Metody systemowe i decyzyjne w informatyce Ćwiczenia – lista zadań nr 1

Proste zastosowania równań różniczkowych Zad. 1 Liczba potencjalnych użytkowników portalu społecznościowego wynosi 4 miliony osób. Tempo, w jakim rośnie liczba użytkowników, jest proporcjonalne do różnicy potencjalnych użytkowników i aktualnych użytkowników. Po 2 latach połowa potencjalnych użytkowników zarejestrowała się na portalu. Ile przewidywalnie użytkowników będzie zarejestrowanych do końca 4 roku? Zad. 2 W basenie o pojemności 500 [m3 ] mogą kąpać się ludzie, jeśli wskaźnik zanieczyszczenia wody nie przekracza 1% objętości. Z powodu awarii systemu oczyszczającego wskaźnik zanieczyszczenia osiągnął poziom 10%. Po jakim czasie wskaźnik czystości osiągnie dopuszczalną normę przy założeniu, że system oczyszczający wpompowuje i wypompowuje 5 [m3 /h].

Transformata Laplace’a Zad. 3 Wyznacz transformaty Laplace’a poniższych funkcji, korzystając z definicji: a) 1(t)

d) cos at

b) eat

e) tn , n ∈ N

c) sin at

f ) δ(t) – delta Diraca

Liniowe równania różniczkowe. Systemy wejściowo-wyjściowe Zad. 4 Amortyzator w rowerze jest obciążany masą m. Zgodnie z prawem Hooke’a siła działająca na ciało o masie m jest odwrotnie skierowana do kierunku wychylenia i proporcjonalna do niego zgodnie ze współczynnikiem sprężystości k. Dodatkowo na ciało działa siła tłumienia, która jest także odwrotnie skierowana do kierunku wychylenia i proporcjonalna do prędkości ciała zgodnie ze 1

współczynnikiem tłumienia c. Zakładając, że amortyzator jest skierowany prostopadle do kierunku jazdy, sformułuj odpowiednie równanie różniczkowe i rozwiąż następujące zagadnienia, przyjmując m = 20[kg], k = 2000[N/m], c = 200[kg/s]: a) Początkowe wychylenie wynosi x(0) = 10cm i na ciało nie działają żadne siły zewnętrzne. Wyznacz i narysuj x(t). b) Dodatkowo zakładamy, że na rower działa dodatkowa siła zewnętrzna F (t). Wyznacz transmitancję systemu (dla zerowych warunków początkowych). c) Wyznacz x(t), gdy na ciało działa stała siła grawitacji F (t) = −mg1(t) i na początku rower wpada na przeszkodę o wysokości h = 5[cm].

Zad. 5 Przebieg zmian zawartości insuliny we krwi człowieka po podaniu dawki insuliny można modelować następującym równaniem różniczkowym: d2 y dy + 2 + y = u, dt2 dt gdzie u(t) oznacza dawkowanie insuliny w czasie, a y(t) jest przebiegiem zmian odchylenia zawartości insuliny od punktu równowagi. Zakładając, że przed zaaplikowaniem insuliny proces był w stanie równowagi (zerowe warunki początkowe), wyznacz jego transmitancję oraz odpowiedzi na impuls Diraca u(t) = δ(t) oraz na skok jednostkowy u(t) = 1(t). Wykreśl przebiegi y(t) dla obu pobudzeń. Zinterpretuj impuls Diraca i skok jednostkowy w kontekście dawkowania insuliny. Zad. 6 Dany jest układ elektryczny RLC (opornik, cewka, kondensator) o oporze R, indukcyjności L i pojemności C. Spadki napięcia na poszczególnych elementach wynoszą odpowiednio RI, L dI , dt Zależność natężenia od ładunku wyraża się wzorem I =

dQ . dt

Q . C

Zgodnie z prawem Kirchhoffa suma

spadków napięć jest równa przyłożonej sile elektromotorycznej E(t). Sformułować odpowiednie równanie różniczkowe drugiego rzędu i znaleźć przebiegi ładunku i natężenia od czasu dla E(t) = cos t, R = 20[Ω], L = 1[H], C = 100[µF ], oraz następujących warunków początkowych Q(0) = 0, I(0) = 0.

2

Układy równań różniczkowych. Wektor stanu Zad. 7 Równanie różniczkowe z zadań 4.b) i 6 zapisać w formie równania stanu. Zad. 8 Jajko o temperaturze T0 = 20[℃] zanurzone zostało we wrzącej wodzie (temperatura Tw = 100[℃]). Współczynniki przewodnictwa cieplnego wynoszą odpowiednio λb = 0.5[W/mK] dla białka i λz = 0.3[W/mK] dla żółtka. Zapisać równanie stanu i wyznaczyć przebieg temperatury od czasu dla białka i żółtka.

Zadanie domowe (5 pkt.) Korzystając z metody indukcji matematycznej i definicji udowodnić następującą własność transformaty Laplace’a:   L f (n) (t) = sn L [f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − . . . − f (n−1) (0) .

3

DODATEK Transformata Laplace’a: Transformatą Laplace’a nazywamy następujące przekształcenie: Z ∞ L [f (t)] ≡ f (t) e−st dt, gdzie s jest zmienną zespoloną. 0

Transformata Laplace’a posiada następujące własności: 1. L [a1 f1 (t) + a2 f2 (t)] = a1 L [f1 (t)] + a2 L [f2 (t)], gdzie a1 , a2 ∈ R.   2. L f (n) (t) = sn L [f (t)] − sn−1 f (0) − sn−2 f 0 (0) − . . . − f (n−1) (0). Z t  1 3. L f (u) du = L [f (t)]. s 0 4. Jeśli L [f (t)] = F (s) to L [(−1)n tn f (t)] = F (n) (s).   Z ∞ f (t) 5. L = F (s) ds. t s

f (t) 1(t) sin at cos at t sin at t cos at

L [f (t)]

f (t)

1 s a s 2 + a2 s 2 s + a2 2as (s2 + a2 )2

eat eat sin bt eat cos bt tn ,n ∈ N n! tn eat · , n ∈ N n!

s 2 − a2 (s2 + a2 )2

L [f (t)] 1 s−a b (s − a)2 + b2 s−a (s − a)2 + b2 1 sn+1 1 (s − a)n+1

Tablica 1: Tabela często używanych transformat Laplace’a Delta Diraca: Deltą Diraca nazywamy obiekt matematyczny o następujących własnościach: ( +∞, jeśli t = 0, δ(t) = 0, w przeciwnym przypadku której całka po całej prostej jest znormalizowana, tzn. Z +∞ δ(t)dt = 1. −∞

4

Wybrane własności delty Diraca: • L [δ(t)] = 1 •

d1(t) dt

•

R

= δ(t)

δ(t − τ )f (t)dt = f (τ )

5