Matemáticas de Nivel II de ESPA: Movimientos en el plano - 1

Movimientos en el plano y mosaicos En esta unidad se presenta la utilidad de la geometría para ornamentar objetos y espacios en las actividades humanas. Se estudiarán en profundidad los mosaicos árabes y el estudio que de ellos hizo Escher.

Introducción Las transformaciones geométricas ha sido una de las constantes de la mayoría de las culturas, presentándose en los elementos decorativos de las primeras vasijas de barro, en los tejidos y en los distintos adornos de todo tipo. La simetría se ha asociado frecuentemente con las ideas de equilibrio y armonía a lo largo de la Historia. En la actualidad, en pleno auge del diseño, basta observar los logotipos de las marcas, empresas o acontecimientos diversos para encontrar simetrías , reflexiones, traslaciones , giros , etc., es decir, transformaciones geométricas. Sin duda, la cultura que más ha utilizado composiciones geométricas basadas en las isometrías ha sido la musulmana. Sus mosaicos y ornamentaciones constituyen la manifestación más espectacular del arte geométrico. Quizá las manifestaciones más brillantes de este arte se encuentre en toda nuestra geografía y, en particular en la Alhambra de Granada. Algunas de las obras del arte musulmán andaluz han ejercido un poderoso influjo en muchos artistas entre los que cabe destacar al artista holandés Escher, que desarrolló una notable obra pictórica de carácter geométrico famosa, entre otros aspectos por sus teselaciones del plano.

M. C. Escher, Holanda 1898-1972 (izquierda) y Notas de la Alhambra, Escher 1936 (derecha)

1. Vectores Las magnitudes vectoriales son aquéllas que quedan completamente definidas dando su módulo, su dirección y sentido. Por ejemplo, velocidad, aceleración, fuerza... El módulo de una magnitud vectorial es siempre un valor positivo.

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Para trabajar con magnitudes vectoriales se utilizan los vectores. Un vector ⃗ AB es un segmento orientado que va del origen A al extremo B: • Su dirección es la de la recta que lo contiene o la de cualquiera de sus paralelas. • Su sentido es el que va del origen al extremo. • Su módulo es la longitud del segmento AB. Se expresa mediante

∣ AB∣

.

Las componentes o coordenadas de un vector se calculan restando las coordenadas del extremo B  b 1 , b 2  menos las coordenadas del origen A  a 1 , a 2  :

 AB=B− A= b 1−a 1 , b2 −a 2  El módulo del vector se calcula utilizando el teorema de Pitágoras:



2 2  AB=  b1−a1    b 2−a 2 

Ejemplo: Dados los puntos A  2 ,3  y B  5 ,5  , obtener las coordenadas del vector y su módulo. Representa gráficamente el vector. Componentes del vector: Módulo: Gráfica:



2

 AB

 AB=B− A= 5−2,5−3 =3, 2

2

 AB=  3   2  = 94= 13

Actividades 1. Dadas las siguientes parejas de puntos, calcula las componentes del vector definen, halla su módulo y represéntalos gráficamente. a) A(1,3) y B(-4,5) b) A(4,0) y B(-1,-5) c) A(-1,-3) y B(5,-7) 2. Dados el punto A(2, 4) y el vector gráficamente el vector.

 AB  3,5  , determina el punto B extremo del vector. Representa

3. Escribe tres vectores con módulo 4 y dibújalos en el plano. ¿Puedes escribir uno con módulo -2? ¿Por qué?

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2

-

Transformaciones geométricas

Una transformación geométrica es el conjunto de operaciones geométricas que permiten crear una figura a partir de otra previamente dada. La sombra que se proyecta en el suelo un día de sol es una transformación geométrica de nuestra silueta. Si se proyecta una diapositiva sobre una pantalla nos hallamos ante otra transformación geométrica. Calcar una figura de un papel sobre una transparencia y desplazar la transparencia trasladándola en cualquier dirección, o girarla, o darle la vuelta, son otros ejemplos de transformaciones geométricas. En el primer caso, la sombra ni tiene el mismo tamaño, ni exactamente la misma forma que nuestro cuerpo: la sombra es la silueta deformada. En la proyección d e la diapositiva la imagen de la pantalla tiene la misma forma que la imagen de la diapositiva, pero es mucho más grande. En cambio, con la figura de la transparencia, la figura calcada tiene la misma forma y el mismo tamaño que el original. Por tanto, en algunas transformaciones geométricas se conservan la forma de la figura y las distancias entre los puntos, es decir, el tamaño y las dimensiones. En otras se conserva la forma, pero no las dimensiones. Finalmente, existen otras que no conservan las dimensiones ni la forma. A las transformaciones que conservan las dimensiones se les denomina movimientos o isometrías. Los movimientos pueden ser traslaciones, giros y simetrías (ver la figura de la derecha).

EJERCICIOS 4 Dibujar una letra E y aplicarle distintos movimientos (traslación, giro y simetría). 5 A partir del dibujo inicial (superior), indicar si las diferentes figuras se han obtenido mediante un movimiento o no. Razonar la respuesta.

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2.1 Traslaciones La traslación de una figura es su transformación en otra mediante su desplazamiento. Se realiza mediante un vector:

2.2 Giros Un giro es un movimiento que asocia a cada punto de una figura otro punto situado a la misma distancia que él de un punto llamado centro. Para determinar un giro es necesario especificar el punto sobre el que se efectúa el giro y el ángulo o amplitud del giro. Los ángulos de giro tienen signo positivo cuando son en el sentido contrario de las agujas del reloj, y tienen signo negativo cuando se gira en el sentido de las agujas del reloj.

2.3 Simetrías Las simetrías son movimientos muy utilizados en diversos campos del conocimiento, como la arquitectura, el diseño, el arte o la moda.

Simetría Central

Axial

Una simetría central respecto a un punto O (centro de simetría) es el movimiento que asocia a cada punto P de una figura otro punto P’ tal que P, O y P’ están alineados, y O es el punto medio del segmento PP’. (La simetría central de centro O es equivalente a un giro de centro O y ángulo 180º)

Una figura simétrica a otra respecto de una recta se denomina simetría axial. A la recta se le llama eje de simetría. Es un movimiento que asocia a cada punto P de una figura otro punto P’ de forma que el segmento PP' es perpendicular a la recta r y, además, las distancias de P y P’ a r son iguales; es decir, la recta r es la mediatriz del segmento PP’.

EJERCICIOS

w =−3,5 . 6 Dibuja la traslación del triángulo de vértices A(3,0), B(-1,4) y C(2,5) según el vector  © Fernando Moya Molina

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7 Los vértices de una figura son los puntos A(-1,0), B(1,4) y C(2,2). Dibuja su transformada por un giro de centro el origen de coordenadas y ángulo -135º. 8 Dibuja los transformados mediante una simetría de centro O de los vértices del triángulo ABC, e indica sus coordenadas. ¿Cuál sería el transformado, mediante esta simetría de un punto P de coordenadas a , b ? 9 Halla las coordenadas de los transformados de los vértices del triángulo ABC mediante la simetría de eje e. .

3. Teselación del plano: mosaicos. Una teselación o embaldosado, es el recubrimiento del plano mediante figuras sin que se superpongan ni queden huecos entre ellas formando lo que se denomina mosaico. 3.1 Mosaicos regulares Si el mosaico se forma utilizando polígonos regulares del mismo tipo para recubrir el plano, se obtienen mosaicos regulares. Como en cada vértice uno de los vértices de las figuras que se unen deben confluir ángulos que sumen 360º, el recubrimiento sólo se puede realizar utilizando triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos :

3.2 Mosaicos semi-regulares RECUERDA Si el recubrimiento se realiza mezclando polígonos regulaares de más de un tipo, se obtienen mosaicos semiregulares. Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos El ángulo interior  de un que confluyen en un vértice debe ser de 360º, podemos polígono es: n−2· 180 º formar los ocho mosaicos semi-regulares que se muestran = n en la siguiente tabla: n ≡ número de lados

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Polígonos regulares

Ángulos

1 hexágono + 1 triángulo equilátero + 2 cuadrados

120º+60º+2·90º=360º

2 octógonos + 1 cuadrado

2·135º+90º=360º

1 dodecágono + 1 hexágono + 1 cuadrado

150º+120º+90º=360º

2 dodecágonos + 1 triángulo equilátero

2·150º+60º=360º

2 hexágonos + 2 triángulos equiláteros

2·120º+2·60º=360º

1 hexágono + 4 triángulos equiláteros

120º+4·60º=360º

2 cuadrados + 3 triángulos equiláteros (1ª disposición)

2·90º+3·60º=360º

2 cuadrados + 3 triángulos equiláteros (2ª disposición)

2·90º+3·60º=360º

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Mosaico

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3.2 Otros: método quita y pon Se pueden construir mosaicos que rellenen el plano con polígonos no regulares e incluso usando figuras de lados curvos con la técnica del quita y pon. Esta técnica consiste en dibujar una figura geométrica que por si sola tesele el plano, como un paralelogramo o un triángulo. Luego, se le van sacando partes de un lado, para ponerlas en el lado contrario. Cuando se obtenga la figura deseada, se repite n veces y se van colocando de modo que encajen perfectamente, utilizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselados construidos con este método.

EJERCICIOS 10 ¿Puede existir un mosaico regular formado por pentágonos regulares? ¿Por qué? ¿Y un mosaico semirregular formado exclusivamente por hexágonos y cuadrados? 11 Los mosaicos de la Alhambra. 12 Los mosaicos de Escher.

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