Mini Curso: Simetrias e Grupos

Mini Curso:∗ Simetrias e Grupos Cristalogr´aficos† Celso M. Doria UFSC - Depto. de Matem´atica Fev/2012 Figura 1: Homem Vitruviano, quadro de Leonard...
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Mini Curso:∗ Simetrias e Grupos Cristalogr´aficos† Celso M. Doria UFSC - Depto. de Matem´atica Fev/2012

Figura 1: Homem Vitruviano, quadro de Leonardo da Vinci

∗ †

Escola de Ver˜ ao 2012- UFAM parcialmente financiado por FAPESC 2568/2010-2

1

1

Introdu¸c˜ ao

No plano R2 , considere o produto interno euclideano < ., . >: R2 × R2 → R u = (u1 , u2 ), , v = (v1 , v2 )

⇒ < u, v >= u1 v1 + u2 v2

(1)

Defini¸c˜ ao 1.0.1. O espa¸co euclideano E2 ´e o espa¸co R2 munido com a m´etrica euclideana; E2 = (R2 , < ., . >); onde para cada p ∈ E2 , < ., . >: Tp E2 × Tp E2 → E2 ´e o produto interno (1) O produto interno permite-nos definir 1. o comprimento de um vetor u ∈ R2 ; | u |=

√ < u, u >

2. aˆngulo entre vetores dois vetores u, v ∈ R2 ; seja θ a medida do aˆngulo ∠(u, v)  θ = arcos

2

< u, v > | u || v |



p, q ∈ E2 ; seja Ω(p, q) = {γ : [0, 1] → E2 | γ ∈ C 0 , γ(0) = p, γ(1) = q} Seja γ : [a, b] → E2 , γ = γ(t), uma curva diferenci´avel e γ 0 (t) o vetor tangente no instante t. O comprimento de γ ´e Z L : Ω(p, q) → R,

b

L(γ) =

| γ , | ds.

a

Defini¸c˜ ao 1. A distˆancia euclidena entre os pontos p, q ∈ E2 ´e dE2 (p, q) = min L(γ). γ∈Ω(p,q)

2. uma curva ligando p a` q ´e uma geod´esica se L(γ) = d(p, q).

3

Proposi¸c˜ ao 1.0.2. Sejam p e q pontos em E2 . A geod´esica ligando p a q descreve uma reta. Al´em disto, dE2 (p, q) =| q − p |.

(2)

Demonstra¸c˜ao. Seja α : [0, 1] → E2 uma curva ligando p = α(0) `a q = α(1). Assim, Z 1 α, (t)dt. q−p= 0

Seja u ∈ E2 um vetor unit´ario qualquer. Desta forma, Z 1 Z 1 , | α, (t) | dt < α (t), u > dt ≤ < q − p, u >= 0

0

tomando u =

q−p , |q−p|

ent˜ao | q − p |≤ L(α) e | q − p |≤ dE2 (p, q).

Uma aplica¸ca˜o f : E2 → E2 ´e uma isometria se, ∀p ∈ E2 , ∀u, v ∈ Tp E2 ,

< dfp .u, dfp .v >=< u, v >

• dfp : Tp E2 → Tf (p) E2 , aplica¸ca˜o diferencial de f

4

Isometrias de E2

2 2.1

Rota¸ c˜ oes

Defini¸c˜ ao 2.1.1. Uma rota¸c˜ao de ˆangulo θ com centro na origem ´e uma transforma¸c˜ao linear Rθ : E2 → E2 que satisfaz as seguintes propriedade: para quaisquer θ ∈ R e u, v ∈ E2 < Rθ .u, Rθ .v >=< u, v >,

det(Rθ ) = 1

Decorrem da defini¸c˜ao as seguintes propriedades de uma rota¸ca˜o: 1. Rθ (0) = 0 para todo θ ∈ R. 2. Rθ .Rθt = Rθt .Rθ = I, 3. na base canonica β = {(1, 0), (0, 1)}, a matriz que representa Rθ ´e  [Rθ ]β =

 cosθ −senθ . senθ cosθ

• para quaisquer θ, φ ∈ R, valem as identidades Rθ ◦ Rφ = Rθ+φ ,

Rθ−1 = R−θ .

⇒ SO2 = {Rθ | θ ∈ R} ´e um grupo abeliano

5

(3)

Proposi¸c˜ ao 2.1.2. Para todo θ ∈ R, a rota¸c˜ao Rθ ´e uma isometria de E2 . Demonstra¸c˜ao. Rθ (x, y) = (cosθ.x + senθ.y, −senθ.x + cosθ.y). Portanto, (dRθ )(x,y) : T(x,y) E2 → TRθ (x,y) E2 ´e dada por (dRθ )(x,y) .v = Rθ .v, da onde < (dRθ )(x,y) .u, (dRθ )(x,y) .v >=< Rθ .u, Rθ .v >=< u, v > .

2.2

Reflex˜ oes

a reflex˜ao sobre o eixo-x definida por rx (x, y) = (x, −y) Desta forma, rx : E2 → E2 ´e uma transforma¸ca˜o linear tal que rx2 = idE2 e cuja matriz, em rela¸ca˜o a base canonica, ´e   1 0 [rx ]β = . 0 −1 para qualquer θ ∈ R,

Rθ rx = rx R−θ .

6

Seja l ⊂ E2 a reta y = tg(θ) passando pela origem. A reflex˜ao em rela¸ca˜o a l ´e a transforma¸ca˜o linear rl : E2 → E2 , rl = Rθ ◦ rx ◦ Rθ−1 . Segue que rl = Rθ .rx .R−θ = R2θ .rx . a matriz de rl na base canonica ´e   cos2θ sen2θ [rl ]β = . sen2θ −cos2θ Seja l uma reta passando pela origem em E2 . Ent˜ao; 1. Se p ∈ l, ent˜ao rl (p) = p. 2. rl2 = idE2 3. rl : E2 → E2 linear satisfaz < rl .u, rl .v >=< u, v >, Portanto, rl : E2 → E2 ´e uma isometria.

7

∀u, v ∈ E2

(4)

(5)

Proposi¸c˜ ao 2.2.1. Sejam l, r retas em E2 passando pela origem que formam ˆangulos α, β com o eixo-x, respectivamente. Ent˜ao, rl ◦ rs = R2(α−β) ,

rs ◦ rl = R−2(α−β) .

Demonstra¸c˜ao. rl ◦ rs = Rα ◦ rx ◦ R−α ◦ Rβ ◦ rx ◦ R−β = Rα ◦ rx ◦ Rβ−α ◦ rx ◦ R−β = = Rα ◦ rx2 ◦ Rα−β ◦ R−β = R2(α−β) Analogamente, rs ◦ rl = R−2(α−β) . O grupo ortogonal ´e o conjunto O2 = {A ∈ M2 (R) | A.At = At .A = I} munido com a opera¸ca˜o de multiplica¸ca˜o de matrizes. Lema 2.2.2. Seja A ∈ O2 . Ent˜ao, h´a duas possibilidades; (i) A = Rθ , A ∈ SO2 e det(A) = 1 (ii) A = Rθ ◦ rx , A ∈ / SO2 e det(A) = −1.

Corol´ ario 2.2.3. O grupo O2 ´e gerado por reflex˜oes.

8

2.3

Transla¸ c˜ oes

Seja b ∈ R2 . Uma transla¸ca˜o ´e uma transforma¸ca˜o Tb : E2 → E2 definida pela express˜ao Tb (x) = x + b,

b = T (0).

(6)

As transla¸c˜oes satisfazem a seguintes propriedades; 1. Para todo b ∈ E2 , Tb : E2 → E2 ´e uma isometria. 2. Se b 6= 0 ent˜ao as transforma¸co˜es Tb : E2 → E2 n˜ao s˜ao lineares. 3. Se b 6= 0, ent˜ao para todo x ∈ E2 Tb (x) 6= x. 4. Sejam b1 , b2 ∈ E2 , ent˜ao Tb1 ◦ Tb2 = Tb2 ◦ Tb1 = Tb1 +b2 . 5. Para todo b ∈ E2 , Tb−1 = T−b . 6. T = {Tb | b ∈ E2 }; (T , ◦) ' R2 A composi¸c˜ao de isometrias ´e uma isometria; sejam A ∈ O2 e b ∈ E2 , considere TA,b : E2 → E2 a isometria

TA,b (u) = Tb (Au) = Au + b.

9

Exemplos: 1. reflex˜ao sobre uma reta afim; Se l = {(x, y) ∈ E2 | y = tg(θ)x − x0 tg(θ)} ´e a reta com inclina¸ca˜o θ passando pelo ponto (x0 , 0), ent˜ao 2x0 .tg(θ) (−tg(θ), 1) rl (u) = rx R−2θ (u) − | {z } 1 + tg 2 (θ) | {z } A



rl = TA,b ,

(7)

b

~ 0; 2. Rota¸c˜ao com centro em P0 = (x0 , y0 ); v0 = OP RθP0 (u) = Rθ (u) + v0 − Rθ (v0 ) |{z} {z } | A



RθP0 = TA,b .

(8)

b

Proposi¸c˜ ao 2.3.1. Sejam l, s retas em E2 e rl , rs as respectivas reflex˜oes. Ent˜ao, 1. Se l//s, ent˜ao rl ◦ rs = Tb e rs ◦ rl = T−b , onde b ∈ E2 ´e um vetor ortogonal as retas l, s e | b |= 2dist(l, s) P P 2. Se l, s s˜ao concorrentes em P , ent˜ao rs ◦ rl = R2θ e rl ◦ rs = R−2θ s˜ao rota¸c˜oes com centro em P e θ ∈ R ´e o ˆangulo formado por l e s.

Figura 2: l e s paralelas

Figura 3: l e s concorrentes

10

Teorema 2.3.2. Se T : E2 → E2 ´e uma isometria, ent˜ao, existem A ∈ O2 e b ∈ E2 tais que, para todo x ∈ E2 , T (x) = Ax + b (T = TA,b ) Corol´ ario 2.3.3. O grupo Isom(E2 ) goza das seguintes propriedades ao fixarmos a origem em E2 ; 1. O grupo Isom(E2 ) ´e gerado pelas reflex˜oes. 2. Isom(E2 ) = R2 o O2 . Demonstra¸c˜ao. considere sobre R2 × O2 o seguinte produto (semi-direto) (a, A).(b, B) = (a + Ab, AB) 1. o produto ´e associativo, 2. o elemento neutro do produto ´e (0, I). 3. o elemento inverso de um elemento (a, A) ´e (−A−1 a, A−1 ). R2 o O2 ´e um grupo,

l uma reta e TA,b uma isometria, ent˜ ao, TA,b (l) ´ e uma reta.

11

3

Grupos Cristalogr´ aficos 2-D discreto

}| { z Um subgrupo G < isom(E ) age descontinuamente sobre E2 se, para todo conjunto compacto K ⊂ E2 , 2

G(K) ∩ K ´e um conjunto finito de pontos.

3.1

Subgrupos Discretos de O2

Proposi¸c˜ ao 3.1.1. Se θ ∈ 2π(R\Q), ent˜ao G =< Rθ > ´e infinito. Demonstra¸c˜ao. Por absurdo, suponhamos que G ´e finito ⇒ existe k ∈ N tq. Rθk = I. Isto implica na existˆencia de n ∈ N tal que k.θ = 2πn



θ = 2π

n k



θ ∈ 2πQ,

Consequentemente, G tem que ser infinito.

Proposi¸c˜ ao 3.1.2. Se θ ∈ 2π(R\Q), ent˜ao A ´orbita de qualquer elemento 1 x0 ∈ S ´e densa em S 1 .

12

Exemplos: Grupo Diedral Dn 1. Simetrias de um Triˆangulo Equil´atero

D3 .

uma simetria T ´e representada pela imagem dos seus v´ertices  T =

 A B C . T (A) T (B) T (C)

As rota¸c˜oes centradas no ponto O com ˆangulos 0, simetrias  I=

(9) 2π 3

e

4π 3

definem as

     A B C A B C A B C , R 2π = , R 4π = , 3 3 A B C B C A C A B

As reflex˜oes sobre as bissetrizes AD, BE e CF definem as simetrias  rAD =

     A B C A B C A B C , rBE = , rCF = , A C B C B A B A C

Figura 4: D3 As simetrias do 4ABC definem o conjunto de transforma¸co˜es  D3 =

           A B C A B C A B C A B C A B C A B C , , , , , A B C B C A C A B A B C C B A B A C

13

A opera¸ca˜o de composi¸c˜ao de transforma¸c˜oes induz uma opera¸c˜ao sobre o conjunto D3 , conforme ilustra os exemplos abaixos;       A B C A B C A B C = ◦ = = rBE , A C B B C A C B A

rAD ◦ R 2π 3

 R 4π ◦ R 2π = 3

3

A B C C A B

     A B C A B C ◦ = = I, B C A A B C

A tabela abaixo representa o elemento (x ◦ y); x na 1a -coluna e y na 1a -linha ;

I R 2π 3 R 4π 3 rAD rBE rCF

I I R 2π 3 R 4π 3 rAD rBE rCF

R 2π 3 R 2π 3 R 4π 3 I rBE rCF rAD

R 4π 3 R 4π 3 I R 2π 3 rCF rAD rBE

rAD rAD rCF rBE I R 4π 3 R 2π 3

rBE rBE rAD rCF R 2π 3 I R 4π

Tabela 1: tabela de D3 . (D3 , ◦) ´e um grupo finito n˜ao abeliano.

14

3

rCD rCF rBE rAD R 4π 3 R 2π 3 I

Figura 5: D4

Figura 6: D5

Sejam l1 , l2 duas retas; (i) o aˆngulo entre elas ´e θ, (ii) as reflex˜es sobre elas sejam r1 , r2 (respect.) r2 ◦ r1 = R2θ . O grupo G =< r1 , r2 > age descontinuamente se p ∃ p, q ∈ N tal que θ = π q Teorema 3.1.3. Se G < O2 age descontinuamente sobre E2 , ent˜ao G ´e isomorfo a Zk ou `a Dk .

15

3.2

Subgrupos Discretos de T

Uma transla¸ca˜o ´e o produto de duas reflex˜oes sobre retas paralelas. Proposi¸c˜ ao 3.2.1. Seja G < T um subgrupo agindo descontinuamente sobre 2 E . Ent˜ao, ocorre uma das possibilidades abaixo; 1. G ' Z e existe v ∈ E2 tal que G =< Tv >. 2. G ' Z ⊕ Z e existem u, v ∈ E2 tal que G =< Tu , Tv >.

Figura 8: T  Z

Figura 7: T = Z

Figura 9: T ' Z ⊕ Z

16

3.3

Subgrupos de Isom(E2 ) = T o O2 que agem descontinuamente sobre E2 G < Isom(E2 )

( OG , isotropia da origem TG , transla¸co˜es puras

Ao fixarmos a origem em E2 obtemos a sequˆencia exata • OG ´e o subgrupo de SO2 isomorfo ao grupo de isotropia da origem, • TG ´e o subgrupo de transla¸co˜es puras de G.

0 −→ TG −→ G −→ OG −→ 1, Classes de grupos discretos: • Tipo I: Se TG ' Z 1. OG = {e}, 2. OG ' Zn 3. OG ' Dn • Tipo II: Se TG ' Z ⊕ Z 1. OG = {e} 2. OG ' Zn 3. OG ' Dn

17

´ GRUPOS CRISTALOGRAFICOS

Figura 10: Mosaicos de Alhambra, Espanha

18

As proposi¸c˜oes a seguir s˜ao importantes para a classifica¸c˜ao dos grupos que agem descontinuamente sobre E2 ; Proposi¸c˜ ao 3.3.1. Sejam lb ⊂ E2 a reta definida pela equa¸c˜ao vetorial r(t) = tu1 + u0 , u1 ´e unit´ario e u0 = r(0). Se rl e Tv ∈ G, ent˜ao existe um vetor w tal que [Tv , rl ] = T2w . w = v− < v, u1 > u1

Corol´ ario 3.3.2. Se < v, u1 >6= 0 (n˜ao forem ortogonais) na proposi¸c˜ao anterior, ent˜ao G ´e do tipo II.

Proposi¸c˜ ao 3.3.3. Seja P ∈ E2 um ponto qualquer e suponhamos que a rota¸c˜ao RθP : E2 → E2 , de centro em P e ˆangulo θ, pertence a G. Se Q ´e um ponto na ´orbita de P , ent˜ao a rota¸c˜ao RθQ : E2 → E2 com centro em Q e ˆangulo θ tamb´em pertence a G.

Proposi¸c˜ ao 3.3.4. Se RθP e Tv pertencem a G, ent˜ao G cont´em a transla¸c˜ao Tw , onde w = v − RθP (v). Corol´ ario 3.3.5. Se o grupo G cont´em a isometrias RθP (θ 6= π) e Tv , ent˜ao G ´e um grupo do tipo II.

Proposi¸c˜ ao 3.3.6. Sejam u0 = OP e v0 = OQ. Se RθP , RφQ ∈ G, ent˜ao G ´e um grupo do tipo II, pois [RθP , RφQ ] : E2 → E2 ´e igual `a transla¸c˜ao Tw0 , onde w0 = (Rθ + Rφ − Rθ+φ − I) (v0 − u0 ).

19

(10)

4

Grupos Triangulares

4ABC ´e formado pelos segmentos l1 = AB, l2 = BC e l3 = CA. v´ ertices: A = l1 ∩ l3 , B = l1 ∩ l2 e C = l2 ∩ l3 ˆ = β e Cˆ = γ medida dos ˆ angulos internos: Aˆ = α, B nota¸c˜ ao: 4ABC

4(α, β, γ);.

Sejam r1 , r2 , r3 as reflex˜oes sobre os lados l1 , l2 , l3 , respectivamente. Quest˜ ao Sobre que condi¸co˜es o grupo G =< r1 , r2 , r3 > age descontinuamente sobre E2 ? Observe que B C A ∈ G. , R2β , R2γ (i) os v´ertices do triˆangulo s˜ao centros de rota¸c˜ao: R2α

(ii) para que a a¸c˜ao das rota¸c˜oes seja descont´ınua os aˆngulos internos do triˆangulo devem ser da forma π π π , , m n p

m, n, p ∈ N.

(iii) A soma dos aˆngulos internos de um triˆangulo euclideano ´e π, ou seja, 1 1 1 + + = 1. m n p

(11)

Proposi¸c˜ ao 4.0.7. As u ´nicas solu¸c˜oes (m, n, p) ∈ N × N × N da equa¸c˜ao (11) s˜ao as triplas (2, 4, 4), (2, 3, 6) e (3, 3, 3) .

20

Uma abordagem geom´ etrica . Para azulejar o ˆangulo interno de um pol´ıgono regular de n-lados mede π n−2 n o plano com este pol´ıgono deve existir k ∈ N tal que   n−2 k. = 2. n as u ´nicas solu¸co˜es s˜ao (i) n = 3 (triˆangulo equil´atero) e k = 6, (ii) n = 4 (quadrado) e k = 4, (iii) n = 6 (hex´agono) e k = 3.

Figura 11: triˆangulo equil´atero

Figura 12: quadrado

Figura 13: pent´agono

Figura 14: hex´agono

Ao considerarmos as retas bissetrizes obtemos uma decomposi¸ca˜o do interior do pol´ıgono em triˆangulos congruentes. No caso do triˆangulo equil´atero, 21

o triˆangulo obtido ´e o 4(2, 3, 6); no quadrado ´e o triˆangulo 4(4, 4, 2); e no hex´agono ´e o triˆangulo 4(3, 3, 3). Reciprocamente, o cada pol´ıgono poder ser constru´ıdo a partir destes triˆangulos.

Defini¸c˜ ao 4.0.8. Dados (m, n, p) ∈ N × N × N, G(m, n, p) =< r1 , r2 , r3 > ´e um grupos triangular euclideano quando a tripla (m, n, p) ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (11). Portanto, existem apenas trˆes grupos triangulares euclideanos G(2, 4, 4), G(2, 3, 6), G(3, 3, 3). Todos os grupos que agem descontinuamente sobre E2 s˜ao subgrupos de algum destes subgrupos triangulares; isto porque s˜ao todos gerados por reflex˜oes ou produtos delas. 1. G0 =< r1 r2 , r1 r3 , r2 r3 > ´e um subgrupo de ´ındice 2 de G =< r1 , r2 , r3 >. 2. Considere o triˆangulo 4(2, 3, 6). Ao fixarmos a origem no v´ertice com aˆngulo interno π/2 obtemos a sequˆencia exata 0 −→ Z ⊕ Z −→ G −→ Z2 −→ 1. Se a origem nos outros v´ertices teriamos uma das seguintes sequˆencias exatas; 0 −→ Z ⊕ Z −→ G −→ Z3 −→ 1 0 −→ Z ⊕ Z −→ G −→ Z6 −→ 1 22

A B B C C A 3. LEMBREM-SE ! Os comutadores [R2α , R2β ], [R2β , R2γ ] e [R2γ , R2α ] s˜ao transla¸co˜es;

u0 = OA e v0 = OB; ent˜ao existe w0 tal que A B Tw0 = [R2α , R2β ] : E2 → E2

(12)

w0 = (R2α + R2β − R−2γ − I) (v0 − u0 ). Seja 4(m, n, p) um triˆangulo onde m ≤ n ≤ p e Considere a matriz

1 m

M (m, n) = R 2π + R 2π − R 2π(m+n) − I m

n

+

1 n

+

1 p

= 1.

(13)

mn

Usando as identidades trigonom´etricas M (m, n) = 4.sen(

π π )sen( )R π(p−1) . p m n

(14)

A C B B C A ] geram as transla¸co˜es na , R2α ] e [R2γ , R2β ], [R2β , R2γ Os comutadores [R2α dire¸ca˜o dos vetores decorrentes dos comutadores das rota¸c˜oes centradas nos v´ertices do triˆangulo 4(M, n, p), conforme a proposi¸c˜ao 3.3.6. Para este fim, consideramos a tabela 2 abaixo;

m 2 2 3 2 4 3

n M √(m, n) 3 2 3.R 5π 6 6 2.R 2π √ 3 6 3.R π2 4 √ .R 3π 4 2 4 4 2.R π2 3 3.R 2π 3

Tabela 2: R(m, n) Tamb´em vamos fixar os seguintes elementos: Sejam A, B e C os v´ertices do triˆangulo 4(m, n, p), assim como mostra a figura ??. Consideramos os seguintes vetores 23

u0 = OA, v0 = OB, w0 = OC, eAB = v0 − u0 , eBC = w0 − v0 , eCA = u0 − w0 . 1 - 4(2, 3, 6): Sejam √ ν1 = 2 3.R 5π (eAB ), 6

ν2 = 2.R 2π (eAC ),

ν3 =

3

√ 3.R π2 (eBC )

Ao aplicarmos os dados na tabela 2, segue que

[RπA , RB2π ] = Tν1 , 3

[RπA , RCπ ] = Tν2 , 3

[RB2π , RCπ ] = Tν3 . 3

3

(15)

√ Se os v´ertices de 4(2, 3, 6) s˜ao A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (0, 3), ent˜ao √ ν1 = (−3, 3),

√ ν2 = (3, 3),

ν3 = −ν2 .

2 - 4(2, 4, 4): Da mesma maneira, 4 ν1 = √ .R 3π (eAB ), 2 4

4 ν2 = √ .R 3π (eAC ), 2 4

ν3 = 2.R π2 (eBC ),

da onde,

[RπA , RBπ ] = Tν1 , 2

[RπA , RCπ ] = Tν2 , 2

[RBπ , RCπ ] = Tν3 . 2

2

(16)

Se os v´ertices de 4(2, 4, 4) s˜ao A = (1/2, 1/2), B = (0, 0) e C = (1, 0), ent˜ao ν1 = (2, 0),

ν2 = (0, −2),

24

ν3 = −ν2 .

3 - 4(3, 3, 3): Analogamente, ν1 = 3.R 2π (eAB ), 3

ν2 = 3.R 2π (eAC ), 3

ν3 = 3.R 2π (eBC ) 3

obtemos

[RA2π , RB2π ] = Tν1 , 3

3

[RA2π , RC2π ] = Tν2 , 3

3

[RB2π , RC2π ] = Tν3 . 3

(17)

3

√ Se os v´ertices de 4(3, 3, 3) s˜ao A = (0, 0), B = (1, 0) e C = (1/2, 3/2), ent˜ao √ 1 3 ν1 = 3.(− , ), 2 2

√ 1 3 ν2 = 3(− , − ), 2 2

ν3 = −ν2 .

Segue da discuss˜ao acima que os vetores ν1 , ν2 , ν3 s˜ao linearmente dependentes sobre Z; isto implica que o ret´ıculo gerado por um par deles independe do par escolhido.

4.1

Classifica¸ c˜ ao dos Subgrupos Discretos de Isom(E2 )

Agora, aplicaremos os resultados obtidos para classificarmos os subgrupos discretos G de Isom(E2 ). Vamos considerar os seguintes casos: (1) G0 quando TG = {0}, (2) GI ´e do tipo I; TG ' Z e (3) GII ´e do tipo II; TG ' Z ⊕ Z. A cada grupo G agindo discontinuamente sobre E2 temos, associada a G, a regi˜ao fundamental PG . 1. TG = {0}. Sejam l1 e l2 retas que formam um aˆngulo θ entre si e sejam r1 , r2 : E2 → E2 as respectivas reflex˜oes. Segue que r1 r2 = R2θ ; (a) Go =< r1 , r2 >=< r1 , R2θ >' Dk (b) Go =< r1 r2 >=< R2θ >' Zk Os grupos acima s˜ao subgrupos de O2 e tem ordem finita.

25

2. TG = Z, G ´e do tipo I. Todos os grupos nesta categoria tem ordem infinita. Sejam l1 , l2 e l3 retas distintas tais que l1 k l2 e l1 ⊥ l3 (considere l3 como sendo o eixo-x). Sejam ri : E2 → E2 , i ∈ {1, 2, 3} as respectivas reflex˜oes. Se l1 ∩ l3 = {P } e l2 ∩ l3 = {Q}, segue que r2 r3 = RπQ ,

r1 r3 = RπP ,

r1 r2 = T2u .

A transforma¸c˜ao M2u;3 = r3 T2u ´e denominada reflex˜ao por desliza2 = T4u . Consimento. Decorre de r3 (u) = u que r3 T2u = T2u r3 e M2u;3 deramos as seguintes possibilidades; (a) GI1 =< r1 , r2 >=< r1 , T2u >, (b) GI2 =< r1 r2 >=< T2u >' Z, (age livremente) (c) GI3 =< r1 , r2 , r3 >, Abaixo esta a tabela produto dos geradores de GI3 : I I r1 r2 r3

I r1 r2 r3

r1 r1 I T−2u RπP

r2 r2 T2u I RπQ

r3 r3 RπP RπQ I

Tabela 3: tabela dos geradores de GI3 (d) GI4 =< r1 r2 , r3 >=< T2u , r3 >;

I T2u r3

I I T2u r3

T2u T2u T4u G2u;3

r3 r3 G2u;3 I

Tabela 4: tabela dos geradores de GI4

26

I M2u;3

I I M2u;3

M2u;3 M2u;3 T4u

Tabela 5: tabela dos geradores de GI5 (e) GI5 =< r1 r2 r3 >=< M2u;3 >. GI5 ' Z e age livremente sobre E2 ; (f) GI6 =< r1 r3 , r2 r3 >=< RπP , RπQ >; De acordo com a proposi¸c˜ao 3.3.6, GI6 ´e do tipo I; [RπP , RπQ ] = T4v0 ,

I RπP RπQ

I I RπP RπQ

RπP RπP I RπQ .RπP

onde v0 = P Q. RπQ RπQ RπP .RπQ I

Tabela 6: tabela dos geradores de GI6 (g) GI7 =< RπP , Tu >;

I RπP Tu

I I RπP Tu

RπP RπP I Tu .RπP

Tu Tu P Rπ .Tu T2u

Tabela 7: tabela dos geradores de GI7 Por exaust˜ao, temos o seguinte resultado; Teorema 4.1.1. Os grupos GIi , i = 1, . . . , 7 s˜ao, a menos de isomorfismos, os u ´nicos grupos do tipo I. 3. TG = Z ⊕ Z, G ´e do tipo II. 27

(a) Grupos gerados pelas reflex˜oes sobre os lados do triˆangulo 4(2, 3, 6) (figura ??). Sejam l1 , l2 , l3 os lados de 4(2, 3, 6) e r1 , r2 , r3 as respectivas reflex˜oes. Considere que os v´ertices de 4(2, 3, 6) sejam A = l1 ∩ l3 ,

B = l1 ∩ l2 ,

C = l2 ∩ l3 ,

cujos ˆangulos internos medem ˆ = ](l1 , l2 ) = π B 6

π Aˆ = ](l1 , l3 ) = , 2

π Cˆ = ](l2 , l3 ) = . 3

Desta maneira, as seguintes rota¸co˜es resultam da composi¸ca˜o das reflex˜oes r1 , r2 , r3 ; r3 r1 = RπA ,

r1 r2 = RBπ , 3

r1 r3 = RC2π . 3

Como visto na equa¸ca˜o 15, [RπA , RB2π ] = Tν1 ,

[RπA , RCπ ] = Tν2 , 3

3

[RB2π , RCπ ] = Tν3 . 3

3

H´a tamb´em as reflex˜oes por deslizamento Ki,νj = ri Tνj , onde 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3. A seguir, vamos descrever os subgrupos do tipo II apresentando um conjunto de geradores e, em alguns casos, a tabela operacional deles. (a.1) GII 1 =< r1 , r2 , r3 > C A B (a.2) GII 2 =< Rπ , R 2π , R π >; 3

3

A B A C (a.3) GII 3 =< [Rπ , R 2π ], [Rπ , R π ] >=< Tν1 , Tν2 >; 3

3

A B (a.4) GII 4 =< r1 , [Rπ , R 2π ] >=< r1 , Tν1 >; a classe de isomor3 fismo independe da escolha da reflex˜ao ri , i = 1, 2, 3 e da escolha da transla¸c˜ao. Observamos que o lado l1 e a dire¸c˜ao de ν1 n˜ao s˜ao perpendiculares.

28

I r1

I I r1

r1 r1 I

r2 r2 RπA

r3 r3 RC2π

r2

r2

RπA

I

RB5π

r3

r3

RC4π

RBπ

I

3

3 3

3

Tabela 8: tabela dos geradores de GII 1 RπA

RB2π

I

RπA

RB2π

RπA

RπA

I

RπA RB2π

RπA RCπ

RB2π

RB2π

RB2π RπA

RB4π

RB2π RCπ

RCπ RπA

RCπ RB2π

I I

3

3

RCπ

RCπ

3

3

RCπ 3

3

RCπ 3

3

3 3

3

3

3

3

3

3

RCπ 3

3

Tabela 9: tabela dos geradores de GII 2 B B A B (a.5) GII 5 =< R 2π , [Rπ , R 2π ] >=< R 2π , Tν1 >; 3

3

3

C B A C (a.6) GII 6 =< R π , [Rπ , R 2π ] >=< R π , Tν1 >; 3

3

3

A B (a.7) GII 7 =< [Rπ , R 2π ], Ki;νj >=< Tν1 , Ki;νj >; 3

A (a.8) GII 8 =< Rπ , Ki;νj >;

B (a.9) GII 9 =< R 2π , Ki;νj >; 3

C (a.10) GII 10 =< R π , Ki,νj >; 3

GII 11

(a.11) =< Ki,νj , Kk,νl >; a classe de isomorfismo deste grupo independe da escolha das transforma¸co˜es de deslizamento e refle˜ao usadas, desde ambas sejam distintas. Nos casos acima, havendo um centro de rota¸ca˜o, a classe de isomorfismo depende do aˆngulo de rota¸ca˜o. 29

(b) Grupos obtidos pela reflex˜ao sobre os lados do triˆangulo 4(3, 3, 3) (figura ??). Sejam l1 , l2 , l3 os lados de 4(3, 3, 3) e r1 , r2 , r3 as respectivas reflex˜oes. Consideramos ˆ = ](l1 , l2 ) = π B 3

π Aˆ = ](l3 , l1 ) = , 3

π Cˆ = ](l2 , l3 ) = . 3

De maneira an´aloga ao caso do triˆangulo 4((2, 3, 6), as seguintes isometrias s˜ao obtidas pela composi¸ca˜o das reflex˜oes r1 , r2 , r3 ; rota¸co˜es: r1 r2 = RAπ , r3 r2 = RBπ , r1 r3 = RCπ . 3

3

3

A

B

A

C

3

3

3

3

transla¸co˜es: Tν1 = [R π , R π ], Tν2 = [R π , R 2π ]. reflex˜oes-deslizamento: Ki,νj = ri Tνj , i = 1, 2 e j = 1, 2. Dentre os grupos discretos obtidos a partir do grupo triangular 4(3, 3, 3), somente os grupos abaixo acrescentam novas classes de isomorfismo a lista grupos; A B C (b.1) GII 12 =< R 2π , R 2π , R 2π >; 3

3

3

A B B A (b.2) GII 13 =< R 2π , [R 2π , R 2π ] >=< R 2π , Tν1 >; 3

(b.3)

GII 14

3

3

3

A

=< R 2π , Ki;νj >. 3

(c) Grupos obtidos pela reflex˜ao sobre os lados do triˆangulo 4(2, 4, 4). (figura ??) Sejam l1 , l2 , l3 os lados de 4(2, 4, 4) e r1 , r2 , r3 as respectivas reflex˜oes. Considere que os ˆangulos internos medem π Aˆ = ](l1 , l2 ) = , 2

ˆ = ](l2 , l3 ) = π B 4

π Cˆ = ](l3 , l1 ) = . 4

Como anteriormente, temos as seguintes isometrias: rota¸co˜es: r1 r3 = RπA , r2 r3 = RBπ e r3 r1 = RCπ , 2

2

transla¸co˜es: Tν1 = [RπA , RBπ ] e Tν2 = [RπA , RCπ ], 2

2

reflex˜oes-deslizamento: K1;νj = ri 1Tνj , onde i = 1, 2 e j = 1, 2. 30

Os grupos abaixo somam-se as listas dos grupos (a.1)-(a.11) e (b.1)-(b.3); B A C (c.1) GII 15 =< Rπ , R π , R π >; 2

2

B B A B (c.2) GII 16 =< R π , [Rπ , R π ] >=< R π , Tν1 >; 2

2

2

B (c.3) GII 17 =< R π , Ki;νj >; 2

Por exaust˜ao, chegamos ao seguinte resultado; Teorema 4.1.2. Os grupos GII ao, a menos de isomorfismos, i , i = 1, . . . , 17 s˜ os u ´nicos grupos do tipo II.

4.2

Superf´ıcies e Orbitais Euclideanos

Defini¸c˜ ao 4.2.1. Se G ´e um grupo agindo discretamente sobre a superf´ıcie X, a regi˜ao fundamental associada a a¸c˜ao de G ´e o conjunto fechado P ⊂ X tal que S 1. X = g∈G g.P, 2. int(P) ∩ g.int(P) = ∅, (int(P)=interior de P). A a¸ca˜o de G restrita ao bordo ∂P = P − int(P) possue pontos que pertencem a uma mesma o´rbita, o que induz uma rela¸ca˜o de equivalˆencia sobre P; x∼y



∃g ∈ G tal que y = g.x.

Defini¸c˜ ao 4.2.2. Seja X uma superf´ıcie e G um grupo agindo descontinuamente sobre X. Se a a¸c˜ao n˜ao ´e livre dizemos que X/G ´e um orbital . Defini¸c˜ ao 4.2.3. Seja X uma superf´ıcie compacta. A caracter´ıstica de Euler de uma triangula¸c˜ao T ´e χ(X, T ) = VT − AT + FT .

31

(18)

χ(X) = d.(VT − AT + FT ) −

n X

ki .(νi − 1).

i=1 # n  X 1 χ(X) = d VT − AT + FT − 1− = d.χ(X/G) ν i i=1

"

32