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Cap´ıtulo V Medidas en el espacio-tiempo: Observaciones Actualmente, es decir a z = 0, la densidad de radiaci´on (correspondiente a la radiaci´on del fondo c´osmica) es muy inferior a la densidad de materia: ΩR 0. En las u ´ ltimas decadas, los cosm´ologos han centrado sus esfuerzos en buscar indicadores que puedan ayudar a acotar estos par´ametros. A medida que se ha logrado reducir los errores, la busqueda se ha amplidado a la otros par´ametros, como la ecuaci´ on de estado w ≡ p/ρ de la energ´ıoscura.

V.1

Indicadores de Edad

Existen varios m´etodos para medir la edad de las estrellas mas viejas (eg diagrama HR y funci´on de luminosidad de enanas blancas). La abundancia qu´ımica y la radioactividad de elementos tambi´en son indicadores de una edad que es compatible con las edades cosmol´ogicas. Los l´ımites inferiores a la edad del Universo (por ejemplo de c´ umulos de estrellas) descartan los valores altos de ΩM cuando ΩΛ es peque˜ na o negativa (ver la Figura V.1), esto es debido a que predicen una edad del universo t0 peque˜ na, como ocurria en el caso de EdS en Eq.[IV.26].

V.2

Indicadores de distancia

La idea es encontrar, mediamte relaciones emp´ıricas, candelas estandares que nos relacionen propiedades observacionales (como magnitud aparente o velocidad de rotaci´on) con alguna propiedad f´ısica (como luminosidad o distancia). Veamos algunos ejemplos.

V.2.1

Estrellas cefeidas y RR Lyrae

Al terminar sus reservas de hidrogeno ciertas estrellas gigantes y supergigantes (como Polaris, la estrella del polo norte) se vuelven inestables y emiten radiaci´on pulsante. Las variables Cefeidas tienen periodos de entre 2 y 50 dias, mientras que las estrellas RR Lyrae tienen periodos del orden de un dia. Su brillo varia un factor dos entre m´aximo y m´ınimo. Existe una 49

Figura V.1: Espacio de parametros ΩΛ como funci´on de ΩM .

Apuntes de Cosmolog´ıa

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E. Gazta~ naga

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relaci´on entre el periodo de la pulsaci´on y la luminosidad. Las estrellas RR Lyrae tienen una luminosidad mas bien constante, mientras que la luminosidad de las estrellas Cefeidas aumenta con el periodo P (en dias): MV " −1.4 − 2.8 log10 (P )

(V.1)

donde MV es la magnitud absoluta en el filtro V . En ambos casos es posible utilizar estas estrellas como candelas estandares para medir distancias a partir de la relaci´on distancia luminosidad Eq.[IV.15]. Una vez calibradas, con distancias conocidas, basta medir el periodo y la luminosidad aparente m para encontrar la distancia dL. Hay dos tipos de estrellas cefeidas, llamadas Cefeidas tipo I y Cefeidas tipo II. Estas u ´ ltimas residen en zonas con pocos metales y son m´as viejas y menos luminosas que las primeras.1

V.2.2

Relaci´ on Tully-Fisher

Es una relaci´on emp´ırica entre el ancho W de la linea de emisi´on de 21-cm hidr´ogeno y lamagnitud absoluta M (y por tanto luminosidad) en galaxias espirales: M ∝ log W

(V.2)

Aunque los detalles de la calibraci´on dependen del tipo espectral: Sa, Sb o Sc. Para galaxias Sb: MB = −10.2 log10 (V ) + 2.71 (V.3) donde MB es la magnitud absoluta en la banda B y V la velocidad en km/s. Cuanto mayor es la masa, y por tanto luminosidad L, mayor es la velocidad de rotaci´on, y por tanto el ancho de la linea. La medida de W se hace en la parte plana de la curva de rotaci´ on (ver §V.3.4).

V.2.3

V.2.5

LV " 2 × 1010 M! (

Supernovas Ia

Las magnitudes aparentes de las supernovas SNIa, si se asumen como candelas estandares con magnitud absoluta M, siguen la ley Eq.[IV.15] y Eq.[IV.37]: m(z) = M + 5 log DL (z) + 25 − K(z)

Relaci´ on Faber-Jackson

Equivalente a Tully-Fisher para galaxias ell´ıpticas σ )4 200Km/s

(V.4)

Aqui σ representa la velocidad aleatoria de estrellas en el centro de la galaxia (que se mide del efecto doppler en el espectro), ver §V.3.5.

V.2.4

Figura V.2: Relaci´on m(z) para supernovas SNIa tomadas como candelas estandares.

Relaci´ on Plano fundamental

Tambien conocida como relaci´on del plano fundamental para galaxias elipticas. Es una relaci´on emp´ırica entre la dispersi´on de velocidades, un radio caracter´ıstico r e y el brillo superficial medio asociado Ie : re ∝ σ 1.3 Ie−0.8 (V.5) 1 Esto llevo a Hubble a estimar que el universo era m´ as peque˜ no, con una constante H 0 ! 500 Km/s/Mpc, al creer que todas las cefeidas eran del tipo II, ver §I.4.1.

(V.6)

La Figura V.2 muestra que las SNIa a z ∼ 0.5 son ∆m " 0.2 magnitudes m´as d´ebiles que las cercanas si asumimos un modelo plano con ΩΛ " 0. Al incluir un valor de ΩΛ " 0.5 o mayor podemos hacer compatibles las observaciones. Ello es debido a que ΩΛ > 0 corresponde a una dL mayor y por tanto a magnitudes mas d´ebiles.

V.3 V.3.1

Indicadores de masa Funci´ on de luminosidad de galaxias

Definimos Funci´ on de luminosidad de galaxias Φ(L) como el n´ umero de galaxias dN que hay en el universo por unidad de volumen dV y unidad de luminosidad dL: Φ(L) =

dN dV dL

(V.7)

En general es una funci´on del z, tanto por efectos evolutivos intrinsicos como por cambios en dV y dL debido a la expansi´on del universo y los filtros de observaci´on.

Apuntes de Cosmolog´ıa

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E. Gazta~ naga

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Esta es funci´on se puede medir utilizando catalogos de galaxias y su forma se ajusta a la llamada funci´ on Schecter (Schecter 1976): Φ(L)dL = Φ∗ (L/L∗ )−α exp −L/L∗ dL/L∗

(V.8)

donde L∗ , Φ∗ y α son constantes a determinar observacionalmente. El valor L∗ nos da una luminosidad carateristica de las galaxias: las abundancia de galaxias m´as luminosas L > L∗ esta suprimida exponencialmente. Si lo expresamos en t´erminos de la magnitud Eq.[IV.12]: !

"

Φ(M)dM = 0.4ln(10)Φ∗ 10−0.4(M −M∗ )(α+1) exp −10−0.4(M −M∗ ) dM,

(V.9)

donde M∗ es la magnitud absoluta correspondiente a L∗ . Por ejempo en el cat´alogo 2dFGRS (ver http://www.mso.anu.edu.au/2dFGRS/) se encuentra, para magnitudes azules fotograficas (filtro bJ ): M∗ − 5 log h = −19.66 ± 0.07 Φ∗ = (1.61 ± 0.08) × 10−2 h3 Mpc−3 α = 1.21 ± 0.03.

(V.10) (V.11) (V.12)

Notar como las unidades medidas observacionales de M∗ dependen del valor de H0 en Eq.[I.4]. Esto es debido a que hemos necesitado utilizado la ley de Hubble dL " c z/H0 para relacionar la magnitud aparente con la magnitud absoluta.2 Por el mismo motivo, Φ∗ depende de h3 . Los valores anteriores corresponden a un ajuste a a la funci´on de Schecter en el rango: −16.5 > M − 5 log h > −22

(V.13)

fuera de este rango, la funci´on de luminosidad solo se conoce con grandes incertidumbres. Podemos usar esta forma anal´ıtica para calcultar la densidad total de galaxias, extrapolando a las magnitudes que son m´as dificiles de observar.

V.3.2

La densidad de luminosidad promedio es: (V.14)

(V.15)

donde L! es la luminosidad solar. Es decir de unos 200 millones de luminosidades solares por megaparsec c´ ubico. Definimos < M/L > el cociente masa-luminosidad, como < M/L >=

M/M! M L! = L/L! L M!

M = L < M/L > (M ' /L')

(V.17)

La densidad de materia, ρM , en forma de estrellas visibles, que denominaremos ρ∗ , ser´a: dM >= ρL < M/L > (M ' /L'), dV

(V.18)

que, utilizando la Eq.[V.15], resulta en:

donde en la segunda igualdad hemos utilizado la funci´ on Schecter Eq.[V.8] y Γ es la funci´ on Gamma. Por ejemplo, para el caso de las galaxias del 2dFGRS: ρL = (1.82 ± 0.17) × 108 hL! Mpc−3

el cociente massa-luminosidad promedio en unidades de masas y luminosodades solares. Notense que < M/L > es adimensi´onal. En otras palabras, < M/L > es el n´ umero M de masa solares M! necesarias para producir una luminosidad solar en una galaxia t´ıpicas (promedio). Por tanto podemos escribir la masa promedio M en funci´on de la luminosidad promedio L:

ρ∗ ≡
≡ Φ(L)dL = Φ∗ L∗ Γ(2 + α) dV 0

Figura V.3: Forma y errores t´ıpicos en la funci´on de Luminosidad tipo funci´ on Schecter.

ρ∗ " (1.82 ± 0.17) × 108 < M/L > hM! Mpc−3 .

(V.19)

Por tanto, en unidades de la masa cr´ıtica Eq.[III.27]: ρc " 2.78 × 1011 M! h2 /Mpc3 esta densidad se traduce a: Ω∗ ≡

ρ∗ " 0.0065 h−1 < M/L > ρ

(V.20)

Para una galaxia t´ıpica tenemos que el cociente luminosidad/masa es, en promedio, unas 15 veces superior a nuestro Sol: < M/L >" 15h, de manera que: (V.16)

2 Para redshifs peque˜ nos, z < 0.2, estos valores son independientes del modelo cosmol´ ogico, puesto que cualquier distancia radial Eq.[IV.19], reproduce la misma ley de Hubble dL ! c z/H0 , con independencia de los parametros cosmol´ ogicos.

Ω∗ " 0.01

(V.21)

Es decir la densidad de materia en estrellas corresponde un 1% de la densidad cr´ıtica. Necesitariamos un cociente masa por luminosidad promedio de < M/L >" 1400 para llegar a la densidad cr´ıtica.

Apuntes de Cosmolog´ıa

V.3.3

55

E. Gazta~ naga

Densidad bari´ onica y materia oscura

Las abundancia primordial de nucleos ligeros nos da, a trav´es de la teoria de la nucleos´ıntesis primordial una estimaci´on para la densidad de materia bari´ onica (la materia estandar formada por nucleos de la tabla peri´odica) en Eq.[I.10]: ΩB " 0.04

(V.22)

Lo cu´al indica que puesto que ΩB > Ω∗ en Eq.[V.21], una parte de la materia bari´ onica est´a en forma de materia oscura, es decir que no est´a en forma de estrellas brillantes. Este es el primer problema de la materia oscura: la existencia de materia bari´ onica oscura. Gran parte de esta materia bari´ onica oscura pordr´ıa estar en forma de gas interestelar e intergal´actico (incluido el gas en clusters de galaxias). Este gas se detecta en las absorciones en la linea Ly-α en los especros de quasares, el llamado bosque de Ly-alfa que traza el gas intergalactico.

V.3.4

r y por tanto la densidad ρ(r) ∝ r −2 y se extiende a un radio r de al menos 10 veces el radio visible de la galaxia (103 el volumen!). Por tanto esta masa adicional, es un enorme halo de materia oscura que rodea la galaxia y se diluye con un perfil ρ(r) ∝ r −2 . En galaxias ellipticas tambi´en se encuentran evidencias de grandes halos con masas totales 10 − 30 veces la masa en estrellas. En muchos casos los trazadores de esta materia son c´ umulos globulares, galaxias sat´etiles o rayos-X calientes. En estos casos la masa se estima a partir del teorema del virial que relaciona la dispersi´on de velocidades observada en un sistema de p´articulas con su masa: 2K + φ = 0 (V.25) $

$

donde K = 1/2 mi Vi2 es la energ´ıa cin´ etica y φ = i,j Gmi mj /|ri −rj | es la correspondiente energ´ıa potencial. Estas observaciones indican que el cociente masa por luminosidad promedio < M/L > es unas 10-30 veces superior en la materia oscura que en la materia estelar. Es decir, que: Ωm " 0.1 − 0.3

Curvas de rotaci´ on

Un cuerpo atrapado en una o´rbita circular de radio r y con velocidad V alrededor de una masa M est´a sometido a una aceleraci´on centr´ıpeta V 2 /r que viene dada por la ley de Newton : V2 GM = 2 . r r

(V.23)

M=

rV 2 G

(V.24)

En general si tenemos una distribuc´on de masa M = M(r), tendremos una curva de rotaci´ on V = V (r) como funci´on del radio. En galaxias espirales, es posible medir (con un radio Telescopio) las curvas de rotaci´ on V = V (r) utilizando los corrimientos Doppler en la linea de emisi´ on de 21 cm que emiten las nubes de hidr´ ogeno neutro.3 Este hidr´ogeno se distribuido a lo largo de toda la galaxia y se extienden a grandes distancias, m´as all´a de las zonas donde es posible detectar luz visible emitida por las estrellas. as´ı que trazan la masa din´amica m´as alla de la masa estelar. Estas curvas de rotaci´on V = V (r) en las galaxias espirales indican, utilizando la ley anterior, que la masa total en una de estas galaxias podr´ıa ser 10 veces superior a la masa en las estrellas visibles.

EL halo gal´ actico y teorema del virial

Puesto que las curvas de rotaci´on V = V (r) son planas (constantes como funci´on de r) en las zonas externas de las galaxias espirales, la masa en Eq.[V.24] debe aumentar como M(r) ∝ 3 Esta emisi´ on corresponde al cambio energ´etico del spin del electr´ on en paralelo a spin en antiparalelo con respecto al spin del nucleo. Los fotones emitidos viajan libremente por el espacio y la atmosfera terrestre y son f´ acilmente detectables con radio telescopios cuya frecuencia de detecci´ on se ajusta finamente a 21 cm. Gracias a esta emisi´ on es m´ as f´ acil detectar nubes de hidrogeno neutro frio que la luz de procesos mucho m´ as energ´eticos, como la de estrellas o nubes moleculares calientes.

(V.26)

Seg´ un lo dicho anteriormente, la materia bari´ onica s´olo llega a un 4%, con lo cu´al aparece el segundo problema con la materia oscura: parece que exite materia oscura no bari´ onica. La existencia de esta materia oscura no bari´onica tambi´en es necesaria para explicar la formaci´on de estructuras y observaciones de la din´amica de galaxias y c´ umulos de galaxias a grandes escalas.

V.4

Esto nos permite medir la masa M en funci´on del radio r y V (ley de Keppler):

V.3.5

56

Otros m´ etodos

Otros m´etodos cl´asicos para encontrar los par´ametros cosmol´ogicos incluyen los conteos de galaxias como func´ıon de la magnitud o las densidades como funci´on del redshift (aunque estos u ´ ltimos est´as sometidos a grandes incertuumbre en la evoluci´on de las densidades co-m´oviles). El n´ umero de c´ umulos de galaxias como funcion del redshift es otra forma de medir dV /dz, puesto que la densidad de c´ umulos se puede predecir con modelos de formaci´on de estructuras. El espectro de anisotropias cl en la temperatura de la radici´on c´osmica de fondo (CMB) y el espectro de fluctuaciones P (k) en los cat´alogos de galaxias tambi´en puede usarse para obtener l´ımites en los par´ametros cosmol´ogicos. Con el primero se puede medir la curvatura Ωk , del primer pico acustico, y la densidad de bariones ΩB h de la relaci´on entre picos. Del segundo se puede medir la funci´on de transferencia de CDM, que depende basicamente del producto Ωm h

Apuntes de Cosmolog´ıa

V.5

E. Gazta~ naga

57

Problemas

1. Asumiendo que es v´alida la relaci´on Eq[V.1]: a) deducir la distancia a la que se encuentra una galaxia de magnitud mV = 20.2 ± 0.2 si podemos medir que contiene un cefeida con periodicidad 84.7 ± 1.3 dias b) estimar el redshift c) Si medimos el redshift, con que precision podemos encontrar su velocidad peculiar? 2. Predecir la relaci´on Tully-Fisher que se deberia encontrar utilizando el teorema del virial si asumimos que la masa es proporcional a la distancia. Comparar con la relaci´on Eq.[V.3] y deducir que conclusiones se sacan sobre el brillo superficial de la galaxias. 3. Calcular el valor de L∗ para el 2dFGRS en Eq.[V.12]. Estimar a que masa deberia corresponder esta luminosidad si Ωm = 0.25.