OPA-Optische Abbildung Anfängerpraktikum 2, 2006 Janina Fiehl Daniel Flassig Gruppe 129

Aufgabenstellung Bei der linearen geometrischen Optik handelt es sich um eine Beschreibung des Verhaltens von optischen Instrumenten, bei der die eigentlich wellenartige Ausbreitung des Lichtes stark idealisiert wird. Lichtstrahlen breiten sich danach vollständig geradlinig aus, folgen aber den aus der Elektrodynamik hergeleiteten Reflektionsund Refraktionsgesetzen. Ist die Größenordnung der betrachteten Objekte, und Instrumente deutlich größer als die Wellenlänge der elektromagnetischen Welle, so ist diese Idealisierung gerechtfertigt und sehr nützlich. Die geometrische Optik besitzt zahlreiche Anwendungen – vor Allem natürlich bei der Konstruktion optischer Instrumente wie Ferngläser, Teleskope oder Fotoapparate, aber zum Beispiel auch in der Computergraphik. In diesem Versuch werden die grundlegenden Begriffe der geometrischen Optik von Linsen und Linsensystemen in Versuchen nachvollzogen – die Brennweite und der Hauptebenenabstand. Dazu werden in Versuchsteil 1 mehrere dünne Linsen mit der sogenannten Autokollimationsmethode vermessen und ihre Eigenschaften als Sammel- oder Streulinse bestimmt. In Versuchsteil 2 wird mit einem aus zwei Linsen aufgebauten Linsensystem gearbeitet, dessen Brennweite und Hauptebenenabstand bestimmt werden soll. Dabei werden sowohl Autokollimation als auch Bessel- und AbbeMethode verwendet. Mithilfe der in Versuchsteil 2 gesammelten Daten wird dann auch die Brennweite der Zerstreuungslinse des beschriebenen Systems, sowie Lage und Abstand dessen Hauptebenen bestimmt. Zum Versuch 2 wird vom Betreuer eine Computersimulation des Linsensystems erstellt, die dieser Ausarbeitung beigelegt ist und als Referenz für die Bewertung unserer Ergebnisse dient.

Versuchsaufbau und Versuchsdurchführung Sämtliche Versuche wurden auf einer optischen Bank durchgeführt, die in diesem Falle aus einer geraden Metallschiene besteht, auf der alle optischen Komponenten mithilfe von Reitern hintereinander angebracht und verschoben werden können. Bei allen Versuchen wird ein Grundaufbau aus einer Lichtquelle und einer Sammellinse (Linse A) benutzt, wobei die Lichtquelle etwa im Brennpunkt der Linse steht, sodass wir mit nahezu parallelen Lichtbündeln arbeiten können. In Versuchsteil 1 werden zunächst die Brennweiten der Linsen bestimmt, in dieser Reihenfolge nach der Messung der Brennweite mit einem einfachen Versuch darauf geschlossen werden kann, ob es sich um Sammel- oder Streulinsen handelt. Die Brennweite von sieben gegebenen Linsen (A, B, C, D, E, G, H) wird mit Autokollimation bestimmt. Dazu wird – wie in Anhang [1] dargestellt – ein Raster als Objekt in den Strahlengang eingebracht. Dahinter sind die zu messende Linse und ein planer Spiegel. Befindet sich das Objekt in der Brennebene der Linse, so laufen die

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Objektstrahlen hinter der Linse parallel, werden am Spiegel reflektiert und die Linse wirft ein genau spiegelverkehrtes Bild in die Brennebene zurück. Der Abstand zwischen Linse und Spiegel spielt dabei eigentlich keine Rolle, um die "Lichtverluste" gering zu halten, sollte er aber klein sein. Es gilt nun, die Linse zusammen mit dem Spiegel so auf der optischen Bank zu positionieren, dass das auf den Schirm geworfene Bild möglichst scharf ist. Dann befindet sich der Schirm genau in der Brennebene der Linse. Da die Hauptebenen der dünnen Linse zusammenfallen, ist der Abstand zwischen Objekt und Linse k nun gleich der Brennweite. Dieser Versuch wird jeweils auch für die um 180° gedrehte Linse durchgeführt, dann wird der Abstand mit l bezeichnet. Da die beidseitigen Brennweiten identisch sein müssen, erlaubt die beidseitige Messung eine weitere Mittelung und so ein besseres Ergebnis. Von den sieben Linsen wird die Brennweite für vier Stück jeweils fünfmal bestimmt, für den Rest jeweils nur einmal. Um nun heraus zu finden, welche der Linsen Sammel- und welche Streulinsen sind, wird geprüft, ob sie ein reales Bild erzeugen, wenn ein Objekt im Abstand etwa doppelter Brennweite in den Strahlengang eingebracht wird. Kann ein Bild (spiegelverkehrt und in originaler Größe) auf einem Schirm hinter der Linse eingefangen werden, so handelt es sich um eine konvexe Linse (Sammellinse). Konkave Linsen (Streulinsen) werfen kein reales Bild. Für Versuchsteil 2 wird nach den Vorgaben des Betreuers ein Linsensystem aus den zwei Linsen B und E aufgebaut, deren Abstand 4 cm betragen soll. Zunächst wird wie oben beschrieben die Autokollimation für Vorder- und Rückseite des Systems jeweils fünfmal ausgeführt. Als Bezugspunkt für die gemessenen Abstände wird der Mittelpunkt zwischen den beiden Linsen verwendet. Da dieser jedoch nicht in der objektseitigen Hauptebene liegt, folgt aus dem gemessenen Abstand nicht so einfach die Brennweite. Zusätzlich kommt die Bessel-Methode zum Einsatz, die in Anhang [2] skizziert ist. Wieder wird zuerst ein Objekt und dann das zu vermessende Linsensystem in den Strahlengang eingesetzt. Dahinter wird nun ein Schirm eingeführt. Bei festem Abstand e zwischen Objekt und Schirm gibt es genau zwei Positionen des Linsensystems, an denen es ein scharfes Bild auf den Schirm wirft. Die beiden Abstände zwischen Objekt und Linsen, für die dies zutrifft, bezeichnen wir mit d1 und d2. Sie werden fünfmal gemessen. Indem man sowohl die Messwerte der Autokollimation als auch der Bessel-Methode zusammen verwendet, lassen sich nun Brennweite und Hauptebenenabstand ermitteln. Als Alternative wird zuletzt die Abbe-Methode eingesetzt – Aufbau identisch zur Bessel Methode. Dabei wird der Abstand e zwischen dem Objekt und dem Schirm variiert und jeweils der Abstand d wie bei der Bessel-Methode gemessen. Außerdem wird jedesmal auch die Vergrößerung b gemessen – also das Verhältnis zwischen gerichteter Bild- und Objektgröße. Aus den Linsengleichungen lässt sich ein linearer Zusammenhang zwischen einer Funktion von b und den Abständen e und d herleiten, bei dem die Proportionalitätskonstante gerade die Brennweite ist. Diesen ausnutzend kann man nicht nur die Brennweite, sondern auch Hauptebenenabstand und Position mit einer Regressionsgerade bestimmen.

Versuchsauswertung

à Versuchsteil 1 Für eine Dünne Linse ist der Hauptebenenabstand h = 0. Daher entspricht der Abstand zwischen Objekt (Raster) und Linse bei der Autokollimation der Brennweite f´ der Linse. Wird für die Vorderseite (Abstand k ) und für die Rückseite (Abstand l) getrennt gemessen, so gilt

f´ =

k+l

(1)

2

Wobei für k und l der Mittelwert der Einzelmessungen eingesetzt wird.

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Die Standardabweichungen der Mittelwerte von k und l werden um den Student-Faktor bei einem Vertrauensniveau von 68% korrigiert und liefern mit

∆f´Stat =

1 2

∆k2 + ∆l2

(2)

Zusätzlich tritt ein systematischer Eichfehler auf, da die Position des Objekts auf der Bank am Anfang festgelegt wird. Wir schätzen diesen Fehler beim Ablesen der Skala auf der optischen Bank mit ≤ 1 mm ab. Insgesamt ergibt sich für die Linsen:

Linse Brennweite f @cmD A 5.4 B 10.2 C 20.4 D 49.1 E 9.3 G 7.6 H 28.6

∆f @cmD ± 0.1 ± 0.1 ± 0.2 ± 0.2

Table 1

Wie oben beschrieben wird jede Linse auf ihre Funktion als Sammel-/Streulinse überprüft. Dabei ergibt sich:

Linse Sammel. Streu. A ™ B ™ C ™ D ™ E ™ G ™ H ™ Table 2

à Versuchsteil 2 ü Autokollimation und Bessel-Methode Zwischen den Abständen k und l der Autokollimation und den Brennweiten und dem Hauptebenenabstand h gilt folgende Beziehung:

k + l = h + f´ − f = h + 2 f´

(3)

Bei der Bessel-Methode lässt sich folgende Relation zwischen den Abständen di Objekt-Linse und e ObjektSchirm und den gesuchten Größen angeben (Herleitung: siehe [A]):

f´ =

1 4

He − hL −

d2 e−h

mit d = d2 - d1 .

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(4)

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Nach kurzer Umformung ergibt sich aus (3) und (4):

f´ =

1

He − k − lL2 − d2

2 h = k + l − 2 f´

(5)

Zuerst wird über die Messwerte für k , l, d1 und d2 gemittelt. Der Fehler des Mittelwerts wird mit Dkstat , Dlstat , Dd1 ,

Dd2 bezeichnet. Aus den Mittelwerten erhält man nach Gleichung (5)

f´ = 24.2 cm h = 6.1 cm

(6)

Die statistischen Fehler (Mittelwertsfehler) werden nach Gauß'scher Fehlerfortpflanzung quadratisch addiert:

∆f´stat =

2 He − k − lL

1

He − k − lL2 − d2

2

2

I∆kstat 2 + ∆lstat 2 M + (7)

2

2d

He − k − lL2 − d2

I∆d1 2 + ∆d2 2 M

1ê2

Ein systematischer Fehler der Brennweite entsteht jeweils aus der beidseitig ungenauen Messung des ObjektSchirms Abstandes (Destat = 2 mm) und wie oben aus den systematischen Fehlern von k und l.

∆f´syst =

2 He − k − lL H∆esyst + ∆ksyst + ∆lsyst L

1

He − k − lL − d2

2

(8)

2

Zusammen also

∆f´ = ∆f´stat + ∆f´syst = 1.2 cm

(9)

Und analog für den Hauptebenenabstand

∆h = 1.4 cm

(10

ü Abbe Methode Im Versuchsaufbau der Abbe Methode ergeben sich mit der Vergrößerung b die Gleichungen:

−d = f 1 −

1

+ h1 β e − d = f´ H1 − βL + h2

(11

Wobei zu beachten ist, dass wir die Messwerte d und e als positiv betrachten. h1 ist der gerichtete Abstand der ersten Hauptebene von unserem Messpunkt (Mitte der beiden Linsen) und h2 analog. Der Literaturwert für die Originalgröße des Objektrasters ist 0.5 cm. Daher ist b = -rb ê 0.5, wobei rb der Rasterabstand auf dem Bild ist Trägt man also -d auf den entsprechenden Werten H1 - 1 ê bL ab, so entspricht die Steigung der (Vorzeichen wegen Umkehrung des Bildes).

Regressionsgeraden der negativen Brennweite, ihr Nullpunktswert dem Abstand zur ersten Hauptebene. Analoges gilt für die Abtragung der Werte He - dL auf H1 - bL.

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−d

5

Abbe−Methode I

-46

-48

-50

-52

-54 1.4

1.6

-56

1.7

1.8

Figure 1

Die Fehlerbalken entstehen, wenn man für die Ablesegenauigkeit der Bildraster-Größe einen halben Skalenteil also 0.5 mm ansetzt und den Literaturwert des Originalrasters als genau betrachtet. e−d

Abbe−Methode II

90

80

70

60

2.5

2.75

3

3.25

3.5

50 Figure 2

Die mit Mathematica errechneten Regressionsgeraden liefern:

f = −23.3 ± 0.6 cm h1 = −14.5 ± 0.9 cm

(12

f´ = 25.2 ± 1.1 cm h2 = −7.6 ± 3.3 cm

(13

Und damit:

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f´ = 24.2 ± 0.6 cm h = 6.9 ± 3.5 cm Diese Resultate stimmen erstaunlich gut mit den Ergebnissen aus dem letzten Versuchsteil überein, vor allem für den Brennweiten-Wert. Leider besteht eine große Unsicherheit beim Hauptebenenabstand – sie entsteht hauptsächlich aus der zweiten Fehlergeraden und könnte vermutlich verkleinert werden, indem eine größere Anzahl von Messwerten aufgenommen wird. ü Skizze des Linsensystems Eine Skizze des so berechneten Linsensystems ist in Anhang [3] beigelegt. Der besseren Lesbarkeit wegen wählten wir einen (1 : 2.5) Maßstab. ü Brennweite der Streulinse Aus den Messungen des Linsensystems lässt sich auch die Brennweite der Streulinse E berechnen, wenn wir die Messung von B aus Versuchsteil 1 voraussetzen. Aus Gleichung (6) der Praktikumsanleitung [A] lässt sich sehr leicht eine Beziehung für fE herleiten:

fSys HfB − tL

fE =

(15

fB − fSys

Um den Fehler nach oben abzuschätzen, wurden die Ungenauigkeiten aller einfließenden Werte linear addiert:

HfB − fSys L −fSys

fE =

∆t +

HfB − tL HfB − fSys L + f HfB − tL

fSys HfB − fSys L − f HfB − tL HfB − fSys L2

HfB − fSys L2

∆fB + (16

∆fSys

Für die Ergebnisse der Messung nach Abbe ergibt sich:

fE = −10.6 ± 0.7 cm

(17

Der Literaturwert fE = -10 cm liegt noch innerhalb unseres Fehlerintervalls. ü Hauptebenen Mit dem den beiden Brennweiten (Literaturwert für fE = -10 cm), der Systembrennweite und dem Abstand der beiden Linsen t = 4 cm lassen sich Lage und Abstand der Hauptebenen genauer berechnen. z1 sei der (gerichtete) Abstand der Linse B zur ersten Hauptebene, z2 der Abstand der Linse E zur zweiten Hauptebene.

z1 = z2 =

−fB t t − fB − fE fE ∗ t t − fB − fE

= −10.5 cm (18

= −10.4 cm

Für den Hauptebenenabstand h erhält man also:

h = t + z2 − z1 = 4.1 cm

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(19

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Einen Wert also, der relativ deutlich unter unserer Messung liegt - allerdings noch in unserem großen Unsicherheitbereich. ü Vergleich mit der Computer-Simulation Die Computer-Simulation liegt im Anhang [5] bei. Der Linsenabstand auf dem Ausdruck beträgt etwa 1.6 cm – der Maßstab ist also offenbar (1 : 2.5). Die Brennweite ergibt sich zu 25.8 cm, der Hauptebenenabstand zu 4.1 cm. Dieser Hauptebenenabstand entspricht etwa der Modellrechnung aus dem letzten Teilschritt mit Literaturwert für fE . Die wahre Brennweite ist also etwas größer als unsere Messungen, der wahre Hauptebenenabstand deutlich kleiner, wobei letzterer noch im Unsicherheitsbereich der Messung liegt. Bemerkenswert ist, dass wenn man unsere Zeichnung des Linsensystems und die Simulation (die ja im selben Maßstab sind) vergleicht, unsere Brennpunkte sehr nahe bei den simulierten Brennpunkten liegen.

Zusätzliche Fragen ü 1. Größenverhältnis der Bessel-Verfahren Bilder Betrachte statt dem Linsensystem stellvertretend die beiden Haupteben (Der Aufbau ist in sich spiegelsymmetrisch!). Es gibt beim Besselverfahren höchstens zwei mögliche Positionen für die Hauptebenen. Daher muss die eine genau der Strahlumkehr der anderen entsprechen. (Ansonsten kehre den Strahlengang um und erhalte eine dritte fl Widerspruch) Also muss für die Verhältnisse von erster Bildgröße y1 und zweiter y2 gelten:

y1 y

=

y (20

y2

Also ist

y1 y2

=

y1

2 (21

y

Wie bei allen Linsen(-Systemen) gilt:

y1

=

f (22

a1 − f

a1 kann aus f, h und e bestimmt werden (quadratische Gleichung). Allerdings liefert der sich für » y1 ê y »

y

ergebende längliche Ausdruck keine bessere Anschauung. ü 2. Anordnung eines Projektionsapparates Auf die Lampe folgt eine Sammellinse (Kondensor), um die Leuchtleistung der Lampe möglichst gut auszunutzen. Direkt darauf kann das Objekt folgen. Danach folgt das Objektiv so, dass der Abstand Objekt-Objektiv größer als dessen Brennweite ist. In einiger Entfernung – aber in der entsprechenden Bildebene des Objekts durch das Objektivsollte dann der Schirm stehen. ü 3. Abstand eines Photo-Objektivs (•, 200mm Brennweite) Die aus dem "Unendlichen" einfallenden Strahlen sind parallel. Parallel einfallendes Licht wird von einem Linsensystem genau in den Brennpunkt gebündelt. Soll das Bild auf dem Film scharf sein, so muss die Bildplatte also genau 200mm vom Objektiv entfernt sein.

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4. Bild bei a = 0.5 f Es gilt für a = 0.5 f :

1 a´

=

1 a

−

1 f

=

2 f

−

1 f

=

1 (23

f

Also:

a´ = f

(24

Da "Bild" ergibt sich auf der Objektseite, ist also nur virtuelles und sitzt genau in der objektseitigen Brennebene. Witerhin gilt:

y´ = y

a´ a

=2y

(25

Das virtuelle Bild ist also doppelt so groß wie das Objekt. ü 5. Brennweite eines Linsensystems Aus Gleichung (6) in der Praktikumsanleitung ergibt sich für f1 ´ = f2 ´

f ´@tD = −

f´1

2 (26

t − 2 f´1

Wobei f1´ > 0, weil Sammellinse. Für t < 2 f1´ verhält sich das System also auch wie eine Sammellinse. Wird t jedoch größer, so verhält sich das System wie eine Streulinse.

à Versuchsteil 1

Referenzen [A]

Praktikumsanleitung

[S]

Software: PYTHA 3D-CAD

Anhang Vier Zeichnungen zur Illustration des Versuchsaufbaus: [1]

Aufbau zur Autokollimation

[2]

Aufbau zum Bessel-Verfahren

[3]

Anordnung des Linsensystems BE (Maßstab 1:2.5)

[4]

Skizze zur Anordnung eines Diaprojektors

[5]

Computer-Simulation des Linsensystems

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