Mathematische Methoden der Physik Lineare Operatoren

Peter Hertel

Universit¨ at Osnabr¨ uck

Abschluss, absolut stetig, adjungiert, dicht, Dichteoperator, Dirac-Funktion, Distribution, Drehimpuls, Faltungssatz, Fourier-Analyse, hermitesch, Hilbert-Raum, Impuls, Jacobi-Identit¨at, kanonische Vertauschungsregel, Kommutator, Leiter-Operatoren, lineare Abbildung, linearer Raum, Multiplikations-Operator, Norm, normal, normiert, Operator, Ort, orthogonal, Parseval-Theorem, Pauli-Matrizen, positiv, Projektor, Quasi-Eigenfunktionen, selbstadjungiert, Spur, symmetrisch, Teilraum, Testfunktion, unit¨ar, Unsch¨arferelation, verallgemeinerte Funktion, vollst¨andiges Orthonormalsystem, Zerlegung der Eins

13. M¨ arz 2004

Inhaltsverzeichnis Vorwort

4

1 Lineare Abbildungen 1.1 Lineare R¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ring der linearen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 6 6

2 Lineare Operatoren im Hilbert-Raum 2.1 Hilbert-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8 9

3 Projektoren auf Teilr¨ aume 10 3.1 Teilr¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 Projektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Zerlegung der Eins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 Normale Operatoren 4.1 Spektralzerlegung . . . . . . . 4.2 Selbstadjungierte Operatoren 4.3 Positive Operatoren . . . . . 4.4 Unit¨are Operatoren . . . . . . 4.5 Dichteoperatoren . . . . . . .

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12 12 13 13 13 14

5 Funktionen von Operatoren 15 5.1 Potenzreihe eines Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.2 Funktion eines normalen Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5.3 Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 Translationen 18 6.1 Periodische Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6.2 Definitionsbereich des Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6.3 Spektralzerlegung des Impulses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7 Fourier-Transformation 7.1 Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Fourier-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Fourier-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 21 21 22

8 Ort 8.1 8.2 8.3

24 24 24 25

und Impuls Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kanonische Vertauschungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unsch¨arfebeziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

8.4

Quasi-Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9 Leiter-Operatoren 9.1 Auf- und Absteigeoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Vakuum und angeregte Zust¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 27 28 28

10 Drehgruppe 10.1 Drehimpuls . . . 10.2 Eigenr¨aume . . . 10.3 Bahndrehimpuls 10.4 Laplace-Operator

29 29 30 31 32

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A Normale Operatoren im Cn

33

B Verallgemeinerte Funktionen B.1 Testfunktionen . . . . . . . B.2 Distributionen . . . . . . . B.3 Ableitung . . . . . . . . . . B.4 Fourier-Transformation . . . B.5 Beispiele . . . . . . . . . . .

35 35 36 37 38 39

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C Glossar

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41

3

Vorwort Das Studium der Physik an der Universit¨at Osnabr¨ uck besteht–wie fast u ¨berall– aus einem Grundkurs und aus aufbauenden Lehrveranstaltungen. Der Grundkurs beleuchtet die Physik aus dem Blickwinkel der Ph¨anomene (Experimentalphysik), der Praxis (Laborversuche zur Physik) und der Theorie (Theoretische Physik). Physik ist dicht mit Mathematik verflochten, daher studiert man Physik immer zusammen mit Mathematik. An der Schnittstelle zwischen Physik und Mathematik findet man jedoch oft Defizite vor, denen diese Reihe von Lehrveranstaltungen abhelfen will. Der Fachbereich Physik bietet daher die Module ’Rechenmethoden der Physik 1 und 2’ sowie ’Mathematische Methoden der Physik 1 und 2’ an. Jeder dieser vier Module wird mit sechs ECTSLeistungspunkten1 gewichtet, dem entspricht ein Arbeitsaufwand von jeweils etwa 120 Zeitstunden. Die ’Rechenmethoden’ sollen der ’Einf¨ uhrung in die Experimentalphysik’ zuarbeiten, die ’Mathematischen Methoden’ der ’Einf¨ uhrung in die Theoretische Physik’. Auf diese Anforderung haben wir den hier dokumentierten Kurs ’Mathema¨ tische Methoden der Physik 2’ eingestellt. Die in Vorlesungen und Ubungen gegliederte Lehrveranstaltung st¨ utzt sich auf Vorkenntnisse, die in den einschl¨agigen Lehrmodulen der Mathematik vermittelt worden sind. In diesem mathematisch orientierten Text gibt es keine physikalischen Maßeinheiten. Alle Gr¨oßen sind dimensionslos. Eine L¨ange ist immer das Verh¨altnis der L¨ange zur L¨angeneinheit, usw. Trotzdem haben wir uns an die in der Physik u ¨bliche Notation gehalten. Das l¨auft fast immer auf die Festlegung ~ = 1 hinaus. Das rechte Darstellungsniveau zu finden ist eine heikle Sache, denn man muss ¨ einen vern¨ unftigen Kompromiss finden zwischen didaktischen Uberlegungen, der begrenzten Zeit und den inh¨arenten Schwierigkeiten der Theorie auch unbeschr¨ankter linearer Operatoren. Es einfach zu machen ohne zu schwindeln ist ein wirkliches Problem. Der Abschnitt u ¨ber normale Operatoren ist zentral. Selbstadjungierte Operatoren beschreiben die Observablen eines physikalischen Systems und spielen auch in vielen anderen Zweigen der Physik eine wichtige Rolle. Positive Operatoren tauchen im Zusammenhang mit Ungleichungen auf. Dichteoperatoren beschreiben die Zust¨ande eines physikalischen Systems, und unit¨are Operatoren kommen immer dann vor, wenn Symmetrien im weitesten Sinne zu beschreiben sind. Dieser Abschnitt wird sorgf¨altig vorbereitet und sp¨ater ausgef¨ uhrt. Wir haben die Spektralzerlegung normaler Operatoren in den Anhang geschoben, ebenso die Theorie der verallgemeinerten Funktionen, um z¨ ugiger zu den f¨ ur die Theoretische Physik wichtigen Methoden zu gelangen. Ein Glossar, dass die wichtigsten Begriffe auflistet, rundet den Text ab. Bitte benachrichtigen Sie den Autor2 u ¨ber Fehler und Verbesserungsvorschl¨age.

1 2

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4

1

Lineare Abbildungen

Wir erinnern an die Definition des linearen Raumes und gehen auf lineare Teilr¨aume ein. Lineare Teilr¨aume werden von Mengen linear unabh¨angiger Vektoren aufgespannt, deren M¨achtigkeit die Dimension definiert. Im Vordergrund des Interesses stehen lineare Abbildungen zwischen linearen R¨aumen. Die linearen Abbildungen eines linearen Raumes auf sich bilden einen Ring: lineare Abbildungen kann man addieren, mit Skalaren multiplizieren, und multiplizieren. Die Multiplikation ist nicht kommutativ.

1.1

Lineare R¨ aume

Ein linearer Raum besteht aus Objekten, die man addieren und mit Zahlen multiplizieren kann. Die Objekte heißen oft Vektoren, die Zahlen Skalare. Das k¨onnen reelle oder komplexe Zahlen sein. Wir bezeichnen den linearen Raum mit L. Die Addition von Vektoren und die Multiplikation mit Skalaren soll den folgenden Regeln gen¨ ugen:

x + (y + z) = (x + y) + z

(1.1)

x+y =y+x

(1.2)

α(βx) = (αβ)x

(1.3)

α(x + y) = αx + αy

(1.4)

f¨ ur x, y ∈ L und α, β ∈ C. In L gibt es einen Nullvektor 0, der durch 0x = 0 f¨ ur alle x ∈ L festgelegt ist. Der Skalar vor x ist die Zahl 0. 1 Zum Nullvektor Man definiere −x und zeigen, dass x − x, eine Abk¨ urzung f¨ ur x + (−x), den Nullvektor ergibt.  Eine Menge {x1 , x2 , . . . , xn } von Vektoren in L ist linear unabh¨angig, wenn die Gleichung α1 x1 + α2 x2 + . . . + αn xn = 0

(1.5)

nur die L¨osung α1 = α2 = . . . = αn = 0 hat. Mit 0

L = L{x1 , x2 , . . . , xn } = {x | x =

n X

αi xi mit αi ∈ C}

(1.6)

i=1

bezeichnen wir den durch die linear unabh¨angigen Vektoren {x1 , x2 , . . . , xn } aufgespannten Teilraum von L. Die Menge {x1 , x2 , . . . , xn } ist eine Basis f¨ ur L 0. 2 Linearer Teilraum Man zeige, dass L 0 = L{x1 , x2 , . . . , xn } ein linearer Raum ist. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass mit x, y ∈ L 0 auch αx + βy zu L 0 geh¨ort.  5

Wenn man denselben Teilraum L 0 einmal aus den linear unabh¨angigen Vektoren {x1 , x2 , . . . xn } erzeugt und zum anderen aus den linear unabh¨angigen Vektoren {y1 , y2 , . . . ym }, dann muss m = n gelten, und man nennt m = n die Dimension des Raumes. L selber ist ein endlichdimensionaler Raum, wenn er durch eine endliche Menge linear unabh¨ angiger Vektoren erzeugt werden kann. Wenn man eine abz¨ahlbar unendliche Menge {x1 , x2 , . . .} von Vektoren aus L angeben kann, so dass jede Teilmenge linear unabh¨angig ist, dann hat der lineare Raum die Dimension abz¨ahlbar-unendlich (ℵ). Es gibt h¨ohergradig unendlichdimensionale lineare R¨aume, mit denen wir uns hier aber nicht befassen werden. 3 Polynome Man zeige, dass die Polynome vom Grade k < n, also komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen der Gestalt p(z) = a0 + a1 z + . . . + an−1 z n−1

(1.7)

einen n-dimensionalen linearen Raum Pn bilden und dass der lineare Raum P aller Polynome die Dimension abz¨ahlbar-unendlich hat. 

1.2

Lineare Abbildungen

Wir betrachten zwei lineare R¨aume L1 und L2 . Eine Abbildung L : L1 → L2 heißt linear, wenn L(αx + βy) = αL(x) + βL(y)

(1.8)

gilt f¨ ur alle x, y ∈ L1 und f¨ ur alle α, β ∈ C. 4 Differentiation von Polynomen Wenn man ein Polynom p differenziert, erh¨alt man wiederum ein Polynom. Also ist die Operation ’Ableiten’ eine Abbildung von P in sich selber. Zeigen Sie, dass es sich um eine lineare Abbildung handelt.  C selber kann man als einen eindimensionalen linearen Raum auffassen. Damit ist die Integration eines Polynoms, etwa Z I[a,b] (p) =

b

dx p(x) ,

(1.9)

a

eine lineare Abbildung P → C, wie man leicht zeigen kann. Diese Aussage gilt generell f¨ ur Integrale.

1.3

Ring der linearen Abbildungen

Wir betrachten jetzt lineare Abbildungen eines linearen Raumes L in sich. Mit A bezeichnen wir die Menge aller solcher linearen Abbildungen. Auf A kann man addieren, (M + N )(x) = M (x) + N (x) wobei M, N ∈ A und x ∈ L . 6

(1.10)

Auf A kann man auch mit Skalaren multiplizieren, (αM )(x) = αM (x) f¨ ur M ∈ A und α ∈ C .

(1.11)

A ist also ein linearer Raum, denn die entsprechenden Vertr¨aglichkeitsregeln sind erf¨ ullt. Auf A kann man zudem multiplizieren, (N M )(x) = N (M (x)) .

(1.12)

Weil das Assoziativgesetz N (M L) = (N M )L

(1.13)

und die Vertr¨aglichkeitsregel L(M + N ) = LM + LN

(1.14)

f¨ ur lineare Abbildungen L, M, N ∈ A erf¨ ullt sind, haben wir in A einen Ring vor uns. Dieser Ring ist ab Dimension 2 nicht-kommutativ, man kann sich also nicht auf M N = N M verlassen. 5 Komplexe 2×2-Matrizen Der einfachste interessante Vektorraum hat zwei Dimensionen. Die Menge A der zugeh¨origen linearen Transformationen kann mit den komplexen 2×2-Matrizen identifiziert werden. Geben Sie zwei Matrizen M und N an, so dass M N sich von N M unterscheidet. 

7

2

Lineare Operatoren im Hilbert-Raum

Indem man den linearen Raum mit einem Skalarprodukt ausstattet, kann man Begriffe wie ’senkrecht’, ’L¨ange eines Vektors’, damit ’Norm’ und ’Konvergenz’, also die Topologie ins Spiel bringen. Hilbertr¨aume haben eine reiche Struktur, der wir uns im Folgenden widmen wollen.

2.1

Hilbert-Raum

Ein Hilbert-Raum H ist ein linearer Raum, der mit einem Skalarprodukt ausgestattet und in der entsprechenden Norm vollst¨andig ist. Zu je zwei Vektoren x, y ∈ H gibt es eine komplexe Zahl (y, x), das Skalarprodukt. F¨ ur das Skalarprodukt gilt (y, x) = (x, y)∗ und (z, αx + βy) = α(z, x) + β(z, y) . p ||x|| = (x, x) soll eine Norm sein. Daher muss man zus¨atzlich (x, x) ≥ 0 und (x, x) = 0 y x = 0

(2.1)

(2.2)

fordern. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selber ist niemals negativ, und es verschwindet nur f¨ ur den Nullvektor. Aus den Regeln f¨ ur das Skalarprodukt folgen die Dreiecksungleichung ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| .

(2.3)

sowie die Schwarz-Ungleichung |(x, y)|2 ≤ ||x||2 ||y||2 .

(2.4)

Am schwierigsten ist meistens der Beweis, dass der vermutete Hilbert-Raum abgeschlossen ist in dem Sinne, dass jede Cauchy-Folge einen Grenzwert hat. Eine Cauchy-Folge xn ist dadurch gekennzeichnet, dass f¨ ur jedes  > 0 eine nat¨ urliche Zahl N existiert, so dass ||xm − xn || ≤  ausf¨allt f¨ ur alle m, n ≥ N . Abgeschlossen bedeutet: zu der Cauchy-Folge geh¨ort ein x ∈ H so dass lim xn = x gilt. 6 Stetige Funktionen Man betrachtet den linearen Raum der auf [−1, 1] stetigen Funktionen, und Z 1 (g, f ) = dx g ∗ (x)f (x) (2.5) −1

soll das Skalarprodukt sein. Zeigen Sie, dass damit kein Hilbert-Raum erkl¨art wird.  Auf einem Gebiet Ω definierte komplexwertige Funktionen heißen quadratintegrabel, wenn Z dx |f (x)|2 < ∞ (2.6) Ω

8

ausf¨allt. Wegen (2.4) existiert dann auch Z (g, f ) =

dx g ∗ (x)f (x)

(2.7)

Ω

f¨ ur quadratintegrabel Funktionen f und g. Da der Limes integrierbarer Funktionen integrierbar ist, haben wir einen Hilbert-Raum vor uns. Dieser HilbertRaum wird u ¨blicherweise mit L2 (Ω) bezeichnet. 7 Endlichdimensionaler Vektorraum Der Cn besteht aus n-Tupeln komplexer Zahlen. Mit den u ¨blichen Rechenoperationen ist das ein linearer Raum. Wir definieren das Skalarprodukt als (y, x) =

n X

yi∗ xi .

(2.8)

i=1

Begr¨ unden Sie, warum damit Cn zu einem Hilbert-Raum wird.  Wir besch¨aftigen uns meistens mit den Hilbertr¨aumen Cn und L2 (Ω).

2.2

Lineare Operatoren

Als linearen Operator bezeichnen wir von nun an eine lineare Abbildung des Hilbert-Raumes H auf sich. Es ist u ¨blich, das Argument nicht in Klammern zu setzen. x ∈ H wird zu y = Lx ∈ H, mit dem linearen Operator L. Die Abbildung x → (y, Lx) von H in C ist linear. Es gibt dann einen Vektor z so dass (y, Lx) = (z, x) gilt. Alle Linearformen sind Skalarprodukte, so das Lemma von Riesz. Dieses z h¨angt wiederum linear von y ab, z = L† y. Auf diese Weise wird jedem linearen Operator L ein adjungierter Operator L† zugeordnet, und es gilt (L† y, x) = (y, Lx)

(2.9)

f¨ ur beliebige x, y ∈ H. 8 Adjungierte Matrix Die linearen Operatoren des Hilbert-Raumes C n sind komplexe n × n-Matrizen. Wie sieht die zu Lik adjungierte Matrix L† ik aus?  F¨ ur zwei lineare Operatoren M und N gilt (y, N M x) = (N † y, M x) = (M † N † y, x) ,

(2.10)

(N M )† = M † N † .

(2.11)

also

Das muss man sich merken.

9

3

Projektoren auf Teilr¨ aume

Die linearen Teilr¨aume des Hilbert-Raumes m¨ ussen nicht abgeschlossen sein. Teilr¨aume des Hilbert-Raumes kennzeichnet man durch entsprechende Projektoren. Der Begriff von der Zerlegung der Eins in paarweise orthogonale Projektoren wird sp¨ater eine wichtige Rolle spielen.

3.1

Teilr¨ aume

Unter einem Teilraum H 0 des Hilbert-Raumes H versteht man einen linearen Teilraum. Er ist also nicht unbedingt abgeschlossen. Zwei Vektoren x, y ∈ H sind zueinander orthogonal, wenn das Skalarprodukt (y, x) verschwindet. Das kann man auf Teilr¨aume ausdehnen. Zwei Teilr¨aume H1 und H2 des Hilbert-Raumes H sind zueinander orthogonal, wenn (y, x) = 0 f¨ ur x ∈ H1 und y ∈ H2

(3.1)

gilt. Daf¨ ur schreiben wir auch (H2 , H1 ) = 0. Als Basis f¨ ur einen Hilbert-Raum w¨ahlt man zweckm¨aßig ein vollst¨andiges Orthonormalsystem, eine Menge {x1 , x2 , . . .} von normierten und paarweise orthogonalen Vektoren, (xj , xk ) = δjk .

3.2

(3.2)

Projektoren

Wir betrachten einen n-dimensionalen Teilraum H 0 des Hilbert-Raumes. H 0 soll durch das vollst¨andige Orthonormalsystem {x1 , x2 , . . . , xn } aufgespannt werden. Einem belieben Vektor x ordnen wir die Projektion 0

x =

n X

(xi , x) xi

(3.3)

i=1

zu. Wegen (xi , x 0 ) = (xi , x) schließen wir (xi , x − x 0 ) = 0. Damit haben wir den beliebigen Vektor x in einen Anteil x 0 in H 0 und den Rest x − x 0 zerlegt, der senkrecht auf H 0 steht. Weil x 0 linear von x abh¨angt, k¨onnen wir die Projektion auf H 0 durch einen linearen Operator beschreiben, x 0 = Π x. Π ist ein Projektor. Ein Projektor ist selbstadjungiert, Π = Π † , und idempotent, Π 2 = Π . 9 Projektoren

Zeigen Sie

Π = Π † und Π 2 = Π ,

(3.4)

indem (Π y, x) = (y, Π x) und Π (Π x) gem¨aß (3.4) ausgerechnet werden.  10

Jeder Teilraum H 0 wird durch seinen Projektor Π beschrieben, und umgekehrt definiert ein Projektor Π gem¨aß (3.4) einen Teilraum H 0 = Π H. Die Dimension des Teilraumes ist zugleich die Dimension des Projektors. Wir tragen nach, warum Π H abgeschlossen ist. Wenn x1 , x2 , . . . → x eine konvergente Folge in H ist, dann gilt Π x1 , Π x2 , . . . → Π x, und zwar wegen ||Π y|| ≤ ||y||. Das folgt aus 0 ≤ Π ≤ I, mit dem Null-Operator 0x = 0 und dem Eins-Operator Ix = x. Ein linearer Operator M ist kleiner oder gleich einem anderen linearen Operator N wenn (x, M x) ≤ (x, N x) f¨ ur alle x ∈ H

(3.5)

gilt. 10 0 ≤ Π ≤ I Zeigen Sie, dass Projektoren nicht-negativ und durch den Eins-Operator nach oben beschr¨ankt sind. 

3.3

Zerlegung der Eins

Π sei ein Projektor. F¨ ur beliebiges x gilt ((I −Π )x, Π x) = 0. Π H und (I −Π )H stehen also senkrecht aufeinander. Das ist mit Π (I − Π ) = 0 gleichbedeutend. I = Π + (I − Π ) mit Π (I − Π ) = 0 stellt eine Zerlegung der Eins dar, eine Zerlegung des Hilbert-Raumes in zwei zueinander orthogonale Teilr¨aume. Das kann man fortsetzen, indem der zu Π H orthogonale Teilraum weiter zerlegt wird, usw. Unter einer Zerlegung der Eins versteht man eine Menge {Π1 , Π2 , . . .} von zueinander orthogonalen Projektoren, Πj Πk = δjk I ,

(3.6)

so dass Π1 + Π2 + . . . = I

(3.7)

gilt. Dem entspricht eine Zerlegung des Hilbert-Raumes in zueinander orthogonale Teilr¨aume Hj = Πj H. 11 Zerlegung der Eins Wir betrachten den Hilbert-Raum C2 . Geben Sie eine Zerlegung der Eins in zwei eindimensionale orthogonale Projektoren an. 

11

4

Normale Operatoren

Ein linearer Operator heißt normal, wenn er mit seinem Adjungierten vertauscht. Solch ein normaler Operator kann stets als Summe u ¨ber Vielfaches von Projektoren geschrieben werden, die eine Zerlegung der Eins bilden. Diese Faktoren, mit denen die Projektoren multipliziert werden, sind die Eigenwerte des Operators, und die Projektoren projizieren auf Eigenr¨aume. Sind alle Eigenwerte reell, ist der Operator selbstadjungiert. Liegen die Eigenwerte auf dem Einheitskreis, hat man einen unit¨aren Operator vor sich. Positive Operatoren sind durch positive Eigenwerte ausgezeichnet. Dichteoperatoren liegen im Intervall 0 ≤ W ≤ I und haben die Spur 1.

4.1

Spektralzerlegung

Wir betrachten eine Zerlegung der Eins in paarweise orthogonale Projektoren, I=

X

Πj mit Πj Πk = δjk .

(4.1)

j

ν1 , ν2 , . . . sei eine Folge verschiedener komplexer Zahlen. Wir definieren N=

X

νj Πj ,

(4.2)

j

einen linearen Operator. Der dazu adjungierte Operator ist N† =

X

νj∗ Πj .

(4.3)

j

Sowohl N N † als auch N † N ergeben N N † = N †N =

X

|νj |2 Πj ,

(4.4)

j

daher gilt N † N = N N † , N ist normal. Umgekehrt kann man zeigen, dass jeder durch N † N = N N † charakterisierte normale Operator die Gestalt (4.2) hat. Wir f¨ uhren das im Anhang A n¨aher aus. Man bezeichnet νj als einen Eigenwert, dazu geh¨ort ein Teilraum Hj = Πj H von Eigenvektoren. In der Tat, f¨ ur x ∈ Hj gilt N x = νj x .

(4.5)

12 Rechtsverschiebung Wir betrachten ein vollst¨andiges Orthonormalsystem xj (j ∈ Z) und erkl¨aren den linearen Operator R durch Rxj = xj+1 . Geben Sie den adjungierten Operator L = R† an und weisen Sie nach, dass R nicht normal ist.  12

4.2

Selbstadjungierte Operatoren

Ein selbstadjungierter Operator A stimmt mit seinem Adjungierten A† u ¨berein, A = A† . Damit ist er auch normal und kann als X A= aj Πj (4.6) j

geschrieben werden, mit einer Zerlegung Π1 , Π2 . . . in paarweise orthogonale Projektoren. Aus (4.3) folgt, dass die Eigenwerte aj reell sind. In der Quantentheorie werden die Messgr¨oßen (Observablen) durch selbstadjungierte Operatoren dargestellt. Die m¨oglichen Messwerte einer Observablen sind gerade die Eigenwerte. Die sind reell, wie wir nun wissen. ¨ Ubrigens kann jeder lineare Operator W gem¨aß W = X + iY mit selbstadjungierten Operatoren X und Y dargestellt werden. Man muss lediglich X = (W † + W )/2 w¨ahlen und Y = (W † − W )/2i.

4.3

Positive Operatoren

Ein positiver3 Operator P ist durch P = BB †

(4.7)

gekennzeichnet. Damit gleichwertig ist (x, P x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ H .

(4.8)

Die Eigenwerte eines positiven Operators sind niemals negativ, X P = aj Πj mit pj ≥ 0 .

(4.9)

j

13 Gleichwertigkeit ¨aquivalent sind. 

4.4

Zeigen Sie, dass die Definitionen (4.7),(4.8) und (4.9)

Unit¨ are Operatoren

Eine lineare Abbildung U : H ∈ H, die die Skalarprodukte nicht ¨andert, heißt unit¨ ar. Aus (y, x) = (U y, U x) folgt U †U = I .

(4.10)

Weil U nur den Nullvektor in den Nullvektor abbilden kann, ist eine unit¨are Transformation umkehrbar. Indem man (4.10) von rechts mit U −1 und von links mit U multipliziert, erh¨alt man die gleichwertige Kennzeichnung UU† = I . 3

(4.11)

positiv immer im Sinne von nicht-negativ

13

Damit steht fest, dass ein unit¨arer Operator normal ist. Er kann stets als U=

X

u j Πj

(4.12)

j

geschrieben werden, mit |uj | = 1 und der Zerlegung Π1 , Π2 . . . der Eins in paarweise orthogonale Projektoren. Unit¨are Operatoren kommen vor, wenn von Symmetrien die Rede ist.

4.5

Dichteoperatoren

Dichteoperatoren W beschreiben Wahrscheinlichkeiten. Sie sind normal, W =

X

wj Πj ,

(4.13)

j

mit der Zerlegung Π1 , Π2 . . . der Eins in paarweise orthogonale Projektoren. Die Eigenwerte sind Wahrscheinlichkeiten, 0 ≤ wj ≤ 1, die sich gem¨aß tr W =

X

wj dim(Πj ) = 1

(4.14)

j

aufsummieren. Jeder Eigenwert wird mit der Dimension des zugeh¨origen Eigenraumes multipliziert. Die Spur tr L eines linearen Operators l¨asst sich ausrechnen, indem man ein vollst¨andiges Orthonormalsystem f1 , f2 . . . nimmt und tr L =

X

(fj , Lfj )

(4.15)

j

berechnet, die Summe u ¨ber die Diagonale der Matrix Lkj = (fk , Lfj ). Man kann zeigen, dass jedes andere vollst¨andige Orthonormalsystem denselben Wert liefert. In (4.14) hat man ein vollst¨andiges Orthonormalsystem benutzt, dass die jeweiligen Eigenr¨aume von W aufspannt.

14

5

Funktionen von Operatoren

Es gibt zwei M¨oglichkeiten, Funktionen von linearen Operatoren zu definieren: als Potenzreihe und u ¨ber die Spektralzerlegung. Wenn beide M¨oglichkeiten gegeben sind, stimmen die Ergebnisse u ¨berein. Wir gehen auch auf Gruppen unit¨arer Operatoren ein, die durch einen selbstadjungierten Operator erzeugt werden.

5.1

Potenzreihe eines Operators

Lineare Operatoren kann man addieren, mit Skalaren multiplizieren und multiplizieren. Damit lassen sich beliebige Polynome eines linearen Operators definieren. Um auch Potenzreihen erkl¨aren zu k¨onnen, braucht man Begriff des Betrages eines linearen Operators L. Wir definieren ||L|| = sup ||Lx|| .

(5.1)

||x||≤1

Man kann also jederzeit ||Lx|| ≤ ||L||||x|| absch¨atzen. Es gilt ||αL|| = |α| ||L|| , ||L1 + L2 || ≤ ||L1 || + ||L2 || , ||L1 L2 || ≤ ||L1 || ||L2 || .

(5.2)

Die Potenzreihe F =

∞ X

ck Lk

(5.3)

k=1

erkl¨art eine linearen Operator F , wenn ∞ X

|ck | ||L||k < ∞

(5.4)

k=1

ausf¨allt.

5.2

Funktion eines normalen Operators

Ein normaler Operator L kann stets als L=

X

λj Πj

(5.5)

j

geschrieben werden mit einer Zerlegung I = Π1 + Π2 + . . . der Eins in orthogonale Projektoren (Πj Πk = δjk ). Der Hilbert-Raum zerf¨allt in zueinander orthogonale Teilr¨aume Hj = Πj , und in jedem Teilraum Hj bewirkt der Operator die Multiplikation der Vektoren mit dem Faktor λj . L2 bedeutet dann die Multiplikation der Vektoren x ∈ Hj mit dem Faktor λ2j , usw. Wenn f ein 15

Polynom ist, bewirkt f (L) die Multiplikation mit f (λj ) in Hj . Wir erweitern das auf beliebige Funktionen f : C → C und erkl¨aren f (L) =

X

f (λj ) Πj .

(5.6)

j

¨ Im Uberlappungsbereich der Definitionen (5.3) und (5.6) stimmen diese u ¨berein. 14 Norm eines normalen Operators die Norm

Zeigen Sie, dass ein normaler Operator

||L|| = sup |λj |

(5.7)

j

hat.  P ur alle λj konFalls f n¨amlich eine Potenzreihe f (z) = k ck z k ist, muss f (λj ) f¨ vergieren. Die Eigenwerte λj m¨ ussen also im Konvergenzkreis der Potenzreihe liegen, und genau das besagt (5.4).

5.3

Ein Beispiel

Wir betrachten die drei Pauli-Matrizen       0 −i 1 0 0 1  , σ2 =   und σ3 =   σ1 =  1 0 i 0 0 −1

(5.8)

als Operatoren im zweidimensionalen Hilbert-Raum C2 . Alle drei Operatoren ∗ erkennt. sind selbstadjungiert, was man an σjk = σkj σ3 beispielsweise kann als  σ3 = 

1 0 0 0





−

0 0 0 1

 (5.9)



geschrieben werden. Die beiden Matrizen Π+ und Π− sind zueinander orthogonale Projektoren, σ3 hat also die beiden Eigenwerte +1 und -1. iφσ3 ¨ Wir wollen U = e ausrechnen. Uber die Spektralzerlegung ist das ganz einfach:       iφ 1 0 0 0 e 0 iφ  + e −iφ  =  . (5.10) U= e  −iφ 0 0 0 1 0 e Dabei hat man die Exponentialfunktion als beliebige Funktion aufgefasst und ausgenutzt, dass σ3 ein normaler Operator ist. Nun nutzen wir aus, dass die Exponentialfunktion eine Potenzreihe ist, die immer konvergiert. Dass σ3 auch normal ist, spielt keine Rolle. 16

Wir schreiben U =I+

iφ (iφ)2 2 σ3 + σ3 + . . . 1! 2!

(5.11)

und arbeiten σ32 = I ein. Das ergibt  U = cos φ I + i sin φ σ3 = 

e

iφ 0

e

 0  . −iφ

(5.12)

Wie man sieht: die Ergebnisse stimmen u ¨berein. 15 Exponentialfunktion Methoden aus. 

Rechnen Sie U = e

17

iφσ1

und U = e

iφσ2

mit beiden

6

Translationen

Das Kontinuum x ∈ R ist problematisch, weil der entsprechende Operator X nicht beschr¨ankt ist. Wir behandeln daher den Ort zuerst als einen Punkt auf einem Kreisring mit Radius R. Mit R → ∞ n¨ahert man sich immer mehr der Wirklichkeit.

6.1

Periodische Randbedingungen

Wir beginnen unsere Untersuchungen mit dem Fall R = 1. Wir betrachten quadratintegrable komplexwertige Funktionen auf Ω = [−π, π] mit periodischen Randbedingungen, f (x) = f (x + 2π). Damit wird eingebracht, dass es keinen Rand gibt und jeder Punkt a priori gleich wichtig ist. Funktionsargumente sind grunds¨atzlich modulo 2π gemeint, so dass sie in das Intervall Ω fallen. Unser Hilbert-Raum ist also Z π dx |f (x)|2 < ∞} . (6.1) H = {f : [−π, π] → C | f (x) = f (x + 2π) , −π

Periodische Cauchy-Folgen von Elementen aus H konvergieren gegen Funktionen, die wiederum periodisch sind, deswegen ist H abgeschlossen. Wegen Z

π

∗

Z

π

dx g (x)f (x) = −π

dx g ∗ (x + a)f (x + a)

(6.2)

−π

l¨asst die Verschiebung f → fa = Ua f mit fa (x) = f (x + a)

(6.3)

alle Skalarprodukte (ga , fa ) = (g, f ) unge¨andert. Wir entwickeln fa nach a in eine Taylor-Reihe, (Ua f )(x) = f (x + a) = f (x) +

a 0 a2 f (x) + f 00 (x) + . . . 1! 2!

(6.4)

und erkennen unschwer die Potenzreihe f¨ ur die Exponentialfunktion. Mit dem Operator P = −i

d dx

(6.5)

d¨ urfen wir Ua = e

iaP

(6.6)

schreiben. 18

6.2

Definitionsbereich des Impulses

Der durch (Xf )(x) = xf (x)

(6.7)

definierte Ortsoperator X ist auf dem gesamten Hilbert-Raum definiert, weil x ∈ [−π, π] beschr¨ankt ist. Der Impulsoperator P , der die Verschiebungen Ua erzeugt, kann dagegen nicht auf dem gesamten Hilbert-Raum erkl¨art werden. Nicht jede quadratintegrable Funktion ist differenzierbar. F¨ ur f ∈ H definieren wir Z x ds f (s) . (6.8) F (x) = c + −π

Solch eine Funktion, man nennt sie absolutstetig, ist stetig und im Sinne von F 0 (x) = f (x)

(6.9)

differenzierbar, so dass die Ableitung in H liegt. Wir vereinbaren, dass P auf der Menge D der absolut-stetigen periodischen Funktionen definiert sein soll, einem linearen Raum. Dieser Raum D ist im Hilbert-Raum dicht in dem Sinne, dass jede quadratintegrable Funktion beliebig gut durch absolutstetige Funktionen approximiert werden kann. Wir wollen nun den adjungierten Operator P † ausrechnen. Zu jedem G wird eine quadratintegrable Funktion g gesucht, die (G, P F ) = (g, F ) bewirkt, f¨ ur alle F ∈ D. Das bedeutet Z π Z π ∗ −i dx G∗ (x)F 0 (x) = −i∆ + i dx G 0 (x)F (x) , (6.10) −π

−π

mit ∆ = G∗ (π)F (π) − G∗ (−π)F (−π). Die Funktion G muss periodisch sein, G(−π) = G(π), damit ∆ verschwindet. Zugleich muss G differenziert werden k¨onnen, also absolut stetig sein. Damit haben wir gezeigt, dass der zu P adjungierte Operator P † ebenfalls auf D definiert ist und dort mit P u ¨bereinstimmt. D ist die gr¨oßte Menge, so dass f¨ ur alle G ∈ D die Beziehung (g, F ) = (G, P F ) gilt, f¨ ur alle F ∈ D. Dabei ist g = −iG 0 . Wir stellen hier fest: Operatoren, die nicht auf dem gesamten Hilbert-Raum definiert werden k¨onnen, sondern nur auf einem dichten Teilraum, bereiten Schwierigkeiten. Verkleinert man den Definitionsbereich des Operators, w¨achst der Definitionsbereich des Adjungierten. Nur wenn Abbildungsvorschrift und Definitionsbereich u ¨bereinstimmen, sind zwei Operatoren dieselben.

6.3

Spektralzerlegung des Impulses

Wir suchen nach den Eigenfunktionen des Impulses. Das m¨ ussen absolutstetige periodische Funktionen f sein, die der Eigenwertgleichung P f = −if 0 = pf

(6.11) 19

gen¨ ugen. Die L¨osungen sind einfach auszurechnen: 1 ijx fj (x) = √ e 2π

(6.12)

f¨ ur j = . . . , −1, 0, 1, . . .. Dazu geh¨oren die Eigenwerte pj = j .

(6.13)

20

7

Fourier-Transformation

Die Ergebnisse des Abschnittes 6 sind so bedeutsam, dass wir sie hier noch einmal im Detail ausbreiten.

7.1

Fourier-Reihe

Wir betrachten quadratintegrable periodische Funktionen, Z

π

H = {f : [−π, π] → C | f (x + 2π) = f (x) ,

dx |f (x)|2 < ∞} .

(7.1)

−π

Der durch fa = Ua f mit fa (x) = f (x + a) definierte unit¨are VerschiebungsopeiaP rator kann als Ua = e geschrieben werden, und P ist selbstadjungiert. Die normierten Eigenfunktionen von P sind 1 ijx fj (x) = √ e 2π

(7.2)

f¨ ur j ∈ Z. Jede periodische quadratintegrable Funktion f kann als Fourier-Reihe dargestellt werden: f (x) =

1 X ˆ ijx fˆj fj (x) = √ fj e . 2π j∈Z j∈Z

X

(7.3)

Mehr noch, wir wissen auch, wie die Amplituden fˆj auszurechnen sind, 1 fˆj = (fj , f ) = √ 2π

Z

π

dx e

−ijx

f (x) .

(7.4)

−π

Dabei gilt (f, f ) =

X

|fˆj |2 .

(7.5)

j∈Z

7.2

Fourier-Entwicklung

Auf einer Rechenmachine kann man niemals mit unendlich vielen Termen rechnen. Die Fourier-Reihe (7.3) muss durch eine endliche Summe ersetzt werden. Wir approximieren also f (x) =

X

fˆj fj (x) + rn (x)

(7.6)

|j|≤n

durch die Beitr¨age |j| ≤ n und in einen Rest rn (x). Der Rest steht immer senkrecht auf der N¨aherung. Daher sind die Koeffizienten cj der Entwicklung 21

nicht von der Ordnung n der N¨aherung abh¨angig. Nimmt man mehr FourierKomponenten mit, muss man die Koeffizienten der bisherigen Beitr¨age nicht neu berechnen. In diesem Sinne ist die N¨aherung durch endlich viele FourierBeitr¨age optimal. 16 S¨ agezahn

Die periodische S¨agezahn-Funktion wird durch

f (x) = |x| −

π 2

(7.7)

dargestellt. Vergleichen Sie f mit der Fourier-Entwicklung in 5, 25 und 125 Terme (wobei jeder zweite verschwindet). 

7.3

Fourier-Integral

Wir betrachten nun auf [−πR, πR] periodische quadratintegrable Funktionen und schicken R → ∞. Das l¨auft auf L2 (R) hinaus. Eine auf ganz R erkl¨arte quadratintegrable Funktion muss im Unendlichen verschwinden, daher ist die Forderung nach Periodizit¨at bedeutungslos geworden. Die Eigenwerte pj = j/R des Impulsoperators P r¨ ucken immer n¨aher zusammen und bilden im Falle R → ∞ das gesamte Kontinuum. Statt wie in (7.3) zu summieren, muss integriert werden. Es gilt Z f (x) =

dp ˆ ipx f (p) e 2π

(7.8)

mit fˆ(p) =

Z dx f (x) e

−ipx

.

(7.9)

Man bezeichnet fˆ = fˆ(p) als Fourier-Transformierte von f . Wie man sieht, ist die Funktion selber die Fourier-Transformierte der Fourier-Transformierten, bis auf den Vorzeichenwechsel im Argument und den Faktor 2π. Aus (7.5) wird u ¨brigens Z

dx |f (x)|2 =

Z

dp ˆ 2 |f (p)| . 2π

(7.10)

Auf H = L2 (R) kann man den Fourier-Operator F durch fˆ = Ff erkl¨aren. Er ist linear und unit¨ar4 , wie man dem Parseval-Theorem (7.10) entnehmen kann. 17 Gauß-Kurve

G(x) = 4

e

Berechnen Sie die Fourier-Transformierte der Funktion

−x2 /2σ √ . 2πσ

(7.11)

Das Skalarprodukt im Raum der Fourier-Transformierten wird mit dem Maß dp/2πerkl¨ art.

22

ˆ Was bedeutet G(0) = 1?  Ein wichtiges Theorem betrifft die Faltung Z h(x) = (g ? f )(x) =

dy g(x − y)f (y)

(7.12)

zweier quadratintegrabler Funktionen. Wegen Z h(x) =

Z dy

dp ip(x − y) gˆ(p) e 2π

Z

dq ˆ iqy f (q) e 2π

(7.13)

schließen wir (nachdem die Reihenfolge der Integrationen vertauscht wurde) Z h(x) =

dp ipx gˆ(p)fˆ(p) e . 2π

(7.14)

Dabei wurde Z i(q − p)y dy e = 2πδ(q − p)

(7.15)

benutzt. Siehe daf¨ ur den Anhang u ¨ber Distributionen, in der auch die Diracsche Delta-Funktion behandelt wird, insbesondere (B.31) und (B.32) in Verbindung mit (B.26). Die Fourier-Transformation einer Faltung ist das Produkt der Fourier-Transformierten, so ist (7.14) zu lesen, F(g ? f ) = F(g) F(f ) .

(7.16)

23

8

Ort und Impuls

Physik spielt sich im Raum ab, daher spielen der Ortsoperator X und der zugeordnete Impuls P eine hervorgehobene Rolle. Beide Operatoren sind nicht beschr¨ankt und k¨onnen nicht auf dem gesamten Hilbert-Raum erkl¨art werden. Wir machen uns hier das Leben einfach und rechnen mit sehr gutartigen Testfunktionen.

8.1

Testfunktionen

Wir betrachten den Hilbert-Raum L2 (R) der quadratintegrablen komplexwertigen Funktionen einer reellen Variablen. Wir ziehen uns auf den Teilraum S(R) der Testfunktionen zur¨ uck, der im Hilbert-Raum dicht ist. Testfunktionen t sind beliebig oft differenzierbar und fallen im Unendlichen so rasch ab, dass |x|n t(x) f¨ ur jedes n ∈ N im Unendlichen verschwindet. 18

Zeigen Sie, dass t(x) = (c0 + c1 x + . . . + cn xn ) e

−x2 /2

(8.1)

Testfunktionen sind.  Vorerst werden lineare Operatoren auf dem linearen Teilraum der Testfunktionen erkl¨art. Wie man diese dann gegebenenfalls erweitert, ist ein technisches Problem, dem wir uns hier nicht stellen werden. Auf dem Raum der Testfunktionen kann man jedenfalls unbesorgt differenzieren und mit dem Funktionsargument multiplizieren.

8.2

Kanonische Vertauschungsregeln

Auf dem linearen Raum der Testfunktionen sind die linearen Operatoren X und P gem¨aß (Xf )(x) = xf (x)

(8.2)

(P f )(x) = −if 0 (x)

(8.3)

sowie

erkl¨art. Wir nennen sie Ort und Impuls5 . Diese Operatoren vertauschen nicht miteinander. Vielmehr gilt [X, P ] = XP − P X = iI .

(8.4)

Diese Vertauschungsregel hat man mit dem Attribut ’kanonisch’ belegt, weil sie als grundlegend empfunden wird und gegen¨ uber unit¨aren Transformationen stabil ist. Wir erkl¨aren das. 5

¨ Wir erinnern an die Ubereinkunft, physikalische Maßeinheiten zu ignorieren.

24

Mit einer unit¨aren Transformation U : H → H r¨ uhrt man sozusagen den Hilbert-Raum um. Skalarprodukte bleiben dabei erhalten, (U g, U f ) = (g, f ). U Af = U AU † U f stellt sicher, dass erst A, dann U dasselbe ist wie erst U , dann A 0 = U AU † . Die kanonische Vertauschungsregel ist unter unit¨aren Transformationen stabil. 19 Kanonische Vertauschungsregel Zeigen Sie [X 0 , P 0 ] = iI gilt, mit A 0 = U AU † f¨ ur unit¨are Transformationen U . 

8.3

Unsch¨ arfebeziehung

Ort X und Impuls P k¨onnen nicht simultan diagonalisiert werden. Eine Darstellung6 X X X= xj Πj sowie P = pj Π j (8.5) j

j

P mit einer gemeinsamen Zerlegung j Πj = I der Eins in orthogonale Projektoren z¨oge nach sich, dass die beiden Operatoren vertauschen, was nicht der Fall ist. p Wir bezeichnen mit δX = (f, X 2 f ) − (f, Xf )2 die Ortsunsch¨arfe f¨ ur den auf 1 normierten Vektor f . Wenn f ein Eigenvektor von X w¨are, dann w¨ urde δX verschwinden. Ebenso wird δP definiert. Weil X und P keine gemeinsamen Eigenvektoren haben, k¨onnen nicht beide Unsch¨arfen simultan verschwinden. Es gilt vielmehr δX δP ≥

1 . 2

(8.6)

Das beweist man folgendermaßen. Wir betrachten den Ausdruck (X + iαP )(X − iαP ), der f¨ ur reelles α positiv ist. Wir bilden den Erwartungswert mit einem normierten Vektor f und arbeiten die kanonische Vertauschungsregel ein. Das ergibt (f, X 2 ) + α2 (f, P 2 f ) + α ≥ 0 .

(8.7)

Am kleinsten wird die linke Seite, wenn man 2α(f, P 2 f ) + 1 = 0

(8.8)

setzt, das ergibt (f, X 2 f ) ≥

1 , 4(f, P 2 f )

(8.9)

also die Heisenbergsche Unsch¨arfebeziehung. Daf¨ ur muss man lediglich noch X durch X − (f, Xf ) und P durch P − (f, P f ) ersetzen, aber die verschobenen Operatoren gen¨ ugen ebenfalls den kanonischen Vertauschungsregeln. 6

Die Summen m¨ ussten durch Integrale ersetzt werden.

25

Die Ungleichung ist optimal in dem Sinne, dass auch das Gleichheitszeichen m¨ oglich ist. 20 Gauß-Funktion

8.4

Man berechne δX und δP f¨ ur eine Gauß-Funktion. 

Quasi-Eigenfunktionen

Der Erwartungswert eines selbstadjungierten Operators A in einem seiner Eigenzust¨ande ist schwankungsfrei. Der normierte Vektor f , f¨ ur den Af = af gilt, 2 2 f¨ uhrt auf (f, Af ) = a und (f, A f ) = a , also auf δA = 0. Die Umkehrung ist ebenfalls richtig, nur in Eigenzust¨anden verschwindet die Schwankung. δX = 0 w¨ urde demnach auf (Xf )(x) = xf (x) = af (x)

(8.10)

f¨ uhren, mit der L¨osung ξa (x) = δ(x − a) .

(8.11)

ξa ist eine verallgemeinerte Funktion, die formal die Eigenwertgleichung erf¨ ullt, aber nicht zum Hilbert-Raum geh¨ort, erst recht nicht zum Definitionsbereich des Operators X. Man kann allerdings der Beziehung Z

dx ξb∗ (x)ξa (x) = δ(b − a)

(8.12)

durchaus einen Sinn geben. Statt δba als Kronecker-Symbol f¨ ur eine Summe steht der entsprechende Ausdruck δ(b − a) f¨ ur ein Integral. Entsprechendes gilt f¨ ur den Impuls. Die Eigenwertgleichung (P f )(x) = −if 0 (x) = pf (x)

(8.13)

wird durch 1 ipx πp (x) = √ e 2π

(8.14)

gel¨ost. πp ist nun zwar eine Funktion, sie geh¨ort aber trotzdem nicht zum Hilbert-Raum, weil sie nicht normiert werden kann. Die Quasi-Eigenfunktionen des Impulses bilden ein vollst¨andiges Orthonormalsystem im Sinne von Z

dx πq∗ (x)πp (x) = δ(q − p) .

(8.15)

26

9

Leiter-Operatoren

Wir beziehen uns in diesem Abschnitt auf zwei selbstadjungierte Operatoren X und P , die den kanonischen Vertauschungsregeln gen¨ ugen. Sie k¨onnen irgendetwas bedeuten, die Ergebnisse sind immer dieselben. Wir konstruieren damit Auf- und Absteigeoperatoren sowie einen Zahloperator.

9.1

Auf- und Absteigeoperatoren

Wir gehen von den selbstadjungierten Operatoren X und P aus, die der Vertauschungsregel [X, P ] = iI

(9.1)

gen¨ ugen. Der Aufsteigeoperator A+ wird durch A+ =

X − iP √ 2

(9.2)

erkl¨art, der Absteigeoperator durch

A− =

X + iP √ . 2

(9.3)

Wir berechnen [A− , A+ ] = I .

(9.4)

Man beachte, dass A− und A+ nicht selbstadjungiert sind. Es gilt vielmehr A− = A†+ und A+ = A†− . Die Auf- und Absteigeoperatoren A± sind also nicht normal, und wir fragen daher auch nicht nach den Eigenwerten. Der Operator N = A+ A− dagegen ist selbstadjungiert. Wir berechnen [N, A+ ] = A+ und [N, A− ] = −A− .

21 Jacobi-Identit¨ at

(9.5)

Rechnen Sie (9.5) nach. Dabei hilft die Jacobi-Identit¨at

[AB, C] = A[B, C] + [A, C]B .

(9.6)

Pr¨ ufen Sie diese nach.  27

9.2

Vakuum und angeregte Zust¨ ande

Wir nehmen an, dass es einen durch A− Ω = 0 und (Ω, Ω) = 1 definierten Grundzustand Ω gibt, das Vakuum. Im Grundzustand gibt es nichts, N Ω = 0. Mit 1 φn = √ An+ Ω n!

(9.7)

definieren wir n-fach angeregte Zust¨ande. Wegen 1 1 A+ A− φn = √ A+ A− A+ φn−1 = √ A+ (I + N )φn−1 n n

(9.8)

gilt (vollst¨andige Induktion) N φn = nφn .

(9.9)

Außerdem ist φn normiert. 22 Aufsteige-Operator stand φ0 = Ω hat. 

Man zeige, dass φn dieselbe Norm wie der Grundzu-

N ist ein Zahloperator, denn er hat als Eigenwerte gerade die nat¨ urlichen Zahlen N. Mit A+ steigt man von φ0 = Ω zu φ1 , von φ1 zu φ2 usw. auf, mit A− wieder ab. Man bezeichnet A+ auch als Erzeuger, weil er ein Anregungsquantum erzeugt, und dementsprechend A− als Vernichter. 23 Absteigeoperator

9.3

Berechnen Sie A− φn . 

Harmonischer Oszillator

In vielen Situationen hat man es mit der Energie H = (P 2 +X 2 )/2 zu tun. Meist r¨ uhrt P 2 von der kinetischen Energie her und X 2 ist die potentielle Energie in der Umgebung eines Minimums. Wegen 1 1 A+ A− = (X − iP )(X + iP ) = (X 2 + P 2 − I) 2 2

(9.10)

gilt dann H = A+ A− +

1 I . 2

(9.11)

Die Eigenwerte des Hamilton-Operators sind daher n + 1/2 mit n ∈ N. Dieses Ergebnis ist ein sch¨ones Beispiel f¨ ur die algebraische Methode, sich allein auf die Vertauschungsregeln zu st¨ utzen. 24 Grundzustand Setzen Sie A− Ω = 0 in eine Differentialgleichung f¨ ur den Grundzustand um. Wie sieht die Funktion Ω = Ω(x) aus?  28

10

Drehgruppe

Der dreidimensionale Raum ist nicht nur durch die Verschiebungen in drei zueinander senkrechten Richtungen gekennzeichnet. Das wird durch den Ortsoperator X und den Impuls P mit jeweils drei Komponenten ber¨ ucksichtigt. Hinzu kommt die M¨oglichkeit, um den Winkel α um eine Achse n zu drehen. Dem entsprechen drei weitere Freiheitsgrade, die Komponenten J des Drehimpulses. Teilchen haben immer einen Bahndrehimpuls L = X × P , zus¨atzlich m¨oglicherweise einen internen Drehimpuls S, den Spin. Alle gen¨ ugen denselben Vertauschungsregeln.

10.1

Drehimpuls

Ein Teilchen im dreidimensionalen Raum hat einen Ort X und einen Impuls P . Diese vertauschen miteinander gem¨aß [Xj , Pk ] = iδjk .

(10.1)

Der Bahndrehimpuls ist L = X × P . 25 Drehimpuls-Vertauschungsregeln

Rechnen Sie

[J1 , J2 ] = iJ3 , [J2 , J3 ] = iJ1 und [J3 , J1 ] = iJ2

(10.2)

f¨ ur die drei Komponenten des Bahndrehimpulses nach.  Die Vertauschungsregeln (10.2) kennzeichnen die Drehgruppe ganz allgemein. Eine Drehung um die Achse n mit dem Winkel α, also um α = αn, wird durch den unit¨aren Operator U= e

iα · J

(10.3)

beschrieben. Die drei Komponenten Jk des Drehimpulses sind demnach selbstadjungierte Operatoren. Nicht alle drei Komponenten des Drehimpulses k¨onnen gemeinsam diagonalisiert werden, weil sie nicht miteinander vertauschen. 26 Quadrat des Drehimpulses

Weisen Sie

[Jk , J 2 ] = 0

(10.4)

nach.  Allerdings vertauscht das Quadrat J 2 = J12 + J22 + J32 mit allen Komponenten des Drehimpulses. Also darf man beispielsweise J3 und J 2 gemeinsam diagonalisieren. 29

10.2

Eigenr¨ aume

λ sei ein Eigenwert von J 2 und D der zugeh¨orige Eigenraum. F¨ ur χ ∈ D gilt also J 2 χ = λχ .

(10.5)

Wir werden sp¨ater sehen, welche Werte λ m¨oglich sind. Das Ziel besteht darin, in diesem Eigenraum auch noch J3 zu diagonalisieren. Dazu definieren wir zwei Operatoren J+ = J1 + iJ2 und J− = J1 − iJ2 ,

(10.6)

die den folgenden Vertauschungsregeln gen¨ ugen: [J3 , J+ ] = J+ , [J3 , J− ] = −J− sowie [J+ , J− ] = 2J3 .

(10.7)

χ ∈ D sei ein normierter Eigenvektor von J3 mit Eigenwert µ. Wegen J3 J+ χ = J+ J3 χ + J+ χ = (µ + 1)J+ χ

(10.8)

J3 J− χ = J− J3 χ − J− χ = (µ − 1)J− χ

(10.9)

und

hat man gleich zwei neue Eigenvektoren gefunden. Die Eigenwerte sind um 1 gewachsen bzw. gefallen. Mit J+ kann man also in einer Drehimpulsleiter aufsteigen, mit J− absteigen. Wegen λ = (χ, J 2 χ) ≥ (χ, J32 χ) = µ2

(10.10)

kann man aber auf der J3 -Leiter nicht beliebig weit auf- oder absteigen. Es gibt in D einen maximalen J3 -Eigenwert j, zu dem der Eigenvektor χj geh¨oren soll. Er ist durch J3 χj = jχj und J+ χj = 0

(10.11)

gekennzeichnet. Das Betragsquadrat des Drehimpulses l¨asst sich als J 2 = J− J+ + J3 (J3 + I) = J+ J− + J3 (J3 − I)

(10.12)

schreiben. Auf χj angewendet ergibt das λ = j(j + 1) .

(10.13) 30

Wir steigen nun von χj mit J− immer weiter ab und kommen irgendwann zum Zustand χk mit dem kleinsten J3 -Eigenwert k. Setzt man wieder (10.12) ein, diesmal in die zweite Gleichung, dann ergibt sich λ = k(k − 1) .

(10.14)

Wegen j ≥ k ist das nur mit j ≥ 0 und mit k = −j vertr¨aglich. Weil aber die Differenz j − k eine nat¨ urliche Zahl zu sein hat, schließen wir, dass j entweder ganz- oder halbzahlig sein muss. Wir fassen zusammen: • Die Eigenr¨aume von J 2 haben die Dimension d = 2j + 1 ∈ N. j kann also halb- oder ganzzahlig sein. • In einem 2j + 1-dimensionalen Eigenraum von J 2 hat J3 die Eigenwerte m = −j, −j + 1, . . . , j. • Die gemeinsamen Eigenvektoren χj,m von J 2 und J3 sind durch J 2 χj,m = j(j + 1)χj,m sowie J3 χj,m = mχj,m

(10.15)

charakterisiert. • Obendrein gilt J+ χj,j = 0 und J− χj,−j = 0 .

(10.16)

27 Pauli-Matrizen Man zeige, dass mit den Pauli-Matrizen durch J = σ/2 eine Darstellung der Drehgruppe realisiert wird, und zwar f¨ ur j = 1/2. 

10.3

Bahndrehimpuls

Wenn man u ¨ber Drehungen redet, sollte man Kugelkoordinaten benutzen: x1 = r sin θ cos φ , x2 = r sin θ sin φ , x3 = r cos θ .

(10.17)

Bei einer Drehung ¨andert sich der Abstand r vom Koordinatenursprung nicht. Daher ist es sinnvoll, die Eigenfunktionen des Bahndrehimpulses als Funktionen der beiden Winkel aufzufassen, Y = Y (θ, φ). Die Drehimpulsoperatoren sind in Kugelkoordinaten durch   ∂ ∂ ∂ ±iφ L± = e i cot θ ± und L3 = −i (10.18) ∂φ ∂θ ∂φ gegeben. Wie es sein muss, kommen nur die partiellen Ableitungen nach den Winkeln vor. Wir rechnen die Kugelfunktionen Y`,m f¨ ur ` = 0 und ` = 1 aus. 31

Wegen L+ Y0,0 = L− Y0,0 = 0 verschwinden beide partielle Ableitungen nach den Winkeln, daher gilt Y0,0 (θ, φ) ∝ 1. iφ Wir setzen Y1,1 (θ, φ) = e f (θ) und werten L+ Y1,1 = 0 aus. Das ergibt f 0 = cot θf , also f ∝ sin θ. Y1,0 ∝ L− Y1,1 f¨ uhrt auf Y1,0 ∝ cos θ. Ebenso verf¨ahrt man, um Y1,−1 auszurechnen. Hier eine Liste der Kugelfunktionen bis zum Bahndrehimpuls ` = 2:

p 2iφ 15/8 sin2 θ e p iφ Y2,1 = − 15/2 cos θ sin θ e p Y2,0 = 5/4 (3 cos2 θ − 1) p −iφ Y2,−1 = 15/2 cos θ sin θ e p −2iφ Y2,−2 = 15/8 sin2 θ e Y2,2 =

Y0,0 = 1

p iφ Y1,1 = − 3/2 sin θ e √ Y1,0 = 3 cos θ p −iφ Y1,−1 = 3/2 sin θ e

Alle Ausdr¨ ucke sind noch durch

10.4

√

4π zu dividieren.

Laplace-Operator

Wir wollen jetzt zeigen, wie man mit Hilfe des Drehimpulses den LaplaceOperator vereinfachen kann. Daf¨ ur rechnen wir um7 in L2 = ijk iab Xj Pk Xa Pb = Xj Pk Xj Pk − Xj Pk Xk Pj .

(10.19)

Den ersten Term kann man mit Pk Xj = Xj Pk − iδkj in X 2 P 2 umformen. Beim zweiten Term formen wir ebenso in −Xj Pk Pj Xk − iXP um. Mit Pk Xk = Xk Pk − 3iI schließlich ergibt sich L2 = X 2 P 2 − (XP )2 + iXP .

(10.20)

Mit P 2 = −∆ und XP = −ir

∂ ∂r

(10.21)

findet man schließlich ∆=

7

∂2 2 ∂ L2 + − . ∂r2 r ∂r r2

(10.22)

Einstein-Summenkonvention, ijk iab = δja δkb − δjb δka

32

A

Normale Operatoren im Cn

Lineare Operatoren im endlichdimensionalen Hilbert-Raum H = Cn kann man durch komplexe n × n-Matrizen N beschreiben. Die Eigenwertgleichung N f = νf bzw. (N − νI)f = 0

(A.1)

hat genau dann vom Nullvektor verschiedene L¨osungen f , wenn das charakteristische Polynom χ(ν) = det(N − νI) = 0

(A.2)

eine Nullstelle besitzt. Das ist immer der Fall, wenn man ν ∈ C zul¨asst. Mit L bezeichnen wir den Eigenraum zum Eigenwert ν: L = {f ∈ H | N f = νf } .

(A.3)

Bis jetzt war N irgendein linearer Operator. Wir verwenden nun, dass er normal ist. Dann gilt f¨ ur f ∈ L n¨amlich N N † f = N † N f = νN † f ,

(A.4)

N †L ⊂ L .

(A.5)

also

F¨ ur alle g, f ∈ L gilt 0 = (g, (N − νI)f ) = ((N † − ν ∗ I)g, f ) ,

(A.6)

und das heißt: L ist zugleich der Eigenraum von N † zum Eigenwert ν ∗ . Wir beschreiben L durch den Projektor Π . Auf L = Π H wirkt N wie νI und N † wie ν ∗ I. L⊥ = (I − Π )H ist der zu L senkrechte lineare Raum. F¨ ur g ∈ L und f ∈ L⊥ gilt (g, N f ) = (N † g, f ) = (ν ∗ g, f ) = ν(g, f ) = 0 ,

(A.7)

also N L⊥ ⊂ L⊥ . N bildet den zum Eigenraum L senkrechten linearen Raum L⊥ in sich ab. Dasselbe gilt nat¨ urlich f¨ ur N † . Auf L⊥ ist N nat¨ urlich ebenfalls normal. Damit kann man auf L⊥ dasselbe Spiel wie auf H beginnen, nur dass die Dimension inzwischen kleiner geworden ist. Nach endlich vielen Schritten ist man beim Nullraum angelangt und damit am Ziel: N=

X j

νj Πj und N † =

X

ν ∗ Πj

j

33

(A.8)

mit einer Zerlegung I =

P

j

Πj der Eins in paarweise orthogonale Projektoren.

Das war nachzutragen. Aus (A.8) folgt sofort N † N = N N † . Der Umkehrschluss ist etwas schwieriger, wie wir gesehen haben, schon f¨ ur den endlichdimensionalen Hilbert-Raum. Die Aussage stimmt auch f¨ ur den unendlichdimensionalen Hilbert-Raum, wenn man gegebenenfalls die Summe in geeigneter Weise durch Integrale ersetzt. Das aber w¨ urde hier zu weit f¨ uhren.

34

B

Verallgemeinerte Funktionen

Wir haben uns aus didaktischen Gr¨ unden bem¨ uht, von einem peinlichen Problem abzulenken. Nicht alle f¨ ur die Physik interessanten linearen Operatoren k¨onnen wie Matrizen behandelt werden. Die P Zerlegung der Eins in eine Summe paarweise orthogonaler Projektoren I = j Πj reicht nicht aus. Gerade die f¨ ur die Physik bedeutsamen Operatoren, wie Ort undPImpuls eines Teilchens im P unbeschr¨ankten Raum, lassen sich nicht als X = j xj Πj oder P = j pj Πj darstellen. Das st¨ort deswegen kaum, weil die meisten wichtigen Erkenntnisse allein durch das Studium der Vertauschungsregeln gewonnen werden k¨onnen. Die Ausf¨ uhrungen u ¨ber Leiteroperatoren und u ¨ber den Drehimpuls sind eindrucksvolle Beispiele. Wir betrachten den Hilbert-Raum H = L2 (R) der quadratintegrablen Funktionen. Der Ortsoperator X bewirkt Xf (x) = xf (x). Er ist nicht auf ganz H erkl¨art, sondern nur f¨ ur solche Funktionen, die auch nach der Multiplikation mit dem Funktionsargument noch quadratintegrabel sind. F¨ ur hinreichend stark abfallende Funktionen gilt offensichtlich (g, Xf ) = (Xg, f ). Der Ortsoperator stimmt also mit seinem Adjungierten u ¨berein, wenn man bei der Frage nach dem Definitionsbereich die Augen zudr¨ uckt. Eigenfunktionen f des Ortsoperators sollen Xf (x) = af (x)

(B.1)

erf¨ ullen. Solche Funktionen m¨ ussen daher bei x 6= a verschwinden und trotzdem quadratintegrabel sein. Das gibt es nicht. Ein ¨ahnliches Dilemma besteht f¨ ur den Impulsoperator P . Die Eigenwertgleichung (P f )(x) = −if 0 (x) = pf (x)

(B.2)

l¨asst sich zwar l¨osen, f (x) ∝ e

ipx

,

(B.3)

das Ergebnis ist aber nicht quadratintegrabel. Den Ausweg bilden verallgemeinerte Funktionen. Man muss sich vom Begriff der Abbildung R → C l¨osen. Verallgemeinerte Funktionen machen nur unter einem Integral einen Sinn, wenn sie mit Testfunktionen u ¨berintegriert werden.

B.1

Testfunktionen

Wir betrachten komplexwertige Funktionen einer reellen Variablen. Eine Testfunktion ist beliebig of differenzierbar und f¨allt im Unendlichen st¨arker als jede negative Potenz ab. Genauer, bei einer Testfunktion t sind alle Ableitungen t(m) stetige Funktionen, und ||t||m,n = sup |xn t(m) (x)|

(B.4)

x∈R

35

ist endlich f¨ ur jede Ordnung m = 0, 1, . . . und f¨ ur jede Potenz n = 0, 1, . . .. t(x) = e

−a(x − b)2

mit a > 0

(B.5)

ist ein Beispiel. Den Raum der Testfunktionen bezeichnen wir mit S. S ist ein linearer Raum. In S darf man beliebig differenzieren, d.h. mit t ist auch t(m) eine Testfunktion. Eine Folge t1 , t2 , . . . von Testfunktionen konvergiert gegen die Testfunktion t, wenn lim ||tk − t||m,n = 0 f¨ ur alle m, n ∈ N

k→∞

(B.6)

gilt. Wir schreiben dann tk → t.

B.2

Distributionen

Ein stetiges lineares Funktional D : S → C bezeichnet man als Distribution. Eine Distribution D ordnet also jeder Testfunktion t eine komplexe Zahl D(t) zu. Linear bedeutet: f¨ ur beliebige komplexe Zahlen z1 , z2 und f¨ ur beliebige Testfunktionen t1 , t2 gilt D(z1 t1 + z2 t2 ) = z1 D(t1 ) + z2 D(t2 ) .

(B.7)

Stetig heißt, dass lim D(tk ) = D(t)

(B.8)

k→∞

gilt, wenn die Folge t1 , t2 , . . . von Testfunktionen gegen die Testfunktion t konvergiert. Den Raum der Testfunktionen bezeichnet man u ¨blicherweise als S 0 . Jede Testfunktion s erzeugt gem¨aß Z D(t) = dx s(x) t(x) (B.9) ein lineares Funktional auf S. An Z |D(tk ) − D(t)| ≤ ||tk − t||0,0 dx |s(x)|

(B.10)

erkennt man, dass das Funktional stetig ist. Im Sinne von (B.9) darf man also S ∈ S 0 schreiben: Testfunktionen erzeugen Distributionen. Lokal integrierbare, schwache wachsende Funktionen erzeugen ebenfalls Distributionen. Eine Funktion f heißt lokal integrierbar, wenn das Integral des Absolutwertes f¨ ur alle endlichen Intervalle definiert ist. Beispielsweise sind st¨ uckweise stetige Funktionen lokal integrierbar. 36

Eine Funktion f heißt schwach wachsend, wenn es eine nat¨ urliche Zahl n gibt, so dass K = sup x

|f (x)| 0. Diese Funktion ist lokal integrierbar und schwach wachsend. Deswegen erzeugt sie direkt eine Distribution: Z Z ∞ dx t(x) . (B.25) dx θ(x) t(x) = 0

Ihre Ableitung ist jedoch keine Funktion. Drittens f¨ uhren wir die Dirac-Distribution δ an: Z dx δ(x) t(x) = t(0) .

(B.26)

δ ist sicherlich keine Funktion. Wegen |tk (0) − t(0)| ≤ ||tk − t||0,0

(B.27)

ist das lineare Funktional t → t(0) stetig, δ also das Symbol f¨ ur eine Distribution. Wegen Z Z 0 dx θ (x) t(x) = − dx θ(x) t 0 (x) = t(0) (B.28) gilt θ 0 = δ. Die Fourier-Transformierte der Dirac-Distribution berechnet man so: Z Z Z ˆ t(x) = dx δ(x) tˆ(x) = tˆ(0) = dx t(x) , dx δ(x) 39

(B.29)

und das bedeutet δˆ = 1. Die Fourier-Transformierte der 1-Distribution ergibt sich aus Z Z dx ˆ1(x) t(x) = dx 1(x) tˆ(x) = 2πt(0) , (B.30) und das bedeutet ˆ1 = 2πδ. Wir schreiben das explizit an als Z

dp ixp e = δ(x) 2π

(B.31)

bzw. Z dx e

−ipx

= 2πδ(p) .

(B.32)

Man beachte, dass die Dirac-Funktion eine gerade verallgemeinerte Funktion ist, δ(x) = δ(−x).

40

C

Glossar

Abschluss L sei ein linearer Teilraum des Hilbert-Raumes H. Der Raum L¯ aller Grenzwerte von Cauchy-Folgen in L ist ein linearer Teilraum von H, der ¯ gilt per definitionem. Abschluss von L. L ⊂ L¯ ist evident. H = H Absolut stetig Eine Funktion f ist absolut stetig, wenn sie als f (x) = a + Rx ds g(s) dargestellt werden kann, wobei g integrierbar sein muss. Absolut 0 stetige Funktionen sind stetig und gem¨aß f 0 = g differenzierbar, also nicht unbedingt stetig differenzierbar. Adjungiert Jedem linearen Operator A kann ein adjungierter Operator A† zugeordnet werden, so dass (g, Af ) = (A† g, f ) f¨ ur beliebige Vektoren g, f gilt. Diese Aussage muss man pr¨azisieren, wenn A nicht auf dem gesamten HilbertRaum definiert ist, sondern nur auf einem dichten Teilraum. Dirac-Funktion Auch Delta-Funktion. Eine verallgemeinerte Funktion (DisR tribution), die dx δ(x − a) f (x) = f (a) f¨ ur stetige Funktionen f bewirkt. Dicht Ein linearer Raum L ist dicht im Hilbert-Raum H, wenn jeder Vektor x ∈ H beliebig gut durch Vektoren in L angen¨ahert werden kann. F¨ ur jedes  > 0 gibt es ein y ∈ L so dass ||x − y|| ≤  gilt. Anders ausgedr¨ uckt, der Abschluss L¯ stimmt mit H u ¨berein. Dichteoperator Ein normaler Operator W , dessen Eigenwerte Wahrscheinlichkeiten beschreiben, 0 ≤ W ≤ I, und die sich (unter Ber¨ ucksichtigung der Vielfachheit) zu Eins aufsummieren, tr W = 1. Distribution Siehe Verallgemeinerte Funktion. Drehimpuls Drei selbstadjungierte Operatoren J mit den Vertauschungsregeln [J1 , J2 ] = iJ3 usw. R Faltungssatz Die Fourier-Transformierte von dy g(x − y) f (y), der Faltung von g mit f , stimmt mit dem Produkt der Fourier-Transformierten gˆ und fˆ u ¨berein. Fourier-Analyse Die Zerlegung in Eigenfunktionen der Translation (Verschiebung). In L2 (R) ist die Fourier-Transformation fˆ = Ff eine unit¨are lineare Abbildung. Hermitesch nach dem franz¨osischen Mathematiker Charles Hermite benannte Eigenschaft einer komplexen Matrix, n¨amlich Ajk = A∗kj . F¨ ur lineare Operatoren bedeutet es (f, Af ) = (Af, f ) auf einem hinreichend kleinen dichten 41

Definitionsbereich f¨ ur A. Selbstadjungierte Operatoren sind immer hermitesch. Bei ihnen stimmen allerdings auch noch die Definitionsbereich von A und A† u ¨berein. Hilbert-Raum p Ein linearer Raum H, auf dem ein Skalarprodukt (g, f ) definiert ist. f → (f, f ) = ||f || ist eine Norm, und der Hilbert-Raum ist in dieser Norm abgeschlossen. Bekannte Beispiele sind Cn und L2 (Ω), der Raum der auf dem Gebiet Ω definierten komplexwertigen quadratintegrablen Funktionen.

Impuls Aus der Physik entlehnte Bezeichnung f¨ ur die Erzeugende P der VeriaP schiebung. fa (x) = f (x − a) wird durch fa = e f realisiert. Ort X und Impuls P gen¨ ugen den kanonischen Vertauschungsregeln.

Jacobi-Identit¨ at [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B. Damit lassen sich Vertauschungsregeln vereinfachen.

Kanonische Vertauschungsregel Ort X und die Erzeugende P der entsprechenden Translation gen¨ ugen der Vertauschungsregel [X, P ] = iI. Kommutator Den beiden Operatoren A, B : H → H wird der Kommutator [A, B] = AB − BA zugeordnet. Man spricht auch von einer Vertauschungsregel. Leiter-Operatoren Operatoren L− und L+ = L†− , die gem¨aß L− L+ = L+ L− + I miteinander vertauschen. L+ L− ist dann ein Zahloperator mit Eigenwerten in N. Lineare Abbildung Eine Abbildung L : L1 → L2 zwischen linearen Teilr¨aumen ist linear, wenn L(x + y) = Lx + Ly und L(αx) = αLx gelten. Die Bilder linearer Teilr¨aume sind wiederum lineare Teilr¨aume. Lineare Abbildungen eines Hilbert-Raumes in sich nennen wir lineare Operatoren, oder schlicht Operatoren.

Linearer Raum Eine Menge von Objekten (Vektoren), die man addieren und mit reellen oder komplexen Zahlen multiplizieren kann, wobei die u ¨blichen Vertr¨ aglichkeitsregeln gelten. Jeder lineare Raum hat eine Dimension, die endlich oder unendlich sein kann, und beinhaltet zumindest den Nullvektor.

Multiplikations-Operator Eine Funktion f = f (x) aus L2 (Ω) wird mit V (x) multipliziert, f → V f . Dabei gilt (V f )(x) = V (x)f (x) f¨ ur x ∈ Ω. Der Ort X und jede Funktion davon sind Multiplikations-Operatoren. 42

Norm Eine Vorschrift, die jedem Element f eines linearen Raumes L eine reelle Zahl ||f || zuordnet. Dabei gilt ||αf || = |α|||f || sowie ||f + g|| ≤ ||f || + ||g|| (Dreiecksungleichung). Außerdem kann man sich darauf verlassen, dass ||f || = 0 nur f¨ ur fR= 0 gilt. F¨ ur komplexwertige Funktionen f einer reellen Variablen sind ||f ||p = { dx |f (x)|p }1/p u ¨bliche Normen. Der Hilbertraum ist mit der 2-Norm f → ||f || = ||f ||2 ausgestattet. Normal Ein linearer Operator N ist normal, wenn er mit seinem AdjungierP ten N † vertauscht. Er kann als N = ν Π geschrieben werden, mit den j j jP Eigenwerten νj ∈ C und der Zerlegung der Eins j Πj = I in paarweise orthogonale Projektoren. Normiert

Ein Vektor f ∈ H ist normiert, wenn (f, f ) = ||f ||2 = 1 gilt.

Operator Eine lineare Abbildung des Hilbert-Raumes in sich. Gemeint ist immer ein linearer Operator. Ort Auf L2 (Ω) ist der Ort X ein linearer Operator. Er bewirkt die Multiplikation der Funktion f ∈ L2 (Ω) mit dem Argument, (Xf )(x) = xf (x), f¨ ur x ∈ Ω. Wenn Ω unbeschr¨ankt ist, kann X nicht auf dem gesamten Hilbert-Raum erkl¨art werden. Orthogonal Zwei Vektoren f, g eines Hilbert-Raumes H stehen senkrecht aufeinander, wenn (g, f ) = 0 gilt. Zwei Teilr¨aume stehen senkrecht aufeinander, (L2 , L1 ) = 0, wenn (g, f ) = 0 f¨ ur alle g ∈ L2 , f ∈ L1 erf¨ ullt ist. Zwei Projektoren Π1 , Π2 sind zueinander orthogonal, wenn Π2 Π1 = 0 zutrifft. Parseval-Theorem Auf L2 (R) gilt (f, f ) = (fˆ, fˆ), wobei fˆ = Ff die FourierTransformierte von f ist. Pauli-Matrizen Matrizen.

Darstellung des Drehimpulses im C2 durch komplexe 2 × 2-

Positiv Ein linearer Operator P ist positiv (im Sinne von nicht-negativ), wenn (f, P f ) ≥ 0 f¨ ur alle Vektoren f ausf¨allt. Damit gleichwertig ist die Feststellung, dass er als P = BB † dargestellt werden kann. Eine dritte Alternative ist die Aussage, dass positive Operatoren normal sind und die Eigenwerte auf der positiven Halbachse liegen. Projektor Ein selbstadjungierter Operator Π mit der Eigenschaft Π 2 = Π . L = Π H ist ein linearer Teilraum, auf den projiziert wird. Umgekehrt gibt es zu jedem linearen Teilraum L ⊂ H einen Projektor, der Π H = L leistet. F¨ ur Projektoren gilt 0 ≤ Π ≤ I. Die Dimension eines Projektors ist die des zugeh¨origen Teilraumes. Eindimensionale Projektoren kann man durch einen normierten Vektor kennzeichnen, auf den sie projizieren. 43

Quasi-Eigenfunktion Durch reelle Zahlen a indizierte Schar fa von FunkR ∗ tionen oder verallgemeinerten Funktionen, f¨ ur die dx fb (x)fa (x) = δ(b − a) gilt. Quasi-Eigenfunktionen sind formale L¨osungen einer Eigenwertgleichung, geh¨oren aber nicht zum Hilbert-Raum.

Selbstadjungiert Ein Operator A ist selbstadjungiert, wenn er mit seinem Adjungierten A† u ¨bereinstimmt. Selbstadjungierte Operatoren k¨onnen als A = P werden. Die Eigenwerte aj sind reell, die Projektoren Πj j aj Πj geschrieben P bilden eine Zerlegung j Πj = I der Eins in paarweise orthogonale Projektoren. Spur Die Spur tr L ist ein lineares Funktional, das linearen Operatoren L eine Zahl zuweist. F¨ ur Matrizen ist das die Summe der Diagonalelemente. Mit P einem vollst¨andigen Orthonormalsystem f1 , f2 , . . . l¨asst sich tr L = j (fj , Lfj ) berechnen, wobei ein anderes vollst¨andige Orthonormalsystem zum selben Ergebnis f¨ uhrt.

Symmetrisch siehe Hermitesch. Teilraum Die Teilmenge L 0 ⊂ L eines linearen Raumes L ist ein Teilraum, wenn L 0 selber ein linearer Raum ist.

Testfunktionen Im Unendlichen rasch abfallende und beliebig oft differenzierbare Funktionen. Der lineare Raum der Testfunktionen ist dicht im HilbertRaum. Unit¨ ar Ein Operator U ist unit¨ar, wenn U U † =PI gilt. Das ist mit U † U = I gleichwertig. Unit¨are Operatoren k¨onnen als U = j uj Πj geschrieben werden. Die Eigenwerte P uj liegen auf dem Einheitskreis, die Projektoren Πj bilden eine Zerlegung j Πj = I der Eins in paarweise orthogonale Projektoren. Unsch¨ arferelation Wenn X ein Ort und P der zugeh¨ orige Impuls ist, gilt p δX δP ≥ 1/2. Dabei sind die Unsch¨arfen durch δA = (f, A2 f ) − (f, Af )2 erkl¨art, mit einem normierten Vektor f . Die Unsch¨arfebeziehung ist eine Konsequenz der kanonischen Vertauschungsregel.

Verallgemeinerte Funktion Eine verallgemeinerte Funktion (Distribution) macht nur unter einem Integral mit Testfunktionen einen Sinn. Stetige oder st¨ uckweise stetige Funktionen, die im Unendlichen nicht allzu stark wachsen, sind zugleich verallgemeinerte Funktionen. Zum linearen Raum der Distributionen geh¨ort auch die Dirac-Funktion, oder Delta-Funktion. Verallgemeinerte Funktionen kann man sorglos differenzieren und Fourier-transformieren. 44

Vollst¨ andiges Orthonormalsystem Darunter versteht man ein System (eine Folge) von Vektoren, die normiert sind, paarweise aufeinander senkrecht stehen und vollst¨andig sind in dem Sinne, dass jeder Vektor des Hilbert-Raumes danach entwickelt werden kann. Ein vollst¨andiges Orthonormalsystem entspricht der Zerlegung der Eins in paarweise orthogonale eindimensionale Projektoren. Zerlegung der Eins Darunter versteht man eine Summe Π1 +Π2 +. . . = I in paarweise orthogonale Projektoren Πj . Die zueinander orthogonalen Teilr¨aume Πj H spannen den gesamten Hilbert-Raum auf. Eine Zerlegung der Eins in paarweise orthogonale eindimensionale Projektoren definiert ein vollst¨andiges Orthonormalsystem.

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