∈Y

wobei P (X, Y ; Θ) die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion von X und Y ist. Im E-Schritt werden die Punkte besser zugeordnet, im M-Schritt wird das Modell so ver¨andert, dass es besser zu den Daten passt. Findet keine wesentliche Verbesserung mehr statt, beendet man das Verfahren. Ein iterativer Algorithmus kann folgendermaßen aussehen: 1. Man legt die Anzahl der Regime fest: m. Daraus folgt trivialerweise, dass die Anzahl der Parameter des VAR (1) Modell ebenfalls bestimmt ist. 2. E-Step: Man bestimmt einen Anfangswert Θ0 f¨ ur die echte Parameter-Menge Θ. Daf¨ ur berechne man die bedingte Verteilungsfunktion Q(Y ) = P (Y |X; Θ0 ) und f¨ ur Q diese bestimmt man die erwartete Log-Likelihood E [lnP (X, Y ; Θ)]. 3. M-Step: Man maximiert die erwartete Log-Likelihood aus dem E-Schritt, bzgl. der bedingten Verteilung der unbekannten Variablen, um eine bessere Sch¨atzung von Θ zu erhalten: Θ1 = argmaxΘ {EQ [lnP (X, Y ; Θ)]} 4. Mit Θ1 als neuen Anfangswert kehrt man zu Schritt 2. zur¨ uck und wiederholt den Ablauf so oft, bis keine wesentliche Ver¨anderung mehr auftritt. Zusammenfassend erkl¨art: Im E-Schritt sch¨atzt man anhand des Anfangswerts die nicht bekannten Daten mit der bedingten Erwartung. Nach dieser Sch¨atzung wird ein dynamischer Algorithmus verwendet um das aktuelle Regime zu charakterisieren. Es wird angenommen, falls die Wahrscheinlichkeit eines Regime-Wechsels monoton steigt, dann existiert eine Folge von Grenzen der Faktor-Indizes, die die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Regime maximiert. Sprich, abh¨angig von der Granularit¨at des Gitter aus der Grenz-Methode, gleichen sich die Parameter an. Die Grenz-Methode liefert wichtige Information u ¨ber den m¨oglichen Regime-Wechsel, welche essentiell f¨ ur die Investitionsentscheidungen sind.

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2.3 Marktbeispiel Der Markt kann grunds¨atzlich in den B¨aren- und die den Bullenmarkt unterschieden werden. Zus¨atzlich gibt es noch Transitm¨arkte. 2.3.1 Bullenmarkt Ein Bullenmarkt liegt dann vor, wenn die Kurse u ¨ber einen langen Zeitraum wachsen. Dabei kann es sich um einzelne Kurse einer Branche oder gar um den ganze Markt handeln. Die Hausse (franz¨osisch f¨ ur Bulle) ist durch Optimismus gepr¨agt, die Investoren gehen von steigenden Kursen und großen Gewinnen aus. Ein u ¨berm¨aßiger Bullenmarkt kann durch u ¨bertriebene Ertragserwartungen zu einer Spekulationsblase f¨ uhren. 2.3.2 B¨ arenmarkt Ein B¨arenmarkt liegt dann vor, wenn die Kurse u ¨ber einen langen Zeitraum fallen. Die Baisse (franz¨osisch f¨ ur B¨ar ) ist durch Pessimismus gepr¨agt, die Investoren gehen von fallenden Kurse und m¨oglichen Verlusten aus. 2.3.3 Transitmarkt In einem Transitmarkt bewegt sich der Kurs nicht eindeutig in eine Richtung. Er ist durch Preisschwankungen gepr¨agt, die einen gewissen Bereich nicht verlassen. Die Investoren haben ein neutrale Haltung gegen¨ uber dem Geschehen. Im Finanzmarkt spielen die Erwartungen der Anleger eine große Rolle. Besonders ¨ die Uberg¨ ange zwischen Hausse und Baisse, die oben erw¨ahnten Regime-Wechsel sind schwer zu interpretieren.

2.4 Regime Probe Die Eignung des Regime-Switching-Modells wird pr¨asentiert basierend auf den w¨ochentlichen Daten der Faktoren (F1t , ..., F8t ) von 4.J¨anner.1999 bis 7.November.2009. Die Daten wurden analysiert um Sch¨atzungen f¨ ur die Paramter zu erhalten. Bei Vorliegen bestimmter Konstellationen von Relationen zwischen der Faktoren liegt dann eben zum Beispiel ein B¨aren- bzw. Bullenmarkt vor. Die Anzahl der Regime wurde auf 4 gesetzt, bezogen auf die jeweiligen Grenzen. • In Regime 1 (B¨ arenmarkt) ist die zuk¨ unftige Aktienrendite positiv in Bezug auf die realisierte Aktienrendite, die St¨arke der W¨ahrung und die impliziten Volatilit¨at, w¨ahrend sie sich negativ zur Zinsrate, zur St¨arke der W¨ahrung, zum Yield Spread und zum Credit Spread verh¨alt.

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• In Regime 4 (Bullenmarkt) ist die zuk¨ unftige Aktienrendite negativ in Bezug auf die realisierte Aktienrendite, die Zinsrate, den Yield Spread und den Credit Spread, w¨ahrend sie sich positiv zur Anleihenrendite, zur St¨arke der W¨ahrung, zur impliziten Volatilit¨at und zur Dividendenrendite verh¨alt. • In den Regimen 2 & 3 (Transitm¨ arkte) ist die zuk¨ unftige Aktienrendite negativ in Bezug auf die realisierte Aktienrendite und die Anleihenrendite, w¨ahrend sie positiv im Bezug zur Zinsrate und zum Yield Spread ist. ¨ Die gesch¨atzte Ubergangsmatrix basiert auf den vorliegenden Regimen, die in Tab 2.2. pr¨asentiert wird. In den Wochen von 4.J¨anner.1999 bis 7.November.2009 wurde folgender Prozentsatz an Zeit in den jeweiligen Regimen verbracht (Tab.2.1): Regime 1 2 3 4 Tab. 2.1:

Zeit 7% 22% 35% 36% Regime-Aufenthalt

S1 S2 S3 S4 S1 0,46 0,46 0,08 0,00 S2 0,11 0,64 0,14 0,11 S3 0,01 0,07 0,82 0,10 S4 0,03 0,06 0,08 0,83 ¨ Tab.2.2: Ubergangsmatrix

Abb.2.3: Angepasste Faktoren

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Unter Verwendung des oben pr¨asentierten Modells, erhalten wir eine Sch¨atzung f¨ ur ˆ ˆ ˆ Ft = α ˆ Sˆt + Ft−1 βSˆt innerhalb des Zeitfensters. In Abb.2.3 sind der gesch¨atzte Vektoren (blau) und der erhaltene Vektor (gr¨ un) dargestellt. Man sieht diese Sch¨atzungen sind sehr gut gelungen. In diesem Zeitfenster ist das Modell eine genau Beschreibung der Dynamik der Faktoren.

3 Diskrete Zeit Modelle Um ein diskretes Zeit Modell einf¨ uhren zu k¨onnen, betrachten wir einen Finanzmarkt mit n Assets und dessen Preise, welche stochastische Prozesse sind. Der Vektor der Preise zum Zeitpunkt t sei Pt = (P0t , P1t , ..., Pnt )0 , t−1 die Rate der Rendite zum wobei P0t der Preis vom risikolosen Asset und rt = PtP−P t−1 Zeitpunkt t ist. Außerdem seien Yit = ln Pit die logarithmierte Preis. Nun werden wir zun¨achst das Faktormodell beschreiben, welches auch mit Modell mit Spr¨ ungen bezeichnet wird.

3.1 Faktormodell Die Asset-Preise seien zu Zeitpunkten t = 1, ..., T bestimmt, wobei die Abst¨ande zwischen zwei aufeinander folgenden Zeitpunkten gleich ist. Wir nehmen an, dass die Bewegung der Preise in Zeit, durch eine geometrischen Brownsche Bewegung mit Drift plus einen Punktprozess beschreiben werden. Ein Punktprozess ist ein zuf¨alliges Z¨ahlmaß, das einer Menge die zuf¨allige Anzahl der in ihr enthaltenen Punkte zuordnet. Dieser Prozess modelliert die zuf¨allige Anordnung von Punkten. Der Grund f¨ ur die Verwendung eines solchen Prozesses ist die Einbindung der wirtschaftlichen Faktoren in die Bewegung der Preise. Anschließend an die Diskussion u ¨ber FaktorGrenzen und Regime ist klar, dass der Asset-Preis reagiert, falls die wirtschaftlichen Indikatoren weit von ihrem Mittelwert abweichen. Die bedingte Preis Dynamik ist definiert f¨ ur die Assets i = 1, ..., n und die Zeitpunkte t = 1, ..., T durch die Gleichung Yit = Yi0 + Ri1 + · · · + Rit , wobei Yi0 der Anfangswert ist und f¨ ur s = 1, ..., t sind   X  n 2 X Ris = αi + δij Zjs + ϑijs ∆Nj (λjs ) j=1

j=1

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die Returns. Diese Gleichung bedarf einer Erl¨auterung. Die αi sind Regime-abh¨angige Koeffizienten, Zs = (Z1s , ..., Zns )T f¨ ur s = 1, ..., t sind unabh¨angige multivariate normalverteilte Variablen. Nj (λ) sind Z¨ahlprozesse mit Intensit¨at λj , j = 1, 2. Dieses j nimmt nur 2 Werte an, da wir in unserem Fall nur 2 Faktor-Indizes E1t := (F1t , F4t , F6t , F7t ) und E2t := (F2t , F3t , F5t , F8t ). Von diesen Indizes E = {E1t , E2t } h¨angen die Intensit¨at bzw. die M¨oglichkeit eines Sprungs ab. Welche Werte diese Z¨ahlprozesse annehmen k¨onnen, sehen wir sp¨ater anhand eines Beispiels. Falls die Randverteilung der Indizes zum Zeitpunkt s {G1s , G2s } sind, so sind die Intensit¨aten folgendermaßen definiert: λjs =

g1s(·) f¨ ur j = 1, 2. 1 − G1s (·)

Die Wahrscheinlichkeit eines Sprungs sinkt, wenn die Abweichung der Indizes von ihrem Mittel kleiner wird. Umgekehrt wird die Chance eines Sprungs innerhalb eines Regimes erh¨oht, falls Extremwerte außerhalb der Grenze vorkommen. Die Parameter ϑij , j = 1, 2 sind unabh¨angige Zufallsvariablen, die die Gr¨oße der Spr¨ unge widerspiegelt. Zus¨atzlich wird angenommen, dass diese Parameter von der Abweichung der Faktoren abh¨angen. Um auch Extremwert in die Sprunggr¨oße miteinzubeziehen, nehmen wir an, dass die St¨arke des Sprung von der Faktor-Abweichung ψjt (s) linear zum Zeitpunkt t abh¨angt. Falls zum Zeitpunkt s ein Schock auftritt, so werden die Parameter dargestellt wie folgt: ϑijs = ϕij + θij ψjs + ηi Wis f¨ ur j = 1, 2.

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Dabei sind die Wi , i = 1, 2 unabh¨angige standard-normalverteilte Variablen. Das Vorzeichen von ψjs bestimmt die Richtung des Sprungs, ob dieser positiv bzw. negativ ist. In Gleichung (4) der Returns, bestimmen die Z¨ahlprozesse die Dynamik der Random Walks, was mehr starke Preis¨anderungen generiert. Bei vermehrten Auftreten der gleichen Art von Spr¨ ungen, z.B. viele Spr¨ unge hintereinander hinauf, bewegt sich der Pfad der Preis-Dynamik weit weg vom Random Walk. Ist die Abweichung in die entgegengesetzte Richtung, z.B. nach unten, so heben sich die Spr¨ unge auf und die Bewegung der Preise n¨ahert sich dem Random Walk an. Wir greifen etwas vor und pr¨asentieren nun ein Regime-Switching-Modell anhand eines Beispiels. Auf Grund der gerade erw¨ahnten Tatsachen, ist es sinnvoll sich die Auswirkungen des Punktprozesse innerhalb der Regime anzuschauen. Dazu bestimmen wir Werte f¨ ur den Z¨ahlprozess und zwar ∆Nj (λjs ) = 0 unterhalb der Grenzen, ∆Nj (λjs ) = 1 oberhalb der Grenzen.

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Mit der Darstellung der Abweichung in (5) kann man den Return schreiben als   X  n 2 X Ris = αi + δij Zjs + ϑijs ∆Nj (λjs ) = j=1

j=1

  X  n 2 X = αi + δij Zjs + ϑijs j=1

j=1

  X n 2 X   = αi + δij Zjs + ϕij + θij ψjs + ηi Wis . j=1

j=1

Wenn die Abweichung der Faktorindizes durch Faktoren ausgedr¨ uckt wird so hat das Renditen-Modell f¨ ur jedes Regime S(t) = j, j = 1, ..., 4 Matrixform Rs = Aj + Fs Bj + Γj s ,

(6)

wobei die Menge der (Aj , Bj , Γj ) Regime-abh¨angige Koeffizienten sind. Obwohl in (6) die Komponenten verbunden sind, ist die Unterteilung in einen Random Walk und einen Punkt-Prozess wichtig f¨ ur das Verst¨andnis des Finanzmarktes. Es ist zu Erw¨ahnen, dass die prognostizierten Preise die Basis f¨ ur Investitionsentscheidungen bilden. Das Regime-Switching VAR(1) Modell wird verwendet um die Faktoren Fˆs , durch Beobachten von Fs−1 , vorauszuberechnen. Die prognostizierten Renditen in (6) sind dann lineare Funktion von Fˆs .

3.2 Regime-Switching-Modell F¨ ur eine passende Sch¨atzung der Renditen und des Risikos m¨ ussen empirische Gr¨oßen in das Regime-Switching-Modell miteinbezogen werden. Zu n¨achst werden diese etwas n¨aher beschrieben: • Heavy Tails: Zu Beginn der 20. Jahrhunderts wurde angenommen, dass Renditen unabh¨angig und identisch normalverteilt sind, mit Mittelwert µ = 0 und konstanter Varianz. Analysiert man die Daten, die man seit dem 1900 erhalten hat, erh¨alt man jedoch einen Widerspruch zu dieser Annahme. Zus¨atzlich scheint auch die Varianz nicht gegen einen konstanten Wert zu konvergieren. Deswegen ist es wichtig, die ”Heavy Tails”nicht zu ignorieren. Die Verteilung einer Zufallsvariable X hat einen Heavy Tail, wenn gilt P[X > x] ∼ x−α wobei x → ∞ und α > 0. • Implizite Volatilit¨ at: Dies ist eine finanzmathematische Kennzahl f¨ ur Optionen und andere derivative Finanzinstrumente mit Optionskomponente. Sie l¨asst sich als Maß f¨ ur die aktuell am Markt erwartete Schwankungsbreite des

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Basiswertes u ¨ber die Restlaufzeit der Option interpretieren. Im Gegensatz zur historischen Volatilit¨at wird sie nicht aus historischen Kursen berechnet, sondern aus den aktuellen Optionspreisen. Die Einbringung des Preismodells mit einem Random Walk und Sprungkomponenten in das lineare Faktormodell legt den Grundstein f¨ ur das Regime-Switching-Modell. Im vorherigen Unterkapitel haben wir bereits eine Regime-Switching-Modell f¨ ur Faktoren gezeigt. Nun wird angenommen, dass die Renditen f¨ ur alle ”Primary Invesement Assets”durch ein Regime abh¨angiges Faktormodell beschrieben werden k¨onnen. Wir wollen nun ein Modell entwickeln, welches auf der Prognose der Risikofaktoren basiert. Genau gesagt ist die folgende Struktur festgelegt: Rt = ASt + Fˆt BSt + ΓSt t , wobei Fˆt = α ˆ Sˆt +Ft−1 βˆSˆt der vorhersehbare Wert der Risikofaktoren und (ASt , BSt , ΓSt ) die Koeffizienten sind. Außerdem ist t der unabh¨angig, identisch verteilte Prozess mit multivariater Standard-Normalverteilung. Daher ist die Dynamik der Asset Renditen linear abh¨angig von der Prognose der Risikofaktoren. Es seien die vorhergesehenen Faktoren und der Zustand zum Zeitpunkt t gegeben, so ist der Ein-Perioden Renditen-Vektor multivariat normalverteilt mit einer mittleren Rendite µSt = ASt + Fˆt BSt und einer Kovarianz-Matrix X

= ΓSt Γ> St .

St

Im Gegensatz zu einem konventionellen Brown’schen Modell, erlaubt dieses Modell zeitabh¨angige und zustandsabh¨angige Renditen, welche durch die Risikofaktoren mitbestimmt werden.

3.3 Vergleich zu anderen Modellen Um einen besseren Einblick in die Materie zu bekommen, werden wir noch ein paar weitere Modelle pr¨asentieren. Bei traditionellen Modellen f¨ ur Aktienrenditen, wie zum Beispiel das Black-Scholes-Modell, wird angenommen, dass die Renditen einer geometrischen Standard Brown’schen Bewegung folgen. Dies impliziert, dass in jedem diskreten Zeitintervall die Renditen log-normalverteilt sind und dass die Renditen von nicht u ¨berlappenden Intervallen unabh¨angig sind, sprich log

St ∼ N (µ(t − r), σ 2 (t − r)), Sr

wobei St der Preis zum Zeitpunkt t ist. µ ist der Mittelwert und σ ist die Volatilit¨at. Dieses unabh¨angige log-normal Modell ist simpel und liefert gute Prognosen

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f¨ ur kleine Zeitintervalle, ist jedoch schlecht geeignet um es auf gr¨oßere Intervalle anzuwenden. Dieses Modell scheitert daran, extreme Preisbewegungen und die stochastische Ver¨anderung miteinzubeziehen. Aufgrund dieser Tatsache, haben wir das Regime-Switching-Modell eingef¨ uhrt, welches der Dynamik der Asset Preise erlaubt willk¨ urlich zwischen den Regimen zu wechseln. Das Prinzip der Sparsamkeit zeigt, dass komplexere Modelle eine erhebliche Verbesserung brauchen um lohnenswert zu sein. In diesem Zusammenhang bedeutet komplexer, mehr Parameter zu verwenden. Bei Modellen mit der gleichen Anzahl an Parametern, w¨ahlt man das mit einer h¨oheren Log-Likelihood. Um Modelle mit unterschiedlicher Anzahl an Parametern zu vergleichen, gibt es einige Test bzw. Kriterien, wie zum Beispiel, den Likelihood-Ratio-Test, das Akaike-Informations-Kriterium und das Schwartz-Bayes-Kriterium. 3.3.1 Modelle Bei den folgenden Modellen bezeichnet Yt die Log-Rendite in der (t + 1)ten Periode. 1. Unabh¨ angiges log-normal Modell: Dieses Modell wird meistens daf¨ ur verwendet um implizite Optionen zu bewerten: Yt = µ + σt , wobei t i.i.d ∼ N (0, 1). 2. AR(1) Modell: Das autoregressive Modell ber¨ ucksichtigt die Autokorrelation: Yt = µ + α(Yt−1 − µ) + σt , wobei t i.i.d ∼ N (0, 1). 3. ARCH(1) Modell: Beim autoregressive condtional heteroscedasticity Modell (Varianzheterogenit¨at) ist die Varianz eine Funktion von Entwicklungsprozessen: Yt = µ + σt σt2 = α0 + α1 (Yt−1 − µ)2 . Die Autokorrelationen in diesem Modell sind alle 0. Außerdem k¨onnen wir das AR-Modell und das ARCH-Modell miteinander verbinden: Yt = µ + α(Yt−1 − µ) + σt , wobei t i.i.d ∼ N (0, 1) σt2 = α0 + α1 (Yt−1 − µ)2 . 4. GARCH(1) Modell: Beim generalized autoregressive condtional heteroscedasticity Modell hat ¨ahnliche Renditen wie das Modell aus 3.: Yt = µ + σt 2 σt2 = α0 + α1 (Yt−1 − µ)2 + βσt−1 .

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Auch bei diesem Modell sind die Autokorrelationen 0. Wir k¨onnen wieder das AR-Modell und das GARCH-Modell miteinander verbinden: Yt = µ + α(Yt−1 − µ) + σt , wobei t i.i.d ∼ N (0, 1) 2 . σt2 = α0 + α1 (Yt−1 − µ)2 + βσt−1 Sowohl das ARCH-Modell und GARCH-Modell ber¨ ucksichtigen die Volatilit¨at und sind f¨ ur Perioden mit hoher und tiefer Volatilit¨at kompatibel. 3.3.2 Auswahlkriterien Um das am besten geeignetste Modell zu w¨ahlen gibt es unter anderem folgende Tests bzw. Kriterien. • Likelihood-Ratio-Test: Dieser Test vergleicht eingebettete Modelle, also solche, bei denen ein Modell mit k1 Parameter ein Spezialfall eines komplexeren Modells mit k2 > k1 Parameter ist. Wir definieren l1 als die Log-Likelihood des einfacheren Modells und l2 als die Log-Likelihood des Modells mit k2 Parametern. Das Testgr¨oße ist 2(l2 − l1 ) und die Nullhypothese ist: H0 : keine wesentliche Verbesserung im komplexeren Modell. Mit H0 hat die Testgr¨oße eine χ2 -Verteilung (siehe unten) mit Anzahl von Freiheitsgraden, die so groß wie die Differenz der Parameter der Modelle ist. Dieser Test kann auch angewendet werden, falls die Modelle nicht eingebettet sind, nur ist dann die χ2 -Verteilung ein Approximation. • Akaike-Informations-Kriterium: Bei diesem Kriterium wird das Modell genommen, welches lj − kj maximiert, wobei lj die Log-Likelihood vom jten Modell und kj die Anzahl der Parameter ist. Es ist klar, dass das jeder zus¨atzliche Parameter die Log-Likelihood um mindestens 1 verbessern muss, das sonst eventuell auf eine anderes Modell zur¨ uck gegriffen wird. • Schwartz-Bayes-Kriterium: Bei diesem Kriterium wird das Modell genommen, welches lj − 21 kj log n maximiert, wobei kj und lj wieder gleich wie bei ¨ Akaike definiert sind und n die Probeanzahl ist. Ahnlich wie beim vorherigem Kriterium, muss jeder Parameter eine Verbesserung der Log-Likelihood mit sich bringen, jedoch h¨angt die Verbesserung zus¨atzlich von der Anzahl der vorliegenden Daten ab. Extra Parameter werden bei gr¨oßerer Probeanzahl st¨arker bestraft. DEF.: Die Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden beschreibt die Verteilung der Summe n stochastisch unabh¨angiger quadrierter standardnormalverteilter Zufallsvariablen χ2n ∼ Z12 + · · · + Zn2 , mit Zk ∼ N (0, 1) f¨ ur k = 1, ..., n.

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4 Anwendung: Exchange Traded Funds In diesem Teil der Arbeit werden wir das Regime-Switching-Modell auf die Exchange Traded Funds, kurz ETF’s, anwenden. Diese basieren auf der Grundidee des Indexfonds, indem sie einen Index nachbilden. ETF’s haben keine Laufzeitbegrenzung und k¨onnen daher permanent wie Aktien zum aktuellen B¨orsenpreis gehandelt werden. Im Gegensatz zu aktiv gemanagten Fonds werden Exchange Traded Funds haupts¨achlich passiv gemanagt. • Aktives Vermo ¨gensmanagement: Bei dieser Art des Investierens versucht man die attraktivsten Aktien, Anleihen, Fonds, usw. zu w¨ahlen, in diese zu investieren und eine m¨oglichst hohe Rendite zu erhalten. Dabei verwendet man eine Vielzahl von Methoden um k¨ unftige Investmenttrends vorauszusagen. Salopp gesagt, man versucht besser als der Markt zu sein. Vorteile: – Hohe Renditechancen und Gewinne bei steigenden Aktien sind m¨oglich. – Langfristig sind h¨ohere Renditen als bei anderen Anlageformen zu bekommen. – J¨ahrliche Dividendenzahlungen sind ein Vorteil f¨ ur Anleger. – Es gibt eine große Auswahl an den internationalen M¨arkten. Nachteile: – Verluste k¨onnen bei fallenden Aktien hoch sein. – Es gibt keine feste Rendite wie bei Anleihen. – Man muss eine Abgeltungssteuer zahlen. • Passives Verm¨ ogensmanagement: Im Gegensatz zum aktiven Investieren verzichtet man auf das Ausw¨ahlen von m¨oglicherweise gewinnbringenden Wertpapieren oder das Handel zu bestimmten Zeitpunkten. Das Ziel ist es, den Index m¨oglichst genau nachzubilden. Man investiert sein Geld in ETF’s und wartet bis der Kurs steigt. Vorteile: – Geringer Zeitaufwand – Der Markt kann auch aktiv nicht dauerhaft geschlagen werden – Unn¨otige Verluste werden vermieden Nachteile: – Vor¨ ubergehende Phasen, in denen der Markt geschlagen wird, entfallen Beim aktiven Investieren besteht eine h¨ohere Chance, mehr Geld zu machen, jedoch ist beim passiven Investieren weniger Risiko vorhanden.

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4.1 Vorhergesagte Asset Returns Wir sch¨atzen das Modell f¨ ur die Returns f¨ ur den Standard & Poor’s Depositary Receipts, SPRD’s. Das ist eine Gruppe von ETF’s in Amerkia, Europa und Asien und enth¨alt zum Beispiel den Fund S&P’s 500, ein Aktienindex, der die Aktien von den 500 gr¨oßten b¨orsennotierten US-amerikanischen Unternehmen umfasst. Dieser Sektor ETF’s wurde gew¨ahlt, da er einen Hauptteil des Standard & Poor’s US Stock Market repr¨asentiert und dieser eine lange Handelsgeschichte hat (seit 23.Dezember.1998 ). Auf den Sektor Telekommunikation wird nicht n¨aher eingegangen, da er nur 9 Unternehmen in der Liste der S&P’s 500 Stocks enth¨alt. Die u ¨brigen 9 Sektoren sind: 1. Dienstleistungen 2. Konsumg¨ uter 3. Energie 4. Finanzen 5. Gesundheit 6. Industrie 7. Material 8. Technologie 9. Betriebsmittel Die w¨ochentenlichen Returns von SPRD’s von 4.J¨anner.1999 bis 7.November.2009 sind in den Abb.4.1 dargestellt. Die Regime sind die vorher pr¨asentierten.

Tab.4.1: Vorhergesehene Renditen

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Die Maximum-Likelihood Sch¨atzung f¨ ur die Parameter des Faktormodells kann durch eine Regressionsanalyse der ETF’s Renditen auf den vorhergesehenen Faktorwerten bemessen werden. Die gesch¨atzten w¨ochentlichen Renditen des angepassten Modells ˆ t und der Prognose-Fehler ist die Differnz der gesch¨atzten Rendite und der sind R ˆ t . Der prozentuelle Fehler ist gegeben durch die Gleichung: tats¨achlichen: Rt − R PF =

ˆ t )0 (Rt − R ˆt) (Rt − R × 100 (Rt − R)0 (Rt − R)

In den Abb.4.1 sind die angepassten und die tats¨achlichen Werte dieser 9 Sektoren ˆ t , also der PF gegeben. abgebildet. Zus¨atzlich ist noch die Genauigkeit der Renditen R ¨ Man sieht, dass alle 9 Sektoren eine ¨ahnliche gute Ubereinstimmung von knapp u ¨ber 50% haben.

4.2 Portfolio Performance Um zu illustrieren, was genaue Prognosen der Preis-Dynamik f¨ ur eine Vorteil haben, betrachten wir die Investments in die SPRD’s von 4.J¨anner.1999 bis 7.November.2009. Dabei sei.. • xt der Vektor der Anzahl der Investitionen zu Beginn der ten Zeitperiode. • Rtj (xt ) = rt + (Rtj − rt )0 xt die Rendite des Portfolios in Periode t in Regime j. • Etj (xt ) = rf t + (µtj − rf t )0 xt die erwartete Rendite des Portfolios in Periode t in Regime j, wobei µtj der Mittelwert der Rendite ist. P • Vtj (x) = x0t jt xt die Varianz. Zur Vereinfachung wird außerdem noch angenommen, dass Renditen innerhalb eines Regimes normal-verteilt sind. Im folgenden Beispiel nehmen wir an, dass das momentane Regime, am Ende der Peri¨ ode t−1, bekannt ist. Außerdem definieren wir πt als die Ubergangswahrscheinlichkeit von Regime j in Periode t. Die Investmentstrategie in Periode t ist durch das Ziel der Return-Maximierung bestimmt X   + maxxt πj Etj (xt ) − λ(Et [bt − Rtj (xt )] . (7) j

Zus¨atzlich zu den oben definierten Variablen, gibt es in der Menge (7) noch eine Benchmark bt , die ein Vergleichsmaßstab gegen¨ uber der Portfolio-Rendite ist, und einen Risikoparameter λ, der so gew¨ahlt wird, um die Abneigung eines Shortfalls widerzuspiegeln. Dieser tritt ein, wenn der Return Rtj (xt ) kleiner als die Benchmark ist. In diesem Fall gibt es eine Strafe. Ist der Return gr¨oßer als die Benchmark, so

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f¨allt der hintere Teil weg und die Summe wird gr¨oßer. Die Shortfall-Rate ist durch folgende Bedingung eingeschr¨ankt Pr[(bt − Rt (xt )) ≤ ρt ] ≤ αt . Falls in einem bekannten Regime die bedingte Verteilung der Renditen Rtj normal ist, so ist die unbedingte Rendite Rt eine Mischung aus Normalverteilungen. Erg¨anzend zu der Bedingung an den Shortfall gibt es noch Limits an die Investitionen lt ≤ xt ≤ ut , dabei ist lt das Maximum der Leerk¨aufe und ut der Prozentsatz, welcher maximal in einen Sektor investiert werden darf. Das Investitionsmodell ist ein Analogon zu einem Mittel-Varianz-Aufbau, mit dem Zusatz, dass das Baisse-Risiko, sprich unterhalb der Benchmark fallen, kontrolliert ist. Das Problem hat ein schwierige Formulierung, aber unsere Annahme, dass die Renditen innerhalb eine Regimes normalverteilt sind, erm¨oglicht uns das oben defi¨ nierte Ziel und die beiden Bedingungen als Aquivalent darzustellen. Das ¨aquivalente deterministische Problem ist von nicht-konvexer Form und kann mit der MonteCarlo-Simulation gel¨ost werden. Dies ist ein stochastisches Verfahren, das schwer l¨osbare Probleme mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitstheorie numerisch l¨ost. Die Umsetzung des Modells sieht folgendermaßen aus: • Der Startwert ist w0 = $1000. • Der Straf-Paramter ist λ = 5. • Die Benchmark ist 99 % des momentanen Werts bt = 0, 99Wt−1 . • Der Maximum Shortfall ist ρt = 0, 03 und die Shortfall-Rate ist α = 0, 05. • Die Investitionsgrenzen sind lt = −0, 05 und ut = 0, 15. Die optimale Ein-Perioden-Strategie ist, die Investitionsteil zu fixieren. In Abb.4.2 sind die Investitionen aufgelistet, die in den jeweiligen Sektor get¨atigt worden sind. F¨ ur die SPDR’s, die positive Renditen haben, sind die Investitionsteile meistens an der Obergrenze. Die Summe in jeder Zeile ist klarerweise 1, da es sich bei den Werten um Prozente handelt.

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Abb.4.2: Investments von SPRD’s von 4.J¨anner.1999 bis 7.November.2009

Abb.4.3: Kapitalallokation von 4.J¨anner.1999 bis 7.November.2009 Die Allokation des Kapitals f¨ ur die Investments h¨angt stark von dem Regimen ab, in dem sich der Markt gerade befindet. In Abb.4.3 ist die Performance der optimalen Strategie gezeigt. Die S&P’s 500 ist die Marktrendite und die Kapitalallokation bewegt sich mit dem Markt. Das optimale Portfolio u ussel ¨bertrifft den Marktindex um ein Vielfaches. Der Schl¨

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zu einer guten Performance ist der Erfolg im Vorhersehen der Renditen der Sektoren. In Abb.4.4 wurde ein großer Risikoparameter gew¨ahlt um den Unterschied zu verdeutlichen.

Abb.4.4: Verm¨ogenspfad

5 Folgerung Die wohl wichtigste Konsequenz dieser Arbeit ist, dass das Vorhersehen der Renditen den Grundstein f¨ ur eine gewinnbringende Investmentstrategie ist. Der Finanzmarkt wurde in wirtschaftliche Regime unterteilt, welche auf einer Menge von Risikofaktoren basiert. Die Renditen wurden anhand eines Regime-abh¨angigen Faktormodells eingebunden. Die Schlussfolgerungen sind: 1. Das Regime-Switching Faktor-Modell ist f¨ ur die Charakterisierung der MarktRegime gut geeignet. 2. Eine Regime abh¨angige Regressionsanalyse ist ein gutes Verfahren um Renditen mit Risikofaktoren zu verbinden. 3. Durch den Modelltest f¨ ur die Exchange Traded Funds, sehen wir, dass die Sch¨atzmethode einen soliden Grundstein f¨ ur die Investitionsstrategie legt.

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Literatur [1] Consigli Giorgio, Kuhn Daniel, Brandimarte Paolo: Optimal Financial Decision Making under Uncertainty, Springer International Publishing, Switzerland, 2017. [2] Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Fat-tailed distribution, 20.02.2018. [3] Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite Volatilit, 20.02.2018. [4] Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Bullen- und B¨arenmarkt 20.02.2018 [5] ETFs: https://www.etfs.de/sollten-sie-besser-passiv-oder-aktiv-investieren 20.02.2018

,

[6] Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Chi-Quadrat-Verteilung 20.02.2018 [7] Mary R. Hardy: https://math.illinoisstate.edu/krzysio/MAT483/naaj0104 4.pdf , 20.02.2018 [8] Alvin Schwendener: Master-Arbeit: Regime-Switching Modell f¨ ur die Sch¨atzung von Marktdynamiken , 20.02.2018

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