METODOS MULTIPASOS METODOS DE ADAMS

METODOS MULTIPASOS Los métodos de euler, Heun, Taylor y Runge-Kutta se llaman método de un paso porque en el cálculo de cada punto sólo se usa la info...
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METODOS MULTIPASOS Los métodos de euler, Heun, Taylor y Runge-Kutta se llaman método de un paso porque en el cálculo de cada punto sólo se usa la información del último punto. Los métodos multipaso utiliza la información de los puntos previos, a saber, yi, yi-1,..., yi-m+1 para calcular yi+1. Por ejemplo, en un método de tres pasos para calcular yi+1 , se necesita conocer yi, yi-1, yi-2. El principio que subyace en un método multipaso es utilizar los valores previos para construir un polinomio interpolante que aproxime a la función f(t,y(t)). El número de valores previos considerados para determinar el polinomio interpolante nos determina el g grado del p polinomio. Por ejemplo, j p , si se consideran tres p puntos p previos,, el polinomio de aproximación es cuadrático; si se usan cuatro puntos previos, el polinomio es cúbico.

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METODOS DE ADAMS Los métodos de Adams son métodos multipasos. Los métodos de Adams se pueden clasificar en dos grandes clases: los métodos de Adams-Bashforth y los métodos de Adams-Moulton. Estos se pueden combinar para formar los métodos predictor-corrector de Adams-Bashforth-Moulton.

La idea fundamental del método de Adams-Bashforth de n pasos es usar un polinomio de interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n puntos: ) (t i-n+1,ff i-n+1). ) ( ti,ffi), (ti-1,ff i-1),..., La idea fundamental del método de Adams-Moulton de n p pasos es usar un polinomio de interpolación de f(t,y(t)) que pasa por los n+1 puntos: (ti+1,fi+1) , (ti,fi),..., (ti-n +1,fi-n+1).

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Ejemplo1 Deducir el método de Adams-Bashforth de dos pasos para resolver la E.D.O. y' = f(t,y)

Ahora, aproximaremos f(t,y(t)) mediante el polinomio de interpolación que pasa por los puntos: (t i, f i), ) (t i-1 ) donde f i-1 y(ti-1 y(ti)). )) i 1,ffi - 1), i 1= f(ti-1 i 1,y(t i 1)); fi = f(ti,y(t El polinomio interpolante esta dado por: ( ) = ( (t ( i – t ) fi-1+ ( t - ti-1) fi ) / h,, reemplazando p este polinomio p en la expresión p ((1): ) P(t)

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De acuerdo a la tabla mostrada obtenemos: pasos: métodos de Adams-Bashforth de 2 p métodos de Adams-Bashforth de 3 pasos:

métodos de Adams-Bashforth de 4 pasos: 4

Ejemplo 2. Deducir el método de Adams-Moulton de un paso para resolver la E.D.O. yy' = f(t,y) Sol: y' = f(t, y) 

t

i 1

t

i 1

 y'( t ) dt   f ( t , y( t )) dt t t i

i

t yi+1 = yi +

i 1

 f ( t, y( t ))dt t

(1)

i

Ahora, aproximaremos f(t,y(t)) mediante el polinomio de interpolación que pasa por los puntos: (ti+1, fi+1), (ti,fi) , donde fi = f(ti,y(ti)); fi+1 = f(ti+1, y(ti+1)). El polinomio interpolante esta dado por:P(t) = ( (ti+1 – t ) fi+ ( t – ti) fi+1 ) / h, h reemplazando este polinomio en la expresión (1): ti+1

yi+1  yi +  P(t)dt ti

h yi+1  yi + (fi+1+ fi ) 2

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De acuerdo a la tabla mostrada obtenemos: métodos ét d d de Ad Adams-Moulton M lt d de 2 pasos: yi+1=yi+ h (5 fi+1 + 8 fi - fi-1 )/ 12 métodos de Adams-Moulton de 3 pasos: yi+1=yi + h (9 fi+1 + 19 fi - 5fi-1 + fi-2) /24 NOTA. O Los métodos de A-B de n pasos son de orden n Los métodos de A-M de n pasos son de orden (n+1)

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METODOS PREDICTOR-CORRECTOR En la práctica los métodos multipaso implícitos (por ejemplo:el método de A-M) , no se puede usar directamente. Estos métodos sirven para mejorar las aproximaciones obtenidas con los métodos explícitos. La combinación de un método explícito con un método implícito del mismo orden se denomina un método predictor-corrector.

Método Predictor Corrector de cuarto orden de Adams- Bashforth- Moulton La fórmula predictora es la de Adams Adams-Bashforth: Bashforth: y

*

= yi+ h(55 fi – 59 fi-1+37 fi-2 -9 9 fi-3)/24, )/24

i1

La fórmula correctora es la de Adams-Moulton: yi+1= yi+ h (9 f

donde: fi = f (ti ,yi); fi-1 = f (ti-1 ,yi-1);

*

+19 fi - 5 fi-1+ fi-2)/24;

i1

fi-2 = f (ti-2 ,yi-2); fi-3 = f (ti-3 ,yi-3); f

*

*

= f (ti+1 , y i1 );

i1

Observación Para usar la fórmula predictora se requiere que se conozcan los valores y0, y1, y2, y3, para obtener y4. Sabemos que y0 es la condición inicial dada y como el método de A-B-M es de orden 4,, los valores y1, y2, y3 se suelen calcular con un método de igual orden, es decir de orden 4, como por ejemplo, el método de Runge Kutta de orden 4.

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Ejemplo: Usar el método de Adams-Bashforth-Moulton de cuarto orden con una longitud de paso de 0.2 para obtener una aproximación a y(1) de la solución de: y’= t + y -1, y(0) = 1. Solución: Identificando: f(t,y)= t + y –1; t0 = 0; y0 = 1; h = 0.2  Método Predictor Corrector de cuarto orden de Adams- Bashforth- Moulton Predictor Adams-Bashforth: y* = yi+ h(55 fi – 59 fi-1+37 fi-2 -9 fi-3)/24, i1

Corrector de Adams-Moulton: yi+1= yi+ (9 f donde: fi = f (ti ,yi); fi-1 i 1 = f (ti-1 i 1 ,yi-1 i 1);  INICIALIZACION

* i1

+19 fi - 5 fi-1+ fi-2)/24;

fi-2 i 2 = f (ti-2 i 2 ,yi-2 i 2); fi-3 i 3 = f (ti-3 i 3 ,yi-3 i 3); f = f (ti+1 , y

* i1

con RK clásico de orden 4 yi + 1 = y i +h (k1 + 2k 2 +2k3 )/6

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);

 INICIALIZACION DE con RK clásico de orden 4 yi + 1 = y i +h (k1 + 2k 2 +2k3 )/6

Iteración1: It ió 1 k1= f(t0;y 0)= f(0;1)= 0+ 1 -1 = 0 k2= f(t 0+h/2;y0+h k1/2) = f(0.1;1+ 0.2 k1/2) =f(0.1,1)= 0.1 k3= f(t 0+h/2;y 0+h k2/2) = f(0 f(0.1;1+ 1;1+ 0 0.2 2 k2/2)=0.11 /2)=0 11 k4= f(t 0+h,y 0 + h k3) = f(0.2;1+ 0.2 k3)=0.222 y 1 = y0 +h(k 1 + 2k 2 +2k 3 + k 4)/6 y 1 = 1+0.2(0 1+0 2(0 + 20.1 20 1 +2 0.11 0 11 +0.222)/6 +0 222)/6 = 1.0214 1 0214 t 1 = t 0 + h = 0.2

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Iteración2: k1= f(t1,y1)= f(0.2; 1.0214 ) = 0.2214 k2= f(t1+h/2,y1+hk1/2)=f(0.3; 1.04354)=0.34354 k3= f(t ( 1+h/2,y / ,y1+h k2//2)) f(0.3; (0 3; 1.05575)=0.35574 055 5) 0 355 k4= f(t1+h,y1 + hk3) =f(0.4; 1.09255) = 0.492551 y 2 = y1 +h(k1 + 2k2 +2k3 + k4)/6 y 2 =1.0214+ 0.2(0.2214+ 20.34354 +2 0.35574 + 0.492551) /6 = 1.09182 t 2 = t 1 + h = 0.4 Iteración3: k1= f(t2,y2)= f(0.4, 1.09182 ) = 0.491818 k2= f(t2+h/2,y +h/2 2+hk1/2)=f(0.5, /2) f(0 5 1.141)=0.641 1 141) 0 641 k3= f(t2+h/2,y2+h k2/2) f(0.5, 1.15592)=0.655918 k4= f(t2+h,y2 + hk3) =f(0.6, 1.223) = 0.823002 y 3 = y2 +h(k1 + 2k2 +2k3 + k4)/6 y 3 =1.09182+0.2 (0.491818+ 20.641 +2 0.655918 + 0.823002) /6 = 1.22211 t 3 = t 2 + h = 0.6

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 Método Predictor Corrector de cuarto orden de Adams- Bashforth- Moulton Predictor Adams-Bashforth: y* = yi+ h(55 fi – 59 fi-1+37 fi-2 -9 fi-3)/24, i1

C Corrector t de d Ad Adams-Moulton: M lt yi+1= yi+ (9 f donde: fi = f (ti ,yi); fi-1 = f (ti-1 ,yi-1);

* i1

+19 19 fi - 5 fi-1+ fi-2)/24; )/24 *

*

fi-2 = f (ti-2 ,yi-2); fi-3 = f (ti-3 ,yi-3); f i=1 f (ti+1 , yi 1 );

Iteración4: y *= y3+ h(55 f3 – 59 f2+37 f1 -9 f0)/24 4

f0= f(t0;y0)= f(0;1)= 0 + 1 -1 = 0 ; f1= f(t1;y1)= f(0.2;1.0214)= 0.2214 f2= f(t2;y2)= f(0.4;1.09182)= f(0 4;1 09182)= 0 0.49182 49182 f3= f(t3;y3)= f(0.6; 1.22211)= 0.82211 *

i1

y* = y3+h (55 f3 – 59 f2+37 f1 -9 f0)/24 4 = 1.22211+(55 1 22211 (55 0.82211 0 82211 – 59 59 0.49182 0 49182 + 37 37 0.2214 0 2214 - 9 9 0)0.2/24 0)0 2/24 =1.42536 * 4

*

y4 = y3+ h(9 f +19 f3 - 5 f2+ f1)/24; donde: f 4= f (t4 ; y *4 )= f(0.8; f(0 8; 1.42536) 1 42536) =1 =1.22536 22536 11

y4 = 1.22211+ (9 1.22536 +19 0.82211 - 5 0.48182 + 0.2214)0.2/24 1 42553 = 1.42553 t 4 = t 3 + h = 0.8 Iteración5: y * = y4+ (55 f4 – 59 f3+37 f2 -9 f1)  h/24 5

f1= f(t1;y1)= 0.2214; f2= f(t2;y2)= 0.49182; f3= f(t3;y3)= 0.82211 f4= f(t4;y4)= f(0.8; 1.42553)= 1.22536 y * = 1.42553+(55 1.22536 – 590.82211 + 37 0.49182- 9 0.2214) 0.2/24 5 =1.71806 y5 = y4+ (9 f *5 +19 f4 - 5 f3+ f2)  h/24; donde: f *5 = f (t5; y *5 )= f(1; 1.71806) =1.71806 y5 = 1.42553+ (9 1.71806 +19 1.22536 - 5 0.82211+ 0.49182) 0.2  /24 = 1.71827 t5=t4+h=1 Por lo tanto, y(1)  y5 = 1.71827 12

Tabla Comparativa p del método de Método Predictor Corrector de cuarto orden de Adams- Bashforth- Moulton, con el método Runge Kutta de orden 4 clásico, en la solución de la ecuación y’ = t + y -1, con y( 0 ) = 1, en el intervalo [0,1]

t 0 0. 0.2 0.4 0.6 0.8 1.

A- B- M orden 4 1 1. 1.0214 1.09182 1.22211 1.42553 1.71827

RK4 1 1.0214 1.09182 1.22211 1.42552 1.71825

y exacta 1 1.0214 1.09182 1.22212 1.42554 1.71828

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