MATEMÁTICAS II

2º Bachillerato Matrices 1 (Problemas)

1.- Efectúa las siguientes operaciones con matrices:

1 2 3 4   3 −2 5 6 a)   + 5 7 9 11 1 1 3 3  1 1 1 2 1  c) − . 2 2 3 4 2   −1 3 2 1

4 5  3 1 3  2 + 4 1  5   3 −4   4  2  3 e) 4 2 5 −2 .   1    3 3 2 b)   −3  2

 6 3 2  d) .12 6  3  18 12

(

−4 −3 1 −1  7 2  −3 6 

)

a    f) b . a b c   c 

(

)

 a 0 0 0 0 a     g)  0 b 0.0 b 0      0 0 c  c 0 0 

 1 2 2 3 2.- Siendo A =  , halla A y A . 3 1   a b 0 a  3.- Siendo A =   y B= .  c 0 b c  Halla: a) (A+B)2 b) A2 + 2AB + B2

c) A2 - B2

d) (A+B).(A-B)

 a 0 0   4.- Siendo A =  0 b 0 , calcula A2, A3 y deduce el valor de An.   0 0 c  0 −1  2 −1 1     5.- Dadas las matrices A =  1 1 2  , B =  3 0    2 3  1 1 −1 operaciones siguientes: a) A + B b) A + B.C f) A.B + B.C

 1 −1 1  3    1, C =  3 2 −1 , efectúa las    0 4 1 1  c) A.C + B d) A2 + B2 e) A2 - B2

 2 1 6.- Sea A =   . Prueba que las matrices del tipo: B = λ.A + µ.I2 / λ, µ ∈R, son permutables  1 1 para el producto.

7.- Demuestra las siguientes propiedades de la transposición de matrices: a) (A + B)T = AT + BT b) (λ.A)T = λ.AT c) (A.B)T = BT.AT

MATEMÁTICAS II

2º Bachillerato Matrices 2 (Problemas)

 2 −1 8.- Halla las matrices que permutan con A =  . 1 3   2 5 9.- Sea la matriz A =   .  1 3 a) Demuestra que A es invertible y calcula A-1.  −1 3   3 −5 b) Halla las matrices X e Y de M2(R) tales que: X.A =   ; A.Y =    7 4 2 6   1 1 0  0 1 0     10.- Dadas las matrices: A =  0 1 1 ; T =  0 0 1 . Demuestra que T3 = 0 , y deduce el      0 0 1  0 0 0 valor de An para n natural (obsérvese que A = I3 + T y que I3 permuta con T).

 cosθ 11.- Calcula An con n natural, siendo A =   senθ -1 n calcula A y también A siendo n entero. 12.- Halla el rango de las matrices siguientes:  1 0 0 1  2 −3 −4   1 1 0 0 3 1 5   a)  b)   0 1 1 0  −1 0 −1      0 0 1 1 0 2 4 0 r −q    d)  −r 0 p    q −p 0 

a 0 b    e)  b a 0    0 b a

− senθ   . Demuestra que A es invertible y cosθ 

1 0 c)  2  3 a b f)  0  0

5 3 −2  2 2 0  −2 4 0 1   −1 7 1 3  0 0 b a 0 0  b a 0  0 b a 7 4

13.- En el conjunto M2(C) (matrices cuadradas de orden 2 con números complejos), se consideran  0 1  0 −i  1 0  las matrices: X=  , Y=   , Z=    1 0 i 0   0 −1 Calcula: a) YZ - ZY b) ZX - XZ c) XY - YX d) X2 + Y2 + Z2 14.- Se dice que una matriz A de Mn(R) es nilpotente de índice p si existe un natural p > 1 tal que Ap-1 ≠ 0 y Ap = 0. Demuestra que si A es nilpotente de índice p, entonces In-A es invertible y tiene como inversa la matriz In+A+A2+...+Ap-1. 15.-Las exportaciones (en cientos de toneladas) de agrios, trigo y abono de un país a las naciones A, B y C se han repetido en los años 1988 y 1989, viniendo expresadas por la matriz E, mientras que la matriz P refleja los precios los precios de cada producto en dichos años:

MATEMÁTICAS II

2º Bachillerato Matrices 3 (Problemas)

E:

Agrio Trigo Abonos

A B C 7 4 8 3 6 2 5 2 3

Ag. Tr. Ab. P: 1988

10

21

6

1989

9

23

8

Encuentra el valor de lo exportado a cada uno de los países en los dos años.  2 3  2 3 5 7 −1   16.- Sean las matrices A 6 8 y B =   . Efectuar las siguientes operaciones:  1 −1 0 4 3     8 7

A ⋅ B ; ( −2 A) ⋅ (3B ) ; (A ⋅ AT ) ; B ⋅ B T ; ( A ⋅ B ) ⋅ ( A ⋅ B )T 2

17.- Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones?: a)

( A + B )2 =

a)

( A + B) ⋅ ( A − B) =

A2 + 2 AB + B 2 A2 − B 2

18.- ¿Es cierto que el producto de dos matrices no nulas es siempre una matriz no nula?. 19.- Sean A, B y C matrices no nulas tales que A ⋅ B = A ⋅ C , ¿podemos asegurar que B = C ? ¿Y si existe A−1 ? 20.- Encontrar las matrices X e Y que verifican los siguientes sistemas matriciales:

  2 1  X + Y =   3 0  a)   X − Y =  6 2     0 1 

  1 2 2  2 X + Y =   −2 1 0  b)   X − 3Y =  −4 −3 −2     −1 0 1  

  3 8  3 X + Y =   −3 2  c)   X + Y =  1 8     0 1 

21.- Encuentra todas las matrices de orden 2 que cumplan: a) A2 = A matriz A es simétrica.

b) A2 = O . Ídem si la

22.- Calcular An siendo:  a 1 a) A =    0 a

b)

 1 1 1   A =  0 1 1    0 0 1

 cosα c)   sen α

− sen α   cosα 

MATEMÁTICAS II

2º Bachillerato Matrices 4 (Problemas)

 1 1 n n −1 23.- Demostrar que la matriz A =   satisface la relación A = 2 A  1 1

24.- Si A es una matriz cuadrada de orden n, tal que A2 = A , e I es la matriz unidad de orden n, ¿qué matriz es B 2 , si B = 2 A − I ?. Calcula A p ⋅ B q ⋅ Ar siendo p, q y r entero positivos. 25.- Sea A una matriz cuadrada de orden n que verifica: A2 − A − I = 0 . Encuentra A−1 .  0 1 1   26.- Sea la matriz A =  1 0 1 , comprueba que A2 − A − 2 I = 0 . Teniendo en cuenta la    1 1 0 igualdad anterior, encuentra A

−1

 1 0 −1   y resuelve la ecuación: A ⋅ X =  1 −1 0    0 0 1 

 0 3 4   27.- Dada la matriz A =  1 −4 −5 , se pide:    −1 3 4 

a) Comprobar que A verifica la siguiente igualdad: A3 + I = 0 .  1 2 −1   b) Justifica que A es invertible y encuentra A . Resuelve: X ⋅ A =  0 −1 0     −1 1 −2 −1

c) Calcula razonadamente A10 . d) Estudia cuántos resultados distintos tienen las potencia naturales An .  1 1 28.- Dada la matriz A =   , encuentra todas las matrices que conmutan con ella. De todas la  1 2

encontradas, ¿cuál es A−1 ?.  1 −1 29.- Dada la matriz A =   , encuentra la matriz B de forma que AB = A + I . 0 2  30.- Define matriz inversa. Supuesto que dada la matriz A existe A−1 , ¿es cierto que la inversa de

( )

2

( )

A2 es A−1 ?. ¿Y que A3

−1

( )

3

= A−1 ?. Justifica la respuesta.

31.- Sea A una matriz cuadrada, demostrar que A + AT es una matriz simétrica y que A − AT es una matriz antisimétrica. 32.- Sea A una matriz antisimétrica, demostrar que A2 y A4 son matrices simétricas y que A3 y A5 son matrices antisimétricas.

MATEMÁTICAS II

2º Bachillerato Matrices 5 (Problemas)

33.- Demostrar que si A es una matriz simétrica, An es una matriz simétrica ∀∈ n ∈ ℵ . 36.- Demostrar que el producto de una matriz arbitraria por su transpuesta es una matriz simétrica.  cosα 37.- Comprobar que la matriz A =   sen α

− sen α   es ortogonal. cosα 

38.- Demostrar que el producto de dos matrices ortogonales es otra matriz ortogonal. 39.- Define matriz transpuesta y matriz inversa de una matriz cuadrada. ¿Se puede deducir de estas T −1 dos definiciones que (AT ) = (A −1 ) ?. Probar que si A es una matriz simétrica, A−1 también lo es. −1 40.- Demostrar que si A y B tienen inversa, A ⋅ B también la tiene, siendo ( A ⋅ B) = B −1 ⋅ A−1 .

CUESTIONES PROPUESTAS EN SELECTIVIDAD  a 0  , ¿qué relación deben guardar las constantes a y b para que se 1. Dada la matriz A =  1 b verifique la igualdad A2 = A ?.  2 − 1  , calcula a y b para que se verifique la igualdad: A2 = A 2. Siendo A =  a b  1 y  1 x 5  ⋅   =  3. Determina x, y, z para que se verifique la igualdad:   x z   y z  0

0  5 

1 0 x   4. Demostrar que para las matrices de la forma A =  0 1 0  , siendo x un número real, el producto 0 0 1   es conmutativo.

1 0 1   5. Dada A =  0 1 0  , encuentra An para n ∈ ℵ . 0 0 1  

MATEMÁTICAS II

2º Bachillerato Matrices 6 (Problemas)

1 6. Si A =  1

0  , calcula A250 + A20 . 1 

 y 0 5  para que se verifique la ecuación matricial: Z 2 − Z + I = O , 7. Determina “y” en Z =  2  0 2 siendo I la matriz identidad y O la matriz nula de orden 2 × 2 . Expresa Z −1 en función de Z. 8. Si A es una matriz tal que A2 = A , determina λ ∈ ℜ y λ ≠ 0 que verifique: (λA − I ) = I 2

9. Sea A una matriz cuadrada que verifica A2 + 2 A + I = 0 . Demuestra que A es invertible.

8  3 0   2 10. Sea A =  3 − 1 6  Probar que ( A + I ) = O , siendo I la matriz identidad y O la matriz  − 2 0 − 5   nula. Justifica que A es invertible y obtén su matriz inversa A−1 . Recordando que ( A + I )2 = O , expresa A2 y A−1 como combinación lineal de A e I.