PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica
MODELACIÓN, ANÁLISIS NO-LINEAL Y DISIPACIÓN DE ENERGÍA DE ESTRUCTURAS PLANAS SOMETIDAS A TERREMOTOS
JUAN PABLO CÁCERES CHOMALI
Memoria para optar al título de Ingeniero Civil, con Diploma en Ingeniería Estructural
Profesor Supervisor: RAFAEL RIDDELL C.
Santiago de Chile, 2001
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE ESCUELA DE INGENIERIA Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica
MODELACIÓN, ANÁLISIS NO-LINEAL Y DISIPACIÓN DE ENERGÍA DE ESTRUCTURAS PLANAS SOMETIDAS A TERREMOTOS
JUAN PABLO CÁCERES CHOMALI
Memoria presentada a la Comisión integrada por los profesores:
RAFAEL RIDDELL C.
JUAN CARLOS DE LA LLERA M.
JORGE CREMPIEN L.
Quienes recomiendan que sea aceptada para completar las exigencias del título de Ingeniero Civil, con Diploma en Ingeniería Estructural Santiago de Chile, 2001
A mi padre, A mi madre, por la presencia incondicional, y a mis hermanos, Para Aisen, quien me mostró el color de la ternura, A mis amigos de siempre, y a Xenakis, por la música.
ii
AGRADECIMIENTOS Gran parte de mi formación como ingeniero se la debo al profesor Juan Carlos De la Llera. Su aporte e interés constante en la investigación y la docencia son de gran inspiración para desarrollar trabajos como este. También quisiera reconocer los aportes realizados por el profesor Rafael Riddell, quien me guió en varios aspectos relacionados con el curso de esta investigación, y la disposición a participar en este trabajo del profesor Jorge Crempien. Agradezco en especial a mi padre Nivaldo Cáceres por su confianza siempre infinita, a todos mis compañeros y amigos de la universidad, sin los que mi aprendizaje no hubiese sido lo mismo, y en particular el apoyo e interés constante de mi amigo y compañero Eduardo Jahnke. El desarrollo de esta investigación forma parte del Proyecto FONDECYT 199012, “Demanda de Disipación de Energía Durante Terremotos y Daño Estructural”, el cual es coordinado por el profesor Rafael Riddell.
iii
INDICE GENERAL Pág. DEDICATORIA .......................................................................................................... ii AGRADECIMIENTOS .............................................................................................. iii INDICE DE TABLAS ................................................................................................ vi INDICE DE FIGURAS.............................................................................................. vii RESUMEN................................................................................................................ xvi I.
INTRODUCCIÓN.............................................................................................. 1 1.1 Motivación y Objetivos.............................................................................. 1 1.2 Contenido del Estudio ................................................................................ 2
II.
MODELO DE EDIFICO DE CORTE................................................................ 3 2.1 Sistema Considerado y Ecuación de Movimiento ..................................... 3 2.2 Propiedades del Sistema............................................................................. 6 2.3 Expresiones de Energía .............................................................................. 7 2.4 Ejemplo Numérico ..................................................................................... 8
III.
ENERGÍA DISIPADA EN EDIFICIOS DE CORTE ...................................... 15 3.1 Modelos Analizados................................................................................. 15 3.2 Registros de Terremotos Usados.............................................................. 15 3.3 Ductilidad y Disipación de Energía en Altura ......................................... 17 3.4 Espectros de Energía por Histéresis......................................................... 38 3.5 Interpretación de Resultados.................................................................... 43
IV.
MODELO DE EDIFICIO DE MARCO FLEXURAL ..................................... 45 4.1 Sistema Considerado y Ecuación de Movimiento ................................... 45 4.2 Propiedades del Sistema........................................................................... 47
V.
ELEMENTOS NO-LINEALES Y MÉTODO DE INTEGRACIÓN............... 53 5.1 Elemento Elastoplástico ........................................................................... 53
5.1.1 Modelación del elemento............................................................... 53 5.1.2 Implementación ............................................................................. 54 5.1.3 Ejemplo.......................................................................................... 55 5.2 Elemento Viga con Plastificación en los Extremos ................................. 56 5.2.1 Modelación del elemento............................................................... 56 5.2.2 Implementación ............................................................................. 60 5.2.3 Validación del modelo................................................................... 62 5.2.4 Ejemplo.......................................................................................... 63 5.3 Elemento Columna con Plastificación en los Extremos Definida a través de una Curva de Interacción .......................................................... 66 5.3.1 Modelación del elemento............................................................... 66 5.3.2 Descripción de la rótula pástica con interacción N-M .................. 69 5.3.3 Implementación ............................................................................. 72 5.3.4 Validación del modelo................................................................... 76 5.3.5 Ejemplo.......................................................................................... 78 5.4 Método de Integración ............................................................................. 82 5.4.1 Planteamiento de las ecuaciones.................................................... 82 5.4.2 Propiedades del sistema en tiempo discreto .................................. 83 5.4.3 Implementación ............................................................................. 85 VI.
EDIFICIO HOLIDAY INN.............................................................................. 87 6.1 Descripción del Edificio........................................................................... 87 6.2 Modelación del Edificio........................................................................... 90 6.3 Resultados del Análisis ............................................................................ 97 6.4 Interpretación de resultados ................................................................... 126
VII. CONCLUSIONES.......................................................................................... 129 BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 132
INDICE DE TABLAS Pág. Tabla 2.1: Propiedades edificio de 5 piso .................................................................. 10 Tabla 3.1: Edificios utilizados con sus períodos (T1) y frecuencias (f1) fundamentales ....................................................................................... 15 Tabla 6.1: Propiedades estructurales de los elementos y materiales ......................... 94 Tabla 6.2: Enfierraduras de las columnas .................................................................. 95 Tabla 6.3: Enfierraduras de las vigas ......................................................................... 96 Tabla 6.4: Masas transalcionales del edificio y del marco modelado........................ 96 Tabla 6.5: Períodos y formas modales elásticos del modelo analizado ..................... 98
vi
INDICE DE FIGURAS Pág. Figura 2.1: Modelo de edificio de corte con columnas elastoplásticas........................ 3 Figura 2.2: Deformación lateral de columnas .............................................................. 4 Figura 2.3: Modelo elastoplástico................................................................................ 4 Figura 2.4: Registro Sylmar, componente N00E (1994) ............................................. 8 Figure 2.5: Edificio de corte de cinco pisos con sus propiedades ............................. 10 Figura 2.6: Historia de desplazamientos .................................................................... 11 Figura 2.7: Historia de esfuerzos de corte por piso ................................................... 12 Figura 2.8: Curvas fuerza-deformación por piso ....................................................... 13 Figura 2.9: Ductilidad por piso .................................................................................. 14 Figura 2.10: Energía disipada por histéresis por piso ................................................ 14 Figura 3.1: Registro de El Centro, componente S00E (1940) ................................... 16 Figura 3.2: Registro de Sylmar, componente N00E (1994)....................................... 16 Figura 3.3: Registro de Melipilla, componente N00E (1985).................................... 17 Figura 3.4: Registro de Llolleo, componente N10E (1985)....................................... 17 Figura 3.5: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro, componente S00E (1940) ................................................................................. 18 Figura 3.6: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro, componente S00E (1940)............................................... 18
vii
Figura 3.7: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para El Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 19 Figura 3.8: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para El Centro, componente S00E (1940).......................................... 19 Figura 3.9: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para El Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 20 Figura 3.10: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para El Centro, componente S00E (1940).................................. 20 Figura 3.11: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para El Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 21 Figura 3.12: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para El Centro, componente S00E (1940).................................. 21 Figura 3.13: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 22 Figura 3.14: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El Centro, componente S00E (1940)........................................ 22 Figura 3.15: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)................................................................................. 23 Figura 3.16: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) .................................................. 23 Figura 3.17: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 24 Figura 3.18: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) .......................................... 24
viii
Figura 3.19: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 25 Figura 3.20: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ..................................... 25 Figura 3.21: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 26 Figura 3.22: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ..................................... 26 Figura 3.23: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 27 Figura 3.24: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ........................................... 27 Figura 3.25: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)................................................................................. 28 Figura 3.26: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)............................................... 28 Figura 3.27: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 29 Figura 3.28: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)....................................... 29 Figura 3.29: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 30 Figura 3.30: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Melipilla, componente N00E (1985).................................. 30
ix
Figura 3.31: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 31 Figura 3.32: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Melipilla, componente N00E (1985).................................. 31 Figura 3.33: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 32 Figura 3.34: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)........................................ 32 Figura 3.35: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)................................................................................. 33 Figura 3.36: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) .................................................. 33 Figura 3.37: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 34 Figura 3.38: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) .......................................... 34 Figura 3.39: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 35 Figura 3.40: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ..................................... 35 Figura 3.41: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 36 Figura 3.42: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ..................................... 36
x
Figura 3.43: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 37 Figura 3.44: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ........................................... 37 Figura 3.45: Espectro de energía por histéresis para El Centro, componente S00E (1940) ...................................................................................................... 39 Figura 3.46: Espectro de energía por histéresis para Sylmar, componente N00E (1994)................................................................................................................ 40 Figura 3.47: Espectro de energía por histéresis para Melipilla, componente N00E (1985) ..................................................................................................... 41 Figura 3.48: Espectro de energía por histéresis para Llolleo, componente N10E (1985)................................................................................................................ 42 Figura 4.1: Modelo de edificio de marco flexural ..................................................... 46 Figura 4.2: Curva de interacción................................................................................ 47 Figura 4.3: Largo de plastificación de las vigas ........................................................ 48 Figura 4.4: Largo de plastificación de las columnas.................................................. 48 Figura 4.5: Definición de deformaciones de las rótulas de las columnas .................. 49 Figura 4.6: Definición del elemento elástico de largo Lp .......................................... 49 Figura 4.7: Curva de interacción típica de una sección de hormigón armado ........... 51 Figura 4.8: Procedimiento para obtener la curva de interacción de una sección de hormigón armado para ser utilizada en el modelo de marco flexural.......... 52 Figura 5.1: Definición del elemento elastoplástico................................................... 53 Figura 5.2: Relación fuerza-deformación elastoplástica............................................ 54
xi
Figura 5.3: Historia de deformaciones del elemento elastoplástico .......................... 55 Figura 5.4: Historia de fuerzas del elemento elastoplástico ...................................... 55 Figura 5.5: Curva fuerza-deformación elemento elastoplástico ................................ 56 Figura 5.6: Definición del macro-elemento viga ....................................................... 57 Figura 5.7: Deformación de la rótula ......................................................................... 58 Figura 5.8: Relación fuerza-deformación de la rótula en vigas ................................. 59 Figura 5.9: Definición del elemento elástico interno de la viga ................................ 62 Figura 5.10: Historia de deformaciones del macro-elemento viga ............................ 64 Figura 5.11: Historia de fuerzas del macro-elemento viga ........................................ 65 Figura 5.12: Curvas de momento-rotación para las rótulas elastoplásticas ............... 65 Figura 5.13: Definición del macro-elemento columna .............................................. 66 Figura 5.14: Definición de la rótula de las columnas ................................................ 67 Figura 5.15: Deformación elástica de la rótula con interacción ................................ 70 Figura 5.16: Deformación elástica y plástica de la rótula con interacción ................ 71 Figura 5.17: Vértice en la curva de interacción ......................................................... 72 Figura 5.18: Definición del macro-elemento columna para ser utilizado como macro-elemento viga ........................................................................................ 75 Figura 5.19: Obtención de momento plástico (Mp) de las rótulas para utilizar el macro-elemento viga ........................................................................................ 76 Figura 5.20: Geometría del elemento elástico interno viga ....................................... 77 Figura 5.21: Historia de deformaciones del macro-elemento columna ..................... 79
xii
Figura 5.22: Historia de fuerzas del macro-elemento columna ................................. 80 Figura 5.23: Curvas de interacción e historias de fuerzas M-N de las rótulas plásticas ............................................................................................................ 81 Figura 5.24: Curvas fuerzas-deformaciones de las rotulas plásticas ......................... 82 Figura 6.1: Planta típica del edificio .......................................................................... 89 Figura 6.2: Elevación transversal típica..................................................................... 90 Figura 6.3: Modelación geométrica del marco resistente correspondiente al eje transversal A: numeración de elementos .......................................................... 93 Figura 6.4: Dimensiones de elementos y extremos rígidos ....................................... 94 Figura 6.5: Disposición geométrica de las enfierraduras de las columnas ................ 95 Figura 6.6: Registro medido en la base del edificio (Northridge, 1994) ................... 97 Figura 6.7: Formas modales elásticas del modelo analizado ..................................... 99 Figura 6.8: Historias de desplazamientos relativos a la base................................... 100 Figura 6.9: Historia de deformaciones de entrepisos (drifts)................................... 101 Figura 6.10: Historia de esfuerzos de corte por piso ............................................... 102 Figura 6.11: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 1º piso.............................................. 103 Figura 6.12: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 1º piso............................................. 104 Figura 6.13: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 2º piso.............................................. 105 Figura 6.14: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 2º piso............................................. 106 xiii
Figura 6.15: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 3º piso.............................................. 107 Figura 6.16: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 3º piso............................................. 108 Figura 6.17: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 4º piso.............................................. 109 Figura 6.18: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 4º piso............................................. 110 Figura 6.19: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 5º piso.............................................. 111 Figura 6.20: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 5º piso............................................. 112 Figura 6.21: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 6º piso.............................................. 113 Figura 6.22: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 6º piso............................................. 114 Figura 6.23: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 7º piso.............................................. 115 Figura 6.24: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 7º piso............................................. 116 Figura 6.25: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 1º piso....... 117 Figura 6.26: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 2º piso....... 118 Figura 6.27: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 3º piso....... 119 Figura 6.28: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 4º piso....... 120
xiv
Figura 6.29: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 5º piso....... 121 Figura 6.30: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 6º piso....... 122 Figura 6.31: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 7º piso....... 123 Figura 6.32: Energía disipada en cada piso por hitéresis de las columnas .............. 124 Figura 6.33: Energía disipada en cada piso por hitéresis de las vigas ..................... 124 Figura 6.34: Energía total disipada por hitéresis en cada piso................................. 125 Figura 6.35: Gráfico comparativo de las energías disipadas por hitéresis en cada piso ......................................................................................................... 125 Figura 6.36: Espectro de energía por histéresis para el registro medido en la base del edificio (Northridge, 1994), componente horizontal; y energía disipada por histéresis para el marco analizado (*)........................................ 128
xv
RESUMEN Diferentes herramientas se han creado para predecir el comportamiento no-lineal de estructuras durante un movimiento sísmico. Este trabajo aborda el problema para estructuras planas, donde se implementan y analizan modelos correspondientes a dos tipos básicos, edificios de corte y marcos flexurales. El modelo de edificio de corte considera columnas con constitutiva elastoplástica en todos los pisos. Para este tipo estructural se utilizan cuatro registros sísmicos, para los cuales se analizan edificios entre dos y cien pisos. Con esto se obtienen distribución de ductilidades y energía disipada por histéresis en altura para cada modelo. Además se realizan espectros de energía para cada registro, los que se comparan con los espectros correspondientes a sistemas de un grado de libertad. Por su parte, el modelo de marco flexural se conforma de elementos en los que la plastificación se concentra en rótulas de sus extremos. Las vigas tienen rótulas elastoplásticas, mientras que las columnas poseen rótulas que dan cuanta del estado límite de plastificación. En estas la fluencia ocurre cuando se alcanza alguna de las combinaciones de carga axial y flexural definidas a través de una curva de interacción. El modelo de marco flexural implementado se utiliza para analizar un marco de un edificio real, el cual sufrió daños estructurales severos durante el terremoto de Northridge. Con los resultados obtenidos se calcula la distribución de energía disipada por histéresis en altura, y así poder compararla con los espectros estudiados para los edificios de corte. Además se muestra que el comportamiento de la estructura analizada predice en forma bastante correcta el comportamiento real, con una modelación sencilla y transparente para el usuario. Para integrar todos los modelos de este estudio, se ha escogido un método de tipo predictor-corrector orden 2, con las ecuaciones de movimiento expresadas en espacio estado.
xvi
1
I.
INTRODUCCIÓN
1.1
Motivación y Objetivos
La filosofía de diseño sísmico en boga establece un marco conceptual de comportamiento, según el cual se generan los códigos y diseñan las estructuras. Este es que para sismos de baja intensidad la estructura debe comportarse en forma elástica, para movimientos moderados a fuertes se admiten incursiones en el rango inelástico y daños no estructurales limitados, mientras que para sismos severos de baja probabilidad de ocurrencia en la vida útil de la estructura se aceptarán daños importantes pero sin colapso. Por esto, dado que el daño es el parámetro clave de diseño, el análisis nolineal cobra una importancia fundamental en la predicción del comportamiento de una estructura sometida a un movimiento sísmico. La presencia de elementos dúctiles permite diseñar estructuras para esfuerzos menores a los que requeriría un diseño elástico. Esto se debe a la capacidad que tienen estos elementos de disipar energía sin llegar a la rotura o al colapso. Por consiguiente un parámetro clave en el diseño y análisis sismorresistente es la predicción y control de la disipación de energía por histéresis. Lo que se busca es establecer cuales son los elementos que disiparán energía para así diseñarlos conforme a ello. El estudio del comportamiento no-lineal de estructuras puede llevarse a cabo utilizando métodos de variada complejidad, tanto en la modelación como en el análisis. Estos van desde los que utilizan factores de reducción y amplificación de los parámetros de la respuesta elástica de la estructura, hasta la utilización de elementos finitos o elementos fibra. Los principales objetivos de la presente investigación son: 1. Determinar la distribución de ductilidades y energía disipada por histéresis en altura de varios edificios de corte no-lineales, y además desarrollar espectros de energía disipada por histéresis de estos edificios y compararlos con los de un grado de libertad.
2
2. Desarrollar e implementar elementos no-lineales para modelar marcos flexurales planos. Estos deben dar cuanta del comportamiento real de un edificio estructurado en basa a marcos con la mayor precisión posible, pero manteniendo una modelación sencilla y transparente para el usuario, además de lograr que la integración numérica sea de bajo costo. 1.2
Contenido del Estudio El desarrollo de este estudio se divide principalmente en tres bloques
temáticos: 1. En el Capítulo II se describen los modelos de edificios de corte utilizados, mientras que la distribución de ductilidades y energía disipada por histéresis en altura, así como los espectros, se muestran y discuten en el Capítulo III. 2. La modelación general de los marcos flexurales se describe en el Capítulo IV. El Capitulo VI contiene un ejemplo para un edificio real, en el cual se utiliza un marco flexural modelado como se explica en el Capítulo IV. 3. En el Capítulo V se explica la modelación e implementación de cada uno de los elementos no-lineales utilizados en el estudio. Este capítulo contiene además el método de integración tipo predictor-corrector orden 2 que se utiliza para analizar todos los modelos, tanto los edificios de corte como los marcos flexurales. Las principales conclusiones obtenidas, así como algunas sugerencias para investigaciones futuras se incluyen en el Capítulo VII.
3
II.
MODELO DE EDIFICO DE CORTE
El modelo de edifico de corte consiste en un marco en el cual las vigas se suponen infinitamente rígidas, mientras que toda la deformación y ductilidad se concentra en las columnas, las que se consideran axialmente rígidas. Por ello estas columnas son elementos de una deformación, que corresponde a la deformación de entrepiso. 2.1
Sistema Considerado y Ecuación de Movimiento
Los sistemas estudiados son edificios de corte no-lineales de diferentes números de pisos. La Figura 2.1 muestra el típico modelo general utilizado en este estudio. m h
un
m un-1
m
u3
h m h
m h
u2
Columnas Elastoplásticas
u1
Vigas Rígidas
&& g (t ) u
Figura 2.1: Modelo de edificio de corte con columnas elastoplásticas
La relación fuerza-deformación para cada piso corresponde a una constitutiva elastoplástica. Esta se define a través de una rigidez elástica inicial total
4
k y a una fuerza de fluencia total del piso Fy (Figs. 2.2 y 2.3). La deformación lateral de entrepiso se define como “v”. v
F k/2
k/2 F
Figura 2.2: Deformación lateral de columnas F(v) Fy
k 1 uy
k
v k
1
1 -Fy
Figura 2.3: Modelo elastoplástico
La ecuación del movimiento de este sistema, cuando se le somete a un movimiento sísmico en la base, puede escribirse como &&(t ) + C ⋅ u& (t ) + LT ⋅ F(v ) = −M ⋅ r ⋅ u && g (t ) M ⋅u
(2.1)
donde M es la matriz de masas; C es la matriz de amortiguamiento; u es el vector de desplazamientos relativos de las masas con respecto al suelo; v=L⋅u, en que L es la matriz de transformación cinemática; F es el vector de fuerzas de los elementos nolineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; u&& g es la aceleración del suelo; y r es el vector de influencia.
5
El amortiguamiento viscoso, el cual disipa energía durante todas las fases de respuesta (elásticas y plásticas), fue modelado a través de una matriz de amortiguamiento C clásica. El modelo considera una razón de amortiguamiento constante para todos los modos, correspondiente a ξ = 5%. Para calcular la matriz de amortiguamiento C, se obtiene primero la solución al problema de valores y vectores propios generalizado del par K, M , en donde la matriz de rigidez K se calcula utilizando las rigideces iniciales (en rango elástico) de cada columna. Para obtener los valores y vectores propios del sistema se resuelve la ecuación K ⋅ φ i = ω i2 ⋅ M ⋅ φ i
(2.2)
donde φi corresponde a la i-ésima forma modal del sistema y ωi a la frecuencia propia del modo. Conocidas las razones de amortiguamiento modal es posible obtener la matriz C realizando la operación ⎡2 ⋅ ξ1 ⋅ ω1 ⋅ M1 ⎢ C = Φ −1 ⋅ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
2 ⋅ ξ 2 ⋅ ω2 ⋅ M 2
⎤ ⎥ ⎥ ⋅Φ ⎥ O ⎥ 2 ⋅ ξ n ⋅ ωn ⋅ M n ⎦
(2.3)
donde Φ = [φ1 φ 2 L φ n ] es la matriz de formas modales; ξi es la razón de amortiguamiento del i-ésimo modo y Mi es la masa correspondiente al modo i Es una conocida propiedad del álgebra lineal que los modos de vibración son ortogonales con respecto a la matrices K y M. Por lo tanto, las masas modales Mi se obtienen de la ecuación ⎡M1 ⎢ T Φ ⋅M ⋅Φ = ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
M2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ O ⎥ Mn ⎦
(2.4)
6
2.2
Propiedades del Sistema
La relación constitutiva fuerza-deformación de cada columna queda definida por su rigidez k en el rango elástico y su fuerza de fluencia Fy. Los valores iniciales de la rigidez (elástica) se determinan de modo que satisfagan dos condiciones: (a) se debe obtener un periodo fundamental T1, considerando la masa total del edificio como unitaria. La masa de cada piso es entonces m=1/n, donde ‘n’ es el número de pisos, y (b) la aplicación de las fuerzas estáticas laterales equivalentes del código UBC-1994 debe producir un incremento lineal en las deformaciones de los pisos, i.e., los drift de entrepiso deben ser iguales en todo el edificio. La distribución de las fuerzas estáticas laterales equivalentes del código UBC-1994 se determina utilizando la fórmula Fj = (Vb − Ft )
wj ⋅hj N
∑w
j
(2.5)
⋅hj
i =1
donde wj es el peso del piso j; hj es la altura del piso j; Vb es el esfuerzo de corte basal; y Ft es la fuerza adicional del último piso. Esta última se define como 0 ⎧ ⎪ Ft = ⎨0.07 ⋅ T1 ⋅ Vb ⎪ 0.25 ⋅ V b ⎩
T1 ≤ 0.7 0.7 < T1 < 3.6 T1 ≥ 3.6
(2.6)
y su propósito es él de considerar el efecto dinámico de los modos superiores. En este estudio se ha supuesto que el valor objetivo del periodo fundamental del edificio sea T1 =
n 10
(2.7)
7
Las fuerzas de fluencia de los elementos se determinan utilizando el espectro de respuesta no-lineal de un grado de libertad para el registro sísmico requerido. Para esto se elige una ductilidad objetivo de diseño (p.e., µ=5), con lo que se determina la pseudo-aceleración Ay correspondiente al periodo fundamental T1. Consecuentemente, el esfuerzo de corte basal Vby se calcula como Vby =
Ay g
⋅W
(2.8)
donde W es el peso total del edificio y Ay es la pseudo-aceleración del espectro de respuesta inelástico correspondiente al periodo fundamental T1 y a un amortiguamiento viscoso ξ = 5%. El esfuerzo de corte basal Vby corresponde también a la fuerza de fluencia Fy del primer piso. Para obtener la fuerza de fluencia del resto de los pisos se multiplica este esfuerzo de corte por los factores de esfuerzo de corte en cada piso según la distribución de fuerzas estáticas del UBC (Ecs. (2.5) y (2.6)). 2.3
Expresiones de Energía
Durante un movimiento sísmico, el suelo transmite energía a la estructura a través de su base. Parte de esa energía es almacenada temporalmente en la estructura en forma de energía cinética y de deformación. El resto se disipa por amortiguamiento y deformación inelástica, esta última correspondiente a la energía disipada por la histéresis de las columnas. La variable estudiada en esta sección es la energía disipada por histéresis EH. El objetivo es hacer una comparación de la energía disipada en sistemas de un grado de libertad con los edificios de múltiples grados de libertad. Para esto se compara la energía disipada en edificios con igual periodo fundamental que los sistemas correspondientes de un grado de libertad. El análisis y estudio de los espectros de energía de los sistemas de un grado de libertad se encuentran en el trabajo de García y Riddell (1995).
8
La energía disipada por histéresis corresponde a la suma de las áreas encerradas en cada ciclo por las curvas de fuerza-deformación de cada piso de los edificios. La energía disipada por histéresis corresponde a (i )
tf
u
∫
∫
E H = F( v) ⋅ dv = F( v) ⋅ v& ⋅ dt 0
(2.9)
0
donde E (Hi ) es la Energía disipada por histéresis en el piso i; v es la deformación de entrepiso; y F(v) es la fuerza del elemento en función de su deformación v. Para obtener la energía disipada por histéresis total ( E Htot ) del edificio, se realiza la sumatoria de las energías disipadas en cada piso E Htot =
n
∑ E( ) i H
(2.10)
i =1
2.4
Ejemplo Numérico
A continuación se presenta un ejemplo para explicar en detalle el procedimiento por el cual se calculan las propiedades del sistema. Este corresponde a un edificio de corte de 5 pisos con masa total unitaria. Como input se utiliza el registro de Sylmar, componente N00E, terremoto de Northridge, California, 17 de enero de 1994. 1 0.8
aceleración (g)
0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
0
10
20
30 40 tiempo (seg)
50
60
Figura 2.4: Registro Sylmar, componente N00E (1994)
70
9
El periodo fundamental objetivo del edificio es T1 =
N º pisos 5 = = 0.5 seg 10 10
con lo que se obtiene del espectro inelástico de Sylmar para una ductilidad objetivo µ=5, una deformación de fluencia uy = 2.7377 cm. La pseudo-aceleración correspondiente es Ay = ω2⋅uy = (2π/0.5)2⋅2.7377 = 0.4407 g El peso total del edificio con masa unitaria m=1 kgf⋅seg2/cm es W = m⋅g = g Y entonces el esfuerzo de corte basal es Vby= 432.3149 kgf Para obtener la distribución de las fuerzas laterales estáticas equivalentes del código UBC-1994, se realiza el procedimiento explicado en la Sección 2.2, con lo que se obtienen las fuerzas estáticas equivalentes indicadas en la Tabla 2.1. La rigidez de cada piso se determina de modo que la aplicación de las fuerzas estáticas equivalentes produzcan un incremento lineal en las deformaciones de los pisos. Es decir, los drift de entrepiso deben ser iguales en todo el edificio. Además el período fundamental del edificio T1 debe ser igual a 0.5 seg. Con esto se obtienen las rigideces indicadas en la Tabla 2.1. Por último, las fuerzas de fluencia de cada piso se obtienen multiplicando el esfuerzo de corte basal Vby por los factores de esfuerzo de corte en cada piso según la distribución de fuerzas estáticas (Tabla 2.1).
10
Tabla 2.1: Propiedades edificio de 5 piso Fj (kgf)
kj (kgf/cm)
Fjy (kgf)
5º piso
144.1050
157.9137
144.1050
4º piso
115.2840
284.2446
259.3889
3º piso
86.4630
378.9928
345.8519
2º piso
57.6420
442.1583
403.4939
1º piso
28.8210
473.7410
432.3149
kj (kgf/cm) 157.9
Fjy (kgf)
m=1/5 kgf⋅seg2/cm
u5
144.1
m
u4 284.2
259.4
m 379.0
345.9
m 442.2
u3 u2
403.5
m
u1 473.7
432.3
Figure 2.5: Edificio de corte de cinco pisos con sus propiedades
En las figuras siguientes se presentan los resultados del análisis del edificio. La respuesta incluye las historias de desplazamientos y fuerzas, las curvas fuerza-deformación, las ductilidades y la energía disipada en cada piso.
11
20 Piso 5 10 0 -10 -20 20 Piso 4 10 0 -10
Desplazamiento (cm)
-20 20 Piso 3 10 0 -10 -20 20 Piso 2 10 0 -10 -20 20 Piso 1 10 0 -10 -20
0
10
20
30 Tiempo (seg)
40
Figura 2.6: Historia de desplazamientos
50
60
12
500 Piso 5 0
-500 500 Piso 4 0
Esfuerzo de Corte (kgf)
-500 500 Piso 3 0
-500 500 Piso 2 0
-500 500 Piso 1 0
-500
0
10
20
30 Tiempo (seg)
40
50
Figura 2.7: Historia de esfuerzos de corte por piso
60
13
500 Columnas piso 5 0
-500 500 Columnas piso 4 0
Esfuerzo de Corte (kgf)
-500 500 Columnas piso 3 0
-500 500 Columnas piso 2 0
-500 500 Columnas piso 1 0
-500 -8
-6
-4
-2
0 Deformación (cm)
2
4
Figura 2.8: Curvas fuerza-deformación por piso
6
8
14
5
Número de Piso
4
3
2
1
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4000
4500
10
µ (cm)
Figura 2.9: Ductilidad por piso
5
Número de Piso
4
3
2
1
0 500
1000
1500
2000
2500 3000 EH (kgf cm)
3500
Figura 2.10: Energía disipada por histéresis por piso
5000
15
III.
ENERGÍA DISIPADA EN EDIFICIOS DE CORTE
3.1
Modelos Analizados
Para poder representar una amplia gama de períodos fundamentales, se selecciona una muestra de edificios de corte de diferente número de pisos. En cada uno, el período fundamental corresponde a un décimo del número de pisos, como se explicó en la Sección 2.2. Para cada registro utilizado se analizaron 29 edificios de corte. La selección se realiza de forma que las frecuencias fundamentales se distribuyan en forma aproximadamente equitativa en la escala logarítmica. Los edificios utilizados se muestran en la Tabla 3.1.
Tabla 3.1: Edificios utilizados con sus períodos (T1) y frecuencias (f1) fundamentales Nº Pisos T1 (seg) f1 (hz)
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 5.00 3.33 2.50 2.00 1.67 1.43 1.25 1.11 1.00 0.91 0.83 0.77 0.71 0.67 0.63
Nº Pisos T1 (seg) f1 (hz)
17 18 19 21 24 28 33 39 45 53 62 73 85 100 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.8 3.3 3.9 4.5 5.3 6.2 7.3 8.5 10 0.59 0.56 0.53 0.48 0.42 0.36 0.30 0.26 0.22 0.19 0.16 0.14 0.12 0.10
El diseño de cada edificio se realizó en la forma explicada en la Sección 2.2. La ductilidad objetivo para todos los modelos es µ=5. 3.2
Registros de Terremotos Usados
Los registros utilizados en este Capítulo corresponden a cuatro acelerogramas, dos de ellos registrados en Chile en 1985 (Melipilla y Llolleo), y los otros dos registrados en California, uno en 1940 (El Centro) y el otro en 1994 (Sylmar). Para corregir los valores iniciales del movimiento del suelo se prefija un pulso de aceleración de dos segundos para cada registro. Con esto se logra que todas
16
las condiciones iniciales (aceleración, velocidad y desplazamiento) sean iguales a cero. En las figuras siguientes se muestran los registros utilizados.
aceleración (g)
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
10
20
30 tiempo (seg)
40
50
60
Figura 3.1: Registro de El Centro, componente S00E (1940)
aceleración (g)
1
0.5
0
-0.5
-1
0
10
20
30 40 tiempo (seg)
50
Figura 3.2: Registro de Sylmar, componente N00E (1994)
60
70
17
aceleración (g)
1
0.5
0
-0.5
-1
0
10
20
30
40 50 tiempo (seg)
60
70
80
90
Figura 3.3: Registro de Melipilla, componente N00E (1985)
aceleración (g)
1
0.5
0
-0.5
-1
0
20
40
60 tiempo (seg)
80
100
Figura 3.4: Registro de Llolleo, componente N10E (1985) 3.3
Ductilidad y Disipación de Energía en Altura
El análisis de los edificios permite obtener los dos parámetros relevantes de esta sección, la ductilidad y la energía disipada por histéresis en cada piso. En esta sección se muestran los gráficos correspondientes a la distribución en altura de las ductilidades y la disipación de energía por histéresis de los 29 edificios de corte analizados con cada registro (Figs. 3.5 a 3.44), lo que resulta en un total de 116 sistemas analizados.
120
18
1 2 pisos
3 pisos
4 pisos
5 pisos
6 pisos
7 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
2
4
6
8
10
12
0
2
4
Ductilidad µ
6
8
10
12
Ductilidad µ
Figura 3.5: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
1 2 pisos
3 pisos
4 pisos
5 pisos
6 pisos
7 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
1000
2000
3000
4000
5000
E H (kgf cm)
6000
7000
8000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
E H (kgf cm)
Figura 3.6: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
19
1 8 pisos
9 pisos
10 pisos
11 pisos
12 pisos
13 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
2
4
6
8
10
0
2
4
Ductilidad µ
6
8
10
Ductilidad µ
Figura 3.7: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
1 8 pisos
9 pisos
10 pisos
11 pisos
12 pisos
13 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
200
400
600
800
E H (kgf cm)
1000
1200
1400
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
E H (kgf cm)
Figura 3.8: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
20
1 14 pisos
15 pisos
16 pisos
17 pisos
18 pisos
19 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
20
25
30
0
5
Ductilidad µ
10
15
20
25
30
Ductilidad µ
Figura 3.9: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
1 14 pisos
15 pisos
16 pisos
17 pisos
18 pisos
19 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
200
400
600
E H (kgf cm)
800
1000
0
200
400
600
800
1000
E H (kgf cm)
Figura 3.10: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
21
1 21 pisos
24 pisos
28 pisos
33 pisos
39 pisos
45 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
Ductilidad µ
30
40
50
60
Ductilidad µ
Figura 3.11: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
1 21 pisos
24 pisos
28 pisos
33 pisos
39 pisos
45 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
100
200
300
400
500
E H (kgf cm)
600
700
800
0
100
200
300
400
500
600
700
800
E H (kgf cm)
Figura 3.12: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
22
1 53 pisos
62 pisos
73 pisos
85 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 0
50
100
150
Ductilidad µ
1 100 pisos
0.5
0 0
50
100
150
Ductilidad µ
Figura 3.13: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
1 53 pisos
62 pisos
73 pisos
85 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 0
50
100
150
200
250
E H (kgf cm)
1 100 pisos
0.5
0 0
50
100
150
200
250
E H (kgf cm)
Figura 3.14: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El Centro, componente S00E (1940)
23
1 2 pisos
3 pisos
4 pisos
5 pisos
6 pisos
7 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
0
5
Ductilidad µ
10
15
Ductilidad µ
Figura 3.15: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
1 2 pisos
3 pisos
4 pisos
5 pisos
6 pisos
7 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
1000
2000
3000
4000
5000
E H (kgf cm)
6000
7000
8000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
E H (kgf cm)
Figura 3.16: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
24
1 8 pisos
9 pisos
10 pisos
11 pisos
12 pisos
13 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
20
0
5
Ductilidad µ
10
15
20
Ductilidad µ
Figura 3.17: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
1 8 pisos
9 pisos
10 pisos
11 pisos
12 pisos
13 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
1000
2000
3000
4000
5000
E H (kgf cm)
6000
7000
8000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
E H (kgf cm)
Figura 3.18: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
25
1 14 pisos
15 pisos
16 pisos
17 pisos
18 pisos
19 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
20
25
0
5
Ductilidad µ
10
15
20
25
Ductilidad µ
Figura 3.19: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
1 14 pisos
15 pisos
16 pisos
17 pisos
18 pisos
19 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
1000
2000
3000
4000
E H (kgf cm)
5000
6000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
E H (kgf cm)
Figura 3.20: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
26
1 21 pisos
24 pisos
28 pisos
33 pisos
39 pisos
45 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
Ductilidad µ
15
20
25
30
35
40
Ductilidad µ
Figura 3.21: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
1 21 pisos
24 pisos
28 pisos
33 pisos
39 pisos
45 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
500
1000
1500
2000
2500
E H (kgf cm)
3000
3500
4000
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
E H (kgf cm)
Figura 3.22: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
27
1 53 pisos
62 pisos
73 pisos
85 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 0
50
100
150
Ductilidad µ
1 100 pisos
0.5
0 0
50
100
150
Ductilidad µ
Figura 3.23: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
1 53 pisos
62 pisos
73 pisos
85 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
E H (kgf cm)
1 100 pisos
0.5
0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
E H (kgf cm)
Figura 3.24: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994)
28
1
2 pisos
3 pisos
4 pisos
5 pisos
6 pisos
7 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
0
5
Ductilidad µ
10
15
Ductilidad µ
Figura 3.25: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
1 2 pisos
3 pisos
4 pisos
5 pisos
6 pisos
7 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
1000
2000
3000
E H (kgf cm)
4000
5000
0
1000
2000
3000
4000
5000
E H (kgf cm)
Figura 3.26: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
29
1 8 pisos
9 pisos
10 pisos
11 pisos
12 pisos
13 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
20
25
0
Ductilidad µ
5
10
15
20
25
Ductilidad µ
Figura 3.27: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
1 8 pisos
9 pisos
10 pisos
11 pisos
12 pisos
13 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
500
1000
E H (kgf cm)
1500
0
500
1000
1500
E H (kgf cm)
Figura 3.28: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
30
1 14 pisos
15 pisos
16 pisos
17 pisos
18 pisos
19 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
10
20
30
40
50
0
10
Ductilidad µ
20
30
40
50
Ductilidad µ
Figura 3.29: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
1 14 pisos
15 pisos
16 pisos
17 pisos
18 pisos
19 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
200
400
600
E H (kgf cm)
800
1000
1200
0
200
400
600
800
1000
1200
E H (kgf cm)
Figura 3.30: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
31
1 21 pisos
24 pisos
28 pisos
33 pisos
39 pisos
45 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
Ductilidad µ
15
20
25
30
35
40
Ductilidad µ
Figura 3.31: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
1 21 pisos
24 pisos
28 pisos
33 pisos
39 pisos
45 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
200
400
600
E H (kgf cm)
800
1000
0
200
400
600
800
1000
E H (kgf cm)
Figura 3.32: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
32
1 53 pisos
62 pisos
73 pisos
85 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 0
20
40
60
80
100
Ductilidad µ
1 100 pisos
0.5
0 0
20
40
60
80
100
Ductilidad µ
Figura 3.33: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
1 53 pisos
62 pisos
73 pisos
85 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 0
50
100
150
200
250
300
350
E H (kgf cm)
1 100 pisos
0.5
0 0
50
100
150
200
250
300
350
E H (kgf cm)
Figura 3.34: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)
33
1 2 pisos
3 pisos
4 pisos
5 pisos
6 pisos
7 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
20
0
5
Ductilidad µ
10
15
20
Ductilidad µ
Figura 3.35: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
1 2 pisos
3 pisos
4 pisos
5 pisos
6 pisos
7 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
2000
4000
6000
8000
E H (kgf cm)
10000
12000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
E H (kgf cm)
Figura 3.36: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
34
1 8 pisos
9 pisos
10 pisos
11 pisos
12 pisos
13 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
20
25
0
5
Ductilidad µ
10
15
20
25
Ductilidad µ
Figura 3.37: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
1 8 pisos
9 pisos
10 pisos
11 pisos
12 pisos
13 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
1000
2000
3000
E H (kgf cm)
4000
5000
0
1000
2000
3000
4000
5000
E H (kgf cm)
Figura 3.38: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
35
1 14 pisos
15 pisos
16 pisos
17 pisos
18 pisos
19 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
20
25
30
0
5
10
Ductilidad µ
15
20
25
30
Ductilidad µ
Figura 3.39: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
1 14 pisos
15 pisos
16 pisos
17 pisos
18 pisos
19 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
500
1000
E H (kgf cm)
1500
2000
0
500
1000
1500
2000
E H (kgf cm)
Figura 3.40: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
36
1 21 pisos
24 pisos
28 pisos
33 pisos
39 pisos
45 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
5
10
Ductilidad µ
15
20
25
30
35
40
Ductilidad µ
Figura 3.41: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
1 21 pisos
24 pisos
28 pisos
33 pisos
39 pisos
45 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 1
0.5
0 0
500
1000
E H (kgf cm)
1500
2000
0
500
1000
1500
2000
E H (kgf cm)
Figura 3.42: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
37
1 53 pisos
62 pisos
73 pisos
85 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Ductilidad µ
1 100 pisos
0.5
0 0
10
20
30
40
50
60
70
80
Ductilidad µ
Figura 3.43: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
1 53 pisos
62 pisos
73 pisos
85 pisos
0.5
0
Altura relativa
1
0.5
0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
E H (kgf cm)
1 100 pisos
0.5
0 0
100
200
300
400
500
600
700
800
E H (kgf cm)
Figura 3.44: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985)
38
3.4
Espectros de Energía por Histéresis
Para representar en forma conveniente la energía disipada por histéresis por unidad de masa EH para cada uno de los modelos, se utilizan espectros de energía. Un estudio detallado de los espectros de energía para sistemas de un grado de libertad se encuentra en el estudio realizado por García y Riddell (1995). Los espectros de energía se representan mediante un gráfico logarítmico en el que en las ordenadas se muestra la raíz de la energía disipada por histéresis por unidad de masa, E H . Esta cantidad tiene unidades de velocidad. El objetivo es hacer una comparación cualitativa entre la energía disipada por histéresis de los edificios de corte de varios pisos con los sistemas de un grado de libertad, analizados en el estudio antes mencionado. Por esto en los espectros de energía se incluyen las curvas correspondientes a ductilidades µ=1.5; µ=2; µ=3; µ=5; µ=10. Las Figuras 3.45 a 3.48 muestran los espectros de energía para cada uno de los registros analizados.
200
100
50
Eh1/2 (cm/seg)
20
Edificios (objetivo µ=5)→
10
5
µ=10 µ=5
2
µ=3 µ=2
1
µ=1.5 0.5
0.2 0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
Frecuencia (Hz)
39
Figura 3.45: Espectro de energía por histéresis para El Centro, componente S00E (1940)
200
100
50
Edificios (objetivo µ=5)→
Eh1/2 (cm/seg)
20
10
µ=10 µ=5
5
µ=3 µ=2 2
µ=1.5
1
0.5
0.2 0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
Frecuencia (Hz)
40
Figura 3.46: Espectro de energía por histéresis para Sylmar, componente N00E (1994)
200
100
50
Eh1/2 (cm/seg)
20
Edificios (objetivo µ=5)→
10
µ=10
5
µ=5 µ=3 µ=2
2
µ=1.5 1
0.5
0.2 0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
Frecuencia (Hz)
41
Figura 3.47: Espectro de energía por histéresis para Melipilla, componente N00E (1985)
200
100
50
Edificios (objetivo µ=5)→
Eh1/2 (cm/seg)
20
10
µ=10 µ=5
5
µ=3 µ=2
2
µ=1.5 1
0.5
0.2 0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
Frecuencia (Hz)
42
Figura 3.48: Espectro de energía por histéresis para Llolleo, componente N10E (1985)
43
3.5
Interpretación de Resultados
Los espectros de energía para sistemas de varios grados de libertad (edificios de corte) muestran una tendencia similar a los de un grado de libertad. Esto se aprecia en que la mayor disipación de energía se concentra en la región central de frecuencias, donde los registros tienen mayor potencia en su espectro en frecuencia (Fourier). Para las frecuencias extremas la disipación es menor. En los registros de carácter impulsivo de las Figuras 3.45 y 3.46 (El Centro y Sylmar), la mayor disipación de energía se concentra entre 0.5 y 3 Hz. En estos registros la curva de varios grados de libertad se aproxima bastante al espectro para µ=5, entre las frecuencias 0.3 y 3 Hz. Esto es particularmente notorio en el espectro de Sylmar (Fig. 3.46), registro que consiste en prácticamente un impulso. Para frecuencias fundamentales correspondientes a los edificios entre 5 y 33 pisos (0.3 y 2 Hz), el espectro de Sylmar de edificios y un grado de libertad con µ=5 son prácticamente coincidentes. En este mismo rango de frecuencias también existe un buen ajuste para El Centro. Esto se debe a que en estos edificios la variación de la disipación de energía en altura es aproximadamente lineal. Esto se puede apreciar claramente en los edificios entre 13 y 18 pisos analizados para el registro de Sylmar (Figs. 3.18 y 3.20). Además para estos mismos edificios la ductilidad en altura se mantiene dentro del mismo rango de valores, con excepción del primer piso (Figs. 3.17 y 3.19). Esto implica que el comportamiento de esto edificios esta regido principalmente por el modo fundamental de la estructura. Como la ductilidad de “diseño” fue escogida a partir de la frecuencia fundamental de cada edificio, es de esperar que si estos se comportan de acuerdo a ese modo, la disipación de energía de los sistemas de un grado de libertad esté en directa correspondencia con los edificios de corte. Los registros chilenos (Melipilla y Llolleo) concentran su mayor disipación de energía en frecuencias más altas que los registros americanos. El espectro obtenido para el registro de Melipilla (Fig. 3.47) muestra que la mayor disipación de energía se produce en el rango de frecuencias comprendido entre 2 y 5 Hz, mientras que para el registro de Llolleo (Fig. 3.48) concentra su disipación entre 1 y 5 Hz. En esta misma zona de frecuencias, la aproximación del espectro de
44
edificios con el espectro para µ=5 es adecuada. La zona de buen ajuste corresponde para el registro de Melipilla a los edificios entre 2 y 5 pisos (2 y 5 Hz), mientras que para el registro de Llolleo a los edificios entre 2 y 8 pisos (1.25 y 5 Hz) aproximadamente. Al igual que en el caso de los registros americanos, estos edificios se comportan de acuerdo a su primer modo de vibración, los que se aprecia en la poca variación que tiene la ductilidad en altura (Fig. 3.25 para Melipilla y Fig. 3.35 para Llolleo). En la zona de frecuencias bajas, correspondiente a los sistemas más flexibles de varios pisos, existe en general una mayor disipación en los edificios que en los sistemas de un grado de libertad. Esto se produce ya que en este rango de frecuencias la influencia de los modos altos se hace cada vez más importante a medida que el edificio crece en altura. Esto se ve, p.e., en la distribución de ductilidades de los edificios de gran altura analizados para Llolleo (Figs. 3.39, 3.41 y 3.43). En estos gráficos se aprecia la desproporción existente entre las ductilidades de los pisos superiores e inferiores en comparación con los pisos intermedios. Por esto la disipación de energía no responde a una distribución correspondiente al modo fundamental, y como el “diseño” se realiza de acuerdo a ese modo, la energía disipada para sistemas de un grado de libertad no corresponde a la de estos edificios.
45
IV.
MODELO DE EDIFICIO DE MARCO FLEXURAL
El modelo de edificio de marco flexural es el que representa en forma más precisa el comportamiento de un marco real de columnas y vigas. La modelación consta de elementos con deformación por corte y flexural (la deformación axial de las vigas está restringida por la losa rígida), y con columnas que además se deforman axialmente. 4.1
Sistema Considerado y Ecuación de Movimiento
Para dar cuenta del comportamiento no-lineal de un marco flexural, se optó por una modelación en la cual la plastificación se concentra en rótulas plásticas que se forman en los extremos de los elementos. Este supuesto se basa en el comportamiento de estructuras reales luego de movimientos sísmicos. En ellas se observa que la rótula se producen general en los extremos de las vigas y columnas, donde se concentra la fluencia del acero y la plastificación del hormigón. En el caso de las vigas la plastificación ocurre cuando se supera el momento de fluencia en el extremo del elemento. Este momento queda definido por los materiales y la sección de cada viga. En las columnas de la estructura el efecto de la fuerza axial es considerable, por lo que la rótula plástica debe considerar la interacción entre el momento flector M y la carga axial N. Esto se debe a que un incremento de la carga axial produce una variación en el momento plástico de la sección. Las combinaciones entre carga axial y momento para las cuales se produce la plastificación de la sección se conoce habitualmente como curva de interacción del elemento (superficie de fluencia en el caso tridimensional). Esta superficie queda definida para una sección en base a su geometría y materiales. La Figura 4.1 muestra el modelo típico de marco flexural considerado en este estudio. En este se aprecia que cada piso tiene un solo grado de libertad horizontal, mientras que el resto de los nodos (achurados) del modelo tienen además grados de libertad verticales y rotacionales. Los nodos no-achurados son nodos internos de los elementos, donde se forman las rótulas plásticas.
46
Figura 4.1: Modelo de edificio de marco flexural
La ecuación que gobierna el movimiento del marco flexural bajo la acción de un movimiento sísmico en la base, se expresa como &&(t ) + C ⋅ u& (t ) + LT ⋅ F(v ) = −M ⋅ r ⋅ u && g (t ) M ⋅u
(4.1)
donde M es la matriz de masas; C es la matriz de amortiguamiento; u es el vector de desplazamientos relativos de las masas con respecto al suelo; L es la matriz de transformación cinemática (v = L⋅u); F es el vector de fuerzas de los elementos nolineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; u&& g es la aceleración del suelo, la cual puede tener una componente horizontal y otra vertical; y r es vector de influencia. Los elementos no-lineales utilizados en la modelación corresponden a vigas y columnas.
47
Las vigas consideran deformación por corte y flexural. Los extremos del elemento corresponden a rótulas elastoplásticas, en las que se define su rigidez elástica k y su momento de fluencia My. Por su parte, las columnas consideran deformación axial, flexural y de corte. En sus extremos existen rótulas elastoplásticas, definidas a través de una superficie de interacción (M-N). En la Figura 4.2 se muestra un modelo de curva de interacción. N
Curva de Interacción
M
Figura 4.2: Curva de interacción 4.2
Propiedades del Sistema
Los modelos analizados en este estudio corresponden a marcos de hormigón armado. Para ajustar las propiedades de vigas y columnas, es necesario definir un criterio a través del cual asignar las propiedades de las rótulas en los extremos de los elementos. Para determinar las propiedades de las rótulas plásticas se define un largo de plastificación del elemento, Lp. Este corresponde a la menor de las dimensiones entre el alto y el ancho de la sección del elemento. Con esto se define además L que es la longitud del elemento elástico central, como se muestra en la Figura 4.3.
48
Lp
L
Lp
Figura 4.3: Largo de plastificación de las vigas
Para obtener las propiedades de las columnas, definimos un largo de plastificación del elemento Lp y un largo L del elemento elástico igual al definido para las vigas, como se muestra en la Figura 4.4. Lp
L
Lp
Figura 4.4: Largo de plastificación de las columnas
Para determinar las propiedades de rigidez inicial de las rótulas, se analiza primero el caso de las columnas que es más general. De hecho, la rigidez elástica de las vigas se deduce de la misma forma que la de las columnas, sin considerar los esfuerzos axiales, que están desacoplados de los flexurales.
49
El objetivo es determinar la rigidez elástica de la rótula, definida como se indica en la Figura 4.5, a partir del elemento elástico de largo Lp que se muestra en la Figura 4.6.
θ δ Figura 4.5: Definición de deformaciones de las rótulas de las columnas
δ1
Lp
θ1
θ2
δ2
Figura 4.6: Definición del elemento elástico de largo Lp La matriz de rigidez Kr del elemento de largo Lp resulta 0 0 ⎤ ⎡ δ1 ⎤ ⎡ N1 ⎤ ⎡ A ⋅ E L p − A ⋅ E L p ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ N ⎥ ⎢− A ⋅ E L A E L 0 0 ⋅ p p ⎥ ⋅ ⎢δ 2 ⎥ ⎢ 2⎥=⎢ ⎢ ⎢ M1 ⎥ 0 0 4 ⋅ E ⋅ I L p 2 ⋅ E ⋅ I L p ⎥ ⎢ θ1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 2 ⋅ E ⋅ I Lp 4 ⋅ E ⋅ I Lp ⎥ θ ⎣M 2 ⎦ ⎣⎢144 444444424444444443⎦ ⎣ 2 ⎦
(4.2)
Kr
Como las rigideces axiales y flexurales están desacopladas, podemos escribir la siguiente relación ⎡ N1 ⎤ ⎡ A ⋅ E L p − A ⋅ E L p ⎤ ⎡ δ1 ⎤ ⋅ ⎢ N ⎥ = ⎢− A ⋅ E L A ⋅ E L p ⎥ ⎢δ ⎥ p ⎣ 2 ⎦ ⎣14444 244443⎦ ⎣ 2 ⎦
(4.3)
Kδ
Una de las posibles relaciones cinemáticas entre las deformaciones de la rótula y las deformaciones del elemento elástico (existen infinitas, sin embargo, todas dan el mismo resultado) es
50
⎡ δ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢δ ⎥ = ⎢1⎥ ⋅ δ ⎣ 2 ⎦ ⎣{⎦
(4.4)
ar
Luego, la rigidez axial de la rótula es k δ = a Tr ⋅ K ⋅ a r = A ⋅ E L p
lo cual es coherente con la rígidez axial de un elemento elástico de largo Lp. Para determinar la rigidez flexural de la rótula, no es posible realizar un procedimiento similar al caso anterior. Esto se debe a que no existe una relación cinemática inequívoca entre las deformaciones de la rótula y las del elemento elástico que produzca una rigidez desacoplada entre θ1 y θ2. Es por eso que en este caso se utiliza la deformada en la viga que provoca que no exista esfuerzo de corte. Esta es la correspondiente a θ1 = -1 y θ2 = 1. Con esto, la rigidez flexural de la rótula es k θ = 2 ⋅ E ⋅ I L p . Resumiendo, las propiedades de los elementos rótula son k θ = 2 ⋅ E ⋅ I L p para las vigas y k θ = 2 ⋅ E ⋅ I L p ; k δ = A ⋅ E L p para las columnas. Los momentos de fluencia para las vigas y las curvas de interacción para las columnas se calculan a parir de sus propiedades geométricas y de los materiales utilizados. En el caso de las columnas, la curva de interacción se define por simplicidad a través de un polígono de seis vértices. En la Figura 4.7 se presenta una curva de interacción típica para una sección de hormigón armado. En ella My corresponde al momento de fluencia con P=0; Pb y Mb a los esfuerzos axial y momento para el balance; Pyc es la carga axial de rotura en compresión; y Pyt es la carga axial de fluencia en tracción.
51
P Pyc
Pb
-M b -My
My
Mb
M
Pyt
Figura 4.7: Curva de interacción típica de una sección de hormigón armado
Para utilizar la curva de interacción en el modelo de marco flexural, es necesario tener en cuenta dos aspectos. Primero, la curva de interacción mostrada en la Figura 4.7 considera la carga de compresión P como positiva en compresión, mientras que en el modelo de la rótula la carga positiva corresponde tracción (Sección 5.3). Por esto es necesario invertir los signos de la carga axial en la curva, como se indica en la Figura 4.8. Cuando la estructura se encuentra en reposo, las columnas soportan una carga de compresión estática. Esta es la carga inicial con la que la estructura inicia su movimiento durante un terremoto. Para considerar la carga axial de compresión inicial en las columnas, que afecta directamente al momento flector en que la columna se plastifica, se optó por realizar una translación vertical de la curva. La magnitud de esta translación corresponde a la carga inicial N0. Este procedimiento se ilustra esquemáticamente en la Figura 4.8.
52
N Curva de Interacción para ser utilizada en el Modelo de Marco Flexural
Translación Vertical N0
M
Curva de Interacción con N= -P
Figura 4.8: Procedimiento para obtener la curva de interacción de una sección de hormigón armado para ser utilizada en el modelo de marco flexural
53
V.
ELEMENTOS NO-LINEALES Y MÉTODO DE INTEGRACIÓN
En esta investigación se implementaron tres elementos no-lineales. El elemento elastoplástico se utiliza para modelar las columnas en los edificios de corte. Para la modelación de los marcos flexurales se crearon dos macro-elementos, uno utilizado para modelar las vigas y el otro para las columnas. La implementación computacional se realiza en MATLAB, utilizando algunas rutinas y la estructura organizacional del toolbox de análisis estructural MECANO. 5.1
Elemento Elastoplástico
El primer elemento utilizado en este estudio es el correspondiente al unidimensional elástoplastico. La deformación δ y la fuerza F del elemento pueden corresponder a una geometría axial (N-u), geometría de corte (V-v), a una geometría asociada a momento y giro (M-θ), así como a cualquier relación geométrica de una dimensión. 5.1.1
Modelación del elemento El elemento elastoplástico puede ser modelado de la siguiente manera:
δ Figura 5.1: Definición del elemento elastoplástico
La constitutiva elastoplástica queda definida por una rigidez elástica k y una fuerza de fluencia Fy. Al inicio de la carga el sistema es lineal elástico con rigidez k, mientras no se exceda la fuerza de fluencia Fy. La deformación para la cual la fluencia comienza es δy. Cuando el elemento alcanza Fy fluye, manteniéndose la fuerza constante mientras la deformación avance en la misma dirección. En esta etapa la rigidez tangente es cero.
54
La Figura 5.2 muestra un ciclo típico de carga, descarga y nueva carga para un elemento elastoplástico. Las cargas y descargas se producen siempre con la misma rigidez elástica k. Además la deformación de fluencia Fy es simétrica, es decir para las dos direcciones de deformación, el elemento fluye con la misma fuerza. F(δ) Fy
k 1 δy k
δ k
1
1
-Fy
Figura 5.2: Relación fuerza-deformación elastoplástica 5.1.2
Implementación
Se considera que la integración se encuentra en un instante k, en el cual se conoce el estado del elemento, es decir su deformación δk y su fuerza Fk. Interesa conocer el estado del elemento en el instante siguiente k+1, en el que se conoce (a través de un predictor) la deformación δk+1 del elemento. En ese instante se quiere determinar su fuerza Fk+1. El algoritmo utilizado para calcular la fuerza es el siguiente: Etapa i): Se evalúa la fuerza tentativa en el instante k+1 tal que Fˆk +1 = Fk + k⋅(δk+1 - δk). Etapa ii): si Fˆk +1 > Fy, entonces Fk+1 = Fy si Fˆk +1 < -Fy, entonces Fk+1 = -Fy
55
si -Fy ≤ Fˆk +1 ≤ Fy entonces Fk+1 = Fk + k⋅(δk+1 - δk). 5.1.3
Ejemplo
A continuación se muestra un ejemplo de un elemento elastoplástico con rigidez elástica k=1 y fuerza de fluencia Fy=1. Para eso se le impone una historia de deformaciones, y se evalúan las fuerzas del elemento. Los resultados se presentan en las figuras siguientes. 3
Deformación (δ)
2 1 0 -1 -2 -3 0
100
200
300
400
500 Instante k
600
700
800
900
1000
Figura 5.3: Historia de deformaciones del elemento elastoplástico
1
Fuerza (F)
0.5
0
-0.5 -1 0
100
200
300
400
500 Instante k
600
700
800
900
Figura 5.4: Historia de fuerzas del elemento elastoplástico
1000
56
1 0.8 0.6 0.4
Fuerza (F)
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
-3
-2
-1
0 Deformación (δ)
1
2
3
Figura 5.5: Curva fuerza-deformación elemento elastoplástico 5.2
Elemento Viga con Plastificación en los Extremos
El macro-elemento viga creado debe dar cuanta del efecto de plastificación en los extremos de las vigas, en los que se produce una relación elastoplástica. 5.2.1
Modelación del elemento
El macro-elemento viga consta de tres elementos ensamblados en serie. El elemento central es una viga flexural, con propiedades elásticas. En los extremos se conectan rótulas (i y j) en las que su relación giro y momento (M-θ) es elastoplástica. La modelación considera la siguiente distribución de grados de libertad (GDLs):
57
v1
v3
i v2
j v5
v6
v4
Figura 5.6: Definición del macro-elemento viga
Los primeros cuatro GDLs corresponden a las deformaciones conocidas e impuestas sobre el elemento, y en los cuales se aplican las fuerzas externas. Estos cuatro GDLs serán llamados GDLs externos. Las deformaciones de los dos GDLs restantes, 5 y 6, son desconocidas y son calculadas a partir de la condensación estática realizada. A estos se les llama GDLs internos. Las propiedades del elemento central elástico son un largo L, momento de inercia I, módulo de elasticidad E, un módulo de corte G y un área de corte As. La matriz de rigidez elástica del elemento (sin considerar las rigideces de los elementos no-lineales) es ⎡ 12 ⋅ E ⋅ I ⎢ L3 ⋅ (1 + Φ ) ⎢ 0 ⎢ ⎢− 12 ⋅ E ⋅ I ⎢ L3 ⋅ (1 + Φ ) K el = ⎢ 0 ⎢ 6⋅E⋅I ⎢ 2 ⎢ L ⋅ (1 + Φ ) ⎢ 6⋅E⋅I ⎢ 2 ⎣ L ⋅ (1 + Φ )
con
Φ=
12 ⋅ E ⋅ I G ⋅ A s ⋅ L2
12 ⋅ E ⋅ I L3 ⋅ (1 + Φ ) 0 12 ⋅ E ⋅ I L3 ⋅ (1 + Φ ) 0 6⋅E⋅I − 2 L ⋅ (1 + Φ ) 6⋅E⋅I − 2 L ⋅ (1 + Φ )
0 −
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
6⋅E⋅I ⎤ 6⋅E⋅I 2 L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ 6⋅E⋅I 6⋅E⋅I ⎥ − 2 − 2 L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) ⎥ ⎥ (5.1) 0 0 (4 + Φ ) ⋅ E ⋅ I (2 − Φ ) ⋅ E ⋅ I ⎥⎥ L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) ⎥ (2 − Φ ) ⋅ E ⋅ I (4 + Φ ) ⋅ E ⋅ I ⎥ ⎥ L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) ⎦ 2
(5.2)
Los nodos i y j corresponden a rótulas elástoplásticas con un grado de libertad rotacional θ y rigidez en rango elástico k. La deformación de la rótula se define en sentido positivo, como se indica en la Figura 5.7.
58
θ
Figura 5.7: Deformación de la rótula
La matriz de transformación cinemática L entre los GDLs del macroelemento y las rótulas no-lineales es: ⎡ v1 ⎤ ⎢v ⎥ ⎢ 2⎥ ⎡ θ i ⎤ ⎡0 − 1 0 0 1 0 ⎤ ⎢ v 3 ⎥ ⋅⎢ ⎥ ⎢θ ⎥ = ⎢ 0 0 1 0 − 1⎥⎦ ⎢ v 4 ⎥ ⎣0 44 ⎣ j⎦ 1 4424444 3 ⎢v 5 ⎥ L ⎢ ⎥ ⎣⎢ v 6 ⎦⎥
(5.3)
Cuando el macro-elemento se encuentra en rango elástico, es decir las rótulas plásticas no fluyen, podemos utilizar la matriz de rigidez elástica completa del elemento. Esta se obtiene ensamblando la rigidez de las rótulas ki y kj, de la siguiente forma: ⎡k i K eltot = K el + LT ⋅ ⎢ ⎣0
0⎤ ⋅L k j ⎥⎦
(5.4)
Cuando alguna de las dos rótulas entra en fluencia, se obtiene la matriz de rigidez tangente del macro-elemento. El ensamblaje se realiza de igual forma, utilizando las rigideces tangentes de las rótulas cero cuando plastifica y k cuando se encuentra en rango elástico, i.e. ⎡k itan T K tan = K + L ⋅ ⎢ tot el ⎢⎣ 0
0 ⎤ ⎥ ⋅L k tan j ⎥ ⎦
(5.5)
La relación cinemática para obtener los GLDs internos en función de los externos y de las deformaciones de las rótulas es
59
⎡ v1 ⎤ ⎢v ⎥ ⎢ 2⎥ ⎡ v 5 ⎤ ⎡0 1 0 0 1 0 ⎤ ⎢ v 3 ⎥ ⎢ v ⎥ = ⎢0 0 0 1 0 − 1⎥ ⋅ ⎢ v ⎥ ⎦ ⎢ 4⎥ ⎣ 6⎦ ⎣ ⎢ θi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ θ j ⎥⎦
(5.6)
Es posible obtener la matriz de rigidez condensada a los GDLs externos del macro-elemento de la matriz de rigidez K eltot o K tan tot , ya que las fuerzas externas aplicadas sobre los GDLs internos son nulas. Para esto particionamos la matriz de rigidez entre los GDLs externos (e) e internos (i) como sigue ⎡K K = ⎢ ee ⎣ K ie
K ei ⎤ K ii ⎥⎦
(5.7)
La matriz de rigidez condensada Kc se obtiene realizando la operación K c = K ee − K ei ⋅ K ii−1 ⋅ K ie
(5.8)
El comportamiento de las rótulas es elastoplástico perfecto y fue explicado en la Sección 5.1. En este caso la relación geométrica corresponde a giro y momento θ-M, y se define un momento de fluencia My, como se muestra en la Figura 5.8. M(θ) My
k 1 θy k
θ k
1
1
-M y
Figura 5.8: Relación fuerza-deformación de la rótula en vigas
60
5.2.2
Implementación
Se considera que la respuesta del sistema se conoce en un instante k, y por ende el estado del elemento (esfuerzos y deformaciones de los GDLs externos y de las rótulas). Interesa conocer el estado del elemento en el instante siguiente k+1 para el cual se conoce (a través de un predictor) sólo las deformaciones externas (GDLs 1 al 4). Es decir en el instante k se conocen las deformaciones externas T T v (k ) = v1(k ) v (2k ) v 3(k ) v (4k ) , los esfuerzos conjugados F(k ) = f1(k ) f 2(k ) f 3(k ) f 4(k ) , las deformaciones de las rótulas θi(k ) y θ(jk ) , y los esfuerzos de las rótulas M i(k ) y
[
]
[
]
M (jk ) . Para el instante k+1 se conoce (a través de un predictor) la deformación
[
v (k +1) = v1(k +1)
v (2k +1)
v 3(k +1)
]
v (4k +1) . T
El algoritmo utilizado para calcular F(k+1), θ i(k +1) , θ(jk +1) , M i(k +1) y M (jk +1) considera los siguientes pasos: Etapa i): Se condensa la matriz de rigidez elástica K eltot , resultando Kc. Etapa ii): Se evalúa los predictores de los esfuerzos del macro-elemento en k+1 tal que Fˆ(k +1) = F(k ) + K c ⋅ (v (k +1) − v (k ) ) . Etapa iii): Se obtiene de la condensación el incremento de las deformaciones internas, tal que ⎡ v 5(k +1) − v 5(k ) ⎤ ( k +1) −1 − v (k ) . ⎢ (k +1) (k ) ⎥ = −K ii ⋅ K ie ⋅ v v v − 6 ⎦ ⎣ 6
(
)
Etapa iv): Se evalúan los predictores de los momentos en las rótulas a través de la matriz de transformación cinemática, de modo que
61
⎡fˆ1(k +1) ⎤ ⎢ ˆ (k +1) ⎥ ⎢f 2 ⎥ ˆ (k +1) ⎤ ⎢fˆ (k +1) ⎥ ⎡M i ⎢ ˆ (k +1) ⎥ = L ⋅ ⎢ ˆ3(k +1) ⎥ . ⎢f 4 ⎥ ⎢⎣M j ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
Etapa v): Se verifica que los esfuerzos de las rótulas no superen los momentos de fluencia Myi y Myj. Si no se superan,
F(k +1) = Fˆ(k +1) ;
ˆ (k +1) ⎤ ⎡M i(k +1) ⎤ ⎡M i = ⎢ (k +1) ⎥ ⎢ ˆ (k +1) ⎥ ; M ⎢⎣ j ⎥⎦ ⎢⎣M j ⎥⎦
⎡ v1(k +1) ⎤ ⎢ (k +1) ⎥ ⎢v 2 ⎥ ( k +1) ⎢ v (k +1) ⎥ ⎡θ i ⎤ = ⋅ L ⎢ 3(k +1) ⎥ . ⎢ (k +1) ⎥ θ ⎢v 4 ⎥ ⎢⎣ j ⎥⎦ ⎢ v (k +1) ⎥ ⎢ 5(k +1) ⎥ ⎢⎣ v 6 ⎥⎦
Etapa vi): Si en alguna de las rótulas se supera My, i.e., M i(k +1) > M yi o M (jk +1) > M yj , realizamos lo siguiente: - por interpolación, se obtiene Fint(k ) , vector de fuerzas que se encuentra entre F (k ) y Fˆ (k +1) , y que produce que se inicie la fluencia en alguna de las rótulas, i.e, k +1) M i(,int = M yi con M (jk,int+1) ≤ M yj o k +1) M (jk,int+1) = M yj con M i(,int ≤ M yi
(
El factor para interpolar es rint, de modo que Fint(k ) = F (k ) + rint ⋅ Fˆ (k +1) − F (k ) (k ) - con rint se obtiene v int tal que
(
(k ) v int = v (k ) + rint ⋅ v (k +1) − v (k )
)
)
- se calcula la nueva matriz Kc incluyendo la rigidez tangente cero de la o las rótulas que fluyeron (Ec. (5.5)) (k ) - se vuelve a la Etapa ii) de la implementación, con v (k ) = v int , F (k ) = Fint(k ) y la nueva matriz de rigidez condensada Kc.
62
5.2.3
Validación del modelo
Se puede hacer una validación del modelo verificando condiciones de equilibrio y compatibilidad de las deformaciones. En el caso del macro-elemento viga, se deben satisfacer tres condiciones: i) ii)
debe cumplirse el equilibrio del macro-elemento los esfuerzos de las rótulas no deben superar los momentos de fluencia
iii)
los esfuerzos del elemento elástico interno deben ser iguales a los externos
Para calcular los esfuerzos del elemento interno (viga), se utiliza su matriz de rigidez elástica de cuatro GDLs, y sus deformaciones calculadas en función de las deformaciones externas y de las rótulas. El elemento elástico interno corresponde a: v1vig ≡ v1
i v2vig ≡ v5
v3vig ≡ v3
j
v4vig ≡ v6
Figura 5.9: Definición del elemento elástico interno de la viga
Su matriz de rigidez es:
K elvig
6⋅E⋅I 12 ⋅ E ⋅ I 6⋅E⋅I ⎤ ⎡ 12 ⋅ E ⋅ I − 3 2 2 ⎢ L3 ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) ⎥ ⎢ (4 + Φ ) ⋅ E ⋅ I − 6 ⋅ E ⋅ I (2 − Φ ) ⋅ E ⋅ I ⎥⎥ ⎢ 6⋅E⋅I ⎢ L2 ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) ⎥ L2 ⋅ (1 + Φ ) =⎢ 12 ⋅ E ⋅ I 6⋅E⋅I 12 ⋅ E ⋅ I 6⋅E⋅I ⎥ − 2 − 2 ⎢− 3 ⎥ 3 L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) ⎥ ⎢ L ⋅ (1 + Φ ) (2 − Φ ) ⋅ E ⋅ I − 6 ⋅ E ⋅ I (4 + Φ ) ⋅ E ⋅ I ⎥ ⎢ 6⋅E⋅I ⎢ L2 ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) ⎥⎦ L2 ⋅ (1 + Φ ) ⎣
con Φ definido en la Ecuación (5.2).
(5.9)
63
Las deformaciones del elemento interno se calculan en función de las externas y la de las rótulas:
⎡ v1vig ⎤ ⎢ vig ⎥ ⎢v 2 ⎥ ⎢ v vig ⎥ ⎢ 3vig ⎥ ⎢⎣ v 4 ⎥⎦
⎡1 ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
⎡ v1 ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎤ ⎢ v 2 ⎥ ⎡ v1 ⎤ ⎢ ⎥ 0 ⎥⎥ ⎢ v 3 ⎥ ⎢ v 2 + θi ⎥ = ⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢v 4 ⎥ ⎢ v3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ − 1⎦ ⎢ θi ⎥ ⎣⎢ v 4 − θ j ⎦⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ θ j ⎥⎦
(5.10)
Luego, F vig = K elvig ⋅ v vig , y se debe cumplir en todo instante que ⎡f1vig ⎤ ⎡ f1 ⎤ ⎢ vig ⎥ ⎢ ⎥ ⎢f 2 ⎥ = ⎢f 2 ⎥ ⎢f vig ⎥ ⎢ f 3 ⎥ ⎢ 3vig ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣f 4 ⎥⎦ ⎣f 4 ⎦
5.2.4
(5.11)
Ejemplo
A continuación se presenta un ejemplo de validación del macro-elemento viga. Las propiedades del elemento son E=1, I=1, L=1, ki=1, Myi=1, kj=2, Myj=1.5 . En este caso se impone una historia de deformaciones (Fig. 5.10), y se evalúan las fuerzas del elemento. Los resultados se presentan en las figuras siguientes.
64
10
v1
5 0 -5
v2
2
0
-2 10
v3
0
-10
v4
2
0
-2
0
100
200
300
400
500 Instante k
600
700
800
900
1000
Figura 5.10: Historia de deformaciones del macro-elemento viga
65
f1
5
0
-5
f2
2
0
-2
f3
5
0
-5
f4
2
0
-2
0
100
200
300
400
500 Instante k
600
700
800
900
1000
2
2
1
1
0
0
Mj
Mi
Figura 5.11: Historia de fuerzas del macro-elemento viga
-1
-2 -4
-1
-2
0
θ
2
4
-2 -2
0
2
4
θ
Figura 5.12: Curvas de momento-rotación para las rótulas elastoplásticas
66
5.3
Elemento Columna con Plastificación en los Extremos Definida a través de una Curva de Interacción
Para modelar en forma inelástica las columnas, es necesario crear un elemento que de cuenta del estado límite de plastificación. En este caso el elemento fluye cuando se sobrepasan las combinaciones de carga máxima (Nmax, Mmax) que resiste el elemento, definidas por su curva de interacción. Para dar cuenta de este comportamiento, se creó un macro-elemento en el que la plastificación del elemento se concentra en las rótulas de los extremos. 5.3.1
Modelación del elemento
El macro-elemento columna consta de tres elementos ensamblados en serie. El elemento central es una columna axial-flexural, con propiedades elásticas. En los extremos se conectan rótulas elatoplásticas (i y j) con deformaciones axial y rotacional. La modelación considera la siguiente definición de GDLs v2
v5 v7
v1
v9
v4
i v3
j v8
v10
v6
Figura 5.13: Definición del macro-elemento columna
Los primeros seis GDLs corresponden a las deformaciones conocidas e impuestas sobre el elemento, y en los cuales se aplican las fuerzas externas. Estos seis GDLs serán llamados GDLs externos. Las deformaciones de los cuatro GDLs restantes, 7 al 10, son desconocidas y son calculadas a partir de la condensación. A estos se les llama GDLs internos. Las propiedades del elemento central son un largo L, área A, momento de inercia I y módulo de elasticidad E, un módulo de corte G y un área de corte As. La matriz de rigidez elástica del elemento (sin considerar las rigideces de los elementos no-lineales) es:
67
0 ⎡0 12 ⋅ E ⋅ I ⎢ ⎢0 L3 ⋅ (1 + Φ ) ⎢ 0 ⎢0 ⎢0 0 ⎢ 12 ⋅ E ⋅ I ⎢0 − 3 L ⋅ (1 + Φ ) ⎢ K el = ⎢0 0 ⎢ 0 ⎢0 6⋅E⋅I ⎢0 ⎢ L2 ⋅ (1 + Φ ) ⎢0 0 ⎢ 6⋅E⋅I ⎢0 ⎢⎣ L2 ⋅ (1 + Φ )
0 0
0
0 0 12 ⋅ E ⋅ I 0 0 − 3 0 L ⋅ (1 + Φ ) 0 0 0 0
0
0 0
0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 12 ⋅ E ⋅ I L3 ⋅ (1 + Φ ) 0 0 6⋅E⋅I − 2 L ⋅ (1 + Φ ) 0 6⋅E⋅I − 2 L ⋅ (1 + Φ )
0 0 0 0 0 0 0
0
0 6⋅E⋅I L2 ⋅ (1 + Φ ) 0
0 6⋅E⋅I 0 − 2 L ⋅ (1 + Φ ) 0 0 A⋅E L 0 (4 + Φ ) ⋅ E ⋅ I 0 L ⋅ (1 + Φ ) −A⋅E L 0 ( 2 − Φ) ⋅ E ⋅ I 0 L ⋅ (1 + Φ )
⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 0 0 6⋅E⋅I ⎥ − 2 0 ⎥ L ⋅ (1 + Φ ) ⎥ 0 0 ⎥ ⎥ −A⋅E L 0 ⎥ (2 − Φ ) ⋅ E ⋅ I ⎥ 0 L ⋅ (1 + Φ ) ⎥ ⎥ A⋅E L 0 ⎥ ( 4 + Φ)⋅ E ⋅ I ⎥ 0 L ⋅ (1 + Φ ) ⎥⎦ 0
0 6⋅E⋅I L2 ⋅ (1 + Φ ) 0
(5.12)
con Φ definido en la Ecuación (5.2). Los nodos i y j corresponden a rótulas elástoplásticas con dos grados de libertad, θ y δ (Fig. 5.14). El comportamiento de la rótula está regido por su superficie de interacción, la cual puede ser definida por un polígono arbitrario con el número de vértices que se desee. Esta rótula consta además de una llave de corte, es decir transmite todo el corte entre los dos nodos de ella.
θ δ Figura 5.14: Definición de la rótula de las columnas
En el rango elástico las rigideces axiales y flexurales de la rótula están desacopladas. La matriz de rigidez elástica de la rótula, antes de que exista fluencia es ⎡k k elrot = ⎢ θ ⎣0
0⎤ k δ ⎥⎦
(5.13)
La Matriz de transformación cinemática L entre los GDLs del macroelemento y las rótulas no-lineales es
68
⎡ v1 ⎤ ⎢v ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ v3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎡θ i ⎤ ⎡ 0 0 − 1 0 0 0 0 1 0 0 ⎤ ⎢ v 4 ⎥ ⎢δ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ i ⎥ = ⎢− 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎥ ⋅ ⎢ v 5 ⎥ ⎢θ j ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 1 0 0 0 − 1⎥ ⎢ v 6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 ⎦ ⎢ v7 ⎥ ⎣⎢δ j ⎦⎥ ⎣1044 44444244444443 ⎢ ⎥ L ⎢ v8 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ v9 ⎥ ⎢⎣ v10 ⎥⎦
(5.14)
Cuando el macro-elemento se encuentra en rango elástico, es decir las rótulas plásticas no fluyen, podemos utilizar la matriz de rigidez elástica completa del elemento. Esta se obtiene adicionando por ensamblaje las rigideces elásticas de las rótulas al macro-elemento el ⎡k rot i
K eltot = K el + LT ⋅ ⎢ ⎢⎣ 0
⎡ k θi ⎢0 0 ⎤ T ⎢ el ⎥ ⋅ L = K el + L ⋅ ⎢ 0 k rot j ⎥ ⎦ ⎢ 0 ⎣⎢
0
0
k δi
0
0
kθj
0
0
0 ⎤ 0 ⎥⎥ ⋅L 0 ⎥ ⎥ kδj ⎥ ⎦
(5.15)
En el caso de que alguna de las dos rótulas entre en fluencia, podemos obtener su matriz de rigidez tangente elastoplástica y ensamblarla de igual forma para obtener la matriz de rigidez total. Si sólo una de las rótulas entra en rango elástico, en la otra se utiliza la matriz de rigidez elástica K ep tot
ep ⎡k rot i = K el + L ⋅ ⎢ ⎢⎣ 0 T
0 ⎤ ep ⎥ ⋅ L k rot ⎥ j ⎦
(5.16)
La relación para obtener los GLDs internos en función de los externos y de los giros de las rótulas es
69
⎡ v 7 ⎤ ⎡1 ⎢ v ⎥ ⎢0 ⎢ 8⎥=⎢ ⎢ v 9 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ v10 ⎦ ⎣0
0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
⎡ v1 ⎤ ⎢v ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢v3 ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎤ ⎢v 4 ⎥ 0 0 ⎥⎥ ⎢ v 5 ⎥ ⋅⎢ ⎥ 0 − 1⎥ ⎢ v 6 ⎥ ⎥ − 1 0 ⎦ ⎢ θi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ δi ⎥ ⎢ ⎥ ⎢θ j ⎥ ⎢δ j ⎥ ⎣ ⎦
(5.17)
Podemos obtener la matriz de rigidez condensada a los GDLs externos del macro-elemento de la matriz de rigidez K eltot o K ep tot , ya que sabemos que las fuerzas externas aplicadas a los GDLs internos son nulas. Para ello particionamos la matriz de rigidez entre los GDLs externos (e) e internos (i) ⎡K K = ⎢ ee ⎣ K ie
K ei ⎤ K ii ⎥⎦
(5.18)
La matriz de rigidez condensada Kc se obtiene realizando la siguiente operación K c = K ee − K ei ⋅ K ii−1 ⋅ K ie
5.3.2
(5.19)
Descripción de la rótula pástica con interacción N-M
Las rótulas presentes en los extremos del macro-elemento columna fluyen cuando sus esfuerzos (la pareja N-M) alcanza la curva de interacción definida para la rótula. Se considera que la integración se encuentra en un instante k, para el cual ⎡θ ⎤
⎡M ⎤
se conoce el vector de deformaciones v k = ⎢ k ⎥ y de fuerzas Fk = ⎢ k ⎥ . Interesa ⎣δ k ⎦ ⎣ Nk ⎦ conocer el vector de fuerzas en el instante k+1, conociendo un predictor de su ⎡k
0⎤
deformación vk+1. Mientras el vector Fk +1 = Fk + ⎢ θ ⋅ (v k +1 − v k ) se mantenga 0 k δ ⎥⎦ ⎣14 24 3 k el rot
70
dentro de la curva de interacción, toda la deformación del elemento es lineal elástica, como se muestra en la Figura 5.15. N k elrot ⋅ (v k +1 − v k )
Curva de Interacción
Fk Fk+1
M
Figura 5.15: Deformación elástica de la rótula con interacción Si Fk+1 calculada en forma elástica cae fuera de la curva de interacción, la deformación del elemento contiene una componente elástica y otra plástica. En este caso se hace necesario recalcular Fk+1 para asegurar que se mantenga sobre la curva. La expresión para obtener esta fuerza es Fk +1 = Fk + k elrot ⋅ (r0 ⋅ v k +1 − v k ) +
Nb
∑ k ⋅ (r ep rot
m
⋅ v k +1 − rm −1 ⋅ v k +1 )
(5.20)
m =1
donde Nb es el número de ramas visitadas por la rótula entre k y k+1; rm representa los factores de evento cuando se pasa de una rama de la curva de interacción a otra rama.
71
N Nb
∑ k ⋅ (r ep rot
m
⋅ v k +1 − rm−1 ⋅ v k +1 )
m =1
Fk+1
M
Fk
k elrot ⋅ (r0 ⋅ v k +1 − v k )
Figura 5.16: Deformación elástica y plástica de la rótula con interacción
La matriz de rigidez elastoplástica resulta k elrot ⋅ (∂Φ ∂F )m ⋅ (∂Φ ∂F )m ⋅ k elrot T
el k ep rot = k rot −
(∂Φ ∂F )Tm ⋅ k elrot ⋅ (∂Φ ∂F )m
(5.21)
donde Φ es la forma funcional de la curva de interacción; y (∂Φ ∂F )m representa el gradiente de la rama m de la curva. Cuando se llega a un vértice, se evalúa el incremento de la fuerza ∆Fˆ k +1 con la matriz de rigidez tangente en uso (esta puede ser plástica o elástica). Si ∆Fˆ k +1 se encuentra entre los dos gradientes de las ramas contiguas al vértice, como se muestra en la Figura 5.17, k ep rot = 0 . Esto significa que las fuerzas de la rótula (Fk+1) permanecen en el vértice para el incremento de deformación.
72
∆Fˆ k +1
(∂Φ ∂F )2 segmento 2
(∂Φ ∂F )1
segmento 1
Figura 5.17: Vértice en la curva de interacción 5.3.3
Implementación
Se asume que se conoce la respuesta para un instante k, en el cual se conoce el estado del elemento (esfuerzos y deformaciones de los GDLs externos y de las rótulas). Interesa conocer el estado del elemento en el instante siguiente k+1 para el cual se conocen sólo sus deformaciones externas (GDLs 1 al 6). Es decir en el instante k se conocen las deformaciones externas (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) (k ) T v k = v1 v2 v3 v4 v5 v6 ; los esfuerzos conjugados
[ = [f ( )
]
] ; las deformaciones de las rótulas [θ( ) δ( ) ] y [θ( ) δ( ) ] ; y sus esfuerzos conjugados [M ( ) N ( ) ] y [M ( ) N ( ) ] . A través de un predictor, se asume que se conoce v = [v ( ) v ( ) v ( ) v ( ) v ( ) v ( ) ] . Fk
k
1
f 2(k ) f 3(k ) f 4(k ) f 5(k )
T f 6(k )
k T j
k j
[M ( i
k T
k
i
k +1
k T
k
i
k +1 1
k j
i
k +1 2
k +1 3
[
i
k T j
k +1 4
k +1 5
] [
k +1 T 6
]
El algoritmo utilizado para calcular F(k+1), θi(k +1) δi(k +1) , θ(jk +1) δ (jk +1) , k +1)
] [
N i(k +1) , M (jk +1) T
N (jk +1)
]
T
T
tiene los siguientes pasos:
Etapa i): Se condensa la matriz de rigidez elástica del elemento K eltot , resultando Kc.
T
73
Etapa ii): Se evalúan los predictores de los esfuerzos del macro-elemento en k+1 tal que Fˆ(k +1) = F(k ) + K c ⋅ (v (k +1) − v (k ) ) . Etapa iii): Se obtienen a partir de la condensación el incremento de las deformaciones internas, ⎡ v (7k +1) − v (7k ) ⎤ ⎢ (k +1) ⎥ v8 − v8(k ) ⎥ ⎢ tal que (k +1) (k ) = −K ii−1 ⋅ K ie ⋅ v (k +1) − v (k ) . ⎢v − v9 ⎥ ⎢ 9(k +1) (k ) ⎥ ⎢⎣ v10 − v10 ⎥⎦
(
)
Etapa iv): Se evalúan los predictores de los esfuerzos en las rótulas a través de la matriz de transformación cinemática ⎡fˆ1(k +1) ⎤ ⎢ ˆ (k +1) ⎥ ⎢f 2 ⎥ ⎢fˆ (k +1) ⎥ ⎢ 3(k +1) ⎥ ˆ (k +1) ⎤ ⎡M ⎢fˆ4 ⎥ i ⎢ ˆ (k +1) ⎥ ⎢ ˆ (k +1) ⎥ ⎢ Ni ⎥ ⎢f 5 ⎥ . L = ⋅ ⎢M ˆ (k +1) ⎥ ⎢fˆ6(k +1) ⎥ ⎢ j ⎥ ⎥ ⎢ ˆ (k +1) ⎥ ⎢⎣ N j ⎢ 0 ⎥ ⎦ ⎢ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎦ ⎣
Etapa v): Se verifica que los esfuerzos de las rótulas no salgan fuera de la curva de interacción definida para cada rótula. Si estos se encuentran dentro de la curva,
74
F(k +1) = Fˆ(k +1) ;
ˆ (k +1) ⎤ ⎡M i(k +1) ⎤ ⎡M i ⎢ (k +1) ⎥ ⎢ ˆ (k +1) ⎥ ⎢ Ni ⎥ = ⎢ Ni ⎥ ; ˆ (k +1) ⎥ ⎢M (k +1) ⎥ ⎢M j j ⎢ ⎥ ⎢ (k +1) ⎥ k +1) ( ˆ ⎢⎣ N j ⎥⎦ ⎢⎣ N j ⎥⎦
⎡ v1(k +1) ⎤ ⎢ (k +1) ⎥ ⎢v 2 ⎥ ⎢ v 3(k +1) ⎥ ⎢ (k +1) ⎥ ⎡θi(k +1) ⎤ ⎢v 4 ⎥ ⎢ (k +1) ⎥ ⎢ (k +1) ⎥ ⎢δ i ⎥ = L ⋅ ⎢ v 5 ⎥ k 1 ( ) + ⎢θ ⎥ ⎢ v 6(k +1) ⎥ ⎢ (jk +1) ⎥ ⎢ (k +1) ⎥ ⎢⎣δ j ⎥⎦ ⎢v7 ⎥ ⎢ v8(k +1) ⎥ ⎢ (k +1) ⎥ ⎢v9 ⎥ ⎢ v (k +1) ⎥ ⎣ 10 ⎦
Etapa vi): Si una o las dos rótulas alcanzan la curva de interacción, o alcanza un nuevo vértice de ella en caso de que estuviese sobre la curva, se procede como sigue: - por interpolación, se obtiene Fint(k ) , vector de fuerzas que se encuentra entre F (k ) y Fˆ (k +1) , y que produce que se alcance una nueva rama de la curva de interacción en
alguna de las rótulas, i.e., la fuerza para la cual cambia la rigidez tangente en alguna ep de las rótulas k rot . El factor para interpolar es rint, de modo que
(
(k ) Fint = F (k ) + rint ⋅ Fˆ (k +1) − F (k ) (k )
)
- con rint se obtiene v int tal que
(
(k ) v int = v (k ) + rint ⋅ v (k +1) − v (k )
)
Etapa vii): Se calcula el determinante de Kii. Si este es diferente de cero: - se calcula la nueva matriz Kc incluyendo la rigidez elastoplástica tangente k ep rot determinadas en la Etapa vi) (Ec. (5.16)) (k ) - volvemos a la etapa ii) de la implementación, con v (k ) = v int , F (k ) = Fint(k ) y la nueva matriz de rigidez condensada Kc. Si el determinante de Kii es igual a cero, se pasa a la Etapa viii) Etapa viii): Cuando el determinante de Kii es igual a cero, la matriz es singular. Esto significa que la rigidez axial en las dos rótulas es igual a cero. En este caso el incremento de
75
deformaciones axiales en los GDLs internos es cero, por lo que todo este incremento de la deformación axial de las rótulas se asocia a los GDLs 1 y 4 (Fig. 5.13). Cuando esto sucede (det(Kii) = 0), el elemento macro-columna se comporta como el macro-elemento viga, ya que las deformaciones de los GDLs 1, 4, 7 y 9 ya fueron asociadas (Fig. 5.18).
v2
v5 v7
v1
v9
v4
i v3
j v8
v10
v6
Figura 5.18: Definición del macro-elemento columna para ser utilizado como macro-elemento viga Para obtener el incremento de las deformaciones internas rotacionales, utilizamos la (k ) y implementación del macro-elemento viga, asociando las deformaciones v (k ) = v int v(k+1) como se muestra en la Figura 5.18. Es necesario además determinar los momentos plásticos de las rótulas Mp para utilizarlos en la implementación del macro-elemento viga. Estos corresponden al vértice que se intersecta cuando se recorre la arista horizontal de la curva de interacción en la dirección de la deformación rotacional, partiendo del esfuerzo axial actual de la rótula (Fig. 5.19). Si está sobre un vértice, Mp es el asociado a ese vértice.
76
Dirección de la Deformación Rotacional
Esfuerzos Actuales
N
. Curva de Interacción
Mp
M
Figura 5.19: Obtención de momento plástico (Mp) de las rótulas para utilizar el macro-elemento viga 5.3.4
Validación del modelo
Se puede hacer una validación del modelo verificando condiciones de equilibrio y compatibilidad de las deformaciones. En el caso del macro-elemento columna, se deben satisfacer tres condiciones: i) ii) iii)
debe cumplirse el equilibrio del macro-elemento los esfuerzos de las rótulas no deben salir fuera de la curva de interacción los esfuerzos del elemento elástico interno deben ser iguales a los externos
Para calcular los esfuerzos del elemento interno (columna), se utiliza su matriz de rigidez elástica de seis GDLs, y sus deformaciones calculadas en función de las deformaciones externas y de las rótulas. El elemento elástico interno corresponde a
77
v2col ≡ v2
v5col ≡ v5
v1col ≡ v7 v3col ≡
v4col ≡ v9 i
j
v8
v6col ≡ v10
Figura 5.20: Geometría del elemento elástico interno viga
Su matriz de rigidez es
K col el
0 0 − A⋅E L 0 0 ⎡ A⋅E L ⎤ ⎢ 6⋅E⋅I ⎥ 12 ⋅ E ⋅ I 6⋅E⋅I 12 ⋅ E ⋅ I 0 0 − 3 ⎢ ⎥ L3 ⋅ (1 + Φ ) L2 ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) L2 ⋅ (1 + Φ ) ⎥ ⎢ (4 + Φ ) ⋅ E ⋅ I (2 − Φ ) ⋅ E ⋅ I ⎥ 6⋅E⋅I 6⋅E⋅I ⎢ − 2 0 0 2 ⎢ ( ) ⋅ + Φ L 1 L ⋅ (1 + Φ ) ⎥ (5.22) L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) =⎢ ⎥ − ⋅ ⋅ A E L 0 0 A E L 0 0 ⎢ ⎥ 12 ⋅ E ⋅ I 6⋅E⋅I 12 ⋅ E ⋅ I 6⋅E⋅I ⎥ ⎢ − 3 − 2 − 0 0 ⎢ L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) L3 ⋅ (1 + Φ ) L2 ⋅ (1 + Φ ) ⎥ ⎢ (2 − Φ ) ⋅ E ⋅ I (4 + Φ ) ⋅ E ⋅ I ⎥⎥ 6⋅E⋅I 6⋅E⋅I ⎢ − 2 0 0 2 L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) ⎥⎦ L ⋅ (1 + Φ ) L ⋅ (1 + Φ ) ⎣⎢
con Φ definido en la Ecuación (5.2). Las deformaciones del elemento interno se calculan en función de las externas y la de las rótulas
⎡ v1col ⎤ ⎡1 ⎢ col ⎥ ⎢ ⎢ v 2 ⎥ ⎢0 ⎢ v col ⎥ ⎢0 ⎢ 3col ⎥ = ⎢ ⎢ v 4 ⎥ ⎢0 ⎢ v col ⎥ ⎢0 ⎢ 5col ⎥ ⎢ ⎣⎢ v 6 ⎦⎥ ⎣⎢0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
⎡ v1 ⎤ ⎢v ⎥ ⎢ 2⎥ 0 0 ⎤ ⎢ v 3 ⎥ ⎡ v1 + δ i ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 ⎥⎥ ⎢ v 4 ⎥ ⎢ v 2 ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ v 5 ⎥ ⎢ v 3 + θi ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ 0 − 1⎥ ⎢ v 6 ⎥ ⎢ v 4 − δ j ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ θi ⎥ ⎢ v 5 ⎥ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ − 1 0 ⎦⎥ ⎢ δ i ⎥ ⎣⎢ v 5 − θ j ⎦⎥ ⎢ ⎥ ⎢θj ⎥ ⎢δj ⎥ ⎣ ⎦
col , y se debe cumplir en todo instante que, Luego, F col = K col el ⋅ v
(5.23)
78
⎡f1col ⎤ ⎡ f1 ⎤ ⎢ col ⎥ ⎢ ⎥ ⎢f 2 ⎥ ⎢f 2 ⎥ ⎢f col ⎥ ⎢ f 3 ⎥ ⎢ 3col ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢f 4 ⎥ ⎢f 4 ⎥ ⎢f col ⎥ ⎢f ⎥ ⎢ 5col ⎥ ⎢ 5 ⎥ ⎢⎣f 6 ⎥⎦ ⎣⎢f 6 ⎦⎥
(5.24) 5.3.5
Ejemplo
A continuación se presenta un ejemplo de validación del macro-elemento columna. Las propiedades del elemento son A=1, E=1, I=1, L=1. Las rigideces elásticas para las rótulas son kθi =1, kδi =1, kθj =1.5, kδj =1.5. Las curvas de interacción para cada una de las rótulas se muestran en la Figura 5.23. En este caso se impone una historia de deformaciones (Fig. 5.21), y se evalúan las fuerzas del elemento. Los resultados se presentan en las figuras siguientes.
79
v1
5 0
-5 10 v2
0
-10
v3
2 0
-2
v4
5 0
-5 10 v5
0
-10
v6
2 0
-2
0
100
200
300
400
500 Instante k
600
700
800
900
1000
Figura 5.21: Historia de deformaciones del macro-elemento columna
80
0.5 f1
0
-0.5
f2
5 0
-5
f3
5 0
-5 0.5 f4
0
-0.5
f5
5 0
-5
f6
5 0
-5
0
100
200
300
400
500 Instante k
600
700
800
900
Figura 5.22: Historia de fuerzas del macro-elemento columna
1000
81
Nodo j 3
2
2
1
1
0
0
Nj
Ni
Nodo i 3
-1
-1
-2
-2
-3 -3
-2
-1
0 Mi
1
2
3
-3 -4
-2
0 Mj
2
4
Figura 5.23: Curvas de interacción e historias de fuerzas M-N de las rótulas plásticas
82
Nodo i
Nodo j
2
3 2
1
0
Mj
Mi
1 0
-1 -1 -2 -2 -4
-2
0
2
-3 -2
4
-1
θi
0
1
2
3
θj
0.4
0.4
0.2
0.2 Nj
0.6
Ni
0.6
0
0
-0.2
-0.2
-0.4 -1
-0.5
0
0.5
-0.4 -0.4
-0.2
δi
0
0.2
0.4
δj
Figura 5.24: Curvas fuerzas-deformaciones de las rotulas plásticas 5.4
Método de Integración
Los modelos analizados en este estudio corresponden a sistemas rígidos constituidos enteramente por elementos no-lineales. Para que el método utilizado sea lo suficientemente preciso y estable, se ha escogido un método de tipo predictorcorrector de orden 2. 5.4.1
Planteamiento de las ecuaciones La ecuación general de movimiento para cualquier estructura no-lineal es &&(t ) + C ⋅ u& (t ) + K ⋅ u(t ) + LT ⋅ F (v(t )) = L w ⋅ w (t ) M ⋅u
(5.25)
83
donde M es la matriz de masas; C es la matriz de amortiguamiento; K es la matriz de rigidez; u es el vector de desplazamientos relativos de las masas con respecto al sistema de referencia; L es la matriz de transformación cinemática (v = L⋅u); F es el vector de fuerzas de los elementos no-lineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; w es la excitación del sistema; y Lw es la matriz de transformación entre la excitación y las fuerzas del sistema. Esta ecuación puede ser escrita en espacio estado, la cual se expresa como 0 0 I 0 ⎤ ⎡u& (t )⎤ ⎡ ⎤ ⎡u(t )⎤ ⎡ ⎡ ⎤ =⎢ + ⎢ −1 ⋅ w (t ) + ⎢ ⋅⎢ ⋅ F(v(t )) ⎥ ⎢u ⎥ ⎥ ⎥ −1 −1 −1 T⎥ &&(t )⎦ ⎣− M ⋅ K − M ⋅ C⎦ ⎣u& (t )⎦ ⎣M ⋅ L w ⎦ − M ⋅L ⎦ ⎣1 ⎣ 23 1444 424444 3 123 14243 142 4 43 4 x& ( t )
x (t )
A
(5.26)
Bf
Bw
donde I es la matriz identidad. Consecuentemente la ecuación general no-lineal en primer orden es x& (t ) = A ⋅ x(t ) + B w ⋅ w (t ) + B f ⋅ F(v(t ))
(5.27)
Particularizada a los modelos de este estudio, la ecuación de movimiento resulta I 0 ⎡u& (t )⎤ ⎡0 ⎤ ⎡u(t )⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ ⎤ && g (t ) + ⎢ =⎢ ⋅⎢ + ⎢ ⎥ ⋅u ⋅ F(v(t )) ⎢u ⎥ ⎥ ⎥ −1 −1 T⎥ &&(t )⎦ ⎣0 − M ⋅ C⎦ ⎣u& (t )⎦ ⎣− r ⎦ − M ⋅L ⎦ ⎣1 ⎣ 23 1442443 123 { 142 4 43 4 x& ( t )
A
x(t )
Bw
(5.28)
Bf
donde M es la matriz de masas; C es la matriz de amortiguamiento; u es el vector de desplazamientos relativos de las masas con respecto al suelo; L es la matriz de transformación cinemática (v = L⋅u); F es el vector de fuerzas de los elementos nolineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; u&& g es la aceleración del suelo; y r es el vector de influencia del input. 5.4.2
Propiedades del sistema en tiempo discreto
Queremos transformar la ecuación continua en primer orden a tiempo discreto, con un intervalo temporal constante igual a dT.
84
Si se considera que el vector de fuerzas no-lineales es constante durante el intervalo [k⋅dT (k+1)⋅dT], la ecuación en primer orden se puede expresar en forma discreta como x(k + 1) = A d ⋅ x(k ) + B dw ⋅ w (k ) + B df ⋅ F(v(k ))
donde: A d = e A⋅dT B dw B df
−1
( ⋅ (e
=A ⋅ e =A
−1
A⋅dT
A⋅dT
) − I )⋅ B
(5.29) (5.30) (5.31) (5.32)
− I ⋅ Bw f
Cuando la matriz de rigidez es cero, como es el caso de los sistemas implementados, A es singular y por lo tanto no es invertible. En ese caso se puede de todas formas obtener las matrices B dw y B df . Para resto se extiende el estado del sistema, con lo que se rescribe la ecuación (5.27) como ⎡ x& (t ) ⎤ ⎡ A B w B f ⎤ ⎡ x(t ) ⎤ ⎢ w ⎥ ⎢ & 0 0 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢ w (t ) ⎥⎥ ⎢ (t ) ⎥ = ⎢ 0 ⎢⎣F& (v(t ))⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥ ⎢F(v(t ))⎥⎦ 1442443⎦ ⎣
(5.33)
A ext
La nueva ecuación en tiempo discreto, con el nuevo estado extendido se transforma en ⎡ x(k + 1) ⎤ ⎡ x(k ) ⎤ ⎢ w (k + 1) ⎥ = e A ext ⋅dT ⋅ ⎢ w (k ) ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣F(v(k + 1))⎥⎦ ⎢⎣F(v(k ))⎥⎦
e
A ext ⋅dT
(5.34)
Para obtener las matrices discretas de la ecuación (5.29), se particiona tal que d ⎡ x(k + 1) ⎤ ⎡ A ⎢ w (k + 1) ⎥ = ⎢ L ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣⎢F(v(k + 1))⎦⎥ ⎣ L
B dw L L
B df ⎤ ⎡ x(k ) ⎤ ⎥ L ⎥ ⋅ ⎢⎢ w (k ) ⎥⎥ L ⎥⎦ ⎣⎢F (v(k ))⎦⎥
(5.35)
Conociendo las fuerzas de los elementos no-lineales en el instante k+1, la ecuación en primer orden se puede expresar en forma discreta como x(k + 1) = A d ⋅ x(k ) + B dw ⋅ w (k ) + B df 0 ⋅ F(v(k )) + B df1 ⋅ (F(v(k + 1)) − F(v(k )))
(5.36)
85
donde: A d = e A⋅dT B dw B df 0
−1
( ⋅ (e
) − I )⋅ B ⎛ 1 ⋅⎜ ⋅ A ⋅ (e dT
=A ⋅ e =A
−1
B df1 = A −1
A⋅dT
(5.37) (5.38) (5.39)
− I ⋅ Bw
A⋅dT
−1
f
A⋅dT
⎝
)
⎞ − I − I ⎟ ⋅ Bf ⎠
(5.40)
Al igual que en el caso anterior, cuando A es singular, se puede obtener de todas formas B df 0 y B df1 . Extendiendo el estado, se obtiene de la ecuación (5.27) la nueva expresión ⎡ x& (t ) ⎤ ⎡ A B w B f 0⎤ ⎡ x(t ) ⎤ ⎢ w ⎥ ⎢ & 0 0⎥⎥ ⎢⎢ w (t ) ⎥⎥ ⎢ (t ) ⎥ = ⎢ 0 0 ⋅ ⎢F& (v(t ))⎥ ⎢ 0 0 0 I ⎥ ⎢F(v(t ))⎥ ⎢ && ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0⎦ ⎣F& (v(t ))⎦ ⎣F (v(t ))⎦ 1 ⎣ 044 42444 3
(5.41)
A ext 2
La nueva ecuación en tiempo discreto, con el nuevo estado extendido se transforma en x(k ) x(k + 1) ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ( ) ( ) w k w k 1 + ⎥ ⎥ ⎢ A ext 2 ⋅dT ⎢ ⋅⎢ ⎥ ⎥=e ⎢ F(v(k )) F (v(k + 1)) ⎢ F(v(k + 1)) − F(v(k )) ⎥ ⎢ F(v(k + 2 )) − F(v(k + 1)) ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ dT dT ⎦ ⎣ ⎦ ⎣
Para obtener las matrices de la ecuación (5.36), se particiona e A
(5.42)
ext 2
⋅dT
en la
ecuación (5.42) y se obtiene x(k + 1) ⎡ ⎤ ⎡A d ⎢ ⎥ ⎢ w (k + 1) ⎢ ⎥ ⎢L ⎢ ⎥=⎢ F(v(k + 1)) ⎢ F(v(k + 2)) − F(v(k + 1)) ⎥ ⎢ L ⎢ ⎥ ⎢⎣ L dT ⎣ ⎦
5.4.3
B dw L L L
B df 0 L L L
x(k ) ⎤ B df1 ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ ⎥ w (k ) L⎥ ⎢ ⎥ (5.43) ⋅ ⎥ F(v(k )) L⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ L ⎥⎦ ⎣F(v(k + 1)) − F(v(k ))⎦
Implementación
Para integrar el sistema, utilizamos un metodo predictor-evaluzacióncorrección orden 2, con una evaluación final, notado P(EC)2E.
86
Las condiciones iniciales son x(k=0)=x0; F(k=0)=F0; y las deformaciones iniciales de los elementos v(k=0)=v0. Supongamos que se ha calculado la respuesta hasta el instante k, y se desea obtener la respuesta en el instante k+1. El algoritmo implementado considera los siguientes pasos: Etapa i): Asumir Fˆ (k + 1) = F(k ) , es decir mantenedor de orden cero para las fuerzas de los elementos no-lineales. Etapa ii): Estimar el estado del sistema en k+1 a través de un predictor explícito xˆ (k + 1) = A d ⋅ x(k ) + B dw ⋅ w (k ) + B df ⋅ F (k ) . Etapa iii): Evaluar las fuerzas en los elementos no-lineales. Para esto se utiliza el predictor de deformaciones vˆ (k + 1) = L ⋅ uˆ (k + 1) , con el cual se obtiene Fˆ (vˆ (k + 1)) . Etapa iv): Corregir a través de un esquema implícito, con
(
)
xˆ (k + 1) = A d ⋅ x(k ) + B dw ⋅ w (k ) + B df 0 ⋅ F(v(k )) + B df1 ⋅ Fˆ (vˆ (k + 1)) − F(v(k )) .
Etapa v): Iterar nuevamente en la etapa iii) y iv), para realizar una segunda evaluación y corrección. Etapa vi): Realizar una evaluación final con x(k + 1) = xˆ (k + 1) y v(k + 1) = L ⋅ uˆ (k + 1) y se obtiene F(v(k + 1)) . Etapa vii): Avanzar la iteración hacia el siguiente paso de integración.
87
VI.
EDIFICIO HOLIDAY INN
6.1
Descripción del Edificio
Identificado como la estación CSMIP Nº 24386, este edificio está ubicado en Van Nuys, Los Angeles, California, a 7 km del epicentro del terremoto de Northridge ocurrido el 17 de enero de 1994. El edificio fue diseñado en 1965 y construido en 1966. La misma estructura se encontraba a 13 km del epicentro del terremoto de San Fernando ocurrido en 1971. En esa ocasión el edificio no sufrió daños estructurales de consideración. El edificio se encuentra en el medio del San Fernando Valley, entre las montañas de Santa Mónica al sur y las montañas San Gabriel y Santa Suzana al norte. Los datos geológicos indican que el terreno del edificio descansa sobre suelo aluvial reciente y muestra que el suelo está conformado, en los primeros 15m, principalmente de arenas con finos no plásticos (SM) y limos y arcillas (ML). El edificio es de hormigón armado (H/A) y tiene siete pisos. Posee una planta de 62’ de ancho y 160’ de largo aproximadamente. La altura total del edificio es de 65.7’, con un primer piso de 13.5’ y los seis restantes de 8.7’, aproximadamente. La planta del edificio es regular en altura, con la excepción de dos pequeñas salientes de losa en el primer piso. Exceptuando cuatro muros de albañilería en el primer piso y elementos de marcos livianos que sostienen los espacios de la escalera y el ascensor, la estructura es esencialmente simétrica. La resistencia a cargas laterales en el edificio está provista por marcos perimetrales H/A con columnas espaciadas aproximadamente a 19’ en sentido longitudinal, y a 20’ en sentido transversal. Las columnas típicas son de 14”x20”, y están dispuestas de modo que su eje débil se encuentra en la dirección de los planos resistentes A y D, y su eje fuerte en los planos resistentes 1 y 9 (Fig. 6.1). La resistencia producida por las columnas interiores de 18” también contribuye a la resistencia y rigidez lateral del edificio, y debe ser considerada en el modelo de la estructura. Se estima que esta rigidez es aproximadamente la mitad de la correspondiente al marco perimetral. En este se usan vigas altas de altura variable de 22,5” típicamente.
88
La rigidez cilíndrica especificada del hormigón f’c es 5000 psi para las columnas del primer piso, 4000 psi para las columnas del segundo piso y 3000 psi para las columnas del tercer al séptimo piso. Para las vigas del segundo piso f’c es 4000 psi, y para el resto de los pisos 3000 psi. El edificio sufrió daños estructurales severos durante el terremoto de Northridge. Estos se concentraron principalmente en las columnas de los marcos longitudinales A y D (Fig. 6.1). Solo daños estructurales menores ocurrieron en los marcos transversales 1 y 9. Las columnas sísmicas del marco A fueron seriamente dañadas en corte entre los pisos 4 y 5. La falta de un confinamiento de acero apropiado en estas columnas produjo el subsecuente pandeo de las barras longitudinales. De acuerdo a los reportes de daños, roturas de corte menores a moderadas ocurrieron en varias uniones de columnas con vigas bajo el quinto piso. Las vigas altas muestran descascaramientos y fallas flexurales solo en la cara inferior, lo que sugiere la fluencia sólo del refuerzo inferior de acero. Los daños en el edificio durante el terremoto de Northridge fueron significativamente mayores que los observados durante el terremoto de San Fernando. En este último el costo total del daño estructural fue sólo un 1% del daño total estimado en un 11% del costo de la construcción del edificio. Este se debió principalmente a daños de componentes no estructurales. Al contrario del terremoto de Northridge, durante el terremoto de San Fernando el daño estructural se localizó en el segundo y tercer piso.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
159’-10 ¾” 8 Vanos @ 18’-9” = 150’-0”
20’-1”
D
C
20’-1”
68’-8”
Columnas interiores cuadradas de 18” (tip.)
B
Ascensor
20’-1”
Escaleras
Columnas exteriores de 14”x20” (tip.) A Vigas Altas Exteriores
Nref 89
Figura 6.1: Planta típica del edificio
90
D
C
B
A
8’-8”
7mo
8’-8 ½”
6mo
8’-8 ½”
5to
8’-8 ½”
4to
8’-8 ½”
3ro
8’-8 ½”
2do
13’-6”
1er
Figura 6.2: Elevación transversal típica 6.2
Modelación del Edificio
En este estudio se ha modelado el marco resistente sur correspondiente al eje transversal A (Fig. 6.1). Para esto se utiliza el modelo de marco flexural
91
explicado en la Caplítulo IV. Las unidades utilizadas en las modelación son centímetros y toneladas. En la modelación geométrica los ejes de los elementos se ponen en los centros geométricos de las secciones brutas de las vigas de cada piso y de las columnas. Se colocan además extremos rígidos correspondiente a las dimensiones del nodo, es decir al alto de las vigas y al ancho de las columnas. Las dimensiones, extremos rígidos y numeración de los elementos se muestra en la Figura 6.3. Los detalles de las dimensiones de los extremos rígidos y los elementos se muestran en la figura 6.4. Cada piso tiene un GDL horizontal, mientras que el resto de los nodos tiene además un grado de libertad vertical y de giro. Las propiedades de los elementos se calcularon sobre la base de sus materiales y geometría bruta. Estas se muestran en la Tabla 6.1. Para el modelo es necesario calcular las curvas de interacción de las columnas y los momentos plásticos de las vigas. Las enfierraduras utilizadas en cada columna se muestran en la Tabla 6.2. En ella, Nº, corresponde al número de fierros y # al diámetro en octavos de pulgada. La disposición geométrica de la enfierradurra de las columnas se muestra en la Figura 6.5. Todas las columnas tienen un recubrimiento de 2”. El momento plástico en las vigas se calculó suponiendo que fluye la enfierradura inferior y se rompe el hormigón en compresión de la parte superior de la sección. El detalle de las enfierraduras inferiores y superiores se muestra en la Tabla 6.3. Todas las vigas tienen un recubrimiento de 2”. Debido a la contribución de la rigidez lateral de las columnas interiores, la cual es la mitad del marco perimetral, en el modelo se utiliza 1/3 de la masa de cada piso, como se muestra en la Tabla 6.4. La matriz de amortiguamiento es modal, con ξ=5% en los primeros 7 modos. Como la contribución del resto de los modos (altos) es insignificante en la respuesta del edificio, utilizaremos una razón de amortiguamiento ξ=30% para ellos. Esto permite además mejorar las propiedades de estabilidad del método de integración, a través de ingresar amortiguamiento “numérico” controlando los modos altos.
92
Los registros utilizados corresponden al terremoto de Northridge, medido en la base del edificio. En la integración se utilizó la componente horizontal (en dirección del eje x) y la componente vertical (en dirección del eje y) (Fig. 6.3). Los registros se muestran en la Figura 6.6. Para el calculo de la respuesta se utilizó un paso de integración constante dT=0.002 seg. La elección de este intervalo temporal se debe a la necesidad asegurar tanto la estabilidad de la integración como la precisión de los resultados.
7 mo 264.795 cm.
112
55
113
56
114
57
115
58
116
59
117
60
118
61
119
62
63
6 to 265.43 cm.
104
46
105
47
106
48
107
49
108
50
109
51
110
52
111
53
54
5 to 265.43 cm.
96
37
97
38
98
39
99
40
100
41
101
42
102
43
103
44
45
88
265.43 cm.
1974.85 cm.
4 to
28
89
29
90
30
91
31
92
32
93
33
94
34
95
35
36
3 ro 265.43 cm.
80
19
81
20
82
21
83
22
84
23
85
24
86
25
87
26
27
2 do 274.955 cm.
72
10
73
11
74
12
75
13
76
14
77
15
78
16
79
17
18
1 er 373.38 cm.
64
1
2
571.5 cm.
y
65
66
3
571.5 cm.
67
4
571.5 cm.
68
5
571.5 cm.
69
6
571.5 cm.
70
7
571.5 cm.
71
8
571.5 cm.
9
571.5 cm.
4572 c m.
x
93
Figura 6.3: Modelación geométrica del marco resistente correspondiente al eje transversal A: numeración de elementos
Columnas 1er piso
Columnas 2do piso
17.78 cm.
Columnas 3er a 6to piso
535.94 cm.
264.795 cm.
28.575 c m.
208.28 cm.
265.43 cm.
27.94 c m.
28.575 c m. 28.575 c m.
208.28 cm.
274.955 cm.
208.28 cm. 38.1 cm.
373.38 cm.
335.28 c m.
38.1 cm.
28.575 c m.
94
Columnas 7mo piso
17.78 cm.
571.5 cm. Vigas
Figura 6.4: Dimensiones de elementos y extremos rígidos
Tabla 6.1: Propiedades estructurales de los elementos y materiales dimensiones fc' (hormigón) fy (acero) E ancho (in) (psi^2) (psi^2) (ton/cm^2) (cm)
altura (cm)
Area (cm^2)
Iy (cm^4)
Columnas Piso 1 Piso 2 Piso 3 a 7
14" x 20" 14" x 20" 14" x 20"
5000 4000 3000
60000 60000 60000
278 248.7 215.3
35.56 35.56 35.56
50.80 50.80 50.80
1806.45 1806.45 1806.45
190356.51 190356.51 190356.51
Vigas Piso 1 Piso 2 al 6 Piso 7
16" x 30" 16" x 22.5" 16" x 22"
4000 3000 3000
40000 40000 40000
248.7 215.3 215.3
40.64 40.64 40.64
76.2 57.15 55.88
3096.77 2322.58 2270.96
1498433.13 632151.48 590937.63
95
Tabla 6.2: Enfierraduras de las columnas Eje 1 Nº # 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 8 9
Eje 2 Nº # 6 7 6 7 6 7 6 7 8 9 8 9 10 9
Eje 3 Nº # 6 7 6 7 6 7 6 7 8 9 8 9 10 9
Eje 4 Nº # 6 7 6 7 6 7 6 7 6 9 6 9 10 9
Eje 5 Nº # 6 7 6 7 6 7 6 7 6 9 6 9 10 9
Eje 7 Nº # 6 7 6 7 6 7 6 7 6 9 6 9 10 9
Eje 8 Nº # 6 7 6 7 6 7 6 7 8 9 8 9 10 9
14”
2”
20”
2”
20”
Eje 6 Nº # 6 7 6 7 6 7 6 7 6 9 6 9 10 9
6 fierros
8 fierros
2”
20”
14”
7 6 5 4 3 2 1
dimensiones (in) 14" x 20" 14" x 20" 14" x 20" 14" x 20" 14" x 20" 14" x 20" 14" x 20"
14”
Piso
10 fierros
Figura 6.5: Disposición geométrica de las enfierraduras de las columnas
Eje 9 Nº # 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 6 7 8 9
96
Tabla 6.3: Enfierraduras de las vigas Piso Enfierradura Viga vano 1 Eje 1 Eje 2 Nº # Nº # 7 Superior 2 6 3 9 Inferior 2 8 2 8 6 Superior 2 7 2 8 Inferior 2 7 2 7 5 Superior 2 8 2 9 Inferior 2 7 2 7 4 Superior 2 9 2 9 Inferior 2 8 2 8 3 Superior 2 9 3 8 Inferior 2 9 2 9 2 Superior 3 8 3 8 Inferior 2 9 2 9 1 Superior 2 9 2 9 Inferior 2 8 2 8
Viga vano 2 Eje 2 Eje 3 Nº # Nº # 3 9 2 9 2 9 2 9 2 8 2 8 2 7 2 7 2 9 2 9 2 7 2 7 2 9 3 8 2 7 2 7 3 8 3 8 2 7 2 7 3 8 3 9 2 7 2 7 2 9 2 9 2 7 2 7
Viga vano 3 Eje 3 Eje 4 Nº # Nº # 2 9 2 8 2 6 2 6 2 8 2 8 2 6 2 6 2 9 2 9 2 6 2 6 3 8 3 8 2 6 2 6 3 8 3 8 2 6 2 6 3 9 3 9 2 6 2 6 2 9 2 9 2 6 2 6
Viga vano 4 Eje 4 Eje 5 Nº # Nº # 2 8 2 8 2 6 2 6 2 8 2 8 2 6 2 6 2 9 2 9 2 6 2 6 3 8 3 8 2 6 2 6 3 8 3 8 2 6 2 6 3 9 3 9 2 6 2 6 2 9 2 9 2 6 2 6
Viga vano 5 Eje 5 Eje 6 Nº # Nº # 2 8 2 8 2 6 2 6 2 8 2 8 2 6 2 6 2 9 2 9 2 6 2 6 3 8 3 8 2 6 2 6 3 8 3 8 2 6 2 6 3 9 3 9 2 6 2 6 2 9 2 9 2 6 2 6
Viga vano 6 Eje 6 Eje 7 Nº # Nº # 2 8 2 8 2 6 2 6 2 8 2 8 2 6 2 6 2 9 2 9 2 6 2 6 3 8 3 8 2 6 2 6 3 8 3 8 2 6 2 6 3 9 3 9 2 6 2 6 2 9 2 9 2 6 2 6
Viga vano 7 Eje 7 Eje 8 Nº # Nº # 2 8 2 8 2 6 2 6 2 8 2 9 2 6 2 6 2 9 3 8 2 6 2 6 3 8 3 8 2 6 2 6 3 8 3 8 2 6 2 6 3 9 3 9 2 6 2 6 2 9 3 8 2 6 2 6
Tabla 6.4: Masas transalcionales del edificio y del marco modelado Piso 7 6 5 4 3 2 1
Masas Edificio (t) 626.4 648.7 648.7 648.7 648.7 648.7 813.1
Masas Marco (modelo) (t) 208.8 216.2 216.2 216.2 216.2 216.2 271.0
Viga vano 8 Eje 8 Eje 9 Nº # Nº # 2 8 2 6 2 7 2 7 2 9 2 7 2 7 2 7 3 8 2 9 2 7 2 7 3 8 2 9 2 7 2 7 3 8 3 8 2 8 2 8 3 9 3 8 2 8 2 8 3 8 2 9 2 8 2 8
97
0.4
aceleración (g)
0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6
0
10
20
30 tiempo (seg)
40
50
60
50
60
a) componente horizontal (dirección x) 0.3
aceleración (g)
0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4
0
10
20
30 tiempo (seg)
40
b) componente vertical (dirección y) Figura 6.6: Registro medido en la base del edificio (Northridge, 1994) 6.3
Resultados del Análisis
En esta sección se presentan los resultados del análisis del modelo del marco sur del edificio. Primero se muestran las propiedades modales en estado elástico del sistema (Tabla 6.5 y Fig. 6.7). Luego se incluyen los gráficos de respuesta del edificio. Estos son las historias de desplazamientos (Fig. 6.8), deformaciones de entrepiso (Fig. 6.9) y esfuerzo de corte por piso (Fig. 6.10). Después se muestran las
98
curvas de interacción, las historias de esfuerzos axial y flexural en las columnas (Figs. 6.11 a 6.24), y las curvas de momento y deformación en las vigas (Figs. 6.25 a 6.31). En estas figuras se puede apreciar cuales elementos son los que fluyen. Finalmente se incluyen los gráficos de energía disipada por histéresis del edificio (Figs 6.32 a 6.35).
Tabla 6.5: Períodos y formas modales elásticos del modelo analizado
T (seg)
modo 1 0.797
modo 2 0.266
modo 3 0.150
modo 4 0.099
modo 5 0.085
modo 6 0.083
modo 7 0.080
modo 5 -0.6606 0.6330 0.2784 -0.1943 -0.1701 0.0772 0.1130
modo 6 0.8916 -0.1448 -0.1920 -0.0658 0.0129 -0.0993 -0.3644
modo 7 -0.2736 -0.0012 0.4178 0.1775 -0.5895 -0.2409 0.5599
a) peridos modales
Techo Piso 7 Piso 6 Piso 5 Piso 4 Piso 3 Piso 2
modo 1 -0.4874 -0.4691 -0.4353 -0.3865 -0.3244 -0.2523 -0.1858
modo 2 -0.4864 -0.3373 -0.0939 0.1766 0.3939 0.4942 0.4584
modo 3 0.4849 0.0792 -0.3772 -0.5186 -0.2281 0.2504 0.4823
modo 4 0.4342 -0.2709 -0.5111 0.0800 0.5423 0.1289 -0.3996
b) formas modales
99
Piso
1974.85
7
1710.055
6
1444.625
5 3º modo
Altura del Edificio (cm)
2º modo
1179.195
4
913.765
3
648.335
2
1º modo
373.38
0 -0.8
1
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Figura 6.7: Formas modales elásticas del modelo analizado
100
20 Piso 7 0 -20 20 Piso 6 0 -20 20 Piso 5
Desplazamiento (cm)
0 -20 20 Piso 4 0 -20 20 Piso 3 0 -20 20 Piso 2 0 -20 20 Piso 1 0 -20 0
10
20
30 Tiempo (seg)
40
50
Figura 6.8: Historias de desplazamientos relativos a la base
60
101
5 Piso 7 0 -5 5 Piso 6 0 -5 5 Piso 5 Deformación de Entrepiso (cm)
0 -5 5 Piso 4 0 -5 5 Piso 3 0 -5 5 Piso 2 0 -5 5 Piso 1 0 -5 0
10
20
30 Tiempo (seg)
40
50
Figura 6.9: Historia de deformaciones de entrepisos (drifts)
60
102
200 Piso 7 0 -200 200 Piso 6 0 -200 200 Piso 5
Esfuerzo de Corte (ton)
0 -200 200 Piso 4 0 -200 200 Piso 3 0 -200 200 Piso 2 0 -200 200 Piso 1 0 -200 0
10
20
30 Tiempo (seg)
40
50
Figura 6.10: Historia de esfuerzos de corte por piso
60
103
400
400
Columna 1
400
Columna 2
200
200
200
0
0
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
-600
-600
-600
-800 -4000
-800 -5000
-2000
0
Esfuerzo Axial Ni (ton)
400
2000
4000
0
400
Columna 4
5000
-800 -5000
200
200
0
0
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
-600
-600
-600
0
400
5000
-800 -5000
0
400
Columna 7
5000
200
200
0
0
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
-600
-600
-600
0
5000
-800 -5000
0
0
400
Columna 8
5000
-800 -4000
5000
Columna 6
-800 -5000
200
-800 -5000
0
400
Columna 5
200
-800 -5000
Columna 3
5000
Columna 9
-2000
0
2000
4000
Momento Mi (ton cm)
Figura 6.11: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 1º piso
104
400
400
Columna 1
400
Columna 2
200
200
200
0
0
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
-600
-600
-600
-800 -4000
-800 -5000
-2000
0
Esfuerzo Axial Nj (ton)
400
2000
4000
0
400
Columna 4
5000
-800 -5000
200
200
0
0
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
-600
-600
-600
0
400
5000
-800 -5000
0
400
Columna 7
5000
200
200
0
0
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
-600
-600
-600
0
5000
-800 -5000
0
0
400
Columna 8
5000
-800 -4000
5000
Columna 6
-800 -5000
200
-800 -5000
0
400
Columna 5
200
-800 -5000
Columna 3
5000
Columna 9
-2000
0
2000
4000
Momento Mj (ton cm)
Figura 6.12: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 1º piso
105
200
400
400
Columna 10
Columna 11
100
Columna 12
200
200
0
0
-200
-200
-400
-400
0 -100 -200 -300 -400 -500 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Ni (ton)
400
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
400 Columna 13
200
-600 -4000
200
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
0
2000
4000
400
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
400 Columna 16
4000
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 18
Columna 17 200
2000
Columna 15
200
0
-2000
0
400 Columna 14
0
-600 -4000
-2000
100
200 0
0
0
-200
-200
-400
-400
-600 -4000
-600 -4000
-100 -200 -300 -400
-2000
0
2000
4000
-2000
0
2000
4000
-500 -4000
-2000
0
2000
4000
Momento Mi (ton cm)
Figura 6.13: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 2º piso
106
200
400
400
Columna 10
Columna 11
100
Columna 12
200
200
0
0
-200
-200
-400
-400
0 -100 -200 -300 -400 -500 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Nj (ton)
400
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
400 Columna 13
200
-600 -4000
200
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
0
2000
4000
400
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
400 Columna 16
4000
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 18
Columna 17 200
2000
Columna 15
200
0
-2000
0
400 Columna 14
0
-600 -4000
-2000
100
200 0
0
0
-200
-200
-400
-400
-600 -4000
-600 -4000
-100 -200 -300 -400
-2000
0
2000
4000
-2000
0
2000
4000
-500 -4000
-2000
0
2000
4000
Momento Mj (ton cm)
Figura 6.14: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 2º piso
107
200
400
400
Columna 19
100
Columna 20
Columna 21
200
200
0
0
-200
-200
-400
-400
0 -100 -200 -300 -400 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Ni (ton)
400
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
400 Columna 22
200
-600 -4000
200
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
0
2000
4000
400
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
400 Columna 25
4000
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 26
200
2000
Columna 24
200
0
-2000
0
400 Columna 23
0
-600 -4000
-2000
Columna 27
100
200
0 0
0
-200
-200
-400
-400
-100 -200
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
-600 -4000
-300
-2000
0
2000
4000
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
Momento Mi (ton cm)
Figura 6.15: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 3º piso
108
200
400
400
Columna 19
100
Columna 20
Columna 21
200
200
0
0
-200
-200
-400
-400
0 -100 -200 -300 -400 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Nj (ton)
400
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
400 Columna 22
200
-600 -4000
200
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
0
2000
4000
400
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
400 Columna 25
4000
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 26
200
2000
Columna 24
200
0
-2000
0
400 Columna 23
0
-600 -4000
-2000
Columna 27
100
200
0 0
0
-200
-200
-400
-400
-100 -200
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
-600 -4000
-300
-2000
0
2000
4000
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
Momento Mj (ton cm)
Figura 6.16: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 3º piso
109
200
200
200 Columna 29
Columna 28
100
Columna 30
100
100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Ni (ton)
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200
-400 -4000
Columna 32 100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
0
2000
4000
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200
-400 -4000
100
100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
0
2000
-2000
0
Columna 35
100
-2000
4000
-400 -4000
4000
2000
4000
200
Columna 34
-400 -4000
2000
Columna 33
100
-2000
0
200
Columna 31 100
-400 -4000
-2000
-2000
0
2000
4000
-400 -4000
Columna 36
-2000
0
2000
4000
Momento Mi (ton cm)
Figura 6.17: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 4º piso
110
200
200
200 Columna 29
Columna 28
100
Columna 30
100
100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Nj (ton)
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200
-400 -4000
Columna 32 100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
0
2000
4000
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200
-400 -4000
100
100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
0
2000
-2000
0
Columna 35
100
-2000
4000
-400 -4000
4000
2000
4000
200
Columna 34
-400 -4000
2000
Columna 33
100
-2000
0
200
Columna 31 100
-400 -4000
-2000
-2000
0
2000
4000
-400 -4000
Columna 36
-2000
0
2000
4000
Momento Mj (ton cm)
Figura 6.18: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 4º piso
111
200
200
200 Columna 38
Columna 37
100
Columna 39
100
100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Ni (ton)
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200
-400 -4000
Columna 41 100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
0
2000
4000
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200
-400 -4000
100
100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
0
2000
-2000
0
Columna 44
100
-2000
4000
-400 -4000
4000
2000
4000
200
Columna 43
-400 -4000
2000
Columna 42
100
-2000
0
200
Columna 40 100
-400 -4000
-2000
-2000
0
2000
4000
-400 -4000
Columna 45
-2000
0
2000
4000
Momento Mi (ton cm)
Figura 6.19: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 5º piso
112
200
200
200 Columna 38
Columna 37
100
Columna 39
100
100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Nj (ton)
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200
-400 -4000
Columna 41 100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
0
2000
4000
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200
-400 -4000
100
100
0
0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
0
2000
-2000
0
Columna 44
100
-2000
4000
-400 -4000
4000
2000
4000
200
Columna 43
-400 -4000
2000
Columna 42
100
-2000
0
200
Columna 40 100
-400 -4000
-2000
-2000
0
2000
4000
-400 -4000
Columna 45
-2000
0
2000
4000
Momento Mj (ton cm)
Figura 6.20: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 5º piso
113
200
200 Columna 46
100
200 Columna 47
100
0
Columna 48
100
0
0
-100
-100
-200
-200
-300
-300
-100 -200 -300 -400 -500 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Ni (ton)
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 49
100
-400 -4000
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
0
2000
4000
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 52
100
4000
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 53
100
0
2000
Columna 51
100
0
-2000
0
200 Columna 50
100
0
-400 -4000
-2000
Columna 54
100 0
0
-100 -100
-100
-200
-200
-300
-300
-400 -4000
-400 -4000
-200
-2000
0
2000
4000
-300 -400
-2000
0
2000
4000
-500 -4000
-2000
0
2000
4000
Momento Mi (ton cm)
Figura 6.21: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 6º piso
114
200
200 Columna 46
100
200 Columna 47
100
0
Columna 48
100
0
0
-100
-100
-200
-200
-300
-300
-100 -200 -300 -400 -500 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Nj (ton)
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 49
100
-400 -4000
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
0
2000
4000
200
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 52
100
4000
-400 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 53
100
0
2000
Columna 51
100
0
-2000
0
200 Columna 50
100
0
-400 -4000
-2000
Columna 54
100 0
0
-100 -100
-100
-200
-200
-300
-300
-400 -4000
-400 -4000
-200
-2000
0
2000
4000
-300 -400
-2000
0
2000
4000
-500 -4000
-2000
0
2000
4000
Momento Mj (ton cm)
Figura 6.22: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 6º piso
115
200
200 Columna 55
100
200 Columna 56
100 0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
-400
-400
-400
-500 -4000
-500 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Ni (ton)
200
-2000
0
2000
4000
200
-500 -4000
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
2000
4000
200
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 61
100
-600 -4000
100 0
0
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
-400
-400
-400
-500 -4000
-500 -4000
2000
4000
-2000
0
2000
4000
-2000
0
2000
Columna 63
100
0
0
4000
200 Columna 62
-100
-2000
2000
Columna 60
0
0
0
Columna 59
0
-2000
-2000
200
Columna 58
-600 -4000
Columna 57
100
0
4000
-500 -4000
-2000
0
2000
4000
Momento Mi (ton cm)
Figura 6.23: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo inferior de las columnas del 7º piso
116
200
200 Columna 55
100
200 Columna 56
100 0
0
-100
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
-400
-400
-400
-500 -4000
-500 -4000
-2000
0
2000
4000
Esfuerzo Axial Nj (ton)
200
-2000
0
2000
4000
200
-500 -4000
0
-200
-200
-200
-400
-400
-400
2000
4000
200
-600 -4000
-2000
0
2000
4000
200 Columna 61
100
-600 -4000
100 0
0
-100
-100
-200
-200
-200
-300
-300
-300
-400
-400
-400
-500 -4000
-500 -4000
2000
4000
-2000
0
2000
4000
-2000
0
2000
Columna 63
100
0
0
4000
200 Columna 62
-100
-2000
2000
Columna 60
0
0
0
Columna 59
0
-2000
-2000
200
Columna 58
-600 -4000
Columna 57
100
0
4000
-500 -4000
-2000
0
2000
4000
Momento Mj (ton cm)
Figura 6.24: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en el extremo superior de las columnas del 7º piso
117
Rótulas Extremo Izquerdo (i)
Rótulas Extremo Derecho (j)
2000
2000 Viga 64
Viga 64
0
0 (Eje 1)
(Eje 2)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 65
Viga 65
0
0 (Eje 2)
(Eje 3)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 66
Viga 66
0
0 (Eje 4)
Momento Mj (ton cm)
Momento Mi (ton cm)
(Eje 3) -2000
-2000
2000 Viga 67 0 (Eje 4)
-2000
2000 Viga 67 0 (Eje 5)
-2000
2000
2000
Viga 68
Viga 68
0
0 (Eje 5)
(Eje 6)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 69
Viga 69
0
0 (Eje 6)
(Eje 7)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 70
Viga 70
0
0 (Eje 7)
(Eje 8)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 71
Viga 71
0
0 (Eje 8)
-2000 -0.02 -0.015
-0.01 -0.005
0
0.005
0.01
Deformación θi (rad)
0.015
(Eje 9) 0.02
-2000 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Deformación θj (rad)
Figura 6.25: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 1º piso
118
Rótulas Extremo Izquerdo (i)
Rótulas Extremo Derecho (j)
2000
2000 Viga 72
Viga 72
0
0 (Eje 1)
(Eje 2)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 73
Viga 73
0
0 (Eje 2)
(Eje 3)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 74
Viga 74
0
0 (Eje 4)
Momento Mj (ton cm)
Momento Mi (ton cm)
(Eje 3) -2000
-2000
2000 Viga 75 0 (Eje 4)
-2000
2000 Viga 75 0 (Eje 5)
-2000
2000
2000
Viga 76
Viga 76
0
0 (Eje 5)
(Eje 6)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 77
Viga 77
0
0 (Eje 6)
(Eje 7)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 78
Viga 78
0
0 (Eje 7)
(Eje 8)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 79
Viga 79
0
0 (Eje 8)
-2000 -0.02 -0.015
-0.01 -0.005
0
0.005
0.01
Deformación θi (rad)
0.015
(Eje 9) 0.02
-2000 -0.02 -0.015
-0.01 -0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Deformación θj (rad)
Figura 6.26: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 2º piso
119
Rótulas Extremo Izquerdo (i)
Rótulas Extremo Derecho (j)
2000
2000 Viga 80
Viga 80
0
0 (Eje 1)
(Eje 2)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 81
Viga 81
0
0 (Eje 2)
(Eje 3)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 82
Viga 82
0
0 (Eje 4)
Momento Mj (ton cm)
Momento Mi (ton cm)
(Eje 3) -2000
-2000
2000 Viga 83 0 (Eje 4)
-2000
2000 Viga 83 0 (Eje 5)
-2000
2000
2000
Viga 84
Viga 84
0
0 (Eje 5)
(Eje 6)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 85
Viga 85
0
0 (Eje 6)
(Eje 7)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 86
Viga 86
0
0 (Eje 7)
(Eje 8)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 87
Viga 87
0
0 (Eje 8)
-2000 -0.02 -0.015
-0.01 -0.005
0
0.005
0.01
Deformación θi (rad)
0.015
(Eje 9) 0.02
-2000 -0.02 -0.015
-0.01 -0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
Deformación θj (rad)
Figura 6.27: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 3º piso
120
Rótulas Extremo Izquerdo (i)
Rótulas Extremo Derecho (j)
2000
2000 Viga 88
Viga 88
0
0 (Eje 1)
(Eje 2)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 89
Viga 89
0
0 (Eje 2)
(Eje 3)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 90
Viga 90
0
0 (Eje 4)
Momento Mj (ton cm)
Momento Mi (ton cm)
(Eje 3) -2000
-2000
2000 Viga 91 0 (Eje 4)
-2000
2000 Viga 91 0 (Eje 5)
-2000
2000
2000
Viga 92
Viga 92
0
0 (Eje 5)
(Eje 6)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 93
Viga 93
0
0 (Eje 6)
(Eje 7)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 94
Viga 94
0
0 (Eje 7)
(Eje 8)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 95
Viga 95
0
0 (Eje 8)
-2000 -0.01
-0.005
0
0.005
Deformación θi (rad)
(Eje 9) 0.01
-2000 -0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Deformación θj (rad)
Figura 6.28: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 4º piso
121
Rótulas Extremo Izquerdo (i)
Rótulas Extremo Derecho (j)
2000
2000 Viga 96
Viga 96
0
0 (Eje 1)
(Eje 2)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 97
Viga 97
0
0 (Eje 2)
(Eje 3)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 98
Viga 98
0
0 (Eje 4)
Momento Mj (ton cm)
Momento Mi (ton cm)
(Eje 3) -2000
-2000
2000 Viga 99 0 (Eje 4)
-2000
2000 Viga 99 0 (Eje 5)
-2000
2000
2000
Viga 100
Viga 100
0
0 (Eje 5)
(Eje 6)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 101
Viga 101
0
0 (Eje 6)
(Eje 7)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 102
Viga 102
0
0 (Eje 7)
(Eje 8)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 103
Viga 103
0
0 (Eje 8)
-2000 -6
-4
-2
0
2
Deformación θi (rad)
(Eje 9)
4
6 -3
x 10
-2000 -6
-4
-2
0
2
Deformación θj (rad)
4
6 -3
x 10
Figura 6.29: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 5º piso
122
Rótulas Extremo Izquerdo (i)
Rótulas Extremo Derecho (j)
2000
2000 Viga 104
Viga 104
0
0 (Eje 1)
(Eje 2)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 105
Viga 105
0
0 (Eje 2)
(Eje 3)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 106
Viga 106
0
0 (Eje 4)
Momento Mj (ton cm)
Momento Mi (ton cm)
(Eje 3) -2000
-2000
2000 Viga 107 0 (Eje 4)
-2000
2000 Viga 107 0 (Eje 5)
-2000
2000
2000
Viga 108
Viga 108
0
0 (Eje 5)
(Eje 6)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 109
Viga 109
0
0 (Eje 6)
(Eje 7)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 110
Viga 110
0
0 (Eje 7)
(Eje 8)
-2000
-2000
2000
2000 Viga 111
Viga 111
0
0 (Eje 8)
-2000 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Deformación θi (rad)
1
(Eje 9)
1.5
2 -3
x 10
-2000 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
Deformación θj (rad)
1
1.5
2 -3
x 10
Figura 6.30: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 6º piso
123
Rótulas Extremo Izquerdo (i)
Rótulas Extremo Derecho (j)
1000
1000 Viga 112
Viga 112
0
0 (Eje 1)
(Eje 2)
-1000
-1000
1000
1000 Viga 113
Viga 113
0
0 (Eje 2)
(Eje 3)
-1000
-1000
1000
1000 Viga 114
Viga 114
0
0 (Eje 4)
Momento Mj (ton cm)
Momento Mi (ton cm)
(Eje 3) -1000
-1000
1000 Viga 115 0 (Eje 4)
-1000
1000 Viga 115 0 (Eje 5)
-1000
1000
1000
Viga 116
Viga 116
0
0 (Eje 5)
(Eje 6)
-1000
-1000
1000
1000 Viga 117
Viga 117
0
0 (Eje 6)
(Eje 7)
-1000
-1000
1000
1000 Viga 118
Viga 118
0
0 (Eje 7)
(Eje 8)
-1000
-1000
1000
1000 Viga 119
Viga 119
0
0 (Eje 8)
-1000 -1
-0.5
0
Deformación θi (rad)
(Eje 9)
0.5
1 -4
x 10
-1000 -1
-0.5
0
Deformación θj (rad)
0.5
1 -4
x 10
Figura 6.31: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 7º piso
124
7 6
Número de Pisos
5 4 3 2 1 0
0
50
100
150 200 250 EH columnas (ton cm)
300
350
400
Figura 6.32: Energía disipada en cada piso por hitéresis de las columnas
7 6
Número de Pisos
5 4 3 2 1 0
0
500
1000
1500 2000 EH vigas (ton cm)
2500
3000
Figura 6.33: Energía disipada en cada piso por hitéresis de las vigas
3500
125
7 6
Número de Pisos
5 4 3 2 1 0
0
500
1000
1500
2000 2500 EH total (ton cm)
3000
3500
4000
Figura 6.34: Energía total disipada por hitéresis en cada piso
7 6
Número de Pisos
5 4 3 2 Total 1
Columnas Vigas
0
0
500
1000
1500
2000 EH (ton cm)
2500
3000
3500
4000
Figura 6.35: Gráfico comparativo de las energías disipadas por hitéresis en cada piso
126
6.4
Interpretación de resultados
El análisis numérico del marco indica que los daños se concentran principalmente entre el primero y cuarto piso del edificio. En las curvas de energía disipada por histéresis (Figs. 6.32 a 6.35), se aprecia que el daño en las vigas aumenta en forma progresiva en altura. En cambio, las columnas que más daño sufren son las de los pisos primero y cuarto. Como se aprecia en las Figuras 6.11 y 6.12, todas las columnas del primer piso fluyen en forma significativa sólo en sus extremos inferiores. El nodo superior no registra comportamiento inelástico. En el segundo y tercer piso la incursión en rango plástico de las columnas es menor. Las columnas del cuarto piso, las otras que sufrieron daños significativos (Figs. 6.17 y 6.18), fluyen casi sólo en su extremo superior, con la excepción de una pequeña fluencia de las columnas 29 y 35 en el extremo inferior. Esto se debe principalmente a la influencia que tienen los modos altos en la estructura. Las columnas de los pisos quinto y sexto (Figs. 6.19 a 6.22) sólo sufren daños menores, mientras que las del séptimo piso (Figs. 6.23 y 6.24) no sufren daño alguno. Las vigas en un mismo piso sufren un daño similar entre ellas, como se aprecia de la Figuras 6.25 a 6.30. Sólo las vigas del último piso del edificio no tienen comportamiento inelástico (Fig. 6.31). Si bien el modelo analizado es capaz de representar lo sucedido durante un movimiento sísmico en un marco, existen algunas variaciones entre los resultados del análisis y el comportamiento real del edificio. La principal de ellas es el daño de las columnas, ya que en el edificio real este se concentra principalmente en las del cuarto piso, y no en las del primero como en el modelo. Las diferencias entre el modelo analizado y el real pueden deberse a: 1. Las columnas del edificio real fallaron por un mecanismo de corte, debido a la falta de confinamiento en las columnas. Esto va contra el actual criterio de diseño según el cual la falla flexural debe preceder la falla por corte. Por esto el modelo presentado representa una falla axial-flexural de las columnas, lo que explica la diferencia entre las capacidades reales y las del modelo.
127
2. En el edificio real tridimensional se produjo un mecanismo torsional durante el movimiento sísmico, producto de factores accidentales que hacen que una estructura nominalmente simétrica no se comporte como tal. Esto influye directamente en como se reparten los esfuerzos en altura durante el movimiento sísmico. Como el modelo es plano, se debe hacer un estudio de las propiedades de este mecanismo torsional particular para poder incluir este efecto en una modelación plana, como cambiar las rigideces de los pisos o sus capacidades. 3. La presencia de muros en el primer piso puede influir en el comportamiento sísmico del edificio, el cual no se considera en la modelación basada en un marco flexural. 4. La sobre-resistencia que pueden experimentar algunos elementos, produce que los esfuerzos reales salgan fuera de la curva de interacción calculada. Para considerar este efecto habría que determinar cuáles elementos desarrollan esta capacidad y así escalar la curva de interacción que se utiliza en el modelo. 5. Algunos elementos pueden haber experimentado una falla frágil (especialmente por corte), lo que se traduce en una brusca disminución de su rigidez postfluencia. Los elementos del modelo consideran una falla dúctil, y por eso la rigidez post-fluencia del elemento y de sus rótulas es la misma que la del elemento en estado elástico inicial.
En la Figura 6.36 se hace una comparación entre la energía disipada por histéresis del marco analizado con el espectro de energía del registro de Northridge.(Fig. 6.6). En esta figura se aprecia que la energía disipada por las columnas se acerca al espectro correspondiente a una ductilidad µ=1.5. Sin embargo la energía disipada por las vigas se encuentra muy por sobre los espectros mostrados. Como se mostró en el Capítulo III, los espectros de edificios de corte en las frecuencias intermedias se encuentran aproximadamente en el rango de valores de los espectros para sistemas de un grado de libertad. Sin embargo estos edificios sólo consideran la energía disipada por las columnas, ya que las vigas son infinitamente rígidas. Como el marco sufre daños significativos, las vigas disipan una cantidad importante de energía por histéresis, lo que explica las diferencias con los espectros calculados para sistemas de un grado de libertad.
200
Total→←Vigas
100
50
Columnas →
Eh1/2 (cm/seg)
20
10
5
µ=10 µ=5 2
µ=3 µ=2
1
µ=1.5
0.5
0.2 0.01
0.02
0.05
0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
Frecuencia (Hz)
128
Figura 6.36: Espectro de energía por histéresis para el registro medido en la base del edificio (Northridge, 1994), componente horizontal; y energía disipada por histéresis para el marco analizado (*)
129
VII.
CONCLUSIONES
Los resultados presentes en este trabajo corresponden al análisis e implementación de modelos no-lineales que permitan predecir el comportamiento real de una estructura que se ve sometida a un movimiento sísmico. Además se hace un estudio de la disipación de energía por histéresis de edificios de corte, con lo que se logra obtener espectros de energía y compararlos con los correspondientes a los sistemas de un grado de libertad. Se utilizan cuatro registros sísmicos para obtener espectros de disipación de energía por histéresis. Con cada registro se analizan 29 edificios entre dos y cien pisos, de forma que se cubra un rango de frecuencias fundamentales entre 0.1 y 5 Hz. En general los cuatro registros analizados muestran un comportamiento similar, el cual podemos resumir en: 1. El mejor ajuste del espectro de edificios se encuentra en la zona de frecuencias donde existe mayor disipación de energía, debido a que en esta zona el movimiento sísmico de los edificios está regido principalmente por el modo fundamental de la estructura, con una menor participación de los modos altos. 2. Para frecuencias bajas (sistemas flexibles), los edificios disipan más energía que los sistemas de un grado de libertad con igual frecuencia fundamental, ya que la influencia de los modos altos en la respuesta de los edificios se hace más importante. 3. Los registros impulsivos presentan un mejor ajuste entre el espectro de edificios y el de sistemas de un grado de libertad. Esto se debe a que el contenido de frecuencias (espectro en frecuencia de Fourier) en estos registros es menor que en los registros más ruidosos (como los chilenos estudiados en esta investigación). Consecuentemente existe una mayor participación del modo fundamental y una mejor distribución de las disipaciones en altura. Si bien existen diferencias entre los dos espectros comparados, se muestra que a se puede lograr determinar la disipación de energía de edificios a partir de los espectros calculados para sistemas de un grado de libertad. Para esto hay mejorar los códigos de diseño para lograr que el edificio responde principalmente a su modo fundamental de vibración.
130
Para poder simular en forma precisa, pero al mismo tiempo con una modelación sencilla y transparente, se crean dos macro-elementos no lineales, uno correspondiente a las vigas y el otro a las columnas. Estos elementos se utilizan para crear marcos flexurales planos. Otros modelos existentes para modelar estos marcos son los que van desde modelos lineales simplificados hasta los que utilizan elementos finitos no-lineales. Las ventajas de la modelación implementada en este estudio con respecto a otras existentes se pueden resumir en: 1. El modelo de marco flexural con macro-elementos es mucho más preciso que los métodos simplificados, con un costo relativamente bajo. Además da cuenta detalladamente donde y cuanto fue el daño sufrido por la estructura. 2. Comparado con una modelación en la que se utilizan las rótulas y los elementos elásticos en forma separada, el modelo implementado es mucho más estable, ya que no incorpora los grados de libertad internos de las rótulas, y por lo tanto no aparecen los modos altos que hacen que el método de integración se inestabilice. Además la modelación estudiada se implementa con muchos menos grados de libertad que en la que se incluyen las rótulas y los elementos elásticos por separado. 3. Comparada con una modelación en la que se utilizan elementos finitos, el modelo de marco flexural con macro-elementos es más transparente y sencillo para el usuario, ya que la forma de ingresar los datos es muy similar a la que se utilizaría para la misma estructura lineal.
El análisis del edificio del Capítulo VI muestra las aplicaciones prácticas que puede tener el modelo implementado. En este se aprecian, p.e., como las columnas del cuarto piso soportan daños significativos, mientras que las del segundo y tercer piso sufren deterioros menores. La implementación de los macro-elementos planos de este estudio puede ser extendida al caso tridimensional, con un enfoque algorítmico similar al explicado en el Capítulo V. Con esto se podrían determinar comportamientos torsionales que no pueden ser simulados con el modelo plano.
131
Este trabajo puede además servir como base para la creación de modelos en los que se reemplazan las rótulas no-lineales por elementos tipo fibra. Con esta mejora se obtiene una modelación más precisa de la transición entre el estado elástico y el plástico de las rótulas, especialmente en el caso del macro-elemento columna.
132
BIBLIOGRAFÍA 1.
Chopra, Anil K. (1995), Dynamics of Structures, Prentice Hall, New Jersey.
2.
Comisión de Diseño Estructural en Hormigón Armado y Albañilerías (1997), Código de Diseño en Hormigón Armado, Basado en el ACI 318-95, Cámara Chilena de la Construcción, Instituto Chileno del Cemento y del Hormigón, Corp. de Investigación de la Construcción, Santiago, Chile.
3.
De la Llera J.C., Chopra A.K. (1995), A Simplified Model for Analysis and Design of Asymetric-plan Buildings, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 24 (4), 573-594.
4.
De la Llera, J.C. (1998), Apuntes del Curso “ICE-3722 Dinámica Estructural”, Dictado el 1er Semestre de 1998, Escuela de Ingeniería, Pontificia Universidad Católica de Chile.
5.
De la Llera J.C., Chopra A.K. (1998), Evaluation of Seismic Code Provisions Using Strong-Motion Building Records from the 1994 Northridge Earthquake, Report UBC/EERC-97/16, Earthquake Engineering Reserch Center, University of California at Berkeley.
6.
De la Llera J.C., Inaudi J., Lüders C. (1998), Análisis y Diseño de Sistemas de Aislación Sísmica y Disipación de Energía, Pontificia Universidad Católica de Chile.
7.
De la Llera, J.C. (1999), Apuntes del Curso “ICE-3732 Dinámica Computacional”, Dictado el 1er Semestre de 1999, Escuela de Ingeniería, Pontificia Universidad Católica de Chile.
8.
De la Llera J.C., Vásquez J., Chopra A.K., Almazán J.L. (2000), A MacroElement Model for Inelastic Building Analysis, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 29 (12), 1725-1757.
133
9.
García E., Riddell R. (1995), Espectros de Energía Disipada por Histéresis en Sistemas Inelásticos Sometidos a Terremotos, Departamento de Ingeniería Estructural, Escuela de Ingeniería, Pontificia Universidad Católica de Chile.
10. Gupta A., Krawinkler H. (2000), Estimation of seismic drift demands for frame structures, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 29, 12871305. 11. International Conference of Building Officials (1994), Uniform Building Code, 1994 Edition, Whittier, California. 12. Ogata, K. (1992), System Dynamics, 2nd ed. Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J. 13. Przemieniecki, J.S. (1968), Theory of Matrix Structural Analysis, Dover Publications, Inc., New York. 14. Riddell, R. (1999), Apuntes del Curso “ICE-3742 Análisis Sísmico”, Dictado el 1er Semestre de 1999, Escuela de Ingeniería, Pontificia Universidad Católica de Chile. 15. U.S. Department of Commerce (1973), San Fernando, California, Earthquake of February 9, 1971, Efects on Building Structures, Washington, D.C., 1, 359393.
