Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie Biomechanik Kontinuumsmechanik: Finite-Elemente-Methode Lagrangesche Formulierung Potentielle Prüfungsfragen Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

Gliederung Gliederung • Wiederholung

• Biomechanik – Motivation – Kontinuumsmechanische Grundlagen – Deformation, Dehnung, Verzerrung – Spannung – Messverfahren – Modellierung

• Biomechanik

– Finite-Elemente-Methode – Lagrangesche Formulierung

• Potentielle Prüfungsfragen

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

• Zusammenfassung Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

)

r r r r ⇒ I = u T S u + b Tu + c

Einbringen von Randbedingungen

Aufstellen/Lösen von Gleichungssystemen (Systemmatrix)

Feldfunktion u(x, y, z)

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Bestimmung der Ansatzfunktion für Elemente

Aufstellen der Elementmatrix

Übersicht Übersicht über überFinite FiniteElemente ElementeMethode Methode

Mathematische Beschreibung des Feldproblems

Diskretisierung des Feldgebiets Zerlegung in finite Elemente

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Systemmatrix Systemmatrixund und-koffizientenvektor -koffizientenvektor Umformung von Integraldarstellung nach Gleichungssystem

(

Beschreibung durch quadratische und lineare Formen

G

Feldfunktion in Abhängigkeit von gesuchter Funktion

r I = ∫ f u(x) dV f:

Ortsvariable r Feldvariablenvektor für System mit u = (u0 ,K, uK −1 )

⇒

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

r r S u +b = 0

Gesuchte Funktion in Abhängigkeit von Ortsvariable

u: r x: r u:

Konstante k

∀

∂I =0 ∂ uk

S : Systemmatrix r b : Systemkoeffizientenvektor c:

Stationarität:

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Elementfunktion ue(x, y, z)

2

dV

Wahl des Elementtyps und der Ansatzfunktion

Elementmatrix

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Extremalprinzipen

Methode von Galerkin

Finite Finite Elemente Elemente Methode: Methode: Erstellung Erstellung der der Elementmatrix Elementmatrix

Direkte Methode Wahl der Integralgleichung

Wahl der Differentialgleichung Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

P

V

= ∫ σE

σ: elektrische Leitfähigkeit

E: elektrische Feldstärke

PL : elektrische Leistung

L

Integralgleichungen Integralgleichungen Wahl von Energie-/Leistungstermen, bspw.:

1 2 W = ε E dV e ∫ V 2 We : gespeicherte elektrische Energie E: elektrische Feldstärke ε: Dielektrizitätszahl

V

r r Welast = ∫ σ T ε dV

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Spannungstensor in Vektorrepräsentation Dehnungstensor in Vektorrepräsentation

Welast : Elastische Energie σ: ε:

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Grundmatrizen

Wahl des Elementtyps und der Ansatzfunktion

u1

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Elementmatrix Koeffizientenvektor

Numerische Integration

Elementfunktion ue(x, y, z)

Elementmatrizen Elementmatrizenund undKoeffizientenvektor: Koeffizientenvektor: Übersicht Übersicht

Integralgleichung

Direkte Methode

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Ansatz-/Formfunktionen: Ansatz-/Formfunktionen:Motivation Motivation • Feldgrößen sind zumeist nur an Knotenpunkten bekannt

u0

u2

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

u3

• Berechnung von Flächen-/Volumenintegralen erfordert Interpolation der Feldgrößen über Fläche/Volumen

u(x,y,z) ?

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k=0

Ansatz-/Formfunktionen Ansatz-/Formfunktionen

Ortsvariable Feldvariable an Knotenpunkt

r K −1 r u(x) = ∑ uk Nk (x) u: r x: uk : Formfunktion in Abhängigkeit von Ortsvariable

Feldfunktion in Abhängigkeit von Ortsvariable

Nk : Interpolation zumeist mit Polynomen Anforderung an Formfunktion

0.6

0.8

u1

1

N1

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

an Position von uk 1 r N ( x) =  0 an Position von u j , j ≠ k k

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N0

0.2

0.4

Formfunktionen Formfunktionen 1D: 1D: Linear Linear Interpolation Interpolation

0.8

1

u(x) = a + bx

0.4 0.2

0.6

N0 (x) = (1 − x) N1 (x) = x

von Ortsvariable

u0

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Feldvariable in Abhängigkeit

u(x) = (1 − x) u0 + xu1

u:

1

x: Ortsvariable u , u : Feldvariable an 0

Knotenpunkt 0 bzw. 1 Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

1 0.75

N3

0.5 0.25 0 0 0.2 0.4 0.6 0

0.8

y

0.6 0.4 0.2

1

Formfunktionen Formfunktionen2D: 2D:quadratisches quadratisches Grundgebiet, Grundgebiet, bilineare bilineare Interpolation Interpolation u(x, y) = a + bx + cy + dxy N0 (x, y) = (1 − x) (1 − y) N1 (x, y) = x (1 − y) N2 (x, y) = (1 − x) y N (x, y) = x y 3 1

u1

0.8

u0

u3

x

u2

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Ortsvariablen Feldvariable an Knotenpunkt (0,0),

u( x, y) = N0 ( x, y) u0 + N1 ( x, y) u1 + N2 ( x, y) u2 + N3 ( x, y) u3

x, y: u0 ,u1,u2 ,u3 : (1,0), (0,1) bzw. (1,1) Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

0.2 0.4

x

0.6

u6

u4

0.8 1

0

N0

0.8

y

0.6 0.4 0.2

u1 u5 u2

1

Formfunktionen Formfunktionen2D: 2D:quadratisches quadratischesGrundgebiet, Grundgebiet,quadratische quadratischeInterpolation Interpolation

1 0.75 0.5 0.25 0 -0.25 0

u(x, y) = a + bx + cy + dxy + ex 2 + fy 2 + gx 2 y + hxy 2

0

N (x, y) = (1 − x) (1 − y) (1 − 2 x − 2 y) N (x, y) = − x (1 − y) (1 − 2 x + 2 y) 1

N (x, y) = xy (3 − 2 x − 2 y) 2

K 7

u0 u7 u3

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Ortsvariablen Feldvariable an Knotenpunkt (0,0),(0.5,0)

k=0

u( x, y) = ∑ Nk ( x, y) uk x,y: u0 -u7 : - (1,1) Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

I e E

k =0

r K −1 r u( x ) = ∑ uk Nk ( x )

I

K −1

E k=0

k

r

= ∫ ∑ f(u N (x)) dV k

Aufstellen Aufstellender derElementfunktion Elementfunktionaus ausAnsatzfunktion Ansatzfunktion

r ⇒ e

Feldvariable an Knotenpunkt

= ∫ f(u(x)) dV

uk :

K −1

E k=0

k

k

r

= ∫ ∑ f(u N (x)) dV

Direkte Integration Numerische Integration

⇒

r Tr r r Ie = u e T S e u e + b e u e + c

Nk : Formfunktion in Abhängigkeit von Ortsvariable

I e

r

r r r r ⇒ Ie = u e T S e u e + b e T u e + c e

i

i

r T r r Tr ⇒ Is = u s S s u s + b s u s + c s

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Kompilation Kompilationdes desSystems Systems

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E

Ortsvariable Konstante

Gesuchte Funktion in Abhängigkeit von Ortsvariable

= ∫ f(u(x)) dV

Matrix Se und Koeffizientenvektoren be des Elements beschreiben Integral Ie in Abhängigkeit von Feldvariablenvektor ue

I e

u: r x: ce:

S

Matrix Ss und Koeffizientenvektoren bs des Systems beschreiben Integral Is in Abhängigkeit von Feldvariablenvektor us i

r S = U Ei : Is = ∫ f(u(x)) dV = ∑ Ie

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k

k

k

r be

Se

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

 be 1  = M     be N 

k

 s e 1,e 1 L s e 1,e N  = M O M     s e N,e 1 L s e N,e N 

k

 ue 1  r ue =  M     ue N 

 b S1   M  r bS =  M     M     b SM 

k

k

 s e 1,e 1 L L L s S1,SM  O M   M   SS =  M O M   M O M     s SM,S1 L L L s SM,SM 

 u S1   M  r uS =  M     M     uSM 

Knotenvektor, Knotenvektor, Matrix Matrix und und Koeffizientenmatrix Koeffizientenmatrix

Umsortieren Aufsummieren

i

N

∑a i =1

ii

⇔ a ii i

+ y ) ⇔ a (x i

i

+y) i

N

j =1

N

i =1

ij

ij

⇔ σ ij ε ij

x i = ∑ a ij x j ⇔ x i = a ij x j N

j =1

∑ ∑σ ε

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Seite 15

Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Einsteinsche Einsteinsche Summenkonvention Summenkonvention

Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

i

Bei Summation über mehrfach auftretende Indizes werden Summenzeichen weggelassen!

N

i

∑ a (x

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δ ε ij dV = V

∫∫∫ p

δ Eij dV0 = R

S

T δ u dV + ∫∫ q T δ u dS = R

Einbringen von Randbedingungen für Zeitpunkt t

Aufstellen/Lösen von Gleichungssystemen (Systemmatrix)

Summenkonvention!

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Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Verschiebungsvektoren u(t, x, y, z)

Aufstellen von Steifigkeitsmatrix und Koeffizientenvektor für Zeitpunkt t

Lagrangesche Lagrangesche Formulierung: Formulierung: Virtuelle Virtuelle Verschiebungen Verschiebungen Bewegungsgleichung

Diskretisierung des Feldgebiets Zerlegung in finite Elemente Bestimmung der Ansatzfunktion für Elemente

Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

ij

Bewegungsgleichung: Bewegungsgleichung: Virtuelle Virtuelle Verschiebungen Verschiebungen

V

∫∫∫ σ σ: Cauchyscher Spannungsstensor ε: Infinitesimaler Verzerrungstensor δ: Variation von u: Verschiebung

ij

p,q: Volumen - bzw. Oberflächenkräfte R: Lastvektor

V0

∫∫∫ S

Seite 18

Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Bathe: Finite Element Procedures, Seite 522

S: 2. Piola - Kirchhoffscher Spannungstensor E: Lagrangescher Verzerrungstensor Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

(

)

∂ Sij ( t)δEij ( t) duk ∂uk

Linearisierung Linearisierung Sij ( t + ∆t)δEij ( t + ∆t) = Sij ( t)δEij ( t) +

)

(

)

u: Verschiebung / Freiheitsgrad eines Finiten Elements Kettenregel:

(

∂ δE ( t) ∂S ( t) ∂ ij ij S ( t)δE ( t) du = δE ( t)du + S ( t) duk ij ij k ij k ij ∂uk ∂uk ∂uk =K

Bathe: Finite Element Procedures, Seite 539

Seite 19

Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

∂ 2E ∂Ers ∂Eij ij =C δu du + S ( t) δul duk l k ij ∂uk ∂ul ∂uk ∂ul ijrs

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ij

ij

∂

ijrs

dV0 = R( t + ∆t)

dV0 = R( t + ∆t) k

2

∂ Eij ( t) ∂Ers ( t) ∂Eij ( t) δul duk dV0 = R( t + ∆t) δu du + S ( t) l k ij ∂uk ∂ul ∂uk ∂ul

ij

(S (t)δE (t))du ij

Linearisierung Linearisierungin inBewegungsgleichung/Elementgleichungssystem Bewegungsgleichung/Elementgleichungssystem

V0

ij

ij

k

∫∫∫ S (t + ∆t)δE (t + ∆t) ij

ij

∫∫∫ S (t)δE (t) + ∂u V0

V0

∫∫∫ S (t)δE (t) + C (t)

0

+

K NL )

=

F

0

Seite 20

Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

∆U

∂ 2Eij ( t) ∂ Eij ( t)     ∂Ers ( t) ∂Eij ( t) dV u + S dV  ∫∫∫ C ijrs ( t) 0  duk δul = R( t + ∆t ) −  ∫∫∫ S ij ( t ) ij ( t ) 0δ l ∂uk ∂ul ∂uk ∂ul ∂ul V  V 

(K L

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Transfermatrizen, Transfermatrizen, VerzerrungsVerzerrungs- und und Spannungsvektor Spannungsvektor

Ey Ez

Exy Eyz

Exz

) T

(

= B ux uy uz

) T

Lagrangescher Verzerrungsvektor aus Verschiebungen

(

Eˆ = Ex B = B(u): nichtlinearer Abbildungsoperator, zerlegbar in linearen und nichtlinearen Operator

)

Seite 21

Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Bei hyperelastischen Materialien: ˆ aus Verzerrungsenergiedichte W 2. Piola - Kirchhoffscher Spannungsvektor S

ˆ ∂S ∂Eˆ

(

T ˆ = Sx Sy Sz Sxy Syz Sxz = ∂W S ∂Eˆ ˆ Materialmatrix aus Spannungsvektor S

C= Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

Potentielle PotentiellePrüfungsfragen: Prüfungsfragen:Motivation Motivation Warum möchte man Messungen am Herzen und Simulationen von diesem durchführen? Welche physikalischen und physiologischen Größen werden gemessen? Welche Eigenschaften des Herzens sind für die Modellierung notwendig? Was ist der Vorteil der oberflächen-/volumenbasierten Visualisierung? Was zeichnet die punkt-/kanten-/regionenorientierte Segmentierung aus? Warum wird eine Vorverarbeitung/Segmentation/Klassifikation/Matching von Bilddaten durchgeführt? Was beschreiben elektrophysiologische Zellmodelle wie die von Beeler-Reuter, Luo-Rudy, Noble im Vergleich zu zellulären Automaten ? Was ist der Einsatzbereich von Kraftmodellen?

Seite 22

Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Was ist die Motivation für das Visible Human Project? Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

Potentielle PotentiellePrüfungsfragen: Prüfungsfragen:Modellierung Modellierung Welche direkten und abgeleiteten Merkmale gibt es bei MR-Aufnahmen? Wie werden homogene Transformationen durchgeführt? Wie funktioniert punktbasiertes Matching? Wie sieht die Filtermaske eines 3D-Laplace-Filters aus? Welche Modelle von Lichtquellen spielen in der Visualisierung eine Rolle? Wie wird eine Region beim Regionenwachstumsverfahren segmentiert? Wie wird das Transmembranpotential von Zellen beschrieben? Welche Modelle gibt es zur Beschreibung der Erregungsausbreitung? Wie kommen unidirektionale Blöcke zustande?

Seite 23

Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Wie lassen sich Spannungen und Verzerrungen in der Kontinuumsmechanik beschreiben? Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

Potentielle PotentiellePrüfungsfragen: Prüfungsfragen:Anatomie Anatomieund undMesstechnik Messtechnik Wie ist das Herz anatomisch strukturiert? Was sind die Komponenten des Erregungsleitungsund erregungsbildungssystems? Wie sind Myozyten aufgebaut und gekoppelt? Was ist die Space/Voltage Clamp Technik? Wie wird das EKG erfasst? Wo werden hierzu Elektroden platziert? Was unterscheidet intrakardiale von extrakorporalen Elektrogrammen? Welche diagnostischen Informationen lassen sich aus dem EKG entnehmen? Wie kann die Kraftentwicklung von Zellen gemessen werden? Wie lassen sich mechanische Eigenschaften von Gewebe bestimmen?

Seite 24

Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

Was unterscheidet uni-/bi- und triaxiale Messysteme?

Institut für Biomedizinische Technik Universität Karlsruhe

Zusammenfassung Zusammenfassung • Wiederholung • Biomechanik – Motivation – Kontinuumsmechanische Grundlagen – Deformation, Dehnung, Verzerrung – Spannung – Messverfahren – Modellierung

• Biomechanik – Finite-Elemente-Methode – Lagrangesche Formulierung

Seite 25

Messtechnik und Modellierung in der Kardiologie

• Potentielle Prüfungsfragen

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