Mathematische Methoden der VWL

Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen Mathematische Methoden der VWL Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen Till Stowasser © Klaus Schm...
Author: Josef Fürst
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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen

Mathematische Methoden der VWL Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen

Till Stowasser © Klaus Schmidt, 2001 / Till Stowasser, 2014 LMU, Wintersemester 2014/2015

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen Syllabus

Syllabus

1.1 Funktionen mit einer Variablen 1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer? 1.3 Beispiel: Die Lafferkurve 1.4 Funktionen mit mehreren Variablen 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.1 Funktionen mit einer Variablen

1.1 Funktionen mit einer Variablen Betrachten Sie das folgende Maximierungsproblem: max z(x ) x

Dabei sei x eine reelle Zahl und z(x ) eine reellwertige Zielfunktion, die wenigstens zweimal differenzierbar ist. Wenn x ∗ ein Maximum dieser Funktion ist, dann müsste die Steigung der Funktion an x ∗ genau gleich 0 sein. Warum?

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.1 Funktionen mit einer Variablen

Bedingung erster Ordnung (BEO) Die BEO lautet:

∂z(x ∗ ) = 0 ∂x

Die Bedingung erster Ordnung ist eine notwendige aber keine hinreichende Bedingung für ein Maximum. Was bedeutet das?

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.1 Funktionen mit einer Variablen

Wenn die Bedingung erster Ordnung erfüllt ist, können wir also noch nicht sicher sein, dass tatsächlich ein Maximum vorliegt. Diese Bedingung ist auch bei einem Minimum oder einem Wendepunkt erfüllt. Beispiele: z(x ) = 4x − x 2 z(x ) = 4x − ln x z(x ) = 2x 3 √ 5 z(x ) = x 3

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.1 Funktionen mit einer Variablen

z(x ) = 4x − x 2

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.1 Funktionen mit einer Variablen

z(x ) = 4x − ln x

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.1 Funktionen mit einer Variablen

z(x ) = 2x 3

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.1 Funktionen mit einer Variablen

z(x ) =

√ 5

x3

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.1 Funktionen mit einer Variablen

Bedingung zweiter Ordnung (BZO) für ein Maximum Die BZO lautet:

∂ 2 z(x ) < 0 ∂x 2 Diese Bedingung zweiter Ordnung ist eine hinreichende Bedingung für ein Maximum. Wenn die Bedingung zweiter Ordnung an der Stelle x ∗ erfüllt ist, können wir sicher sein, dass es sich um ein lokales Maximum handelt. Ein globales Maximum liegt an der Stelle x ∗ vor, wenn die Funktion z(x ) global (d.h. für alle möglichen Werte von x ) die BZO erfüllt.

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.1 Funktionen mit einer Variablen

Bedingung zweiter Ordnung (BZO) für ein Minimum Die BZO lautet:

∂ 2 z(x ) > 0 ∂x 2 Diese Bedingung zweiter Ordnung ist eine hinreichende Bedingung für ein Minimum. Wenn die Bedingung zweiter Ordnung an der Stelle x ∗ erfüllt ist, können wir sicher sein, dass es sich um ein lokales Minimum handelt. Ein globales Minimum liegt an der Stelle x ∗ vor, wenn die Funktion z(x ) global (d.h. für alle möglichen Werte von x ) die BZO erfüllt.

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.1 Funktionen mit einer Variablen

Bedingung erster und zweiter Ordnung für ein Maximum Theorem (1.1 – Bedingungen für ein Maximum) Die Funktion z(x ) hat an der Stelle x ∗ ein globales Maximum, wenn ∂z(x ∗ ) = 0 ∂x und wenn

∂ 2 z(x ) < 0 ∂x 2

für alle x ∈ R.

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.1 Funktionen mit einer Variablen

Bedingung erster und zweiter Ordnung für ein Minimum Theorem (1.2 – Bedingungen für ein Minimum) Die Funktion z(x ) hat an der Stelle x ∗ ein globales Minimum, wenn ∂z(x ∗ ) = 0 ∂x und wenn

∂ 2 z(x ) > 0 ∂x 2

für alle x ∈ R.

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer?

1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer?

Modell-Setup Sei: x Anzahl der verkauften Bücher p(x ) inverse Nachfragefunktion, p(x ) = a − bx C (x ) Kostenfunktion, C (x ) = cx t Tantiemensatz: Erlösanteil, den der Autor erhält Mit a, b, c > 0 sowie 0 < t < 1 Wir fragen jetzt, welche Menge für den Autor bzw. für den Verlag optimal wäre.

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer?

Welche Menge würde der Autor wählen? Maximiere Gewinnfunktion des Autors: max ΠA = t · (a − bx ) · x x

Bedingung erster Ordnung impliziert (Ausrechnen, Produktregel): a 2b Bedingung zweiter Ordnung ist für alle x ∈ R erfüllt (Prüfen). xA =

a Fazit: x A = 2b ist die Verkaufsmenge, bei der der Autor seine Tantiemen maximiert.

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer?

Welche Menge würde der Verlag wählen? Maximiere Gewinnfunktion des Verlags: max ΠV = (1 − t) · (a − bx ) · x − cx x

Bedingung erster Ordnung impliziert (Ausrechnen, Produktregel): c a − 1−t 2b Bedingung zweiter Ordnung ist für alle x ∈ R erfüllt (Prüfen).

xV =

a−

c

Fazit: x V = 2b1−t ist die Verkaufsmenge, bei der der Verlag seinen Gewinn maximiert.

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.2 Beispiel: Warum sind Lehrbücher so teuer?

Beachten Sie Die gewinnmaximale Menge des Verlages ist kleiner als die optimale Menge für den Autor. Der gewinnmaximale Preis des Verlages ist höher als der optimale Preis für den Autor. Was ist die ökonomische Intuition für dieses Ergebnis? Argumentieren Sie mit Grenzerlös und Grenzkosten für den Autor und für den Verlag.

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.3 Beispiel: Die Lafferkurve

1.3 Beispiel: Die Lafferkurve Modell-Setup Gelegentlich wird argumentiert, dass eine Senkung der Steuersätze zu einer Erhöhung des Steueraufkommens führen würde. Kann das tatsächlich passieren? Einfaches Beispiel mit Einkommensteuer. Sei: x Beschäftigungsmenge in Stunden w Bruttolohn pro Stunde s Steuersatz pro Stunde (Stücksteuer!) N Arbeitsnachfrage, N(w ) = a − bw A Arbeitsangebot, A(w ) = c + d(w − s) Mit a, b, c, d, w > 0 sowie 0 < s < w

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.3 Beispiel: Die Lafferkurve

Gleichgewicht auf dem Arbeitsmarkt N(w ∗ ) = A(w ∗ ) impliziert (ausrechnen!): w∗ =

a−c b+d

+

d b+d s

und

x ∗ = N(w ∗ ) = A(w ∗ ) = a − b



a−c b+d

+

d b+d s



Beachten Sie: ∂w ∗ (s) ∂s ∂x ∗ (s) ∂s

= =

d b+d > 0 bd − b+d 0 positiv definit, wenn z11 > 0 und z22 > 0 und |H| > 0

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.4 Funktionen mit mehreren Variablen

Alternative Formulierung der Bedingung zweiter Ordnung Die Bedingung zweiter Ordnung verlangt, dass die Funktion z(x) an der Stelle x∗ konkav ist, damit ein Maximum vorliegt. Wenn die Funktion z(x) an der Stelle x∗ konkav ist, können wir sicher sein, dass es sich um ein lokales Maximum handelt. Wenn die Funktion z(x) überall konkav ist, können wir sicher sein, dass es sich um ein globales Maximum handelt.

Analog: Für ein Minimum muss die Funktion konvex sein.

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion

1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion Konkavität (bei Maximierungsproblemen) Was genau bedeutet Konkavität und was hat das mit der Bedingung zweiter Ordnung zu tun? Definition (1.1 – Konkavität) Eine Funktion z(x) : RN → R ist konkav, genau dann wenn für alle k ∈ (0, 1) und alle x0 , x00 ∈ RN gilt: z(kx0 + (1 − k)x00 ) ≥ kz(x0 ) + (1 − k)z(x00 )

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion

Eine konkave Funktion

z(x)

0

x 26 / 30

Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion

Konvexität (bei Minimierungsproblemen) Die Definition von Konvexität ist analog: Definition (1.2 – Konvexität) Eine Funktion z(x) : RN → R ist konvex, genau dann wenn für alle k ∈ (0, 1) und alle x0 , x00 ∈ RN gilt: z(kx0 + (1 − k)x00 ) ≤ kz(x0 ) + (1 − k)z(x00 )

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Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion

Eine konvexe Funktion

z(x)

0

x 28 / 30

Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen 1.5 Konkavität und Konvexität einer Funktion

Bemerkungen 1

Versuchen Sie sich klar zu machen, was diese Bedingung anschaulich verlangt. Warum muss die Funktion z(x) an der Stelle x∗ konkav sein, wenn die Funktion an der Stelle x∗ ein Maximum hat?

2

Eine Funktion ist streng konkav, wenn ≥ durch > ersetzt werden kann.

3

Wir wissen bereits, dass eine differenzierbare Funktion mit einer Veränderlichen genau dann (streng) konkav ist, wenn z 00 (x) ≤ (