NATURALEZA DE LA LUZ - CUESTIONES Y EJERCICIOS

I.E.S BEATRIZ DE SUABIA Dpto. Física y Química NATURALEZA DE LA LUZ - CUESTIONES Y EJERCICIOS 1. ¿Con qué ángulo “ i ”, medido respecto a la vertic...
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I.E.S BEATRIZ DE SUABIA

Dpto. Física y Química

NATURALEZA DE LA LUZ - CUESTIONES Y EJERCICIOS

1. ¿Con qué ángulo “ i ”, medido respecto a la vertical, debe mirar un submarinista, S, que está bajo el agua, para ver un pequeño objeto, P, que está sobre su superficie?.

P

aire agua

i

incidencia ε = 30º. Calcula el ángulo de refracción ε’. Después, el rayo alcanza un punto A de separación con otro vidrio diferente, donde se observa que se produce reflexión total. ¿Qué valor debe tener, como máximo, el índice n2 de este segundo vidrio?. PAU - Universidad de Zaragoza.

a) Ver teoría en el libro de texto.

S

b) Aplicando la ley de Snell a la superficie airevidrio tendremos que:

Datos: velocidad de la luz en el agua = 2,3.108 m/s. Velocidad de la luz en el aire=3.108 m/s. PAU - Universidad de Valencia.

1 ⋅ sen(30 º ) = 1,5 ⋅ sen(ε' ) ⇒

ε' = 19,47 º

Si se produce reflexión total debe cumplirse que: n1 ⋅ sen(i) = n2 ⋅ sen90 º

Si aplicamos la ley de Snell para la refracción tendremos que:

n agua ⋅ sen(i) ⋅ n aire ⋅ sen90º

ˆi = 90 º −εˆ ' = 90 º −19,47 º = 70,53 º



c v agua 2,3 ⋅ 10 8 ms −1 n aire v aire = = = sen(i) = = c v aire n agua 3 ⋅ 10 8 ms −1 v agua = 0,766



i = 50º

2. a) Explica qué es una fibra óptica. b) Un rayo de luz incide desde el aire (n=1) sobre un bloque de vidrio de índice de refracción n1 = 1,5 , con un ángulo de n2 A N ’ n1

Por lo tanto: n2 = 1,5 ⋅ sen(70,53 º ) = 1,41

--------------- 000 ---------------

--------------- 000 ---------------

N

Ahora bien el ángulo de incidencia en la cara de separación de los dos vidrios es:

3. El espectro visible contiene frecuencias entre 4.1014 Hz y 7.1014 Hz. a) Determine las longitudes de onda correspondientes a dichas frecuencias en el vacío. b) ¿Se modifican estos valores de las frecuencias y de las longitudes de onda cuando la luz se propaga por el agua? En caso afirmativo, calcule los valores correspondientes. (Índice de refracción del agua respecto al aire: n=1,3). c = 3.108 m.s-1. PAU - Universidades Andaluzas.

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a) Las longitudes de onda en el vacío serán: λ1 =

c 3 ⋅ 108 ms −1 = = 7,5 ⋅ 10 −7 m 14 f1 4 ⋅ 10 Hz

λ2 =

c 3 ⋅ 108 ms −1 = = 4,2 ⋅ 10 − 7 m f2 7 ⋅ 1014 Hz

(Índice de refracción del agua respecto al aire: n=1,3). PAU - Universidades Andaluzas.

a) El esquema sería el siguiente: aire

r

b) Al pasar de un medio a otro la frecuencia de la luz no varía (no se modifica el color de la luz) pero si lo hace su longitud de onda ya que varía su velocidad de propagación. La relación entre las longitudes de onda en un medio y otro serían:

i agua

Aplicando la ley de Snell tendremos que:

v1 = λ1 ⋅ f ⇒

λ2 =

v 2 = λ2 ⋅ f

;



v1 v 2 = λ1 λ 2



v2 ⋅ λ1 v1



Teniendo en cuenta que la velocidad de la luz en el agua sería: n=

c v agua



v agua =

c 3 ⋅ 10 8 ms −1 = = n 1,3

= 2,3 ⋅ 10 8 ms −1

2,3 ⋅ 10 8 ms −1 3 ⋅ 10 8 ms −1 2,3 ⋅ 10 8 ms −1 3 ⋅ 10 8 ms −1

n1 sen(i) ⇒ n2 ⇒

r = 40,54º

b) Si el rayo refractado es paralelo a la superficie de separación implica que r = 90º, por lo tanto: n2 sen(90 º ) ⋅ sen(r ) = = 0,769 n1 1,3



i = 50,28 º

--------------- 000 --------------−7

⋅ 7,5 ⋅ 10 m =

= 5,76 ⋅ 10 −7 m λ 2 (agua ) =

sen(r ) =

sen(r ) = 1,3 ⋅ sen(30 º ) = 0,65

sen(i) =

Por lo tanto, las nuevas longitudes de onda en el agua serían: λ 1 (agua ) =

n1sen(i) = n2sen(r ) ⇒

⋅ 4,2 ⋅ 10 −7 m =

= 3,22 ⋅ 10 −7 m --------------- 000 ---------------

4. Un rayo de luz pasa del agua al aire con un ángulo de incidencia de 30º respecto a la normal. a) Dibuje en un esquema los rayos incidente y refractado y calcule el ángulo de refracción. b) ¿Cuál debería ser el ángulo de incidencia para que el rayo refractado fuera paralelo a la superficie de separación agua-aire?.

5. Calcula el ángulo límite para la refracción de un rayo de luz que viaja por el interior de un tubo macizo de vidrio cuyo índice de refracción es 2, si dicho tubo está rodeado por aire. ¿Cuál debe ser el valor de ese ángulo si el tubo de vidrio está sumergido en agua?. n(agua)=1,33.

El ángulo límite es el ángulo de incidencia para el que el de refracción es de 90º, por lo tanto deberá cumplirse que: n1sen(iL ) = n2sen(90 º )

Por lo tanto, en el primer caso será:

sen(iL ) =

n2 1 = = 0,5 n1 2

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iL = 30º

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Y aplicando la ley de Snell a la refracción en la segunda cara tendremos que:

Y en el segunda caso será:

sen(iL ) =

n2 1,33 = = 0,665 n1 2



iL = 41,68º

--------------- 000 ---------------

1,8 ⋅ sen43,88 º = 1 ⋅ sen(r2 ) ⇒

Lo cual es imposible que el seno sea superior a 1, indicando este resultado que el rayo no sale por la segunda cara sino que sufre una reflexión total. Por lo tanto la trayectoria será la siguiente:

6. El prisma ABC de la figura está hecho con un vidrio cuyo índice de refracción es 1,8. Dibuja 1 cm sobre el diagrama 30º la 60º trayector 45º ia que seguirán 60º 60º los dos rayos de luz que 10 cm se indican hasta que salgan de nuevo al aire, y calcula el ángulo que formarán entre ellos.

sen(r2 ) = 1,24

Donde el ángulo r2=i2 ya que sufre una reflexión.

60º

i1

i2

r2

46,12º

A partir de los triángulos de i3 la figura se 60º 73,88º puede calcular el ángulo i3, ángulo de r3 incidencia en la tercera cara que resulta ser igual a 16,12º. El ángulo r3 con el que se refracta en la tercera cara será:

Trayectoria del rayo 1

La trayectoria que seguirá el rayo 1, que incide con un ángulo de 30º, es la indicada en la figura siguiente. El rayo sufre un refracción en la primera cara acercándose a la normal para, posteriormente sufrir una segunda refracción en la segunda cara alejándose de la normal. Los ángulos correspondientes a cada una de las refracciones serán:

1,8 ⋅ sen(16,12º ) = 1 ⋅ sen(r3 ) ⇒

r3 = 30º

Por lo tanto, el rayo 1 sale del prisma formando un ángulo de 30º con la normal a la cara inferior del prisma.

Trayectoria del rayo 2

Si realizamos los mismos cálculos para el segundo rayo tendremos que:

i1

60º r1 i2 60º

1 ⋅ sen45º = 1,8 ⋅ sen(r1) ⇒

r2

r1 + i2 = 60 º



i2 = 60 º −23,13 º = 36,87 º

1,8 ⋅ sen36,87º = 1 ⋅ sen(r2 ) ⇒

1 ⋅ sen30º = 1,8 ⋅ sen(r1) ⇒

r1 = 16,12º

A partir de los triángulos tenemos que: r1 + i2 = 60 º



i2 = 60 º −16,12º = 43,88 º

r1 = 23,13 º

sen(r2 ) = 1,08

Por lo tanto, el segundo rayo también sufrirá reflexión total en la segunda cara reflejándose con un ángulo de r2 = 36,87º. Y el ángulo i3 con que incide en la cara inferior será de 23,13º. Y el ángulo r3 con que se refracta en la cara inferior será: 1,8 ⋅ sen(23,13 º ) = 1 ⋅ sen(r3 ) ⇒

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r3 = 45 º

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Por lo tanto los rayos salen por la cara inferior de la siguiente forma:

Cara inferior

45º

a) Aplicando la ley de Snell tendremos: 1 ⋅ sen(42º ) = nsen(25º ) ⇒

b) La velocidad de la luz en el medio será: v=

30º

Rayo 2 Rayo 1

Por lo tanto, los dos rayos formarán un ángulo de 15º al salir definitivamente del prisma.

c 3 ⋅ 108 ms −1 = = 1,89 ⋅ 108 ms −1 n 1,58

La longitud de onda de la luz cambia al pasar de un medio a otro. La relación entre las longitudes de onda en dos medios vienen expresadas en función de las velocidades en los distintos medios mediante la ecuación: λ2 =

--------------- 000 ---------------

7. Un foco emite ondas electromagnéticas de 1,5 MHz en un medio cuyo índice de refracción es 1,2. Calcula la longitud de onda en el aire y en dicho medio.

n = 1,58

v2 ⋅ λ1 v1

Por lo tanto la longitud de onda en el medio considerado será: λ2 =

v2 1,89 ⋅ 10 8 ms −1 ⋅ λ1 = 500 ⋅ 10 −9 m = v1 3 ⋅ 10 8 ms −1

= 3,15 ⋅ 10 −7 m

La velocidad en el medio considerado será: n=

c v



v=

c 3 ⋅ 108 ms −1 = = 2,5 ⋅ 108 ms −1 n 1,2

Por lo tanto, la longitud de onda en el medio considerado será: λmedio =

v 2,5 ⋅ 108 ms −1 = = 166,66 m f 1,5 ⋅ 10 6 Hz

Y, puesto que la frecuencia no varía de un medio a otro, la longitud de onda en el aire será: λ aire =

c 3 ⋅ 108 ms −1 = = 200 m f 1,5 ⋅ 10 6 Hz

--------------- 000 ---------------

8. Un haz de luz de 500 nm de longitud de onda incide desde el aire sobre un material transparente con un ángulo de 42º con la normal y se refracta con un ángulo de 25º . Calcula: a) el índice de refracción del material. b) la velocidad de la luz y la longitud de onda en el medio.

--------------- 000 ---------------

9. En el fondo de una piscina de 2 m de profundidad se encuentra un foco luminoso puntual. Éste emite luz en todas direcciones de forma que en la superficie se observa un círculo de luz debido a los rayos refractados (fuera del círculo los rayos no emergen pues se reflejan totalmente). Calcula el radio del círculo si el índice de refracción del agua es n=1,33.

r

El radio del círculo, r, coincidirá iL 2m con el rayo incidente a partir del cual se produce ya la reflexión total, es decir, con el rayo que incide con un ángulo igual al ángulo límite, ver figura. Los rayos, que procedentes del foco, incidan con ángulos menores al límite pasarán al aire. En cambio, aquellos que incidan con un ángulo superior al límite no saldrán del agua ya que sufrirán reflexión total

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y, por tanto, no podrán ser observados desde el aire. El ángulo límite lo podremos calcular de la forma: 1,33 ⋅ sen(iL ) = 1 ⋅ sen(90º ) ⇒

iL = 48,75º

El radio, r, del círculo lo podemos calcular por triangulación de la forma: r tag(iL ) = 2



r = 2 ⋅ tag(48,75º ) = 2,28 m

que forman las prolongaciones del rayo incidente y el rayo emergente del prisma. Este es el ángulo que hay que calcular. Por triangulaciones tenemos que:

i1 = r1 + β

;

α = r1 + i 2

;

δ =β+θ

;

r2 = i 2 + θ Luego tendremos que: β = i1 − r1

;

θ = r2 − i 2



δ = i1 + r2 − (r1 + i 2 ) = i1 + r2 − α

--------------- 000 ---------------

10. Calcula la desviación entre el rayo incidente y el emergente de un prisma cuyo ángulo es de 60º y su índice de refracción es de 1,5. El rayo incide con un ángulo de 30º.

Por lo tanto, el ángulo de desviación δ del prisma se puede calcular en función del ángulo de incidencia inicial i1, 30º en nuestro caso, del ángulo α del prisma, 60º en nuestro caso, y del ángulo r2 de refracción en la segunda cara. Para calcular este ángulo vamos a aplicar la ley de Snell a cada una de las caras. 1 ⋅ sen(30 º ) = 1,5 ⋅ sen(r1 ) ⇒

El rayo incide en el prisma formando un ángulo de incidencia i1. En la primera cara sufre una refracción formando un ángulo de refracción r1 e incide después en la segunda cara formando un ángulo de incidencia i2, para salir finalmente del prisma después de sufrir una segunda refracción, formando un ángulo de refracción r2.

r1 = 19,47º

i2 = α − r1 = 60 º −19,47º = 40,53º 1,5 ⋅ sen(40,53º ) = 1 ⋅ sen(r2 ) ⇒

r2 = 77,1º

Por lo tanto, el ángulo de desviación del prisma será: δ = i1 + r2 − α = 30º +77,1º −60º = 47,1 º

c

120º

120º

a

b N y N’ son las normales a cada una de las caras y δ es el ángulo de desviación del prisma que es el ángulo

α N i1

β

r1

θ i2

N’

δ

--------------- 000 ---------------

11. En la figura se tienen tres espejos, a, b y c, colocados formando ángulos de 120º entre sí. Sobre el primero incide verticalmente, y en su punto medio, un rayo de luz. a) Dibuja la marcha del rayo hasta que se sale del sistema de los espejos. b) Calcula el ángulo que se ha desviado el rayo desde que incide hasta que sale del conjunto.

r2 α

El rayo de luz sufre reflexiones en las caras de los espejos. Como en la reflexión el ángulo de incidencia es igual al de reflexión se puede comprobar fácilmente que la marcha del rayo es la indicada en la figura. Física 2º Bachillerato - Naturaleza de la Luz

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60º 60º 60º 60º

60º

30º

60º 30º 30º

1,3. Un rayo de luz amarilla incide sobre una de sus caras formando un ángulo de 12º. ¿Qué ángulo total δ se habrá desviado el rayo al atravesar el prisma.

Como hemos visto en ejercicio anterior el ángulo de desviación del prisma se puede expresar en función del ángulo i1 de incidencia en la primera cara, del ángulo α del prisma y del ángulo r2 de refracción en la segunda cara de la forma:

Se observa que el rayo sale finalmente vertical hacia arriba, por lo tanto, se habrá desviado un ángulo de 180º con respecto al rayo incidente.

α N i1

N’

δ

r1

r2

i2 α

--------------- 000 --------------12. Cuando el ángulo de incidencia de un rayo sobre un material es de 30º, el ángulo que forman los rayos reflejado y refractado es de 135º. Calcular el índice de refracción del medio.

δ = i1 + r2 − α

En este caso i1=12º, α=30º. Para calcular r2 aplicamos la ley de Snell a las dos refracciones: 1 ⋅ sen(12º ) = 1,3 ⋅ sen(r1) ⇒

30 º 13 5º

r1 = 9,2º

i2 = α − r1 = 30º −9,2º = 20,8º 1,3 ⋅ sen(20,8º ) = 1 ⋅ sen(r2 ) ⇒

Se puede calcular fácilmente que el ángulo de refracción debe ser de 15º, ver figura

r2 = 27,49º

Por lo tanto, el ángulo de desviación del prisma será: δ = i1 + r2 − α = 12º +27,49º −30º = 9,49º º

--------------- 000 ---------------

30º 60º

14. En un prisma de 90º con índice de refracción n = 1,3 calcula el ángulo de incidencia para que en la segunda cara del prisma se produzca reflexión total.

75º 15º

Si aplicamos la ley de Snell tendremos que: 1 ⋅ sen(30º ) = n ⋅ sen(15º ) ⇒

n = 1,93

--------------- 000 ---------------

Para que en la segunda cara se produzca reflexión total el ángulo de incidencia i2 en ella debe ser igual como mínimo al ángulo limite del vidrio y el aire. i1

90º r1 i2

13. Se dispone de un prisma de 30º y con un índice de refracción para la luz amarilla n =

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Vamos a calcular este ángulo límite. Debe cumplirse que: 1,3 ⋅ sen(iL ) = 1 ⋅ sen(90º ) ⇒

iL = 50,28º

d) El ángulo límite para cuando la luz pasa del vidrio al aire sería: 1,41 ⋅ sen(iL ) = 1 ⋅ sen(90º ) ⇒

Por lo tanto, el ángulo i2=50,28º. Ahora bien, como hemos visto en ejercicios anteriores: i2 = α − r1



iL = 45,17º

--------------- 000 ---------------

r1 = α − i2 = 90º −50,28º = 39,72º

Y aplicando la ley de Snell a la primera cara del prisma tendremos que: 1 ⋅ sen(i1 ) = 1,3 ⋅ sen(39,72º ) ⇒

i1 = 56,17º 1

--------------- 000 ---------------

15. Un rayo de luz láser de longitud de onda 5,2.10-7 m incide en un bloque de vidrio. a) ¿Puedes describir los fenómenos que ocurren?. b) Si el ángulo de incidencia es 45º y el de refracción es 30º, ¿puedes calcular el índice de refracción del vidrio?. c) ¿Sería diferente para una longitud de onda de 7.10-7 m?. d) Con el índice de refracción calculado, ¿podrías decir cómo calcularías el ángulo límite y cuál es su valor?.

a) Al incidir la luz sobre la superficie del vidrio sufrirá normalmente reflexión y refracción, aunque la refracción es el fenómeno más importante si el vidrio es transparente.

16. Una lámina de vidrio de caras planas y paralelas, situada en el aire, tiene un espesor de 8 cm y un índice de refracción n = 1,6. Para un rayo de luz monocromática que incide en la cara superior de la lámina con un ángulo de 45º: a) Halla los valores del ángulo en el interior de la lámina y del ángulo emergente. b) Averigua el desplazamiento lateral experimentado por el citado rayo al atravesar la lámina. c) Dibuja la marcha geométrica del rayo.

a) La luz sufre dos refracciones en las caras de la lámina, ver figura. El ángulo de refracción r1 será: 1 ⋅ sen(45º ) = 1,6 ⋅ sen(r1) ⇒

Este ángulo será igual al de incidencia en la segunda cara. Por lo tanto, el ángulo r2 con que emerge el rayo será: 1,6 ⋅ sen(26,22º ) = 1 ⋅ sen(r2 ) ⇒

i1

n = 1,41

c) El índice de refracción de un vidrio depende normalmente de la longitud de onda de la luz que se propaga por él ya que: n=

r2 = 45º

Por lo tanto el rayo emergente sale paralelo al rayo incidente.

b) Aplicando la ley de Snell tendremos que: 1 ⋅ sen(45º ) = n ⋅ sen(30º ) ⇒

r1 = 26,22º

e

d

c c = v λf

Donde v es la velocidad de propagación de la luz en el vidrio y λ es la longitud de onda en el vidrio. La frecuencia f de la luz incidente no cambia al propagarse por el vidrio. Pero como cambia la velocidad, cambiará la longitud de onda en el vidrio.

x

θ r1 I2

r2

Es decir, la lámina de caras plano-paralelas no produce desviación del rayo inicial sino un desplazamiento d ya que el rayo emergente sale paralelo a él.

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b) Si llamamos x a la longitud de la trayectoria del rayo dentro de la lámina tendremos que: cos(r1 ) =

e x



x=

e 0,08 m = = cos(r1 ) cos(26,22º )

a) Al pasar la luz de un medio a otro no se modifica su frecuencia pero si su velocidad, por lo tanto, se modificará su longitud de onda. La relación que existe entre las longitudes de onda en dos medios distintos viene dada por:

= 0,089 m

λ2 =

Y, por otro lado, tendremos que: sen(θ ) =

d x

Y como el ángulo θ = i1-r1=45º-26,22º = 18,78º, tendremos que la desviación experimentada por el rayo incidente será: d = x ⋅ sen(θ) = 0,089 m ⋅ sen(18,78º ) = 0,028 m

--------------- 000 ---------------

Si calculamos tendremos que: n=

c v



v=

la

v2 ⋅ λ1 v1

velocidad

en

el

agua

c 3 ⋅ 108 ms −1 = = 2,25 ⋅ 108 ms −1 n 1,33

Por lo tanto, la longitud de onda en el agua será: λ agua =

v agua v aire

⋅ λ aire =

2,25 ⋅ 10 8 ms −1 8

3 ⋅ 10 ms

−1

⋅ 663 ⋅ 10 −9 m =

−9

= 497 ⋅ 10 m = 497 nm

17. Se tiene un láser que genera luz roja monocromática de longitud de onda en el aire 663 nm y se introduce en el agua, cuyo índice de refracción es 1,33. a) ¿cuál es la longitud de onda de la citada luz en el agua?. b) Una persona bajo el agua ¿observará el mismo color (rojo) o un color ligeramente diferente? ¿por qué?. Dato: c = 3.108 m.s-1.

b) El color de la luz está determinado por su frecuencia, no por su longitud de onda, por lo tanto, como ésta no cambia al pasar de medio, la persona bajo el agua observará exactamente el mismo color de luz. --------------- 000 ---------------

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