Aufgabe_4_4_L

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Aufgabe 4: a) Schreiben Sie in Python ein Programm, um die Approximationseigenschaften der Interpolationspolynome am Beispiel der Runge-Funktion mit den Funktionswerten

im Intervall und

zu überprüfen. Berechnen Sie dazu den absoluten Fehler der Interpolationspolynome vom Grad jeweils mit äquidistanten Stützstellen bzw. Tschebyschewabszissen an äqudistanten Stellen in . Plotten Sie die Funktionen und absoluten Fehler! Was beobachten Sie?

b) Berechnen Sie numerisch die Lebesgue-Konstanten Tschebyscheff-Abszissen. Beobachtung?

Zunächst definieren wir Funktionen, die für ein Intervall Tschebyscheff-Stützstellen bereitstellen.

jeweils für äquidistante und

zu gegebenem

Listen von äquidistanten bzw.

In [1]: def make_stuetz_aeq(n, a, b): return [a+i*(b-a)/n for i in range(n+1)] def make_stuetz_t(n, a, b): from math import cos, pi return [a*(1-cos((2*i+1)*pi/2/(n+1)))/2+b*(1+cos((2*i+1)*pi/2/(n+1)))/2 for i in range(n+1)]

Aus diesen Listen generieren wir nun mit Unterprogrammen, die wir so ähnlich bereits in den Aufgaben 3.3 und 4.2 verwendet haben, Listen der Koeffizienten der Interpolationspolynome. In [2]: def runge_kutta(x): return 1.0/(1.0+25.0*x*x) def Newton_Polynom(grad, stuetz, f): import numpy as np # Felder initialisieren a=np.zeros([grad+1,2]) koeffs=[] for i in range(grad+1): a[i,0]=stuetz[i] a[i,1]=f(a[i,0]) # Schema füllen for j in range(2,grad+2): for i in range(grad-j+2): a[grad-i,1]=(a[grad-i,1]-a[grad-i-1,1])/(a[grad-i,0]-a[grad-i-j+1,0] ) for j in range(grad+1): koeffs.append(a[j,1]) return koeffs

Schließlich benötigen wir noch das Unterprogramm, dass zu einer gegebenen Abszisse den Funktionswert des entsprechenden Newtonpolynoms berechnet. Dieses haben wir bereits in den Aufgaben 3.3 und 4.2 verwendet.

27.05.2016 11:20

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In [3]: def Newton_Polynom_Wert(x, grad, stuetz, koeffs): import numpy as np # Felder initialisieren a=np.zeros([2,grad+1]) for i in range(grad+1): a[0,i]=x-stuetz[grad-i] a[1,i]=koeffs[grad-i] # Wert berechnen wert=a[1,0] for i in range(1,grad+1): wert = a[0,i]*wert+a[1,i] return wert

Jetzt kann es losgehen. Vorher sichern wir noch ab, dass innerhalb des Notebooks geplottet werden kann. In [4]: import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib notebook

Lösung zu Aufgabe 4.4.a) Wir tabellieren in jedem der beiden Intervalle und für jedes die Runge-KuttaFunktion und deren Interpolationpolynome mit äquidistanten und Tschebyscheff-Stützstellen sowie die Fehler und plotten dann alle 5 Funktionen in ein Bild.

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In [5]: from math import fabs for m in [1,2]: a, b = 0.0, 0.5*m for n in [2,5,10,20,40,60]: #n=2*(k+1) stuetz_a = make_stuetz_aeq(n,a,b) stuetz_t = make_stuetz_t(n,a,b) koeffs_a = Newton_Polynom(n,stuetz_a,runge_kutta) koeffs_t = Newton_Polynom(n,stuetz_t,runge_kutta) my_absz = make_stuetz_aeq(10*n,a,b) my_ords = [runge_kutta(x) for x in my_absz] my_ords_a = [Newton_Polynom_Wert(x,n,stuetz_a,koeffs_a) for x in my_absz ] my_ords_t = [Newton_Polynom_Wert(x,n,stuetz_t,koeffs_t) for x in my_absz ] my_errs_a =[fabs(my_ords[i]-my_ords_a[i]) for i in range(len(my_absz))] my_errs_t =[fabs(my_ords[i]-my_ords_t[i]) for i in range(len(my_absz))] fig1 = plt.figure() subplot1 = fig1.add_subplot(211) subplot2 = fig1.add_subplot(212) subplot1.plot(my_absz, my_ords, label = "Runge-Kutta-Funktion") #subplot2.plot(my_absz, my_ords, label = "Runge-Kutta-Funktion") subplot1.plot(my_absz, my_ords_a, label = 'Newton äquidistant') subplot1.plot(my_absz, my_ords_t, label = 'Newton Tschebyscheff') subplot2.plot(my_absz, my_errs_a, label = 'Fehler äquidistant') subplot2.plot(my_absz, my_errs_t, label = 'Fehler Tschebyscheff') subplot1.legend(loc = 'upper right') subplot2.legend(loc = 'upper right') subplot1.set_title("Interpolationsfunktionen für n = {:2d}".format(n)) subplot2.set_title("Interpolationsfehler für n = {:2d}".format(n)) fig1.show()

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Wir beobachten, dass bei den äquidistanten Stützstellen die Fehler in den einmzelnen Teilintervallen unterschiedlich groß sind, insbesondere am Rand. Bei Tschebyscheff-Abszissen sind die Fehler über dem gesamten Intervall nahezu gleich groß, insgesamt aber deutlich kleiner als die maximalen Fehler bei äquididtanten Stützstellen.

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Lösung zu 4.4 b): Es ist

wobei die

gerade die Lagrange-Basis zu den gegebenen Stützstellen darstellt. Wir schreiben also zunächst ein Unterprogramm, dass die Funktionswerte der einer Stelle berechnet.

berechnen kann und eines, dass

an

In [6]: def lagrange(x,n,k,stuetz): l=1.0 ilist=list(range(n+1)) ilist.remove(k) xk=stuetz[k] for i in ilist: l=l*(x-stuetz[i])/(xk-stuetz[i]) return l def lambda_n(x,n,stuetz): from math import fabs s=0.0 for m in range(n+1): s += fabs(lagrange(x,n,m,stuetz)) return s

Schließlich schreiben wir zwei Programme, die für ein gegebenes Intervall und eine gegebene Anzahl von Stützstellen das oben genannte Maximum für äquidistante bzw. Tschebyscheff-Stützstellen berechnet. Dabei wählen wir wieder die zehnfache Anzahl von Testpunkten. In [7]: def maxlambda_a(a,b,n): stuetz_a = make_stuetz_aeq(n,a,b) tests = make_stuetz_aeq(10*n,a,b) mymax=0 for x in tests: wert=lambda_n(x,n,stuetz_a) if wert>mymax: mymax=wert return mymax def maxlambda_t(a,b,n): stuetz_t = make_stuetz_t(n,a,b) tests = make_stuetz_aeq(10*n,a,b) mymax=0 for x in tests: wert=lambda_n(x,n,stuetz_t) if wert>mymax: mymax=wert return mymax

Jetzt haben wir alle notwendigen Werkzeuge beisammen, um die Lebesque-Konstanten für die angebenen Stützstellenmangen zu tabellieren. Wir benutzen das Intervall .

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In [8]: print("n | L_n_a | L_n_t") ns, las, lts = [], [],[] for n in range(1,11): ns.append(5*n) las.append(maxlambda_a(0,1,5*n)) lts.append(maxlambda_t(0,1,5*n)) print("{:2d}".format(ns[n-1]), "{:25.5f}".format(las[n-1]), "{:15.5f}".forma t(lts[n-1])) fig2 = plt.figure() subplot1 = fig2.add_subplot(211) subplot2 = fig2.add_subplot(212) subplot1.plot(ns, las, label = "Lebesque Konstanten bei äquidistanten Stürtzstel len") subplot2.plot(ns, lts, label = "Lebesque Konstanten bei Tschebyscheff-Stürtzstel len") subplot1.legend(loc = 'upper right') subplot2.legend(loc = 'upper right') fig2.show() n 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

|

L_n_a 3.10496 29.89070 509.05170 10772.37077 257096.25362 6537713.12655 172565686.54777 4678649708.00659 129438795737.52814 3638061991227.13965

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L_n_t 2.10440 2.48943 2.72778 2.90082 3.03676 3.14871 3.24390 3.32668 3.39993 3.46562

Wir beobachten exponetielles-Wachstum der Lesbesque-Konstanten bei äquididstanten Stützstellen gegenüber logarithmischem Wachstum bei Tschebyscheff-Stützstellen.

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