Movimiento Circular Uniforme por Ezequiel Wajs

Los movimientos que estudiamos hasta el momento han sido rectil´ıneos, o lo que es lo mismo, han ocurrido siempre en la misma direcci´ on o simplemente no doblan. Sin embargo, la mayor parte de los objetos que se mueven a nuestro alrededor suelen cambiar su direcci´on a lo largo de su trayectoria. A continuaci´on estudiaremos el movimiento no rectil´ıneo m´as simple de todos: el movimiento circular uniforme o MCU. Muchas cosas en nuestro entorno se mueven en MCU: una Vuelta al Mundo o Noria, las boleadoras, la Tierra alrededor del Sol, la Luna alrededor de la Tierra, etc.

Sol

Tierra

La ´orbita de la Tierra alrededor del Sol es un c´ırculo (m´as o menos)

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Cinem´ atica del MCU La cinem´atica (como ya vimos el a˜ no pasado) es la rama de la F´ısica que estudia el movimiento sin tener en cuenta sus causas. Es decir, c´ omo es un MCU independientemente de porqu´ e podr´ıa llegar a ocurrir.

Per´ıodo (T ) El MCU es un movimiento peri´ odico, es decir, un movimiento que se repite: una vez que el objeto da una vuelta completa, vuelve a comenzar un nuevo ciclo, id´entico al anterior. La duraci´on de un ciclo se llama Per´ıodo y se simboliza con la letra T, el mismo se mide en unidades de tiempo. Para el caso de la Tierra alrededor del Sol, el per´ıodo del MCU es de 365,25 d´ıas o un a˜ no (aproximadamente).

Frecuencia (f ) La frecuencia es una magnitud similar al per´ıodo: en vez de indicar cu´antas unidades de tiempo demora un ciclo indica cu´antos ciclos ocurren por unidad de tiempo. Es decir, es la inversa del per´ıodo, matem´aticamente: f=

1 T

Las dos unidades m´as comunes de frecuencia son el Hertz (Hz) y las revoluciones por minuto (rpm). 1 Hz corresponde a 1 ciclo por segundo y 1 rpm a un ciclo por minuto. Las ondas de radio FM tienen una frecuencia del orden de 100 MHz (Mega Hertz) es decir, completan 100 millones de ciclos en un segundo. Un objeto que da una vuelta por segundo est´a, entonces, completando 60 vueltas por minuto, por lo tanto, la frecuencia en rpm es: frpm = 60 · fHz

Radio (r) El radio del MCU es simplemente el radio del c´ırculo de la trayectoria que describe el objeto, es la distancia desde el centro a cualquier punto de la trayectoria. Para el caso de la Tierra alrededor del Sol, el Sol est´a ubicado (m´as o menos) en el centro y el radio es de (aproximadamente) 150 millones de km. Si quisi´eramos saber cuanta distancia recorre el cuerpo en un ciclo, entonces debemos calcular el per´ımetro del c´ırculo que el cuerpo describe en su MCU: d = 2πr

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Velocidad Tangencial (~ vt y vt ) La velocidad es una magnitud vectorial, es decir, no alcanza con un n´ umero y una unidad para determinarla, hace falta tambi´en indicar una direcci´on. Si la direcci´on de movimiento en un MCU var´ıa constantemente, entonces la velocidad tambi´en lo hace, es sencillo de ver en una boleadora: dependiendo del momento en que la soltemos, la misma saldr´a disparada en una u otra direcci´on, la direcci´on en la que sale disparada es justamente, la direcci´on de la velocidad para ese punto de la trayectoria. La velocidad es tangente a la trayectoria recorrida. Una tangente es una recta que toca a una curva sin atravesarla y que tiene la misma direcci´on que la curva en el punto en que se tocan

La velocidad es tangente a la trayectoria del MCU Si bien la velocidad cambia constantemente de direcci´on, no cambia nunca de valor durante un MCU, es decir, el MCU tiene siempre la misma rapidez o m´ odulo de la velocidad, recorre la misma cantidad de distancia por unidad de tiempo en cualquier tramo. La rapidez o m´odulo de la velocidad (vt ) se calcula como distancia recorrida sobre tiempo transcurrido. Para un MCU, un per´ıodo es el tiempo en que se demora en recorrer el per´ımetro del c´ırculo, por lo tanto: vt =

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2πr T

´ Angulos en radianes (rad) Es importante, para trabajar con MCU, entender el concepto de radi´an. Los radianes son una forma alternativa de medir a´ngulos (as´ı como millas es una alternativa a medir kil´ometros). En radianes, una vuelta completa equivale a 2π rad, en contraposici´on a 360◦ . 90◦ entonces ser´an π2 rad. B´asicamente debemos hacer la regla de tres simple para convertir de grados a radianes: 360◦ −→ 2π rad 30◦ · 2π rad π = rad 30◦ −→ x = ◦ 360 6 La utilidad particular de los radianes para el MCU es su relaci´on con los c´ırculos y los ciclos. Se llama arco de circunferencia o arco (A) a la porci´on de c´ırculo correspondiente al ´angulo elegido, gr´aficamente: A θ r

Arco de circunferencia para θ = 60◦ = π3 rad Si θ = 60◦ = π3 rad y r = 2cm entonces el arco de circunferencia debe ser 16 del per´ımetro (porque 60◦ es 16 de 360◦ ). El per´ımetro es P = 2πr = 2π2cm = 4πcm, = 23 πcm. Si ahora tomamos ese arco y entonces para θ = π3 rad el arco es A = P6 = 4πcm 6 lo dividimos por el radio del c´ırculo: 2 πcm A π = 3 = =θ r 2cm 3 Que es el a´ngulo del arco medido en radianes. Es decir, la relaci´ on (divisi´ on) del arco y el radio es siempre la misma para el mismo ´ angulo, sin importar el tama˜ no del c´ırculo. Otra conclusi´on importante que se puede observar en el ejemplo es que el a´ngulo en radianes es en realidad aunitario (no tiene unidades) ya que los cm (u otra unidad de distancia) del numerador se simplifican con los del denominador. Cuando escribimos rad despu´es de un a´ngulo medido en radianes, es en realidad una peque˜ na mentira, ya que los radianes no tienen unidad.

Resumiendo Hay otra forma de medir a´ngulos, llamada radianes y en este sistema una vuelta completa (360◦ ) equivale a 2π (rad), la unidad es, en realidad, ficticia. Los radianes, as´ı como los grados son c´ıclicos, dos vueltas y media son 900◦ (2, 5 · 360◦ ), en radianes, dos vueltas y media equivalen a 5π (2, 5 · 2π). Por u ´ltimo, para un c´ırculo, el arco de circunferencia es igual al ´angulo medido en radianes por el radio de la circunferencia: A=θ·r 4

Velocidad Angular (ω) La velocidad angular es una forma alternativa de medir la velocidad con la que se recorre el MCU, en vez de indicar la velocidad en t´erminos de la relaci´on entre distancia que se recorre y el tiempo transcurrido, se mide la velocidad en t´erminos de las vueltas medidas angularmente (1 vuelta = 360◦ = 2π rad) y el tiempo transcurrido. C´omo un per´ıodo (T) es el tiempo que se tarda en dar una vuelta completa (2π rad), la velocidad angular deber´a ser: 1 2π = 2π · = 2π · f ω= T T Del lado de las unidades, la velocidad angular se expresar´a en unidades de a´ngulo sobre unidades de tiempo, en este caso entonces, las unidades de ω ser´an rad , pero recordando s que los radianes son una unidad ficticia, es posible no escribirla, de manera que la unidad de ω tambi´en puede escribirse como 1s . Si esto resulta un poco confuso, conviene releer las secciones de velocidad, per´ıodo y frecuencia. B´asicamente, la velocidad nos dice cu´ anta distancia se recorre por unidad de tiempo mientras que la velocidad angular nos dice qu´ e cantidad de vueltas se completan por unidad de tiempo midiendo una vuelta completa como 2π. Por otro lado, y gracias a la relaci´on entre a´ngulo en radianes, radio y arco se puede sacar la relaci´on entre velocidad angular y velocidad. Volviendo a ver la definici´on de la velocidad: 2π 2πr = ·r T T v =ω·r v=

Aceleraci´ on Centr´ıpeta (ac ) Por u ´ltimo en nuestro an´alisis cinem´atico del MCU, resta hablar de la aceleraci´on. Anteriormente mencionamos que en un MCU la velocidad cambia todo el tiempo, no de valor (o m´ odulo), pero si de direcci´on. Siempre que haya un cambio en la velocidad, sin importar de que tipo sea, habr´a aceleraci´on. Anteriormente, en MRUV analizamos aceleraciones que est´aban en la misma direcci´on que la velocidad (los objetos se mov´ıan hacia adelante o atr´as y tambi´en aceleraban hacia delante o atr´as (o arriba y abajo, etc.). De estas experiencias se puede deducir que el efecto de una aceleraci´ on paralela (en la misma direcci´ on) a la velocidad es cambiar el m´ odulo (valor) de la velocidad pero no su direcci´ on. De manera opuesta, el efecto de una aceleraci´ on perpendicular a la velocidad es cambiar su direcci´ on sin alterar su m´ odulo (o valor). Si esto es cierto (prometemos que as´ı lo es), entonces un MCU solo puede tener aceleraciones que sean siempre perpendiculares a la velocidad, ya que esta s´olo cambia su direcci´on y nunca su valor. En una trayectoria circular entonces, la aceleraci´on ser´a siempre perpendicular a la trayectoria, lo que quiere decir que apuntar´a hacia el centro del c´ırculo, por esto, recibe el nombre de aceleraci´ on centr´ıpeta (que apunta al centro) (ac ). En un MCU, para la aceleraci´on centr´ıpeta siempre se cumple que: ac =

v2 = ω2r r 5

1 de Abril

Por ejemplo, para el caso de la Tierra orbitando alrededor del Sol, veamos un esquema de velocidades y aceleraciones para distintos momentos del a˜ no.

v

ac

e

M a yo (

1d

fer i a do !)

¡

v ac v ac

Sol

1 de Enero

ac

1d

gos eA

ac

to

v v 1 de Octubre Velocidad y aceleraci´on centr´ıpeta de la Tierra en distintos momentos del a˜ no

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Din´ amica del MCU Del an´alisis cinem´atico se llega a la conclusi´on de que en el MCU, a todo momento, debe haber una aceleraci´on centr´ıpeta (que apunta al centro de giro). La segunda ley de Newton (que dice que la suma de todas las fuerzas es igual a la masa por la aceleraci´on) nos dice que, si hay aceleraci´on, necesariamente habr´a fuerza. Tambi´en nos dice que la fuerza y la aceleraci´on tendr´an la misma direcci´on. Por lo tanto, si hay aceleraci´ on centr´ıpeta deber´ a haber tambi´ en una fuerza centr´ıpeta (Fc ). Si el movimiento es MCU, la u ´nica aceleraci´on es centr´ıpeta y por lo tanto la u ´nica fuerza tambi´en lo es. Esta fuerza no cambia el valor (m´odulo) de la velocidad sino u ´nicamente su direcci´on (para mantenerlo en una trayectoria circular).

Fc

m

Fuerza centr´ıpeta en una boleadora Combinando la segunda ley de Newton con la expresi´on de la aceleraci´on centr´ıpeta vista m´as arriba se puede obtener la expresi´on de la fuerza centr´ıpeta: v2 = ω2r r FT = Fc = m · ac m · v2 Fc = = mω 2 r r Es importante recordar que la Fuerza se mide en Newton (N) y que 1N = 1kg sm2 . Si la velocidad no cambia, la energ´ıa cin´etica tampoco y por lo tanto el sistema tiene siempre la misma cantidad de energ´ıa mec´anica. Observando la ecuaci´on de la fuerza centr´ıpeta se pueden sacar algunas conclusiones importantes: si el radio de giro es fijo (por ejemplo, si se ata una pesa de un piol´ın de alguna longitud) entonces a mayor fuerza centr´ıpeta, mayor velocidad, es decr¸cir, mientras m´as fuerte tiremos de la pesa hacia el centro, m´as r´apido esta girar´a (su velocidad, velocidad angular y frecuencia aumentar´an, su per´ıodo disminuir´a y el radio de grio y la distancia recorrida por ciclo permanecer´an constantes). Por otro lado, si la fuerza centr´ıpeta permanece constante y dejamos variar el radio de giro, entonces la velocidad, el per´ıodo y la distancia recorrida aumentar´ an a medida que aumente el radio, pero la velocidad angular y la frecuencia disminuir´ an, es decir, si bien la masa se mover´a m´as r´apido, le tomar´a m´as tiempo completar el recorrido debido a que la distancia a recorrer ser´a m´as grande a´ un. Siempre que tengamos una fuerza que act´ ue perpendicularmente a la velocidad y que cumpla con las condiciones impuestas por las ecuaciones, tendremos un MCU. Las fuerzas responsables de los MCU pueden ser varias: la tensi´on de un hilo, la tracci´on de un motor, y, como veremos a continuaci´on, la fuerza de gravedad. ac =

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