Third Edition
CHAPTER
7
MECHANICS OF MATERIALS Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf
Gerilme Dönüşümleri
Fatih Alibeyoğlu
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Gerilme ve Birim Deformasyon Dönüşümleri • Yapıda veya makine elemanlarında birim alandaki gerilme dağılımı aşağıda verilen 6 gerilme bileşeni ile tanımlanabilir: • 3 adet Normal Gerilme: x , y , z • 3 adet Kayma Gerilmesi: xy , xz , yz • Ancak elemanın tanımlandığı koordinat sistemi belirli bir açı kadar döndürüldüğünde (Şekil b) yukarıda verilen 6 gerilme bileşenin değeri, dış yükleme aynı olmasına rağmen, değişir.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Düzlem Gerilmelerin Dönüşümü • Düzlem gerilme durumunda: • Aşağıda verilen döndürülmüş koordinat sisteminde ortaya • çıkan gerilme bileşenlerin değerleri belirlenecektir.
Yukarıda verilen şekilden aşağıdaki eleman parçasını çıkartırsak:
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Düzlem Gerilmelerin Dönüşümü • Aşağıda verilen elemanda statik denge şartlarını yazarsak x’y’ düzleminde oluşan normal ve kayma gerilmesi değerleri dış yüklemeler cinsinden aşağıdaki gibi elde edilir:
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Soru • Bir uçağın üzerinde bir noktadaki gerilme durumu verilmiştir. 30° yönlendirilmiş durumdaki gerilme değeri nasıl olur.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Asal Gerilmeler : Maksimum Kayma Gerilmesi • Döndürülmüş koordinat sisteminde bir önceki bölümde verilen gerilme değerleri bir çember üzerinde gösterilebilir. Bunu için; x
x y 2
x y 2
cos 2 xy sin 2
• Aşağıda verilen kayma gerilmesi ile taraf tarafa toplanırsa ve her iki tarafın karesi alındığında 2
2
2
2
x y x y 2 x xy xy 2 2 2
2
• Yukarıdaki ifade: ( x h) y r • Çember denklemini göstermektedir: • Bu çemberin merkezi: ort
x y 2
x y • Çemberin yarıçapı: R 2
2
2 xy
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Asal Gerilmeler Bu çemberde A ve B noktaları önemlidir zira bu noktalarda kayma gerilmesi değeri sıfırdır. A noktasında normal gerilme maksimum B noktasında ise minimum değeri alır. Verilen elemanda sadece maksimum ve minimum gerilmelerin bulunduğu düzlemin açısı: İfadesi sıfıra eşitlenirse elde edilir:
max ve min
Gerilme değerlerine ASAL GERİLMELER bulunduğu düzleme ASAL DÜZLEM denir
max ort R ve min ort R © 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Maksimum Kayma Gerilmesi • Kayma gerilmelerin maksimum olduğu D ve E • noktalarının apsisi y ort x x aşağıdaki ifadeye yazılırsa: 2
x y cos 2 xy sin 2 0 elde edilir ve kayma gerilmesinin 2 maksimum olduğu düzlemin açısı:
Maksimum kayma gerilmesi değeri: 2
x y 2 xy max R 2
Maksimum kayma gerilmesinin bulunduğu x y düzlemde normal gerilme sıfır değildir: ort 2
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Kayma Gerilmesinin İşaretinin Tayin Edilmesi • Kayma gerilmesi pozitiftir; eğer pozitif yöne doğru ise ve pozitif düzlemde etki ediyorsa veya negatif doğrultuda ve negatif düzlemde ise • Kayma gerilmesi negatiftir;
eğer negatif doğrultuda ve pozitif düzlemde ise veya pozitif doğrultuda ve negatif düzlemde ise
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Soru • Şekilde verilen gerilme durumuna göre; a) Asal düzlemleri ve asal gerilmeleri b) Maksimum kayma gerilmesi düzlemlerini, maksimum kayma gerilmesini ve normal gerilmeyi hesaplayınız.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Soru • 600 N ‘luk bir yük manivelanın D ucuna uygulanmaktadır. Manivelanın çapı 30 mm olduğuna göre a) H de yer alan x ve y eksenlerine paralel kenarlara gelen normal ve kayma gerilmelerini bulunuz. b) H noktasında asal düzlemleri ve asal gerilmeleri belirleyiniz.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Düzlem Gerilmeler için Mohr Çemberinin Kullanılması • Mohr çemberi; basit geometrik kabuller kullanılarak herhangi bir düzlemdeki gerilme dağılımı aşağıda belirtilen adımlar dikkate alındığında kolaylıkla belirlenebilir: Normal gerilme x ekseninde ve kayma gerilmesi y ekseni olacak şekilde bir koordinat düzlemi belirlenir. X noktası (x, -xy) ve Y noktası (y, xy) olacak şekilde koordinat sisteminde işaretlenir ve X ile Y noktasını birleştiren doğru aynı zamanda mohr çemberinin çapını da gösterir. Bu çemberin merkezi:
ort
x y 2
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Düzlem Gerilmeler İçin Mohr Çemberinin Kullanılması Çember üzerindeki A ve B noktası asal gerilmeleri gösterir.
Eleman üzerindeki herhangi bir açı Mohr çemberinde 2 katı ile ve aynı yönde gösterilir. Mohr çemberinden, Asal düzlem ile maksimum kayma gerilmesinin bulunduğu düzlem arasında 450 lik (Mohr çemberinde 900) bir açı farkı vardır.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
Third Edition
MECHANICS OF MATERIALS
Beer • Johnston • DeWolf
Soru 3 • Altta verilen ve iki düzlem gerilme durumunun toplamından elde edilen yeni düzlem gerilme durumu için asal gerilmeleri ve düzlemlerini bulunuz.
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
