Matemáticas 4

Actividades de apoyo

Bloque 1

Operaciones con distintos tipos de funciones Actividad 1.1. Indicador. Grafica los elementos básicos de las funciones: dominio y rango, y las clasifica en algebraicas, trascendentes, continuas y discontinuas. Nivel de aprendizaje. Conceptual y procedimental Actividades: • Ingresa a la página , en ella encontrarás ejercicios sobre el dominio y rango de diversas funciones. • Resuelve los ejercicios 1, 2 y 3, siguiendo el procedimiento. • Dibuja la gráfica de las funciones del ejercicio 1. • Clasifica las funciones de los ejercicios 1, 2, 3 y 4, en la siguiente tabla:

Función

Algebráica

Trascendente

Continua

Discontinua

Evaluación. Ingresar al sitio web, resolver los ejercicios indicados con su procedimiento, graficar y clasificar las funciones en la tabla. Evidencia de aprendizaje. Ejercicios resueltos, gráficas y tabla resuelta. Consultado el 7 de junio de 2011.

1

Matemáticas 4

Actividades de apoyo

Bloque 1

Actividad 1.2. Indicador. Grafica las funciones polinomiales proporcionadas con GeoGebra. Nivel de aprendizaje. Conceptual y procedimental

Actividades: • Ingresa a la página • Observa el video en el cual se explica cómo trazar la gráfica de una función con GeoGebra. • Después de ver el video, con ayuda de GeoGebra traza la gráfica de las siguientes funciones polinomiales: a. y=2x2  5x + 6 2 b. y=4x  x + 1 c. y=6x + 2 d. y=x +1 e. y=x3 5x2 + 6x  1 • Contesta Verdadero (V) o Falso (F) a las siguientes afirmaciones. Cuando consideres que una afirmación es falsa, explica porqué. Después realiza un mapa cognitivo con la información obtenida. a. El dominio de una función polinomial es el conjunto de los número reales b. La gráfica de una función polinomial de grado dos es una recta c. Toda relación es función d. La función y= log(x) es algebraica e. La función y= 1 + x es inyectiva f. Las funciones que son inyectivas también se llaman uno a uno Evaluación. A  cceso a la página de Internet, observación de lo que se indica, trazo de la gráfica de las funciones, respuestas a las afirmaciones con la explicación de aquellas que sean falsas y la elaboración de un mapa cognitivo. Evidencia de aprendizaje. Trazo de las gráficas, respuestas de las afirmaciones con las explicaciones correspondientes y mapa cognitivo. Consultado el 5 de junio de 2011.

2

Matemáticas 4

Actividades de apoyo

Bloque 2

Funciones especiales y transformación de gráficas Actividad 2.1. Indicador. Traducir las gráficas de las funciones escalonadas en su expresión algebraica. Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades: • Observa cada una de las siguientes gráficas. • Determina la expresión algebraica de cada una de ellas. • Escribe la función de cada una. a)

b) y

y 9

4

8

3 2

7

1

6

0

5

-5

-4

-3

-2

0

-1

4

-1

3

-2

2

-3

0 -1

2

3

4

5

x

6

x

-4

1

-2

1

-5 0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

-6

-1

c)

d)

y

y

8 6

8

4 2

6

0 0

-5

5

10

15

20

x

-2

4

-4 -6

2

-8 -10 -12

0 -4

-2

0

2

4

• Investiga cómo se definen las funciones escalonadas en GeoGebra. • Con la expresión algebraica de cada una, dibuja la gráfica con GeoGebra, y compárala con las gráficas de la actividad. Evaluación. Observación, anotación de la expresión algebráica de cada gráfica, investigación de las funciones escalonadas, comparación gráfica con GeoGebra. Evidencia de aprendizaje. Las expresiones algebráicas, las gráfica con GeoGebra.

3

Matemáticas 4

Bloque 2

Actividades de apoyo

Actividad 2.2. Indicador. Demuestra graficando la inversa con respecto a la recta y = x con el programa GeoGebra. Nivel de aprendizaje. Procedimental Actividades:

• Ingresa a la página • Observa el video que explica cómo trazar la gráfica de la inversa de una función con el programa GeoGebra. • Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es la expresión algebraica de la recta punteada? 2. ¿Qué instrucción o comando se utiliza para encontrar el reflejo de un punto? 3. ¿Qué utilidad tiene un deslizador?



• Ahora, con GeoGebra, traza la gráfica de la inversa de las siguientes funciones: a. f(x) = 3x  5 b. f(x) = 2x + 1 c. f(x) = x

Evaluación. Acceso y observación al video, preguntas resueltas, trazo de la gráfica de la inversa. Evidencia de aprendizaje. Preguntas contestadas, trazo de la gráfica con GeoGebra. Consultado el 5 de junio de 2011.

4

Matemáticas 4

Bloque 3

Actividades de apoyo

Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Actividad 3.1. Indicador. Grafica los elementos básicos de las funciones: dominio y rango, y las clasifica en algebraicas, trascendentes, continuas y discontinuas. Nivel de aprendizaje. Procedimental

Actividades: • Observa la imagen 3.1. • Se refiere a sucesiones numéricas. • La altura de la torre es de seis cubos, como se muestra en la imagen 3.1.

Imagen 3.1. Esta torre está formada con cubos del mismo tamaño y tiene seis cubos de altura.



• De acuerdo con el método de las diferencias, elabora un razonamiento inductivo. • Resuelve el siguiente problema, para una torre como la anterior con 50 cubos de altura, ¿cuántos se necesitan para construirla? • Completa la tabla siguiente considerando el modelo de la torre. Altura de la torre

Total de cubos

2 3 4 5 6 Evaluación. R  esolución del problema, solución de tabla, siguiendo el método de las diferencias. Evidencia de aprendizaje. Resultado del problema y tabla resuelta.

5

Matemáticas 4

Bloque 3

Actividades de apoyo

Actividad 3.2. Indicador. Identifica y explica los elementos que componen a las funciones polinomiales de grado dos a través de una aplicación interactiva. Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades:

• Ingresa a la página • Observa la aplicación siguiente con la gráfica de una parábola. Recuerda que la gráfica de una función polinomial de grado dos en una variable es justamente una parábola.



• Durante la aplicación, puedes mover los puntos M y F, por ejemplo, si mueves el punto M podrás observar que la distancia MF es la misma que la distancia entre M y la directriz.



• Observa la gráfica de la parábola y contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Cuáles son los elementos de una parábola? 2. Escribe la definición de parábola como lugar geométrico. 3. ¿Qué utilidad tiene la directriz en el trazo de una parábola? 4. ¿Es posible que una parábola no sea función? 5. ¿Qué es el lado recto de una parábola?

Evaluación. Acceso a la página de Internet, manejo del programa y resolución de las preguntas planteadas. Evidencia de aprendizaje. Preguntas contestadas. 6

Matemáticas 4

Actividades de apoyo

Bloque 4

Funciones polinomiales de grados tres y cuatro Actividad 4.1. Indicador. Identifica las características algebraicas y geométricas de las funciones polinomiales de la forma: f (x) = a (x-c)3 + d, a través de sus parámetros a, c y d. Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades:

• Ingresa a la página • Aparecerá una pantalla como la que se muestra en la imagen siguiente.



• Haz clic en el botón que dice “click here to start” para ejecutar la aplicación que te permitirá analizar el comportamiento de las funciones cubicas de la forma: f (x) = a (x-c)3 + d • En la columna izquierda de la aplicación aparecen “deslizadores” para modificar los valores de los parámetros a, c y d. • Cambia el valor de los parámetros y observa cuidadosamente la gráfica para contestar las siguientes preguntas: 1. ¿Qué efecto tiene sobre la gráfica asignar valores positivos y negativos al parámetro a? 2. ¿Qué efecto tiene sobre la gráfica el parámetro c? 3. ¿Qué efecto tiene sobre la gráfica el parámetro d? 4. ¿Cuál es la ecuación que resulta si asignas el valor 0 al parámetro a? 5. Deja fijo el parámetro a en el valor 1 y mueve los parámetros c y d. ¿Es posible, bajo esta condición, que la gráfica no interseque al eje horizontal? Evaluación. Ingreso al sitio indicado, observar el comportamiento de las funciones cúbicas a través de su gráfica, modificando los valores de sus parámetros, responder las preguntas. Evidencia de aprendizaje. Respuestas a las preguntas. Consultado el 7 de junio de 2011.

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Matemáticas 4

Actividades de apoyo

Bloque 4

Actividad 4.2. Indicador. Señala las raíces de diversos polinomios de grados tres y cuatro por medio de WolframAlpha. Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades:

• Ingresa a la página • WolframAlpha es un motor de búsqueda de conocimiento computacional capaz de responder directamente a las preguntas que hace el usuario, en vez de remitir a enlaces. Su aspecto es el siguiente:



• Escribe en la barra de entrada el polinomio de grado 4 siguiente: x4 + 2x  6 y haz clic en el símbolo “” que se encuentra en el extremo derecho de la barra de entrada. La aplicación te mostrará información diversa sobre el polinomio, pero sólo necesitamos sus raíces. Recuerda que raíces se escribe roots en inglés, así que debes buscarlas en este apartado. • Determina las raíces reales y complejas en caso de existir de las siguientes funciones polinomiales de grados tres y cuatro. • Clasifícalas anotando según corresponda. Funciones polinomiales

Raíces reales

Raíces complejas

x4 +5x3  3x 2 + 1 x3 1 x4 + 1 x4 + x 3 + x 2 + x + 1 x3  x + 2 x4 +5x3 3x2 + 1 Evaluación. Ingresar al sitio de Internet indicado para señalar las raíces reales y complejas de las funciones polinomiales, clasificación de las raíces. Evidencia de aprendizaje. Tabla resuelta. 8

Matemáticas 4

Bloque 5

Actividades de apoyo

Funciones polinomiales factorizables Actividad 5.1. Indicador. Referir las raíces reales, a partir de la factorización de un polinomio. Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades:

• Ingresa a la página • Se verá el recuadro que se muestra en la imagen 5.1., en el que vas a escribir los polinomios para determinar su factorización. Recuerda hacer clic en el signo “=” y busca el resultado de la factorización en la parte que tiene por título “Alternate forms:”

Imagen 3.1. Esta torre está formada con cubos del mismo tamaño y tiene seis cubos de altura.



1. x3 + x2 + x + 1 2. x3  6x2 + 11x  6 3. x4  4x3  14x2 + 36x + 45 4. 2x3 + 12x2  26x  84 5. 5x4  25x3  310x2 + 420x + 1800



• Anota los polinomios que tienen raíces reales.

Evaluación. Acceso a la página de Internet, referir las raíces reales de los polinomios. Evidencia de aprendizaje. Anotación de los polinomios con raíces reales. Consultado el 7 de junio de 2011.

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Matemáticas 4

Bloque 6

Actividades de apoyo

Funciones racionales Actividad 6.1. Indicador. Grafica las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de las funciones racionales, mediante la herramienta GeoGebra. Nivel de aprendizaje. Procedimental Actividades:

• Ingresa a la página:



• Se presentan siete ejercicios sobre funciones racionales.



• Sigue las instrucciones.



• Resuelve los ejercicios en tu cuaderno y escribe el procedimiento.



• Con GeoGebra, grafica los resultados.

Evaluación. Acceso a la página de Internet, resolución de los ejercicios propuestos con procedimiento y trazo de las gráficas. Evidencia de aprendizaje. Resolución y gráfica de cada ejercicio. Consultado el 7 de junio de 2011.

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Matemáticas 4

Actividades de apoyo

Bloque 6

Actividad 6.2. Indicador. Explica mediante la gráfica el comportamiento de las funciones racionales de la forma: f(x) = ax + b



cx + d

Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades: • Ingresa a la página • Debajo del título “Tutorial interactivo”, haz clic en el botón que dice “click here to start” (ver imagen 6.1).

Imagen 6.1. Al hacer clic en este botón se abre un graficador.



• Aparece una aplicación interactiva para estudiar el comportamiento de este tipo de funciones racionales, tal como se muestra en la imagen 6.2.

Rational Function f(x)= (ax+b) / (cx+d)

8.0

vertical asymptote at x = -0.5 horizontal asymptote a y = 3.0

7.0 6.0 5.0 4.0

a=1.0

3.0

b=2.0

2.0 1.0

c=2.0 -9.0 -8.0 -7.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0

1.0 2.0

3.0 4.0 5.0

6.0 7.0 8.0

9.0

-1.0

d=1.0

-2.0 -3.0 -4.0 -5.0 -6.0 -7.0 -8.0

x-zoom in

x-zoom out

y-zoom in

y-zoom out

Imagen 6.2. En la parte izquierda se muestran, en color azul, los cuadros de control para cambiar los valores de los parámetros a, b, c y d.

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Matemáticas 4

Bloque 6

Actividades de apoyo

• Mueve los valores de los parámetros: a = 1, b = 1, c = 2 y d = 1 • Observa la gráfica y escribe la ecuación de sus asíntotas. 1. Asíntota horizontal: 2. Asínota vertical: 3. ¿Qué pasa si x= d/c? • Ahora cambia los parámetros a los siguientes valores: a = 0, b = 1, c = 2 y d = 2 • Observa la gráfica y contesta lo siguiente: 1. ¿Cuál es la ecuación de su asíntota horizontal? 2. ¿Cuál es la ecuación de su asíntota vertical? 3. ¿Qué pasa con la gráfica si dejas constantes los parámetros a, b y c y sólo varias el parámetro d? 4. ¿En general, qué parámetro determina la asíntota horizontal?

Evaluación. Ingresa al sitio de Internet indicado, maneja el tutorial interactivo, elaboración de las ecuaciones de las asíntotas, preguntas contestadas correctamente. Evidencia de aprendizaje. Ecuaciones de las asíntotas y preguntas contestadas. Consultado el 7 de junio de 2011.

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Matemáticas 4

Actividades de apoyo

Bloque 7

Actividad 7.1. Indicador. Explica el comportamiento de las funciones exponenciales de la forma: f(x) = aB b(x + c) + d siendo a, b, c, d y B parámetros con diferentes valores y deduce la expresión algebraica de una función exponencial y de las asíntotas. Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades:

• Ingresa a la página • En ella se encuentra debajo del título “Tutorial interactivo del applet Java con (1)” un botón que dice “click here to start”, tal como se muestra en la imagen 7.1.

Tutorial interactivo del applet Java con (1)

click her to start Imagen 7.1. Haz clic en el botón para ejecutar la aplicación.

• Haz clic en dicho botón y de inmediato aparecerá la aplicación, cuyo aspecto se muestra en la imagen 7.2. f(x)= a*(B^(b(x+c))+d

a=1.0

y intercept at (0,2.0) horizontal asymptote: y-1.0

8.0 7.0 6.0 5.0

b=1.0

4.0 3.0 2.0 1.0

c=0.0

--9.0 --8.0 --7.0 --6.0 --5.0 --4.0 --3.0 --2.0 --1.0 -1.0

1.0

2.0 3.0

4.0 5.0 6.0

7.0 8.0

9.0

-2.0 -3.0

d=1.0

-4.0 -5.0 -6.0 -7.0

B=2.0

-8.0

click here to close window

x-zoom in y-zoom in

x-zoom out y-zoom out

B=2.0

Imagen 7.2. Éste es el aspecto de la aplicación que nos permitirá analizar las funciones exponenciales.

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Matemáticas 4

Bloque 7

Actividades de apoyo

• En el panel izquierdo de la aplicación tenemos “deslizadores” que permiten cambiar el valor de los parámetros a, b, c, d y B. En este caso B es la base de la función exponencial. • Ahora, asigna a los parámetros los siguientes valores: a = 1, b = 1, c = 0, d = 0 y B = 2 • Observa las características de la gráfica. • Responde las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es la expresión algebraica de la función exponencial? 2. ¿Cuál es el punto de intersección de la gráfica de la función con el eje vertical? 3. ¿Cuál es la ecuación de su asíntota horizontal? 4. ¿Qué parámetro ocasiona un desplazamiento vertical? 5. Cambia el parámetro d al valor 3 y escribe ahora la ecuación de la asíntota horizontal 6. ¿Qué pasa con la gráfica si la base toma el valor 1, es decir, B= 1?

Evaluación. Ingreso al sitio web, manejo del tutorial interactivo, observación para responder correctamente las preguntas planteadas. Evidencia del aprendizaje. Preguntas contestadas. Consultado el 7 de junio de 2011.

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Actividades de apoyo

Bloque 8

Actividad 8.1. Indicador. Explica el comportamiento gráfico mediante una aplicación interactiva de las funciones senoidales de la forma: f(x) = asen (bx + c) + d Nivel de aprendizaje. Conceptual Actividades:

• Ingresa a la página • En el botón debajo del título “Tutorial interactivo del uso del Applet de Java”. Haz clic en él e inmediatamente verás la aplicación cuyo aspecto es el que se muestra en la imagen siguiente. 8.0

general sine equation y= a*sin(bx+c) + d

phase shift = c/b - 0.0

7.0 6.0 5.0 4.0

a=1.0

3.0 2.0

b=1.0

1.0

c=0.0

--9.0 --8.0 --7.0 --6.0 --5.0 --4.0 --3.0 --2.0 --1.0 -1.0

d=0.0

-2.0

1.0

2.0 3.0

4.0 5.0 6.0

7.0 8.0

9.0

-3.0 -4.0 -5.0 -6.0 -7.0 -8.0

click here to close window



x-zoom in y-zoom in

x-zoom out y-zoom out

• Observa que en el panel de la izquierda se presentan “deslizadores” que te permitirán cambiar los valores de los parámetros a, b, c y d. • Responde a las siguientes preguntas: 1. ¿Qué parámetro modifica la amplitud de la función senoidal? 2. ¿Qué parámetro modifica la frecuencia? 3. ¿Qué parámetro origina una traslación vertical de la gráfica? 4. ¿Qué efecto se produce en la gráfica cuando varías el parámetro b? 5. ¿Cuál es el periodo de la función f(x) = sen(2x)?

Evaluación. Ingreso a la página de Internet, manejo del programa y observación de la gráfica y respuesta a las preguntas. Evidencia de aprendizaje. Preguntas contestadas. 15

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Actividades de apoyo

Bloque 8

Actividad 8.2. Indicador. Identifica los conceptos de amplitud, frecuencia y periodo de las funciones senoidales, y grafica funciones senoidales. Nivel de aprendizaje. Conceptual y procedimental Actividades:

• Ingresa a la página , hay un video en el que se explican los conceptos de amplitud, frecuencia y periodo de una función senoidal, obsérvalo y con base en esa explicación, traza la gráfica de cada una de las siguientes funciones senoidales. 1. f(x) = 4sen(2x) 2. f(x) = 2sen(3x) 3. f(x) = 3cos(5x) 4. f(x) = cos(x) 5. f(x) = 5sen(x/2)



• Responde a las siguientes preguntas: a. ¿Cuál es el periodo de f(x) = 4sen(2x)? b. ¿Cuál es la amplitud de f(x) = 2sen(3x)? c. ¿Cuál es la frecuencia de f(x) = cos(x)? d. ¿Qué relación matemática existe entre la frecuencia y el periodo? e. ¿Tiene sentido resolver la ecuación sen(x) = 2? Explica tu respuesta

Evaluación. Observación del video, elaboración de las gráficas de las funciones senoidales, preguntas contestadas. Evidencia de aprendizaje. Gráficas y preguntas contestadas. Consultado el 7 de junio de 2011.

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