Jean-Marie Berthelot

Mechanics of Rigid Bodies

ISMANS Institute for Advanced Materials and Mechanics

Le Mans, France

Jean-Marie Berthelot

Mechanics of Rigid Bodies

Jean-Marie Berthelot is an Emeritus Professor at the Institute for Advanced Materials and Mechanics (ISMANS), Le Mans, France. His current research is on the mechanical behaviour of composite materials and structures. He has published extensively in the area of composite materials and is the author of numerous international papers and textbooks, in particular a textbook entitled Composite Materials, Mechanical Behavior and Structural Analysis published by Springer, New York, in 1999.

Jean-Marie Berthelot

Mechanichs of Rigid Bodies

ISMANS Institute for Advanced Materials and Mechanics

Le Mans, France

Preface

The objective of this book is to develop the fundamental statements of the Mechanics of Rigid Bodies. The text is designed for undergraduate courses of Mechanical Engineering. The basic mathematical concepts are covered in the first part, thereby making the book self-contained. The different parts of the book are carefully developed to provide continuity of the concepts and theories. Finally the text has been established so as to construct chapter after chapter a unified procedure for analysing any mechanical system constituted of rigid bodies. The first part, Mathematical Basics, introduces the usual concepts needed in the study of mechanical systems: vector space R3, geometric space, vector derivatives, curves. A chapter is devoted to torsors whose concept is the key of the book. The general notion of “measure centre” is introduced in this chapter. The second part, Kinematics, begins with the analysis of the motion of a point (kinematics of point). Particular motions are next considered, with a chapter related to motions with central acceleration. Next, the kinematics of a rigid body is studied: parameter of situation, kinematic torsor, analysis of particular motions. The change of reference system, which introduces the notion of “entrainment” has been excluded deliberately from this part. The notion of “entrainment” is not really assimilated by the studients at this level of the text. In fact this notion is implicitly introduced by using the concept of kinematic torsor. The change of reference system will be considered as a whole within the frame of Kinetics (Part 4). The last chapter analyses the kinematics of rigid bodies in contact. The third part, Mechanical Actions, introduces first the general concepts of the mechanical actions exerted on a rigid body or on a system of rigid bodies. Represented by torsors, the mechanical actions have general properties which are derived from the concepts considered previously for torsors. Thus, mechanical actions are classified as forces, couples and arbitrary actions. Gravitation and gravity are analysed. A chapter is devoted to the mechanical actions involved by the connections between rigid bodies, whose concept is the basis of the technological design of mechanical systems. The introduction of the power developed by a mechanical action simplifies greatly the restrictions imposed in the case of perfect connections (connections without friction). In the last chapter, the investigation of some problem of Statics will grow the reader familiar with the analysis of mechanical actions exerted on a body or a system of bodies. The fourth part, Kinetics of Rigid Bodies, introduces the tools needed to analyse the problems of Dynamics: operator of inertia, kinetic torsor, dynamic torsor and kinetic energy. Next, the problem of the change of reference system is considered. At this step, the reader has acquired the whole elements needed to analyse the problems of Dynamics of a rigid body or a system of rigid bodies. This analysis is developed in the fifth part Dynamics of Rigid Bodies. First, the general process for analysing a problem of Dynamics is established. Next, particular problems are considered. The process of analysis is always the same: kinematic analysis, kinetic analysis, investigation of the mechanical actions, deriving the equations of Dynamics as a consequence of the fundamental principle of dynamics, assumptions

vi

Preface

on the physical nature of connections between bodies, solving the equations of motion and the equations of connections. The designer will have to take an interest in the parameters of the motion as well as in the mechanical actions exerted at the level of connections to design the mechanical systems. The application of the fundamental principle of dynamics allows us to derive the whole equations of dynamics (equations of motion and equations of mechanical actions at the level of connections). However, designer which takes an interest only in the equations of motion needs a systematic tool for deriving these equations: the Lagrange’s equations which are considered in the last chapter of part V. In general, the equations of motions of a body or of a system of rigid bodies are complex, and most of these equations can not be solved using an analytical process. Now, mechanical engineers dispose of numerical tools (numerical processes and microcomputers) needed to solve the motion equations, whatever the complexity of these equations may be. The sixth part, Numerical procedures for the Resolution of Motion Equations, is an introduction to the numerical processes used to solve equations of motion. Examples are considered. The correction of the exercises is reported at the end of the textbook. The writing has been developed extensively and structured in such a way to improve the capacity of the comprehension of the reader. At the end of the textbook, the designer will have all the elements which allow him to implement a complete and structured analysis of mechanical systems. June 2009, Le Mans,

Jean-Marie BERTHELOT

Note. The development of this textbook is based on a generalized use of the concept of “torseur” (in French). We think that this concept is not really used in the English textbooks. We will call this concept as “torsor”. In the textbook, the English formulation was thus transposed from the French formulation. The author would be highly grateful with whoever would bring any element likely to be able to make progress the development, and thus the comprehension, of the textbook.

Contents Preface

v

PART I

Mathematical Basic Elements

Chapter 1 Vector Space \3

1 3

Definition of the Vector Space \3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Vector Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3

Multiplication by a Scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Linear Dependence and Independence. Basis of \3 . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Linear Combination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Linear Dependence and Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Basis of the Vector Space \3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.4

Components of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Scalar Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

Magnitude or Norm of a Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

Analytical Expression of the Scalar Product in an Arbitrary Basis . . . . . .

9

1.3.4

Orthogonal Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.5

Orthonormal Basis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.6

Expression of the Scalar Product in an Orthonormal Basis . . . . . . . . . . . .

10

Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.1

Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4.2

Analytical Expression of the Vector Product in an Arbitrary Basis . . . . . .

11

1.4.3

Direct Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4.4

Expression of the Vector Product in a Direct Basis. . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.5

Mixed Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.6

Property of the Double Vector Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Bases of the Vector Space \3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.1

Canonical Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5.2

Basis Change. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

Chapter 2 The Geometric Space 2.1

The Geometric Space Considered as Affine to the Vector Space \3 . . . . .

18 18

Contents

2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3

The Geometric Space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distance between Two Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Angle between Two Bipoints. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reference Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Subspaces of the Geometric Space: Line, Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Line. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lines and Planes with Same Directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orthogonal Lines and Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Characterization of the Position a Point of the Geometric Space . . . . . . . Coordinate Axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Direct Orthonormal Reference System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plane and Line Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cartesian Equation of a Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cartesian Equation of a Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Change of Reference System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . General Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Refernce Systems with a Same Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbitrary Reference Systems with the Same Origin . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ix

18 19 20 20 21 22 22 23 24 25 26 26 27 27 29 29 30 31 31 32 34 37 39

Chapter 3 Vector Function. Derivatives of a Vector Function

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3.1 Vector Function of One Variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Properties of the Vector Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Vector Function of Two Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Vector Function of n Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Definitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Examples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40 40 40 41 42 44 44 44 45 45 45 46 49

Chapter 4 Elementary Concepts on Curves

50

4.1 4.2 4.3 4.4

50 51 52 52 54 54

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Curvilinear Abscissa. Arc Length of a Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangent. Normal. Radius of Curvature. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frenet Trihedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments

x

Contents

Chapter 5 Torsors

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5.1 Definition and Properties of the Torsors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Definitions and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Properties of the Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Vector Space of Torsors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Scalar Invariant of a Torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Product of Two Torsors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6 Moment of a Torsor about an Axis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.7 Central Axis of a Torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Particular Torsors. Resolution of an Arbitrary Torsor . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Slider. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Couple-Torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Arbitrary Torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Torsors associated to a Field of Sliders Defined on a Domain of the Geometric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Torsor Associated to a Finite Set of Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Torsor Associated to a Infinite Set of Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Important Particular Case. Measure Centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 56 56 57 58 58 59 60 60 62 63 64

PART II

Chapter 6

Kinematics Kinematics of Point

64 64 65 67 70 72

73 75

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Trajectory and Kinematic Vectors of a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Kinematic Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Tangential and Normal Components of Kinematic Vectors . . . . . . . . . . . 6.2.4 Different Types of Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Expressions of the Components of Kinematic Vectors as Functions of Cartesian and Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 75 76 77 78 79

Chapter 7

84

Study of Particular Motions

7.1 Motions with Rectilinear Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Uniform Rectilinear Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Uniformly Varied Rectilinear Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.4 Simple Harmonic Rectilinear Motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Motions with a Circular Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 General Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 82 83 83

84 84 85 85 86 87 87

Contents

xi

7.2.2 Uniform Circular Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Uniformly Varied Circular Motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Motions with a Contant Acceleration Vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 General Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Study of the case where the Trajectory is Rectilinear . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Study of the case where the Trajectory is Parabolic . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Helicoidal Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Cycloidal Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88 89 90 90 91 92 94 96 98 99

Chapter 8

Motions with Central Acceleration

8.1 General Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 A Motion with a Central Acceleration is a Plane Trajectory Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Areal Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.4 Area Law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.5 Expression of the Kinematic Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.6 Polar Equation of the Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.7 8.2

8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4

G(

)

JJJJG

Motions for which a T ( M , t ) = −ω 2 OM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . JJJJG OM G (T ) .... Motions with Central Acceleration for which a ( M , t ) = − K OM 3 Equations of the Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Study of the Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Velocity Magnitude at a Point of the Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elliptic Motion. Kepler’s Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 9

Kinematics of Rigid Body

9.1 General Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Notion of Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Locating a Rigid Body. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Relations between the Trajectories and the Kinematic Vectors of Two Points Attached to a Solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Relation between the Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Relation between the Velocity Vectors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Expression of the Instantaneous Vector of Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Kinematic Torsor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5 Relation between the Acceleration Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Generalization of the Composition of Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Composition of Kinematic Torsors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Inverse Motions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Examples of Solid Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.1 Motion of Rotation about a Fixed Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4.2 Translation Motion of a Rigid Body. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

100 100 100 100 101 102 102 102 103 104

104 105 107 108 110

111 111 111 111 113 113 114 115 116 117 118 118 120 121 121 124

xii

Contents

9.4.3 9.4.4 9.4.5

Motion of a Body Subjected to a Cylindrical Joint . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motion of Rotation about a Fixed Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plane Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125 127 129 134 136

Chapter 10 Kinematics of Rigid Bodies in Contact

137

10.1 Kinematics of Two Solids in Contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Solids in Contact at a Point. Sliding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Spinning and Rolling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Conclusions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4 Solids in Contact in Several points. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Transmission of a Motion of Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Général Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Transmission by Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Gear Transmission. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Belt Transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 137 138 139 140 140 140 141 145 148 150 151

PART III

The Mechanical Actions

153

Chapter 11 General Elements on the Mechanical Actions

155

11.1 Concepts Relative to the Mechanical Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Notion of Mechanical Action. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Representation of a Mechanical Action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Classification of the Mechanical Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Mechanical Actions Exerting between Material Sets . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.5 External Mechanical Actions Exerting on a Material Set . . . . . . . . . . . . . 11.2 Different Types of Mechanical Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Physical Natures of the Mechanical Actions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Environnement and Effective Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Power and Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Definition of the Power . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Change of Reference System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Potential Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.4 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.5 Power and Work of a Force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.6 Set of Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155 155 155 156 158 158 159 159 159 160 160 161 161 162 163 164 165 167

Chapter 12 Gravitation. Gravity. Mass Centre

169

12.1 Phenomenon of Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 12.1.1 Law of Gravitation 169

Contents

xiii

12.1.2 Gravitational Field. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3 Action of gravitation induced by a Solid Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.4 Action of gravitation induced by the Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Action of Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Gravity Field Induced by the Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Action of Gravity Exerted on a Material System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.3 Power Developed by the Action of Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Determination of Mass Centres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1 Mass Centre of a Material System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Mass Centre of the Union of Two Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.3 Mass Centre of a Homogeneous Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.4 Homogeneous Bodies with Geometrical Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Examples of Determination of Mass Centres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.1 Homogeneous Solid Hemisphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Homogeneous Solid with Complex Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.3 Non-Homogeneous Solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170 170 172 173 173 174 175 177 177 178 179 180 181 181 182 183 184 185

Chapter 13 Actions of Contact between Solids. Connections

186

13.1 Laws of Contact between Solids. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Contact in a Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3 Couples of Rolling and Spinning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Classification of Connections. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.3 Actions of Connection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.4 Connection without Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.5 Connection with Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

186 186 186 191 192 192 193 197 198 202 203

Chapter 14 Statics of Rigid Bodies

204

14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Law of Statics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Case of a Rigid Body. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Case of a Set of Rigid Bodies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.3 Mutual Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Statics of Wires or Flexible Cables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Mechanical Action Exerted by a Wire or a Flexible Cable . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Equation of Statics of a Wire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.3 Wire or Flexible Cable Submitted to the Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.4 Contact of a Wire with a Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Examples of Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1 Case of a Rigid Body. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.2 Case of a System of Two Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments

204 204 204 205 206 207 207 208 209 210 212 212 217 222 223

xiv

Contents

PART IV

Kinetics of Rigid Bodies

225

Chapter 15 The Operator of Inertia

227

15.1 Introduction to the Operator of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.1 Operator Associated to a Vector Product. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.2 Extending the Preceding Concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.3 The Operator of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Change of Coordinate System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Change of Origin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Relations of Huyghens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.3 Diagonalisation of the Matrix of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.4 Change of Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Moments of Inertia with respect to a point, an axis, a plane . . . . . . . . . . . 15.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.2 Relations between the Moments of Inertia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.3 Case of a Plane Solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.4 Moment of Inertia with respect to an Arbitrary Axis . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Determination of Matrices of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1 Solids with Material Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.2 Solids having a Symmetry of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.3 Solids with Spherical Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.4 Associativity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Matrices of Inertia of Homogeneous Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.1 One-Dimensional Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.2 Two-Dimensional Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.3 Three-Dimensional Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

227 227 228 229 230 230 232 232 233 234 234 235 235 236 237 237 239 241 242 244 244 245 249 253 254

Chapter 16 Kinetic and Dynamic Torsors. Kinetic Energy

255

16.1 Kinetic Torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.2 Kinetic Torsor Associated to the Motion of a Body. . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.3 Kinetic Torsor for a Set of Bodies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Dynamic Torsor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.2 Dynamic Torsor Associated to the Motion of a Body . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.3 Dynamic Torsor for a Set of Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.4 Relation with the Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Kinetic Energy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.2 Kinetic Energy of a Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.3 Kinetic Energy of a Set of Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.4 Derivative of the Kinetic Energy of a Solid with respect to Time . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

255 255 256 257 258 258 258 259 260 260 260 261 262 262 263 264

xv

Contents

Chapter 17 Change of Reference System

265

17.1 Kinematics of Change of Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1 Relation between the Kinematic Torsors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.2 Relation between the Velocity Vectors. Velocity of Entrainment . . . . . . 17.1.3 Composition of Acceleration Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Dynamic Torsors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.1 Inertia Torsor of Entrainment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.2 Inertia Torsor of Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2.3 Relation between the Dynamic Torsors Defined relatively to Two Different References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

265 265 266 268 269 270 271

PART V

Dynamics of Rigid Bodies

Chapter 18 The Fundamental Principle of Dynamics and its Consequences 18.1 Fundamental Principle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.1 Statement of the Fundamental Principle of Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.2 Class of Galilean Reference Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.3 Vector Equations Deduced from the Fundamental Principle . . . . . . . . . . 18.1.4 Scalar Equations Deduced from the Fundamental Principle. . . . . . . . . . . 18.2 Mutual Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.1 Theorem of Mutual Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Transmission of Mechanical Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Theorem of Power-Energy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.1 Case of One Solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.2 Case of a Set of Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.3 Mechanical Actions with Potential Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Application of the Fundamental Principle to the Study of the Motion of a Free Body in a Galilean Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4.1 General Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4.2 Particular Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 Application to the Solar System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.1 Galilean Reference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.2 Motion of Planets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5.3 The Earth in the Solar System. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272 273

275 277 277 277 277 278 279 280 280 281 281 281 282 283 284 284 286 288 288 290 290 291

Chapter 19 The Fundamental Equation of Dynamics in Different References

293

19.1 General Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Fundamental Equation of Dynamics in a Non Galilean Reference . . . . . 19.1.2 The Reference Systems used in Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Fundamental Relation of Dynamics in the Geocentric Reference . . . . . . . 19.2.1 General Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

293 293 294 295 295

xvi

Contents

19.2.2 Case of a Solid Located at the Vicinity of the Earth . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3 Fundamental Relation in a Reference Attached to the Earth . . . . . . . . . . 19.3.1 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.2 Action of Earthly Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.3 Conclusions on the Equations of Dynamics in a Reference Attached to the Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.4 Equations of Dynamics of a Body with respect to a Reference whose the Motion is Known Relatively to the Earth . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

297 298 298 299 300 301 303

Chapter 20 General Process for Analysing a Problem of Dynamics of Rigid Bodies

304

20.1 Dynamics of Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.1 General Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.2 General Process of Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Dynamics of a Set of Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

304 304 305 306 307 308

Chapter 21 Dynamics of Systems with One Degree of Freedom 309 Analysis of Vibrations 21.1 General Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Parameters of Situation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.4 Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.5 Mechanical Actions Exerted on the Solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.6 Application of the Fundamental Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Vibrations without Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Equation of Motion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Free Vibrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Forced Vibrations. Steady State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Vibrations with Viscous Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.1 Equation of Motion with Viscous Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Free Vibrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.3 Vibrations in the case of a Harmonic Disturbing Force . . . . . . . . . . . . . . 21.3.4 Forced Vibrations in the case of a Periodic Disturbing Force. . . . . . . . . . 21.3.5 Vibrations in the case of an Arbitrary Disturbing Force. . . . . . . . . . . . . . 21.3.6 Forced Vibrations in the case of a Motion Imposed to the Support . . . . . 21.4 Vibrations with Dry Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.1 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4.2 Free Vibrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Equivalent Viscous Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.2 Energy Dissipated in the case of Viscous Damping . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5.3 Stuctural Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

309 309 310 310 310 311 311 313 313 313 314 318 318 318 324 331 332 333 336 336 337 339 339 340 340

Contents

xvii

21.5.4 21.5.5 21.5.6

342 343 345 346 346

Dry Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluid Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 22 Motion of Rotation of a Solid about a Fixed Axis

347

22.1 General Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.2 Parameters of Situation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.3 Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.4 Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.5 Mechanical Actions Exerted on the Sold. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1.6 Application of the Fundamental Principle of Dynamics. . . . . . . . . . . . . . 22.2 Examples of Motions of Rotation about an Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.1 Solid in Rotation Submitted only to the Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2.2 Pendulum of Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Problem of the Balancing of Rotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.1 General Equations of an Unbalanced Solid in Rotation . . . . . . . . . . . . . . 22.3.2 Mechanical Actions Exerted on the Shaft of Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3.3 Principle of the Balancing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

347 347 348 349 350 351 352 354 354 356 357 357 360 360 362 364

Chapter 23 Plane Motion of a Rigid Body

365

23.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Parallelepiped Moving on an Inclined Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.1 Parameters of Situation and Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2 Kinetics of the Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.3 Mechanical Actions Exerted on the Parallelepiped . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.4 Equations Deduced from the Fundamental Principle . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.5 Motion without Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.6 Motion with Dry Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2.7 Motion with Viscous Friction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Analysis of Sliding and Rocking of a Parallelepiped on an Inclined Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.2 Parameters of Situation and Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.3 General Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.4 Analysis of the Different Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4 Motion of a Cylinder on an Inclined Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4.2 Parameters of Situation and Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

365 365 365 366 367 368 369 370 371 372 372 373 374 375 379 380 380 381

xviii

Contents

23.4.3 Mechanical Actions Exerted on the Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4.4 General Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4.5 Analysis of the Different Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.5 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

382 383 385 387 388

Chapter 24 Other Examples of Motions of Rigid Bodies

389

24.1 Solid in Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.1 General Expressions of a Solid in Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.2 Free Solid in Translation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Motion of a Solid Placed on a Wagon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.2 Parameters of Situation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.3 Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.4 Analysis of the Mechanical Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.5 Equations of Dynamics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.6 Analysis of the Different Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3 Coupled Motions of Two Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.2 Parameters of Situation and Kinematics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.3 Kinetics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.4 Analysis of the Mechanical Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.3.5 Equations Deduced from the Fundamental Principle of Dynamics. . . . . . 24.3.6 Analysis of the Equations Deduced from the Fundamental Principle . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

389 389 391 392 392 393 394 394 395 397 402 402 403 404 406 408 409 411 412

Chapter 25 The Lagrange Equations

413

25.1 General Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.1 Free Body and Connected Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.2 Partial Kinematics Torsors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.3 Power Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.1.4 Perfect Connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2 Lagrange Equations Relative to a Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2.1 Introduction to the Lagrange Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2.2 Lagrange Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.2.3 Case where the Mechanical Actions Admit a Potential Energy . . . . . . . . 25.3 Lagrange Equations for a Set of Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.1 Lagrange Equations for Each Solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.2 Lagrange Equations for the Set (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.3.3 Case where the Parameters of Situation are Linked . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4.1 Motion of a parallelepiped Moving on an Inclined Plane. . . . . . . . . . . . . 25.4.2 Coupled Motions of Two Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25.4.3 Double Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.25 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

413 413 413 415 415 416 416 417 418 419 419 420 421 422 422 423 425 431

xix

Contents

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PART VI

Numerical Methods for Solving Differential Equations. Application to Equations of Motion

434 434

435

Chapter 26 Numerical Methods for Solving First Order Differential Equations

437

26.1 General Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1.1 Problem with Given Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1.2 General Method of Resolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.1.3 Euler Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Single-Step Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2.1 General Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2.2 Methods of Runge-Kutta Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.2.3 Romberg Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3 Multiple-Step Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.1 Introduction to the Multiple-Step Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.2 Methods based on the Newton interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.3 Generalization of the Multiple-Step Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.4 Examples of Multiple-Step Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.3.5 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

437 437 438 438 440 440 442 446 449 449 450 452 453 454 456 456

Chapter 27 Numerical Procedures for Solving the Equations of Motions

457

27.1 Equation of Motion with One Degree of Freedom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1.1 Form of the Equation of Motion with One Degree of Freedom . . . . . . . . 27.1.2 Principle of the Numerical Resolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1.3 Application to the case of the Motion of a Simple Pendulum . . . . . . . . . 27.2 Equations of Motions with Several Degrees of Freedom . . . . . . . . . . . . . . 27.2.1 Form of the Equations of Motions with Several Degrees of Freedom . . . 27.2.2 Principle of the Numerical Resolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2.3 Trajectories and Kinematic Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3 Motions of Planets and Satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.1 Motion of a Planet about the Sun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.2 Motion of a Satellite around the Earth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3.3 Launching and Motion of a Moon Probe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.4 Motion of a Solid on an Inclined Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5 Coupled Motion of Two Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5.1 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5.2 Analytical Solving in the case of Low Amplitudes and in the Absence of Friction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.5.3 Numerical Computation of the Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . .

457 457 457 458 461 461 462 462 463 463 467 468 469 471 471 474 476

Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

PART VII Chapter 1 Chapter 2 Chapter 4 Chapter 5 Chapter 6 Chapter 7 Chapter 9 Chapter 10 Chapter 11 Chapter 12 Chapter 14 Chapter 15 Chapter 16 Chapter 21 Chapter 22 Chapter 24 Chapter 25

Solutions of the Exercises

Vector Space \3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Geometric Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementary Concepts on Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Torsors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinematics of Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Study of Particular Motions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinematics of Rigid Body . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinematics of Rigid Bodies in Contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . General Elements on the Mechanical Actions. . . . . . . . . . . . . . . . . Gravitation. Gravity. Mass Centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Statics of Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Operator of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinetic and Dynamic Torsors. Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamics of Systems with One Degree of Freedom Analysis of Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Motion of Rotation of a Solid about a Fixed Axis . . . . . . . . . . . . . . Other Examples of Motions of Rigid Bodies . . . . . . . . . . . . . . . . . . The Lagrange Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

481 483 486 492 494 500 505 509 516 523 531 538 548 559 567 571 577 596