Monaden. Tobias Columbus

Monaden Tobias Columbus Die Monaden / wovon wir allhier reden werden / sind nichts anders als einfache Substanzen / woraus die zusammen gesetzten Ding...
Author: Matilde Kraus
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Monaden Tobias Columbus Die Monaden / wovon wir allhier reden werden / sind nichts anders als einfache Substanzen / woraus die zusammen gesetzten Dinge oder composita bestehen. ∗ (Gottfried Wilhelm Leibniz)

In diesem Vortrag werden Monaden definiert und der Zusammenhang zwischen Adjunktionen und Monaden wird mit Hilfe der Kategorie der Eilenberg-Moore-Algebren untersucht. Als H¨ohepunkt wird eine schwache Variante des Monadicity-Theorems von Beck bewiesen. Abschließend wird noch kurz auf Anwendungen von Monaden in der Mathematik eingegangen.

§1 Von Monoiden zu Monaden In diesem Paragraphen wollen wir mit Hilfe der klassischen Definition eines Monoids die Definition einer Monade motivieren. Ein Monoid ist eine Menge M mit einer assoziativen Verkn¨upfung µ : M × M → M und einem bez¨uglich µ linksund rechtsneutralem Element ε ∈ M. Die Assoziativit¨at von µ ist a¨ quivalent zur Forderung, dass das folgende Diagramm (1.1) in Set kommutiert. M×M×M

id M × µ

M×M µ

µ × id M

M×M

(1.1)

M

µ

Das neutrale Element ε ∈ M l¨asst sich auch als Morphismus ε : pt1 → M in Set auffassen. Dann ist das obere bzw. untere Dreieck des unten stehenden Diagramms (1.2) in Set genau dann kommutativ, wenn ε links- bzw. rechtsneutral in M ist. M id M × ε

ε × id M

M×M µ

id M

M×M

(1.2)

M

µ

Also ist die Kommutativit¨at von (1.1) und (1.2) in Set a¨ quivalent zur Aussage, dass hM, ε, µi ein Monoid ist. Betrachte nun den Funktor M × − : Set → Set mit A

7→

M×A

A→ − B

7→

M × A −−−−→ M × B

f

id M × f

∗ Obwohl

Leibniz hier ein metaphysisches Konzept und nicht die Monaden, die Thema dieses Vortrags sind, meint, ist dieses Zitat doch in gewissem Sinne passend. 1 Mit pt bezeichnen wir das terminale Objekt pt = {∗} in Set

1

Die Abbildungen ε : pt → M und µ : M×M → M induzieren nat¨urliche Transformationen ε : idSet → M×− mit A  pt × A

εA = ε × idA

M×A M× f

f

B  pt × B

εB = ε × idB

M×B

und µ : (M × −)2 → M × − mit M×M×A

µA = µ × idA

M×A

M×M× f

M× f

M×M×B

µB = µ × idB

M×B

Insbesondere erh¨alt man aus den Diagrammen (1.1) und (1.2) f¨ur jedes A ∈ Set die folgenden zwei kommutativen Diagramme. M×M×M×A

µ M×A

M×M×A µA

M × µA

M×M×A

M×A

µA

M × εA

ε M×A

M×M×A µA

id M×A

M×A

M×M×A

(M × −)2

M×−

µA

M×A

Diese Diagramme wollen wir auch als (M × −)3

µ ◦ (M × −)

µ

(M × −) ◦ µ

(M × −)2

µ

(M × −) ◦ ε

ε ◦ (M × −)

µ

id M×−

(M × −)2

M×−

(M × −)2

µ

(1.3)

M×−

schreiben. Man u¨ berlegt sich leicht, dass jedes M ∈ Set zusammen mit nat¨urlichen Transformationen ε : idSet → M × − und µ : (M × −)2 → M × −, f¨ur die beide Diagramme (1.3) kommutieren, ein Monoid ist. Die urspr¨ungliche Verkn¨upfung µ auf M kann als µpt : M × M × pt → M × pt zur¨uckgewonnen werden, w¨ahrend das neutrale Element ε ∈ M der einzige Bildpunkt der Abbildung εpt : pt → M × pt ist. Die Eigenschaften (1.3) des Funktors M × − : Set → Set und den nat¨urlichen Transformationen ε und µ fassen wir nun zur Definition einer Monade zusammen. Definition 1 Eine Monade2 hT, ε, µi in einer Kategorie C ist ein Funktor T : C → C zusammen mit nat¨urlichen Transformationen ε : idC → T und µ : T 2 → T , so dass folgende Diagramme kommutieren. T3

µ◦T

T2 µ

T ◦µ

T2

T

µ

T ◦ε

T2

T

ε◦T

T2 µ

idT µ

Eine Comonade h , ε, µi in C ist eine Monade in Cop .

[Mon]

T

T



Beispiel: F¨ur eine Menge P mit Ordnungsrelation ≤ auf P sei P die assoziierte Kategorie. Eine Monade hT, ε, µi in P ist eine monotone Funktion T : P → P, so dass x ≤ Tx (1.4) T (T x) ≤ T x f¨ur alle x ∈ P. Die Diagramme [Mon] kommutieren, da es in P maximal einen Morphismus zwischen je zwei Objekten x, y ∈ P gibt. Antisymmetrie von ≤ zusammen mit (1.4) gibt dann T x = T (T (x)). Also ist eine Monade in P so etwas wie eine Abschlussoperation in P. Betrachten wir nun wieder unser Monoid M in Set . Eine M-Linksoperation auf einer Menge A ist nichts anderes als eine Abbildung a : M×A → A, so dass f¨ur alle x ∈ A und alle m, n ∈ M die Gleichungen a(ε, x) = x a(m, a(n, x)) = a(µ(m, n), x) 2 Monaden

heißen auch Tripel. Comonaden werden auch – in a¨ lterer Literatur – Standardkonstruktionen genannt.

2

(1.5)

erf¨ullt sind. Fasst man M erneut als Funktor M × − : Set → Set und ε und µ als Morphismen ε : idSet → M × − und µ : (M × −)2 → M × − auf, so sind die Gleichungen (1.5) a¨ quivalent zur Kommutativit¨at der folgenden zwei Diagramme. M×M×A

µA

M×A

M×A

a

M×a

M×A

εA

A

(1.6)

a idA

a

A

A

Sind a : M × A → A und b : M × B → B zwei M-Linksoperationen, so ist ein Morphismus f : a → b eine Abbildung f : A → B, die vertr¨aglich mit der Struktur der Operation von M auf A und B ist. Also ist ein Morphismus f : a → b eine Abbildung f : A → B, so dass b(m, f (x)) = f (a(m, x)). Dies ist offenbar genau die Definition der Kommutativit¨at des folgenden Diagramms. M×A

M× f

M×B

a

(1.7)

b

A

B

f

Die M-Linksoperationen mit den gerade definierten Morphismen bilden zusammen eine Kategorie. Wir nehmen nun die Diagramme (1.6) und (1.7) als Motivation f¨ur die folgende Definition von T -Algebren einer beliebigen Monade hT, ε, µi in einer Kategorie C. Definition 2 Ist hT, ε, µi eine Monade in C, dann sei CT die Kategorie mit den Objekten     µA    TA A T 2A TA      : Ob CT =  und a a T a        TA A  A a

εA

idA

      TA     a        A  

[Alg]

und den Morphismen

HomCT

   T A TB   a , b   A B

      

=

       A     f         B

A :

a

f

B

b

     TA      Tf        TB  

Die Kategorie CT heißt die Kategorie der Eilenberg-Moore-Algebren der Monade T oder einfach Kategorie der T Algebren. Analog definiert man die Objekte der Kategorie C der -Coalgebren einer Comonade h , ε, µi in C als Morphismen a : A → A in C, die vertr¨aglich mit ε und µ sind. † T

T

T

T

Beispiel: F¨ur eine geordnete Menge (P, ≤) sei erneut P die assoziierte Kategorie. Eine Monade hT, ε, µi in P ist ein Abschluss in P. Eine T -Algebra ist dann ein Morphismus T x → x, also ein Element x ∈ P, so dass T x ≤ x. Wegen der Existenz von ε x : x → T x ist aber auch x ≤ T x und somit x = T x. Eine T -Algebra ist also ein, bez¨uglich T , abgeschlossenes Element x ∈ P. Die Definition von Monaden und ihren Algebren h¨atte man auch – anstatt mit Monoiden und ihren Linksoperationen – mit R-Algebren und ihren Linksmoduln in der Kategorie Mod (R) der R-Linksmoduln motivieren k¨onnen. Eine R-Algebra M in Mod (R) ist ein R-Modul M f¨ur den es R-lineare Abbildungen µ : M ⊗R M → M und ε : R → M gibt, so dass die – entsprechend angepassten – Diagramme (1.1) und (1.2) kommutieren. Wiederum kann man M mit dem Endofunktor M ⊗ − : Mod (R) → Mod (R) identifizieren und erh¨alt nat¨urliche Transformationen ε und µ. Versucht man nun die MLinksmoduln mit ihren Homomorphismen in Mod (R) zu charakterisieren, so erh¨alt man Diagramme die (1.6) und (1.7) entsprechen.

3

¨ §2 Von Adjunktionen zu Monaden . . . und zuruck In §1 haben wir Monaden als eine Art verallgemeinerte Monoide kennengelernt. Man kann Monaden aber auch als Datum auffassen, welches einer Adjunktion zugeh¨orig ist. Diese Sichtweise auf Monaden wird in diesem Paragraphen n¨aher erl¨autert. Zu diesem Zweck seien L : C → D und R : D → C Funktoren, so dass L linksadjungiert3 zu R ist. Weiter seien ε : idC → R ◦ L und η : L ◦ R → idD die Adjunktionsmorphismen von L −a R mit den Dreiecksgleichungen Lε

L

LRL

R

εR

RLR

ηL

Rη idR

idL

L

R

Insbesondere erh¨alt man durch Anwenden der Funktoren R ◦ − bzw. − ◦ L die folgenden, kommutativen Diagramme. RLε

RL

RLRL

RL

εRL

RηL

RLRL (2.1)

RηL

idRL

idRL

RL

RL

Das nun folgende Diagramm kommutiert auf Grund der Nat¨urlichkeit von η. ηLR

LRLR

LR η

LRη

LR

idD

η

Wendet man auf dieses Diagramm den Funktor R ◦ − ◦ L an, so erh¨alt man (RL)3

(RηL) ◦ RL

RL ◦ (RηL)

(RL)2 (2.2)

RηL

(RL)2

RηL

RL

Setzt man µ = RηL und T = RL, so sind die Diagramme (2.1) und (2.2) genau die Definition [Mon] einer Monade hT, ε, µi. Definition 3 Die gerade konstruierte Monade hT, ε, µi in C mit T = R ◦ L und µ = RηL heißt die, von L −a R induzierte † Monade. Die Comonade h , δ, ηi in D mit = L ◦ R und δ = LεR ist die von L −a R induzierte Comonade. T

T

Beispiel: Betrachte den Funktor F : Set → Mon, der die Menge A auf das freie Monoid FA abbildet. Dann ist der Vergißfunktor U : Mon → Set rechtsadjungiert zu F und F −a U induziert eine Monade in Set . Der Endofunktor T dieser Monade bildet eine Menge A auf die Menge A∗ der endlichen W¨orter u¨ ber A ab. Die nat¨urlichen Transformationen ε : idSet → T und µ : T 2 → T sind durch εA : A → A∗

a 7→ (a)

µA : A∗∗ → A∗

m 1 m ((a11 , . . . , a1n1 ), . . . , (am 1 , . . . , anm )) 7→ (a1 , . . . , anm )

und

gegeben. Umgekehrt wollen wir nun zu einer gegebenen Monade hT, ε, µi in einer Kategorie C eine Adjunktion LT −a RT konstruieren, so dass die von LT −a RT induzierte Monade in C genau T ist. Dazu betrachten wir die Kategorie CT der T -Algebren und den Funktor LT : C → CT mit T 2A A

7→

T 2A f

µA

A→ − B

7→

TA

3 Sind

µA

TA

L und R zwei Funktoren, so dass L linksadjungiert zu R ist, so schreiben wir kurz L −a R

4

T2 f

T 2B µB

Tf

TB

LT ist ein wohldefinierter Funktor, da µA : T 2 A → T A die Definition [Alg] einer T -Algebra offensichtlich erf¨ullt. Weiterhin sei RT der Funktor CT → C mit TA 7→

a

Tf

TA A

TB

a

A

b

A

7→

f

A→ − B

B

f

Dann ist offenbar RT ◦ LT = T . Es bleibt zu zeigen, dass LT −a RT und dass hT, ε, µi die – im Sinne von Definition 3 – von LT −a RT induzierte Monade in C ist. Sei ηT die, durch folgendes Diagramm aus [Alg] gegebene, nat¨urliche Transformation LT ◦RT → idCT : Ta

T 2A µA

TA

ηT

a

=⇒

TA

A

a

Die Nat¨urlichkeit von ηT folgt direkt aus der Nat¨urlichkeit von µ sowie der Definition von Morphismen zwischen T Algebren. Die Einheit ε : idC → T = RT ◦ LT der Monade T sowie ηT erf¨ullen die Dreiecksgleichungen, denn sowohl die Komposition T 2A

T 2 εA LT ε

µA

==⇒

TA

T εA

T µA

T 3A

T 2A

ηT L T

µT A

T 2A

µA

===⇒ µA

(2.3)

TA

als auch A

εA = εRT

TA

a = RT ηT

A

a

ergeben f¨ur beliebiges A ∈ C bzw. f¨ur eine beliebige T -Algebra T A → − A die Identit¨at, da µA ◦ T εA = idT A in der Definition [Mon] einer Monade und a ◦ εA = idA in der Definition [Alg] einer T -Algebra gefordert sind. Somit ist LT linksadjungiert zu RT , wobei die Adjunktionsmorphismen ε und ηT sind. Schließlich m¨ussen wir noch u¨ berpr¨ufen ob hT, ε, µi auch die von LT −a RT induzierte Monade in C ist. Wir haben bereits festgestellt, dass T = RT LT und dass ε die Einheit der Adjunktion LT −a RT ist. Außerdem zeigt der rechte Teil des Diagramms (2.3), dass RT ηT LT = µ und somit haben wir tats¨achlich nachgewiesen, dass hT, ε, µi die von LT −a RT induzierte Monade in C ist. Der Zusammenhang zwischen Adjunktionen und Monaden wird im n¨achsten Paragraphen §3 noch weiter untersucht. Vorher ist jedoch noch eine abschließende Bemerkung zu den Konstruktionen in diesem Paragraphen vonn¨oten. Es gibt außer den Eilenberg-Moore-Algebren CT einer Monade auch noch die Kategorie CT der Kleisli-Algebren, die im Allgemeinen nicht a¨ quivalent oder gar isomorph zu CT ist. Auch zwischen C und CT l¨asst sich eine Adjunktion konstruieren, so dass T die von dieser Adjunktion induzierte Monade in C ist. Somit ist die zu einer Monade geh¨orige Adjunktion nicht eindeutig bestimmt.

5

§3 Das Monadicity-Theorem Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass jedes Paar L : C → D und R : D → C von adjungierten Funktoren L −a R eine Monade T in C induziert. Umgekehrt haben wir gezeigt, dass es f¨ur jede Monade T in C eine Paar Funktoren LT : C → CT und RT : CT → C gibt, so dass LT −a RT . Nun wollen wir der Frage nachgehen, wie diese Adjunktionen bzw. die Kategorien D und CT in Relation zueinander stehen, falls T die von L −a R induzierte Monade in C ist. Dazu seien ε : idC → R ◦ L und η : L ◦ R → idD die Adjunktionsmorphismen von L −a R und T = R ◦ L die zugeh¨orige Monade in C. Betrachte nun den Funktor Φ : D → CT mit RLRA A

7→

RLR f

RLRA f

7→

A→ − B

RηA

RLRB

RηA

RA

RηB

RA

RB

Rf

Die folgenden Diagramme kommutieren auf Grund der Dreicksgleichungen der Adjunktion L −a R und der Nat¨urlichkeit von η. Insbesondere zeigen sie, dass ΦA die Axiome [Alg] erf¨ullt, also tats¨achlich eine T -Algebra ist. RA

εRA

RLRA

RLRLRA

RηA

idRA

RLRηA

RLRA

RηLRA

RA

RηA

RLRA

RA

RηA

Weiterhin sind nach Konstruktion von LT , RT und Φ die folgenden Diagramme kommutativ. C L

T

CT

L

D

C R

Φ

T

CT

R

D Φ

(3.1)

Bemerkung: Der Funktor Φ ist durch die Diagramme (3.1) eindeutig bestimmt. Beweis: Ist A ∈ D, so ist RT ΦA = RA und somit ist ΦA eine T -Algebra a : RLRA → RA. Mit leicht inkorrekter Notation folgt außerdem R f = RT Φ f = Φ f . Weiterhin induziert ηA : LRA → A den Morphismus ΦηA : LT RA = ΦLRA → ΦA: RLRLRA

RLRηA

RLRA a

RηLRA

RLRA Dann ist aber

RηA

RA

a = a ◦ RL (Rη ◦ εR)A = RηA ◦ RηLRA ◦ RLεRA = RηA ◦ R(ηL ◦ Lε)RA = RηA

und somit Φ eindeutig bestimmt.



Der Funktor Φ gibt eine M¨oglichkeit die urspr¨ungliche Adjunktion L −a R mit der Adjunktion LT −a RT zu vergleichen. ¨ In vielen Anwendungen ist man an dem Fall interessiert, dass Φ eine Aquivalenz von Kategorien ist. Dann besteht die ¨ originale Adjunktion L −a R – bis auf Aquivalenz von Kategorien – aus einem Funktor L, der einem Objekt A die freie Algebra LT R zuordnet und dem Funktor RT , der den Strukturmorphismus einer Algebra vergisst. Das f¨uhrt nun zu folgender Definition. ¨ Definition 4 Die Adjunktion L −a R heißt monadisch4 , falls Φ eine Aquivalenz von Kategorien ist. Besitzt R eine Linksadjungierte L, so dass L −a R monadisch ist, so wird R ebenfalls monadisch genannt. † 4 Die

Adjunktion wird in diesem Fall manchmal auch tripelbar oder von effektivem Abstieg (“of effective descent type“) genannt.

6

Bevor wir Kriterien f¨ur die Monadizit¨at von Adjunktionen angeben, wollen wir noch zwei sch¨one Eigenschaften von monadischen Funktoren beweisen. Proposition 1 Sei R : D → C ein monadischer Funktor. Dann gilt: (i) R reflektiert Isomorphismen, d.h. wann immer R f ein Isomorphismus ist, ist auch f ein Isomorphimus. (ii) R reflektiert Limeten, d.h. wann immer RA = lim RF f¨ur einen Funktor F : I → D, ist A = lim F. Beweisskizze: (i) Ist R f = RT Φ f ∈ HomC (RA, RB) ein Isomorphismus in C, dann ist offenbar Φ f ∈ HomCT (ΦA, ΦB) ein Isomorphismus in CT . Da Φ volltreu ist, folgt, dass f ein Isomorphismus in D ist. (ii) Sei F : I → D ein Diagramm in D und RA = lim RF. Es ist zu zeigen, dass A = lim F. Daf¨ur reicht es zu zeigen, dass ΦA = lim ΦF, denn f¨ur jedes X ∈ D ist HomDI (∆X , F)  Hom(CT )I (∆ΦX , ΦF) Dann ist ΦA = lim ΦF als Limes das darstellende Objekt von Hom(CT )I (∆ , ΦF) und somit HomDI (∆X , F)  HomCT (ΦX, ΦA)  HomD (X, A) Also ist auch A das darstellende Objekt von HomDI (∆ , F) und somit A = lim F. x

Zum Beweis von ΦA = lim ΦF sei c : ∆ x → ΦF ein Kegel von einer T -Algebra T X → − X u¨ ber ΦF. Insbesondere induziert c einen Kegel RT c : ∆RT x → RT ΦF = RF u¨ ber RF. Da RA = lim RF gibt es eine eindeutige, zu RT c geh¨orige Abbildung λ : RT x = X → RA, die sich zu der schwarz gezeichneten Abbildung λT : x → ΦA in folgendem Diagramm heben l¨asst. RLεX

(RL)2 X RηLX

RLX

RLX

RLx

RLλ

x

idRLX

RηA

X

x

RLRA

λ

RA

Die Abbildung λT : x → ΦA ist eine wohldefinierte Abbildung von T -Algebren, denn λ ◦ x = λ ◦ x ◦ RηLX ◦ RLεX = RηA ◦ RLλ ◦ RLx ◦ RLεX = RηA ◦ RLλ F¨ur jedes λT : x → ΦA induziert umgekehrt der Morphismus RT λT : X → RA einen Kegel c0 : ∆X → RF. Der Kegel c0 l¨asst sich erneut zu einem Kegel c : ∆ x → ΦF liften und die Konstruktionen sind offensichtlich invers zu einander. Da alle verwendeten Konstruktionen nat¨urlich sind, ist also ΦA darstellendes Objekt von Hom(CT )I (∆ , ΦF), also ΦA = lim ΦF.  Theorem (Beck, 1967) Mit der oben eingef¨uhrten Notation gilt: (i) Wenn D alle Coequaliser hat, dann gibt es eine Linksadjungierte Ψ : CT → D. Falls es diese Linksadjungierte Ψ : CT → D zu Φ gibt, so gilt weiterhin 

(ii) Wenn R Coequaliser erh¨alt, dann ist die Einheit von Ψ −a Φ ein Isomorphismus idCT − → Φ ◦ Ψ. 

(iii) Wenn R Coequaliser reflektiert, dann ist die Coeinheit von Ψ −a Φ ein Isomorphismus Ψ ◦ Φ − → idD . Außerdem kann (iii) – unter den Voraussetzungen von (ii) – noch zu folgender Aussage vereinfacht werden. (iv) Falls R Coequaliser erh¨alt und Isomorphismen reflektiert, dann sind sowohl die Einheit als auch die Coeinheit von Ψ −a Φ Isomorphismen.

7

ρ

Bevor wir den Beweis beginnen, erinnern wir an die Konstruktion des Isomorphismus HomD (LA, X) → − HomC (A, RX) aus den Adjunktionsmorphismen ε und η: ρ

f

LA → − X

εA

7− →

Rf

A −−→ RLA −−→ RX

und ρ−1

g

A→ − RX

ηX

Lg

7−−−→

LA −−→ LRX −−→ X

Beweis (Theorem 1): a (i) Sei RLA → − A eine T -Algebra und X ∈ D. Weiter bezeichne ρ den Isomorphismus HomD (L−, −) → HomC (−, R−). Dann ist       RL f         RLA RLRX      f  : A → − RX HomCT (a, ΦX)   a Rη X                A RX   f         RLRg RLε   A     RLA RLRLA RLRX           −1   ρ g a Rη  RLa ◦ εRLA X  Rg ◦ RηLA : LA → − X            A RLA RX   ε   A Rg             ρ(g) Nun ist RηLA ◦ RLεA = RηLA ◦ εRLA und somit ist die, an g gestellte Bedingung a¨ quivalent zu Rg ◦ RLa ◦ εRLA = | {z }

Rg ◦ RηLA ◦ εRLA | {z }

=ρ(g◦La)

=ρ(g◦ηLA )

=

⇔ g ◦ La

g ◦ ηLA

Insgesamt ist also   HomCT (a, ΦX)  HomD•⇒•  LRLA

La ηLA

  LA , ∆X 

Ist Ψ eine Linksadjungierte zu Φ, so folgt mit obiger Rechnung, dass Ψa der Coequaliser von La und ηLA ist. Umgekehrt ist nat¨urlich auch der Funktor, der die Algebra a auf den Coequaliser von La und ηLA abbildet, eine Linksadjungierte zu Φ. Bevor wir den Beweis von (ii), (iii) und (iv) in Angriff nehmen, wollen wir die Adjunktionsmorphismen α : idCT → ΦΨ und β : ΨΦ → idD der Adjunktion Ψ −a Φ ausrechnen. Dazu sei σ der im Beweis von (i) konstruierte Isomorphismus HomCT (a, ΦX) → HomD (Ψa, X) mit La

LRLA RLA

RL f

RηX f

LA

RLRX

a

A

ηLA

ψ

Ψa

Lf

7−→

ρ−1 ( f )

LRX ηX

RX

σf

X und Inverser σ−1 mit La

LRLA

ηLA

LA

ψ

Ψa f

f ◦ψ

X

RLA 7−→

RLεA

RLRLA

RLRψ

RLRΨa

RLR f

a

RLRX RηX

A

εA

RLA

Rψ ρ( f ◦ ψ)

8

RΨa

Rf

RX

Die nat¨urliche Transformation α ist dann durch die Abbildung αa = σ−1 (idΨa ) in unten stehendem Diagramm gegebenen. RLεA

RLA

RLRψ

RLRLA

RLRΨa

a

RηX

A

RLA

εA

(3.2)

RΨa



ρ (idΨa ◦ ψ)

Weiterhin ist β durch βX = σ(idΦX ) in folgendem Diagramm gegeben. LRηX

LRLRX

ηLRX

ψ

LRX

ρ−1 (idRX ) = ηX

ΨΦX

(3.3)

βX = σ(idΦX )

X Rψ

(ii) Wenn R Coequaliser erh¨alt, so ist in (3.2) der Pfeil RLA −−→ RΨa der Coequaliser von RLa und RηLA . Die universelle Eigenschaft von Rψa induziert dann den Morphismus ϑA : RΨa → A in folgendem Diagramm. εRLA

RLA a

εA

RLRΨa

RηLA

RLa

A

RLRψ

RLRLA

RηΨa Rψ

RLA a

RΨa

ϑA

idA

A Offenbar ist ϑA ◦ Rψ ◦ εA = idA . Aber es ist auch

Rψ ◦ εA ◦ ϑA ◦ Rψ = Rψ ◦ εA ◦ a = Rψ ◦ RLa ◦ εRLA = Rψ ◦ RηLA ◦ εRLA = Rψ Da Rψ als Coequaliser insbesondere ein Epimorphismus ist, folgt insgesamt, dass Rψ ◦ ε = α : idCT → ΨΦ ein Isomorphismus ist. (iii) Um zu zeigen, dass β : ΦΨ → idD ein Isomorphismus ist, reicht es zu zeigen, dass X der Coequaliser von LRηX und ηLRX ist. Betrachte dazu folgendes Diagramm. RLRLRX

RLRηX

RLRX

RηLRX

RηX

RLX

x

RX

RηX

x ◦ εRX

Z x

Dann ist RX der Coequaliser von RLRηX und RηLRX , denn f¨ur x ◦ εRX ist x ◦ εRX ◦ RηX = x ◦ RLRηX ◦ εRLRX = x ◦ RηLRX ◦ εRLRX =x und f¨ur jedes f mit f ◦ RηX = x ist f = f ◦ RηX ◦ εRX = x ◦ εRX . Nach Voraussetzung reflektiert R Coequaliser und somit ist X der Coequaliser von LRηX und ηLRX . (iv) Wegen (ii) reicht es zu zeigen, dass β ein Isomorphismus ist. Betrachte dazu das Bild von (3.3) unter R. RLRηX

RLRLRX

RηLRX

RLRX εRX

RηX

RX

9



RβX

RΨΦX

Dann ist

RβX ◦ Rψ ◦ εRX = RηX ◦ εRX = idRX

und Rψ ◦ εRX ◦ RβX ◦ Rψ = Rψ ◦ εRX ◦ RηX = Rψ ◦ RLRηX ◦ εRLRX = Rψ ◦ RηLRX ◦ εRLRX = Rψ Somit ist Rβ ein Isomorphismus, da Rψ ein Epimorphismus ist. Da R Isomorphismen reflektiert, ist auch β ein Isomorphismus.  Betrachtet man den obigen Beweis von Theorem 1 genauer, so sieht man, dass die Forderungen an R und D des Theorems eigentlich zu stark sind. Man ben¨otigt u¨ berhaupt nicht alle Coequaliser von D, sondern nur die Coequaliser der Morphis¨ men La und ηLA , die eine sehr spezielle Form haben. Diese Uberlegung f¨uhrt dann zu st¨arkeren Varianten von Beck’s Theorem, die wir hier aber nicht ben¨otigen.

§4 Beispiele ¨ monadische Funktoren §4.1 Beispiele fur

Hier sollen kurz – und ohne Beweis – einige Beispiele von monadischen Funktoren vorgestellt werden. Meist ben¨otigt man eine st¨arkere Variante von Beck’s Theorem – und im Fall von (iv) auch noch einige Arbeit – um einzusehen, dass die Adjunktionen wirklich monadisch sind. (i) Der Funktor F : Set → Mon, der einer Menge M das freie Monoid F M zuordnet, ist adjungiert zu dem Funktor U : Mon → Set , der einem Monoid die zu Grunde liegende Menge zuordnet. (ii) Der Funktor F : Set → Grp, der einer Menge M die freie Gruppe F M zuordnet, ist adjungiert zu dem Funktor U : Grp → Set , der einer Gruppe die zu Grunde liegende Menge zuordnet. (iii) Der Inklusionsfunktor ι : C → D einer reflektiven Unterkategorie C ⊆ D und seine Linksadjungierte ρ : D → C sind auch monadisch. Nach Proposition 1 reflektiert ι somit Limeten und es folgt, dass C (endlich) vollst¨andig ist, falls D (endlich) vollst¨andig ist ˆ (iv) Die Adjunktion der Funktoren F : Set → CompHaus, der einer Menge M die Stone-Cech-Kompaktifizierung der diskreten Topologie auf M zuordnet, sowie U : CompHaus → Set der einem kompakten Hausdorff-Raum die zu Grunde liegende Menge zuordnet, ist ebenfalls monadisch. §4.2 Surjektive, stetige Abbildungen Seien X und Y zwei topologische R¨aume, die das Trennungsaxiom T1 erf¨ullen5 . Weiter sei f : X → Y eine stetige Abbildung und seien X und Y die Ordnungskategorien der, durch Inklusion geordneten Mengen {A ⊆ X : A abgeschlossen} bzw. {A ⊆ Y : A abgeschlossen}. Die stetige Abbildung f induziert Funktoren f ∗ : Y → X mit A

7→

f −1 (A)

und

A⊆B

7→

f −1 (A) ⊆ f −1 (B)

A

7→

cl f (A)

und

A⊆B

7→

cl f (A) ⊆ cl f (B)

und f∗ : X → Y mit wobei cl f (A) den Abschluss von f (A) in Y bezeichne. Nun ist einerseits f¨ur f∗ A ⊆ B offenbar A ⊆ f −1 (cl f (A)) ⊆ f −1 (B) = f ∗ B, also A ⊆ f ∗ B. Andererseits ist f¨ur A ⊆ f ∗ B auch f (A) ⊆ f ( f −1 (B)) ⊆ B und somit f∗ A = cl f (A) ⊆ B, da B bereits abgeschlossen ist. Dies definiert eine nat¨urliche Bijektion HomY ( f∗ A, B)  HomX (A, f ∗ B), denn X und Y sind beides Ordnungskategorien, d.h. es gibt jeweils maximal einen Morphismus f∗ A → B bzw. A → f ∗ B. Somit ist f∗ Linksadjungierte von f ∗ und f∗ −a f ∗ induziert eine Monade T = f ∗ f∗ in X. 5 Die

f¨ur unsere Zwecke geeignetste Formulierung des Axioms T1 besagt, dass jeder Punkt in X bzw. Y bereits abgeschlossen ist.

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Bemerkung: Eine etwas u¨ blichere Kategorifizierung der topologischen R¨aume X und Y sind die Ordnungskategorien der, durch Inklusion geordneten, offenen Teilmengen. Es ist aber leicht zu sehen, dass diese Konstruktion genau die oppositen Kategorien Xop und Yop ergibt. Dann sind die entsprechenden Funktoren f∗ : Xop → Yop und f ∗ : Yop → Xop ebenfalls adjungiert. Jedoch ist in diesem Fall f ∗ linksadjungiert zu f∗ . Die von uns betrachtete Monade T in X ist dann offenbar die, von f ∗ −a f∗ induzierte Comonade in Xop . Von besonderem Interesse sind f¨ur uns folgende Eigenschaften der Adjunktion f∗ −a f ∗ . Proposition 2 f : X → Y ist surjektiv, genau dann, wenn f ∗ monadisch ist. Beweis: Man beachte, dass Coequaliser von A ⇒ B in X und in Y stets die Identit¨at idB auf B sind, da X und Y Ordnungskategorien sind. Insbesondere hat Y alle Coequaliser und nach Theorem 1 existiert daher die Linksadjungierte Ψ : XT → Y des Vergleichsfunktors Φ : Y → XT der Monade T in X. Weiterhin erh¨alt f ∗ trivialerweise Coequaliser, da f¨ur einen Coequaliser A ⇒ B → B in Y auch f ∗ A ⇒ f ∗ B → f ∗ B ein Coequaliser in X ist. Sei nun f surjektiv und seien A, B ∈ Y, so dass f ∗ A  f ∗ B. Dann ist f −1 (A) = f −1 (B) und die Surjektivit¨at von f impliziert A = B und somit auch A  B. Somit reflektiert f ∗ Isomorphismen und wir haben bereits gesehen, dass f ∗ Coequaliser ¨ erh¨alt. Nach Theorem 1 ist dann der Vergleichsfunktor Φ eine Aquivalenz von Kategorien, also f ∗ monadisch. Sei umgekehrt f ∗ monadisch und y ∈ Y. Dann ist nach Voraussetzung {y} ⊆ Y abgeschlossen und die Coeinheit β der Adjunktion Ψ −a Φ induziert einen Isomorphismus βy : ΨΦ{y} → {y}. Da A  B in Y bereits A = B impliziert, ist ΨΦ{y} = {y}. Andererseits ist ΨΦ{y} der Coequaliser des Diagramms f∗ f ∗ η{y} ∗



f∗ f f∗ f {y}

η f∗ f ∗ {y}

f∗ f ∗ {y}

ΨΦ{y}

und da Coequaliser in Y stets die Identit¨at sind, ist ΨΦ{y} = f∗ f ∗ {y}. Insgesamt folgt dann cl f ( f −1 (y)) = {y} und insbesondere f −1 (y) , ∅, also die Surjektivit¨at von f . 

Quellen [1] Barr, Michael und Charles Wells: Toposes, Triples and Theories, Band 278 der Reihe Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer, 1983. [2] Beck, Jonathan Mock: Triples, Algebras and Cohomology. Dissertation, 1967. Reprints in Theory and Applications of Categories, No. 2, 2003. [3] Borceux, Francis: Handbook of Categorical Algebra, Volume 2: Categories and Structures, Band 51 der Reihe Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 1994. [4] Borceux, Francis: Handbook of Categorical Algebra, Volume 3: Categories of Sheaves, Band 52 der Reihe Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 1994. [5] Kashiwara, Masaki und Pierre Schapira: Categories and Sheaves, Band 332 der Reihe Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer, 2006. [6] Mac Lane, Saunders: Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Springer, 2. Auflage, 1998. [7] MacLane, Saunders und Ieke Moerdijk: Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory. Springer, korrigierte Auflage, 1992.

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