MODULO DE LOGARITMO Nombre:…………………………………………………..

Curso : 2° Medio

Los logaritmos están creados para facilitar los cálculos numéricos. Por logaritmo podemos convertir los productos en sumas, los cocientes en restas, las potencias en multiplicación y raíces en división Los logaritmos son una operación inversa de las potencias, consiste en calcular el exponente de una potencia cuando se conocen la base b y la potencia N.

Definición de Logaritmo El logaritmo de un número positivo N en una base b positiva y diferente de 1, es el exponente x al cual debe elevarse la base para obtener el número N

log b N  x  b x  N

N se llama antilogaritmo, b > 0 y b ≠ 1

log b N se lee logaritmo de N en base b¸ Ejemplo: log 5 625 , se lee logaritmo de 625 en base 5 

log 2 8  3  23  8 , se lee…………..



log 6 36  2  6 2  36,..................



log 9 1  0  9 0  1,.................. 1 1 log 2  4  2 4  ,................. 16 16



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1

Los logaritmos se expresan de dos formas: a) Forma exponencial b) Forma Logarítmica

Ejemplo: 1) La expresión

log 5 125  3 escrita en forma exponencial queda 53  125

2) La expresión

26  64 , escrita en forma Logarítmica queda log 2 64  6

3) Calcula el valor de x a)

log 2 32  x , aplicando la forma exponencial  2 x  32 , aplicando la

siguiente propiedad “Dos potencias son iguales, si las bases son iguales entonces los exponentes también lo son ”

ax  ay  x  y

2 x  25  x  2 , b)

log 6 x  3

, aplicando la forma exponencial

 63  x resolviendo la

potencia queda x= 216 1

c)

log 1 x  1 ,

aplicando la forma exponencial

2

Por lo tanto x= 2 Guía de Ejercicios: I)

Dé la forma exponencial a)

log 3 81  4 

b)

log 8 64  2 

c)

log 1 16  4  2

d) log10 0,00001  5  e) log 0, 2 0,008  3  II)

Dé la forma Logarítmica a) 4  1024  5

b) 5  125  3

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2

1     x  21  x 2

III)

c)

7 x  45 

d)

ay  b 

e)

2 6  64 

Calcula el valor de x a)

log2x  3  23  x  8  x

b)

log 5 x  0

c)

log 3 x  2 4

d)

log 0,3 x  2

e)

log x

f) g) h)

1 2 4

log 2 32  x 1 log 3 x 81 log 1 16  x 2

i)

log 0,01 0,1  x

j)

log 1

1 x 128 4

Observaciones importantes:  Se denomina Sistema logarítmico al conjunto de todos los logaritmos que tienen la misma base. Ejemplo. El sistema de logaritmos de base de 2 son aquellos que tienen logaritmos que tienen base dos

log 2 81 ; log 2 16 ; log 2 8 ; log 2

1 etc.… 2

 El Sistema de logaritmos vulgares o decimales, Son aquellos logaritmos que tienen base 10, la base 10 no se escribe son los más comunes Se representan por log (x), Ejemplo

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3

log 2, log 3, log 4, log 10,log 1000, ………los únicos números cuyos logaritmos son números enteros son las potencias de 10, ejemplo log 100  2, log 1000  3 , log 0,01  2 log 0,00001  5  El sistema de logaritmos naturales o neperianos son aquellos que tienen base el número irracional e 2,71828……. Se representan por ln (x)  La base de un sistema logarítmico solo puede ser un real positivo (no puede ser negativa)  El real 1 no puede ser considerado como base de un sistema logarítmico  El antilogaritmo puede ser un numero real positivo y puede ser 1  El antilogaritmo no puede ser cero  El antilogaritmo no puede ser un real negativo

Identidad fundamental de los Logaritmos Si el logaritmo de un número es exponente de su propia base, entonces blog b N  N es igual al número Ejemplo: 1)

4log 4 3  3

2)

20 log 20 5  5

3)

blog b 2  2 Propiedades

1) El logaritmo de 1, en cualquier base(positiva y distinta de cero), es igual a 0

Ejemplo: a)

log 25 1  0, b)

log 8 1  0,

2) El logaritmo de la base es igual a la unidad

Ejemplo: a)

log12 12  1, b)

log

2

2  1,

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3) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

Ejemplo: a)

log 2 14  log 2 (2  7)  log 2 2  log 2 7  1  log 2 7 b)

log 5 15  log 2 (5  3)  log 5 5  log 5 3  1  log 5 3

4) El logaritmo de un cociente igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Ejemplo: a) b)

1  log 2 1  log 2 6  0  log 2 6  log 2 (2  3)  log 2 2  log 2 3  1  log 2 3 6  18  log 6    log 6 18  log 6 5  log 6 (6  3)  log 6 5  log 6 6  log 6 3  log 6 5  5  1  log 6 3  log 6 5 log 2

5) El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base

Ejemplo a) b) c)

log 2 27  log 2 33  3 log 2 3 log 5 625  log 5 5 4  4 log 5 5  4(1)  4





log 2 a 4 b 3 

se aplica logaritmo de un producto

log 2 a 4  log 2 b3  , aplicando logaritmo de una potencia

4 log 2 a  3 log 2 b Liceo n° 1 “Javiera Carrera 2011

5

 5m 2 

d) log 5  3   , aplicando logaritmo de un cociente queda  2n 

 

 

log 5 5m2  log 5 2n3  , aplicando logaritmo de un producto queda

log

5

 



5  log 5 m 2  log 5 2  log 5 n 3  , aplicando logaritmo de una potencia

1  2 log 5 m  (log5 2  3 log 5 n)  , resolviendo 1  2 log 5 m  log 5 2  3 log 5 n 6) El logaritmo de una potencia con igual base del logaritmo es igual al exponente

Ejemplo a)

b)

log3 32 = 2 log4 46 = 6

c)

log 2 16  log 2 2 4  4

7) El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice

Ejemplo a) log 3 b  b)

1 log 3 b 2

log 5 4 6 

aplicando la propiedad

1 1 log 5 6  log 5 (2  3) Aplicando logaritmo de un producto 4 4 1  log 5 2  log 5 3 4 Liceo n° 1 “Javiera Carrera 2011

6

c) log 2 5 8  aplicando la propiedad





1 1 log 2 8  log 2 23 Aplicando la propiedad n° 6 5 5 1 3  3 5 5 IV)

Desarrolla los siguientes logaritmos utilizando sus propiedades.

 6 log 5     25  b) log 5 0,25  a)

c)

log 1000 c 4 

d)

log 5 125a 2 

log 3 2432  1000 log  9

e) f)

3

g) log(16ab )

2 ab 2a 5 i ) log 27 h) log

j)

log( 4a5b 4 )

k)

log 6 3 5 

l)

log 7 7 

m)

log 3 4 4a 

n)

log ab

o)

log c 2a c 

CAMBIO DE BASE Cuando un logaritmo no es posible calcularlo, su valor se puede obtener mediante un cambio de base cuya definición esta por

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Esta base se puede buscar y resultar conocida o también de no tener base común se elige la base 10 que es la base de los logaritmos decimales Ejemplo a) log 4 8  en este caso hay una base común que es 2, ya que son potencias de base 2 y según la propiedad del cambio de base queda

log 2 8 log 2 4 log 2 23 3  Según la propiedad logaritmo de potencia de igual base (n° 6) log 2 2 2 2 También se puede calcular usando la base 10 b) log 4 8 

log 8 log 2 3 3 log 2 3    , según la propiedad logaritmo de una log 4 log 2 2 2 log 2 2

potencia (n° 5) V) Resuelva aplicando cambio de base 1) log 2 5  2) log 3 2  3) log 4 6  4) log 5 24  5) log 6 10 

Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas Ecuación Exponencial: Es aquella en la cual la incógnita aparece como exponente. Para su solución, al no poder igualar las bases de la potencia, se debe aplicar logaritmo en ambos miembros de la ecuación en base apropiada (generalmente se usa base 10). 1) 2

x+1

= 3 / log ( ) se aplica log decimal(base 10)

log (2

x+1

) = log 3 , aplicando log de una potencia

(x+1) log 2 = log 3 , se distribuye x log 2 + log 2 = log 3 , se despeja x

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x log 2 = log 3 - log 2

2) 10x+2 = 5 / log ( ), se aplica log decimal(base 10) log (10x+2 )=log 5, aplicando log de una potencia (x+2) log 10 = log 5 , se distribuye x log 10 + 2log 10 = log 5 , se despeja x, pero log 10=1 x +2 = log 5 x= log5 – 2

Ecuación Logarítmica: Es aquella en la cual la variable esta en el argumento. Resolver una ecuación logarítmica es determinar el o los valores de la variable que hacen verdadera la igualdad. Para determinar el valor de la variable, se sigue el siguiente método. Resolver la ecuación: Para ello se debe obtener una igualdad de logaritmos de bases iguales. En seguida, se igualan los antilogaritmos. Es decir, se aplica la siguiente propiedad de los logaritmos:

log a A  log a B  A  B con a, A, B   ; a  0 Ejemplo Resolvamos las siguientes ecuaciones logarítmicas. 1) log x + log 20 = 3, expresando como un solo logaritmo, queda logaritmo de un producto. log 20x = 3, no se puede aplicar la propiedad mientras no tengamos logaritmos a ambos lados , pero el 3 proviene de log 1.000 = 3, luego la ecuación queda así log 20x = log 1.000, aplicando la propiedad anterior se tiene 20x = 1.000 y resolviendo la ecuación tenemos x = 1.000/20 x = 50 2) log x3 = log 6 + 2 log x, aplicando log de una potencia 3 log x = log 6 + 2 log x, aislando la incógnita 3 log x - 2 log x = log 6 log x = log 6 aplicando la propiedad anterior x=6 3) log x+ log(x+3) =2log(x+1) expresando como un solo logaritmo, queda logaritmo de un producto y log de una potencia. log x(x+3)=log(x+1)2aplicando la propiedad

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x(x+3)= (x+1)2 x2+3x=x2+2x+1 3x-2x=1 x=1 4) 2log x= 3+log( x/10), aplicando log de un cociente 2log x=3+ log x – log 10, pero log 10 =1 2log x - log x= 3 – 1 aislando la incógnita log x = 2, pero no se puede aplicar mientras no tengamos logaritmos ambos lados, el 2 proviene de log 100=2, la ecuación queda log x = log 100, aplicando la propiedad x = 100

VI) Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones exponenciales. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

4x-3= 5 2x-1  3x+1=2544 23x-1=3x+2 52x-3=22-4x 7x+3=4x+5 125  (3x-2)=350  (53x+2)

VII) Determina el valor de x en las siguientes ecuaciones logarítmicas 1)

log 4 x  3 log 2  4 log 3

2)

log( 2 x  4)  2

3)

4 log( 3  2 x)  1

4)

log( x  1)  log x  log( x  9)

5)

log( x  3)  log 2  log( x  2)

6)

log( x 2  15)  log( x  3)  log x

Soluciones: III) b) 1 c) 9/16 d) 100/9 e) ½ f) 5 g) -4 h)-4 i) ½ j)7/2 IV)a) log 5 2  log 5 3  2 b) 2  log 5 10 c) 3  4 log c d) 3  2 log 5 a

log 2  log a  log b 1 i) log 2  5 log a  3 log 3 j) 2 log 2  5 log a  4 log b k) log 6 5 3 1 1 1 1 1 1 l) m) log 3 2  log 3 a n) log a  log b o) log c 2  log c a  2 2 4 2 2 2 e) 10

f)

3  2 log 3

g)

4 log 2  log a  3 log b

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10

h)