Cap´ıtulo 1 Mediciones de corriente continua 1.1.

Introducci´ on

Esta primera parte del curso est´a dedicada a la experimentaci´on con el dise˜ no, armado y mediciones el´ectricas vinculadas con circuitos de corriente continua. Respecto del dise˜ no, se deber´a aprender a compatibilizar los rangos de valores de tensi´on, corriente y resistencia que se deseen explorar, con las limitaciones propias de todo circuito real, tales como: m´axima corriente que una fuente de tensi´on puede entregar, m´axima tensi´on que una fuente de corriente puede aplicar, m´axima potencia que una resistencia puede disipar, y aquellas inherentes a los instrumentos de medici´on. Respecto del armado, se deber´a adquirir habilidad para construir correctamente circuitos reales a partir de sus correspondientes dibujos equem´aticos. Lo referente a las mediciones el´ectricas que sobre tales circuitos se efect´ uen se tratar´a a continuaci´on.

1.2.

El instrumento b´ asico de medici´ on: el mult´ımetro digital

Existen marcas y modelos tan diversos de mult´ımetros digitales, que es pr´acticamente imposible describirlos por completo a todos. Lo que un cient´ıfico hace ante un instrumento espec´ıfico, es consultar su manual (el que el fabricante entrega con el instrumento, si est´a disponible, o bien, buscar dicho manual en la p´agina web de la empresa que lo fabric´o). A pesar de la gran diversidad comentada, los mult´ımetros tienen varias caracter´ısticas comunes que pasamos a describir Pantalla digital Es donde el intrumento indica el resultado de la medici´on. De 1

2

CAP´ITULO 1. MEDICIONES DE CORRIENTE CONTINUA acuerdo con la calidad del instrumento, presenta m´as o menos d´ıgitos. La cantidades m´as comunes son de 3 d´ıgitos y medio y 4 d´ıgitos y medio. Se denomina medio d´ıgito a uno en el que el instrumento s´olo puede marcar el 0 o el 1, a diferencia de un d´ıgito completo, en el que puede marcar desde el 0 al 9, ambos inclusive. El medio d´ıgito ocupa siempre el lugar m´as significativo (el de m´as a la izquierda). Por ejemplo, un instrumento de 3 1/2 d´ıgitos tiene por lectura m´axima al 1999, mientras que uno de 4 1/2 puede indicar hasta el 19999. El contenido m´ınimo habitual de la pantalla se completa con: un punto decimal, el signo “−” (menos) cuando corresponde, la unidad en que est´a expresada la lectura (mV, µA, kΩ, etc.), y una indicaci´on sobre si la medici´on de tensi´on o corriente corresponde a corriente continua (CC o DC en ingl´es) o alterna (CA o AC en ingl´es). Hay instrumentos que en el lugar correspondiente al medio d´ıgito ya mencionado, pueden marcar desde el 2 al 5, ambos inclusive. En cualquiera de tales casos se habla convencionalmente de 3/4 de d´ıgito. Por ejemplo, un instrumento de 3 3/4 d´ıgitos puede representar hasta el 3999, o el 5999, de acuerdo a la marca y modelo. Llave selectora de funci´ on y escala Al girarla permite seleccionar una entre las funciones que puede prestar el instrumento, y eventualmente, su escala. Las funciones que como m´ınimo suelen brindar los mult´ımetros digitales son: volt´ımetro u amper´ımetro (tanto sea en DC o AC) y o´hmetro. Los modelos m´as completos suelen incluir: capac´ımetro, frecuenc´ımetro, probador de pilas, diodos y transistores, entre otras.

Figura 1.1: Ejemplos de mult´ımetros digitales. A continuaci´on se describir´an las caracter´ısticas m´as relevantes de las funciones m´as comunes • Volt´ımetro en DC Generalmente pueden medir desde 1 mV hasta 1000 V. Su resistencia interna suele ser de 1 MΩ, 10 MΩ o 30 MΩ, de acuerdo a la calidad del instrumento, y normalmente no depende de la escala.

´ ´ EL MULT´IMETRO DIGITAL 3 1.2. EL INSTRUMENTO BASICO DE MEDICION: • Amper´ımetro en DC Normalmente pueden medir desde 100 µA hasta 2 A. Su resistencia interna suele estar comprendida entre 1 Ω y 1 kΩ, y generalmente depende de la escala. • Volt´ımetro y amper´ımetro en AC Los respectivos rangos de medici´on se extienden desde 1 o 2 V hasta los 750 V y desde 100 µA hasta 200 mA. Muy importante: El rango de frecuencias en que los mult´ımetros pueden realizar mediciones de tensi´on y/o corriente en AC normalmente se extiende desde 10 Hz hasta 1 o 2 kHz. Fuera de ese rango las lecturas no son confiables. Es necesario consultar el manual del instrumento para averiguar los l´ımites de dicho rango de frecuencias. • Ohmetro Los mult´ımetros digitales pueden tambi´en funcionar como o´hmetros, esto es, como medidores de resistencia. Para ello, mediante una fuente interna, el instrumento hace pasar por la resistencia inc´ognita una peque˜ na corriente conocida y simult´aneamente mide la diferencia de potencial entre los extremos de la misma. Dado que la corriente es conocida, la conversi´on voltaje a resistencia es inmediata, y la efect´ ua el propio instrumento. La corriente inyectada depende de la escala, sale por el terminal correspondiente a la medici´on de resistencia, e ingresa por el terminal com´ un. El rango de dichas corrientes abarca desde los µA hasta las decenas de mA, y depende de la escala. De lo dicho se desprende que para medir una resistencia entre dos puntos de un circuito, ´ este debe estar desenergizado (todas sus fuentes de energ´ıa deben estar desconectadas del mismo), porque de lo contrario, el circuito puede inyectar una corriente inadecuada al instrumento y da˜ narlo. Aparte de falsear el resultado. • Capac´ımetro Algunos mult´ımetros digitales disponen de un circuito interno que les permite medir la capacidad de un capacitor/condensador ele´ectrico. Los rangos t´ıpicos de medici´on abarcan desde los nF hasta las decenas de µF. Del mismo modo que con la funci´on descripta anteriormente, el capacitor bajo prueba debe estar desenergizado antes de conectarlo al capac´ımetro, porque de lo contrario, la carga que eventualmente contenga puede destruir el circuito interno ya mencionado. Para asegurarse de que esta descargado, conviente retirarlo de todo circuito al que estuviese conectado, y cortocircuitar sus terminales, con cuidado, antes de conectarlo al instrumento de medici´on. Incertezas de medici´ on Las incertezas de medici´on de los mult´ımetros digitales dependen de la funci´on y escala en que se los emplee. Si la lectura del instrumento es L, su incerteza, ∆L, se

CAP´ITULO 1. MEDICIONES DE CORRIENTE CONTINUA

4 expresa como

∆L = ± (x L + n DmS)

(1.1)

siendo x una fracci´on porcentual, n ∈ N, y DmS el d´ıgito menos significativo presentado en la pantalla del instrumento (el de m´as a la derecha). Los valores de x y n dependen de la funci´on y escala, y de la marca y modelo del mismo. Ambos se consignan en el correspondiente manual. Ejemplo: Valores t´ıpicos para la funci´on y escala correspondientes a mV DC, suelen ser: x = 0,75 % y n = 2, de modo que si se tiene una lectura L = 10,00 mV, resulta: ∆L = ± (0,075 + 0,02) mV = ± (0,095) mV.

1.3. 1.3.1.

Medici´ on de la resistencia interna del volt´ımetro M´ etodo 1

Considere el circuito de la figura 1.2. La tensi´on de la pila, E0 , se divide proporcionalmente entre la resistencia variable R y la del volt´ımetro, RV , de modo que

VR =

R E0 R + RV

y

VRV =

RV E0 R + RV

(1.2)

donde VR y VRV son las ca´ıdas de potencial en R y RV , respectivamente. R

E0

RV

V

Figura 1.2: Circuito propuesto para medir la resistencia interna del volt´ımetro.

Si al variar R se llega al caso particular en que R = RV , el instrumento indicar´a VV = E0 /2 (y s´olo en ese caso). Se tiene as´ı un m´etodo sencillo y r´apido para medir RV . Se asumi´o que E0 6= 0, que la escala del instrumento permite medir adecuadamente tanto E0 /2 como E0 , y que la resistencia interna de la pila es despreciable frente a RV . Observe que el m´etodo no pierde su sencillez si se consideran otras posibilidades, tales como: VV = E0 /3, en cuyo caso se deduce que RV = R/2; o VV = 2 E0 /3, lo que a su vez implica RV = 2 R; etc.

´ DE LA RESISTENCIA INTERNA DEL AMPER´IMETRO 1.4. MEDICION

1.3.2.

5

M´ etodo 2

Si se dispone de un amper´ımetro puede considerarse el circuito de la figura 1.3. Variando E puede obtenerse un conjunto de valores VV de ca´ıda de potencial en la resistencia inc´ognita conjuntamente con la correspondiente corriente que por ella circule iA . Graficando VV en funci´on de iA puede obtenerse RV como la pendiente de la recta de ajuste.

B

R

A RV

E

V

B

E0

A RV

. A

V

A

Figura 1.3: Medici´on de la resistencia interna de un volt´ımetro empleando un amper´ımetro y una fuente de tensi´ on continua variable.

Figura 1.4: Circuito alternativo al de la figura 1.3 si no se dispone de una fuente de tensi´ on continua variable.

Si no se dispone de una fuente de tensi´on variable, puede armarse el circuito de la figura 1.4. La resistencia R forma un divisor de tensi´on con la resistencia equivalente del conjunto formado por el amper´ımetro y el volt´ımetro, de modo que al variar R, variar´a tambi´en la diferencia de potencial entre A y B.

1.4.

Medici´ on de la resistencia interna del amper´ımetro

1.4.1.

M´ etodo 1

Considere el circuito de la figura 1.5 en el que una fuente de tensi´on E alimenta, a trav´es de una resistencia limitadora RL , a un amper´ımetro que, llave mediante, tiene conectada una resistencia en paralelo rP . La resistencia interna del instrumento se representa mediante rA . El conjunto de valores {E, RL } debe elegirse cuidadosamente para no destruir al amper´ımetro. Sup´ongase que, con la llave abierta, la lectura del instrumento es iA = i0 . Esta corriente vale

i0 =

E E ≈ RL + rA RL

si

RL ≫ rA

(1.3)

CAP´ITULO 1. MEDICIONES DE CORRIENTE CONTINUA

6 RL

RL

Ll

rA

rA rP

E

E

V A

A

Figura 1.5: Medici´on de la resistencia interna de un amper´ımetro. Se asume que RL ≫ rA .

Figura 1.6: Circuito alternativo al de la figura 1.5 si se dispone de un volt´ımetro.

Sup´ongase ahora que se cierra la llave y se var´ıa rP hasta lograr que la nueva lectura del instrumento, i′A , sea la mitad de la anterior, esto es: i′A = i0 /2. En estas condiciones, se tiene que por cada rama del paralelo circula la misma corriente (i0 /2), de lo que se concluye inmediatamente que rA = rP . Esto constituye un m´etodo sencillo para medir rA . La validez del razonamiento anterior descansa fuertemente en la hipotesis RL ≫ rA . Como consecuencia de la misma, fijado el valor de E, la corriente que entrega la pila, i0 , depende pr´acticamente s´olo de RL , y por tanto, dicha corriente es independiente de que la llave est´e abierta o cerrada. Estrictamente hablando, la resistencia total del circuito disminuye al cerrar la llave (tanto m´as cuanto m´as peque˜ na sea rP ), por lo que la corriente que entrega la pila aumenta. Si se desea remover la hipotesis RL ≫ rA , puede demostrarse que resulta rA = rP

1 1 − RrPL

(1.4)

donde rP sigue denotando a la resistencia tal que, cuando se cierra la llave, la lectura del instrumento se reduce a la mitad.

1.4.2.

M´ etodo 2

Si se dispone de un volt´ımetro, puede considerarse el circuito de la figura 1.6 en el que una fuente de tensi´on alimenta, a trav´es de una resistencia limitadora adecuada, a un amper´ımetro de resistencia interna rA . La lectura del volt´ımetro, VV , es una medida de la ca´ıda de potencial en la resistencia inc´ognita, mientras que la lectura del amper´ımetro, iA , indica la corriente que circula por ella. Variando la resistencia limitadora, con cuidado para no exceder la escala del amper´ımetro, se puede obtener un conjunto de datos

1.5. LEYES DE KIRCHOFF

7

{(iAk , VV k )}N k=1 cuyo ajuste lineal permite determinar rA .

1.5.

Leyes de Kirchoff

El prop´osito principal de esta secci´on es familiarizarse con el uso de volt´ımetros y amper´ımetros, especialmente en lo referido a la estimaci´on de sus incertezas de medici´on y al denominado error de inserci´on, que consiste en la modificaci´on que inevitablemente se produce en el circuito bajo estudio cuando se le conecta (se le agrega) un instrumento real. Ley de Mallas Se sugiere armar un circuito sencillo y, mediante un volt´ımetro, poder responder con propiedad si para ese circuito se verifica o no la Ley de Mallas. Para ello es esencial estimar correctamente los errores de lectura y de inserci´on. Ley de Nodos Se sugiere proceder de manera an´aloga al caso anterior, pero midiendo corrientes de rama concurrentes a un nodo, empleando un amper´ımetro.

1.6.

Teorema de Thevenin

Dado un circuito de cierta complejidad, compuesto por varias fuentes y resistencias, se busca verificar experimentalmente que se comporta como si estuviera compuesto por una sola pila, de tensi´on Eeq , y una sola resistencia, de valor Req , conectada en serie con la pila. Desde el punto de vista experimental, se sugiere armar un circuito de prueba, conectarle diferentes resistencias de carga de valor conocido RL y medir la corriente i que por ella circule. Si el modelo es correcto, graficando la ca´ıda de potencial sobre RL en funci´on de i resultar´a una recta de cuyos par´ametros podr´an obtenerse Eeq y Req .

1.7.

Teorema de Norton

El Teorema de Norton es similar al de Thevenin, pero en el que el circuito equivalente esta compuesto por una fuente de corriente iN conectada en paralelo con una resistencia RN . Las mismas mediciones que permiten verificar el Teorema de Thevenin sirven para verificar el de Norton.

CAP´ITULO 1. MEDICIONES DE CORRIENTE CONTINUA

8

1.8.

Principio de superposici´ on

Conviene armar un circuito simple, compuesto por al menos 2 pilas, que permita verificar si el estado del circuito cuando todas las pilas estan conectadas, es la suma algebraica de los estados de los circuitos resultantes de reemplazar todas las pilas, salvo una, y de a una por vez, por sus resistencias internas. Por estado de un circuito se entiende al conjunto de valores de ca´ıda de tensi´on sobre, o corriente circulante por, cada uno de sus elementos. Al dise˜ nar el circuito, tenga cuidado de no cortocircuitar ninguna pila.

1.9.

Preguntas

1. a) Cu´ales considera que son los motivos para modelar un volt´ımetro real mediante uno ideal al que se le coloca una resistencia en paralelo, mientras que para modelar un amper´ımetro real se recurre a uno ideal, pero en este caso, la resistencia que se agrega se conecta en serie? b) No podr´ıa ser al rev´es, por ejemplo?. 2. Realice un an´alisis cr´ıtico de las hipotesis involucradas en el m´etodo 1 para medir RV . 3. Con referencia al m´etodo 2 para medir RV , suponga que dispone de una fuente de tensi´on que a lo sumo puede entregar 30 V y que el volt´ımetro bajo estudio presenta una resistencia interna RV ∼ 10 MΩ. Qu´e caracter´ısticas debe tener el amper´ımetro? Cree que uno de 3 1/2 d´ıgitos cuya escala m´as sensible permita medir desde -200 mA a +200 mA le ser´a u ´ til? 4. Cree que hay alguna vinculaci´on entre la ley de Ohm y el principio de superposici´on aplicado al caso de circuitos el´ectricos?. De existir, cu´al ser´ıa?. 5. Las pilas, satisfacen la ley de Ohm?. Y satisfacen el principio de superposici´on? 6. Los cables ideales (resistencia nula), satisfacen la ley de Ohm?. Y el principio de superposici´on? 7. Pueden existir elementos de circuito que satisfagan la ley de Ohm, pero no el principio de superposici´on?. Y viceversa?

2013.c2.v2 C´ esar Moreno, DF-FCEyN-UBA e INFIP-CONICET