MATEMÁTICAS II
2º Bachillerato Matrices 1 (Problemas)
1.- Efectúa las siguientes operaciones con matrices:
1 2 3 4 3 −2 5 6 a) + 5 7 9 11 1 1 3 3 1 1 1 2 1 c) − . 2 2 3 4 2 −1 3 2 1
4 5 3 1 3 2 + 4 1 5 3 −4 4 2 3 e) 4 2 5 −2 . 1 3 3 2 b) −3 2
6 3 2 d) .12 6 3 18 12
(
−4 −3 1 −1 7 2 −3 6
)
a f) b . a b c c
(
)
a 0 0 0 0 a g) 0 b 0.0 b 0 0 0 c c 0 0
1 2 2 3 2.- Siendo A = , halla A y A . 3 1 a b 0 a 3.- Siendo A = y B= . c 0 b c Halla: a) (A+B)2 b) A2 + 2AB + B2
c) A2 - B2
d) (A+B).(A-B)
a 0 0 4.- Siendo A = 0 b 0 , calcula A2, A3 y deduce el valor de An. 0 0 c 0 −1 2 −1 1 5.- Dadas las matrices A = 1 1 2 , B = 3 0 2 3 1 1 −1 operaciones siguientes: a) A + B b) A + B.C f) A.B + B.C
1 −1 1 3 1, C = 3 2 −1 , efectúa las 0 4 1 1 c) A.C + B d) A2 + B2 e) A2 - B2
2 1 6.- Sea A = . Prueba que las matrices del tipo: B = λ.A + µ.I2 / λ, µ ∈R, son permutables 1 1 para el producto.
7.- Demuestra las siguientes propiedades de la transposición de matrices: a) (A + B)T = AT + BT b) (λ.A)T = λ.AT c) (A.B)T = BT.AT
MATEMÁTICAS II
2º Bachillerato Matrices 2 (Problemas)
2 −1 8.- Halla las matrices que permutan con A = . 1 3 2 5 9.- Sea la matriz A = . 1 3 a) Demuestra que A es invertible y calcula A-1. −1 3 3 −5 b) Halla las matrices X e Y de M2(R) tales que: X.A = ; A.Y = 7 4 2 6 1 1 0 0 1 0 10.- Dadas las matrices: A = 0 1 1 ; T = 0 0 1 . Demuestra que T3 = 0 , y deduce el 0 0 1 0 0 0 valor de An para n natural (obsérvese que A = I3 + T y que I3 permuta con T).
cosθ 11.- Calcula An con n natural, siendo A = senθ -1 n calcula A y también A siendo n entero. 12.- Halla el rango de las matrices siguientes: 1 0 0 1 2 −3 −4 1 1 0 0 3 1 5 a) b) 0 1 1 0 −1 0 −1 0 0 1 1 0 2 4 0 r −q d) −r 0 p q −p 0
a 0 b e) b a 0 0 b a
− senθ . Demuestra que A es invertible y cosθ
1 0 c) 2 3 a b f) 0 0
5 3 −2 2 2 0 −2 4 0 1 −1 7 1 3 0 0 b a 0 0 b a 0 0 b a 7 4
13.- En el conjunto M2(C) (matrices cuadradas de orden 2 con números complejos), se consideran 0 1 0 −i 1 0 las matrices: X= , Y= , Z= 1 0 i 0 0 −1 Calcula: a) YZ - ZY b) ZX - XZ c) XY - YX d) X2 + Y2 + Z2 14.- Se dice que una matriz A de Mn(R) es nilpotente de índice p si existe un natural p > 1 tal que Ap-1 ≠ 0 y Ap = 0. Demuestra que si A es nilpotente de índice p, entonces In-A es invertible y tiene como inversa la matriz In+A+A2+...+Ap-1. 15.-Las exportaciones (en cientos de toneladas) de agrios, trigo y abono de un país a las naciones A, B y C se han repetido en los años 1988 y 1989, viniendo expresadas por la matriz E, mientras que la matriz P refleja los precios los precios de cada producto en dichos años:
MATEMÁTICAS II
2º Bachillerato Matrices 3 (Problemas)
E:
Agrio Trigo Abonos
A B C 7 4 8 3 6 2 5 2 3
Ag. Tr. Ab. P: 1988
10
21
6
1989
9
23
8
Encuentra el valor de lo exportado a cada uno de los países en los dos años. 2 3 2 3 5 7 −1 16.- Sean las matrices A 6 8 y B = . Efectuar las siguientes operaciones: 1 −1 0 4 3 8 7
A ⋅ B ; ( −2 A) ⋅ (3B ) ; (A ⋅ AT ) ; B ⋅ B T ; ( A ⋅ B ) ⋅ ( A ⋅ B )T 2
17.- Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones?: a)
( A + B )2 =
a)
( A + B) ⋅ ( A − B) =
A2 + 2 AB + B 2 A2 − B 2
18.- ¿Es cierto que el producto de dos matrices no nulas es siempre una matriz no nula?. 19.- Sean A, B y C matrices no nulas tales que A ⋅ B = A ⋅ C , ¿podemos asegurar que B = C ? ¿Y si existe A−1 ? 20.- Encontrar las matrices X e Y que verifican los siguientes sistemas matriciales:
2 1 X + Y = 3 0 a) X − Y = 6 2 0 1
1 2 2 2 X + Y = −2 1 0 b) X − 3Y = −4 −3 −2 −1 0 1
3 8 3 X + Y = −3 2 c) X + Y = 1 8 0 1
21.- Encuentra todas las matrices de orden 2 que cumplan: a) A2 = A matriz A es simétrica.
b) A2 = O . Ídem si la
22.- Calcular An siendo: a 1 a) A = 0 a
b)
1 1 1 A = 0 1 1 0 0 1
cosα c) sen α
− sen α cosα
MATEMÁTICAS II
2º Bachillerato Matrices 4 (Problemas)
1 1 n n −1 23.- Demostrar que la matriz A = satisface la relación A = 2 A 1 1
24.- Si A es una matriz cuadrada de orden n, tal que A2 = A , e I es la matriz unidad de orden n, ¿qué matriz es B 2 , si B = 2 A − I ?. Calcula A p ⋅ B q ⋅ Ar siendo p, q y r entero positivos. 25.- Sea A una matriz cuadrada de orden n que verifica: A2 − A − I = 0 . Encuentra A−1 . 0 1 1 26.- Sea la matriz A = 1 0 1 , comprueba que A2 − A − 2 I = 0 . Teniendo en cuenta la 1 1 0 igualdad anterior, encuentra A
−1
1 0 −1 y resuelve la ecuación: A ⋅ X = 1 −1 0 0 0 1
0 3 4 27.- Dada la matriz A = 1 −4 −5 , se pide: −1 3 4
a) Comprobar que A verifica la siguiente igualdad: A3 + I = 0 . 1 2 −1 b) Justifica que A es invertible y encuentra A . Resuelve: X ⋅ A = 0 −1 0 −1 1 −2 −1
c) Calcula razonadamente A10 . d) Estudia cuántos resultados distintos tienen las potencia naturales An . 1 1 28.- Dada la matriz A = , encuentra todas las matrices que conmutan con ella. De todas la 1 2
encontradas, ¿cuál es A−1 ?. 1 −1 29.- Dada la matriz A = , encuentra la matriz B de forma que AB = A + I . 0 2 30.- Define matriz inversa. Supuesto que dada la matriz A existe A−1 , ¿es cierto que la inversa de
( )
2
( )
A2 es A−1 ?. ¿Y que A3
−1
( )
3
= A−1 ?. Justifica la respuesta.
31.- Sea A una matriz cuadrada, demostrar que A + AT es una matriz simétrica y que A − AT es una matriz antisimétrica. 32.- Sea A una matriz antisimétrica, demostrar que A2 y A4 son matrices simétricas y que A3 y A5 son matrices antisimétricas.
MATEMÁTICAS II
2º Bachillerato Matrices 5 (Problemas)
33.- Demostrar que si A es una matriz simétrica, An es una matriz simétrica ∀∈ n ∈ ℵ . 36.- Demostrar que el producto de una matriz arbitraria por su transpuesta es una matriz simétrica. cosα 37.- Comprobar que la matriz A = sen α
− sen α es ortogonal. cosα
38.- Demostrar que el producto de dos matrices ortogonales es otra matriz ortogonal. 39.- Define matriz transpuesta y matriz inversa de una matriz cuadrada. ¿Se puede deducir de estas T −1 dos definiciones que (AT ) = (A −1 ) ?. Probar que si A es una matriz simétrica, A−1 también lo es. −1 40.- Demostrar que si A y B tienen inversa, A ⋅ B también la tiene, siendo ( A ⋅ B) = B −1 ⋅ A−1 .
CUESTIONES PROPUESTAS EN SELECTIVIDAD a 0 , ¿qué relación deben guardar las constantes a y b para que se 1. Dada la matriz A = 1 b verifique la igualdad A2 = A ?. 2 − 1 , calcula a y b para que se verifique la igualdad: A2 = A 2. Siendo A = a b 1 y 1 x 5 ⋅ = 3. Determina x, y, z para que se verifique la igualdad: x z y z 0
0 5
1 0 x 4. Demostrar que para las matrices de la forma A = 0 1 0 , siendo x un número real, el producto 0 0 1 es conmutativo.
1 0 1 5. Dada A = 0 1 0 , encuentra An para n ∈ ℵ . 0 0 1
MATEMÁTICAS II
2º Bachillerato Matrices 6 (Problemas)
1 6. Si A = 1
0 , calcula A250 + A20 . 1
y 0 5 para que se verifique la ecuación matricial: Z 2 − Z + I = O , 7. Determina “y” en Z = 2 0 2 siendo I la matriz identidad y O la matriz nula de orden 2 × 2 . Expresa Z −1 en función de Z. 8. Si A es una matriz tal que A2 = A , determina λ ∈ ℜ y λ ≠ 0 que verifique: (λA − I ) = I 2
9. Sea A una matriz cuadrada que verifica A2 + 2 A + I = 0 . Demuestra que A es invertible.
8 3 0 2 10. Sea A = 3 − 1 6 Probar que ( A + I ) = O , siendo I la matriz identidad y O la matriz − 2 0 − 5 nula. Justifica que A es invertible y obtén su matriz inversa A−1 . Recordando que ( A + I )2 = O , expresa A2 y A−1 como combinación lineal de A e I.