Mehr Informationen zum Titel 2
Strom, Spannung, Leistung bei Mehrphasensystemen
2.1
Grundbegriffe und Grundschaltungen
Wird ein aus m Zweipolen bestehendes System (z. B. der Stator einer Drehstrommaschine mit m = 3 Wicklungssträngen) mit einem mehrphasigen Spannungssystem (z. B. einem Drehspannungssystem) gespeist, dann kann man die Strangspannungen und -ströme der m Zweipole zu Vektoren (Spaltenmatrizen) zusammenfassen:
( u ) = ( u1 , u2 ,...., um ) ( i ) = ( i1 , i2 ,...., im )
T
T
,
(2.1)
.
(2.2)
Aus der Schaltung können im Einzelfall Bedingungen für die Strangspannungen oder -ströme resultieren. Bei der Sternschaltung nach Bild 2.1a gilt m
∑ ik = 0,
(2.3)
k =1
und bei der Polygonschaltung (m = 3: Dreieckschaltung) nach Bild 2.1b gilt m ∑ uk = 0 .
(2.4)
k =1
a)
b)
5 4 3 2 1
1 2 3 4 5 i1 u1
i2 u2
i3 u3
i4 u4
i5 u5
u1
i1
u5
i2
i5 u4
u2 i4
i3 u3
Bild 2.1 Fünfsträngige Sternschaltung (a) und Polygonschaltung (b) an einem Fünfleitersystem
37
In beiden Fällen wird das speisende Mehrphasensystem über ein m-Leiter-System geführt. Bei der Sternschaltung wäre ein (m + 1)-ter Leiter denkbar, an den der Sternpunkt angeschlossen ist; Gl. (2.3) wäre dann nicht erfüllt. Liegt ein m-Leiter-System vor und kennt man das angeschlossene Netzwerk nicht, dann kann man eine Ersatz-Sternschaltung kreieren, indem man für deren Strangoder Sternspannungen die Bedingung Gl. (2.4) fordert. Diese Sternspannungen lassen sich somit aus den Leiterspannungen folgendermaßen berechnen: m uk = 1 ∑ ukl . m l =1
(2.5)
ukl ist die Spannung zwischen den Leitern k und l, wobei der Zählpfeil von k nach l weist. Die Strangströme, für die Gl. (2.3) gilt, sind dann identisch mit den Leiterströmen. Für ein Fünfleitersystem als Beispiel wird die Bestimmung der Ersatz-Sternschaltung explizit durchgeführt. Die Forderung Gl. (2.4) ergibt
u5 = − ( u1 + u2 + u3 + u4 ) . Damit erhält man m – 1 = 4 linear unabhängige Maschengleichungen: 1
u12 u23 u34
1
=
u45
–1
1
1
u1 u2
–1 1
–1
u3
1
2
u4
.
Die Inversion dieses Gleichungssystems liefert die Sternspannungen: u1 u2 u3 u4
38
=1 5
4
3
2
1
u12
–1
3
2
1
u23
–1
–2
2
1
u34
–1
–2
–3
1
u45
.
Das Ergebnis kann auf die durch Gl. (2.5) gegebene Form umgeschrieben werden: 1 u +u +u +u , u= ( 12 13 14 15 ) 1 5 u2= 1 ( u21 + u23 + u24 + u25 ) , 5 u3= 1 ( u31 + u32 + u34 + u35 ) , 5 u4= 1 ( u41 + u42 + u43 + u45 ) , 5 u5= 1 ( u51 + u52 + u53 + u54 ) . 5 Die Schaltung von Bild 2.1a kann auch als die hier ermittelte Ersatzschaltung angesehen werden. Bei einem Dreileitersystem (m = 3) folgt aus Gl. (2.5) für die Sternspannungen der Ersatzschaltung: u1 1 ( u12 + u13 ) , = 3 u2 1 ( u21 + u23 ) , = 3 u3 1 ( u31 + u32 ) . = 3 Mit den Vektoren Gl. (2.1) und Gl. (2.2) lässt sich der Augenblickswert der gesamten übertragenen Leistung, später in Abchnitt 2.6 als kollektive Augenblicksleistung PΣ (t ) bezeichnet, berechnen: = P (t )
( i )= (u ) T
m
= uk ik PΣ ( t ) . ∑
k =1
(2.6)
Im Fall m = 5 ergibt dieses Skalarprodukt P ( t ) = u1 i1 + u2 i2 + u3 i3 + u4 i4 + u5 i5 . Sind sämtliche Spannungen und Ströme periodisch mit der Periodendauer T, dann folgt für die Wirkleistung, die später als kollektive Wirkleistung PΣ bezeichnet wird, m
= P P= (t ) ∑= Pk PΣ k =1
(2.7)
39
mit T Pk = 1 ∫ uk ik d t . T0
(2.8)
Die Wirkleistungen Pk der einzelnen Zweipole oder Stränge können dann z. B. nach Gl. (1.8) bestimmt werden.
2.2
Transformation von Mehrphasensystemen
Mittels einer komplexen leistungsinvarianten Transformation kann man aus den Augenblickswerten der Ströme und Spannungen eines Mehrphasensystems komplexe Ersatzgrößen gewinnen, die eine einfachere und anschaulichere Beschreibung ermöglichen. Insbesondere Symmetrieeigenschaften und Oberschwingungsgehalte sind damit leichter darstellbar, wie später noch gezeigt wird. Die zunächst vorgestellte Transformationsvorschrift ist eine Verallgemeinerung derjenigen Transformation, die zur Bildung der später auch eingeführten so genannten symmetrischen Komponenten benutzt wird. Für Ströme und Spannungen gilt gleichermaßen
( i ) = ( C )( i ) ,
( u ) = ( C )( u ) .
(2.9)
Die Transformationsmatrix
( C ) = ( x1 ) , ( x2 ) , ( x3 ) , ...., ( xm )
(2.10)
ist aus Vektoren ( xk ) aufgebaut mit
( xk )
T
−1k −2 k − m −1 k 0k = 1 a , a , a , ..., a ( ) , m
k = 1, 2, ..., m
(2.11)
und a = e j2 π / m .
(2.12)
Wegen der Eigenschaft des folgenden Skalarprodukts 1
( xi ) ( xk ) = *T
für i = k
0 für i ≠ k
wird das folgende dyadische Produkt gleich der Einheitsmatrix
40
( x1 )
∗T
( x2 )
∗T
∗T
( x1 )
...
(C ) (C )
=
( x2 )
...
( xm )
=
(E) .
( xm )
∗T
Die Transformationsmatrix ( C ) ist somit unitär
(C )
−1
= (C )
∗T
(2.13)
und die Inversion von Gl. (2.9) lautet
(i ) = (C ) (i ) , (u ) = (C ) (u ) . *T
*T
(2.14)
Die Leistungsinvarianz dieser Transformation wird durch Einsetzen von Gl. (2.9) in die Leistungsbeziehung Gl. (2.6) bestätigt: P ( t ) =( i )
T
( u ) ≡ ( i ) ( u ) =( i ) ( C ) ( C )( u ) . ∗T
∗T
∗T
Mit Gl. (2.13) folgt daraus = P (t )
i ) (u ) (= ∗T
m
∗
∑ ik uk .
k =1
(2.15)
Folgende Betrachtung, die für Ströme und Spannungen gleichermaßen gilt, wird stellvertretend für die Ströme durchgeführt. Nach Gl. (2.14) und Gl. (2.10) berechnen sich die neuen Ströme aus den alten wie folgt: i k = ( xk )
∗T
(i ) ,
(2.16)
k = 1, 2, ...., m . Da die Vektoren ( xk ) gemäß Gl. (2.11) die Eigenschaft
( xm − k ) = ( xk )
∗
(2.17)
haben, resultiert für die transformierten Ströme ∗
im−k = ik .
(2.18)
Der Vektor ( xk ) enthält für k = m und, wenn m gerade ist, auch für k = m/2 nur reelle Elemente:
41
