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MATRIZEN

1

1 Matrizen Eine m × n− Matrix “ein rechteckiges” Zahlenschema  a11 a12 a13  a21 a22 a23  . .. .. A=  .. . .  am1 am2 am3

... ... ... .. .

a1n a2n .. .

     

amn

mit m Zeilen und n Spalten bestehend aus m · n Zahlen. Die Matrixelemente aik , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ n, sind bis auf weiteres reelle Zahlen. Beachten Sie unbedingt, dass der erste Index die Zeilennummer und der zweite Index die Spaltennummer ist. Eine m × n− Matrix ist eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten. Eine 1 × 1−Matrix ist eine gew¨ohnliche reelle Zahl. Eine m × 1− Matrix ist ein Vektor aus Rm .

1.1 Notationen und einfache Rechenregeln • A = (aik ) f¨ ur 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ n ist eine Kurzschreibweise f¨ ur das rechteckige Zahlenschema A. • Die Nullmatrix ist die m × n− Matrix    0= 

0 0 .. .

0 0 .. .

0 0 .. .

... ... .. .

0 0 .. .

0

0

0

...

0

• Wenn m = n ist, dann ist die Einheitsmatrix die Matrix  1 0 0 ...  0 1 0 ...  In =  . . . . ..  .. .. .. 0

0

0 ...

0 0 .. .

   . 

   . 

1

• Wird die m × n− Matrix A = (aik ) an der Hauptdiagonalen gespiegelt, entsteht die zu A transponierte Matrix AT : (AT )ik = Aki   µ ¶ 1 4 1 2 3 A= AT =  2 5  4 5 6 3 6 • Eine n × n− Matrix D ist eine Diagonalmatrix, wenn h¨ochstens die Diagonalelemente dii , 1 ≤ i ≤ n, von Null verschieden sind.    D= 

d1 0 .. .

0 d2 .. .

... ... .. .

0 0 .. .

0

0

...

dn

    

=

diag(d1 , d2 , . . . , dn )

Die Addition von Matrizen und die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl werden wie bei Vektoren elementweise ausgef¨ uhrt.

zhaw

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2

• Zwei m × n− Matrizen A und B sind gleich, wenn ihre Elemente gleich sind. A=B

⇐⇒

(aik ) = (bik ) f¨ ur 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ n

• Sind A und B zwei m × n− Matrizen, dann ist

µ A=

C := (cik ) = A + B = (aik ) + (bik ) f¨ ur 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. ¶ µ ¶ µ ¶ 2 3 7 8 9 8 10 12 B= C =A+B = 5 6 10 11 12 14 16 18

1 4

• Ist A = (aik ) und µ ∈ R, dann ist µ · A = (µ · aik ) µ A=

1 4

2 5

3 6

,

1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ n. µ ¶ 7 14 21 7·A= 28 35 42

¶ µ=7

1.2 Die Matrixmultiplikation Diese Operation verwirrt die Anf¨angerInnen und ist deshalb gr¨ undlich von Hand zu u ¨ben! A sei eine m×n− Matrix und B sei eine n×p− Matrix. Die Matrix A·B ist nur definiert, wenn die Anzahl Kolonnen von A gleich der Anzahl Zeilen von B ist, ( inner matrix dimensions must agree“). ” A · B ist eine m × p− Matrix. Die Elemente cik von C = A · B = (cik ) berechnen sich wie folgt:



a11  ..  .   ai1   ..  . am1

a12 .. .

... .. .

ai2 .. .

... .. .

am2

...

 a1n  b11 ..   .   b21  ain  · .. ..   . .  bn1 amn

... ... .. .

b1k b2k .. .

... ... .. .

b1p b2p .. .

...

bnk

...

bnp



c11  .. .     c = i1    ..  . cm1 

cik = ai1 · b1k + ai2 · b2k + . . . + ain · bnk

cik =

c12 .. .

... .. .

c1k .. .

... .. .

ci2 .. .

... .. .

cik .. .

... .. .

cm2

. . . cmk

...

n X

 c1p ..  .   cip   ..  .  cmp

aij · bjk

j=1

Das Element cik ist das Skalarprodukt des i-ten Zeilenvektors von A mit dem k-ten Spaltenvektor von B.

p

n

i− te Zeile → m

zhaw

....................................................................... .... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ............................................................................ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ..........................................................................

A

p

×

n

.......................................................................................................... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ........................................................................................................

B

↑ k− te Spalte

.................................................................................................. .... .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ik ........................................................................................................ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .....................................................................................................

c •

=

m

AB

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3

Vorsicht! Im allgemeinen ist die Matrixmultiplikation nicht kommutativ, d.h. A · B 6= B · A. Es ist m¨oglich, dass A · B = 0, auch wenn A 6= 0 und B 6= 0 sind.

1.3 Regeln f¨ ur das Rechnen mit Matrizen

A+B (A + B) + C A+0 0+A A + (−A) (−A) + A

= B+A = A + (B + C) = A = A = 0 = 0

(A · B) · C = A · (B · C) (A + B) · C = A · C + B · C A · (B + C) = A · B + A · C

(µ · ν) · A = (µ + ν) · A = µ · (A + B) =

µ · (A · B)

=

(µ · A) · B

=

µ · (ν · A) µ·A+ν·A µ·A+µ·B

A · (µ · B)

(A · B)T

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=

µ, ν ∈ R µ, ν ∈ R µ∈R

µ∈R

B T · AT .

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4

1.4 Aufgaben Aufgabe 1 µ A=

1 0 a 4 3 2

Berechnen Sie

¶

µ ,

−1 2 a2 2

B=

A + B,

3 · A,

−B,

−a 2

¶

A − B,

0 · A,

2 · B − 3 · A.

Aufgabe 2 

1 1 A= 2 2 3 3

1 2 3





 3 2   1  0

0  1 B=  2 3

1 2 , 3

Berechnen Sie A · B und B · A.

Aufgabe 3 µ A=

1 1 0 0

¶

µ ,

B=

1 −1

1 −1

¶

Berechnen Sie A · B und B · A.

Aufgabe 4 

0 A= 0 0

1 0 0

 0 1  0

Berechnen Sie A2 und A3 .

(A2 = A · A)

Aufgabe 5 Berechnen Sie f¨ ur die Matrix A aus obiger Aufgabe alle Potenzen Ak , k ∈ N0 , wobei A0 := I3 . Aufgabe 6 

a11  .. A= . an1

... .. . ...

 a1n ..  , .  ann

 D = diag(d1 , d2 , . . . , dn ),

  x= 

x1 x2 .. .

    

xn

Berechnen Sie A · D, D · A, A · x und D · x. Verwenden Sie dabei auch das Summenzeichen.

zhaw

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Aufgabe 7  1 1 A= 2 2 3 3

1

 1 2 , 3



0 0 B= 1 0 0 1

 1 0 , 0

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5



 1 3 C= 2 0  0 1

Berechnen Sie (A · B) · C und A · (B · C). Aufgabe 8 Gegeben sind die Matrizen L und A.    a11 a12 1 0 0 L =  0 0 1 , A =  a21 a22 0 1 0 a31 a32

 a13 a23  a33

Berechnen Sie L · A und beobachten Sie, was passiert. Aufgabe 9 Gegeben ist die 3 × 3− Matrix A = (aik ). Geben Sie die 3 × 3− Matrix L so an, dass die Matrix L · A aus A durch Vertauschen der ersten und der dritten Zeile entsteht. Aufgabe 10 Gegeben ist die 3 × 3− Matrix A = (aik ). Geben Sie die 3 × 3− Matrix L so an, dass die Matrix L · A aus A durch die Addition des r-fachen der dritten Zeile zur zweiten Zeile entsteht. Aufgabe 11 Gegeben ist die 3 × 3− Matrix A = (aik ). Geben Sie die 3 × 3− Matrix L so an, dass die Matrix L · A aus A durch Multiplikation der zweiten Zeile mit dem Faktor r entsteht. Aufgabe 12 Gegeben ist die 3 × 3− Matrix A = (aik ). Geben Sie die 3 × 3− Matrix R so an, dass die Matrix A · R aus A durch Vertauschen der ersten und der dritten Spalte entsteht. Aufgabe 13 Gegeben ist die 3 × 3− Matrix A = (aik ). Geben Sie die 3 × 3− Matrix R so an, dass die Matrix A · R aus A durch die Addition des r-fachen der dritten Spalte zur zweiten Spalte entsteht. Aufgabe 14 Gegeben ist die 3 × 3− Matrix A = (aik ). Geben Sie die 3 × 3− Matrix R so an, dass die Matrix A · R aus A durch Multiplikation der zweiten Spalte mit dem Faktor r entsteht.

zhaw

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1.5 L¨ osungen zu den Aufgaben L¨ osung 1

µ

¶ µ 2 0 3 0 3a A+B = , 3·A= 5 4 12 9 6 µ ¶ µ 1 −2 a 2 −2 −B = , A − B = −a2 −2 −2 4 − a2 1 µ ¶ µ 0 0 0 −5 4 0·A= , 2·B−3·A= 0 0 0 2a2 − 12 −5 0 4 + a2

L¨ osung 2



6 A · B =  12 18

 6 12  . 18

¶

µ

¶ , 2a 0

¶

−5a −2

, ¶ .

Das Produkt B · A ist nicht definiert!

L¨ osung 3

µ A·B =

L¨ osung 4

0 0

0 0



0 0 A2 =  0 0 0 0

L¨ osung 5



,

B·A=

 1 0 , 0

0 Ak = 0 =  0 0

0 0 0

1 −1



0 A3 =  0 0

 0 0  0

f¨ ur

1 −1

0 0 0

¶ .

 0 0  0

k ≥ 3.

L¨ osung 6 • A · D: jeweils den k-ten Spaltenvektor von A mit dk multiplizieren, d.h. A · D = (aik · dk ),

1 ≤ i ≤ n,

1 ≤ k ≤ n.

• D · A: jeweils den i-ten Zeilenvektor von A mit di multiplizieren, d.h. D · A = (di · aik ),

zhaw

1 ≤ i ≤ n,

1 ≤ k ≤ n.

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7

• A · x: Summenzeichen verwenden, d.h.       A·x=    

 a1k · xk  k=1  n  P a2k · xk   k=1 .  ..  .  n P  ank · xk n P

k=1

• D · x: die Summen haben jeweils nur einen Summanden, d.h.   d1 · x1  d2 · x2    D·x= . ..   . dn · xn

L¨ osung 7

L¨ osung 8



 3 4 (A · B) · C = A · (B · C) =  6 8  . 9 12



a11 L · A =  a31 a21

a12 a32 a22

 a13 a33  , a23



a11 A · L =  a21 a31

a13 a23 a33

 a12 a22  . a32

Beobachtung: Multipliziert man L von links an A, so werden in der Produktmatrix gegen¨ uber A die Zeilen 2 und 3 vertauscht. Multipliziert man hingegen L von rechts an A, so werden in der Produktmatrix gegen¨ uber A die Spalten 2 und 3 vertauscht.

L¨ osung 9



0 L= 0 1 L¨ osung 10



1 L= 0 0 L¨ osung 11



1 L= 0 0 L¨ osung 12



0 R= 0 1

zhaw

0 1 0

 1 0 . 0

0 1 0

 0 r . 1

0 r 0

 0 0 . 1

0 1 0

 1 0 . 0

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L¨ osung 13

1

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

1 R= 0 0 L¨ osung 14



1 L= 0 0

zhaw

0 1 r

 0 0 . 1

0 r 0

 0 0 . 1

8

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