Freie Universit¨ at Berlin

FB Mathematik und Informatik Numerische Mathematik/Scientific Computing

Mathematische Modellierung in der Klimaforschung Prof. Dr. Rupert Klein, Stefan Vater 1. Auflage: Wintersemester 2003/2004

Inhaltsverzeichnis

1 Die str¨ omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen 1.1 Reine Str¨omungsmechanik . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Massenerhaltung . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Zustandsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Der Einfluß der Gravitation . . . . . . . . . . . . 1.4 Der Einfluß der Erddrehung . . . . . . . . . . . . 1.5 Grundlagen aus der Thermodynamik . . . . . . . 1.6 Zusammenfassung der Gleichungen . . . . . . . . 1.6.1 Das System der Erhaltungss¨atze . . . . . . 1.6.2 Abgeleitete Gleichungsformen . . . . . . .

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1 1 1 3 4 5 7 9 12 15 15 16

2 Einf¨ uhrung in die Mehrskalenasymptotik 2.1 Der lineare Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exakte L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Dimensionslose Darstellung und (kleine) Parameter . . . . . 2.1.3 Regul¨are St¨orungsrechnung f¨ ur kleine Masse und D¨ampfung 2.1.4 Mehrskalenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

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19 19 19 26 34 40

3 Kennzahlen der geophysikalischen Str¨ omungsmechanik 3.1 Dimensionslose Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Die dimensionslosen Str¨omungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 48

4 Die 4.1 4.2 4.3

Hydrostatisch-Primitiven Gleichungen Asymptotische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druckkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearisierte Wellengleichungen und vertikale Modenentkopplung . . . .

51 51 56 59

5 Meteorologische Modellgleichungen 5.1 Herleitung der Quasi-geostrophischen Theorie . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Mehrskalenanalyse in der Meteorologie . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 69 85

A Mathematische S¨ atze und Notationen

86

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . .

i

Inhaltsverzeichnis B Meteorologische Erl¨ auterungen

88

C Erhaltungsgleichungen

89

ii

Symbolverzeichnis Frstab

barokline Froude-Zahl, Seite 47

Da

Damk¨ohler-Zahl, Seite 47

dϕ dt

=

∂ϕ ∂t

+ v · ∇ϕ

Individuelle Ableitung entlang von Teilchenbahnen

%

Dichte

ε

(kleiner) Entwicklungsparameter der Ein-/Mehrskalenasymptotik

1 2 3 ∇ · a = ∂a + ∂a , + ∂a Divergenz ∂x ∂y ∂z ´ ³ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Gradient ∇ϕ = ∂x , ∂y , ∂z

O(), O(), OS ()

Landausymbole, Seite 86

v = (u, v, w)T

Geschwindigkeit im IR3

v q = (u, v, 0)T

Horizontalanteil der Geschwindigkeit

U

Vektor im Zustandsraum (%, p, v q , w, . . .)

Fr

barotrope Froude-Zahl, Seite 48

M

Mach-Zahl, Seite 47

Pr

Prandtl-Zahl, Seite 47

Re

Reynolds-Zahl, Seite 47

Ro

Rossby-Zahl, Seite 47

Sr

Strouhal-Zahl, Seite 47

iii

Symbolverzeichnis

iv

1 Die str¨ omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen In diesem Kapitel sollen die str¨omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen hergeleitet werden. Dabei werden wir zuerst im Abschnitt 1.1 reine“ Str¨omungsmechanik betrei” ben. Das heißt, Effekte der Erdanziehung (Gravitation), Erddrehung (Corioliskraft) sowie die sogenannten diabatischen Effekte werden vernachl¨assigt. Unter diabatischen Effekten fassen wir all jene Prozesse zusammen, die mit externer Energiezufuhr durch Strahlung und mit Energieumwandlung aufgrund Kondensation, chemischen Reaktionen usw. verbunden sind. In 1.3 und 1.4 werden in weiteren Schritten Gravitation und Coriolis-Kraft in die Gleichungen integriert. Prinzipiell geht es bei der Herleitung der Erhaltungsgleichungen darum, daß sich Masse, Energie und Impuls in einem gegebenen Kontrollvolumen mit der Zeit nur durch einen Austausch mit benachbarten Kontrollvolumina u ¨ber die ihnen gemeinsamen Grenzfl¨achen ¨andern k¨onnen.

1.1 Reine Str¨ omungsmechanik 1.1.1 Massenerhaltung Bei der Bewegung von Masseteilchen bleibt deren Masse erhalten. Das Volumen, das die Teilchen einnehmen, kann sich jedoch a¨ndern. Die somit erfolgende Dichte¨anderung wird in dem Gesetz der Massenerhaltung ausgedr¨ uckt. Die Masse M eines festen Kontrollvolumen Ω zur Zeit t kann ausgedr¨ uckt werden als das Integral u ¨ber die Dichte: Z M (t) = %(t, x) dV (1.1) Ω

¨ Andererseits kann man sich die Anderung der Masse von Ω so vorstellen, daß in einem Zeitraum ∆t Masseteilchen mit der Geschwindigkeit v u ¨ber den Rand ∂Ω bewegen (Abb. 1.1). Die Masse¨anderung ∆M , die durch das Heraus- bzw. Hereinfließen der Masseteilchen u ¨ber ein Kontrollfl¨achenelement ∆σ des Randes von Ω hervorgerufen wird, ist dann gleich −% (∆t v) · n ∆σ. Hierbei ist n der nach außen gerichtete Normalenvektor und bewirkt durch die Skalarmultiplikation, daß nur die Komponente von (∆t v)

1

1 Die str¨omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen

∂Ω ∆t v

Ω ∆σ

Ω

n

∆t (v · n)

v n

¨ Abbildung 1.1: Anderung der Masse eines Volumens mit der Zeit senkrecht zu ∆σ in die Berechnung eingeht. Durch Integration u ¨ber den gesamten Rand ∂Ω und Grenz¨ ubergang ∆t → 0 folgt hieraus dM =− dt

Z

∂Ω

(%v) · n dσ

.

(1.2)

Dies ist die allgemeine integrale Form der Massenerhaltung f¨ ur ein beliebiges festes Kontrollvolumen Ω. Wenden wir nun den Gauß’schen Integralsatz (siehe Anhang A) auch f¨ ur Gleichung (1.1), so folgt an und betrachten dM dt Z

d − ∇ · (%v) dV = dt Ω

Z

% dV = Ω

Z

%t dV

,

(1.3)

Ω

vorausgesetzt, das Kontrollvolumen ist – wie angenommen – zeitunabh¨angig, und die Ableitungen ∇ · (%v) und %t sind integrierbar. Wir erhalten die differentielle Form der Massenerhaltung %t + ∇ · (%v) = 0

,

(1.4)

wenn wir verlangen, daß die vorangegangenen integralen Formen (1.1) und (1.2) f¨ ur be¨ liebige Ω gelten. Man beachte, daß der Ubergang zur differentiellen Form grunds¨atzlich eine Einschr¨ankung bedeutet wenn man verlangt, daß ∇ · (%v) und %t wirklich im gesamten Str¨omungsgebiet existieren. Meist faßt man allerdings (1.4) als eine verk¨ urzte Schreibweise von (1.3) auf. Dies impliziert, daß u ¨berall dort, wo ∇ · (%v) und %t singul¨ar werden, trotzdem ihre Integrale sinnvoll definiert bleiben (s. Erl¨auterungen zu schwachen L¨osungen von Erhaltungss¨atzen z.B. in LeVeque [1990] und Kr¨oner [1997], Maßtheoretischer Zugang zu Erhaltungss¨atzen: Temam und Miranville [2000]).

2

1.1 Reine Str¨omungsmechanik

1.1.2 Energieerhaltung Die Gleichung der Energieerhaltung l¨aßt sich analog zur Massenerhaltung herleiten. Allerdings kann hier nicht nur Energie durch Teilchenbewegung ausgetauscht werden, sondern die Energie des Kontrollvolumens ¨andert sich auch durch Kompression bzw. Expansion, durch Scherkr¨afte und durch W¨armeleitung (Gravitations- und Corioliskr¨afte werden erst in den n¨achsten Abschnitten betrachtet). Allgemein ¨andert sich also die Energie, wenn am System Arbeit verrichtet wird. Betrachten wir wieder ein Kontrollvolumen Ω, so kann dessen Energiegehalt E durch das Integral u ¨ber die (gesamte) Energie pro Masseneinheit e multipliziert mit der Dichte % ausgedr¨ uckt werden: Z E(t) = %e(t, x) dV . Ω

Durch die Teilchenbewegung wird Energie mit der Geschwindigkeit v transportiert. Die ¨ ¨ zeitliche Anderung des Energiegehaltes von Ω, die durch den Ubertritt von Teilchen u ¨ber dessen Rand hervorgerufen wird, ist dann Z Z − (%e v) · n dσ = − ∇ · (%e v) dV , (1.5) ∂Ω

Ω

wobei letztere Form durch Anwendung des Gauß’schen Integralsatzes folgt. Bei der isolierten Betrachtung des Energieaustauschs durch Arbeitsleistung am Kontrollvolumen m¨ ussen wir das Oberfl¨achenintegral u ¨ber die Arbeit W , die pro Zeit- und Fl¨acheneinheit verrichtet wird, berechnen. Arbeit pro Zeit dr¨ uckt sich in der Leistung aus; wir erhalten ein Produkt aus Kraft und Geschwindigkeit. Betrachten wir nur die reine Kompressions- bzw. Expansionsarbeit, die durch die Druckkr¨afte geleistet wird, so ist f¨ ur ein Fl¨achenelement ∆σ die Druckkraft gerade −pN n ∆σ, wobei pN der Normaldruck ist. Also ist die verrichtete Leistung der Druckkr¨afte pro Fl¨acheneinheit gleich (−pN n) · v. Integration und Gauß’scher Integralsatz liefern in diesem vereinfachten Fall Z Z Z dW dσ = (−pN n) · v dσ = − ∇ · (pN v) dV . (1.6) ∂Ω dt ∂Ω Ω Setzt man die beiden obigen Effekte zusammen, so erhalten wir den reibungs- und w¨armeleitungsfreien Fall mit der folgenden Erhaltungsgleichung (%e)t + ∇ · (%e v) + ∇ · (pv) = 0 . Molekulare Transportvorg¨ange ¨außern sich in Form von Scherkr¨aften, W¨armeleitung und Massendiffusion. Die Scherkr¨afte leisten ebenfalls Arbeit am Kontrollvolumen. Scherkr¨afte lassen sich u ucken. Aus dem Spannungs¨ber den Spannungstensor ~~τ ausdr¨ tensor berechnet sich die Scherkraft pro Fl¨acheneinheit durch Multiplikation mit dem negativen Normalenvektor n. Der resultierende Spannungsvektor ist also t(n) = −~~τ n.

3

1 Die str¨omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen Um wieder die Leistung pro Fl¨acheneinheit zu erhalten, muß diese Kraft mit der Geschwindigkeit v der Teilchen skalar multipliziert werden. Durch analoges Vorgehen erhalten wir f¨ ur die isolierten Effekte der Scherkr¨afte Z Z ~ (−~τ n) · v dσ = − ∇ · (~~τ v) dV . (1.7) ∂Ω

Ω

Durch W¨armeleitung mit Energiestromdichte ~ kann sich der Energiegehalt des Kontrollvolumens schließlich auch ver¨andern. Wir erhalten dann einen Beitrag zur Energiebilanz der Form Z Z −

∂Ω

~ · n dσ = −

Ω

∇ ·~ dV

.

(1.8)

Setzt man nun alle Effekte aus den Gleichungen (1.5), (1.6), (1.7) und (1.8) zusammen, so ergibt sich wie bei der Massenerhaltung folgende differentielle Gleichung der Energieerhaltung: (%e)t + ∇ · (v [%e + p] + ~ + ~~τ v) = 0

(1.9)

1.1.3 Impulserhaltung Der Impuls I einer Masse m ist definiert als Produkt aus m und deren Geschwindigkeit ¨ v. Aus Newton’s zweiten Bewegungsgesetz wissen wir, daß die zeitliche Anderung des Impulses gleich der resultierenden Kraft auf die Masse ist [Jay Orear: Physik]. Wir erhalten also dI d(mv) = =F , dt dt wobei hier die Masse m zeitlich konstant ist. F¨ ur ein Kontinuum, wie wir es in der Str¨omungsmechanik betrachten, berechnet sich der Impuls eines Kontrollvolumens Ω durch das Integral u ¨ber die Impulsdichte %v (Impuls pro Volumeneinheit). Wir erhalten Z I(t) = %v(t, x) dV . Ω

Der einfachste Beitrag zur Impuls¨anderung eines festen Kontrollvolumens ist wieder derjenige, der durch Massenfluß hervorgerufen wird (Impulsadvektion). Dazu wird der Impuls pro Einheitsvolumenelement tensoriell mit der Geschwindigkeit multipliziert und hiervon der Anteil in Normalenrichtung zur Oberfl¨ache von Ω betrachtet. Auch hier wenden wir den Gauß’schen Integralsatz an und erhalten Z Z dI =− (%v ◦ v) · n dσ = − ∇ · (%v ◦ v) dV . (1.10) dt ∂Ω Ω 4

1.2 Zustandsgleichungen Wie bei der Energieerhaltung k¨onnen auch Normal- und Scherkr¨afte, die auf Ω wirken, den Impuls des Kontrollvolumens ver¨andern. −pN n = −n · (~~1 pN ) ist die Kraft pro Fl¨acheneinheit, die durch den Druckgradienten in Normalenrichtung ausge¨ ubt wird. Es ¨ gilt n¨amlich f¨ ur Anderungen in x-Richtung (Bild!) µ ¶ Druckgradient [−p(x0 + ∆x) + p(x0 )]∆y∆z ∂p (x0 ) + O(∆x) = =− V olumeneinheit ∆x∆y∆z ∂x f¨ ur ∆x → 0. Der Spannungstensor ~~τ beinhaltet dagegen die molekularen Reibungskr¨afte. Bei Betrachtung des Anteils in Normalenrichtung und Anwendung des Integralsatzes erhalten wir wieder einen Divergenzausdruck: Z Z Z ~ ~~τ · n dσ = − ∇ · (~~1 pN + ~~τ ) dV − (~1 pN ) · n dσ − (1.11) ∂Ω

∂Ω

Ω

Letztlich erhalten wir durch Kombination von (1.10) und (1.11) die Gleichung der Impulserhaltung im ruhenden System (%v)t + ∇ · (%v ◦ v + ~~1 p + ~~τ ) = 0 Bemerkung: Die Divergenz von ~~1 p l¨aßt sich  ¶ µ 1 0 ∂ ∂ ∂ ~ ~  0 1 , , · ∇ · (1 p) = ∂x ∂y ∂z 0 0

(1.12)

auch als Druckgradient schreiben:  µ ¶ 0 ∂p ∂p ∂p  0 p= , , = ∇p ∂x ∂y ∂z 1

1.2 Zustandsgleichungen Es stellt sich nun die Frage, ob der gewonnene Satz von Gleichungen bestehend aus der Massenerhaltung (1.4), der Energieerhaltung (1.9) und der Impulserhaltung (1.12) ein geschlossenes Gleichungssystem darstellt. Dazu betrachten wir s¨amtliche bis zu diesem Punkt als Unbekannte aufzufassende Gr¨oßen in den Gleichungen. Die Gleichungen beschreiben den Zeitfortschritt der Gr¨oßen %, v und e, die deshalb als prognostische Variablen bezeichnet werden. Um zu einem geschlossenen Gleichungssystem zu gelangen, sind die u ¨brigen Gr¨oßen p, ~~τ und ~ in Beziehung zu diesen Variablen zu setzen. Handelt es sich hierbei um orts- und zeitunabh¨angige funktionale Zusammenh¨ange, dann heißen p, ~~τ und ~ diagnostische Variablen, und die sie beschreibenden Gleichungen heißen Zustandsgleichungen. Die Zustandsgleichung eines idealen Gases aus ideal elastischen Kugelatomen, deren Durchmesser groß ist gegen¨ uber dem mittleren Abstand zwischen den Atomen, lautet p = %RT

,

(1.13)

5

1 Die str¨omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen wobei R = R∗ /M die auf die Molmasse M bezogene allgemeine Gaskonstante R∗ = 8.3141 J mol−1 K−1 und T die Temperatur ist. Außerdem gilt f¨ ur die spezifische innere oder thermische Energie Z T cv (T 0 ) dT 0 eth = T0

wobei o.B.d.A. T0 = 0 gesetzt werden kann. In der Meteorologie kann im allgemeinen angenommen werden, daß die W¨armekapazit¨aten atmosph¨arischer Gase nahezu temperaturunabh¨angig sind. Ver¨andert sich allerdings die chemische Zusammensetzung der Gase, so wird die effektive spezifische W¨armekapazit¨at des Gemischs von den Stoffkonzentrationen y = (y1 , y2 , . . . , yn ) der beteiligten Gase abh¨angen. Es gilt also f¨ ur die spezifische W¨armekapazit¨at bei konstantem Volumen cv = cv (y) und f¨ ur die weiter unten benutzte spezifische W¨armekapazit¨at bei konstantem Druck cp = cp (y). (Verweis auf sp¨atere Kapitel. . . ) Unter diesen vereinfachenden Annahmen gilt f¨ ur die spezifische Gesamtenergie 1 e = eth + ekin = cv T + v 2 2

,

wobei ekin die spezifische kinetische Energie ist, und die Gesamtenergie pro Volumen ist dann 1 %e = % cv T + %v 2 . 2 Wegen dem idealen Gasgesetz (1.13) folgt die Zustandsgleichung %e =

p 1 cv p 1 2 + %v = + %v 2 R 2 γ−1 2

,

(1.14)

da R = cp − cv und der Isentropenexponent γ = ccvp der Quotient aus den spezifischen W¨armekapazit¨aten bei konstantem Druck und bei konstantem Volumen ist. γ ist somit ebenfalls nur von den Stoffkonzentrationen abh¨angig und wir k¨onnen p als Funktion von %, v und e ausdr¨ ucken. F¨ ur die Luft der Atmosph¨are kann γ = 1.4 = const. angenommen werden. Der Spannungstensor ~~τ l¨aßt sich darstellen durch ~~τ = −µ(∇v + (∇v)T − µ ˆ(∇ · v)~~1) ,

(1.15)

wobei µ, die dynamische Viskosit¨at, und µ ˆ Stoffgr¨oßen sind. F¨ ur Luft gilt hierbei µ = 2 −5 −1 −1 1.7 × 10 kg m s [Gill 1982] und f¨ ur µ ˆ kann oftmals µ ˆ = 3 angenommen werden.

Die thermische Energiestromdichte schließlich, die definiert ist als die W¨arme, die pro Zeiteinheit u ¨ber eine Referenzfl¨ache transportiert wird, ist proportional zum Temperaturgradienten und l¨aßt sich ausdr¨ ucken durch ~ = −λ · ∇T

6

.

(1.16)

1.3 Der Einfluß der Gravitation Dabei ist λ die sogenannte thermische Leitf¨ahigkeit, die vom Medium abh¨angig ist (Wasser hat z.B. λH2 O = 0.6 Wm−1 K−1 und Luft hat λair = 0.023 Wm−1 K−1 [Gill 1982]). Mit Hilfe von (1.13) und (1.14) k¨onnen wir T und somit auch ~ in einen funktionellen Zusammenhang mit %, v und e stellen. Es ist uns also gelungen, mit Hilfe der genannten Zustandsgleichungen die Beziehungen zwischen den prognostischen und diagnostischen Variablen zu erkl¨aren und damit ein geschlossenes Gleichungssystem zu erhalten.

1.3 Der Einfluß der Gravitation Bei den bisherigen Betrachtungen wurden die Effekte, die durch die Erdanziehungskraft hervorgerufen werden, nicht ber¨ ucksichtigt. Die durch die Gravitation hervorgerufene Impuls¨anderung ist entgegen dem senkrecht zur Erdoberfl¨ache stehenden Koordinatenvektor k gerichtet und proportional zur Dichte % eines Massenelementes. Der Proportionalit¨atsfaktor wird in der Gravitationsbeschleunigung g ≈ 9.8

m s2

ausgedr¨ uckt, die in den meisten F¨allen als Konstante angesehen werden kann. Wegen der Gestalt der Erde variiert g aber auf Meererspiegelh¨ohe um bis zu ±0.3 Prozent in Nord-S¨ ud-Richtung und um 0.3 Prozent bei einer H¨ohen¨anderung von 10 km [Gill 1982]. Somit erhalten wir f¨ ur die rechte Seite von (1.12) einen Quellterm f¨ ur den Impuls: (%v)t + ∇ · (%v ◦ v + ~~1 p + ~~τ ) = −% g k

(1.17)

In der Gleichung der Energieerhaltung (1.9) kommt die Leistung, die die Umgebung an einem Volumenelement (hervorgerufen durch die Gravitation) verrichtet, ebenfalls in Form eines Quelltermes hinzu: Leistung −v · (% ∆x∆y∆z g k) = = −v · (% g k) . V olumeneinheit ∆x∆y∆z Es ergibt sich (%e)t + ∇ · (v [%e + p] + ~ + ~~τ · v) = −% g (k · v) .

(1.18)

Die Gleichungen (1.17) und (1.18) scheinen zun¨achst zu suggerieren, daß der Impuls und die Energie nunmehr nicht erhalten bleiben, denn die Gleichungen sind nicht in Erhaltungsform gem¨aß unserer Definition von Seite [. . . ]. Das Problem wird gel¨ost, wenn man die potentielle Energie im Schwerefeld der Erde mit Energiedichte %Φ betrachtet. Hierbei ergibt sich das sogenannte Geopotential Φ,

7

1 Die str¨omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen f¨ ur den Fall, daß g und k konstant sind, aus Φ = g z, wobei z die H¨ohe u ¨ber Normalnull bezeichnet. Der Gradient des Geopotentials l¨aßt sich dann schreiben als ∇Φ = g k . Betrachten wir nun den Gravitationsterm aus der Gleichung der Energieerhaltung (1.18), so k¨onnen wir ihn unter Benutzung der Produktregel umformen zu −% g k · v = −% v · ∇Φ = −∇ · (%Φv) + Φ∇ · (%v) . ≡ 0 und unter Einbeziehung Bei Betrachtung eines zeitunabh¨angigen Φ, das heißt ∂Φ ∂t der Gleichung der Massenerhaltung (1.4) erhalten wir weiter −% g k · v = −∇ · (%Φv) − Φ

∂% = −∇ · (%Φv) − (%Φ)t ∂t

.

Damit k¨onnen wir auch die Energiegleichung mit Gavitationskraft in Erhaltungsform schreiben (%e + %Φ)t + ∇ · (v [%e + %Φ + p] + ~ + ~~τ · v) = 0

.

F¨ ur den oben zitierten einfachen Fall, daß wir Str¨omungen in einer Tangentialebene betrachten, mit g, k ≡ const., k¨onnen wir auch die Impulsgleichung in Erhaltungsform u uhren. Durch Einf¨ uhrung des sogenannten hydrostatischen Druckes Phy mit ¨berf¨ Phy (z) = g

Z

∞

%(t) dt

und

z

∂Phy = −g % ∂z

l¨aßt sich die rechte Seite der Impulsgleichung umschreiben zu

−% g k = (0, 0, −% g) =

µ

0, 0,

∂Phy ∂z

¶



 0 0 0 ~~ = ∇ ·  0 0 0  =: −∇ · Π hy 0 0 Phy

.

Wir erhalten die Impulsgleichung in Erhaltungsform

~~ (%v)t + ∇ · (%v ◦ v + ~~1 p + ~~τ + Π hy ) = 0

8

.

(1.19)

1.4 Der Einfluß der Erddrehung

1.4 Der Einfluß der Erddrehung Bisher hatten wir den Ansatz eines nicht beschleunigten Koordinatensystems gew¨ahlt und den Einfluß der Erddrehung vernachl¨assigt. Wenn man allerdings die Dynamik der Atmosph¨are untersucht, muß in Betracht gezogen werden, daß jedes Teilchen der Atmosph¨are zus¨atzlich zu seiner relativen Geschwindigkeit zur Erdoberfl¨ache mit der planetaren Winkelgeschwindigkeit Ω um die Erdrotationsachse rotiert. Physikalische Ph¨anomene sind unabh¨angig von der Wahl des benutzten Koordinatensystems (Zitat. . . ); wir m¨ ussen allerdings in Kauf nehmen, daß ihre Beschreibung von der Wahl des Betrachters (und damit des gew¨ahlten Koordinatensystems) abh¨angt. Betrachtet man zum Beispiel einen festen Punkt auf der Erde, so hat ein Betrachter außerhalb des rotierenden Systems den Eindruck, daß dieser Punkt wegen der Kr¨ ummung der Trajektorie, auf er sich bewegt, st¨andig beschleunigt wird (und zwar in Richtung des Mittelpunktes seiner Kreisbahn. Ein Betrachter auf der Erde w¨ urde dagegen keine zeitliche Lage¨anderung des Punktes bemerken. Wir betrachten nun einen festen Punkt auf der Erde mit Ortsvektor X b = X b (t), wobei das verwendete Koordinatensystem seinen Ursprung im Erdmittelpunkt habe und fest f¨ ur einen a¨ußeren nicht beschleunigten Betrachter sei. Wegen der Erdrotation rotiert X b mit der Winkelgeschwindigkeit Ω. In einem kleinen Zeitraum ∆t wird dann X b um den Winkel ∆θ = |Ω|∆t gedreht, wobei |Ω| der Betrag von Ω sei (Abbildung 1.2, ¨ siehe auch Pedlosky [1987]). Somit ist eine kleine Anderung von X b gegeben durch ¡ ¢ X b (t + ∆t) − X b (t) ≡ ∆X b = n |X b | sin(^(Ω, X b )) ∆θ + O (∆θ)2

¨ mit dem Einheitsvektor n in Richtung der Anderung von X b (senkrecht zu X b und Ω). Es ist also Ω × Xb , n= |Ω × X b | wobei Ω × X b das Vektorprodukt von Ω und X b darstellt (s. Anhang oder so).

Durch Betrachtung des Grenzwertes ∆t → 0 folgt ∆X b dX b dθ Ω × X b lim = = |X b | sin(^(Ω, X b )) ∆t→0 ∆t dt dt |Ω × X b | und wegen |Ω × X b | = |Ω| |X b | sin(^(Ω, X b )) X˙ b = Ω × X b

,

.

¨ Beide Beobachter sehen den gleichen Vektor X b , die Wahrnehmung der Anderung des Vektors ist allerdings grundlegend verschieden. Bemerkung: Trotz allem ist unabh¨angig vom verwendeten Koordinatensystem der Betrag von X b zeitlich konstant. Es gilt n¨amlich wegen X b ⊥(Ω × X b ) d|X b |2 dX b = 2 Xb · = 2 X b · (Ω × X b ) = 0 dt dt

.

9

1 Die str¨omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen

Ω

∆X b

∆Θ X b (t + ∆t)

X b (t)

|X b | sin(^(Ω, X b ))

^(Ω, X b )

Abbildung 1.2: X b zu den Zeiten t und t + ∆t Zur Beschreibung des zeitabh¨angigen Vektors X b (t) im nichtrotierenden Koordinatensystem wird X b (t) nun aufgeteilt in einen Vektor, der den Abstand des Breitenkreises ¨ zur Aquatorebene, auf dem sich X b (t) bewegt, beschreibt und zwei Vektoren, durch die die Lage auf diesem Breitenkreis festgelegt wird. Sei eΩ der Einheitsvektor in Richtung des Erdrotationsvektors Ω, dann ist der den Breitenkreis beschreibende Vektor gleich cos[^(Ω, X b (0))] |X b (0)|eΩ = (eΩ · X b (0))eΩ

.

Die Lage von X b (t) auf dem Breitenkreis soll durch die Linearkombination des Abstandsvektors von X b (0) zur Rotationsachse und dem dazu senkrecht stehenden Vektor bestimmt werden. Der Abstandsvektor l¨aßt sich ermitteln durch X b (0) − (eΩ · X b (0))eΩ = (~~1 − eΩ ◦ eΩ )X b (0) . Der dazu senkrecht stehende Vektor gleicher L¨ange ist (wegen eΩ × eΩ = 0) [X b (0) − (eΩ · X b (0))eΩ ] × eΩ = X b (0) × eΩ

.

Somit ergibt sich insgesamt X b (t) = (eΩ · X b (0))eΩ +cos(|Ω|t)(~~1−eΩ ◦eΩ )X b (0)+sin(|Ω|t)(X b (0)×eΩ ) . (1.20) Mit Hilfe der Berechnungen im Anhang C k¨onnen wir nun unsere Erhaltungsgleichungen transformieren, wobei wir auch hier zwischenzeitlich vom IR 3 in ein Kartesisches Koordinatensystem Z = IR × IR × IR u ¨bergehen (oder sollte man das hier dann eher

10

1.4 Der Einfluß der Erddrehung in der vorigen Schreibweise tun???). Als erstes betrachten wir dabei die Massenbilanz, die im Inertialsystem die Gestalt %t + ∇ · (%v) = 0 besitzt. Die zeitliche Ableitung der Dichte % transformiert sich gem¨aß (C.2) zu ∂ %˜ ∂%(x, t) ˜ %) T ˜ T Ω(∇˜ = +x ∂t ∂ t˜ und der Divergenzterm analog (C.4) zu ¡ ¢ ∇ · (%v) = ∇ · %[v rel + Ω x] = (∇%)v rel + (∇%)(Ω x) + %∇ · v rel + %∇ · (Ω x) ˜ %)(Ω x ˜ ·v ˜ %)˜ ˜ ) + %˜∇ ˜ rel = (∇˜ v rel + (∇˜ ˜ %)T gilt ˜ T Ω(∇˜ F¨ ur den Skalar x

³ ´T ˜ %) T = x ˜ %) T ˜ %)ΩT x ˜ T Ω(∇˜ ˜ T Ω(∇˜ ˜ x = (∇˜

˜ gilt dann f¨ und da Ω schiefsymmetrisch ist (d.h. ΩT = −Ω = −Ω), ur die gesamte Gleichung der Massenerhaltung ³ ´ ∂ %˜ rel rel ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ + (∇˜ ˜ + (∇˜ %)Ω x %)(−Ω)˜ x %t + ∇ · (%v) = + (∇˜ %)˜ v + %˜∇ · v ∂ t˜ ∂ %˜ ˜ ˜ rel ) , = + ∇ · (˜ %v ∂ t˜ wobei im letzten Schritt die Produktregel angewandt wurde. Damit ist die Gleichung der Massenerhaltung invariant unter Koordinatentransformationen und wir behalten die urspr¨ ungliche Form der Gleichung. Bei der Betrachtung der Impulsbilanz ¤T £ (%v)t + ∇ · (% v v T ) + ∇p = −%∇Φ − ∇ · τ

betrachten wir ebenfalls die einzelnen Terme der Gleichung. Da sich unter Koordinatentransformation nur die ersten beiden Terme ¨andern, brauchen wir die restlichen vorerst nicht weiter zu betrachten. F¨ ur die ersten beiden Terme wenden wir wieder die Produktregel an und erhalten £

(%v)t = %t v + % v t und ¤T ∇ · (%v v T ) = (∇ · (%v))v + %(v T ∇T )v

.

Wegen der Gleichung der Massenbilanz gilt weiter ¢ ¤T £ ¡ = (%t + ∇ · (%v)) v + % ¡v t + (v T ∇T )v ¢ (%v)t + ∇ · (%v v T ) = 0 + % v t + (v T ∇T )v

,

11

1 Die str¨omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen und die Transformation der Terme in das rotierende Koordinatensystem (Rechnung siehe Anhang C) ergibt f¨ ur die Impulserhaltungsgleichung ¶ µ rel ˜ ∂v rel T T rel rel ˜ = −%∇Φ ˜ −∇ ˜ · τ˜ . ˜ ) + Ω(Ω x) + ∇p v + 2 (Ω v + ((˜ v ) ∇ )˜ % ∂t ˜ rel ) die Coriolis-Beschleunigung und wird Physikalisch repr¨asentiert der Term 2 (Ω v deshalb einfach als Coriolis-Term bezeichnet. Der Term Ω(Ω x) dr¨ uckt dir Zentripetalbeschleunigung aus und wird oft mit der Erdbeschleunigung zusammengezogen. Betrachtet man hierbei die Gr¨oßenordnung der Zentripetalkraft, so ist diese (10−4 s−1 )2 · 6 · 106 m ≈ 10−2

m s2

.

Dagegen ist die Erdbeschleunigung von der Ordnung g ≈ 10 m s−2 . Somit kann die Zentripetalbeschleunigung in vielen Anwendungen vernachl¨assigt werden. Ebenso wie die Massenerhaltung ver¨andert sich auch die Gleichung der Energieerhaltung bei der Einf¨ uhrung eines rotierenden Koordinatensystems nicht.

1.5 Grundlagen aus der Thermodynamik Wenden wir uns noch einmal dem Prinzip der Energieerhaltung zu und betrachten hierzu ein ortsfestes Kontrollvolumen, das keinen Teilchenaustausch mit der Umgebung hat, dann gilt f¨ ur die Integralform der Energiegleichung (1.18) Z Z dE = − ∇ · (p v + ~ + ~~τ · v) dV − % g (k · v) dV . (1.21) dt Ω Ω Wir setzen nun ein nahezu ruhendes Gas (das heißt, die kinetische und potentielle Energie der Teilchen ¨andert sich nicht und es gilt |v| → 0) und konstanten Druck voraus. Dann reduziert sich Gleichung (1.21) zu Z Z dE ~ · n dσ . = −p v · n dσ + dt ∂Ω ∂Ω

R Den Term ∂Ω v · n dσ k¨onnen wir hierbei als Volumen¨anderung interpretieren und R ~ · n dσ als die dem Kontrollvolumen zugef¨ uhrte W¨armemenge δQ. Integrieren wir ∂Ω schließ lich noch in der Zeit, so erhalten wir den Ersten Hauptsatz der Thermodynamik in seiner gewohnten Form: dE = −p dV + δQ . (1.22)

Hierbei bezeichnet nun E allein die innere Energie, da kinetische Energie wegen der ¨ Voraussetzung |v| → 0 nicht existiert. Eine Anderung der inneren Energie ist also gleich der Summe aus zugef¨ uhrter W¨arme und am System geleisteter Arbeit.

12

1.5 Grundlagen aus der Thermodynamik Bemerkung: In (1.22) stellt der Operator d ein Differential dar, w¨ahrend das δ nur eine kleine Quantit¨at beschreibt. Letzteres muss damit nicht den Regeln der Differenti¨ alrechnung gen¨ ugen. Dass die Anderung der inneren Energie mit dE bezeichnet werden kann, beruht auf der Tatsache, dass E eine Zustandsfunktion f¨ ur ideale Gase ist [Etling 2002]. Nach der Produktregel gilt f¨ ur den ersten Term auf der rechten Seite von (1.22) p dV = d(p V ) − V dp. Damit k¨onnen wir den Ersten Hauptsatz auch umschreiben zu dH := d(E + p V ) = V dp + δQ . Hierbei ist H die sogenannte Enthalpie, die die Dimension einer Energie besitzt. In den obigen Dartstellungen des Ersten Hauptsatzes sind die vorkommenden Gr¨oß en noch auf die Masse des Kontrollvolumens bezogen. Will man jedoch die Gr¨oß en auf die Einheitsmasse (1 kg) beziehen und bezeichnet die massenspezifischen Werte mit kleinen Buchstaben, so schreibt sich der Erste Hauptsatz in der Form de = −pdv + δq

bzw. dh = v dp + δq

mit der spezifischen inneren Energie e = E/M und der spezifischen Enthalpie h = e + pv. Wir wollen nun die Einheitsmasse eines beliebigen idealen Gases betrachten. Den Zustand dieses Gases k¨onnen wir durch die Zustandsvariablen p, v und T beschrei¨ ben. Jeder Ubergang von einem Zustand zu einem anderen wird dann durch eine ¨ ¨ Anderung in den Zustandsvariablen hervorgrufen. Diese Anderung wird auch als Zustands¨anderung oder Prozeß bezeichnet. Halten wir eine der drei Zustandsvariablen fest, so nennen wir die Zustands¨anderung isobar (p = const.), isochor (v = const.) oder isotherm (T = const.). In der Meteorologie hat sich auß erdem noch eine solche Zustands¨anderung als wichtig herausgestellt, bei der keine Energie in Form von W¨arme mit der Umgebung ausgetauscht wird (das heiß t δq = 0). Solche Zustands¨anderungen werden als adiabatisch bezeichnet. F¨ ur den Ersten Hauptsatz erhalten wir in diesem Fall de = −p dv bzw. dh = v dp . Genauso, wie wir im Abschnitt 1.2 festgestellt haben, dass die spezifische innere Energie nur eine Funktion der Temperatur ist (e = cv T ), kann man auch f¨ ur die spezifische Enthalpie die Relation h = cp T zeigen [Etling 2002]. Damit erhalten wir aus obiger Gleichung cv dT = −p dv bzw. (1.23) cp dT = v dp . Unter Anwendung der Zustandsgleichung (1.13) k¨onnen wir nun (1.23)2 zu cp dT =

RT dp oder p

dT R dp = T cp p

13

1 Die str¨omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen umschreiben, wobei v = %−1 ist. Weiter folgt wegen R/cp = (γ − 1)/γ (siehe Abschnitt 1.2) γ−1 d(ln p) d(ln T ) = γ und durch Integration von den festen Punkten p0 und T0 = T (p0 ) bis zu beliebigen p und T = T (p) ergibt sich ln

µ

T T0

¶

γ−1 = ln γ

µ

p p0

¶

.

Durch Entlogarithmisieren erhalten wir die Zustandsgleichung f¨ ur adiabatische Zustands¨anderungen µ ¶ γ−1 T0 p0 γ = . (1.24) T p Druck und Temperatur stehen hierbei in einem direkten Zusammenhang. Gleichung (1.24) wird als Poissonsche Gleichung bezeichnet, die auch in der Form p

1−γ γ

T = const.

als sogenannte Adiabatengleichung geschrieben werden kann. Nun k¨onnen wir den wichtigen Begriff der potentiellen Temperatur Θ einf¨ uhren. Diese wird als die Temperatur bezeichnet, die ein (trockenes) Luftpaket annehmen w¨ urde, wenn es von einem beliebigen Niveau z adiabatisch und reversibel (kein Austausch von W¨arme oder Masse mit der Umgebung) auf den Referenzdruck p0 = 1000 hPa gebracht w¨ urde. Aus der Poissonrelation (1.24) erh¨alt man sofort

Θ := T0 =

³ ´γ−1 γ p0 p

T

.

(1.25)

Man nutzt dieses Temperaturmaß, um Luftpakete unterschiedlicher H¨ohenniveaus hinsichtlich ihres W¨armegehaltes miteinander vergleichen zu k¨onnen. Dieser Vergleich wird z.B. wichtig, wenn es darum geht, Informationen u ¨ber die Schichtungsstabilit¨at der Atmosph¨are zu bekommen. Nimmt die potentielle Temperatur mit der H¨ohe zu, gilt also ∂Θ > 0, so ist die Atmosph¨are stabil geschichtet und vertikale Austauschvorg¨ange sind ∂z nur auf die untersten Atmosph¨arenschichten innerhalb der Troposph¨are beschr¨ankt. Vertikale Abnahme der potentiellen Temperatur ∂Θ < 0 ist eindeutiges Zeichen f¨ ur ∂z eine labil geschichtete Atmosph¨are in der hochreichender vertikaler Austausch von Impuls, W¨arme und Feuchte durch Vertikalbewegungen stattfinden kann. Im Fall von ∂Θ = 0 spricht man von einer indifferent oder neutral geschichteten Atmosph¨are. ∂z

14

1.6 Zusammenfassung der Gleichungen Im Falle einer stabil geschichteten Atmosph¨are f¨ uhren wir nun noch ein Maß f¨ ur die Stabilit¨at ein. Die Brunt-V¨ais¨al¨a-Frequenz N ist definiert durch N2 =

g ∂Θ Θ ∂z

.

Die Stabilit¨at der Atmosph¨are ist groß wenn N groß ist. Ist die Atmosph¨are labil geschichtet und somit ∂Θ negativ, dann wird N eine komplexe Zahl. ∂z

1.6 Zusammenfassung der Gleichungen 1.6.1 Das System der Erhaltungss¨ atze Zur Herleitung des endg¨ ultigen Gleichungssystems, auf das in den sp¨ateren Kapiteln aufgebaut wird, soll nun noch die Impulserhaltungsgleichung %v t + (%v · ∇)v + 2(Ω × %v) + ∇p = −%gk − ∇ · ~~τ so umgeformt werden, daß sie die Evolution von (%v) beschreibt. Hierbei wird von nun an die Zentripetalkraft vernachl¨assigt. Durch Anwendung der Produktregel und Einsetzen der Massenerhaltung erhalten wir %v t = (%v)t − %t v = (%v)t + (∇ · %v)v und somit wegen der Identit¨at (A.9) (%v)t + ∇ · (%v ◦ v) + 2(Ω × %v) + ∇p = −%gk − ∇ · ~~τ

.

Diese Gleichung wollen wir nun noch in einen horizontalen und einen vertikalen Anteil aufspalten. Man beachte hierbei, daß gilt: ∇ · (%v ◦ v) = = = =

(∇ · %v)v + (%v · ∇)v [(∇ · %v) + %v · ∇]v q + [(∇ · %v) + %v · ∇]wk ∇ · (%v ◦ v q ) + ∇ · (%v ◦ wk) ∇ · (%v ◦ v q ) + ∇ · (%vw)k .

Damit erhalten wir insgesamt das Gleichungssystem %t (%v q )t (%w)t (%e + %Φ)t

+ + + +

∇ · (%v) ∇ · (%v ◦ v q ) + 2(Ω × %v)q + ∇q p ∇ · (%vw) + 2(Ω × %v)⊥ + pz ∇ · (v [%e + %Φ + p])

= = = =

0 −(∇ · ~~τ )q −(∇ · ~~τ )⊥ − %g −∇ · (~ + ~~τ · v) + % Q

(1.26)

15

1 Die str¨omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen bestehend aus den Gleichungen der Massenerhaltung, horizontaler bzw. vertikaler Impulsbilanz und der Energieerhaltung. Der in der Gleichung der Energieerhaltung hinzugekommene Term % Q ist ein Energiequellterm“, der sich aus Effekten des Strah” lungsw¨armeaustauschs und der Umwandlung latenter W¨arme oder chemischer Bindungsenergie zusammensetzt. Dieser Term l¨aßt sich ebenfalls in Divergenzform und zeitlicher Ableitung von Energieanteilen zerlegen, sodaß die Erhaltung der Gesamtenergie nicht verletzt wird. Die Gr¨oßen ~~τ und ~ sind durch (1.15) und (1.16) gegeben. Das Gleichungssystem wird wiederum geschlossen, wenn wir die Zustandsgleichung %e =

p 1 + %v 2 γ−1 2

,

hinzunehmen (s. Abschnitt 1.2).

1.6.2 Abgeleitete Gleichungsformen Statt der Energieerhaltungsgleichung (1.26)4 werden oft abgeleitete Formen verwendet. Diese werden durch Kombination der Erhaltungss¨atze mit der Zustandsgleichung (1.14) gebildet. Wir selbst werden sp¨ater h¨aufig die so genannte Druckgleichung verwenden. Daneben gibt es noch eine ¨aquivalente Form, die die Evolution der potentiellen Temperatur beschreibt. Die Druckgleichung wollen wir nun im nichtrotierenden Koordinatensystem herleiten. Ausgangspunkt daf¨ ur ist die Energieerhaltungsgleichung (1.26)4 und die Gleichung (1.14). Durch Einsetzen der Zustandsgleichung in die Gleichung der Energieerhaltung und Ausdifferenzieren erhalten wir µ 2¶ µ · ¸¶ %v p %v 2 pt + + Φ%t + ∇ · v + + %Φ + p γ−1 2 t γ−1 2 pt γ = + ∇ · (vp) + Φ(%t + ∇ · (%v)) + %v · ∇Φ γ− (1.27) ¶ µ 1 2 ¶γ − 1 µ %v 2 %v + ∇· v + 2 t 2 = −∇ · (~ + ~~τ · v) + % Q . Der Term Φ(%t + ∇ · (%v)) ist wegen der Gleichung der Massenerhaltung identisch Null. Weiterhin nutzen wir die Impulserhaltungsgleichung (1.19), um (% v)t + ∇ · (% v ◦ v) = %(v t + v · ∇v) + v (%t + ∇ · (%v)) {z } | =0 (Massenerh.)

= −∇p − %∇Φ − ∇ · ~~τ

16

1.6 Zusammenfassung der Gleichungen zu erhalten und es folgt µ 2¶ µ µµ 2 ¶ µ 2 ¶¶ ¶ %v 2 v2 %v v v (%t + ∇ · (%v)) +% + ∇· v = + v·∇ {z } 2 t 2 2 | 2 t 2 =0 (Massenerh.)

= %v · (v t + v · ∇v)

= −v · (∇p + %∇Φ + ∇ · ~~τ )

Durch Einsetzen dieser Gleichung in (1.27) folgt schließlich

bzw.

1 (pt + γ∇ · (vp)) − v · ∇p − v · ∇ · ~~τ = −∇ · (~ + ~~τ · v) + % Q γ−1 pt + v · ∇p + γp(∇ · v) + (γ − 1)(∇ ·~ + ~~τ : ∇v) = Qp

,

(1.28)

die Druckgleichung in der Form, wie wir sie sp¨ater benutzen werden. Dabei ist (~~τ : ∇v) := ∇ · (~~τ · v) − v · ∇ · ~~τ =

3 X

i,j=1

τij

∂vj ∂xi

der Anteil der Arbeit der Reibungskr¨afte, welcher in W¨armeenergie umgewandelt wird (Dissipation) und v · ∇ · ~~τ den Anteil, der in kinetische Energie umgewandelt wird, beschreibt. Der Quellterm Qp ist definiert durch Qp := (γ − 1) % Q. Bemerkung: Die Operatoren (∂t + v · ∇), (∇ · ) und (~~τ : v) sind invariant beim ¨ Ubergang auf ein erdfestes Koordinatensystem und beim Einsetzen von (C.3). Zur Herleitung der Transportgleichung f¨ ur die potentielle Temperatur benutzen wir als Ausgangspunkt die Massenbilanzgleichung, die wir ausdifferenzieren und nach ∇ · v aufl¨osen: 1 ∇ · v = − (%t + v · ∇%) . % γ−1

Multiplizieren wir die Druckgleichung (1.28) mit (γR%)−1 (p0 /p) γ und setzen die Massenerhaltung ein, so erhalten wir γ−1 Ã 1−γ 1 µ ¶ ¶ ! µ µ ¶ γ−1 p γ ∂ pγ ∂ 1 p0 γ p0 γ + v·∇ p − 2 + v·∇ % = Q∗p , (1.29) R γ% ∂t % ∂t γR% p wobei Q∗p = (γ − 1)(%Q − ∇ ·~ − ~~τ : ∇v) ist.

Nun betrachten wir die partielle Ableitung der potentiellen Temperatur nach einer Gr¨oße ν. Daf¨ ur setzen wir das ideale Gasgesetz in (1.25) ein: γ−1

1

p γ pγ Θ= 0 R %

.

17

1 Die str¨omungsmechanischen Erhaltungsgleichungen Durch Differentiation folgt γ−1

1

γ−1

∂Θ p γ ∂ pγ p γ = 0 = 0 ∂ν R ∂t % R

Ã

1−γ

1

p γ ∂p p γ ∂% − 2 γ% ∂ν % ∂ν

!

,

wodurch sich Gleichung (1.29) zu µ

¶ µ ¶ γ−1 ∂ 1 Θ ∗ p0 γ + v·∇ Θ = Q =: Q∗Θ Q∗p = ∂t γR% p γp p

(1.30)

umformen l¨aßt. Wir wollen nun die Bedeutung des Operators (∂t +v · ∇) herleiten. Die Geschwindigkeit b . Die potentielle Tempeeines sich mit der Str¨omung bewegenden Beobachters sei dX dt ratur Θb , die der mitbewegte Beobachter in Abh¨angigkeit von der Zeit mißt, kann zur potentiellen Temperatur Θ im erdfesten Bezugssystem wie folgt in Beziehung gesetzt werden: Θb (t) = Θ(t, X b (t)) . Bildet man hiervon die zeitliche Ableitung, dann folgt dΘb ∂Θ ∂X b = + · ∇Θ dt ∂t ∂t = Θt + v · ∇Θ = (∂t + v · ∇)Θ , womit gezeigt wurde, dass der Operator (∂t + v · ∇) eine Zeitableitung im bewegten Bezugssystem darstellt. Es ergibt sich also insgesamt ´ D(ln Θ) γ−1 ³ = %Q − ∇ ·~ − ~~τ : ∇v Dt γp

.

Bemerkung: Da der Operator (∂t + v · ∇) die Zeitableitung von Θ f¨ ur einen sich mit der Str¨omungsgeschwindigkeit bewegenden Beobachter darstellt, und f¨ ur adiabatisch re∗ versible Prozesse QΘ ≡ 0 gilt, bleibt in diesem Fall die potentielle Temperatur bzw. Entropie entlang der Teilchenbahnen eine konstante Gr¨oße. Ein adiabatisch reversibler Prozeß ist also isentrop, das heißt entropieerhaltend.

18

2 Einfu ¨hrung in die Mehrskalenasymptotik Zur Motivation der mathematischen Techniken, die wir in sp¨ateren Kapiteln auf die atmosph¨arischen Bewegungsgleichungen anwenden werden, befassen wir uns in diesem Abschnitt mit dem einfachen Beispiel des linearen Oszillators. Nach der Herleitung der exakten L¨osung werden wir einen Fall betrachten, wie wir ihn auch h¨aufig in geophysikalischen Problemen wiederfinden: Um eine durch eine ¨außere Kraft hervorgerufene Hintergrundbewegung verlaufen (kleine) Oszillationen. Um den Begriff der Kleinheit“ zu quantifizieren werden wir die hergeleiteten Glei” chungen entdimensionalisieren. Mit Mitteln der Ein- und Mehrskalenasymptotik soll schließlich versucht werden, vereinfachte N¨ahrungsl¨osungen zu erhalten, die umso genauer sind, je kleiner“ der entsprechende Parameter ist. ”

2.1 Ein einfaches Beispiel – Der lineare Oszillator 2.1.1 Exakte L¨ osung Ein typisches Beispiel f¨ ur das physikalische System eines linearen Oszillators ist ein Massest¨ uck m, welches an einer Feder mit der Federkonstanten c befestigt ist und sich zum Zeitpunkt t an der Stelle x = x(t) befindet (Abbildung 2.1). Die Federkonstante stellt ein Maß f¨ ur die St¨arke der Feder dar. Lenkt man das Massest¨ uck aus seiner Ruhelage aus und u ¨berl¨aßt das System dann wieder sich selbst, schwingt m periodisch mit konstanter Amplitude um seine Gleichgewichtslage. L¨aßt man das Massest¨ uck w¨ahrend seiner Schwingung jedoch in ein mehr oder weniger z¨ahes Medium eintauchen, so f¨ uhrt das System unter sonst gleichen Bedingungen eine ged¨ampfte periodische Schwingung aus. Bei hinreichend z¨ahem Medium verschwindet der oszillatorische Anteil der Bewegung ganz und die Masse bewegt sich monoton in ihre Gleichgewichtslage. Aus der Beschreibung des Systems geht hervor, dass hier neben etwaigen ¨außeren Kr¨aften insgesamt zwei interne Kr¨afte des Masse-Feder-D¨ampfer-Systems wirken: Zum einen die R¨ uckstellkraft FF = −cx der Feder, welche der Auslenkungsrichtung entgegengesetzt gerichtet ist, und zum anderen die Reibungskraft FR = −k x˙ des z¨ahen Medium. Letztere ist proportional zur Geschwindigkeit x˙ des Massest¨ ucks und greift ebenfalls entsprechend dem Vorzeichen entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung an. Gem¨aß

19

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik

FF = −cx m¨ x

FD (t) (D¨amon)

FR = −k x˙

Abbildung 2.1: Feder-Masse-System dem Newtonschen Gesetz ergibt sich nun folgende Bewegungsgleichung f¨ ur ein System, das frei von ¨außeren Kr¨aften ist: X m¨ x= F = −cx − k x˙ .

Wirkt am System zus¨atzlich von außen noch eine Kraft FD = FD (t), so f¨ uhrt das System eine erzwungene Schwingung aus. In der Summe der angreifenden Kr¨afte muß diese Kraft mitber¨ ucksichtigt werden. F¨ ur x : IR+ → IR, t 7→ x(t) erhalten wir die erweiterte Form m¨ x = −cx − k x˙ + FD (t) . (2.1) Die L¨osung ist eindeutig bestimmt, wenn zus¨atzlich Anfangsbedingungen x(0) = x0 und x(0) ˙ = x˙ 0 vorgegeben werden. Gleichung (2.1) stellt eine inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung dar. Gem¨aß der Theorie gew¨ohnlicher linearer Differenti¨ algleichungen [Walter 1996] erhalten wir s¨amtliche L¨osungen x(t) aus der Uberlagerung der allgemeinen L¨osung der zugeh¨origen homogenen Form und einer sogenannten partikul¨aren L¨osung der inhomogenen Form: x(t) = xh (t) + xp (t) . Wir wollen nun zun¨achst die L¨osung der homogenen Differentialgleichung des FederMasse-Systems herleiten, was dem Fall entspricht, dass am System keine ¨außere Kraft wirkt, also FD ≡ 0 ist. Unsere allgemeine Bewegungsgleichung (2.1) reduziert sich damit zu m¨ x + k x˙ + cx = 0 . (2.2) Zur L¨osung der Gleichung verwenden wir den sogenannten Exponentialansatz x(t) = exp(ωt) .

20

(2.3)

2.1 Der lineare Oszillator Um nun zur speziellen L¨osung des Systems zu gelangen, bildet man die erste x(t) ˙ = 2 ω exp(ωt) und zweite Ableitung x¨(t) = ω exp(ωt) nach der Zeit. Einsetzen der Ableitungen und des Ansatzes (2.3) in die betrachtete Ausgangsgleichung (2.2) ergibt ¡ ¢ m ω 2 exp(ωt) + k (ω exp(ωt)) + c (exp(ωt)) = 0 , und nach Division durch exp(ωt) 6= 0 gelangt man zu

mω 2 + kω + c = 0 , der sogenannten charakteristischen Gleichung. Wenden wir die L¨osungsformel f¨ ur die Nullstellenberechnung von quadratischen Gleichungen an, so erhalten wir f¨ ur ω : r √ c 1k c 1k k2 k2 ± − = − ± − . (2.4) ω1/2 = − D mit D := 2m 4m2 m 2m 4m2 m Je nachdem, ob ω1 und ω2 verschieden voneinander (das heißt, f¨ ur die Diskriminante gilt D 6= 0) oder gleich sind (D = 0), erhalten wir nun verschiedene Arten von L¨osungen. Ist n¨amlich ω k-fache L¨osung der charakteristischen Gleichung, so entsprechen ihr k L¨osungen der Form eωt , teωt , . . . , tk−1 eωt der zugeh¨origen Differentialgleichung [Walter 1996, S. 173 ff]. Eine wesentliche Eigenschaft linearer homogener Differentialgleichungen ist außerdem, dass die Summe zweier L¨osungen selbst wieder eine L¨osung ist. Damit erhalten wir f¨ ur den Fall D 6= 0 eine allgemeine L¨osung der Differentialgleichung (2.2) von der Form x(t) = A exp(ω1 t) + B exp(ω2 t) ,

(2.5)

wobei A und B noch zu bestimmende Konstanten sind. F¨ ur den Fall D = 0 erhalten wir dagegen x(t) = A exp(ωt) + Bt exp(ωt) = (A + Bt) exp(ωt) (2.6) mit ebenfalls zu bestimmenden Konstanten A und B. Es k¨onnen jetzt bzgl. der Federkonstanten c, der D¨ampfungskonstanten k und der Masse m Fallunterscheidungen gemacht werden. 1. Fall: keine Reibung, d.h. k = 0, aber Oszillation, d.h. c > 0 ⇒ ω1,2 = ±i p ±iω0 mit ω0 = mc .

pc

m

=

Setzt man dieses Ergebnis f¨ ur ω1,2 in den L¨osungsansatz (2.5) ein, dann erh¨alt man: x(t) = A exp(iω0 t) + B exp(−iω0 t) .

(2.7)

Mit diesem Schritt geht die L¨osung x(t) zun¨achst in den Bereich der komplexen Zahlen u ¨ber. Gleichzeitig lassen wir auch komplexe A, B ∈ C zu, so dass: A = Ar + iAi ,

B = Br + iBi

.

21

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik Sp¨ater wollen wir die Konstanten A und B so festlegen, dass das Gesamtergebnis wieder reell wird und somit physikalisch sinnvoll ist. Mit Hilfe der Euler’schen Formeln eix = cos x + i sin x bzw. e−ix = cos x − i sin x und unter Ber¨ ucksichtigung der obigen Aufspaltung von A und B in Real- und Imagin¨arteil l¨aßt sich Gleichung (2.7) wie folgt umstellen: x(t) = ((Ar + Br ) cos(ω0 t) + (−Ai + Bi ) sin(ω0 t)) + i ((Ar − Br ) sin(ω0 t) + (Ai + Bi ) cos(ω0 t)) .

(2.8)

Wegen der linearen Unabh¨angigkeit von Sinus und Cosinus ist die L¨osung also reellwertig, wenn die Koeffizienten (Ar − Br ) und (Ai + Bi ) die Nebenbedingungen (Ar − Br ) = 0 ⇔ Ar = Br (Ai + Bi ) = 0 ⇔ Ai = −Bi erf¨ ullen. Unter Einbeziehung dieser Vorgaben reduziert sich Gleichung (2.8) auf x(t) = 2Br cos(ω0 t) + 2Bi sin(ω0 t) = a cos(ω0 t) + b sin(ω0 t)

(2.9)

Die Konstanten a und b aus Gleichung (2.9) lassen sich je nach Anfangsbedingung bestimmen und man gelangt zur speziellen L¨osung des betrachteten Systems. Beispiel: W¨ahlt man als Anfangsbedingung x0 = x(0) = 0, das heißt, die Masse befindet (0) = Cω0 , d.h. sich zur Anfangszeit t = 0 in ihrem Gleichgewichtspunkt, und x˙ 0 = dx dt das Massest¨ uck besitzt zur Zeit 0 die Anfangsgeschwindigkeit Cω0 , dann gelangt man durch Einsetzen dieser Bedingungen in Gleichung (2.9) f¨ ur a und b zu dem Ergebnis a=0

und

b=

x˙ 0 =C ω0

.

Die spezielle L¨osung lautet somit: x(t) = C sin(ω0 t) . Das Massest¨ uck m f¨ uhrt also unter den geforderten Anfangsbedingungen eine harmonische Schwingung aus (Abbildung 2.2). 2. Fall: Reibung vorhanden, d.h. k > 0 . Unter dieser Vorraussetzung muß in der allgemeinen L¨osungsdarstellung (2.4) von ω der Wert der Diskriminanten D genauer betrachtet werden, denn diese kann jetzt Werte annehmen, die gr¨oßer, kleiner oder gleich Null sind.

22

2.1 Der lineare Oszillator 3

2

x [m]

1

0

−1

−2

−3

0

5

10

15

20

25

Zeit [s]

Abbildung 2.2: Exakte L¨osung f¨ur den Federschwinger ohne Reibung (k = 0) mit C = 2 und ω0 = 1. a) D < 0 ⇔

k2 4m2


0 ⇔

k2 4m2

>

c m

k ⇒ ω1,2 = − 2m ±

q

k2 4m2

−

c m

.

Durch Einsetzen in den entsprechenden L¨osungsansatz (2.5) gelangt man zur L¨osung des betrachteten Systems. Dies geschieht wieder unter Ber¨ ucksichtigung, dass die Konstanten A, B aus den Anfangsbedingungen noch bestimmt werden m¨ ussen. Wir erhalten µ ¶ k x(t) = exp − t [A exp(˜ ωb t) + B exp(−˜ ωb t)] (2.11) 2m q k2 c mit ω ˜ b = 4m 2 − m . Vergleicht man die beiden L¨osungen (2.10) und (2.11) miteinander, erkennt man, dass es sich in beiden F¨allen um eine ged¨ampfte Bewegung handelt (Beachte hierbei, dass

23

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik

1

x [m]

0.5

0

−0.5

−1 0

1

2

3 Zeit [s]

4

5

6

Abbildung 2.3: Exakte L¨osung f¨ur den Federschwinger mit Reibung (k > 0): a) D < 0 (blau, durchgezogen), b) D > 0 (gr¨un, gestrichelt), c) D = 0 (rot, gestrichpunktet). k der Term exp(˜ ωb t) gegen¨ uber exp(− 2m t) f¨ ur t → ∞ verliert“!). Dennoch gibt es ” einen prinzipiellen Unterschied. Im Fall a) f¨ uhrt das System mit der Exponentialfunkk tion exp(− 2m t) eine ged¨ampfte harmonische Schwingung mit mehrfachen Durchg¨angen durch die Null-Lage aus. Im Fall b) dagegen ist die D¨ampfung so stark, dass das Massest¨ uck – nachdem es einmal ausgelenkt und losgelassen wurde – keine einzige Schwingung mehr ausf¨ uhren kann, sondern sich nur noch monoton in seine Gleichgewichtslage bewegt (Kriechfall).

c) D = 0 ⇔

k2 4m2

=

c m

k ⇒ ω1,2 = − 2m .

Die L¨osung unter diesen Bedingungen entspricht dem oben bereits erw¨ahnten Fall mit der allgemeinen L¨osung (2.6). Wir erhalten also µ ¶ k x(t) = exp − t (A + Bt) , 2m wobei die Konstanten A und B wieder aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden m¨ ussen. Der Fall c) liegt damit genau zwischen den F¨allen a) und b). Man spricht deshalb auch vom sogenannten aperiodischen Grenzfall. Im Fall b) macht sich die D¨ampfung noch st¨arker und schneller bemerkbar als im Fall c), allerdings ist in beiden F¨allen keine Oszillation im System vorhanden. Wollen wir nun auch den Umstand ber¨ ucksichtigen, dass eine ¨außere Kraft FD = FD (t) am physikalischen System des linearen Oszillators wirken kann, m¨ ussen wir den partikul¨aren Teil der L¨osung der inhomogenen Differentialgleichung (2.1) ermitteln. F¨ ur die sp¨ateren Betrachtungen reicht es aus, eine periodisch wirkende Kraft der Form FD (t) = F0 cos(Ωt) zu betrachten. Experimente zeigen, dass ein Federschwinger der

24

2.1 Der lineare Oszillator dieser Kraft ausgesetzt ist, nach einer gewissen Einschwingzeit eine erzwungene harmonische Schwingung ausf¨ uhrt. Die Frequenz der erzwungenen Schwingung entspricht dabei der Frequenz der Antriebskraft FD (t). Diese experimentelle Beobachtung rechtfertigt f¨ ur die Bewegung des Oszillators nach der Einschwingzeit einen L¨osungsansatz der Form xp (t) = Ap sin(Ωt) + Bp cos(Ωt) mit noch zu bestimmenden Koeffizienten Ap und Bp . Setzen wir die dazugeh¨origen Zeitableitungen x˙ p (t) = Ap Ω cos(Ωt) − Bp Ω sin(Ωt) x¨p (t) = −Ap Ω2 sin(Ωt) − Bp Ω2 cos(Ωt) in Gleichung (2.1) ein, so ergibt sich F0 cos(Ωt) = −m(Ap Ω2 sin(Ωt) + Bp Ω2 cos(Ωt)) + k(−Bp Ω sin(Ωt) + Ap Ω cos(Ωt)) + c(Ap sin(Ωt) + Bp cos(Ωt)) . Die lineare Unabh¨angigkeit von Sinus- und Cosinusfunktion erm¨oglicht eine Aufspaltung dieser Gleichung in zwei Teilgleichungen: (c − mΩ2 )Ap − kΩBp = 0 (c − mΩ2 )Bp + kΩAp = F0

.

Es handelt sich hier um ein Gleichungssystem bestehend aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Ap und Bp , welches sich einfach l¨osen l¨aßt. Ist k 6= 0 (2. Fall), so ergibt sich c − mΩ2 Ap Bp = kΩ Ã µ ¶2 !−1 (2.12) c − mΩ2 F0 Ap = 1+ . kΩ kΩ Gilt jedoch k = 0 und (c − mΩ2 ) 6= 0, so erhalten wir Ap = 0 und Bp =

F0 c − mΩ2

(2.13)

und im Fall k = 0 und (c − mΩ2 ) = 0 ergibt sich die resonante L¨osung (siehe z.B. Walter [1996]) mit zeitabh¨angigen Koeffizienten Ap (t) =

F0 t und Bp = 0 . 2mΩ

(2.14)

25

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik

2

x [m]

1

0

−1

−2 0

2

4

6 Zeit [s]

8

10

12

Abbildung 2.4: Exakte L¨osung f¨ur den Federschwinger unter Einwirkung einer ¨außeren Kraft. a) schnelle Oszillation u¨berlagert mit langsamer Hintergrundschwingung (blau, durchgezogen), b) Resonanz (gr¨un, gestrichelt), c) Verlauf der Antriebskraft FD (t) (rot, gestrichpunktet). Damit haben wir eine partikul¨are L¨osung gefunden, die die inhomogene Gleichung erf¨ ullt. Als Summe von homogener und partikul¨arer L¨osung kann man nun f¨ ur das betrachtete System die vollst¨andige allgemeine L¨osung herleiten. Beispielsweise k¨onnen wir f¨ ur den Fall 2a) von der L¨osung µ ¶ k x(t) = exp − t [˜ a cos(˜ ωa t) + ˜b sin(˜ ωa t)] + Ap sin(Ωt) + Bp cos(Ωt) 2m ausgehen. Dabei sind die Konstanten Ap und Bp gem¨aß der Gleichungen (2.12) bekannte Gr¨oßen, und es m¨ ussen nur noch a ˜ und ˜b aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden. Analog ergeben sich die L¨osungen f¨ ur die anderen F¨alle.

2.1.2 Dimensionslose Darstellung und (kleine) Parameter Im vorangegangenen Abschnitt sind wir zu dem Ergebnis gekommen, dass sich die allgemeine L¨osung des linearen Oszillators mit der Bewegungsgleichung m¨ x + k x˙ + cx = F0 cos(Ωt)

(2.15)

und den Anfangsbedingungen x(0) = x0 und x(0) ˙ = x˙ 0 aus einem homogenen und einem inhomogenen Anteil zusammensetzt. Wie wir im zweiten Fall gesehen haben, klingt die homogene L¨osung bei von Null verschiedener Reibung exponentiell ab, sodass die Bewegung u ¨ber einen l¨angeren Zeitraum betrachtet nur noch durch den inhomogenen Anteil der L¨osung festgelegt ist. An diesem Punkt wollen wir im nun folgenden Teil ansetzen und den Federschwinger f¨ ur den Fall analysieren, in dem Eigenschwingung, D¨ampfung und Anregung auf sehr unterschiedlichen Zeitskalen agieren. Wir werden sehen, dass das System Federschwinger auf den jeweiligen Zeitskalen verschiedenes L¨osungsverhalten aufweist.

26

2.1 Der lineare Oszillator Wir werden sp¨ater feststellen, dass derartige Betrachtungsweisen von Systemen auf unterschiedlichen Zeitskalen auch bei der Klimamodellierung von Bedeutung sind. Ziel der Klimamodellierung ist es n¨amlich, Ph¨anomene auf klimarelevanten Zeitskalen zu beschreiben, und dabei die Nettoeffekte von sehr viel schnelleren Prozessen korrekt zu ber¨ ucksichtigen, diese aber nicht im Detail darzustellen. Ein wichtiges Hilfsmittel zur Herleitung entsprechender kompakter Beschreibungen dieser Nettoeffekte ist die Mehrskalenasymptotik, die in diesem Kapitel exemplarisch f¨ ur den Federschwinger vorgestellt wird. Um die unterschiedlichen Zeitskalen des Systems zu bestimmen, werden wir im ersten Schritt die allgemeine Bewegungsgleichung (2.15) in eine dimensionslose Form u uh¨berf¨ ren. Dazu stellen wir zuerst einige allgemeine Betrachtungen zur Dimensionsanalyse an: Wie wir aus der Physik wissen, l¨aßt sich die Dimension der in einem mechanischen System auftretenden Gr¨oßen mit Hilfe der drei Grundgr¨oßenarten Masse (M ), L¨ange (L) und Zeit (T ) darstellen (In unserem Fall hat beispielsweise die Geschwindigkeit die Dimension [x] ˙ = L/T ). Betrachten wir nun die bestimmenden Gr¨oßen bzw. Maßzahlen ϕi (das heißt Koeffizienten, Anfangs- und Randbedingungen etc.) eines allgemeinen Problems mit den Grundgr¨oßenarten (Dj )m aßt sich die Dimension der Maßzahlen j=1 , so l¨ in der Form m Y bj Dj i , bji ∈ IR [ϕi ] = j=1

schreiben (zum Beispiel: [c] = M/T 2 ). Aus den Maßzahlen lassen sich nun sogenannte dimensionslose Kennzahlen oder auch charakteristische Zahlen bilden. Eine Kennzahl π wird hierbei ausgedr¨ uckt als Produkt von Potenzen der dimensionsbehafteten Maßzahlen n Y ϕαi i , π= i=1

wobei wir die zus¨atzliche Forderung

[π] = 1 an ihre Dimension stellen. Somit kann die Dimension einer Kennzahl ausgedr¨ uckt werden durch Ãm !α Ã n ! n m Y Y bj i Y Y αi b j [π] = Dj i = Dj i . i=1

j=1

j=1

i=1

Gem¨aß der allgemeinen Regel ax · ay = a(x+y) kann man auch [π] =

m Y

Pn

Dj

i=1

αi bji

j=1

27

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik schreiben, und wenn die Kennzahl π dimensionslos sein soll, muß gelten: n X

αi bji = 0 (j = 1, . . . , m) .

i=1

Diese Bedingung entspricht einem linearen Gleichungssystem f¨ ur α ¯ := (αi )ni=1 mit m j Gleichungen, wobei die bi feste Koeffizienten sind: Bα ¯ = 0 mit B := (bji ) ∈ M(m × n) Somit gibt es im allgemeinen n − r linear unabh¨angige L¨osungen und damit auch n − r unabh¨angige dimensionslose Kennzahlen. Dabei ist n die Anzahl der im Gleichungssystem auftretenden bestimmenden Gr¨oßen und r der Rang der Matrix B. Jedes weitere dimensionslose Produkt der gegebenen Maßzahlen kann selbst wieder als Produkt der im Prinzip willk¨ urlich gew¨ahlten ersten n − r Kennzahlen geschrieben werden. Die n − r Kennzahlen reichen deshalb aus, das System bis auf Selbst¨ahnlichkeit eindeutig zu beschreiben. Dieser Zusammenhang wird im sogenannten Π-Theorem mathematisch festgehalten. H¨aufig wird dieses Theorem nach E. Buckingham (1914) auch als Buckinghamsches Theorem zitiert. Historisch gesehen sollte es allerdings vielmehr A. Federmann (St. Petersburg 1911) zugerechnet werden, der den Satz schon drei Jahre zuvor und in seiner korrekten Form gezeigt hatte [G¨ortler 1975]. Weitere Aspekte zur Dimensionsanalyse finden sich zum Beispiel auch in Barenblatt [1996]. Betrachten wir wieder unser Problem (2.15), so stellen wir fest, dass die sieben bestimmenden physikalischen Gr¨oßen die Dimensionen M M 1 , [k] = , [Ω] = , 2 T T T ML L [F0 ] = 2 , [x0 ] = L , [x˙ 0 ] = T T

[m] = M , [c] =

(2.16)

besitzen. Kombiniert man die sieben Gr¨oßen aus (2.16) miteinander, so kommt man gem¨aß den obigen Ausf¨ uhrungen zu dem Ergebnis, dass es genau (7 - 3) linear unabh¨angige Kombinationsm¨oglichkeiten gibt, die zu dimensionslosen Kennzahlen f¨ uhren. F¨ ur unsere weiteren Betrachtungen w¨ahlen wir somit – vorerst willk¨ urlich – die folgenden vier Kennzahlen: · ¸ 1 T2 Ω2 =1 = M· 2· m T M · c¸ Ω M 1 T2 k = · · =1 T T M · c ¸ (2.17) T2 M x0 = L· · =1 ML T 2 · F0 /c ¸ x˙ 0 L T2 M = ·T · · =1 ΩF0 /c T ML T 2 28

2.1 Der lineare Oszillator Dabei haben wir die Kennzahlen (2.17)1 und (2.17)2 bereits so gew¨ahlt, daß mit µ :=

mΩ2 c

und κ :=

kΩ c

(2.18)

so etwas wie eine dimensionslose Masse bzw. dimensionslose D¨ampfungskonstante definiert werden. In der dritten Kennzahl dr¨ uckt die Gr¨oße F0 /c die statische Auslenkung einer Feder mit Federkonstanten c unter Einwirkung der Kraft F0 aus. Somit beschreibt (2.17)3 das Verh¨altnis zwischen der Anfangsauslenkung und dieser statischen Auslenkung. Das Verh¨altnis ΩF0 /c wiederum ist eine Referenzgr¨oße f¨ ur die mittlere Geschwindigkeit der Hintergrundschwingung. (2.17)4 dr¨ uckt damit das Verh¨altnis der Anfangsgeschwindigkeit x˙ 0 zu dieser Gr¨oße aus. Da wir auf der Suche nach einer dimensionslosen Darstellung des Problems (2.15) und seiner dimensionslosen L¨osung sind, bietet sich die statische Auslenkung F0 /c als Referenzl¨ange (oder Maßeinheit f¨ ur L¨angenmessungen) xref an. Damit k¨onnen wir die dimensionslose Auslenkung durch y=

x c = x xref F0

definieren. Die Gr¨oße y wollen wir im allgemeinen nicht-statischen Fall als Funktion einer ebenfalls dimensionslosen Zeitkoordinate auffassen. F¨ ur die Wahl einer Referenzzeit −1 (oder Zeiteinheit) bietet sich hierbei tref = Ω an. Damit ergibt sich die dimensionslose Zeitkoordinate τ = t/tref = Ωt, und wir erhalten f¨ ur den dimensionslosen L¨osungsansatz die Form F0 F0 x(t) = y(Ωt) = y(τ ) . (2.19) c c Der n¨achste Schritt, der uns zur dimensionslosen Bewegungsgleichung f¨ uhrt, ist die Bildung der Zeitableitungen von Gleichung (2.19): F0 dy dτ F0 Ω 0 = y (τ ) c dτ dt c µ ¶2 F0 d2 y dτ F0 Ω2 00 x¨(t) = = y (τ ) c dτ 2 dt c

x(t) ˙ =

Setzt man die Zeitableitungen in die allgemeine Bewegungsgleichung (2.15) ein und dividiert diese durch F0 , so nimmt sie die endg¨ ultige Form mΩ2 00 kΩ 0 y + y + y = cos τ c c an. Schließlich erhalten wir mit den Abk¨ urzungen aus (2.18) µy 00 + κy 0 + y = cos τ

.

(2.20)

29

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik

κ I III II

µ

Abbildung 2.5: M¨oglichkeiten der Grenzwertbildung in einem asymptotischen System mit kleinen Parametern µ und κ Zu dieser dimensionslosen Differentialgleichung geh¨oren die dimensionslosen Anfangsbedingungen y0 =

x0 x0 c = xref F0

und y00 =

x˙ 0 x˙ 0 x˙ 0 c = = x˙ ref xref /tref F0 Ω

.

Damit haben wir hier gerade die dimensionslosen Kombinationen aus (2.17)3 und (2.17)4 erhalten und es wird klar, dass das System durch die vier gegebenen Kennzahlen vollst¨andig charakterisiert wird. Im Folgenden wollen wir uns noch u ¨berlegen, was passiert, wenn Masse und D¨ampfung bei gleichbleibender Federkonstante klein werden. Mit unserem soeben hergeleiteten dimensionslosen System (2.20) k¨onnen wir diesen Sachverhalt quantifizieren, indem wir das Verhalten der L¨osung y = y(τ ; µ, κ, y0 , y00 ) f¨ ur kleine µ und κ (das heißt µ, κ ∈ IR+ , µ, κ ¿ 1) studieren. Betrachten wir den Grenz¨ ubergang µ, κ → 0, so ist es offensichtlich wichtig, wie diese Werte gegen Null gehen. Bilden wir beispielsweise zuerst nur f¨ ur µ den Grenzwert, so erhalten wir ein System erster Ordnung. Lassen wir dagegen zuerst κ gegen Null gehen, so erhalten wir die Schwingungsgleichung ohne D¨ampfung (siehe Abbildung 2.5; Weg I bzw. II). W¨ahlen wir irgendeinen Weg dazwischen (z.B. Weg III), so wird sich zeigen, daß auch das Verh¨altnis, in dem µ und κ im Limes zueinander stehen, von Bedeutung ist. Um letzteren Sachverhalt zu quantifizieren, f¨ uhren wir nun einen sogenannten gekoppelten Grenz¨ ubergang oder distinguished limit durch, indem wir das Verh¨altnis zwischen µ und κ festlegen. Bemerkung: Der erste Gedanke, der einem bei der Suche nach einer L¨osung f¨ ur kleine µ und κ kommt, ist, eine Taylorentwicklung bez¨ uglich der µ-κ-Abh¨angigkeit um

30

2.1 Der lineare Oszillator µ = κ = 0 durchzuf¨ uhren, um eine lineare oder quadratische Approximation zu erhalten. Wenn diese existiert, so erhalten wir diese durch die ( Fr´echet-) Ableitungen (∂y/∂µ, ∂y/∂κ)|µ=κ=0 etc. (zur Definition der Fr´echet-Ableitung siehe zum Beispiel Werner [2000, S. 113]) Das heißt, y bekommt dann die Form ! à ¯ ¯ ∂y ¯¯ ∂y ¯¯ +κ ¯ + O(µ, κ) . y = y|µ=κ=0 + µ ¯ ∂µ µ=κ=0 ∂κ µ=κ=0

Wenn diese Ableitungen nicht existieren (was leider sehr oft der Fall in der praktischen Anwendung ist), so k¨onnen wir immer noch nach Approximationen entlang Kurven durch den Ursprung µ = κ = 0 suchen. Ein m¨oglicher L¨osungsansatz w¨are somit y = yˆ(τ ; ε) = yˆ(τ ; µ ˆ(ε), κ ˆ (ε)) ∂ yˆ = yˆ(τ ; 0) + ε (τ ; 0) + O(ε) ∂ε

f¨ ur ε → 0 .

Hierbei ist ∂ yˆ/∂ε(τ ; 0) eine Verallgemeinerung der Gˆateaux-Ableitung: ∂ (y(τ ; αε, βε))ε=0 ∂ε

α, β = const.

Die Abbildung IR → IR2 mit ε 7→ (ˆ µ(ε), κ ˆ (ε))

wird als gekoppelter Grenz¨ ubergang bezeichnet.

Im Allgemeinen wissen wir aus der Funktionalanalysis f¨ ur eine Abbildung f f fr´echet-differenzierbar

⇒ :

f gˆateaux-differenzierbar .

Also sind asymptotische Entwicklungen, die auf Approximationen (in ε) bez¨ uglich bestimmter gekoppelter Grenz¨ uberg¨ange gebildet werden, allgemeiner, als wenn man eine Mehr-Parameter-Entwicklung durchf¨ uhren w¨ urde. Bei der Durchf¨ uhrung des gekoppelten Grenz¨ uberganges wollen wir insbesondere darauf achten, wie sich die Zeitskalen, auf denen Oszillation, D¨ampfung und Hintergrundschwingung p m ablaufen, zueinander verhalten. Dazu bemerken wir, dass durch die Terme m und die D¨ampfungszeitskala und die Zeitskala der unged¨ampften Eigenschwink c gung des Systems festgelegt sind. Dies erkennen wir daran, daß in unserer L¨osung die k D¨ampfung durch den Term exp(− 2m t) beschrieben wird. Damit sich das Argument der Exponentialfunktion um O(1) ver¨andert, muß sich t um O(m/k) ¨andern (zur Bedeutung von O( · ) sei auf den Anhang A verwiesen). Ebenso verh¨alt es sich bei der ³p ´ L¨osung der unged¨ampften Eigenschwingung, bei der sich t um O(1/ω0 ) = O m/c ¨andern muß, damit sich Argumente von Sinus und Cosinus um O(1) ¨andern. Somit wird pdie √ m durch KO := Ω c = µ und KD := Ω m = µ/κ das Verh¨altnis der Oszillations- bzw. k D¨ampfungszeitskala zur Zeitskala der Hintergrundschwingung beschrieben. 31

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik

2

y(τ)

1

0

−1

−2

0

1

2

3

0

1

2

3

0

1

2

3

τ

4

5

6

4

5

6

4

5

6

2

y(τ)

1

0

−1

−2

τ

2

y(τ)

1

0

−1

−2

τ

Abbildung 2.6: Auswirkung der Wahl des gekoppelten Grenz¨ubergangs. L¨osung f¨ur ε = 0.01 (blau, gestrichelt), ε = 0.0005 (gr¨un, durchgezogen) und Verlauf der Hintergrundschwingung (rot, gestrichpunktet). µ = κ = ε (oben), µ = κ2 = ε (mitte) und µ = κ3 = ε (unten).

32

2.1 Der lineare Oszillator

κ

1

κ ∼ µ3

√ κ=κ ˆ µ

Dämpfung Oszillation κ∼µ

µ

Abbildung 2.7: Verh¨altnis von Masse und D¨ampfung im Problem und das resultierende Verhalten der L¨osung 1. Fall: µ ∼ κ, das heißt µ = ε und κ = εˆ κ; κ ˆ = const. f¨ ur ε → 0. √ Aus diesen Ansatz ergibt sich KO = ε und KD = 1/ˆ κ = const. Wir lassen also die Zeitskala der unged¨ampften Eigenschwingung im Verh¨altnis zur Zeitskala der Hintergrundschwingung gegen Null gehen, halten aber die D¨ampfungszeitskala konstant. Wie wir in Abbildung 2.6 (oben) erkennen, steigt die Frequenz der Oszillation zwar f¨ ur ε → 0, die Dauer f¨ ur das Ausd¨ampfen der Schwingung bleibt aber immer gleich. 2. Fall: µ ∼ κ2 , das heißt µ = ε und κ =

√

εˆ κ; κ ˆ = const. f¨ ur ε → 0. √ √ κ, daß die ZeitsBei der Wahl dieses Grenzwertes folgt wegen KO = ε und KD = ε/ˆ kalen der Oszillation und der D¨ampfung immer im gleichen Verh¨altnis κ ˆ zueinander stehen. Folglich ist die Anzahl der Schwingungen, die bis zur Ausd¨ampfung durchgef¨ uhrt werden, immer dieselbe (Abbildung 2.6 (mitte)). 1

3. Fall: µ ∼ κ3 , das heißt µ = ε und κ = ε 3 κ ˆ; κ ˆ = const. f¨ ur ε → 0.

Die Abbildung 2.6 (unten) macht deutlich, dass das System keine Oszillation mehr 2 ausf¨ uhrt. Die D¨ampfungszeitskala K κ ist f¨ ur kleine ε immer kleiner als die der D = ε 3 /ˆ √ Oszillation KO = ε. Zusammenfassend kann man feststellen, daß f¨ ur µ ∼ κ2 genau die Grenze gegeben ist, die dar¨ uber entscheidet, ob im Limes ε → 0 die Oszillation oder die D¨ampfung ge” winnt“. Geht µ langsamer als κ2 gegen Null, so gewinnt“ die Oszillation. Andernfalls ” u ¨berwiegt der Einfluß der D¨ampfung. Dieser Sachverhalt wird nochmals in Abbildung 2.7 verdeutlicht. Wenn es nun L¨osungen gibt, f¨ ur die y 0 und y 00 f¨ ur µ → 0 und κ → 0 beschr¨ankt bleiben, dann reduziert sich Gleichung (2.20) in diesem Limes zu: y = cos τ

.

(2.21)

33

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik Mit diesem Resultat f¨ ur y nimmt unsere dimensionsbehaftete L¨osung die Form x(t) =

F0 F0 y(τ ) = cos(Ωt) c c

an. Dieses Ergebnis stimmt mit der experimentellen Beobachtung u ¨berein, dass nach einer gewissen Einschwingzeit der Federschwinger unter Einwirkung der ¨außeren Kraft FD (t) = F0 cos(Ωt) eine periodische Schwingung mit der Kreisfrequenz Ω ausf¨ uhrt. Wir werden durch asymptotische Analyse und durch Vergleich mit der schon hergeleiteten exakten L¨osung verfizieren, dass es tats¨achlich L¨osungen gibt, die nahe bei dieser Grenzl¨osung liegen.

2.1.3 Regul¨ are St¨ orungsrechnung f¨ ur kleine Masse und D¨ ampfung Im Folgenden wollen wir nun L¨osungen unserer dimensionslosen Bewegungsgleichung (2.20) mit Hilfe von asymptotischen L¨osungsans¨atzen herleiten. Dazu w¨ahlen wir den im vorigen Abschnitt dargestellten ersten Fall. Das heißt, wir setzen µ = ε, κ = εˆ κ, κ ˆ= const. f¨ ur ε ¿ 1. Damit wird (2.20) zu εy 00 + εˆ κy 0 + y = cos τ

.

(2.22)

(Hierbei sei nochmals darauf hingewiesen, daß die Wahl eines anderen gekoppelten Grenz¨ ubergangs auch andere Ergebnisse der asymptotischen Entwicklung der L¨osung hervorrufen w¨ urde!) F¨ ur die L¨osung y = y(τ ; ε) der Gleichung (2.22) w¨ahlen wir einen asymptotischen L¨osungsansatz der Form: ¡ ¢ y(τ ; ε) = y (0) (τ ) + εy (1) (τ ) + ε2 y (2) (τ ) + O ε2

(2.23)

Bemerkung: Allgemein ist eine Reihe der Form N X

φn (ε) un (x)

n=1

mit φn+1 (ε) = O(φn (ε)) f¨ ur ε → 0 eine asymptotische N-term-Entwicklung der Funktion u, falls N X u(x; ε) − (2.24) φn (ε) un (x) = O(φN (ε)) n=1

f¨ ur ε → 0 (siehe z.B. Kevorkian und Cole [1996] und Schneider [1978]). Dabei ist es f¨ ur das Ergebnis durchaus wichtig, welche asymptotische Folge {φn (ε)}n∈IN man w¨ahlt. Die Bedeutung von O( · ) ist im Anhang A erkl¨art.

34

2.1 Der lineare Oszillator In unserem Fall stellt der gew¨ahlte Ansatz eine Taylorentwicklung der gesuchten L¨osung y = y(τ ; ε) der Gleichung (2.22) in ε = 0 dar: µ ¶ N X ¡ N¢ 1 n ∂ n y(τ ; 0) y(τ ; ε) = ε + O ε n! ∂εn n=0 = y(τ ; 0) + ε(∂ε y)(τ ; 0) +

¡ ¢ ε2 2 (∂ε y)(τ ; 0) + O ε2 2

Durch setzten von y (0) (τ ) := y(τ ; 0), y (1) (τ ) := (∂ε y)(τ ; 0) usw. erh¨alt man den L¨osungsansatz (2.23). Damit k¨onnen wir das asymptotische Verhalten der L¨osung y f¨ ur ein festes τ und ein beliebig kleines ε bestimmen. Je nach Grad der Potenz von ε spricht man vom Verhalten der L¨osung in der jeweiligen Ordnung. Somit beschreibt y (0) (τ ) das Verhalten in nullter bzw. f¨ uhrender Ordnung, y (1) (τ ) das Verhalten in erster Ordnung usw. Setzen wir nun die Zeitableitungen von (2.23) nach der dimensionslosen Zeit τ ¡ ¢ 0 0 0 y 0 (τ ; ε) = y (0) (τ ) + εy (1) (τ ) + ε2 y (2) (τ ) + O ε2 ¡ ¢ 00 00 00 y 00 (τ ; ε) = y (0) (τ ) + εy (1) (τ ) + ε2 y (2) (τ ) + O ε2

in die Ausgangsgleichung (2.22) ein, so ergibt sich: ³ 00 ¡ ¢´ 00 00 0 = ε y (0) + εy (1) + ε2 y (2) + O ε2 + ³ 0 ¡ ¢´ 0 0 εˆ κ y (0) + εy (1) + ε2 y (2) + O ε2 + ¡ (0) ¡ ¢¢ y (τ ) + εy (1) + ε2 y (2) + O ε2 − cos τ bzw.

¡

³ 00 ´ ¢ 0 y (0) − cos τ + ε y (0) + κ ˆ y (0) + y (1) + ³ 00 ´ ¡ ¢ 0 ε2 y (1) + κ ˆ y (1) + y (2) + O ε2 = 0

Wenn diese Gleichung f¨ ur beliebige (aber kleine) ε gelten soll, dann muß jeder Klammerausdruck f¨ ur sich Null ergeben. Das heißt: 00

y (0) − cos τ = 0 0

y (0) + κ ˆ y (0) + y (1) = 0 00

0

y (1) + κ ˆ y (1) + y (2) = 0 bzw. y (0) = cos τ 00

0

00

0

ˆ sin τ ˆ y (0) = cos τ + κ y (1) = −y (0) − κ

y (2) = −y (1) − κ ˆ y (1) = (1 − κ ˆ 2 ) cos τ + 2ˆ κ sin τ

35

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik 2 1.5 1

y(τ; ε)

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2

0

5

10

15

τ

20

25

30

Abbildung 2.8: Asymptotische Entwicklung der L¨osung in τ mit y0 = 2, y00 = 0, ε = 0.2 und κ ˆ = 0.2. Exakte L¨osung: schwarz durchgezogen, y(τ ; ε) = y (0) : rot durchgezogen, y(τ ; ε) = y (0) + εy (1) : gr¨un gestrichelt, y(τ ; ε) = y (0) + εy (1) + ε2 y (2) : blau gestrich-punktet Setzt man jetzt die Darstellungen der y (i) in den asymptotischen L¨osungsansatz (2.23) ein, dann ergibt sich die N¨aherungsl¨osung ¡ ¢ ¡ ¢ . ˆ 2 ) cos τ + 2ˆ κ sin τ + O ε2 y(τ ; ε) = cos τ + ε (cos τ + κ ˆ sin τ ) + ε2 (1 − κ

F¨ ur ε → 0 reduziert sich diese Gleichung auf

y(τ ; 0) = y (0) (τ ) = cos τ

,

womit die asymptotische L¨osung also im Limes mit dem Ergebnis (2.21) u ¨bereinstimmt. Allerdings k¨onnen f¨ ur diese L¨osung keine Anfangsbedingungen gesetzt werden, und wir erhalten nur eine L¨osung f¨ ur das System nach Abklingen der Anfangsoszillation. Dies erkennt man auch in Abbildung 2.8, wobei durch Hinzunahme der ersten und zweiten ¨ Ordnung von y nur eine geringe Anderung der asymptotischen L¨osung erfolgt. Im Wesentlichen wird nur der Verlauf der Hintergrundschwingung wiedergegeben. Da die alleinige Betrachtung der Zeitkoordinate τ , die beschreibt, was auf der Zeitskala O(1) passiert, in unserem bisherigen asymptotischen Ansatz nur die Hintergrundschwingung erfaßt, wollen wir im Folgenden eine zweite Zeitkoordinate ϑ einf¨ uhren. Diese soll das Verhalten der L¨osung auf der Zeitskala der unged¨ampften Eigenschwingung einfangen“. Letztere hat – wie wir bereits festgestellt haben – das Verh¨altnis ”√ KO = ε zur Zeitskala der Hintergrundschwingung. Je nach Gr¨oße des Parameters ε haben die beiden Zeitkoordinaten τ und ϑ also ein bestimmtes (festes) Verh¨altnis zueinander (siehe Abbildung 2.9). Mit Einf¨ uhrung der neuen Zeitkoordinate ϑ√k¨onnen wir nun auch versuchen, y asymptotisch auf der dazugeh¨origen Zeitskala O( ε) zu entwickeln. Dazu w¨ahlen wir einen

36

2.1 Der lineare Oszillator

ϑ ϑ1 ϑ2 ϑ3

ϑ∗

τ∗

τ

Abbildung 2.9: Zusammenhang zwischen den Zeitkoordinaten τ und ϑ bei gew¨ahltem ε, √ wobei ϑi = τ / εi (ε1 < ε2 < ε3 ). Zu jedem τ ∗ gibt es genau ein ϑ∗ . neuen asymptotischen Ansatz der Form µ ¶ µ ¶ µ ¶ √ (1) τ τ τ (0) (2) √ √ √ y(τ ; ε) = y + εy + εy + O(ε) ε ε ε

.

√ Die einzelnen Terme k¨onnen wir wegen ϑ = τ / ε auch als Funktion von ϑ schreiben und definieren somit √ y(τ ; ε) =: y (0) (ϑ) + εy (1) (ϑ) + εy (2) (ϑ) + O(ε) , (2.25) wobei sich diese Form f¨ ur die nun folgenden Betrachtungen als sinnvoller herausstellen wird. Analog zur Entwicklung in τ bilden wir nun die Ableitungen nach τ von √ (2.25). Dabei m¨ ussen wir bei festgehaltenem ε eine Richtungsableitung entlang ϑ = τ / ε berechnen und erhalten ¯ µ ¶ ∂y ¯¯ dy (2) dϑ dϑ dy (0) dϑ √ dy (1) dϑ + ε +ε +O ε (ϑ; ε) = ∂τ ¯ε dϑ dτ dϑ dτ dϑ dτ dτ ¡√ ¢ 1 dy (0) dy (1) √ dy (2) + + ε +O ε = √ dϑ dϑ ε dϑ ¯ 2 (0) 2 (1) 2 ¯ 1 dy d2 y (2) ∂ y¯ 1d y √ + + + O(1) (ϑ; ε) = ∂τ 2 ¯ε ε dϑ2 dϑ2 ε dϑ2

¯ ∂y ¯ Mit der Schreibweise ∂τ unterstreichen wir hierbei, daß ε ein fester Parameter ist ε und somit bei der Differentiation konstant gehalten werden muß. W¨ urden wir n¨amlich ε als Ver¨anderliche ansehen, so w¨ urden sich auch die Zeitskalen und somit Masse, Federkonstante und Reibungskoeffizient ¨andern k¨onnen. F¨ ur die rechte Seite der Ausgangsgleichung (2.22) f¨ uhren wir eine Taylorentwicklung um den Nullpunkt durch, wodurch sich ¡ ¢ √ ε cos τ = cos( εϑ) = 1 − ϑ2 + O ε2 2 37

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik ergibt. Wieder setzen wir die Ableitungen und die Entwicklung des Cosinus in (2.22) ein √ dy (0) d2 y (0) √ d2 y (1) d2 y (2) dy (1) ε ε + + ε + κ ˆ + κ ˆ ε + dϑ2 dϑ2 dϑ2 dϑ dϑ √ ϑ2 y (0) + εy (1) + εy (2) + O(ε) = 1 − ε 2 und erhalten durch Einsammeln der verschiedenen Ordnungen in ε die ¨aquivalente Form d2 y (0) O(1) : + y (0) = 1 dϑ2 ¡√ ¢ dy (0) d2 y (1) + κ ˆ + y (1) = 0 O ε : dϑ2 dϑ d2 y (2) dy (1) ϑ2 (2) O(ε) : + κ ˆ + y = − dϑ2 dϑ 2 Die Gleichung in der f¨ uhenden Ordnung O(1) ist eine einfache inhomogene Schwingungsgleichung deren L¨osung y (0) = a0 sin ϑ + b0 cos ϑ + 1 ist. Hierbei sind a0 und b0 wieder aus den Anfangsbedingungen zu bestimmende Kon√ stanten. Mit diesem Ergebnis k¨onnen wir nun auch die Gleichung der Ordnung O( ε) l¨osen, die nun die Gestalt d2 y (1) + y (1) = −ˆ κ (a0 cos ϑ − b0 sin ϑ) 2 dϑ

(2.26)

annimmt. Zur L¨osung der Gleichung bemerken wir wieder, daß die zugeh¨orige homogene (1) Gleichung die L¨osung yh = a1 sin ϑ + b1 cos ϑ hat, wobei a1 und b1 in gewohnter Weise aus den Anfangsbedingungen zu bestimmen sind. F¨ ur die Herleitung einer bestimmten Partikul¨arl¨osung ist es offensichtlich, daß in ihr die Terme sin ϑ und cos ϑ vorkommen m¨ ussen. Außerdem k¨onnten weitere von ϑ abh¨angige Terme in der L¨osung enthalten sein. Wir machen daher den Ansatz yp(1) = f (ϑ) sin ϑ + g(ϑ) cos ϑ , wobei f und g noch zu bestimmende Polynome sein sollen. Setzen wir diesen in die Differentialgleichung (2.26) ein, so erhalten wir (f¨ − 2g) ˙ sin ϑ + (¨ g + 2f˙) cos ϑ = −ˆ κ (a0 cos ϑ − b0 sin ϑ) und durch Koeffizientenvergleich die Bedingungsgleichungen f¨ − 2g˙ = κ ˆ b0

38

und g¨ + 2f˙ = −ˆ κa0

.

(2.27)

2.1 Der lineare Oszillator 4 3 2

y(τ; ε)

1 0 −1 −2 −3 −4

0

1

2

3

τ

4

5

6

Abbildung 2.10: Asymptotische Enticklung der L¨osung in ϑ mit y0 = 2, y00 = 0, ε = 0.001 und κ ˆ = 0.8. Exakte L¨osung: schwarz durchgezogen, y(τ ; ε) = y (0) : √ rot durchgezogen, y(τ ; ε) = y (0) + εy (1) : gr¨un gestrichelt, y(τ ; ε) = √ (1) (2) (0) y + εy + εy : blau gestrich-punktet Hieraus ergibt sich, dass f und g Polynome h¨ochstens ersten Grades sein m¨ ussen. Wir w¨ahlen also die Darstellungen f (ϑ) = Af ϑ + Bf und g(ϑ) = Ag ϑ + Bg , wobei wir o.B.d.A. Bf ≡ 0 und Bg ≡ 0 setzen k¨onnen (diese Terme lassen sich durch den homogenen Teil der L¨osung ausdr¨ ucken). Durch L¨osen von (2.27) erh¨alt man schließlich κ ˆ yp(1) = −ϑ (a0 sin ϑ + b0 cos ϑ) 2 und somit f¨ ur y in erster Ordnung κ ˆ (1) y (1) = yh + yp(1) = a1 sin ϑ + b1 cos ϑ − ϑ (a0 sin ϑ + b0 cos ϑ) 2

.

Auf die gleiche Weise erhalten wir auch L¨osungen f¨ ur die folgenden Ordnungen und k¨onnen durch Einsetzen der y (i) in unseren Ansatz (2.25) eine asymptotische L¨osung y(τ ; ε) beliebig hoher Ordnung konstruieren. Allerdings ist auch dieser L¨osungsansatz nicht befriedigend. Wie man in Abbildung 2.10 n¨amlich sieht, verbessert sich die L¨osung zwar mit zunehmender Ordnung, allerdings gilt dies nur f¨ ur die Anfangszeit. Mit zunehmender Zeit divergiert die L¨osung sogar! Bemerkung: • H¨atten wir bei dieser Entwicklung einen L¨osungsansatz analog (2.23) (das heißt mit φn (ε) = εn ) gew¨ahlt, kann man leicht nachrechnen, dass sich hieraus nur die triviale L¨osung y(τ ; ε) ≡ 0 ergibt. Bei der Suche nach einer asymptotischen L¨osung kommt es also entscheidend auf die Wahl der verwendeten asymptotischen Folge {φn (ε)}n∈IN an.

39

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik • Wie wir gesehen haben, hat√die Differentialgleichung f¨ ur y (1) eine resonante L¨our große Zeiten nicht mehr gegen¨ uber y (0) zu sung. Somit ist der Term εy (1) f¨ vernachl¨assigen und√die L¨osung divergiert f¨ ur Zeiten ϑ = O(1). Die L¨osung ist also nur f¨ ur τ = O( ε) g¨ ultig.

2.1.4 Mehrskalenanalyse √ Da die jeweilige alleinige Betrachtung der Zeitskalen O( ε) bzw. O(1) in unseren bisherigen asymptotischen Ans¨atzen nur zu unzureichenden Ergebnissen f¨ uhrt, wollen wir nun einen Ansatz w¨ahlen, mit dem beide Zeitskalen ber¨ ucksichtigt werden. Gesucht ist also eine L¨osung, die sowohl die Zeitkoordinate τ , als auch die Zeitkoordinate ϑ ber¨ ucksichtigt. Eine L¨osung, die zwei charakteristische Zeitskalen beinhalten soll, verlangt einen entsprechenden L¨osungsansatz, der die Form ¶ ¶ ¶ µ µ µ √ (1) τ τ τ (2) (0) √ , τ + εy √ , τ + εy √ , τ + O(ε) y(τ ; ε) = y (2.28) ε √ ε ε (0) (1) (2) =: y (ϑ, τ ) + εy (ϑ, τ ) + εy (ϑ, τ ) + O(ε) √ mit ϑ = τ / ε hat. Dabei sollte der L¨osungsansatz die Ausgangsgleichung (2.22) f¨ ur 0 0 ullen. beliebige ε ¿ 1 mit den Anfangsbedingungen y(0; ε) = y0 und y (0; ε) = y0 erf¨

Um nun zur L¨osung zu gelangen, m¨ ussen wieder die zeitlichen Ableitungen von (2.28) gebildet werden. Es muß jedoch beachtet werden, dass y = y(ϑ, τ ) eine Funktion von zwei unabh¨angigen Variablen ist. Dies f¨ uhrt uns zu folgenden komplexeren Zeitableitungen: ¯ √ (1) √ ∂y ¯¯ (0) (2) = yϑ ϑτ + yτ(0) + εyϑ ϑτ + εyτ(1) + εyϑ ϑτ + εyτ(2) + O(εϑτ ) ¯ ∂τ ε ´ ´ √ ³ ¡√ ¢ 1 (0) ³ (1) (2) (2.29) = √ yϑ + yτ(0) + yϑ + ε yτ(1) + yϑ + O ε ε ¯ ´ ´ ³ 1 (0) 1 ³ (0) ∂ 2 y ¯¯ (1) (2) (1) (0) √ + 2y + y + y = 2y + y y + ττ ϑτ ϑϑ + O (1) ϑτ ϑϑ ∂τ 2 ¯ε ε ϑϑ ε

Wir werden sehen, dass wir zur Konstruktion der L¨osung f¨ uhrender Ordnung y (0) (ϑ, τ ) die ersten beiden Ordnungen der entwickelten Gleichung (2.22) analysieren m¨ ussen. Setzt man also die Zeitableitungen (2.29) und die Reihenentwicklung von y in (2.22) ein, so ergibt sich ³ ´ √ ³ ´ ¡√ ¢ (0) (0) (1) (0) (0) (1) yϑϑ + y − cos τ + ε 2yϑτ + yϑϑ + κ ˆ yϑ + y +O ε =0 .

Wenn diese Gleichung f¨ ur beliebige ε ¿ 1 erf¨ ullt sein soll, reicht es, wenn auch hier die einzelnen Terme in den eckigen √ Klammern verschwinden. Hierbei beachte man, dass in dieser Reihenentwicklung in ε zun¨achst alle Koeffizienten auch von ε abh¨angen. Daher

40

2.1 Der lineare Oszillator ist nicht von vornherein klar, dass die Koeffizienten s¨amtlich verschwinden m¨ ussen. Gelingt es aber, die Koeffizienten f¨ ur beliebige (ϑ, τ ) zu Null zu setzen (das heißt, wir entkoppeln die L¨osung von ε), so ist unsere ullt. Wir √ Gleichung in jedem Fall erf¨ erhalten also f¨ ur die jeweiligen Ordnungen in ε: O(1) : √ O( ε) :

(0)

y (0) + yϑϑ = cos τ (1) (0) (0) y (1) + yϑϑ = −2yϑτ − κ ˆ yϑ

,

(2.30)

wobei nun ϑ und τ wieder als unabh¨angige Variablen aufzufassen sind und wir somit zwei partielle Differentialgleichungen erhalten haben. Die Bedingungen (2.30) sind wieder Schwingungsgleichungen, wie wir sie schon kennen. In beiden Gleichungen sieht der Differentialoperator (∂ϑϑ + id) von τ abh¨angige Terme nur als Konstante. Zus¨atzlich kann bei Kenntnis der L¨osung der ersten Gleichung die rechte Seite der zweiten Gleichung als Funktion von ϑ fest vorgegeben werden. Damit degenerieren beide Gleichun(0) gen zu gew¨ohnlichen Differentialgleichungen. Mit dem L¨osungsansatz y (0) = yh + cos τ erhalten wir f¨ ur (2.30)1 die L¨osung y (0) (ϑ, τ ) = A(τ ) cos ϑ + B(τ ) sin ϑ + cos τ

.

(2.31)

¨ Dies entspricht der Uberlagerung einer langsamen Hintergrundbewegung mit einer immer schneller werdenden Oszillation f¨ ur ε → 0. Außerdem erhalten wir f¨ ur A(τ ) ≡ (0) B(τ ) ≡ 0 gerade das y aus der Einskalenanalyse. Somit deckt dieses Ergebnis schon einmal diese L¨osung ab. Betrachten wir jetzt Gleichung (2.30)2 , so ergibt sich durch Einsetzen der partiellen Ableitungen von (2.31) (1)

yϑϑ + y (1) = (2A0 + κ ˆ A)(τ ) sin ϑ − (2B 0 + κ ˆ B)(τ ) cos ϑ . Diese Gleichung hat eine resonante L¨osung (vergleiche hierzu die Ausf¨ uhrungen im Abschnitt 2.1.1)! Wir erhalten y

(1)

=

(1) yh

−ϑ

µµ

¶ µ ¶ ¶ κ ˆ κ ˆ (1) 0 yp(1) A + A (τ ) cos ϑ + B + B (τ ) sin ϑ =: yh + ϑ˜ 2 2 0

.

√ √ (1) (1) (1) Das bedeutet, dass im Falle y˜p 6= 0 der Term εy (1) (ϑ, τ ) = εyh +τ y˜p im asymptotischen L¨osungsansatz (2.28) nicht mehr gegen¨ uber dem Term y (0) (ϑ, τ ) vernachl¨assigt werden darf, sobald τ = O(1) wird. Um solche resonanten L¨osungen von vornherein auszuschließen und damit zu einer auch f¨ ur τ = O(1) ad¨aquaten Approximation zu kommen, verlangen wir √ (i) τˆ εy (ϑ, τ ) → 0 f¨ ur ε → 0 , mit ϑ = √ und τˆ fest. ε

(2.32)

41

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik Bemerkung: Die Bedingung (2.32) ist unter dem Stichwort S¨akularbedingung oder sub-linear growth condition bekannt. Allgemein stellen wir hierbei an die Koeffizienten un (x1 , η, x2 , . . . , xm ), wobei η = x1 /ψ(ε) → ∞ f¨ ur ε → 0, der asymptotischen Entwicklung (2.24) die Bedingung µ ¶ φn (ε) x1 un x 1 , , x2 , . . . , x m → 0 φn−1 (ε) ψ(ε)

f¨ ur ε → 0, xi , i = 1, . . . , m fest.

Der Name sub-linear growth condition“ wird klar, wenn man die obige Bedingung f¨ ur ” n η = x1 /ε und φn (ε) = ε anwendet. In diesem Fall erhalten wir lim

η→∞

un (x1 , η, x2 , . . . , xm ) =0 η

, xi , i = 1, . . . , m fest.

Die un wachsen also langsamer (sub-linear) als die Koordinate η f¨ ur ε → 0. (1)

Verlangt man also, dass y (1) keine resonanten Terme“ vom Typ ϑ˜ yp ” folgt κ ˆ κ ˆ A0 (τ ) + A(τ ) = 0 und B 0 (τ ) + B(τ ) = 0 2 2

enth¨alt, dann

(da A und B unabh¨angig von ϑ und somit auch von ε sein m¨ ussen). Diese beiden Differentialgleichungen haben f¨ ur A und B die L¨osungen µ ¶ µ ¶ κ ˆ κ ˆ A(τ ) = A(0) exp − τ und B(τ ) = B(0) exp − τ . (2.33) 2 2 An diesem Punkt stellt es sich nun als sinnvoll heraus, zun¨achst mit der Entwicklung der Anfangsbedingungen y(0) = y0 , y 0 (0) = y00 fortzufahren. Dieser Zwischenschritt liefert uns zus¨atzliche Informationen, mit denen wir A(0) und B(0) bestimmen k¨onnen. Die Entwicklung der Anfangsbedingungen erfolgt durch Einsetzen von τ = 0 und ϑ = 0 in Gleichung (2.28), wodurch sich √ y0 = y (0) (0, 0) + εy (1) (0, 0) + εy (2) (0, 0) + O(ε) µ ¶ ¡√ ¢ √ (1) 1 (0) ∂y (1) (2) 0 (0) y0 = (0; ε) = √ yϑ + (yτ + yϑ ) + ε(yτ + yϑ ) (0, 0) + O ε ∂τ ε

ergibt. Nehmen wir Anfangsbedingungen vom Typ y0 = OS (1) und y00 = OS (1) an und soll ε wieder beliebig gew¨ahlt sein, so gilt: y (0) (0, 0) = y0 , (0)

yϑ (0, 0) = 0 ,

42

(0)

(1)

y (i) (0, 0) = 0 f¨ ur i = 1, 2, ...

(yτ + yϑ )(0, 0) = y00 ,

(i)

(i+1)

(yτ + yϑ

)(0, 0) = 0 f¨ ur i = 1, 2, ...

2.1 Der lineare Oszillator 2.5 2 1.5 1 y(τ; ε)

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5

0

1

2

3

τ

4

5

6

Abbildung 2.11: Asymptotische Mehrskalen-Entwicklung der L¨osung in τ und ϑ mit ε = 0.001, κ ˆ = 0.8 und Anfangsbedingungen y0 = 2 und y00 = 10. Exakte L¨osung: schwarz durchgezogen, y(τ ; ε) = y (0) : rot gestrichelt (0)

Setzen wir diese Ergebnisse in (2.31) und in ihre nach ϑ abgeleitete Form yϑ = −A(τ ) sin ϑ + B(τ ) cos ϑ ein, k¨onnen wir die Werte von A und B zur Zeit (τ, ϑ) = (0, 0) n¨aher bestimmen: y (0) (0, 0) = A(0) + 1 ⇒ A(0) = y0 − 1 (0)

yϑ (0, 0) = B(0)

⇒ B(0) = 0

Durch Einsetzen von A(0) und B(0) in (2.33) ergibt sich mit (2.31) µ

κ ˆ y (ϑ, τ ) = (y0 − 1) exp − τ 2 (0)

¶

cos ϑ + cos τ

die L¨osung in f¨ uhrender Ordnung. Bemerkung: Man beachte, dass wir die Anfangsbedingungen ausschließlich f¨ ur ϑ = τ = 0, nicht aber f¨ ur ϑ = 0, τ beliebig genutzt haben. Letzteres Vorgehen w¨are unzul¨assig, wird aber manchmal irrt¨ umlicherweise verfolgt. Hat man n¨amlich einmal die asymptotische L¨osung ausgerechnet, dann bewegt man sich f¨ ur ein gegebenes ε immer auf einer Geraden durch den Ursprung, wie sie in Abbildung 2.9 dargestellt sind. Wie man in Abbildung 2.11 sieht, ist hier die L¨osung in f¨ uhender Ordnung schon kaum von der exakten L¨osung zu unterscheiden. Allerdings gilt diese L¨osung nur f¨ ur Anfangsbedingungen der Art y0 = OS (1) und y00 = OS (1). √ √ W¨ urde dagegen y0 = OS (1) und y00 = OS (1/ ε) gelten, das heißt y00 = y˜00 / ε wobei

43

2 Einf¨uhrung in die Mehrskalenasymptotik 2.5 2 1.5 1 y(τ; ε)

0.5 0 −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5

0

1

2

3

τ

4

5

6

Abbildung 2.12: Asymptotische Mehrskalen-Entwicklung der L¨osung in τ und ϑ mit √ ε= 0.001, κ ˆ = 0.8 und Anfangsbedingungen y0 = 1.3 und y00 = 1/ ε. Exakte L¨osung: schwarz durchgezogen, y(τ ; ε) = y (0) : rot gestrichelt y˜00 = OS (1), so erhielten wir y (0) (0, 0) = y0 , (0)

yϑ (0, 0) = y˜00 ,

(i)

y (i) (0, 0) = 0 f¨ ur i = 1, 2, ... (i+1)

(yτ + yϑ

)(0, 0) = 0 f¨ ur i = 0, 1, ...

Aus diesen Bedingungen folgt A(0) = y0 − 1 und B(0) = y˜00 , wodurch sich in f¨ uhrender Ordnung die L¨osung ¶ µ ¶ µ κ ˆ κ ˆ 0 (0) y (ϑ, τ ) = (y0 − 1) exp − τ cos ϑ + y˜0 exp − τ sin ϑ + cos τ 2 2 ergibt. Wie man in Abbildung 2.12 erkennt, ist auch hier die asymptotische L¨osung kaum von der exakten unterscheidbar.

44

3 Kennzahlen der geophysikalischen Str¨ omungsmechanik In Vorbetrachtung auf den n¨achsten Schritt, in dem es darum gehen wird, das str¨omungsdynamische Gleichungssystem aus Kapitel 1 in eine dimensionslose Form zu u uhren, wollen wir im ersten Teil dieses Kapitels dimensionslose Kennzahlen einf¨ uh¨berf¨ ren. Dabei werden wir analog zur Vorgehensweise im Kapitel 2 vorgehen.

3.1 Dimensionslose Kennzahlen Das von uns betrachtete Gleichungssystem setzt sich aus den Gleichungen der Massenund Impulserhaltung (1.26)1−3 und der Druckgleichung (1.28) zusammen: %t

+ ∇ · (%v)

=0

(%v q )t + ∇ · (%v ◦ v q ) + 2(Ω × %v)q + ∇q p = −(∇ · ~~τ )q (%w)t + ∇ · (%vw)

+ 2(Ω × %v)⊥ + pz

pt

+ γp(∇ · v)

+ v · ∇p

= −(∇ · ~~τ )⊥ − %g

(3.1)

= −(γ − 1)(∇ ·~ + ~~τ : ∇v) + Qp

Um ein hierauf beruhendes Problem vollst¨andig l¨osen zu k¨onnen ben¨otigen wir zus¨atzlich Anfangs- und Randbedingungen. Außerdem benutzen wir die in Kapitel 1 vorgestellten Zustandsgleichungen: p = %RT ~~τ = −µ(∇v + (∇v)T − µ ˆ(∇ · v)~~1) ~ = −λ ∇T

(3.2)

Zur Bestimmung von Kennzahlen ist auch hier zun¨achst von Interesse, welche bestimmenden Gr¨oßen in dem Problem (3.1) und (3.2) inklusive Rand- und Anfangsbedingungen enthalten sind. F¨ ur den Druck p, die Geschwindigkeit v und die Dichte % sind die Anfangs- und Randbedingungen in Form von Feldern gegeben. F¨ ur diese Felder k¨onnen wir in vielen Anwendungsf¨allen typische Referenzgr¨oßen pref , vref und %ref angeben. Außerdem ist durch die Anfangsbedingungen die Schichtung und damit die Stabilit¨at der Atmosph¨are gegeben. Diese wird durch die im Abschnitt 1.5 eingef¨ uhrte

45

3 Kennzahlen der geophysikalischen Str¨omungsmechanik Brunt-V¨ais¨al¨a-Frequenz N ausgedr¨ uckt. Aus den Druck- und Dichtefeldern ergibt sich n¨amlich mit Hilfe der idealen Gasgleichung und der Definition der potentiellen Temperatur ein Feld f¨ ur Θ. Hieraus k¨onnen wir einen f¨ ur das Problem typischen Referenzwert Nref bestimmen. Welche Referenzgr¨oßen aus den Randbedingungen erh¨altlich sind, ist nicht von vornherein klar; im Prinzip gibt es hierbei unendlich viele M¨oglichkeiten. Als m¨ogliches Beispiel wollen wir den Fall eines regionalen Klimamodells skizzieren: Um realistische Simulationen zu berechnen wird dieses oft in ein globales Modell eingebettet, welches dem regionalen Modell die n¨otigen Randdaten f¨ ur zeit- und raumabh¨angige Massen-, Impulsund Energiefl¨ usse liefert. Da das globale Modell nur bestimmte Zeit- und L¨angenskalen aufl¨ost (beispielsweise die synoptischen), werden hierdurch eine Referenzzeit tRB und eine Referenzl¨ange `RB gegeben. Dem Quellterm Qp kann ebenfalls ein (oder, falls es sich um eine Summe handelt, mehrere) Referenzwert Qref zugeordnet werden. Schließlich enth¨alt das Problem die Konstanten Ωref := |Ω|, g, γ, R, µ, µ ˆ und λ, die wir auch als bestimmende Gr¨oßen verwenden. Diese 14 Gr¨oßen lassen sich allein durch die vier Grundgr¨oßenarten Masse (M ), L¨ange (L), Zeit (T ) und Temperatur (Θ) darstellen: ¸ M kg = 3 , [%ref ] = 3 m L

¸ M N = [vref ] = [pref ] = , 2 s m LT2 · ¸ 1 1 = , [tRB ] = [s] = T , [`RB ] = [m] = L , [Ωref ] = s T · ¸ · ¸ hmi L L2 M m2 kg [g] = 2 = 2 , [γ] = 1 , [R] = 2 = 2 , [µ] = = , s T sK T Θ ms LT ¸ · ¸ · 1 kgm ML 1 M = 3 , [Nref ] = = , [Qref ] = . [ˆ µ] = 1 , [λ] = 3 sK T Θ s T LT3 ·

hmi

L = , T

·

Im Falle des str¨omungsdynamischen Gleichungssystems m¨ ußten wir also 14 − 4 = 10 dimensionslose Kenngr¨oßen aufstellen k¨onnen. F¨ ur die weiteren Betrachtungen wollen wir daf¨ ur – vorerst mehr oder weniger beliebig – die nachfolgenden Kombinationen w¨ahlen. Zuerst machen wir aber noch eine Feststellung: Offenbar ist pref /(%ref g) eine L¨ange, die wir im folgenden als die Druckskalenh¨ohe hsc bezeichnen (siehe Anhang B) und als prim¨are L¨angenskala verwenden werden. Wir erhalten damit unsere erste dimensionslose Kennzahl, indem wir hsc ins Verh¨altnis zur von den Randbedingungen vorgegeben L¨angenskala `RB setzen: δ=

pref /(%ref g) hsc = `RB `RB

Die weiteren Kennzahlen sind aus der Meteorologie bekannte Kenngr¨oßen:

46

3.1 Dimensionslose Kennzahlen Mach-Zahl: M= p

vref pref /%ref

=

vref Str¨omungsgeschwindigkeit = b cref Schallgeschwindigkeit

Rossby-Zahl: 1 vref = · Ro = 2Ωref hsc 2Ωref

µ

hsc vref

¶−1

Strouhal-Zahl: Sr = Reynolds-Zahl:

Pr =

barokline Froude-Zahl: Frstab =

Damk¨ ohler-Zahl:

Tragheitskr¨afte Erdumdrehungszeit = b Advektionszeit Coriolis-Kr¨afte

hsc hsc /vref Advektionszeit = = b vref tRB tRB Referenzzeit der RB. Re =

Prandtl-Zahl:

= b

Tr¨agheitskr¨afte %ref vref hsc = b µ Reibungskr¨afte

γRµ kinematische Z¨ahigkeit cp µ = = b λ (γ − 1) λ W¨armeleitf¨ahigkeit

vref Str¨omungsgeschwindigkeit = b hsc Nref interne Schwerewellengeschwindigkeit Da =

hsc Qref vref pref

Hinzu kommen die beiden Konstanten (die wegen ihrer Dimension 1 auch als Kenngr¨oßen verwendet werden k¨onnen) γ=

cp cv

und µ ˆ ,

wodurch wir insgesamt zehn Kennzahlen definiert haben. Bemerkung: • Eine weitere wichtige Kenngr¨oße, die oft in der Meteorologie verwendet wird, ist die barotrope Froudezahl, die die Str¨omungsgeschwindigkeit mit der barotropen Schwerewellengeschwindigkeit ins Verh¨altnis setzt:

47

3 Kennzahlen der geophysikalischen Str¨omungsmechanik barotrope Froude-Zahl: vref Str¨omungsgeschwindigkeit Fr = √ = b barotrope Schwerewellengeschwindigkeit g hsc

Verwendet man hierbei ebenfalls die Druckskalenh¨ohe als Referenzl¨ange so ist diese jedoch identisch mit der Machzahl. • Wir werden sp¨ater sehen (Kapitel 5), daß f¨ ur die Rossby-Zahl gebildet mit der Druckskalenh¨ohe Rohsc À 1

gilt. Bildet man die Rossby-Zahl allerdings mit einem `RB , welches der synoptischen L¨angenskala entspricht (das heißt `RB = O(106 m)), dann gilt Ro`RB ¿ 1 .

• Nat¨ urlich kann man die Kennzahlen Ro, Sr, Re etc. auch alle mit `RB statt hsc bilden. Dieses Vorgehen f¨ uhrt aber lediglich auf eine Skalierung mit Potenzen von δ.

3.2 Die dimensionslosen Str¨ omungsgleichungen Wie schon im Kapitel 2 gezeigt, gelangt man zur dimensionslosen Darstellung einer Gleichung, indem man die Koordinaten und Feldgr¨oßen der betrachteten Gleichung durch entsprechende Referenzgr¨oßen dividiert. Bei der Herleitung der dimensionslosen Form unseres str¨omungsdynamischen Gleichungssystems soll dies beispielhaft f¨ ur die Massenerhaltungsgleichung ∂% + ∇ · (%v) = 0 (3.3) ∂t gezeigt werden. Als Referenzgr¨oßen f¨ ur die Raum- und Zeitkoordinaten w¨ahlen wir die schon oben eingef¨ uhrten Gr¨oßen hsc und tRB (es k¨onnten allerdings auch v¨ollig andere sein!). Damit erhalten wir die dimensionslosen Koordinaten x0 :=

x x = `ref hsc

und t0 :=

t tref

=

t tRB

.

(3.4)

Zus¨atzlich m¨ ussen die in der Gleichung enthaltenen Variablen in eine dimensionslose Form u uhrt werden. Da sich eine Gr¨oße ψ durch Multiplikation mit eins nicht ¨berf¨ ver¨andert, kann man sie umschreiben zu ψref · ψ(xq , z, t) ψref µ ¶ xq z t 0 = ψref · ψ , , hsc hsc tRB = ψref · ψ 0 (x0q , z 0 , t0 ) ,

ψ(xq , z, t) =

48

3.2 Die dimensionslosen Str¨omungsgleichungen wobei wir hier die Raumkoordinate x in ihren horizontalen Anteil xq und vertikalen Anteil z aufgeteilt haben. Damit gilt %0 =

% %ref

und v 0 =

v vref

.

F¨ ur die in (3.3) enthaltenen Differentialoperatoren erhalten nun wir unter Ber¨ ucksichtigung der Kettenregel und mit Hilfe der Beziehungen (3.4) 1 ∂ ∂t0 ∂ ∂ = = ∂t ∂t ∂t0 tRB ∂t0 und ∇=

1 0 ∂x0 0 ∇ = ∇ ∂x hsc

.

Setzt man obige Relationen in die Massenerhaltungsgleichung (3.3) ein, dann ergibt sich f¨ ur den ersten Term ∂% ∂ %ref ∂%0 = (%ref %0 ) = ∂t ∂t tRB ∂t0

.

Der zweite Term errechnet sich analog und wir erhalten ∇ · (%v) = ∇ · (%ref vref %0 v 0 ) =

%ref vref 0 ∇ · (%0 v 0 ) . hsc

Multipliziert man die Gleichung nun noch mit dem Faktor hsc /(%ref vref ), so nimmt die dimensionslose Darstellung der Massenerhaltungsgleichung die Form hsc ∂%0 + ∇0 · (%0 v 0 ) = 0 0 vref tRB ∂t an. Der Bruch bestehend aus Referenzgr¨oßen, den wir hierbei als Faktor der dimensionslosen Zeitableitung erhalten haben, ist die Strouhal-Zahl. Es ergibt sich folgende endg¨ ultige dimensionslose Form f¨ ur die Kontinuit¨atsgleichung: Sr

∂%0 + ∇0 · (%0 v 0 ) = 0 . ∂t0

Analog gelangt man zu den dimensionslosen Darstellungen der Impulserhaltungs- und Druckgleichungen. Unser str¨omungsdynamisches Gleichungssystem in seiner dimensionslosen Darstellung hat somit folgendes Aussehen (Beachte, daß die Kennzeichnung der dimensionslosen Gr¨oßen durch den Strich von nun ab weggelassen werden soll, und

49

3 Kennzahlen der geophysikalischen Str¨omungsmechanik wir betrachten die ungestrichenen Gr¨oßen %, v q , w, p usw. stets als dimensionslos): Sr %t

+ ∇ · (%v)

=0 1 ∇q p + M2 1 + 2 pz + M

Sr (%v q )t + ∇ · (%v ◦ v q ) + Sr (%w)t + ∇ · (%vw) Sr pt

+ v · ∇p

1 ˆ 1 (Ω × %v)q = − (∇ · ~~τ )q Ro Re 1 ˆ 1 1 (Ω × %v)⊥ = − (∇ · ~~τ )⊥ − 2 % Ro Re Fr

+ γp (∇ · v) = −(γ − 1)

µ

(3.5)

¶ 1 M2 ~ ~τ : ∇v + Da Qp (∇ ·~) + Re Pr Re

ˆ und Qp = Qref Q0 f¨ Hierbei haben wir neben den Beziehungen p = pref p0 , Ω = Ωref Ω p ur den Spannungstensor ~~τ und die thermische Energiestromdichte ~ die Formeln µ vref ~ 0 ~~τ = − µ vref (∇0 v 0 + (∇0 v 0 )T − µ ˆ(∇0 · v 0 )~~1) = ~τ hsc hsc bzw.

verwendet.

µ ¶ p0 λ pref λ pref 0 ~0 ~ = ∇ − 0 = %ref cp hsc % (1 − 1/γ) %ref cp hsc

Statt der Druckgleichung k¨onnen wir ebenso die Evolutionsgleichung der potentiellen Temperatur benutzen. Diese erhalten wir analog zur Vorgehensweise im Abschnitt 1.6.2 durch Kombination von Massenerhaltung und Druckgleichung. W¨ahlen wir p0 := pref , so ergibt sich mit Hilfe des idealen Gasgesetzes (1.13) f¨ ur die dimensionslose potentielle Temperatur γ−1

1

Θ p γ pγ Θ0 = = 0 · · Tref R %

µ

pref R%ref

¶−1

=

µ

p pref

¶ γ1

·

µ

%ref %

¶

1

p0 γ = 0 %

,

wobei hier die gestrichenen Gr¨oßen wieder die dimensionslosen sind. Damit erhalten wir die Evolutionsgleichung der dimensionslosen potentiellen Temperatur µ ¶ µ ¶ ∂ Θ M2 ~ Θ 1 Sr + v · ∇ Θ = (1 − γ) (∇ ·~) + ~τ : ∇v + Da Qp . (3.6) ∂t γp Re Pr Re γp Zus¨atzlich erhalten wir wie beim harmonischen Oszillator in Kapitel 2 dimensionslose Gleichungen f¨ ur die Rand- und Anfangsbedingungen. Diese enthalten dann weitere Kennzahlen (wie beispielsweise das Skalenverh¨altnis δ), lassen sich allerdings in dieser Allgemeinheit nicht angeben.

50

4 Die Hydrostatisch-Primitiven Gleichungen In den folgenden Abschnitten wollen wir die im letzten Kapitel hergeleiteten dimensionslosen Str¨omungsgleichungen mit Hilfe der Asymptotik in einfachere Modellgleichungen u uhren. In diesem Kapitel wollen wir zuerst Str¨omungen mit kleinem H¨ohen- zu ¨berf¨ L¨angenverh¨altnis betrachten, um zu den sogenannten Hydrostatisch-Primitiven Gleichungen (HPE) zu gelangen. Diese werden dann auch in dem sogenannten Druckkoordinatensystem angegeben. Durch Linearisierung und Separation der Variablen gelangen wir schließlich zu vertikalen Moden und einer horizontalen Wellengleichung.

4.1 Asymptotische Analyse Um die Bedingung kleines H¨ohen- zu L¨angenverh¨altnis“ in unserer asymptotischen ” Analyse zu ber¨ ucksichtigen, w¨ahlen wir unterschiedliche Skalierungen f¨ ur horizontale und vertikale Koordinaten. Hierf¨ ur f¨ uhren wir neue Koordinaten f¨ ur die Horizontale (ξ) und die Zeit (τ ) ein, f¨ ur die ξ = ε2 x und τ = ε2 t mit ε ¿ 1 gilt und betrachten L¨osungen der Form (%, p, v q , w)(xq , z, t; ε) =: U(xq , z, t; ε) ¡ ¢ = U(0) (ξ, z, τ ) + ε2 U(1) (ξ, z, τ ) + ε4 U(2) (ξ, z, τ ) + O ε4

.

Bemerkung: Wir betrachten hierdurch Str¨omungen, die auf großen“ horizontalen ” Raum- und Zeitskalen anzutreffen sind. Diese bezeichnet man in der Meteorologie auch oft als synoptische Skalen. Wir h¨atten statt in ε2 genauso auch in ε entwickeln k¨onnen. Daß wir hier das Quadrat von ε verwenden beruht allein auf Konsistenzgr¨ unden. Sp¨ater erweist es sich n¨amlich als sinnvoll, ε in dem Bereich 1/8 . . . 1/6 anzunehmen und auch Entwicklungen in ε zu betrachten. Zu beachten ist nun, dass sich r¨aumliche Ableitungen in ihren Richtungen unterschiedlich verhalten. Es gilt n¨amlich wegen der Kettenregel f¨ ur eine Gr¨oße ψ(ξ, z, τ ) = 2 2 ψ(ε xq , z, ε t) ∂ψ ∂ψ = ε 2 ∇ξ ψ + k . ∇(xq ,z) ψ = ∇q ψ + k ∂z ∂z

51

4 Die Hydrostatisch-Primitiven Gleichungen Genauso erhalten wir f¨ ur eine Zeitableitung ∂ψ ∂ψ = ε2 ∂t ∂τ

.

Außerdem machen wir bei der Analyse von (3.5) f¨ ur die Kennzahlen die Annahme Fr, M, Ro`RB , Sr, Da = O(1)

und Re À ε−2

f¨ ur ε → 0 .

Damit gilt f¨ ur die Rossby-Zahl gebildet mit der Druckskalenh¨ohe 1 1 Rohsc = Ro`RB = 2 Ro`RB δ ε

,

wobei wir δ = ε2 wegen der obigen Koordinatenskalierungen gesetzt haben. Bemerkung: Turbulenz kann den Netto-Effekt der Viskosit¨at drastisch vergr¨oßern. Dieser Aspekt wird hier allerdings nicht diskutiert, da er eher in den Zusammenhang von Parametrisierungen geh¨ort. Betrachten wir nun die Gleichung der Massenerhaltung (3.5)1 und setzen die obigen Entwicklungen f¨ ur die einzelnen Terme ein, so gilt ¡ 4¢ 4 (1) Sr %t = Sr(ε2 %(0) τ + ε %τ ) + O ε ∇ · (%v) = ∇q · (%v q ) + (%w)z ³ ´ ¡ ¢ (0) = (%(0) w(0) )z + ε2 ∇ξ · (%(0) v q ) + (%(1) w(0) + %(0) w(1) )z + O ε2 Sammeln wir nun – wie in Kapitel 2 – gleiche Potenzen in ε ein, so ergeben sich f¨ ur die f¨ uhrenden Ordungen folgende Gleichungen: O(1) :

O(ε2 ) :

(%(0) w(0) )z = 0 (0)

(0)

Sr%τ + ∇ξ · (%(0) v q ) + (%(0) w(1) + %(1) w(0) )z = 0

(4.1)

Die erste dieser Gleichungen ist eine gew¨ohnliche Differentialgleichung in z mit τ und ξ als Parameter, obwohl das Ausgangssystem ein partielles Differentialgleichungssystem mit Ableitungen in allen Koordinaten war. Man bezeichnet einen L¨osungsansatz, bei dem ein solcher Typwechsel des Gleichungssystems eintritt als singul¨aren St¨orungsansatz. Zur L¨osung von (4.1)1 m¨ ussen wir nun noch passende Randbedingungen am Boden vorgeben. Hierzu gibt es zwei verschiedene physikalisch sinnvolle M¨oglichkeiten, die – wie wir sehen werden – zum gleichen Ergebnis f¨ uhren. Zum einen k¨onnen wir annehmen, daß die Geschwindigkeit eines Teilchens am Boden gegen Null geht. Das heißt, es gilt

52

4.1 Asymptotische Analyse

z

z

v

v≡0 h(ξ)

h(ξ) n

ξ

ξ

Abbildung 4.1: Darstellung der Haftbedingung (links), bei der f¨ur z = h(ξ) v q ≡ w ≡ 0 gilt, und der Gleitbedingung, (rechts) f¨ur die dort v · n = 0 gilt. v q ≡ 0 und w ≡ 0 f¨ ur z = h(ξ), wobei h die Oberfl¨achenfunktion des Bodens ist (Abbildung 4.1). Diese Randbedingung benennen wir als Haftbedingung. Um das Randwertproblem nun zu l¨osen, bemerken wir zuerst, daß bei z = h(ξ) ¡ ¢ w = w(0) + ε2 w(1) + ε4 w(2) + O ε4 = 0

ist und (da ε beliebig ist) somit insbesondere

w(0) (ξ, h(ξ), τ ) ≡ 0 gilt. Hieraus folgt (%(0) w(0) )(ξ, h(ξ), τ ) ≡ 0 und wegen (4.1)1 Z z (%(0) w(0) )z dz 0 = 0 = (%(0) w(0) )(ξ, z, τ ) − (%(0) w(0) )(ξ, h(ξ), τ ) | {z } 0 z =h(ξ)

.

(4.2)

=0

Da wir %(0) allgemein als verschieden von Null annehmen, folgt also w(0) ≡ 0 .

Im Vergleich dazu geht man bei der Gleitbedingung davon aus, daß am Boden die Geschwindigkeit nur eine tangentiale Komponente besitzt. Es gilt also f¨ ur die dimensionsbehafteten Variablen v · n = 0, wobei n der zur Oberfl¨ache normale Vektor ist (Abbildung 4.1). Zur Berechnung der Normalen betrachten wir die Funktion F (ξ, z) = z−h(ξ) (vergleiche Abbildung 4.2). F¨ ur F gilt an der Oberfl¨ache F (ξ, h(ξ)) ≡ 0 und f¨ ur den Normalenvektor n = ∇F/|∇F |. Berechnen wir nun den Gradienten von F (und damit die Normale n), so ergibt sich ∇F = k

∂z − ε2 ∇ξh(ξ) = k − ε2 ∇ξh . ∂z

53

4 Die Hydrostatisch-Primitiven Gleichungen

z

F (ξ, h(ξ) + z 0 ) > 0 ∇F

F (ξ, h(ξ)) = 0 F (ξ, h(ξ) − z 00 ) < 0

ξ

Abbildung 4.2: Isolinien und Gradient der Funktion F (xq , z) mit z 0 , z 00 > 0. Es gilt also 0 = v·n = (v q + wk) · =

k − ε 2 ∇ξ h |k − ε2 ∇ξh|

1 (v q · k +w − ε2 v q · ∇ξh − ε2 w k · ∇ξh) 2 | {z } |k − ε ∇ξh| | {z } =0

⇔

=0

2

0 = w − ε v q · ∇ξ h .

F¨ uhren wir auch hier eine asymptotische Entwicklung von v q und w durch, so erhalten wir ¡ ¢ (0) 0 = w(0) + ε2 (w(1) − v q ∇ξh) + O ε2 f¨ ur ε → 0 , und das Einsammeln gleicher Potenzen in ε f¨ uhrt zu w(0) (ξ, h(ξ), τ ) = 0 (0)

w(1) (ξ, h(ξ), τ ) = v q (ξ, h(ξ), τ ) · ∇ξh(ξ) . Analog der Argumentation zur Haftbedingung erhalten wir (siehe (4.2)) w(0) ≡ 0 . Damit ergibt sich in der Ordnung O(ε2 ) die Gleichung (0)

(0) (0) (1) Sr%(0) τ + ∇ξ · (% v q ) + (% w )z = 0 .

(4.3)

Betrachten wir auf die gleiche Weise die vertikale Impulsbilanz aus (3.5), so lassen sich

54

4.1 Asymptotische Analyse (mit dem Wissen w (0) ≡ 0) die einzelnen Terme wie folgt entwickeln: ¡ ¢ Sr(%w)t = ε4 Sr(%(0) w(1) )τ + O ε4 ³ ´ ¡ ¢ (0) (1) 2 (0) (0) (1) 4 ∇ · (%vw) = ε (% w )z + ∇ξ · (% v q w ) + O ε4 ¢ ¡ 4¢ 1 1 ¡ (0) 2 (1) 4 (2) + O ε p = p + ε p + ε p z z z z M2 M2 ¢ ¡ 4¢ 1 1 ¡ (0) 2 (1) 4 (2) + O ε % = % + ε % + ε % Fr2 Fr2 (0) ¡ ¢ 1 2 % (Ω × %v) = ε (Ω × v (0) )⊥ + O ε2 ⊥ hsc `RB Ro Ro ¡ 2¢ 1 (∇ · ~~τ )⊥ = O ε Re Durch Einsammeln aller Terme in der f¨ uhrenden Ordnung erhalten wir das aus der Meteorologie bekannte Hydrostatische Gleichgewicht (auch statische Grundgleichung genannt) ∂p(0) M2 (0) . (4.4) = − 2% ∂z Fr F¨ ugen wir noch die Gleichungen f¨ uhrender Ordnung, die wir aus der asymptotischen Analyse der horizontalen Impulsbilanz und der Druckgleichung erhalten, zu (4.3) und (4.4) hinzu, so ergibt sich das erste geschlossene Gleichungssystem, die sogenannten Hydrostatisch-primitiven Gleichungen (0)

(0) (0) (1) Sr %(0) τ + ∇ξ · (% v q ) + (% w )z = 0 (0)

(0)

(0)

(0)

Sr(%(0) v q )τ + ∇ξ · (%(0) v q ◦ v q ) + (%(0) v q w(1) )z +

1 %(0) (0) (0) ∇ξ p + (Ω × v q )q = 0 2 M Ro ∂p(0) M2 = − 2 %(0) ∂z Fr

(0)

(4.5)

(0)

(0) (0) (1) ∗ (0) Sr p(0) + w(1) p(0) τ + v q · ∇ξ p z + γp (∇ξ · v q + wz ) = Da Qp

Der Term Q∗p (0) ist dabei der Quellterm f¨ uhrender Ordnung, der W¨armeleitung, Dissipation und andere Energiequellen enth¨alt. Kombiniert man die Massenerhaltung mit der Druckgleichung, so erh¨alt man auch hier eine prognostische Gleichung f¨ ur die po(0) (0) 1/γ (0) tentielle Temperatur Θ := p /% : µ

∂ ∂ (0) + v q · ∇ξ + w(1) Sr ∂τ ∂z

¶

1−γ

Θ

(0)

p(0) γ Q∗p (0) =: Da Q∗Θ (0) = Da (0) γ%

55

4 Die Hydrostatisch-Primitiven Gleichungen z

x

0

p1

z2

p1 z2

z1

p2 p2

0

p

x

z1

Abbildung 4.3: Fl¨achen gleichen Druckes (durchgezogen) bzw. gleicher H¨ohe (gestrichelt) im z- (links) und p-System (rechts).

4.2 Druckkoordinaten Bei unseren bisherigen Betrachtungen haben wir immer ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde gelegt, dessen Vertikalkoordinate z der H¨ohe u ¨ber NN entsprach. Nun hat es sich aber innerhalb der Meteorologie als sinnvoll erwiesen, auch andere, zeitabh¨angige Vertikalkoordinaten einzuf¨ uhren und die Bewegungsgleichungen in das resultierende Koordinatensystem zu transformieren. Dieser Vorgang hilft nicht nur bei der physikalischen Interpretation der Gleichungen, sondern f¨ uhrt auch oft zu gewissen mathematischen Vereinfachungen. Als besondere Eigenschaft der Hydrostatisch-primitiven Gleichungen wollen wir in diesem Abschnitt zeigen, daß wir bei Einf¨ uhrung des Drucks p(0) als vertikale Koordinate eine Geschwindigkeits-Divergenzbedingung der Form (0)

∇ξ · v q +

∂ ω=0 ∂p(0)

(0)

erhalten, wobei ω = dpdt die Vertikalgeschwindigkeit eines Massenelementes in diesem sogenannten p-System ist. Wir f¨ uhren also ein neues kartesisches Koordinatensystem ein, in dem x und y die Horizontalkoordinaten sind und die vertikale Position in Form des Druckes angegeben wird. Hierin werden partielle Ableitungen bez¨ uglich der x- und y-Koordinaten bei kontantem Druck gebildet, und partielle Ableitungen bez¨ uglich p(0) durch Festhalten von x und y. Dadurch ist die Druckkoordinate im Allgemeinen nicht senkrecht zu den Horizontalkoordinaten. Der Zusammenhang zwischen p- und z-System ist in Abbildung 4.3 dargestellt. Ein Zugang zur Einf¨ uhrung einer allgemeinen Vertikalkoordinaten wird in Fortak [1967, Kapitel 5.12] gegeben. Wir wollen hier aber nur auf den speziellen Fall des p-Systems eingehen und halten uns deshalb an die Darstellungen von Hess [1959] und Etling [2002]. Da in diesem Abschnitt keine Asymptotik betrieben wird, werden wir hier zur

56

4.2 Druckkoordinaten besseren Lesbarkeit die Ersetzungen ´ ³ (0) %(0) , p(0) , Θ(0) , v q , w(1) , Q∗Θ (0) → (%, p, Θ, v q , w, Q∗Θ ) verwenden.

Zur Transformation der Gleichungen in das Druckkoordinatensystem muß als erstes eine eindeutige invertierbare Abbildung z 7→ p(z) existieren. Diese erhalten wir mit ¨ Hilfe der hydrostatischen Approximation (4.4). Bei der Uberf¨ uhrung der partiellen Ableitungen einer skalaren Gr¨oße ψ in das neue Koordinatensystem betrachten wir das totale Differential. Dabei gilt ψ(ξ1 , ξ2 , p, τ ) = ψ(ξ1 , ξ2 , z(ξ1 , ξ2 , p, τ ), τ ) . Nach den Differentiationsregeln f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨anderlicher und der Kettenregel gilt ¯ ¯ ¯ ∂ψ ¯¯ ∂ψ ¯¯ ∂ψ ∂z ¯¯ = − ∂τ ¯z ∂τ ¯p ∂z ∂τ ¯p ¯ ¯ ¯ ∂ψ ¯¯ ∂ψ ∂z ¯¯ ∂ψ ¯¯ = − ∂ξ2 ¯z ∂ξ2 ¯p ∂z ∂ξ2 ¯p

, und

¯ ¯ ¯ ∂ψ ¯¯ ∂ψ ¯¯ ∂ψ ∂z ¯¯ = − ∂ξ1 ¯z ∂ξ1 ¯p ∂z ∂ξ1 ¯p

∂ψ ∂ψ ∂p = ∂z ∂p ∂z

,

,

wobei ( · )|z und ( · )|p partielle Ableitungen bez¨ uglich der z- und p-Koordinaten bezeichnen. Somit gilt mit ∂z ψ = ∂z p∂p ψ und ∂z p = −M2 /Fr2 % f¨ ur die Transformation der individuellen Ableitung ¯ dψ ¯¯ = dτ ¯z

¯ ¯ ¯ ∂ψ ¯¯ ∂ψ ¯¯ ∂ψ ¯¯ ∂ψ +u +v +w ¯ ¯ ¯ ∂τ z ∂ξ1 z ∂ξ2 z ∂z ¯ ¯ ¯ ∂ψ ¯¯ ∂ψ ¯¯ M2 ∂ψ ∂ψ ¯¯ = + v − %w + u ∂τ ¯p ∂ξ1 ¯p ∂ξ2 ¯p Fr2 ∂p à ¯ ! ¯ ¯ ∂z ¯¯ ∂z ¯¯ ∂ψ M2 ∂z ¯¯ +v + 2% +u ∂τ ¯p ∂ξ1 ¯p ∂ξ2 ¯p ∂p Fr

(4.6) .

Setzen wir hierbei ψ = p, so folgt wegen ∂τ p|p ≡ ∂x p|p ≡ ∂y p|p ≡ 0 f¨ ur die Vertikalgeschwindigkeit im p-System à ¯ ¯ ¯! ∂z ¯¯ dp M2 M2 ∂z ¯¯ ∂z ¯¯ ω := = − 2 %w + 2 % +v (4.7) +u dτ ∂τ ¯p ∂ξ1 ¯p ∂ξ2 ¯p Fr Fr L¨osen wir nun (4.7) nach M2 /Fr2 %w auf und setzen dies in (4.6) ein, so ergibt sich ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ψ ¯¯ ∂ψ ∂ψ ¯¯ ∂ψ ¯¯ dψ ¯¯ dψ ¯¯ +v +ω = +u . = dτ ¯z ∂τ ¯p ∂ξ1 ¯p ∂ξ2 ¯p ∂p dτ ¯p

57

4 Die Hydrostatisch-Primitiven Gleichungen Somit bleibt die individuelle Ableitung bei Koordinatentransformation erhalten. Dieser Aspekt ist auch rein logisch nachvollziehbar. Die individuelle Ableitung beschreibt ¨ n¨amlich die zeitliche Anderung einer Gr¨oße ψ in bezug auf ein Teilchen, das sich mit der Str¨omung bewegt. Diese sollte unabh¨angig vom verwendeten Koordinatensystem sein.

Massenerhaltung Betrachten wir nun die Kontinuit¨atsgleichung im z-System, so k¨onnen wir diese bei Annahme einer gen¨ ugend glatten L¨osung in der Form ∂w ∂u ∂v ∂w 1 d% = ∇ξ · v q + = + + (4.8) − % dτ ∂z ∂ξ1 ∂ξ2 ∂z schreiben. Bei der Transformation ins p-System erhalten wir f¨ ur die linke Seite à ¯ ! ¯ ¯ 1 d% 1 ∂% ¯¯ ∂% ¯¯ ∂% ¯¯ ∂% − . =− +u +v +ω % dτ % ∂τ ¯p ∂ξ1 ¯p ∂ξ2 ¯p ∂p

F¨ ur die rechte Seite gilt ! à ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂u ¯¯ ∂z ¯¯ ∂u ∂u ¯¯ ∂z ¯¯ ∂v ∂w ∂v ¯¯ ∂w ∂v ¯¯ M2 = + − % + + + + ∂ξ1 ¯z ∂ξ2 ¯z ∂z ∂ξ1 ¯p ∂ξ2 ¯p Fr2 ∂ξ1 ¯p ∂p ∂ξ2 ¯p ∂p ∂p

Hierbei wollen wir zuerst den letzten Term berechnen: à ¯ ! ¯ ¯ M2 ∂ ∂z ¯¯ ∂z M2 ∂w ∂z ¯¯ ∂z ¯¯ = − 2% +v +ω − 2% +u ∂ξ1 ¯p ∂ξ2 ¯p ∂p Fr ∂p Fr ∂p ∂τ ¯p ! à ¯ ¯ ¯ ∂ ¯¯ ∂z ∂ ¯¯ M2 ∂ ¯¯ +v +u = − 2% ∂τ ¯p ∂ξ1 ¯p ∂ξ2 ¯p ∂p Fr à ¯ ¯! µ ¶ M2 ∂v ∂z ¯¯ ∂ ω ∂u ∂z ¯¯ − 2% +% + ∂p ∂ξ1 ¯p ∂p ∂ξ2 ¯p ∂p % Fr à ¯ ! ¯ ¯ 1 ∂% ¯¯ ∂% ¯¯ ∂% ¯¯ ∂% = − +u +v +ω % ∂τ ¯p ∂ξ1 ¯p ∂ξ2 ¯p ∂p ! à ¯ ¯ ∂v ∂z ¯¯ ∂ω M2 ∂u ∂z ¯¯ + + − 2% . ∂p ∂ξ1 ¯p ∂p ∂ξ2 ¯p ∂p Fr

. (4.9)

Setzen wir dieses Ergebnis in (4.9) ein und l¨osen die Kontinuit¨atsgleichung (4.8) nach ∂ξ1 u|p + ∂ξ2 v|p + ∂p ω auf, so erhalten wir die Divergenzbedingung ¯ ¯ ∂v ¯¯ ∂ω ∂u ¯¯ + + ∇p · v := =0 . (4.10) ¯ ¯ ∂ξ1 ∂ξ2 ∂p p

58

p

4.3 Linearisierte Wellengleichungen und vertikale Modenentkopplung

Horizontale Impulsbilanz und potentielle Temperatur Mit Hilfe der Massenerhaltung k¨onnen wir die horizontale Impulsbilanz im z-System umschreiben zu dv q 1 1 + 2 ∇ξ p + (Ω × v q )q = 0 . (4.11) dτ M% Ro Dabei haben wir die individuelle Ableitung µ ¶ ∂ ∂ d := Sr + v q · ∇ξ + w dτ ∂τ ∂z bereits eingesetzt und man kann leicht nachrechnen, daß auch diese bei der Transformation in das p-System erhalten bleibt. Desweiteren gilt f¨ ur die verbleibenden Terme   ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ∂p 1 1  ∇ξ p|p − ∇ξ p¯¯ = ∇ξ z ¯¯  = 2 ∇ξ z|p 2 2 M% M % | {z } ∂z Fr z p =0 ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯ (Ω × v q )q ¯ = (Ω × v q )q ¯¯ Ro Ro z p Damit ergibt sich f¨ ur die horizontale Impulsbilanz im p-System dv q 1 1 + 2 ∇ξ z + (Ω × v q )q = 0 dτ Ro Fr

(4.12)

Schließlich transformieren wir noch die Gleichung der potentiellen Temperatur. Da auf der linken Seite nur die individuelle Ableitung von Θ steht, erhalten wir im p-System die Gleichung dΘ = Da Q∗Θ |p . (4.13) dτ Mit (4.10), (4.12), (4.13) und der hydrostatischen Balance haben wir damit die hydrostatisch primitiven Gleichungen in das Druckkoordinatensystem transformiert: dΘ ∂p M2 = − 2% , = Da Q∗Θ |p ∂z dτ Fr 1 dv q 1 + 2 ∇ξ z + (Ω × v q )q = 0 dτ Ro Fr

∇p · v = 0 ,

,

4.3 Linearisierte Wellengleichungen und vertikale Modenentkopplung Nachdem wir mit Hilfe asymptotischer L¨osungsans¨atze zum Hydrostatisch-primitiven Gleichungssystem (4.5) gelangt sind, wollen wir uns nun mit speziellen Eigenschaften

59

4 Die Hydrostatisch-Primitiven Gleichungen besch¨aftigen, die sich aus dem Gleichungssystem ableiten lassen. Genauer wollen wir zeigen, dass die Linearisierung von (4.5) unter Hinzunahme passender Zusatzbedingungen zu einer horizontalen Wellengleichung f¨ uhrt, die nahezu unabh¨angig von der vertikalen Struktur ist. Durch die Nichtlinearit¨at der Hydrostatisch-primitiven Gleichungen aufgrund enthaltener Advektionsterme der Form a · ∇b ist es nicht m¨oglich, eine analytische L¨osung herzuleiten. Deshalb werden wir im folgenden die Gleichungen linearisieren. Die Linearisierung gibt uns hierbei einen Einblick in den Charakter der nichtlinearen Gleichungen und ist außerdem ein Baustein zur Konstruktion numerischer Verfahren zur n¨aherungsweisen L¨osung dieser Gleichungen.

Linearisierung (0)

Die Linearisierung erfolgt, indem wir in (4.5) die Gr¨oßen v q , w(1) , p(0) , %(0) und Θ(0) in einen Anteil der den mittleren Zustand der Atmosph¨are beschreibt und einen, der kleine Abweichungen davon beinhaltet, aufspalten. Allgemein soll dieser Sachverhalt durch die Schreibweise a(0) = a∞ + ²a0 mit ² ¿ 1 ausgedr¨ uckt werden.

Zus¨atzlich gehen wir von der Modellannahme einer ruhenden Atmosph¨are aus. In diesem Fall rotiert die Atmosph¨are mit der Winkelgeschwindigkeit Ω in starrer Verbindung mit der festen Erde und es gilt v q ∞ ≡ 0 sowie w∞ ≡ 0. Weiterhin ist zu beachten, daß aufgrund der Bedingung ruhende“ Atmosph¨are die Hintergrundverteilungen von ” Druck, Dichte und potentieller Temperatur nur noch Funktionen der H¨ohe z sind (Abweichungen hiervon aufgrund der u ¨ber die Erde variierenden Zentripetalbeschleunigung m¨ ussen nicht ber¨ ucksichtigt werden, da sie von der Gr¨oßenordnung her nur 0.1 Prozent der Erdbeschleunigung g ausmachen; siehe Abschnitt 1.4). Andernfalls g¨abe es aufgrund der Hydrostatischen Gleichungen horizontale Druckgradienten, welche wiederum nur durch entsprechende Str¨omungskr¨afte balanciert werden k¨onnten. Zusammengefasst gehen wir also von folgenden approximativen N¨aherungsl¨osungen f¨ ur das nichtlineare hydrostatische Gleichungssystems aus: (0)

=

²v 0q (ξ, z, τ ) + O(²2 )

w(1) =

²w0 (ξ, z, τ ) + O(²2 )

vq

p(0) = p∞ (z) + ²p0 (ξ, z, τ ) + O(²2 )

(4.14)

%(0) = %∞ (z) + ²%0 (ξ, z, τ ) + O(²2 ) Θ(0) = Θ∞ (z) + ²Θ0 (ξ, z, τ ) + O(²2 ) Außerdem nehmen wir f¨ ur die Quellterme in den Evolutionsgleichungen f¨ ur die poten-

60

4.3 Linearisierte Wellengleichungen und vertikale Modenentkopplung tielle Temperatur und den Druck einen analogen Ansatz der Form Q∗p (0) = Q∗p ∞ + ²Q∗p 0 + O(²2 )

(4.15)

Q∗Θ (0) = Q∗Θ∞ + ²Q∗Θ 0 + O(²2 )

an. Einsetzen der L¨osungsans¨atze (4.14) in (4.5) f¨ uhrt uns zu einem Gleichungssystem 0 0 0 0 0 der St¨orungsgr¨oßen v q , w , p , % und Θ . Aus der Massenerhaltung ergibt sich mit diesem Linearisierungsansatz f¨ ur die einzelnen Terme (0)

= ²Sr %0τ

(0)

= ²2 v 0q · ∇ξ %0 + ²%∞ ∇ξ · v 0q + ²2 %0 ∇ξ · v 0q = ²%∞ ∇ξ · v 0q + O(²2 )

(0)

= (%∞ + ²%0 )(²w0 )z + ²w0 (%∞ + ²%0 )z + = ²%∞ wz0 + ²w0 %∞ z + O(²2 )

Sr %τ (0)

v q · ∇ξ %(0) + %(0) ∇ξ · v q (1)

%(0) wz + w(1) %z

Damit erhalten wir in der Ordnung ² die Gleichung Sr %0τ + w0

d%∞ + %∞ (∇ξ · v 0q + wz0 ) = 0 . dz

Als n¨achstes betrachten wir die vertikale Impulsbilanz. Durch die Linearisierung wird diese zu ¡ ¢ dp∞ ∂p0 M2 . +² = − 2 (%∞ + ²%0 ) + O ²2 dz ∂z Fr Soll auch diese Gleichung f¨ ur beliebige ² gelten, so ergibt sich M2 dp∞ = − 2 %∞ dz Fr

und

∂p0 M2 = − 2 %0 ∂z Fr

.

(4.16)

Ber¨ ucksichtigt man noch die Definitionen der Mach- (M) und Froude-Zahl (Fr), so l¨asst sich dieses Ergebnis auch in der Form ghsc dp∞ = − 2 % bzw. dz cref

ghsc ∂p0 = − 2 %0 ∂z cref

schreiben. Diese Gleichungen beschreiben ein Gleichgewicht zwischen vertikaler Druckgradientkraft und der Schwerkraft der Erde (hydrostatische Balance). Unter der Modellannahme einer ruhenden Atmosph¨are befindet sich somit die Atmosph¨are im hydrostatischen Gleichgewicht. Bei der horizontalen Impulsbilanz gehen wir wieder von der ausdifferenzierten Form (4.11) aus. Wenden wir auch hier den Linearisierungsansatz (4.14) an, so ergibt sich

61

4 Die Hydrostatisch-Primitiven Gleichungen f¨ ur die einzelnen Terme (0) ¡ ¢ ∂v 0q ∂v q Sr = ² Sr + O ²2 ∂τ ∂τ ¡ ¢ ¡ ¡ ¢¢ ¡ 0 ¡ ¢¢ (0) (0) v q · ∇ξ v q = ²v q + O ²2 · ∇ξ ²v 0q + O ²2 = O ²2

w

(0) (1) ∂v q

=

¡

¡ ¢¢ ¡ 0 ¡ ¢¢ ¡ ¢ ²w0 + O ²2 ²v q + O ²2 z = O ²2

∂z ¡ 2¢ 1 1 (0) 0 ∇ p = ² ∇ p + O ² ξ ξ M2 %(0) M 2 %∞ ´ ¡ ¢ ¢ 1 ³ ² ¡ (0) Ω × v 0q q + O ²2 = Ω × vq Ro Ro q

Dabei haben wir in der vierten Gleichung f¨ ur 1/%(0) eine Taylorentwicklung um %∞ durchgef¨ uhrt. Somit folgt f¨ ur die Ordnung O(²) eine Gleichung der Form Sr

¢ ∂v 0q 1 1 ¡ + 2 ∇ξ p0 + Ω × v 0q q = 0 . ∂τ M %∞ Ro

In der Gleichung der potentiellen Temperatur verwenden wir f¨ ur den Quellterm den Ansatz (4.15)2 . Damit wird die Gleichung durch die Linearisierung zu ¢ ¡ ¡ ¢ dΘ∞ ∂Θ0 . + ²w0 + O ²2 = Da Q∗Θ ∞ + ²Q∗Θ 0 ²Sr ∂τ dz W¨ahlen wir auch hier ² beliebig, so gilt Q∗Θ∞ = 0 und Sr

∂Θ0 dΘ∞ + w0 = Da Q∗Θ 0 ∂τ dz

.

Betrachten wir schließlich die Druckgleichung (4.5)4 , so ergibt die Linearisierung analog zu der Vorgehensweise in den anderen Gleichungen die Gleichung Sr p0τ + w0

dp∞ + γp∞ (∇ξ · v 0q + wz0 ) = Da Q∗p 0 dz

.

Im folgenden sollen die ermittelten St¨orungsgleichungen in den Gr¨oßen v 0q , w0 , p0 , %0 und Θ0 noch einmal zusammengefasst dargestellt werden. Wie man leicht erkennen kann, handelt es sich jetzt um ein lineares Gleichungssystem mit den gegebenen Funktionen p∞ (z) und %∞ (z), da Advektionsterme der Form a · ∇b nicht mehr auftauchen: d%∞ + %∞ (∇ξ · v 0q + wz0 ) dz ∂p0 ∂z ¡ ¢ ∂v 0q 1 1 + 2 ∇ξ p0 + Sr Ω × v 0q q ∂τ M %∞ Ro dp∞ + γp∞ (∇ξ · v 0q + wz0 ) Sr p0τ + w0 dz Sr %0τ + w0

62

= 0 = −

M2 0 % Fr2

= 0 = Da Q∗p 0

(4.17)

4.3 Linearisierte Wellengleichungen und vertikale Modenentkopplung Eine der Gleichungen (4.17)1 oder (4.17)4 kann auch durch die Gleichung der potentiellen Temperatur dΘ∞ ∂Θ0 + w0 = Da Q∗Θ 0 Sr ∂τ dz ersetzt werden. Schließlich wollen wir noch zeigen, daß sich die Hintergrundverteilung der potentiellen Temperatur Θ∞ aus den Verteilungen von p∞ und %∞ ermitteln l¨aßt. Durch Taylorentwicklung erhalten wir n¨amlich ¶ ¶µ ¡ 2¢ ¡ 2¢ ²p0 γ1 −1 1 ²%0 +O ² = p∞ + p∞ + O ² − γ %∞ %2∞ 1 1 µ ¶ γ γ ¡ ¢ p∞ p∞ %0 p0 = +² − . + O ²2 %∞ %∞ γp∞ %∞ µ

1

Θ

(0)

p(0) γ = (0) %

Damit gilt also

1 γ

1

Θ∞

γ p∞ = %∞

0

und Θ = Θ∞

µ

p0 %0 − γp∞ %∞

¶

.

(4.18)

Vertikale Modenentkopplung Wir wollen uns jetzt mit speziellen L¨osungen des Gleichungssystems befassen. Dazu gehen wir in den weiteren Betrachtungen von adiabatisch (Q∗p 0 = Q∗Θ 0 = 0) ablaufenden Prozessen in der Atmosph¨are aus. Desweiteren w¨ahlen wir als Referenzh¨ohe die Druckskalenh¨ohe (siehe Anhang B). Damit gilt hsc = %prefrefg und somit M = Fr. Ber¨ ucksichtigt man diese zus¨atzlichen Bedingungen, so vereinfacht sich das partielle Differentialgleichungssystem der St¨orungsgr¨oßen (4.17) zu d%∞ + %∞ (∇ξ · v 0q + wz0 ) dz ∂p0 ∂z ¡ ¢ ∂v 0q 1 1 Sr + 2 ∇ξ p0 + Ω × v 0q q ∂τ M %∞ Ro dp∞ + γp∞ (∇ξ · v 0q + wz0 ) Sr p0τ + w0 dz Sr %0τ + w0

= 0 = −%0 = 0 = 0 ,

wobei man auch hier die erste oder die vierte Gleichung durch Sr

∂Θ0 dΘ∞ + w0 =0 ∂τ dz

ersetzen kann.

63

4 Die Hydrostatisch-Primitiven Gleichungen Um dieses Gleichungssystem l¨osen zu k¨onnen, br¨auchten wir einen allgemeinen L¨osungsansatz. In den meisten F¨allen kann man die allgemeine L¨osung einer partiellen Differentialgleichung jedoch nicht bestimmen. Um spezielle L¨osungen eines Gleichungssystems zu ermitteln, f¨ uhrt aber oft die Methode der Separation der Variablen zum Erfolg. Dabei werden die abh¨angigen Variablen in separate Anteile, die jeweils nur von einem Teil der unabh¨angigen Gr¨oßen abh¨angen, aufgeteilt. Im n¨achsten Schritt wollen wir also die St¨orgr¨oßen durch Separation der Variablen in einen Anteil der nur von z und einen Anteil der nur von (ξ, τ ) abh¨angt, zerlegen (siehe (4.19)) und hoffen dass uns dieser Ansatz zu einer L¨osung des Systems f¨ uhrt. p0 = pˆ(z) p˜(ξ, τ ) %0 = %ˆ(z) %˜(ξ, τ ) v 0q = vˆq (z) v˜q (ξ, τ )

(4.19)

w0 = w(z) ˆ w(ξ, ˜ τ) ˆ ˜ τ) Θ0 = Θ(z) Θ(ξ, Dabei ist der Ansatz f¨ ur v 0q nicht kanonisch und k¨onnte auch anders lauten. Die Separationsans¨atze werden unter der Annahme von Reibungsfreiheit und Adiabasie in die vereinfachten St¨orungsgleichungen eingesetzt. Betrachten wir zuerst die hydrostatische Balance, so gilt dˆ p(z) p˜(ξ, τ ) = −ˆ %(z) %˜(ξ, τ ) . dz Multiplikation mit 1/(ˆ %(z) p˜(ξ, τ )) f¨ uhrt zu p(z) 1 dˆ %˜(ξ, τ ) =− %ˆ(z) dz p˜(ξ, τ ) und da die linke Seite der Gleichung nur von z abh¨angt und die rechte Seite nur von (ξ, τ ), gilt mit α = const. %˜(ξ, τ ) = α˜ p(ξ, τ ) und

dˆ p (z) = −αˆ %(z) . dz

(4.20)

Hieraus ergibt sich zusammen mit (4.18) f¨ ur die Fluktuation der potentiellen Temperatur ˆ Θ0 (ξ, z, τ ) = Θ(z) p˜(ξ, τ ) , (4.21) wobei ˆ Θ(z) = Θ∞ (z)

µ

αˆ %(z) pˆ(z) − γ p∞ (z) %∞ (z)

¶

ist. F¨ ur die Gleichung der potentiellen Temperatur ergibt sich somit dΘ∞ ∂ p˜ ˆ (ξ, τ ) + w(z) ˆ w(ξ, ˜ τ) = 0 Sr Θ(z) ∂τ dz

64

4.3 Linearisierte Wellengleichungen und vertikale Modenentkopplung und einfaches Umformen f¨ uhrt zu ˆ w(ξ, ˜ τ) Sr Θ(z) =− = β = const. p˜τ (ξ, τ ) (dΘ∞ /dz) w(z) ˆ

(4.22)

Damit gilt µ

dΘ∞ ˆ w(ξ, ˜ τ ) = β p˜τ (ξ, τ ) bzw. w(z) ˆ = −Sr Θ(z) β dz

¶−1

.

(4.23)

¨ Bei der Druck-St¨orungsgleichung wollen wir der Ubersichtlichkeit wegen die Terme der Gleichung zun¨achst einzeln betrachten. Mit den Ergebnis aus (4.23) gilt dann Sr p0τ = Sr pˆ(z) p˜τ (ξ, τ ) dp∞ dp∞ w0 = (w(z) ˆ w(ξ, ˜ τ )) dz dz ˆ dp∞ Θ(z) = −Sr p˜τ (ξ, τ ) dz dΘ∞ /dz 0 0 γp∞ (∇ξ · v q + wz ) = γp∞ (ˆ vq (z)∇ξ · v˜q (ξ, τ ) + w(ξ, ˜ τ )wˆz (z)) à !! à ˆ Θ(z) d = γp∞ vˆq (z)∇ξ · v˜q (ξ, τ ) − Sr p˜τ (ξ, τ ) dz dΘ∞ /dz In ihrer vollst¨andigen Darstellung l¨aßt sich die Druck-St¨orungsgleichung also durch separate Anteile, die nur von z oder nur von (ξ, τ ) abh¨angig sind, schreiben. Damit nimmt sie die Form à à !! ˆ ˆ Θ Θ dp∞ d ∂ p˜ Sr pˆ − − γp∞ (z) (ξ, τ ) + dz dΘ∞ /dz dz dΘ∞ /dz ∂τ γp∞ vˆq (z) ∇ξ · v˜q (ξ, τ ) = 0 an. Folglich ergibt sich auch hier analog zu (4.22) jeweils eine Beziehung f¨ ur die von z und eine f¨ ur die von (ξ, τ ) abh¨angigen Teile der Gleichung. Wir erhalten mit µ = const. ∂ p˜ (ξ, τ ) = −µ∇ξ · v˜q (ξ, τ ) ∂τ à !! à ˆ ˆ µ d Θ(z) dp∞ Θ(z) − γp∞ vˆq (z) = Sr pˆ(z) − γ p∞ dz dΘ∞ /dz dz dΘ∞ /dz

(4.24) .

Hierbei beschreibt Gleichung (4.24)1 Druck¨anderungen entlang einer horizontalen Fl¨ache, die aus horizontalen Divergenzen im Str¨omungsfeld resultieren k¨onnen. Konvergenzen (∇ξ · v˜q < 0) f¨ uhren zu Druckanstieg, Divergenzen (∇ξ · v˜q > 0) zu Druckfall.

65

4 Die Hydrostatisch-Primitiven Gleichungen Die zweite Gleichung gibt eine notwendige Bedingung an, in welchem Verh¨altnis die von z abh¨angigen Teile der Variablen stehen m¨ ussen, um eine L¨osung zu erhalten. Bei der Vorgabe von pˆ und %ˆ resultiert aus (4.24)2 eine feste Verteilung f¨ ur vˆq . F¨ ur die Gleichung des horizontalen Impulses soll hier auf eine Herleitung der Separationsargumente verzichtet werden, da sie analog zur Druck-St¨orungsgleichung durchgef¨ uhrt wird. Ergebnis des Separationsansatzes ist in diesem Fall

Sr

∂ v˜q 1 (ξ, τ ) + (Ω × v˜q (ξ, τ ))q = −ν∇ξ p˜(ξ, τ ) ∂τ Ro 1 pˆ(z) , vˆq (z) = 2 νM %∞ (z)

(4.25)

wobei ν = const. ist. Gleichung (4.25)1 stellt die Bewegungsgleichung f¨ ur quasistatische reibungsfreie Bewegungen dar. Entsprechend den in der Gleichung auftretenden ¨ Termen, wird die zeitliche Anderung des horizontalen Windes in Betrag und Richtung durch die Corioliskraft und den horizontalen Druckgradienten bestimmt. Diese Gleichung gibt u.a. eine Erkl¨arung daf¨ ur, warum der Wind auf zyklonalen Bahnen (dem Uhrzeigersinn entgegengesetzt) in ein Tiefdruckgebiet einstr¨omt. Der horizontale Druckgradient bewirkt zun¨achst, daß Luftmassen dem Gradienten entgegengerichtet in Bewegung gesetzt werden. Da die Corioliskraft wegen (Ω × v˜q ) aber senkrecht zur Windrichtung angreift, wird der Wind von seinem anfangs direkten Wege in Richtung tieferen Luftdrucks nach rechts abgelenkt, woraus der zyklonale Str¨omungssinn resultiert. Auch hier erhalten wir mit (4.25)2 eine weitere Bedingung f¨ ur die von z abh¨angigen Variablen. Insgesamt erhalten wir f¨ ur die von (ξ, τ ) abh¨angigen Variablen v˜q und p˜ das System von Differentialgleichungen

Sr

∂ v˜q 1 + (Ω × v˜q )q + ν∇ξ p˜ = 0 ∂τ Ro ∂ p˜ + µ∇ξ · v˜q = 0 , ∂τ

(4.26)

das wir bei der Angabe von Anfangs- und Randbedingungen l¨osen k¨onnen. Die anderen ˜ lassen sich mit Hilfe der Gleichungen (4.20), (4.23) und der aus Variablen %˜, w˜ und Θ ˜ τ ) = p˜(ξ, τ ) berechnen. (4.21) folgenden Tatsache Θ(ξ,

66

4.3 Linearisierte Wellengleichungen und vertikale Modenentkopplung Unabh¨angig davon erhalten wir f¨ ur die Vertikale die Strukturgleichungen dˆ p = −αˆ % dz ¶ µ αˆ % pˆ ˆ − Θ = Θ∞ γ p ∞ %∞ ˆ Sr Θ wˆ = − β dΘ∞ /dz à !! à ˆ ˆ Θ Θ 1 d µν dp∞ − γp∞ pˆ = Sr pˆ − M 2 %∞ γ p∞ dz dΘ∞ /dz dz dΘ∞ /dz

(4.27)

Als Randbedingung fordern wir, dass am Boden keine Vertikalgeschwindigkeiten auftreten, das heißt w 0 (ξ, 0, τ ) ≡ 0. Aus (4.19)4 folgt hieraus w(0) ˆ = 0 und wegen (4.27)3 ˆ somit auch Θ(0) = 0. Mit den Gleichungen (4.27)1 und (4.27)2 erhalten wir hieraus µ ¶ dˆ p pˆ =0 , + dz c2∞ z=0 p wobei c∞ = γ p∞ /%∞ die Schallgeschwindigkeit ist. Dies stellt eine gemischte Dirichlet-Neumann-Randbedingung dar und man braucht noch eine zweite Randbedingung (z.B. rigid lid“ = festes Dach), um eine eindeutige L¨osung zu erhalten. Durch entspre” chende Wahl von α, β, µ und ν k¨onnen schließlich die Randbedingungen eingehalten werden. Zum Schluß wollen wir noch zeigen, daß das Gleichungssystem (4.26) die horizontale Ausbreitung von Wellen beschreibt. Zur Vereinfachung betrachten wir dies im eindimensionalen Fall mit Ro À 1 und Sr = 1. Damit verschwindet der Coriolisterm und wir betrachten das Differntialgleichungssystem ∂v ∂p +ν = 0 ∂τ ∂ξ1 ∂v ∂p +µ = 0 . ∂τ ∂ξ1 Differenzieren wir nun die erste Gleichung nach ξ1 , multiplizieren das Ergebnis mit µ und subtrahieren hiervon die nach τ differenzierte zweite Gleichung, so erhalten wir ∂ 2p ∂2p =0 . − µν ∂τ 2 ∂ξ12 Damit haben wir im Falle µν > 0 die Wellengleichung zweiter Ordnung erhalten. St¨orungen in den Anfangsdaten breiten sich in beide Richtungen mit den Geschwin√ digkeiten λ1/2 = ± µν aus.

67

5 Vereinheitlichte Herleitung meteorologischer Modellgleichungen mittels Mehrskalenasymptotik In diesem Kapitel soll nun die Mehrskalenasymptotik dazu genutzt werden, einen vereinheitlichten Zugang zur Herleitung der bekannten meteorologischen Modellgleichungen zu erarbeiten. In der theoretischen Meteorologie kommt man zu solchen reduzierten Gleichungen, die Ph¨anomene beschreiben, welche durch bestimmte charakteristische L¨angen- und Zeitskalen gepr¨agt sind, normalerweise mit dem Hilfsmittel der Skalenanalyse. Hier w¨ahlen wir einen Weg, der es uns erlaubt, einen mathematisch vereinheitlichten Ansatz f¨ ur deren Herleitung zu formulieren [Klein 2003]. Wie wir sp¨ater sehen werden, kann ein (kleiner) Parameter ε mit den aus der Meteorologie bekannten Kennzahlen, wie Froude-, Mach- und Rossbyzahl in sinnvoller Weise verbunden werden. Eine solche Kopplung dimensionsloser Kenngr¨oßen in einer Grenzwertanalyse kennen wir bereits aus der Betrachtung des Oszillators in Kapitel 2 als gekoppelten Grenz¨ ubergang. Die relevanten Skalen werden wir durch Potenzen von ε in einem allgemeinen Mehrskalenansatz, wie wir ihn ebenfalls schon anhand des linearen Oszillators kennengelernt haben, ausdr¨ ucken. Dadurch wird die L¨osung U(xq , z, t; ε) der kompressiblen Str¨omungsgleichungen ausgedr¨ uckt durch U(xq , z, t; ε) =

∞ X i=0

(i)

φ (ε) U

µ

(i)

z t xq , xq , εxq , . . . , , z, . . . , , t, εt ε ε ε

¶

,

(5.1)

wobei die φ(i) auch hier eine asymptotische Folge darstellen und (xq , z, t) in gewohnter Weise Koordinaten f¨ ur horizontalen Raum, die Vertikale und die Zeit sind. Neben der einfachen asymptotischen Folge φ(i) = εi werden dabei manchmal auch komplexere Folgen sowie komplexere Skalierungen der Koordinaten als in (5.1) verwendet. Diese allgemeine Art der Herangehensweise hat den Vorteil, daß sie per Konstruktion das Studium von Wechselwirkungen zwischen Ph¨anomenen erlaubt, die durch sehr unterschiedliche charakteristische L¨angen- und Zeitskalen gepr¨agt sind. Spezialisiert man sich in dem dargestellten Ansatz auf jeweils eine Zeit, horizontale Raum- und Vertikalkoordinate (das heißt, wir f¨ uhren eine Einskalenasymptotik mit umskalierten Koordinaten durch), so erh¨alt man in systematischer Weise einen Großteil der bekannten Modellgleichungen der theoretischen Meteorologie. Tabelle 5.1 gibt

68

5.1 Herleitung der Quasi-geostrophischen Theorie Koordinaten

Resultierende Theorie

¶ µ z t U(i) xq , , ε ε

Lineare kleinskalige interne Gravitationswellen

U(i) (xq , z, t) ¡ ¢ U(i) ε2 xq , z, εt

¡ ¢ U(i) ε2 xq , z, ε2 t ¡ ¢ U(i) ε2 xq , z, ε2 t µ ¶ (i) 1 2 2 U ξ(ε xq ), z, ε t ε ³ ´ U(i) ε5/2 x, ε5/2 y, z, ε3/2 t,

Anelatische & pseudo-inkompressible Str¨omungen Gravitationswellen hervorgerufen durch Coriolis-Effekte Quasi-geostrophische (QG) Theorie der mittleren Breiten ¨ Aquatoriale schwache Temperaturgradienten-Theorie (WTG) Semi-geostrophische Theorie Tropische Kelvin-, Yanai- und Rossbywellen

Tabelle 5.1: Koordinaten-Skalierungen und die zugeordneten klassischen Modelltheorien ¨ hierf¨ ur einen Uberblick, wobei wir hier die kompressiblen Str¨omungsgleichungen wie in Kapitel 3 entdimensionalisiert haben und f¨ ur den gekoppelten Grenz¨ ubergang √ √ ε ∼ M ∼ Fr ∼ 1/Rohsc gesetzt haben. Bemerkung: Wurde die Rossby-Zahl mit `RB = ε−2 hsc anstatt mit hsc gebildet, dann ur ¨andert sich auch deren Gr¨oßenordnung und es gilt ε ∼ Ro`RB . Gleiches gilt auch f¨ alle anderen Kennzahlen bei der Wahl von anderen Referenzgr¨oßen. Als Beispiel einer Einskalenanalyse soll im folgenden Abschnitt die Quasi-geostrophische Theorie f¨ ur die mittleren Breiten entwickelt werden.

5.1 Herleitung der Quasi-geostrophischen Theorie Betrachten wir die Wetterkarte, die wir jeden Abend in den Nachrichten zu sehen bekommen, so bemerken wir, daß diese in unseren Breiten haupts¨achlich von dem Zusammenspiel von Hoch- und Tiefdruckgebieten bestimmt wird. Dabei weht der Wind jeweils im bzw. gegen den Uhrzeigersinn entlang den Linien gleichen Druckes (Isobaren) um das Hoch- bzw. Tiefdruckgebiet herum (siehe Abb. 5.1). Dieses Verhalten werden wir in Form der sogenannten geostrophischen Windbeziehung herleiten, die die einfachste Approximation auf den f¨ ur unser Wetter relevanten Skalen darstellt. Allerdings l¨aßt sich hierdurch die Atmosph¨are nicht vollkommen beschreiben, da es sich bei dieser Beziehung nur um eine diagnostische Gleichung handelt, die an jedem Ort und

69

5 Meteorologische Modellgleichungen 90° E 30° N

90° E 30° N 00 56

60° N

60° N

00

00 54

53

5100

°

180 E

°

0 E

°

°

180 E

0 E

0

570

5500

270° E

270° E

Abbildung 5.1: Geopotentialh¨ohen der 500mbar-Druckfl¨ache (links) und das dazugeh¨orige Windfeld (rechts) vom 4. April 2003, 0 Uhr GMT, auf der Nordhalbkugel. Quelle: NCEP-Reanalyse. ¨ zu jedem Zeitpunkt erf¨ ullt sein muß. Uber die zeitliche Entwicklung der Felder sagt sie nichts aus. Die n¨achstbessere Approximation im Sinne der Asymptotik beinhaltet deshalb auch eine Evolutionsgleichung der sogenannten quasi-geostrophischen potentiellen Wirbelst¨arke, die uns zu der quasi-geostrophischen Theorie in Form eines geschlossen Gleichungssystems f¨ uhrt. In unserem asymptotischen L¨osungsansatz dr¨ uckt sich diese bessere Approximation dadurch aus, daß wir nicht nur die f¨ uhrende Ordnung der horizontalen Impulsbilanz betrachten, aus der wir im Wesentlichen die geostrophische Windbeziehung erhalten, sondern auch die Gleichung der n¨achsth¨oheren Ordnung. Zur Herleitung dieser Theorie wollen wir die dimensionslose Form der kompressiblen Str¨omungsgleichungen (3.5) zur Grundlage nehmen. Zus¨atzlich betrachten wir ein rei1 bungsfreies Fluid (µ = 0 ⇒ Re = 0) ohne W¨armeleitung (λ = 0 ⇒ Re1Pr = 0) und ohne externe Quellterme (Qp = 0). Damit vereinfacht sich (3.5) zu Sr %t

+ ∇ · (%v)

= 0 1 1 ˆ ∇q p + (Ω × %v)q = 0 2 M Ro 1 1 ˆ 1 + 2 pz + (Ω × %v)⊥ = − 2 % M Ro Fr

Sr (%v q )t + ∇ · (%v ◦ v q ) + Sr(%w)t + ∇ · (%vw) Sr pt

+ v · ∇p

+ γp (∇ · v)

= 0

Bevor wir die Gleichungen wieder asymptotisch entwickeln, wollen wir noch die Gr¨oßenordnungen der verwendeten Referenzgr¨oßen betrachten und damit den oben dargestell-

70

5.1 Herleitung der Quasi-geostrophischen Theorie ten gekoppelten Grenz¨ ubergang rechtfertigen. Typische atmosph¨arische Windgeschwindigkeiten sind von der Gr¨oßenordnung |v| = O(10 ms−1 ). Druck und ¡Dichte haben¢ auf H¨ohe des Meeresspiegels die Gr¨oßenordnungen p = O(1 bar) = O 105 kg m/s2 bzw. % = O(1 kg/m3 ). Die Erdumdrehung ist |Ω| = 2π/Tag ≈ 7 · 10−5 s−1 und die Erdbeschleunigung g ≈ 10 m/s2 . Als Referenzh¨ohe wollen wir die Druckskalenh¨ohe ¡ 4 ¢ hsc = O 10 m w¨ahlen (siehe Anhang B), woraus sich typische Zeiten t = O(hsc /|v|) = O(103 s) ergeben. In der Horizontalen dagegen bewegen sich die relevanten L¨angen in der Gr¨oßenordnung l = O(6 · 105 m). Somit w¨ahlen wir die folgenden Referenzgr¨oßen: tRB = 103 s , vref = 10

m , s

Ωref = |Ω| = 7 · 10−5 s−1 ,

hsc = 104 m ,

`RB = 6 · 105 m ,

kg kg , %ref = 1 3 , 2 ms m m g = 10 2 . s

pref = 105

Setzt man diese Gr¨oßen in die ben¨otigten Kennzahlen ein, so haben diese die Gr¨oßenordnungen 104 hsc = O(1) = Sr = vref tRB 10 · 103 µ ¶ vref 10 1 M = p =√ =O 30 pref /%ref 105 · 1 µ ¶ vref 1 10 Fr = √ =O =√ 4 30 g hsc 10 · 10 vref 10 Ro = = O(8) = 2|Ω| hsc 2 · 7 · 10−5 · 104 Typische Werte der in Abschnitt 1.5 eingef¨ uhrten Brunt-V¨ais¨al¨a-Frequenz sind von der −2 −1 Gr¨oßenordnung N = O(10 s ). Somit ergibt sich eine weitere dimensionslose Gr¨oße durch µ ¶ µ ¶ 4 hsc ∂Θ 1 2 hsc −4 10 =N = O 10 · =O , (5.2) Θ ∂z g 10 10

wobei Θ = p1/γ /% wieder die dimensionslose potentielle Temperatur ist.

Durch diese empirischen Absch¨atzungen k¨onnen wir nun einen gekoppelten Grenzu uhren. W¨ahlen wir n¨amlich ε = 1/8 . . . 1/6, dann ist ε ¿ 1 und es ¨bergang durchf¨ gilt r √ √ hsc ∂Θ 1 ∼ . ε ∼ M ∼ Fr ∼ Ro Θ ∂z Bemerkung: Von welcher Ordnung in ε ein Term ist, ist selten von vornherein klar. Genauso ließe sich auch die Absch¨atzung ε∼

hsc ∂Θ Θ ∂z

71

5 Meteorologische Modellgleichungen 1 ε2 hsc

hsc

4t ∼

hsc ε2 vref

Abbildung 5.2: Darstellung des L¨osungsansatzes f¨ur die Quasi-geostrophische Theorie: Man ist an der Str¨omung einer sehr flachen“ Luftschicht (auf der Erd” kugel) interessiert. rechtfertigen. Wir beschr¨anken uns hier allerdings auf den ersten Fall, der auch, u ¨bersetzt in unsere Notation, von Pedlosky [1987] vorgeschlagen wird. Im Folgenden sind wir nun an großen horizontalen Raumskalen von der Ordnung O(`RB ) = O(ε−2 hsc ) und den damit assoziierten Zeitskalen t = O(`RB /|v|) = O(ε−2 tRB ) interessiert. Hierf¨ ur f¨ uhren wir die neuen Koordinaten ξ = ε2 xq und τ = ε2 t ein, wodurch – wie in Kapitel 4 – die horizontalen und zeitlichen Ableitungen mit ε skalieren: ∇q ψ = ε2 ∇ξ ψ

und

∂ψ ∂ψ = ε2 ∂t ∂τ

.

Hieraus ergeben sich die skalierten Gleichungen (wobei wir Sr = 1 gesetzt und durch ε2 dividiert haben) 1 ε2 1 (%v q )τ + ∇ξ · (%v q ◦ v q ) + 2 ε 1 (%w)τ + ∇ξ · (%v q w) + 2 ε 1 pτ + v q · ∇ξ p + 2 ε %τ

+ ∇ξ · (%v q )

+

(%w)z

= 0 1 1 ˆ ∇ξ p + (Ω × %v)q = 0 4 ε ε 1 1 ˆ 1 + 6 pz + ( Ω × %v)⊥ = − 6 % ε µ ε ε ¶ 1 + γp ∇ξ · v q + 2 wz = 0 ε

(%v q w)z + 2

(%w )z wpz

(5.3)

Außerdem werden wir h¨aufig die Evolutionsgleichung der potentiellen Temperatur (3.6) verwenden, die sich aus der Kombination von Massenerhaltung und Druckgleichung ergab. In der skalierten Form erhalten wir hierf¨ ur ¶ µ ∂ 1 ∂ + v q · ∇ξ + 2 w Θ=0 . (5.4) ∂τ ε ∂z Dabei ist zu beachten, daß wir eine unterschiedliche Skalierung f¨ ur Horizontale und Vertikale angenommen haben. Hierdurch ergibt sich der in Abbildung 5.2 dargestellte L¨osungsansatz. Da wir an den horizontalen L¨angen- und Zeitskalen interessiert sind,

72

5.1 Herleitung der Quasi-geostrophischen Theorie die um zwei negative ε-Potenzen gr¨oßer als die der Vertikalen sind, suchen wir im asymptotischen L¨osungsansatz genau L¨osungen der 3D-kompressiblen Gleichungen von der Form U(xq , z, t; ε) =

N X i=0

N ¡ N¢ X ¡ ¢ ε U (ε xq , z, ε t) + O ε = εi U (i) (ξ, z, τ ) + O εN i

(i)

2

2

i=0

bzw. % = %(0) (ξ, z, τ ) + ε%(1) (ξ, z, τ ) + O(ε) (0)

(1)

v q = v q (ξ, z, τ ) + εv q (ξ, z, τ ) + O(ε) usw. Im Folgenden nehmen wir immer die n¨otige Glattheit der L¨osungen an, sodaß partielle Ableitungen ohne Einschr¨ankungen vertauscht werden k¨onnen etc.

Massenerhaltung Betrachten wir nun die Gleichung der Massenerhaltung (5.3)1 und f¨ uhren eine asymptotische Entwicklung der enthaltenen Gr¨oßen durch, so ergibt sich (0)

(0)

(1)

(1) (0) (1) (0) %(0) τ + ε%τ + ∇ξ · (% v q ) + ε∇ξ · (% v q + % v q ) +

1 (0) (0) (% w )z ε2

1 + (%(1) w(0) + %(0) w(1) )z + (%(2) w(0) + %(1) w(1) + %(0) w(2) )z ε +ε(%(3) w(0) + %(2) w(1) + %(1) w(2) + %(0) w(3) )z + O(ε) = 0

Soll diese Gleichung f¨ ur beliebige (kleine) ε gelten, dann muß f¨ ur jede ε-Potenz eine separate Gleichung erf¨ ullt werden. Es gilt also ¡ ¢ O ε−2 :

¡ ¢ O ε−1 : ¡ ¢ O ε0 :

O(ε) :

∂ (0) (0) (% w ) = 0 ∂z ∂ (1) (0) (% w + %(0) w(1) ) = 0 ∂z ∂ (2) (0) (% w + %(1) w(1) + %(0) w(2) ) = 0 ∂z à 3 ! X ∂ (1) (0) (0) (1) %(1) = 0 %(3−i) w(i) τ + ∇ξ · (% v q + % v q ) + ∂z i=0 (0)

(0) %(0) τ + ∇ξ · (% v q ) +

F¨ ur die Gleichung der Ordnung ε−2 erhalten wir durch Integration in der H¨ohe und Division durch %(0) w(0) (ξ, z, τ ) =

%(0) (ξ, 0, τ ) (0) w (ξ, 0, τ ) . %(0) (ξ, z, τ )

73

5 Meteorologische Modellgleichungen

Pol Ω k Ω0

eΩ

ϑ ¨ Aquator

eeq

Abbildung 5.3: Aufspaltung des Coriolisterms in horizontale und vertikale Komponente W¨are nun w(0) f¨ ur z = 0 von Null verschieden, dann erg¨aben sich in großen H¨ohen wegen %(0) (ξ, z, τ ) → 0 f¨ ur z → ∞ unendlich große w (0) . Da dies offensichtlich nicht m¨oglich ist, folgt w(0) (ξ, z, τ ) ≡ 0 . (5.5) Analog ergibt sich aus der Gleichung der Ordnung ε−1 zusammen mit (5.5) w(1) (ξ, z, τ ) ≡ 0 ,

(5.6)

Die Gleichungen der Ordnungen ε0 und ε reduzieren sich damit zu ¡ ¢ O ε0 :

O(ε) :

(0)

(0) %(0) τ + ∇ξ · (% v q ) + (0)

(1)

(1) (0) %(1) τ + ∇ξ · (% v q + % v q ) +

∂ (0) (2) (% w ) = 0 ∂z

∂ (1) (2) (% w + %(0) w(3) ) = 0 ∂z

Horizontale Impulsbilanz Bevor wir die Impulsbilanzen betrachten, soll zun¨achst die Aufspaltung des CoriolisTerms in seine horizontale und vertikale Komponente genauer analysiert werden. Es gilt n¨amlich Ω × v = (Ωq + kΩ⊥ ) × (v q + kw) = (Ωq × v q ) + (Ω⊥ k × v q + wΩq × k) + (Ω⊥ wk × k) {z } | {z } | {z } | =(Ω×v)⊥

=(Ω×v)q

.

=0, da k×k=0

Zur Berechnung der horizontalen Komponente k¨onnen wir zuerst feststellen, dass (siehe Abbildung 5.3) Ω⊥ = k · Ω = (eeq cos ϑ + eΩ sin ϑ) · eΩ |Ω| = |Ω| sin ϑ 74

5.1 Herleitung der Quasi-geostrophischen Theorie ist. Wir wollen den Winkel ϑ in dem von uns verwendeten zur Erdoberfl¨ache tangentialen kartesischen Koordinatensystem ausdr¨ ucken. Daf¨ ur benutzen wir die sogenannte βEbenen-Approximation. Wir variieren den Winkel ϑ um einen mittleren Breitengrad ϑ 0 , ud-Abweichung indem wir ϑ = ϑ0 + ay setzen. Dabei ist y die dimensionsbehaftete Nord-S¨ von ϑ0 und a ≈ 6000 km der Erdradius. Diese Darstellung von ϑ rechtfertigt sich mit ¨ der Uberlegung, daß sich eine Teilstrecke 4x entlang eines Kreises zu dessen Gesamtumfang (2πr) genauso verh¨alt, wie der zur Teilstrecke geh¨orige Winkel 4ϕ zu 2π. Hieraus erh¨alt man die Relation 4ϕ = 4x/r.

Wegen |y| ≤ `RB ist der Variationsbereich von y offenbar klein gegen¨ uber a (was in bezug auf die von uns betriebene Asymptotik y/a ∼ ε ¿ 1 heißt). Das wiederum rechtfertigt eine Taylorentwicklung um ϑ0 ³ y´ Ω⊥ = |Ω| sin ϑ0 + = |Ω| sin(ϑ0 + εαξ2 ) a = |Ω| sin(ϑ0 ) +ε |Ω|α cos(ϑ0 ) ξ2 + O(ε) {z } | {z } | =:Ω0

= Ω0 + εβξ2 + O(ε)

=:β

.

Hierbei ist ξ2 := y/`RB , die dimensionslose y-Komponente von ξ = (ξ1 , ξ2 ) und α = O(1) ein Proportionalit¨atsfaktor.

Analog kann man eine Darstellung f¨ ur Ωq herleiten. Da wegen (5.5) und (5.6) w (0) ≡ w(1) ≡ 0 und somit wΩq × k = O(ε) gilt, erhalten wir zusammengefaßt (Ω × v)q = (Ω0 + εβξ2 )k × v q + O(ε) (Ω × v)⊥ = Ωq × v q . Betrachten wir nun die zu (5.3)2 ¨aquvalente Form der horizontalen Impulsbilanz (Ausdifferenzieren der ersten drei Terme und Anwenden der Massenerhaltung) v q τ + (v q · ∇ξ )v q +

1 ∇ξ p 1 ˆ 1 wv q z + 4 + (Ω × v)q = 0 , 2 ε ε % ε

so entwickeln sich die einzelnen Terme der Gleichung zu (0)

v q τ = (v q )τ + O(1) (0)

(0)

(v q · ∇ξ )v q = (v q · ∇ξ )v q + O(1) 1 (0) wv q z = w(2) (v q )z + O(1) ε2 · · ¸(1) ¸(2) · ¸(3) 1 ∇ξ p(0) 1 ∇ξ p 1 ∇ξ p 1 ∇ξ p 1 ∇ξ p = 4 (0) + 3 + 2 + ε4 % ε % ε % ε % ε % ¸(4) · ∇ξ p + O(1) + % 1 ˆ 1 (0) (1) (0) (Ω × v)q = Ω0 k × v q + (Ω0 k × v q + βξ2 k × v q ) + O(1) . ε ε

75

5 Meteorologische Modellgleichungen Dabei haben wir im dritten Term bereits unser Ergebnis w (0) ≡ w(1) ≡ 0 aus der Massenerhaltung benutzt. F¨ ur die Ordnung ε−4 ergibt sich ∇ξ p(0) = 0 bzw. ∇ξ p(0) ≡ 0 , %(0)

(5.7)

und es ist p(0) = p(0) (z, τ ). In der Ordnung ε−3 erhalten wir ¸(1) µ ¶(1) · 1 1 ∇ξ p (1) = (0) ∇ξ p + ∇ξ p(0) = 0 . % % % Der zweite Summand f¨allt wegen (5.7) weg und wir erhalten auch f¨ ur p(1) ∇ξ p(1) ≡ 0 bzw. p(1) = p(1) (z, τ ) . Analog folgt f¨ ur die Ordnung ε−2 die Bedingung p(2) = p(2) (z, τ ) und f¨ ur die Gleichung −1 der Ordnung ε erhalten wir (0)

Ω0 k × v q +

1 ∇ξ p(3) = 0 . %(0)

(5.8)

Mit dieser Gleichung wird die sogenannte Geostrophische Balance beschrieben, bei der sich Coriolis- und Druckkr¨afte in der Horizontalen das Gleichgewicht halten. Sie sagt aus, daß f¨ ur die betrachteten Skalen die horizontale Str¨omungsrichtung senkrecht zum horizontalen Druckgradienten ist – ein Ph¨anomen, das wir auch von unseren Wetterkarten her kennen (Abbildung 5.1). Die Geostrophische Gleichgewichtsbedingung (5.8) (0) stellt eine zu jedem Zeitpunkt g¨ ultige Nebenbedingung an p(3) (ξ, z, τ ) und v q (ξ, z, τ ) dar. Sie erlaubt aber noch keine Aussagen u ¨ber die zeitliche Entwicklung der Str¨omung. Zur Verifikation dieses Ergebnisses machen wir hier noch eine dimensionsbehaftete Absch¨atzung. Das geostrophische Gleichgewicht liefert uns das Verh¨altnis %ref · |Ω| · vref ∼ ∇q p ∼

4p `ref

.

Daraus erhalten wir 2 4p %ref · |Ω| · vref · `ref vref |Ω| · `ref 1 ε4 ∼ ∼ · ∼ M2 · ∼ ∼ ε3 pref pref pref /%ref vref Ro ε

und es erkl¨art sich, warum der Druck in der dritten Ordnung Str¨omungsgeschwindigkeit und Dichte in der f¨ uhrenden Ordnung gegen¨ ubersteht. Wir haben hier zum wiederholten Male einen singul¨aren Grenz¨ ubergang. Das heißt, daß die asymptotischen Grenzgleichungen einen anderen mathematischen Typ besitzen als

76

5.1 Herleitung der Quasi-geostrophischen Theorie die Ausgangsgleichungen. Als Konsequenz bestehen im Allgemeinen Einschr¨ankungen bez¨ uglich der vorschreibbaren Rand- und Anfangswertbedingungen f¨ ur L¨osungen der Grenzgleichungen. Umgekehrt bilden L¨osungen der Ausgangsgleichungen im Allgemeinen f¨ ur ε → 0 Singularit¨aten aus, es sei denn, die erf¨ ullten Rand- und Anfangswertbedingungen erf¨ ullen in diesem Limes die Einschr¨ankungen, die auch f¨ ur die asymptotischen Grenzgleichungen gelten.

Vertikale Impulsbilanz F¨ ur die vertikale Impulsgleichung erhalten wir die Entwicklung 1 1 (1) 1 (2) 1 (3) 1 (4) 1 (0) (0) 2 (% w )z + 6 p(0) z + 5 pz + 4 pz + 3 pz + 2 pz 2 ε ε ε ε ε ε ¡ ¢ 1 (0) 1 (1) 1 (2) 1 1 = − 6 % − 5 % − 4 % − 3 %(3) − 2 %(4) + O ε−2 ε ε ε ε ε

.

Wegen w(0) ≡ 0 ergibt sich somit aus den Ordnungen ε−6 bis ε−2 ∂p(i) = −%(i) ∂z

f¨ ur i = 0, 1, 2, 3, 4 .

(5.9)

Weiterhin gilt wegen ∇ξ p(i) ≡ 0 f¨ ur i = 0, 1, 2 µ (i) ¶ ∂p ∂ (i) −∇ξ % = ∇ξ = ∇ξ p(i) = 0 f¨ ur i = 0, 1, 2 ∂z ∂z und somit %(i) = %(i) (z, τ ) f¨ ur i = 0, 1, 2. Aus (A.1) erhalten wir (0)

(0)

(0)

(0)

k × (k × v q ) = k(k · v q ) − v q (k · k) = −v q |{z} | {z } =1

=0

und es folgt aus (5.8)

(0)

vq =

1 k × ∇ξ π (3) Ω0

wobei wir hier π (i) := p(i) /%(0) und somit (0)

1 ∇ p(i) %(0) ξ

,

= ∇ξ π (i) definieren. Betrachten wir

nun die horizontale Divergenz von v q , so erhalten wir mit Hilfe von (A.4) (0)

∇ξ · v q

1 ∇ξ · (k × ∇ξ π (3) ) Ω0 h i 1 (3) (3) = ∇ξ π · (∇ξ × k) − k(∇ξ × ∇ξ π ) = 0 . | {z } | {z } Ω0 =

=0

(0)

(5.10)

=0

Das heißt, v q – der Geostrophische Wind – ist divergenzfrei.

77

5 Meteorologische Modellgleichungen

Evolution der potentiellen Temperatur Bei der asymptotischen Entwicklung der potentiellen Temperatur wiederholen wir zuerst unser aus (5.2) folgendes Ergebnis, daß ¡ ¢ hsc ∂Θ = O ε2 Θ ∂z gilt. Gleichzeitig erhalten wir durch Taylorentwicklung der Funktion 1/(Θ (0) + x) an der Stelle x = 0 ¶ µ ¡ (0) ¢−1 ∂Θ(0) ∂Θ(1) hsc ∂Θ (1) = hsc Θ + εΘ + O(ε) +ε + O(ε) Θ ∂z ∂z ∂z µ µ (1) ¶¶ hsc ∂Θ(0) Θ(1) ∂Θ(0) ∂Θ = +ε − (0) + O(ε) , Θ(0) ∂z ∂z Θ ∂z woraus durch Koeffizientenvergleich ∂Θ(0) ∂Θ(1) = =0 ∂z ∂z und somit Θ(0) = Θ(0) (ξ, τ ) und Θ(1) = Θ(1) (ξ, τ ) folgt. F¨ ur die folgenden Betrachtungen nutzen wir nun den durch p1/γ = %Θ gegebenen Zusammenhang zwischen Druck, Dichte und potentieller Temperatur und entwickeln auch diese Gleichung asymptotisch. Dazu betrachten wir zuerst die Funktion f (p) = p1/γ und f¨ uhren eine Taylorentwicklung um p(0) durch. Wir erhalten 1

pγ

¡ ¢¢ 1 p(0) + εp(1) + ε2 p(2) + ε3 p(3) + O ε3 γ Ã Ã ! (1) (2) (1) 2 1 p p (1 − γ)p = p(0) γ 1 + ε (0) + ε2 + 2 γp γp(0) 2γ 2 p(0) Ã !! (1) (2) (1) 3 (3) ¡ ¢ (1 − γ)p p (1 − γ)(1 − 2γ)p p +ε3 + + + O ε3 2 3 (0) γp γ 2 p(0) 6γ 3 p(0)

=

¡

F¨ ur die rechte Seite ergibt sich %Θ = %(0) Θ(0) + ε(%(1) Θ(0) + %(0) Θ(1) ) + ε2 (%(2) Θ(0) + %(1) Θ(1) + %(0) Θ(2) ) +ε3 (%(3) Θ(0) + %(2) Θ(1) + %(1) Θ(2) + %(0) Θ(3) ) + O(ε3 )

78

5.1 Herleitung der Quasi-geostrophischen Theorie und nach Zusammenstellung gleicher Potenzen in ε folgt ¡ ¢ O ε0 :

O(ε) :

¡ ¢ O ε2 :

¡ ¢ O ε3 :

1

%(0) Θ(0) = p(0) γ

p(1) (0) γp ! Ã (2) (1) 2 1 p (1 − γ)p + = p(0) γ 2 (0) γp 2γ 2 p(0) µ (3) 1 p (1 − γ)p(1) p(2) (0) γ = p + 2 γp(0) γ 2 p(0) 1

%(1) Θ(0) + %(0) Θ(1) = p(0) γ 2 X

i=0 3 X

%(2−i) Θ(i) %(3−i) Θ(i)

i=0

+

(1 − γ)(1 − 2γ)p(1) 6γ 3 p(0)

3

3

(5.11)

!

.

Aus der f¨ uhrenden Ordnung in ε zusammen mit der Hydrostatik (5.9) ebenfalls in f¨ uhrender Ordnung ergibt sich nun ∂p(0) 1 = − (0) ∂z Θ (0) ≡ 0 bzw. Θ = Θ(0) (τ ).

p(0) und wegen ∇ξ p(0) ≡ 0 somit ∇ξ Θ(0)

− γ1

(5.12)

Nun wollen wir die asymptotische Entwicklung von (5.4) betrachten. Wir erhalten µ ¡ ∂ (0) (1) (2) (3) + (v q + εv q + ε2 v q + ε3 v q ) · ∇ξ + w(2) + εw(3) + ε2 w(4) ∂τ ¶ ¢ ¡ ¢ ¢ ∂ ¡ (0) 3 (5) Θ + εΘ(1) + ε2 Θ(2) + ε3 Θ(3) + O ε3 = 0 , +ε w ∂z

wobei eine neue Information in bezug auf unsere bisherigen Ergebnisse in der Ordnung ε0 mit ¶ µ ∂ (0) (2) ∂ + v q · ∇ξ + w Θ(0) = 0 ∂τ ∂z enthalten ist. Wegen Θ(0) = Θ(0) (τ ) folgt hieraus sofort Θ(0) = Θ∞ = const.

Zus¨atzlich wollen wir hier die asymptotische Entwicklung der Druckgleichung (5.3) 4 betrachten. F¨ ur diese ergeben sich wegen ∇ξ p(0) = ∇ξ p(1) = 0 und der Divergenzfreiheit (0) von v q ¡ ¢ (2) (0) (0) (2) O ε0 : p(0) = 0 τ + w pz + γp wz ´ ³ (1) (3) (0) (3) (0) = 0 ∇ · v + w + γp + w p O(ε) : p(1) ξ q z z τ

Differenzieren wir nun die Gleichung der Ordnung ε0 nach z und wenden die Hydro(0) statik pz = −%(0) an, so erhalten wir (0) (2) (0) (2) (2) (0) − w(2) %(0) −%(0) z + γpz wz + γp wzz = 0 , τ − wz %

79

5 Meteorologische Modellgleichungen wobei die ersten drei Terme wegen der Massenerhaltung in der Ordnung ε0 zusammen Null ergeben. Es ergibt sich ¡ ¢ γ p(0) wz(2) z = 0 , (2)

und somit p(0) wz z→∞

= f (ξ, τ ). W¨are nun f (ξ, τ ) 6= 0, so m¨ ußte wegen p(0) → 0 f¨ ur lim |wz(2) | = ∞

z→∞ (2)

gelten. Um wz beschr¨ankt zu halten, m¨ ussen wir also f (ξ, τ ) ≡ 0 fordern. Hieraus (2) (2) ergibt sich sofort wz ≡ 0 bzw. w ≡ 0, da die Vertikalgeschwindigkeit bei z = 0 Null sein muß. Mit diesem Ergebnis erhalten wir wiederum aus Massenerhaltung und (0) (0) Druckgleichung in der Ordnung ε0 : %τ = pτ = 0 und somit p(0) = p(0) (z) bzw. %(0) = %(0) (z). Das heißt, Dichte und Druck sind in f¨ uhrender Ordnung nur von der H¨ohe abh¨angig. Nun k¨onnen wir auch f¨ ur die potentielle Temperatur in der ersten Ordnung, f¨ ur die wir (1) (1) bereits Θ = Θ (ξ, τ ) wissen, weiteres feststellen. Aus (5.11)2 ergibt sich ¶ µ (1) %(1) p (1) , − Θ = Θ∞ γp(0) %(0) und da p(0) , p(1) , %(0) und %(1) alle nur Funktionen von z und τ sind und Θ∞ konstant ist, ist somit Θ(1) = Θ(1) (τ ). Die Evolutionsgleichung der potentiellen Temperatur in der Ordnung ε ergibt also (0)

(1) Θ(1) =0 , τ + v q · ∇ξ Θ | {z } =0

woraus wir folgern, daß auch Θ(1) = Θ1 = const. ist. Analog gilt wegen Gleichung (5.11)3 Θ(2) = Θ(2) (z, τ ) und wir erhalten aus der Evolutionsgleichung der potentiellen Temperatur in der Ordnung ε2 (2) (2) Θ(2) τ + w Θz = 0 . (2)

Da wir schon w (2) ≡ 0 festgestellt haben, ergibt sich Θτ = 0 bzw. Θ(2) = Θ(2) (z). Wir erhalten schließlich eine asymptotische Entwicklung der potentiellen Temperatur von der Form ¡ ¢ Θ = Θ∞ + εΘ1 + ε2 Θ(2) (z) + ε3 Θ(3) (ξ, z, τ ) + O ε3 .

Um %(1) = %(1) (z) zu zeigen wollen wir nun die Massenerhaltung in der Ordnung ε betrachten. Mitteln wir diese u ¨ber ein horizontales Gebiet Ω ⊂ IR2 , so erhalten wir mit Hilfe des Divergenztheorems Z Z %(0) ∂ ³ (0) (3) ξ ´ (1) (1) 1 %τ dξ + v q · n dσ + % w =0 . |Ω| Ω |Ω| ∂Ω ∂z 80

5.1 Herleitung der Quasi-geostrophischen Theorie R (3) ξ 1 w dξ der Mittelwert von w (3) in Ω ⊂ IR2 . Betrachten wir Hierbei ist w (3) = |Ω| Ω den zweiten Summanden und nehmen Ω als Kreisgebiet mit Radius r an, so skaliert R (1) (1) (1) 2 ur |Ω| ∼ r und ∂Ω v q · n dσ ∼ r · v q . Da v q beschr¨ankt ist, geht also dieser Term f¨ große Gebiete gegen Null und es ist ξ ∂ ³ (0) (3) ξ ´ (1) (0) (3) ξ %τ + % w = %(1) + %(0) w(3) z = 0 . τ + %z w ∂z Auf dieselbe Art verfahren wir f¨ ur die Druckgleichung in der Ordnung ε, und es ergibt sich ξ (0) (3) ξ p(1) + γp(0) w(3) z = 0 . τ + pz w ξ

ξ

Analog zur Herleitung von p(0) = p(0) (z) folgt nun (p(0) w(3) z )z = 0 und somit w (3) ≡ 0 bzw. p(1) = p(1) (z) und %(1) = %(1) (z). Mit diesem Ergebnis ergibt sich f¨ ur die Massenbilanz in der Ordnung ε ¢ 1 ¡ (1) ∇ξ · v q + (0) %(0) w(3) z = 0 %

(5.13)

und f¨ ur die Evolutionsgleichung der potentiellen Temperatur in der Ordnung ε3 folgt µ ¶ ∂ ∂Θ(2) (0) + v q · ∇ξ Θ(3) + w(3) =0 . (5.14) ∂τ ∂z L¨osen wir nun (5.14) nach w (3) auf und setzen dies in (5.13) ein, so erhalten wir ¶ µ (0) µ ¶ % ∂ 1 (0) (1) (3) + v q · ∇ξ Θ ∇ξ · v q = (0) (2) % ∂τ Θ z µ ¶ µ (0) (3) ¶ z (5.15) (0) 1 ∂ % Θ 1 ∂v q (0) (3) = (0) + v q · ∇ξ + (2) · ∇ξ Θ (2) % ∂τ Θz Θz ∂z z Bemerkung: • Wenden wir auf die Geostrophische Gleichgewichtsbedingung (5.8) den Divergenzoperator (∇ξ · ) an, so erhalten wir     (0)   0 −v (0) u (0) ∇ξ · (k × v q ) = ∇ξ ·  0  ×  v (0)  = ∇ξ ·  u(0)  1 0 0 = −

∂v (0) ∂u(0) + =: −ζ (0) ∂ξ1 ∂ξ2

ζ ist hierbei die vertikale Komponente der sogenannten Wirbelst¨arke oder Vorticity ω = ∇ × v. Insgesamt erhalten wir ∇ξ 2 p(3) = Ω0 %(0) ζ (0)

.

81

5 Meteorologische Modellgleichungen • Differenzieren wir (5.8) partiell nach der H¨ohe z, so ergibt sich µ ¶ µ (3) ¶ (0) ∂v q 1 ∂ ∂π (3) . = ∇ = ∇ p −Ω0 k × ξ ξ ∂z ∂z %(0) ∂z Mit den Ergebnissen aus der asymptotischen Analyse der Relation Θ% = p1/γ erhalten wir mit Hilfe von (5.11) ∂π (3) p(3) ∂%(0) p(3) %(3) %(3) + = − (0) − = − 2 ∂z % %(0) γp(0) %(0) ∂z 3 (1) (2) (1 − γ)(1 − 2γ)p(1) (1 − γ)p p = − − 2 3 γ 2 p(0) 6γ 3 p(0) %(1) Θ(2) Θ(3) %(2) Θ1 + (0) + . + (0) % Θ∞ % Θ∞ Θ∞ Dabei ist ∂%(0) ∂ = ∂z ∂z

Ã

1

p(0) γ Θ∞

!

1

−1

(5.16)

2

p(0) γ ∂p(0) %(0) = = − (0) γΘ∞ ∂z γp

.

Da in (5.16) nur Θ(3) von ξ abh¨angt, folgt µ (3) ¶ ∂π Θ(3) ∇ξ = ∇ξ ∂z Θ∞ und wir erhalten die Gleichung des thermischen Windes (siehe Anhang B). (0)

∂v 1 ∇ξ Θ(3) −Ω0 k × q = ∂z Θ∞

,

(5.17)

die die vertikale Struktur des geostrophischen Windes in der Atmosph¨are beschreibt. (0)

Zeitliche Entwicklung von v q

und ζ (0) (0)

Um nun die zeitliche Entwicklung von v q und ζ (0) herzuleiten, betrachten wir noch die Ordnung ε0 = 1 der horizontalen Impulsbilanz und erhalten · ¸(4) ∇ξ p (0) (0) (0) (0) (1) (0) (2) (v q )τ + (v q · ∇ξ )v q + w (v q )z + + Ω0 k × v q + βξ2 k × v q = 0 . (5.18) % Durch Anwendung des Operator k · (∇ξ × [ · ]) auf diese Gleichung erhalten wir f¨ ur den (0) (0) ersten Term einfach k · (∇ξ × (v q )τ ) = ζτ . Im zweiten Term wenden wir zuerst die Vektoridentit¨at (A.6) an, wodurch wir 1 1 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (v q · ∇ξ )v q = ∇ξ (v q · v q ) − v q × (∇ξ × v q ) = ∇ξ (v q · v q ) − v q × ω q 2 2

82

5.1 Herleitung der Quasi-geostrophischen Theorie (0)

(0)

mit ω q := ∇ξ × v q erhalten. Es folgt mit Hilfe von (A.7) und (A.5) (0)

(0)

(0)

(0)

∇ξ × ((v q · ∇q )v q ) = −∇ξ × (v q × ω q ) ³ (0) (0) (0) (0) = − v q (∇ξ · ω q ) − ω q (∇ξ · v q ) | {z } | {z } =0

+

(0) (ω q

(0)

=0

(0) · ∇ξ )v q

−

(0) (v q

(0)

(0)

(0)

· ∇ξ )ω q (0)

= −(ω q · ∇ξ )v q + (v q · ∇ξ )ω q

,

´

wobei in der zweiten Zeile der erste Term wegen (A.8) und der zweite wegen der Di(0) vergenzfreiheit von v q gleich Null ist. Weiter ist i h (0) (0) (0) k · ∇ξ × ((v q · ∇ξ )v q ) = v q · ∇ξ ζ (0) , (0)

(0)

da (ω q · ∇ξ )v q nur horizontale Anteile besitzt.

Der dritte Term von (5.18) f¨allt wegen w (2) ≡ 0 weg. Bevor wir den vierten Term bearbeiten, wollen wir uns die Entwicklung von 1/% betrachten. Durch Taylorentwicklung der Funktion 1/(%(0) + x) an der Stelle 0 erhalten wir n¨amlich 1 1 1 %(1) = (0) = − ε 2 + O (ε) % % + ε%(1) + O(ε) %(0) %(0)

,

2

ur und somit (1/%)(1) = −%(1) /%(0) . Wegen p(i) = p(i) (z, τ ) sowie %(i) = %(i) (z, τ ) f¨ i = 0, 1, 2 wird der vierte Term von (5.18) schließlich zu #! Ã " µ ¶(1) 1 1 ∇ξ p(3) = k · ∇ξ × (0) ∇ξ p(4) + % % %(1) 1 (4) (3) k · (∇ × ∇ p ) − ) = 0 . ξ × ∇ξ p 2 k · (∇ (0) | | ξ {z ξ } {z } %(0) % =0

=0

Die letzten beiden letzten Terme lassen sich mit der Identit¨at (A.5) berechnen. Man beachte hierbei, daß der Horizontalanteil eines Vektors multipliziert mit k und der Gradient von k gleich Null ist. Wir erhalten somit ³ ´ ³ ´ (1) (1) (1) k · ∇ξ × (Ω0 k × v q ) = Ω0 k · k(∇ξ · v q ) = Ω0 ∇ξ · v q

und

³ ´ (0) (0) k · ∇ξ × (βξ2 k × v q ) = βk · k(∇ξ ξ2 · v q ) = βv (0) ¶(0) µ ¶ µ ∂ dξ2 (0) =β + v q · ∇ξ ξ2 = β dτ ∂τ

.

83

5 Meteorologische Modellgleichungen Insgesamt ergibt sich also aus (5.18) bei Anwendung von k · (∇ξ × [ · ]) ³ ´ (0) (1) ∂τ + v q · ∇ξ (ζ (0) + βξ2 ) + Ω0 ∇ξ · v q = 0 . ∂v

(0)

Da wegen (5.17) ∂zq senkrecht auf ∇ξ Θ(3) steht, verschwindet der zweite Summand in (5.15) und durch Einsetzen des Restes erhalten wir schließlich ³ ´ (0) ∂τ + v q · ∇ξ q = 0 (5.19) mit

q=ζ

(0)

Ω0 + βξ2 + (0) %

µ

%(0) Θ(3) (2)

Θz

¶

. z

Hierbei ist q die sogenannte quasigeostrophische potentielle Wirbelst¨arke oder pseudo potential vorticity und (5.19) zeigt uns, daß diese horizontal auf den Teilchenbahnen transportiert wird [Pedlosky 1987].

Zusammenfassung der Ergebnisse Zusammenfassend haben wir also folgendes hergeleitet: Die potentielle Temperatur Θ = p1/γ /% l¨aßt sich im Regime geostrophischer Str¨omungen gem¨aß ¡ ¢ Θ = Θ∞ + εΘ1 + ε2 Θ(2) (z) + ε3 Θ(3) (ξ, z, τ ) + O ε3

asymptotisch entwickeln. Somit ist sie bis auf kleine Fluktuationen im Wesentlichen konstant. Das Hydrostatische Gleichgewicht ∂p(i) = −%(i) ∂z

(i = 0, . . . , 4)

gilt bis zur vierten Ordnung und Druck und Dichte sind in den beiden f¨ uhrenden Ordnungen nur Funktionen der H¨ohe. Wegen w(0) ≡ w(1) ≡ w(2) ≡ 0 haben wir nur kleine vertikale Geschwindigkeiten. Hieraus ergibt sich bei gegebenen %(0) und Θ(2) das geschlossene Gleichungssystem in (0) v q , ζ (0) , Θ(3) und π (3) ´ ³ (0) ∂τ + v q · ∇ξ q = 0 , wobei

q=ζ

84

(0)

Ω0 + βξ2 + (0) %

µ

%(0) Θ(3) (2)

Θz

¶

z

5.2 Mehrskalenanalyse in der Meteorologie und ∇ξ 2 π (3) = Ω0 ζ (0) ∇ξ · (k ×

(0) vq )

= −ζ

,

(0)

∇ξ · v q = 0 (0)

(0)

∂v 1 , −Ω0 k × q = ∇ξ Θ(3) ∂z Θ∞

.

Die Vorgehensweise, die wir gew¨ahlt haben, erfolgte in folgenden Schritten: 1. Herleitung der dimensionsbehafteten Form der Erhaltungsgleichungen, 2. Dimensionsanalyse und Umskalierung in eine Dimensionslose Form des Gleichungssytems (Terme bekommen ungef¨ahr gleiche Gr¨oßenordnung), 3. Durchf¨ uhren eines gekoppelten Grenz¨ ubergangs zwischen verschiedenen dimensionslosen Parametern und 4. Wahl eines asymptotischen Ansatzes. Als Ergebnis erhielten wir in unserem Fall die Quasi-Geostrophischen Str¨omungen in den Mittleren Breiten. Dabei war die Wahl der Potenzen von ε, die das Verh¨altnis der Zeit- und L¨angenskalen darstellen wichtig, um gerade die Quasi-Geostrophischen Gleichungen zu bekommen. Andere Potenzen f¨ uhren zu anderen Gleichungen f¨ ur andere Ph¨anomene.

5.2 Mehrskalenanalyse in der Meteorologie Die Analyse von asymptotischen Entwicklungen der Str¨omungsgleichungen mit mehr als einer Skala im Raum oder der Zeit ist Gegenstand aktueller Forschung. Ein Beispiel ist in Majda und Klein [2003] zu finden. Dort wurden aus den Flachwasser- und Eulergleichungen in einem Mehrskalenansatz Modelle f¨ ur ¨aquatoriale Str¨omungen hergeleitet.

85

A Mathematische S¨ atze und Notationen Der Integralsatz von Gauß Sei Ω ⊂ IR eine kompakte Teilmenge mit glattem Rand, n : ∂Ω → IR n das ¨außere Einheits-Normalenfeld und U ⊃ Ω eine offene Teilmenge von IRn . Dann gilt f¨ ur jedes stetig differenzierbare Vektorfeld F : U → IRn Z Z ∇ · F (x) dV = F (x) · n dσ Ω

∂Ω

Beweis siehe [Forster 1984, S. 155]

Die Symbole O() und O() (Landausymbole) Das Symbol O() wird in diesem Text auf zwei verschiedene Weisen benutzt. Die eine Formulierung geht auf das sogenannte Landau-Symbol zur¨ uck. Hierbei gilt f¨ ur die Funktionen f und g die Gleichheit f (x) = O(g(x)) f¨ ur x → a genau dann, wenn gilt f (x)/g(x) → const. f¨ ur x → a (im asymptotischen Sinne).

Auf der anderen Seite wird das Symbol in der Weise benutzt, daß die Bemerkung die ” Gr¨oße X ist O(²) “ausdr¨ uckt, daß X die Gr¨oßenordnung von ² besitzt. Hierbei ist aber keine Grenzwert- oder Approximationseigenschaft impliziert. Die jeweilige Bedeutung von O() geht aus dem Kontext hervor.

Ebenfalls ein Landau-Symbol ist das kleine O(). F¨ ur f und g gilt genau dann f (x) = O(g(x)) f¨ ur x → a ,

wenn f (x)/g(x) → 0 f¨ ur x → a ist.

Gilt f¨ ur eine Funktion f , dass nicht nur f (x) = O(g(x)), sondern auch g(x) = O(f (x)) f¨ ur x → a (das heißt, sie sind von genau gleicher Ordnung), so schreiben wir f (x) = OS (g(x)) f¨ ur x → a.

86

Vektoridentit¨ aten F¨ ur Vektoren A, B, C ∈ IRn und Skalare ϕ, ψ ∈ IR gelten folgende allgemeine Vektoridentit¨aten: A × (B × C) ∇ · (ϕ A) ∇ × (ϕ A) ∇ · (A × B) ∇ × (A × B) ∇(A · B) ∇ × ∇ϕ ∇·∇ × A ∇ · (A ◦ B)

= = = = = = = = =

(C × B) × A = B(A · C) − C(A · B) ϕ∇ · A + A · ∇ϕ ϕ∇ × A + ∇ϕ × A B·∇ × A − A·∇ × B A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A 0 div(rotA) = 0 (∇ · A)B + (A · ∇)B

(A.1) (A.2) (A.3) (A.4) (A.5) (A.6) (A.7) (A.8) (A.9)

87

B Meteorologische Erl¨ auterungen Druckskalenh¨ ohe Die Atmosph¨are befindet sich im Hydrostatischen Gleichgewicht, wenn der vertikale Druckgradient gleich der Gravitationsbeschleunigung ist: ∂p = −%g ∂z Gehen wir nun von einem Referenzdruck pref (z.B. einem mittleren Druck auf H¨ohe des Meeresspiegels) aus, so definiert sich die Druckskalenh¨ohe durch die H¨ohendifferenz, u ¨ber die sich der Druck in einer im hydrostatischen Gleichgewicht befindlichen Atmosph¨are mit konstanter Dichte um die Gr¨oßenordnung pref ¨andert: hsc :=

pref %ref g

.

Der thermische Wind Die Gleichung des thermischen Windes (0)

∂v 1 −Ω0 k × q = ∇q Θ(3) ∂z Θ∞ sagt nichts u ¨ber den geostrophischen Wind selbst, sondern nur u ¨ber seine vertikale ¨ Anderung aus. Als thermischer Wind selbst wird der Differenzvektor bezeichnet, der sich aus den geostrophischen Windvektoren innerhalb eines H¨ohenintervals 4z ergibt: v T = 4v = v(z1 ) − v(z2 ).

88

C Erhaltungsgleichungen Zur allgemeineren Betrachtungsweise gehen wir hier vom IR3 in ein Kartesisches Koordinatensystem Z = IR × IR × IR u ¨ber, in dem Ω und X b (t) definiert werden durch     Xb1 Ω1 Ω :=  Ω2  , X b (t) :=  Xb2  . Xb3 Ω3 Durch die zus¨atzliche Definition von 

 0 −Ω3 Ω2 0 −Ω1  Ω :=  Ω3 −Ω2 Ω1 0

¨ l¨aßt sich die zeitliche Anderung von X b (t) auch in der Form eines Matrix-VektorProduktes schreiben, n¨amlich   −Ω3 Xb2 (t) + Ω2 Xb3 (t) ˙ b (t) = Ω × X b (t) = Ω X b (t) =  Ω3 Xb1 (t) − Ω1 Xb3 (t)  X (C.1) −Ω2 Xb1 (t) + Ω1 Xb2 (t) Mit dem Wissen der Theorie gew¨ohnlicher Differentialgleichungen k¨onnen wir Gleichung (1.20) nun auch auf eine andere Art herleiten. Die L¨osung des Anfangswertproblems ˙ b (t) = Ω X b (t) , X b (0) = X b0 X ist bekanntlich X b (t) = exp(Ωt) X b (0)

, wobei exp(Ωt) :=

∞ X tν ν=0

Wegen

ν!

(Ω)ν

.



 −Ω22 Ω23 Ω21 Ω22 Ω21 Ω23 Ω2 =  Ω21 Ω22 −Ω21 Ω23 Ω22 Ω23  = |Ω|2 (eΩ eTΩ − 1) , −Ω21 Ω23 Ω22 Ω23 −Ω21 Ω22

Ω3 = −|Ω|2 Ω ,

Ω4 = −|Ω|4 (eΩ eTΩ − 1) ,

Ω5 = −|Ω|2 Ω3 = |Ω|4 Ω

usw.

89

C Erhaltungsgleichungen mit eΩ =

Ω |Ω|

und |Ω| = ·

p Ω21 + Ω22 + Ω23 folgt dann

t2 t3 |Ω|2 (eΩ eTΩ − 1) − |Ω|2 Ω 2! 3! ¸ 4 5 t t T 4 4 − |Ω| (eΩ eΩ − 1) + |Ω| Ω + ... X b (0) 4! 5! µ ¶ · |Ω|2 t2 |Ω|4 t4 T + − ... (1 − eΩ eTΩ ) = (eΩ eΩ ) + 1 − 2! 4! ¶ ¸ µ 3 3 5 5 Ω |Ω| t |Ω| t + − ... X b (0) + |Ω|t − 3! 5! |Ω| · ¸ Ω T T = (eΩ eΩ ) + cos(|Ω|t)(1 − eΩ eΩ ) + sin(|Ω|t) X b (0) |Ω|

X b (t) =

1+t Ω+

was gerade der Koordinatendarstellung des vorher hergeleiteten Ergebnis aus (1.20) entspricht. Wegen (C.1) kann Ω X b dargestellt werden als Ω × X b und wir erhalten X b (t) = (eTΩ X b (0))eΩ + cos(|Ω|t)(1 − eΩ eTΩ )X b (0) + sin(|Ω|t)(X b (0) × eΩ ) . Definieren wir nun R(t) := exp(Ωt), so hat R(t) folgende Eigenschaften: • R(−t) = RT (t) Da Ω schiefsymmetrisch ist, d.h. es gilt ΩT = −Ω, und der Cosinus eine gerade bzw. der Sinus eine ungerade Funktion ist, gilt n¨amlich ΩT R (t) = + cos(|Ω|t)(1 − + sin(|Ω|t) |Ω| −Ω = (eΩ eTΩ ) + cos(−|Ω|t)(1 − eΩ eTΩ ) − sin(−|Ω|t) = R(−t) |Ω| T

(eΩ eTΩ )T

eΩ eTΩ )T

• R(−t) = R−1 (t) ¨ Wir wollen nun untersuchen, wie sich beim Ubergang in das rotierende Koordinatensystem die Terme unserer Erhaltungsgleichungen umformen. Daf¨ ur stellen wir einen beliebigen festen Vektor x in Bezug auf die Inertialbasis {e1 , e2 , e3 } mit       1 0 0      0 1 0  e1 = , e2 = , e3 = 0 0 1

˜ 3 } des rotierenden Koordinatensystems dar. Der Zusammenhang ˜2 , e in einer Basis {˜ e1 , e zwischen den Koordinatensystemen soll in folgender Form gegeben sein: ˜ i = R(t)ei , e

90

i = 1, 2, 3 .

Dann l¨aßt sich x durch die beiden Basen darstellen durch 3 X

x=

xi e i =

3 X

˜i = x˜i e

i=1

i=1

3 X

x˜i R(t)ei

.

x˜i (R(t))ki

.

i=1

Multiplikation von links mit eTk ergibt xk =

3 X

x˜i (eTk R(t))ei

=

3 X i=1

i=1

Es gilt also x = R(t)˜ x

˜ = R−1 (t)x . x

und

Weiter wollen wir sehen, was mit den Differentialoperatoren unter Koordinatentransfor˜ ) mit t˜ = t gilt f¨ ur eine Funktion mation passiert. F¨ ur die Transformation (t, x) → (t˜, x f ˜ ) = f˜(t˜(t, x), x ˜ (t, x)) . f (t, x) = f˜(t˜, x Hieraus ergibt sich µ

∂f ∂t

¶

=

x

µ

¶ Ã ˜! ∂ t˜ ∂f ∂t x ∂ t˜

+

˜ x

∂ f˜ ∂ t˜ ∂ f˜ ∂ t˜

= =

+

=

∂t

i=1 3 X

x

˜ )i (−Ω x

i=1

+

∂ f˜ ∂ t˜ ∂ f˜ ∂ t˜

=

¶ 3 µ X ∂ x˜i

+

3 X

i,j=1 3 X

Ã

i,j=1

!

t˜,xj (j6=i)

∂ f˜ ∂ x˜i

(−Ωij x˜j ) (˜ xj Ωji )

∂ f˜ ∂ x˜i

∂ f˜ ∂ x˜i

(C.2)

∂ f˜ ∂ x˜i

˜ f˜)T ˜ T Ω(∇ + x

Weiter gilt µ

∂f ∂xi

¶

=

t˜,xk (k6=i)

=

µ

∂ t˜ ∂xi

3 X

¶

t,xk (k6=i)

(R−1 (t))ji

j=1

=

3 X j=1

(R(t))ij

Ã

! ¶ 3 µ X ˜ ∂ x˜j ∂f + ∂xi t,x ∂ t˜ ˜ x

j=1

k (k6=i)

Ã

∂ f˜ ∂ x˜j

!

t˜,˜ xk (k6=j)

∂ f˜ ∂ x˜j

∂ f˜ ∂ x˜j

91

C Erhaltungsgleichungen bzw. ˜ f˜)T (∇f )T = R(t)(∇

.

Wir betrachten nun, wie sich die Geschwindigkeit eines Partikels transformiert. Die Position eines Partikels in den beiden Systemen l¨aßt sich ausdr¨ ucken durch

xp (t) =

3 X

xpi (t)ei =

i=1

3 X

x˜pj (t)˜ ej (t)

j=1

und seine Geschwindigkeit ist 3 3 X dxp X x˙ pi (t)ei = (x˜˙ pj (t)˜ ej (t) + x˜pj (t)˜e˙ j (t)) = dt i=1 j=1

= x˙ rel p (t) +

3 X

˜ j (t) x˜pj (t)Ω e

j=1

=

x˙ rel p (t)

+ Ω xp (t) .

rel Wenn also p ein Partikel des betrachteten Fluids darstellt, dann ist x˙ rel p = v p die relevante Windgeschwindigkeit und die lokale Str¨omungsgeschwindigkeit v(x, t) zerlegt sich gem¨aß

v = x˙ = v rel + Ω x 3 X ˜i + Ω x v˜irel e =

(C.3)

i=1

in einen Anteil der Erdrotation und die relative Windgeschwindigkeit. Bei der Transformation der Geschwindigkeitsdivergenz erhalten wir ∇ · v = ∇ · (v rel + Ω x) = ∇ · v rel + ∇ · (Ω x) , wobei aufgrund der Nullen auf der Diagonlaen der Rotationsmatrix Ω 3 3 X X ∂ Ωij δij = 0 ∇ · (Ω x) = (Ωij xj ) = ∂xi i,j=1 i,j=1

gilt (das Symbol δij = 1 f¨ ur i = j, sonst 0, stellt hierbei das Kronecker-Symbol dar).

92

˜ j = eTi R ej = Rij und Da außerdem eTi e ∇·v

rel

=

3 X ∂v rel

=

P3

j=1

Rij ∂∂x˜i gilt, folgt

3 3 X X ∂ T ˜j ) = (ei v˜jrel e ∂x i i=1 j=1

i

i=1

∂ ∂xi

∂xi

3 X ¢ ∂ ¡ rel ˜ ˜j ˜ (t, x)) eTi e = v˜j (t(t, x), x ∂xi i,j=1 3 X

(C.4)

∂ rel Rik = v˜j Rij ∂ x ˜ k i,j,k=1

3

3 X

vkrel ∂ rel X ∂˜ ˜ ·v ˜ rel δik v˜j = =∇ = ∂ x˜k ∂ x˜k k=1 j,k=1

.

Beachte hierbei, daß außerdem wegen R−1 (t) = RT (t) = R(−t) die Umformung P (RT R)kj = 3i=1 Rik Rij = δkj gilt. F¨ ur die Impulserhaltung ergeben sich folgende Nebenrechnungen:

Transformieren wir den Term (v t + (v T ∇T )v) in das rotierende Koordinatensystem, so erhalten wir mit Hilfe von (C.2) und (C.3) f¨ ur die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit µ ¶ ∂ vt = (v rel + Ω x) ∂t x ! µ ¶ ÃX µ ¶ 3 ¡ ¢ ∂ ∂ rel ˜i + = v˜i e Ωx ∂t x i=1 ∂t x µ ¶ 3 3 X X ∂˜ virel ˜ virel )T e ˜ T Ω(∇˜ ˜i + ˜i + v˜irel Ω e = +x 0 ˜ ∂ t i=1 i=1 3 ´ ³ X ∂˜ virel ˜T v ˜i + x ˜ rel + Ω v ˜ rel ˜ T Ω∇ e = ∂t i=1 Wegen (v ¡ (v

rel T

rel T

T

∇ )v

rel

=

3 X i=1

˜ T )˜ ˜i ((˜ v rel )T ∇ virel e

,

¢ ˜ T )˜ ˜ T )˜ v rel = −(˜ xT ΩT ∇ v rel (Ω x)T ∇T v rel = (˜ xT Ω∇

∇T )Ω x = =

Ã

3 X i=1

3 X

∂ virel ∂xi

!

Ω

Ã

3 X i=1

xi ei

!

=

3 X

i,j=1

v˜jrel

,

∂ (Ω ei x˜i ) ∂ x˜j

˜ rel vjrel δij ei = Ω v Ω˜

i,j=1

93

C Erhaltungsgleichungen und ¡ ¢ (Ω x)T ∇T (Ω x) = −(xT Ω∇T )Ω x

3 X ∂ Ωjl xl ej = = − xi Ωki Ωjk ej xi Ωik ∂xk i,j,k=1 i,j,k,l=1 ¢T ¡ = xT ΩT ΩT = Ω(Ω x) = Ω × (Ω × x) 3 X

ergibt sich nun

¢ ¢¡ ¡ v t + (v T ∇T )v = v t + (v rel + Ω x)T ∇T v rel + Ω x ¢ ¡ T = v t + (v rel ∇T )v rel + (Ω x)T ∇T v rel ¡ ¢ T +(v rel ∇T )(Ω x) + (Ω x)T ∇T (Ω x) 3 3 X X ∂˜ virel ˜ T )˜ ˜i + 2 Ω v ˜ rel + Ω(Ω x) ˜i + virel e = e ((˜ v rel )T ∇ ∂t i=1 i=1 ˜ Tk von links erhalten wir Durch Multiplikation mit e ¡

94

v t + (v T ∇)v

¢

k

=

¢ ¡ ∂˜ vkrel ˜ rel )k + Ω(Ω x) k + ((˜ v rel )T ∇T )˜ vkrel + 2 (Ω v ∂t

Literaturverzeichnis Barenblatt, G. I. [1996]. Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics, Cambridge Texts in Applied Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne. Etling, D. [2002]. Theoretische Meteorologie: eine Einf¨ uhrung, 2. Auflage, SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, New York. Forster, O. [1984]. Analysis 3, 3. Auflage, Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft, Braunschweig, Wiesbaden. Fortak, H. [1967]. Vorlesungen u ¨ber Theoretische Meteorologie, Institutsver¨offentlichung des Instituts f¨ ur Theoretische Meteorologie der Freien Universit¨at Berlin, Berlin. Gill, A. [1982]. Atmosphere-Ocean Dynamics, Bd. 30 von International geophysics series, Academic Press, New York. G¨ortler, H. [1975]. Dimensionsanalyse: Theorie der physikalischen Dimensionen mit Anwendungen, Ingenieurwissenschaftliche Bibliothek, Springer, Berlin, Heidelberg, New York. Hess, S. L. [1959]. Introduction to Theoretical Meteorology, Krieger Publishing Company, New York. Kevorkian, J. und Cole, J. [1996]. Multiple Scale and Singular Perturbation Methods, Bd. 114 von Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New York. Klein, R. [2003]. An Applied Mathematical View of Theoretical Meteorology, invited presentation at ICIAM 2003, Sydney, Australia, to appear Jan. 2004. Kr¨oner, D. [1997]. Numerical Schemes for Conservation Laws, J. Wiley & Sons und B.G. Teubner-Verlag, Chichester, Stuttgart. LeVeque, R. [1990]. Numerical Methods for Conservation Laws, Lectures in Mathematics, ETH Z¨ urich, Birkh¨auser Verlag, Basel, Boston, Berlin.

95

Literaturverzeichnis Majda, A. J. und Klein, R. [2003]. Systematic Multiscale Models for the Tropics, Journal of the Atmospheric Sciences 60(2): 393–408. Pedlosky, J. [1987]. Geophysical Fluid Dynamics, 2. Auflage, Springer-Verlag, New York. Schneider, W. [1978]. Mathematische Methoden der Str¨omungsmechanik, Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft, Braunschweig. Temam, R. und Miranville, A. [2000]. Mathematical Modeling in Continuum Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, UK. Walter, W. [1996]. Gew¨ohnliche Differentialgleichungen, 6. Auflage, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. Werner, D. [2000]. Funktionalanalysis, 3rd Auflage, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York.

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Index

Π-Theorem, 28 β-Ebenen-Approximation, 75 Druckskalenh¨ohe, 88 dynamische Viskosit¨at, 6 Geostrophische Balance, 76 Integralsatz von Gauß, 86 Landausymbole, 86 Massenerhaltung, 2 quasigeostr. pot. Wirbelst¨arke, 84 singul¨arer Grenz¨ ubergang, 76 thermischer Wind, 82, 88 Vorticity, 81 Wirbelst¨arke, 81

97