S. Hilger
Mathematik in der Hauptschule 1
SS 2011
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Skript zur Vorlesung
Mathematik in der Hauptschule 1 (Sommersemester 2011)
Dieses Geheft enth¨alt die wesentlichen Inhalte, wie sie in der Vorlesung ,,Mathematik in der Hauptschule 1” vorgestellt werden. Es wird laufend modifiziert, erweitert oder gek¨ urzt. Das Skript ist zum Gebrauch neben der Vorlesung gedacht und erhebt nicht den Anspruch, ,,in sich selbst verst¨andlich” oder vollst¨andig zu sein. S. Hilger
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Mathematik in der Hauptschule 1
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Inhaltsverzeichnis 1 Die natu ¨ rlichen Zahlen ¨ 1.0.1 Uberblick u ¨ber Zahlenr¨aume . . . . . . . . 1.1 Die Zahlaspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Zum Kardinalzahlaspekt . . . . . . . . . . 1.1.2 Gleichm¨achtigkeit . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Der Ordinalzahlaspekt . . . . . . . . . . . 1.1.4 Der Zahlenstrahl . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Z¨ahlzahlaspekt . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.6 Maßzahlaspekt . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Das Stellenwertsystem . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Additionssysteme . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 b–adische Zahldarstellung . . . . . . . . . 1.2.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Dekadisches Zahlsystem — Große Zahlen . . . . . 1.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Methodische Hinweise . . . . . . . . . . . 1.3.3 Große Stufenzahlen . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Exkurs: Zehnerpotenzen, Stufenzahlen und 1.3.5 Das Runden . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.3.6 Uberschlagsrechnen . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Sch¨atzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.8 Schaubilder . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Rechnen mit natu ¨ rlichen Zahlen 2.1 Operationen und Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Verkn¨ upfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Operationen — Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Veranschaulichungen des Operatoraspekts . . . . . . . . 2.1.4 Didaktische Aspekte des Operatormodells . . . . . . . . 2.1.5 Fachbegriffe f¨ ur die Beschreibung der Grundrechenarten 2.2 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Kombinatorischer Aspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Aufteilen und Verteilen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Die schriftlichen Rechenverfahren ¨ 3.1 Grunds¨atzliche Uberlegungen . . 3.1.1 Erarbeitungsstr¨ange . . . 3.2 Die schriftliche Addition . . . . . 3.3 Die schriftliche Subtraktion . . . 3.3.1 Erg¨anzungsverfahren . . . 3.3.2 Das Abziehverfahren . . .
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4 4 6 7 8 9 10 12 12 13 13 14 15 16 16 19 21 22 23 24 24 25
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26 26 26 26 27 27 28 28 28 28 29 31 31 33
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34 34 36 37 40 40 42
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3.4
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3.3.3 Gegen¨ uberstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Typische Fehler und Schwierigkeiten bei den schriftlichen Verfahren der Addition und Subtraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4 Die schriftliche Multiplikation 4.1 Rechengesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Schrittweise Erarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Einstellige zweite Faktoren: Die Einzeilen–Multiplikation . . . . . 4.2.3 Mehrstellige zweite Faktoren: Die Endform der schriftlichen Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 4.2.4 Weitere Uberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Die 5.1 5.2 5.3 5.4
schriftliche Division Division von Z bzw. H durch 10 bzw. 100 . . . . . . . . . . . Division einer Zahl durch Z bzw. H . . . . . . . . . . . . . . Division einer Zahl ZE oder HZE durch E mittels Zerlegung Division bei mehrstelligen Divisoren . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Division einer Zahl ZE oder HZE durch Z bzw. H . . 5.4.2 Division einer Zahl HZE durch ZE . . . . . . . . . .
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45 45 45 46 46
. 48 . 49
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50 50 50 50 54 54 54
6 Teilbarkeitslehre 6.1 Grundbegriffe — Strukturregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Teilbarkeitstests innerhalb des dekadischen Stellenwertsystems . . . . 6.2.1 Endstellenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Quersummenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Wechselsummenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Regel f¨ ur Teilbarkeit durch 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Die wichtigsten S¨atze u ¨ber Primzahlen . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Das Sieb des Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Exkurs: Das GIMPS Projekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Der gr¨oßte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache 6.4.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Der Euklidische Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Berechnung von ggT und kgV mittels PFZ . . . . . . . . . . . 6.4.4 Kontextfelder f¨ ur ggT, kgV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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55 55 57 57 57 58 58 60 60 60 64 66 66 66 67 67 68
7 Anhang 7.1 Fachw¨orter bei den Grundrechenarten . . . 7.2 Relationen in einer Menge . . . . . . . . . 7.3 Aufstellung von Rechengesetzen . . . . . . ¨ 7.4 Operatives Uben innerhalb der Arithmetik
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70 70 71 72 73
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Die natu ¨ rlichen Zahlen ¨ Uberblick u aume ¨ ber Zahlenr¨
1.0.1
Sch¨ uler/innen der verschiedenen Schularten erleben im Laufe ihres mathematischen Werdegangs immer wieder Erweiterungen der ihnen bereits vertrauten Zahlbereiche. Hier ein ¨ Uberblick: Jgst.
1
2
3
4
HS/RS/GYM(fr¨ uher)
0..20
0..100 0..1 000 0..1 000 000
GYM(gegenw¨ artig)
0..20
0..100 0..1 000 0..1 000 000
5
6
7
9
11MTG
N0
B = Q+ 0
Q
R
C
R
C
N0
Z
Q
Im Rahmen von Zahlbereichserweiterungen werden jeweils auch die vorhandenen ,,strukturellen Eigenheiten” erweitert: • Zahldarstellung • Ordnungs–Strukturen – Lineare Ordnung (Kleiner, Gr¨oßer, Kleiner–gleich, Gr¨oßer–gleich) – Teilbarkeit (Teiler von, Vielfaches von) • Rechen–Strukturen – Addition, Subtraktion – Multiplikation, Division ,→ Bis hierher spricht man vom ,,B¨ urgerlichen Rechnen”. – Potenzieren – Betragsbildung • Mengen–topologische Strukturen – Intervallschachtelung, N¨aherungsverfahren – Grenzwertbildung – Differentiation, Integration • Mischformen – Wurzelziehen, – Exponential, Logarithmusfunktionen, – Trigonometrische Funktionen
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Die Kontextfelder f¨ ur das Arbeiten in den Zahlbereichen (hinsichtlich Motivation f¨ ur den ¨ Einstieg Einf¨ uhrung, Verst¨andnis, Veranschaulichung, Ubung) stammen aus den Gebieten: • Algebra (intrinsisch): Das Arbeiten in den Zahlbereichen wird durch allgemein– algebraische Str¨ange, die um die Begriffe ,,Term, Gleichung, Funktion” aufgebaut werden, begleitet. • Sachwelt: Mathematisierung von Situationen aus Natur, Alltag, Technik, Freizeit oder anderen Schulf¨achern (Physik, Informatik, Geographie, Musik, Biologie, Chemie, Werken, Sport,. . . ). • Geometrie: Insbesondere die Zahlenstrahlvorstellung, Fl¨achenberechnung, Pythagoras,. . . • Kombinatorik, elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. In der Schulpraxis treten diese Kontextfelder in Mischformen auf. ¨ Zum Problem der Reihenfolge der Zahlbereichserweiterungen. Bez¨ uglich des Ubergangs N → Q gibt es grunds¨atzlich zwei alternative Wege: N→Z→Q
oder
N → Q+ 0 → Q.
In Bezug auf die g¨ unstigere Reihenfolge kann man verschiedene Aspekte beleuchten: • Der Zahlbegriff ist eng an die Vorstellung von Gr¨oßen (Maßzahlaspekt) gekn¨ upft. Hier treten vor allem Bruchteile und nicht so sehr negative Zahlen in Erscheinung. • Die geometrisch orientierte griechische Mathematik kannte — sehr fein ausgearbeitet — den Bruchzahlbegriff. Negative Zahlen sind eine viel j¨ ungere Erfindung. • Bruchzahlen sind lebensn¨aher, anschaulicher (Pestalozzi), konkreter (Piaget) als negative Zahlen. ((−1) · (−1) = +1). • Im Alltagsleben treten (einfache) Bruchteile auf, nicht aber negative Zahlen. • Diese Beobachtung korrespondiert auch mit der Mathematik der Grund– und Hauptschule. Bereits in der Grundschule werden einfachste Bruchteile thematisiert, bis vor kurzem kannte der HS–Lehrplan den Begriff der negativen Zahl nicht. • Innerhalb des bayerischen Gymnasiallehrplans f¨ ur das G8 (∼ 2003) wird dem ersten Weg der Vorzug gegeben.
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Die Zahlaspekte
Ein die gesamte Schulmathematik durchziehendes u ¨bergeordnetes Unterrichtsprinzip ist das der ,,Variation der Zahlaspekte”: Die verschiedenen Aspekte der Verwendung von nat¨ urlichen Zahlen in der Alltagswelt sollen st¨andig die Erarbeitung und Durchdringung der Zahlbereiche begleiten. Zahlaspekt Kardinalzahl Ordinalzahl Z¨ahlzahl
Rechenzahl statisch
Rechenzahl operativ (Operator) Maßzahl Kodierungszahl
Beschreibung M¨ achtigkeit, Anzahl der Elemente einer Menge Rangplatz in einer (linear) geordneten Menge. Durch Zuordnung eines Rangplatzes wird die Anzahl bestimmt. unterliegt Verkn¨ upfungen und ihre Regeln. zur Beschreibung einer regelgem¨ aßen Ver¨anderung von Zahlen. zur Angabe von Gr¨oßenwerten Ziffern werden als Symbole (ohne besonderen Bedeutungsgehalt) benutzt.
Beispiele Beim Hochsprung gab es acht Teilnehmer. Der Athlet aus Bulgarien wurde Dritter. Eine Z¨ahlung ergab, dass aus Kamerun nur 12 Teilnehmer angereist waren. Es traten 13 Teams beim Staffellauf an, insgesamt also 52 Sportler. Am dritten Wettkampftag wehte der Wind dreimal so stark wie am ersten. Der Rekord im Dreisprung liegt bei 18,53 m. Der Sieger im Stabhochsprung tr¨agt die Startnummer 527.
¨ Ubung: Welche Zahlaspekte treten in den folgenden S¨atzen auf? • Schalte bitte in das 11. Programm um! • Sie hat die Telefonnummer 73 29 54. • Die Spannung im ¨ offentlichen Stromnetz betr¨agt 230 V. • Die Heizanlage befindet sich auf Ebene −2. • Der Notendurchschnitt seines Examens ist 2, 37.
Ein grundlegend wichtiges Prinzip der Schulmathematik besteht darin, dass bei der fortschreitenden Erarbeitung der Zahlenr¨aume alle diese Aspekte zum Tragen kommen. Daf¨ ur sprechen vielerlei Gr¨ unde: • Der Zahlbegriff wird gerade dadurch als abstrakt, d.h. losgel¨ost von konkreten Vorstellungen, wahrgenommen, dass seine vielf¨altigen Aspekte beleuchtet werden. • All diese Aspekte sind relevant im Alltagsleben. • Die Einbeziehung aller Aspekte l¨aßt sich lernpsychologisch durch – das operative Prinzip (Aebli) – das Prinzip der Variation (Dienes)
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untermauern. • Die Auswahl unter verschiedenen Zahlaspekten erweitert und erleichtert den Spiel¨ raum bei methodischen Uberlegungen. Hinweis am Rande: Unterscheide die Begriffe ,,Zahl” und ,,Ziffer”. Zahlen sind mathematische Objekte gem¨aß dieser Zahlaspekte. Ziffern sind die zehn Schreibsymbole 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9, mit deren Hilfe Zahlen geschrieben (diktiert, informationstechnisch verarbeitet) werden k¨onnen. Also sind die folgenden Beispiel–Sprechweisen korrekt: • Einstellige Zahlen k¨onnen als eine Ziffer geschrieben werden. • Nenne mir eine Zahl zwischen eins und neun! • Der Erwerb der Zahlen von 1 bis 10. • Wie lautet die Ziffer nach dem Komma in 24, 984 ? • Wie heißt die erste Ziffer in der Telefonnummer von Konrad? • Die Lottozahlen! • Diese geschriebene Zahl kann ich nicht entziffern! 1.1.1
Zum Kardinalzahlaspekt
Er ist historisch, entwicklungspsychologisch und bzgl. Alltagsauffassungen der vorherrschende Aspekt von Zahlen. Eine Kardinalzahl (beispielsweise 5) ist eine Abstraktion der gemeinsamen Eigenschaft von Mengen, 5 Elemente zu besitzen: ,,Die Zahl 5 ist die Gesamtheit aller 5–elementigen denkbaren Mengen”. Es gibt V¨olker (auch Sprachen), die f¨ ur ein und dieselbe Zahl verschiedene W¨orter verwenden, wenn es sich um verschiedene Dinge (beispielsweise f¨ unf T¨opfe, f¨ unf H¨ uhner oder f¨ unf Kinder) handelt. Eine bestimmte Zahl ist nicht identisch mit einer Kollektion von so viel Elementen, wie diese Zahl betr¨ agt. Die Zahl 3 ist nicht identisch mit dem Trio Brown, Jones und Robinson. Die Zahl 3 ist etwas, das alle Trios gemeinsam haben und sie von anderen Kollektionen unterscheidet. Bertrand Russell (1872 – 1970), 1930.
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1.1.2
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Gleichm¨ achtigkeit
Definition: Zwei Mengen A und B heißen dann gleichm¨achtig (sie haben die gleiche Anzahl), wenn (♣) jedem Element von A
(♠) genau ein Element von B
und — umgekehrt — (♥) jedem Element von B
(♦) genau ein Element von A
zugeordnet werden kann. Man spricht dann auch von einer 1 : 1–Zuordnung oder einer ein–eindeutigen Zuordnung. ... ... ... ... ... ................................. ................................. . . . . . . ...................................... ...................................... . . . . . . . . . . . . ....... ....... ... ......... ......... ....... ....... ..... ..... . . . . . . . . . . . . ....... . ....... . ...... . ...... . ...... ...... ... ... .... . . . ..... ..... . ...... . ...... . . . . . . ... . . ..... ..... ..... ..... ..... ... ..... .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... . . .. . .. . . . . . . . ... . . . . . . . . ... ........................................................................................... .... ........................................................................................... .... ... .. ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .. .. ... ... ... . . . . .. . . . . . . . . ... ... ... ... ... . . . . . . ... . .... . . . ... ... ... ... . . . . ... . ... . .... . ... . ... ... ... . . . . ... ... .... .... . . ... ... .. . ................................ . .. . ... ... . ......................................... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ........................................... ... ... ... . ........................................... .. . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................... ... ........................................... ... ... .. . . . . . ... . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... .. .. . . . ... .. . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. ... . ... ... ............................... ... ............................. .... ... ... ... . ... ... ... ... 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u
u
u
u
u
A
A
(♥) ist verletzt
u
u
B
(♠) ist verletzt
u
u
u
u
u
B
(♣) ist verletzt
u
u
u
u
A
u
u
u
u
u
u
u
B
A
(♦) ist verletzt
u
B
Die ein–eindeutige Zuordnung tritt — unmerklich — beispielsweise bei folgenden Alltagssituationen oder mathematischen Situationen in Erscheinung: • In einem Tanzsaal tanzt jede Frau mit (genau) einem Mann und jeder Mann mit (genau) einer Frau. • In einer Kiste liegen Schrauben und Muttern. Auf jede Schraube ist (genau) eine Mutter gedreht. Umgekehrt steckt in jeder Mutter (genau) eine Schraube. • Auf einem gedeckten Tisch steht bei jedem Teller (genau) ein Trinkglas. Umgekehrt geh¨ort zu jedem Glas ein Teller. • Zu jeder nat¨ urlichen Zahl gibt es (genau) eine gerade Zahl, n¨amlich die doppelte. Umgekehrt l¨asst sich jeder geraden Zahl eine nat¨ urliche Zahl zuordnen, n¨amlich die H¨alfte. Allein daraus kann man — ohne zu z¨ahlen — schließen, dass . . . • im Saal gleich viele M¨anner und Frauen sind,
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• in der Kiste gleich viele Schrauben und Muttern sind, • auf dem Tische gleich viele Teller und Trinkgl¨aser stehen, • es gleich viele nat¨ urliche wie gerade Zahlen gibt. Gelegentlich entsteht Verwirrung bei vermeintlichen 1 : 1 Zuordnungen: • Wie viele Geburtstage haben ich schon erlebt? • Wie viele Namenstage habe ich schon erlebt? • Wie viele Felder muss ich weiterr¨ ucken, um auf LOS zu kommen? • Wieviele Jahre umfasst der Zeitraum von 2010 bis 2020? • ,,Wie viel mal muss ich bis Weihnachten noch schlafen?” • Ein 23 m breites Grundst¨ uck soll entlang der Straße mit einem Zaun eingegrenzt werden. Wieviel Pf¨ahle werden ben¨otigt, wenn sie in einem Abstand von 1 m stehen? In der Grundlagenmathematik wird eine (Kardinal–)Zahl definiert als eine Menge von allen Mengen, die zu einer Menge gleichm¨achtig sind. Die immense Bedeutung des Gleichm¨achtikgeitsbegriffs kommt eigentlich erst bei seiner Anwendung auf nicht–endliche Mengen zum Ausdruck. So kann man beispielsweise folgendes beweisen: • Die Menge aller nat¨ urlichen Zahlen ist gleichm¨achtig zu der der geraden nat¨ urlichen Zahlen. • Die Menge der reellen Zahlen ist m¨achtiger als die der rationalen Zahlen. 1.1.3
Der Ordinalzahlaspekt
Wird eine Zahl im Alltag als Ordinalzahl verwendet, so wird sie in diesem Zusammenhang auch als Rang oder Nummer bezeichnet. Auch das Wort Platz deutet auf den Ordinalzahlaspekt. Zus¨atzliche Begriffe aus dem Umfeld der Ordnungsstruktur: • Nachbarzahlen: 4 und 6 sind die Nachbarzahlen von 5. • Vorg¨anger : 4 ist der Vorg¨anger von 5. • Nachfolger : 6 ist der Nachfolger von 5.
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1.1.4
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Der Zahlenstrahl
Innerhalb der Schulmathematik eng verkn¨ upft mit dem Ordinalzahlaspekt ist die Idee, Zahlen auf dem Zahlenstrahl darzustellen. Das ist eine graphische Darstellung einer Halbgerade oder eines rechtsweisenden Pfeiles, an dem Markierungen und/oder Zahlnamen angetragen sind. 0
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• Die Zahlen werden ¨aquidistant (= jeweils in gleichem Abstand) angeordnet. • Die L¨ange zwischen zwei benachbarten nat¨ urlichen Zahlen wird als Einheit bezeichnet. In den Beispielen oben sind die Einheiten also 1 cm, 0, 5 cm, 5 cm. Beachte, dass die Einheiten im Buch, Heft, Arbeitsblatt und an der Tafel, Projektion verschieden sind. • Der Maßstab ist Einheit : 1 Beim obersten Beispiel ist also der Maßstab
1 cm : 1.
• Eine nat¨ urliche Zahl n ist kleiner als eine andere m, symbolisch n < m, wenn n auf dem Zahlenstrahl links von m (nicht so gut: ,,vor m”) angeordnet ist. Umgekehrt sagt man, dass m gr¨oßer als n ist. Dies entspricht unserer Schreibrichtungsgewohnheit. • Auch Zahlenstrahlen mit vertikaler Richtung (von unten nach oben) k¨onnen benutzt werden (Prop¨adeutik des Gitternetzes ( = Koordinatensystems). • Darstellung im Buch (30 cm lang), an der Tafel (1 m lang), an der Seitenwand (10 m lang). • Variation durch Herausnehmen eins Abschnittes (B: 72 . . . 82 auf 10 cm), • Variation durch kleinere Einheiten, (B: 0 . . . 1000 auf 10 cm), • Variation durch Herauszoomen eines Abschnittes (72 000 . . . 82 000 auf 10 cm). Didaktische Bedeutung des Zahlenstrahls: • Veranschaulichung: Der Zahlenstrahl bildet eine ,,ikonische” Repr¨asentation der Zahlen. (Vgl. Bruner’sche Repr¨asentationsebenen im intermodalen Transfer).
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• Grundlage f¨ ur die Einf¨ uhrung von gr¨oßeren Zahlbereichen, insbesondere Z. • Handeln am Zahlenstrahl: Repr¨asentation von Addition und Subtraktion durch Aneinanderlegen von Pfeilen. • Bezug zu Skalen–Gr¨oßen im Alltag: – Zollstock, Lineal – Pegelstand – Thermometer–Skala
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1.1.5
Z¨ ahlzahlaspekt
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¨ Der Z¨ahlzahlaspekt nimmt eine Zwitter- oder Ubergangsstellung zwischen dem Kardinalzahlaspekt und dem Ordinalzahlaspekt ein. Man z¨ahlt nach einer gew¨ahlten Reihenfolge (Ordinal) die Elemente einer Menge ab, um ihre Anzahl (Kardinal) zu bestimmen. ¨ Besondere Ubungsformen zum Z¨ahlzahlaspekt sind das Z¨ahlen und R¨ uckw¨artsz¨ahlen. Abz¨ahlreime oder Abz¨ahllieder muten etwas antiquiert p¨adagogisch an, k¨onnen aber ihren eigenen Charme — vor allem in der Grundschule — entwickeln. Ein Beispiel: Sch¨on ist ein Zylinderhut, wenn man ihn besitzen tut doch von ganz besond’rer G¨ ute sind zwei Zylinderh¨ ute hat man der Zylinder drei hat man einen mehr als zwei vier Zylinder, das sind grad zwei Zylinder zum Quadrat f¨ unf Zylinder sind genau f¨ ur drei Kinder, Mann und Frau sechs Zylinder, das ist toll mach’n das halbe Dutzend voll sieben Zylinder sind genug f¨ ur ’nen kleinen Leichenzug hat man der Zylinder acht wird der Pastor auch bedacht hat man der Zylinder neun kriegt der K¨ uster auch noch ein’n zehn Zylinder sind bequem f¨ ur das Dezimalsystem elf Zylinder, oh wie fein zw¨olf Zylinder minus ein’n zw¨olf Zylinder, oh wie sch¨on w¨ urden den Aposteln stehen Der Text mit ,,F¨ ullung” ,,Juppheidi, juppheida” und Noten ist leicht im Netz auffindbar. Etwas verengt aufgefasst, beinhaltet der Begriff des Z¨ahlens die akustische Abfolge der Zahlw¨orter bei der Bestimmung der M¨achtigkeit einer Menge. Ein m¨oglicher Fehler, der hier beobachtet werden k¨onnte, ist die ,,Silbenz¨ahlung”. Beim Aufsagen des Wortes Sie–ben werden zwei Elemente statt eines erfasst. Beispielsweise werden 11 Dinge als 10 gez¨ahlt: Eins – Zwei – Drei – Vier – F¨ unf – Sechs – Sie – Ben – Acht – Neun – Zehn. 1.1.6
Maßzahlaspekt
Dieser Aspekt wird im Zusammenhang mit den Gr¨oßen n¨aher erl¨autert werden. Er tritt mittelbar in Erscheinung, da er letztlich der Veranschaulichung von Rechen- oder Ordnungsstrukturen durch Skalenwerte, Rechenst¨abe bzw. –streifen unterliegt.
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1.2
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Das Stellenwertsystem
Einen naiven Zugang zur Zahldarstellung bildet die Idee, f¨ ur unterschiedliche nat¨ urliche Zahlen (endliche Kardinalzahlen) jeweils unterschiedliche Symbole einzuf¨ uhren, beispielsweise durch 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 A B C D E F
G H
I
J K
L M N O P Q R S
T
U
V
W X Y
Z
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
ϑ
ι
κ
%
σ
τ
ϕ
χ
ψ ω ∆
ℵ
§
U F
∅
∴ > H s .. .
$
λ µ ν ξ π √ z ♣ ♠ ♥ ♦ U Υ [ ] \ £
∗
†
⊥
ASCII–Zeichen .. . Chinesische Schriftzeichen .. . Halten Sie diese Art von Zahldarstellung — auch angesichts der Notwendigkeit, mit Zahlen zu operieren, sie zu vergleichen oder mit ihnen zu rechnen — f¨ ur eine gl¨ uckliche L¨osung? Wie k¨onnte man das Ergebnis der Aufgabe δ · ♥ ermitteln? Angesichts einer viel zu großen ,,Unhandlichkeit” und ,,Undenkbarkeit” einer solchen Zahldarstellung haben Menschen im Verlauf der Mathematik–Kulturgeschichte andere Systeme der Zahldarstellung ersonnen: 1.2.1
Additionssysteme
Kleine Zahlen werden mit Symbolen versehen, gr¨oßere Zahlen werden daraus additiv (und subtraktiv) aufgebaut: • Strichliste, • Griechische Zahldarstellung: Kleine Zahlen und reine Zahlen (= Vielfache von Zehner–Stufenzahlen) werden durch die Buchstaben des Alphabets dargestellt. • R¨omische Zahldarstellung, ver¨anderlich im Laufe der Geschichte des r¨omischen Reiches. a) Einzelzeichen: I L D
= = =
1 50 500
V C M
= = =
5 100 1000
X
=
10
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b) Doppelzeichen (Idee der Subtraktivit¨at, erst sp¨ater): IV IX IL IC ID
= = = = =
1 9 49 99 499
XL XC XD XM IM
= = = = =
40 90 490 990 999
CD CM
= =
400 900
c) Regel: Es werden Zeichen und Doppelzeichen — der Gr¨oße nach — nebeneinander geschrieben, bis der Zahlenwert erreicht ist. d) Beispiele: 7 29 43 138 450 1.2.2
= = = = =
V II XXIX XLIII CXXXV III CDL
1001 4059 2008 9000
= = = =
MI M M M M LIX M M V III MMMMMMMMM
b–adische Zahldarstellung
Grundlage: Erfindung der Ziffer ,,Null”. Historischer Weg: Indien
Orient–Handel
−→
Arabien
Renaissance
−→
Europa.
Satz 1 (b–adische Zahldarstellung) Es sei b eine fest ausgew¨ahlte nat¨ urliche Zahl mit b ≥ 2. Zu jeder nat¨ urlichen Zahl n gibt es — umkehrbar eindeutig — eine (endliche) Zahlenfolge as−1 , as−2 , . . . , ai , . . . , a2 , a1 , a0 mit den Eigenschaften • 0 ≤ ai ≤ b − 1 f¨ ur alle i = 0, 1, . . . , s − 1
und
• as−1 6= 0, so dass n = as−1 · bs−1 + as−2 · bs−2 + . . . + ai · bi + . . . + a2 · b2 + a1 · b1 + a0 · b0 .
(1)
Der Ausdruck (1) ist lang und umst¨andlich handzuhaben. Deshalb schreibt man k¨ urzer n = as−1 as−2 . . . ai . . . a2 a1 a0 b
(2)
einfach nur die Ziffern ai in ihrer Reihenfolge auf und kennzeichnet diese Zahl noch durch Angabe der Basis b als Subskript (Index). Im Zusammenhang mit diesem Satz u ¨ber die b–adische Zahldarstellung gibt es die folgenden Fachbegriffe:
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• Die Zahl b heißt Basis. • Die Potenzen b0 = 1,
b1 = b,
b2 ,
b3 , . . . heißen Stufenzahlen
• Der Ausdruck auf der rechten Seite von (1) heißt Stufenzahldarstellung von n. • Der Ausdruck auf der rechten Seite von (2) heißt (b–adische) Zifferndarstellung von n. Es handelt sich um eine s–stellige Zahl. • F¨ ur die b Zahlen 0, 1, 2, 3, . . . , b − 1, die in den b–adischen Darstellungen (1) oder (2) auftreten k¨onnen, m¨ ussen unterschiedliche Symbole, die Ziffern des b–adischen Systems, vorhanden sein. • Man sagt, dass die Zahl n an der bi –Stelle (oder Position) die Ziffer ai aufweist. Der Beweis erfolgt im Rahmen bzw. auf der Grundlage der sogenannten Peano–Axiome u urlichen Zahlen. ¨ber die nat¨ 1.2.3
Beispiele Der Windows–Taschenrechner (Programme/Zubeh¨or/Rechner, auf Ansicht ,,Wissenschaftlich” umstellen) erm¨oglicht ein leichtes Umwandeln der Zahldarstellungen zu den Basen 2,8,10,16.
b = 10 Die Basis 10 f¨ uhrt auf die indisch–arabisch–abendl¨andisch–weltweite Dekadische Zahldarstellung, man spricht auch vom Dezimalsystem. Der Ursprung f¨ ur die Herausbildung der Zahl ,,Zehn” als Basis ,,unserer” Zahldarstellung liegt vermutlich darin begr¨ undet, dass wir an beiden H¨anden insgesamt zehn Finger haben. Genaueres zum Dezimalsystem erfahren Sie in der gesamten Vorlesung MGS1 (und MGS2). Beispiel: ♠ = 9110 . b = 2 Das System der 2–adischen Zahldarstellung heißt auch Dualsystem. Dieses System liegt der elektronischen Informationsverarbeitung aller Art (TR, PC, Großrechner) zugrunde, da sich die beiden Ziffern 0 und 1 als Strom aus/ein (genauer: Spannung niedrig/hoch) physikalisch repr¨asentieren lassen. Im Dualsystem hat die Zahl 167 die Darstellung 167 = 1 · 27 + 1 · 25 + 1 · 4 + 1 · 2 + 1 · 1 = 10 100 1112 . Das bedeutet, dass die elektronische Repr¨asentation der Zahl 167 in der Abfolge von Impulsen mit Spannung hoch/niedrig/hoch/niedrig/niedrig/hoch/hoch/hoch besteht. In einer achtstelligen Dualzahl kann gerade die Information u ¨ber eine Zahl zwischen 0 = 02 und 255 = 111111112 gespeichert werden. Der Informationsgehalt, der in der Kenntnis einer Ziffer an einer bestimmten Stelle enthalten ist, wird als 1 Bit bezeichnet. Die Kenntnis einer achtstelligen Dualzahl hat einen Informationsgehalt von 1 Byte: 1 Byte = 8 Bit.
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b = 16 F¨ ur die Darstellung von Zahlen im Hexadezimalsystem ben¨otigt man 16 Ziffern, diese sind 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Der sogenannte erweiterte ASCII–Zeichensatz umfasst 256 Zeichen. Sie lassen sich durch die Zahlen (dezimal) 0 bis 255 kodieren. In vielen Programmen und Programmiersprachen werden diese 256 Zahlen 0, 1, . . . 255 zweistellig hexadezimal dargestellt, beispielsweise 167 = 10 · 16 + 7 = A716 . Die Kenntnis eines ASCII–Zeichens bedeutet also den Informationsgehalt 1 Byte. Eine auf dem Bildschirm darstellbare Farbe wird — f¨ ur gew¨ohnlich — durch drei zweistellige Hexadezimalzahlen (Informationsgehalt 3 Byte) kodiert, beispielsweise wird die Farbe ,,hell–ocker” durch die Gewichtung der Farbpixel Rot–Anteil Gr¨ un–Anteil Blau–Anteil
217 = 13 · 16 + 9 = D916 205 = 12 · 16 + 13 = CD16 60 = 3 · 16 + 12 = 3C16
erzeugt. Mit dem Befehl bgcolor = "#D9CD3C" innerhalb des –tags wird in der ,,homepage”–Programmier–Sprache HTML der Farbhintergrund ,,hell–ocker” kodiert. Der Server–Rechner u ¨bermittelt lediglich den obigen Befehl an den Client/Browser–Computer. b = 3 Beispiel: ♠ = 31013 .
1.3 1.3.1
Dekadisches Zahlsystem — Große Zahlen Beispiele
Zun¨achst gilt es, Beispiele f¨ ur das Auftreten großer Zahlen (im weiteren Schulkind–Alltag) aufzufinden: • Kardinalzahlaspekt: – Menschen in einem Dorf, Schule, Kleinstadt, Stadion, Großstadt, Land, Welt. – Reisk¨orner, Erbsen, Linsen, Konfetti, Puzzleteile. – Etwa 100 000 Haare auf dem Kopf. – Halme in einem St¨ uck Wiese, B¨aume in einem Waldst¨ uck, Lebewesen in einem Gartenbeet, – Buchstaben auf einer Seite, in einem Buch
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– Kettenbriefe – Ein Kind hat etwa 400 Wimpern, wieviele Wimpern gibt es im Klassenzimmer? – Beispiele: ∗ Astronomie: Die Milchstrasse enth¨alt in etwa 100 000 000 000 Sterne. ∗ Ein Kubikzentimeter Eisen besteht aus 1021 (1 Trilliarde) Eisenatomen. ∗ Ein Glas Wasser (0, 3 kg) enth¨alt in etwa 1025 (10 Quadrillionen) Wassermolek¨ ule der Masse 18u ≈ 3, 0 · 10−26 kg. – Klassische Geschichte von den Reisk¨ornern auf dem Schachbrett: Auf das erste Feld eines Schachbretts wird ein Reiskorn gelegt, auf das zweite Feld zwei, auf das dritte vier usw. Wieviele Reisk¨orner sind zum Schluß auf dem Schachbrett? uck. Es sind: 264 − 1 = 18 446 744 073 709 551 615, also etwa 38 12 Trillionen St¨ • Maßzahlaspekt, L¨angen: – Entfernungen zweier St¨adte in Metern. – Klassenzimmerl¨ange in Millimetern, – Astronomische Entfernungen (in Kilometern) – Beispiele: ∗ Das Licht legt in einem Jahr 9, 461 Billionen km zur¨ uck. 13 ∗ Ein parsec ≈ 3, 1 · 10 km (31 Billionen km = 31 Billiarden m) • Maßzahlaspekt, Geldwerte: – Preise von gr¨oßeren Ger¨aten, eines Computers, eines Autos, eines Hauses. – Gehalt einer Erzieherin, einer Lehrerin, eines Fußballstars,. . . – ,,Zahlen” aus dem Haushalt einer Gemeinde, Staatshaushalt, Bankenbilanz. – Gewinne bei Gl¨ ucksspielen, Lotto. • Maßzahlaspekt, Zeitspannen: – Lebensalter in Tagen: Ein Kind der 5. JGS ist in etwa 4 000 Tage alt. Das Alter der Lehrerin ist vielleicht 15 000 Tage. – Dauer eines Tages in Sekunden: 1 d = 86 400 s. – Wie viele Stunden hat ein Jahr? Wieviele Stunden im Jahr gehst Du zur Schule? – Geschichte in Jahren: Karl der Große, Jesu Geburt, letzte Eiszeit, Auftreten der ersten Menschen, Entstehung der Alpen, Aussterben der Dinosaurier, . . . . • Maßzahlaspekt, Gewichte: – Gewicht eines Autos in kg. – Gewichte von Menschen in g. – Gewicht eines Schiffes in Tonnen. • Maßzahlaspekt, Fl¨achen:
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– Fl¨ache des Klassenzimmers in cm–Quadraten. – Fl¨ache eines Parks, einer Stadt in m–Quadraten. – Wieviele K¨astchen befinden sich auf einem karierten DIN A4–Blatt? (≈ 2 436). – Ein 10 cm×10 cm–St¨ uck mm–Papier: Es enth¨alt 10.000 1 mm×1 mm-K¨astchen. ¨ Ubungen: Es werden K¨astchen in einem gegebenen Fl¨achenst¨ uck gez¨ahlt; Fl¨ache eines Papierblatts in mm–Quadraten.
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• Maßzahlaspekt, Volumina: – Ein Kubikdezimeterw¨ urfel (1 Liter) hat den gleichen Inhalt wie 1 000 000 Kubikmillimeter. " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "" " " " " " " " " " " "" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "" " " "" " " " " " " "" " " " " " " " "" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " 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" " " " " " " " " " " " """" " " "" " " " " " " " " " " " " "" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "" " " "" " " " "" " " " "" " "" " " " " "" " " " " "" " " "" " " " " "" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "" " " " " "" " " " " "" " " " "" "" " " " "" " " " " " "" " " " " " " " " " " " " "" " " "" " " " "" " " "" " " "" " " " " " " " " " " " " " " "" "" " " " " "" " " " " "
• Kodierungszahlaspekt – Telefonnummern: Die gruppierte Schreibweise stimmt nicht mit der Standard– Dreiergruppierung f¨ ur große Zahlen u ¨berein. 1.3.2
Methodische Hinweise
Bei einer Erweiterung des Zahlenraums u ¨ber die Tausendergrenze hinaus werden auch ikonische Vorstellungen von den auftretenden Zahlen immer schwieriger. Eine Hilfestellung bilden beispielsweise (wieder) • der Zahlenstrahl: Teile werden ,,herausgezoomt”. • Fl¨achen: ein 10 cm × 10 cm–St¨ uck mm-Papier: Es enth¨alt 10.000 1 mm × 1 mm¨ K¨astchen. Ubungen: Es werden K¨astchen in einem gegebenen Fl¨achenst¨ uck gez¨ahlt; es wird zu einer gegebenen Zahl unter 10.000 ein Fl¨achenst¨ uck eingef¨arbt oder umrandet.
S. Hilger
Mathematik in der Hauptschule 1
20
SS 2011
Bei der Durchdringung auf symbolischer Ebene: Den Schl¨ usselbegriff zur Er- und Durcharbeitung der gr¨oßeren Zahlenr¨aumen bildet aber — wie gehabt — das Stellenwertsystem. Dabei treten neue Buchstaben–Bezeichnungen f¨ ur Stufenzahlen auf HT
ZT
T
H
Z
E.
(Beachte, dass Kleinbuchstaben f¨ ur die Nachkommastellen (Zehntel, Hundertstel,. . . ab ¨ JGS. 6) vorgesehen sind. Verschiedene Typen von Ubungen, die schon bei der ersten Erarbeitung des Stellenwertsystems herangezogen wurden, werden hier ebenfalls eingesetzt. • Stellenwertordner — B¨ undelhaus • H¨oren und Sprechen: Wort, Ziffernfolge, Stellenwertangabe. • Lesen und Schreiben: Das Lesen und das fehlerfreie Schreiben von großen Zahlen wird wesentlich dadurch erleichtert, dass die Stellen in Dreier–Gruppen abgesetzt werden. Diese Absetzung kann durch – Punkte (Verwechslung mit dem amerikanischen Dezimalpunkt), – durch dezente senkrechte Striche
oder
– durch kleine L¨ ucken (sie k¨onnen nicht nachtr¨aglich angebracht werden). erfolgen. Ordinalzahlaspekt: Gr¨oßenvergleich, Nachbarschaftszahlen, Vorg¨anger und Nachfolger (auch bzgl. h¨oherer Stufenzahlen). Ideen zu Medien: • Tageszeitung oder Zeitschriften. • Statistiken. • Quartett–Spiele.
S. Hilger
1.3.3
Mathematik in der Hauptschule 1
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SS 2011
Große Stufenzahlen
F¨ ur die immer gr¨oßeren Stufenzahlen gibt es spezielle Namen: 1 10 100 1 000 1 000 000 1 000 000 000 1 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 1 000 000 000 000 000 000 000
= = = = = = = = = = = = = = =
100 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 1027 1030 10100 10600
Eins Zehn Hundert Tausend Million Milliarde (engl: billion) Billion Billiarde Trillion Trilliarde Quadrillion Quadrilliarde Quintillion Gogol Zentillion
Die Stufenzahlen oberhalb der Linie sind hauptschulrelevant Beispiel: 5| {z 0 5}
8| {z 7 5} 3| {z 0 2} 4| {z 8 6} 0| {z 1 0} 9| {z 2 2} 7| {z 7 4} 1| {z 3 5}
Trilliarden Trillionnen Billiarden Billionnen Milliarden Millionnen Tausend (Einer)
Vergleiche Wikipedia ,,Zahlennamen” 100
1 Gogol = 10
= 10000 000 000 000 000 000 000 000 000 000000 000 000 000 000 000 000 000 000 000000 000 000 000 000 000 000 000 000 000000
Lesen großer Zahlen: Teile die Zahlen von rechts in Dreiergruppen und lies sie dann von links. Schreiben großer Zahlen: Beginne von links, bei fehlenden Stufenzahlen m¨ ussen Nullen gesetzt werden.
S. Hilger
1.3.4
Mathematik in der Hauptschule 1
22
SS 2011
Exkurs: Zehnerpotenzen, Stufenzahlen und Vorsatzzeichen
Potenz =
Faktor
1012 = 1.000.000.000.000 109 =
1.000.000.000
gelesen als
Vorsatzzeichen
gelesen als
Billion
T
Tera
Milliarde
G
Giga
Million
M
Mega
(engl: billion)
106 =
1.000.000
103 =
1.000
Tausend
k
Kilo
102 =
100
Hundert
h
Hekto
101 =
10
Zehn
da
Deka
100 =
1
(Ein)
0, 1
Zehntel
d
Dezi
0, 01
Hundertstel
c
Zenti
0, 001
Tausendstel
m
Milli
0, 000 001
Millionstel
µ
Mikro
0, 000 000 001
Milliardstel
n
Nano
p
Piko
10−1 =
1 10
10−2 =
1 100
10−3 =
1 1.000
10−6 =
1 1.000.000
10−9 =
1 1.000.000.000
10−12 =
= = = = =
1 1.000.000.000.000
= 0, 000 000 000 001 Billionstel
• Der Exponent in der Zehnerpotenz gibt die Position der 1 in der Dezimalbruchentwicklung an, wenn man der Einerstelle die Position 1 zuweist. • Die Einsicht, dass das Wort ,,Kilo” immer einen Vervielfachungsfaktor von Tausend bedeutet, sollte gef¨ordert werden. Kilogramm, Kilometer, Kilobyte, Kilowatt, Kilovolt, Kilokalorie, Kilojoule. • Auch das K¨ urzel Y 2K stellt eine (typisch amerikanische) Verwendung dieser Vorsilbe dar: ,,Year 2 Kilo” = Jahr Zweitausend. • Vorsilben wie ,,Giga” oder ,,Mega” treten zur Zeit in die Alltagssprache ein, da viele Kenndaten von Computerkomponenten mit diesen Vorsilben beschrieben werden.
S. Hilger
1.3.5
Mathematik in der Hauptschule 1
23
SS 2011
Das Runden
Die sogenannte 5/4–Rundungsregel: Eine Zahl wird bzgl. der X–Stelle (X = Z,H,T,ZT,HT,. . . ) auf die n¨achst– aufgerundet X benachbarte reine X–Zahl , wenn an der 10 –Stellenposition (d.h. abgerundet 9,8,7,6,5 rechts von der X–Stellenposition) eine der Ziffern auftritt. 0,1,2,3,4 Dabei ist zu beachten: • Ein zweimaliges Runden bzgl. verschiedener Stufe f¨ uhrt zu einem anderen Ergebnis, als wenn man gleich bzgl. der gr¨oßeren dieser Stufenzahlen rundet. Beispiel: 24 758
(T )
25 000
(ZT ) (ZT )
24 758
30 000. 20 000.
• Der mathematische Gehalt eines Rundungsergebnisses besteht darin, dass es eine bestimmte Schreibweise f¨ ur ein Intervall darstellt. So steht beispielsweise die nach einer T–Rundung auftretende Zahl 7 000 f¨ ur das Zahlenintervall [6 500, 7 499[. • Um die Tatsache, dass es sich bei einer Zahl (z.B. 7 000) um ein Rundungsergebnis handelt, werden andere Arten der Darstellung benutzt: – Ausschreiben der Stufenzahl: 7 Tausend – Abk¨ urzung der Stufenzahl: 7 T,
7 Tsd.
– Wissenschafltiche Zahldarstellung 7 · 103 – Bei Gr¨oßen: 7 000 ∈ = 7 TEU,
7 000 g = 7 kg,
7 000 kg = 7 t.
• Das Rechnen mit Rundungsergebnissen unterliegt ganz eigenen Gesetzen. Wie die Beispiele 6 382 + 2 453 6 382 + 2 453 150 · 150 150 · 150
= (T )
= (H)
8 835
(T )
9 000
6 000 + 2 000 = 8 000, 22 500
(H)
22 500,
200 · 200 = 40 000,
zeigen, sind Rundungs- und Rechenoperationen nicht einfach vertauschbar. • Dem Runden kommt in der weiteren Schullaufbahn (bei der Benutzung von Dezimalbr¨ uchen und beim Rechnen in den Naturwissenschaften) eine zunehmend wichtige Bedeutung zu.
S. Hilger
1.3.6
Mathematik in der Hauptschule 1
24
SS 2011
¨ Uberschlagsrechnen
• Angesichts der zunehmenden Bedeutung des Taschenrechners kommt dem beglei¨ tend–reflektierten Uberschlagsrechnen eine gr¨oßere Bedeutung zu. Die Notwendig¨ keit dazu ist f¨ ur Sch¨ uler schwer einsichtig: Der Taschenrechner ist exakt, das Uberschlagsrechnen ist ,,grob bis fehlerhaft”. ¨ • Das obige Beispiel der Rundung und Multiplikation zeigt, dass das Uberschlagsrechnen auch T¨ ucken hat. Insbesondere beim u ¨berschlagsm¨aßigen Multiplizieren kann man nicht erwarten, das (richtige) gerundete Ergebnis zu erhalten. Man erh¨alt im allgemeinen nur die richtige Gr¨oßenordnung. • Grunds¨atzlich sollten die Operanden bei einer Addition oder Multiplikation gegensinnig, bei einer Subtraktion oder Division gleichsinnig gerundet werden. In dem Beispiel oben also: 150 · 150
(H)
100 · 200 = 20 000.
¨ erfordert insbesondere ein Beherrschen des Rechnens mit • Das Uberschlagsrechnen Stufenzahlen (100·100 = 10 000), das heißt ein Rechnen mit den Endnull–Anzahlen. Hier treten typische Fehler auf: 6 · 7 = 42
=⇒
60 · 70 = 420,
125 000 : 5 000 = 25 000.
¨ • Das Uberschlagsrechnen entspricht grunds¨atzlich nicht der sonst stark strapazierten Attribuierung der Mathematik als exakt. Dies f¨ uhrt auch dazu, dass Sch¨ uler und Sch¨ ulerinnen das Runden eher zu vorsichtig handhaben oder als ,,unmathematisch” ansehen. ¨ • Das Uberschlagsrechnen ist bei der Division durch mehrstellige Divisoren hilfreich. 1.3.7
Sch¨ atzen
Das Sch¨atzen ist letztlich das ,,gerundete” Erfassen von Gr¨oßen (Siehe sp¨ater: Gr¨oßenbereiche).
S. Hilger
1.3.8
Mathematik in der Hauptschule 1
25
SS 2011
Schaubilder
Graphische Darstellungen aller Art: • Ikonogramm = Bilddiagramm = Figurendiagramm: Bestimmte Mengeneinheiten werden durch Bildsymbole ( = Icons, Piktogramme) dargestellt. • Balkendiagramm – Die Messdaten werden durch horizontal liegende Rechtecke dargestellt. Auf der Hochwertachse sind die Datens¨atze gekennzeichnet, auf der Rechtswertachse wird der Zahlenwert angetragen. – Anstelle der Rechtecke k¨onnen auch Strecken (Striche) oder Quader bzw. Zylinder in perspektivischer Darstellung benutzt werden. • S¨aulendiagramm – Die Messdaten werden durch vertikal liegende Rechtecke dargestellt. Auf der Hochwertachse sind die Datens¨atze gekennzeichnet, auf der Rechtswertachse wird der Zahlenwert angetragen. – Anstelle der Rechtecke k¨onnen auch Strecken (Striche) oder Quader bzw. Zylinder in perspektivischer Darstellung benutzt werden. • Liniendiagramm: Punkte aus einer Messung / Beobachtung werden durch geradlinige oder geeignet krummlinige Kurven verbunden. ...... ........ ... .......... ... .... . .......... .... ... ......... ... .... ... ....... .. ... ........ ..... .. ... ..... .......... .. . ..... ..... ... .... ..... .. ... ..... . . ... . . . . ........ ... .. . .. ... .. ... . .... . ... . .. . ... .. .......... . . ... ........................... ................. .. .............................. . ..... ...... ... . .. ..... . . ... ..... .. . . . ..... ......... .. . ........ .. . . ......... . . . . ... . ... .... . .. . . . . ........... ....... .... ... .......... .. ... .. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. . . . . . . . . . . . . . .
r
r
r
r
r
r
r
• Kreisdiagramm (= Tortendiagramm)
r
r
r
r
r
r
S. Hilger
2
Mathematik in der Hauptschule 1
SS 2011
26
Rechnen mit natu ¨ rlichen Zahlen
2.1 2.1.1
Operationen und Operatoren Verknu ¨ pfung
Es sei M eine Menge (z.B. ein Zahlbereich). Eine Abbildung (Zuordnungsvorschirft), die zwei gegebenen Zahlen eine neue dritte Zahl zuordnet, heißt Verkn¨ upfung auf M . Mathematisch kann man dies ausdr¨ ucken als Funktion, die auf einem kartesischen Produkt mit sich selbst definiert ist. M ×M → M f: (x, y) 7→ z = x ∗ y Beispiele: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzierung, ggT, kgV, min, max, Mittelwert, Schnitt– oder Vereinigungsmenge, logische Verkn¨ upfungen. F¨ ur Verkn¨ upfungen kann man verschiedene Rechengesetze formulieren: Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und andere. 2.1.2
Operationen — Operatoren
Es sei nun f eine Verkn¨ upfung auf M und a ∈ M beliebig, aber fest, gew¨ahlt. Die Abbildung M → M fa : x 7→ a ∗ x heißt Operator (zur Zahl a bzgl. der Operation f ). Die Elemente x ∈ M heißen in diesem Zusammenhang dann Operanden. Sinnf¨allig kann der Operator auch als fa = a ∗ geschrieben werden. • Unterscheide (fachlich und didaktisch) zwischen der Zahl a und dem Operator fa . • In gewisser Weise kann die Zahl a als das statische, der zugeh¨orige Operator fa als der dynamische Aspekt des mathematischen Objekts a ∈ M aufgefasst werden. • Je nach Kontext wird der Operator auch als die rechtsseitige Anwendung der Operation definiert: fa (x) = x ∗ a. Man schreibt dann fa = ∗ a. Dies tritt im Zusammenhang mit der Pfeilschreibweise f¨ ur Operationen auf: ∗a
x −→ x ∗ a. • Umsetzung beim Schultaschenrechner: Der Operator 3 ∗ wird durch Bet¨atigung der Tasten 3 × × programmiert. Nach Eingabe eines Operanden wird er durch die =–Taste abgerufen. (Es steckt also die rechtsseitige Auffassung dahinter.)
S. Hilger
2.1.3
Mathematik in der Hauptschule 1
SS 2011
27
Veranschaulichungen des Operatoraspekts
• Mengen– (oder Venn–)diagramm. • Tabelle • Maschinenmodell (eher in der Grundschulmathematik) • Ablaufdiagramm, im Beispiel ·3
8 −→ 24 2.1.4
Didaktische Aspekte des Operatormodells
• Prop¨adeutik des Abbildungsbegriffs. • Betonung des prozesshaften, dynamischen Charakters von mathematischen Objekten (→ Handlungsorientierung). • G¨ unstig im Hinblick auf – Umkehroperation: (B) Einf¨ uhrung der Division von Bruchzahlen oder von negativen Zahlen. – Mehrfachoperationen: (B) Hintereinanderausf¨ uhrung, ,,Ersatzoperation” (vgl. bspw. GS–Arbeitsheft ,,Nussknacker” 1, S. 79). • Dienes’sches Prinzip der Variation der Veranschaulichung (Funktion: Festigung, Wiederholung, Hilfestellung). • Problem: Es existieren zwei Parallelkonzepte: Zahl und Operator. Das kann zu erheblicher Verwirrung und Verwischung der Begriffsbildungen f¨ uhren. Wie sonst auch muss sich zumindest die Lehrerin / der Lehrer der Problematik bewusst sein und die Sprechweisen beherrschen. • Der Unterschied Zahl – Operator tritt auch in dem Problemkreis ,,Negative Zahlen” auf: in dem Symbol −5 ist das Minuszeichen einerseits das zur Zahl geh¨orige Vorzeichen (Zahlkonzept), andererseits ein Rechenzeichen (Operatorkonzept).
S. Hilger
2.1.5
Mathematik in der Hauptschule 1
SS 2011
28
Fachbegriffe fu ¨ r die Beschreibung der Grundrechenarten
Es hat sich als zweckm¨aßig herausgestellt, bei der ,,denkerischen Behandlung” von Rechenoperationen spezielle — von der konkreten Sachwelt–Realisierung unabh¨angige — Fachbegriffe zu verwenden. Sie sind im Anhang zusammengestellt.
2.2
Addition
• Kardinalzahlaspekt: Vereinigung zweier disjunkter Mengen. • Z¨ahlzahlaspekt: Ausgehend von einer Zahl n wird um m Schritte weiter gez¨ahlt. • Operatoraspekt: Eine Zahl ist gegeben, es wird dann etwas ,,dazugez¨ahlt”. • Maßzahlaspekt: Addition korrespondiert sinnvoll zu bestimmten Sachsituationen. (Vgl. Pegelstand, Temperatur).
2.3
Subtraktion
• Kardinalzahlaspekt: – Abziehen: Aus einer gegebenen Menge (Kardinalzahl) werden die Elemente einer Teilmenge herausgenommen. – Erg¨anzen: Die gegebene Teilmenge einer gegebenen Menge wird durch weitere Elemente erg¨anzt. • Z¨ahlzahlaspekt: Ausgehend von einer Zahl n wird um m Schritte r¨ uckw¨arts gez¨ahlt. • Operatoraspekt: Eine Zahl ist gegeben, es wird dann etwas ,,weggenommen”. Dieser Aspekt ist besonders im Hinblick auf die Zusammengeh¨origkeit von Addition und Subtraktion als Umkehrungoerationen wichtig. • Maßzahlaspekt: – Subtraktion korrespondiert sinnvoll zu bestimmten Sachsituationen. – Skalenwerte: Bestimmung von Unterschieden.
2.4
Multiplikation
• Kardinalzahlaspekt: – Wiederholte Addition: Zeitlich–sukzessive Sachsituation – Wiederholte Addition: R¨aumlich–simultane Sachsituation • Operatoraspekt: Es wird der Aspekt des ,,Vervielfachens” betont: Eine gegebene Zahl ( = Multiplikand) wird mit einem Faktor (Multiplikator) vervielfacht. Die Zuordnung 1. Faktor Multiplikator −→ 2. Faktor Multiplikand ist dabei nicht eindeutig.
S. Hilger
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SS 2011
29
• Kombinatorischer Aspekt 2.4.1
Kombinatorischer Aspekt
Dieser Aspekt ist fachmathematisch wichtig, weil er die Multiplikation auf der Grundlage des Kardinalzahlaspekt von Zahlen beschreibt. Problem: Stellen Sie sich zwei Mengen der M¨achtigkeit a bzw. b vor. Wie erh¨alt man daraus eine Menge der M¨achtigkeit a · b? Antwort: Sind zwei Mengen A und B gegeben, so bezeichnet man die Menge der geordneten Paare n o A × B := (a, b) a ∈ A, b ∈ B als kartesisches Produkt der Mengen A und B. Der Name erinnert an den franz¨osischen Philosophen und Mathematiker Ren´e Descartes (1596 – 1650), der den Winter 1619/20 im benachbarten Neuburg/Donau verbrachte und dort in der Abhandlung ,,Discours de la m´ethode” die das abendl¨andische Denken nachhaltig pr¨agende Philosophie der Vernunft begr¨ undete. Auch das aus der Geometrie bekannte kartesische Koordinatensystem beruht auf der Idee des kartesischen Produkts (von zwei Zahlenstrahlen). Ist a die M¨achtigkeit der Menge A und b die der Menge B, so hat A × B die M¨achtigkeit a · b. Beispiele: – Ren´e hat Hosen in den Farben R, G, B und Pullis in den Farben r, g, b, w. Wieviele M¨oglichkeiten (Kombinationen) gibt es f¨ ur ihn, sich anzuziehen? Antwort: Das kartesische Produkt der Menge der Hosenfarben H = {R; G; B} und der der Pullifarben P = {r; g; b; w} ist n H × P = (R, r); (R, g); (R, b); (R, w); (G, r); (G, g); (G, b); (G, w); o (B, r); (B, g); (B, b); (B, w) . Es enth¨alt 3 · 4 = 12 Elemente. – Tanznachmittag: Wieviele verschiedene Tanzpaare k¨onnen bei Anwesenheit von 14 Herren und 12 Damen gebildet werden? – Ein Satz ,,Strukturiertes Material” enth¨alt Pl¨attchen mit den Eigenschaften ,,rot, gr¨ un, blau, gelb” bzw. ,,quadratisch, dreieckig, kreisrund”. Wieviele verschiedene Pl¨attchen sind m¨oglich? – Beim Schul–Sommerfest kann man zwischen 13 verschiedenen Kuchensorten und 6 verschiedenen Getr¨anken w¨ahlen. Wieviele verschiedene Bestellungen sind m¨oglich?
S. Hilger
Mathematik in der Hauptschule 1
SS 2011
30
– Zahlenschl¨osser: Vgl. Lehrplan [?, S. 189]. Als Modell f¨ ur die Unterrichtspraxis ist der kombinatorische Aspekt weniger geeignet, da hier nicht die Alltagsauffassung von Multiplikation als wiederholte Addition auftritt. Es ist außerdem zu abstrakt, da im allgemeinen nicht alle Kombinationen gleichzeitig realisiert, sondern nur simultan gedacht werden k¨onnen. Die ikonische Repr¨asentation ist ebenfalls mit Schwierigkeiten behaftet.
S. Hilger
Mathematik in der Hauptschule 1
2.5
31
SS 2011
Division
– Operatoraspekt: Umkehrung zur Multiplikation. – Kardinalzahlaspekt: ∗ Aufteilen, wiederholtes Wegnehmen. ∗ Verteilen – Maßzahlaspekt: ∗ Messen ∗ Teilen 2.5.1
Aufteilen und Verteilen
AUFTEILEN
VERTEILEN
Es liegt folgende allgemein formulierte Situation zugrunde (E): Es werden n Dinge in m Dinge umfassende Portionen aufgeteilt. Wie viele x Portionen entstehen dabei?
Es werden n Dinge in m Portionen (gerecht) verteilt. Wie viele x Dinge umfasst eine Portion?
Beispiele f¨ ur Dinge: Datteln, Dickmanns, EURO–M¨ unzen,. . . Beispiele f¨ ur Portionen: P¨ackchen, Pakete, Packungen, Personen,. . . Als konkrete Beispielaufgabe sei genannt: Es werden 24 Mandarinen in Netze zu je 6 Mandarinen aufgeteilt. Wie viele Netze erh¨alt man?
Es werden 24 Mandarinen an 6 Kinder verteilt? Wie viele Mandarinen erh¨alt jedes der Kinder?
Graphisch (I) l¨asst sich diese Situation beispielsweise so im Venn–Diagramm repr¨asentieren:
S. Hilger
Mathematik in der Hauptschule 1
r r
r
r
r r
r
r r
r
r
r
r r
r
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SS 2011
r r
r
r
r r
r
r r
r
Kreise jeweils 6 Dinge ein! Wie viele Kreise entstehen?
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
r r
r
r
r r
r r
r
Verbinde 6 mal jeweils gleich viele Dinge! Wie viele Dinge sind jeweils verbunden?
Mathematisch korrekt (S) l¨asst sich diese Sachsituation mit Hilfe eines ,,Bezeichnungs–Bruchrechnens” wie folgt fassen: Dinge n Dinge : m Portion = x Portionen
Dinge n Dinge : m Portionen = x Portion
Beim Weglassen der Bezeichnung ,,Portion(en)” entsteht die st¨arker grundschulgem¨aße Aussage n Dinge :
m Dinge =
x
n Dinge :
m =
x Dinge
Diese Verk¨ urzung f¨ uhrt gelegentlich zu einer Verwirrung bzw. Begr¨ undungsnot angesichts der Frage, warum bei der Verteilung von 24 Dingen an 6 Kinder bzw. beim Aufteilen in 6er Portionen nicht 24 Dinge :
6 Kinder =
4 Dinge
24 Dinge :
6 Dinge
=
4 Portionen
geschrieben werden darf. (Dieses Problem werden wir beim Sachrechnen, wo die Dinge durch Einheiten ( ∈, m, kg) ersetzt sind, noch einmal diskutieren.) L¨asst man auch die Angabe u ¨ber die Dinge weg, so entsteht die Gleichung 24 : 6 = 4
24 : 6 = 4,
aus der die Sachsituation nicht mehr ablesbar ist. Das Dividieren von Gr¨oßen (Siehe sp¨ater!) weist eine Analogie zu der Aufteil– Verteil–Paarung auf, die wir hier nur erw¨ahnen: Man spricht von der Messaufgabe 24 m : 6 m = 4 Gr¨oße : Gr¨oße = Zahl
Teilaufgabe 24 m : 6 = 4 m Gr¨oße : Zahl = Gr¨oße.
S. Hilger
Mathematik in der Hauptschule 1
2.5.2
SS 2011
33
Rechengesetze
Das Rechnen in den verschiedenen Zahlbereichen N, Z, B, Q oder R unterliegt gewissen Regeln, die unter dem didaktischen Schlagwort Rechengesetze zusammengestellt sind. Man unterscheidet: – Rechengesetze als Axiome: Sie bilden das Fundament des Rechnens in dem aktuellen Zahlbereich. Die Axiome sollten . . . ∗ einerseits das gesamte Rechnen im Zahlbereich vollst¨andig beinhalten und beschreiben, ∗ andererseits voneinander unabh¨angig sein. Axiome k¨onnen nicht innermathematisch bewiesen werden, in der Schule werden sie durch geometrische oder Sachsituationen plausibel gemacht. Die Axiome f¨ ur das Rechnen in Q bzw. R sind im Anhang zusammengestellt. – Rechengesetze als abgeleitete Regeln: Sie sind aus den Axiomen heraus ableitbar. Das heißt, sie sind — bei vorausgesetzten Axiomen — mit Mitteln der Logik und Mengenlehre beweisbar. – Formeln sind Rechengesetze, die vergleichsweise speziellere oder komplexere rechnerische Zusammenh¨ange erfassen. Der Begriff l¨asst sich fachmathematisch gar nicht und fachdidaktisch kaum von dem allgemeineren des ,,Rechengesetzes” abgrenzen. In der Schulmathematik sind diese Gesichtspunkte nicht thematisierbar, da sie logisch–abstrakt sind. Rechengesetze sollen im Rahmen eines vorteilhaften Rechnens als praktisch erkannt werden. Man spricht dann auch von Rechenvorteilen.
S. Hilger
3
Mathematik in der Hauptschule 1
34
SS 2011
Die schriftlichen Rechenverfahren
3.1
¨ Grunds¨ atzliche Uberlegungen
Beispiele: 41 − 19
205 + 428
247 + 653
325 + 574
752 − 378
Wegen der • zunehmend großen Zahlenr¨aume
und des
• zunehmenden Schwierigkeitsgrads reichen die kognitiven Leistungen wie Ged¨achtnis, Konzentration oder lebendiger Gebrauch der elementaren Rechenfertigkeiten im allgemeinen nicht mehr aus, Grundrechenarten allein ,,im Kopf” auszuf¨ uhren. Es m¨ ussen Hilfsmittel hinzugezogen werden, die • das Ged¨achtnis entlasten (Speicher–Notiz–Funktion): Auf dem Papier oder an der Tafel werden die Aufgabenstellung, Zwischenergebnisse, Merkzahlen notiert. • eine Reduktion der Schwierigkeit erlauben (Vereinfachungs–Funktion): Eine tabellarische Darstellung der Aufgabe erm¨oglicht den R¨ uckgriff auf – das Stellenwertsystem und – Rechengesetze und damit letztlich eine – R¨ uckf¨ uhrung auf das Kopfrechnen innerhalb des kleinen Eins–Plus–Eins bzw. das kleine Ein–Mal–Eins. • Zugleich soll das Rechnen als Algorithmus ausgelegt sein, so dass es – schnell–¨okonomisch, – sicher und wenig fehleranf¨allig wird
und
– alle F¨alle erfasst. Diesem Ziel dienen die sogenannten ,,schriftlichen Rechenverfahren”, sie heißen im didaktischen Fachjargon auch Normalverfahren der Addition, Subtraktion, Multiplikation bzw. Division. • Eine Zwischenstellung zwischen Kopfrechnen und schriftlichen Rechenverfahren nimmt das sogenannte halbschriftliche Rechnen ein. Hier werden Rechenschritte und Teilaufgaben, wie sie sich aufgrund der ,,Stellenwertsystem–R¨ uckf¨ uhrung” ergeben, sehr ausf¨ uhrlich und genau notiert. Dem halbschriftlichen Rechnen kommt eine erhebliche didaktische Bedeutung insofern zu, als es einer auf das Stellenwertsystem und die Rechengesetze gegr¨ undete Einsicht in die Struktur der endg¨ ultigen schriftlichen Rechenverfahren den Weg bereitet.
S. Hilger
Mathematik in der Hauptschule 1
SS 2011
35
¨ • Ein grundlegendes Leitmotiv beim Ubergang vom halbschriftlichen zum (voll)schriftlichen Rechnen besteht darin, alle redundanten (d.h. wiederholten, u ¨berfl¨ ussigen) Informationen beim Notieren wegzulassen und damit soweit wie m¨oglich – die Schreibarbeit zu mindern und ¨ – die Ubersichtlichkeit zu steigern. • Angesichts der Pr¨asenz von Rechenelektronik (TR, PC, Registrierkassen,. . . ) stellt sich insgesamt die Frage nach der Legitimation der schriftlichen Rechenverfahren. In jedem Fall tritt die Zielsetzung der Einschleifung (des Drills), wie sie fr¨ uher wichtig und nachvollziehbar war in den Hintergrund. Das Erlernen der schriftlichen Rechenverfahren wird zunehmend als zus¨atzliche M¨oglichkeit gesehen, die Einsicht in den Sinngehalt des Stellenwertsystems zu f¨ordern. • Die schriftlichen Rechenverfahren sollen nicht als H¨ohepunkt oder Abschluß der Grundschularithmetik angesehen werden, Vielmehr ist eine grunds¨atzliche Haltung ,,Soweit wie m¨oglich im Kopf — sobald n¨otig schriftlich!” — nat¨ urlich auch differenziert bez¨ uglich der Sch¨ ulerleistungsf¨ahigkeit — eingenommen werden. Die Tendenz, ein rechnerisches Problem zun¨achst daraufhin zu testen, ob es nicht auch im Kopf bearbeitet werden kann, ist stark zu f¨ordern. Es sollte nicht das schriftliche Rechnen (beispielsweise im Rahmen der Bearbeitung einer Sachaufgabe) erzwungen werden. Sehen auch Sie das flexible Kopfrechnen als Bestandteil einer schulmathematischen Ausbildung an! Elementare Aufgaben, die Sie m.E. im Kopf bearbeiten k¨onnen sollten oder deren Ergebnisse Sie auswendig wissen sollten, sind: • Alle Grundrechenarten im Hunderterraum. • Verdoppeln und Halbieren im Tausenderraum. • Großes Ein–Mal–Eins: 1 · 1 bis 9 · 19. • Multiplikation mit 5: Ersetze diese Operation durch die Multiplikation mit 10 und anschließendes Halbieren. • Division durch 5: Verdoppeln und dann Zehnteln. • Quadratzahlen bis 20 (besser noch: 32). • Kubikzahlen bis 10. • Hoch–Vier–Potenzen bis 5. • Zweier–Potenzen bis 210 . • Primzahlzerlegungen bis 100.
S. Hilger
3.1.1
Mathematik in der Hauptschule 1
36
SS 2011
Erarbeitungsstr¨ ange
Die Erarbeitung geschieht jeweils kleinschrittig u ¨ber mehrere Stadien. Der Sinn besteht darin, dass die Sch¨ uler diese Verfahren nicht nur formalisiert eingeschliffen, sondern auch begleitet durch eine gewisse Einsicht, erlernen sollen. Die Erarbeitung ist gekennzeichnet durch das Ineinanderspielen von mehreren Str¨angen, die im folgenden stichwortartig beschrieben werden: • Bruner’sche Repr¨asentationsebenen — Intermodaler Transfer. E Arbeiten mit M¨ unzen und Geldscheinen oder Systembl¨ocken. I B¨ undelhaus: Eintr¨age mit Geld–Symbolen oder Punkt–Strich–Quadrat. S Tabelle mit Ziffern. • Dekadisch oder Nicht–dekadisch: Nicht auf symbolischer Eben. • Komplexit¨at der Aufgabe (vgl. [?, S. 78]): – Zahlenraum: Hunderter → Tausender → lion – Zahl der Zehner¨ uberg¨ange: Keiner → Einer – Zahl der echten (d.h. Nicht–Null–)Ziffern. – Zahl der Summanden: Zwei → Mehrere.
Zehntausender →
→
Mil-
Mehrere.
• Ausf¨ uhrlichkeit der schriftlichen Darstellung: Gar nicht → Schriftlich.
Halbschriftlich
→
Halbschriftlich reduziert
→
• Begleitendes Sprechen: Am Anfang ausf¨ uhrlich mit Stellenwerten, Operationsw¨ortern und aufzuschreibenden Ziffern. Wegfallen des Sprechens von Stellenwerten — Operationsw¨ortern — Merkziffern –Ziffern aus Zwischenergebnissen. Dabei wird auch vom Lautsprechen zum inneren Sprechen u ¨bergegangen.
S. Hilger
3.2
Mathematik in der Hauptschule 1
37
SS 2011
Die schriftliche Addition
Die grundlegende Idee besteht darin, dass letztlich eine Addition der Stellenwerte erfolgt. An dem Beispiel 257 + 326 werden die grundlegenden Ideen aufgezeigt. Diese kann u ¨bersichtlich und f¨ ur den Sch¨ uler zug¨anglich wie folgt — halbschriftlich — aufgeschrieben werden: 257 + 326 = -----------------200 + 300 = 50 + 20 = 7 + 6 = -----------------257 + 326 =
257 + 326 = -----------------7 + 6 = 50 + 20 = 200 + 300 = -----------------257 + 326 =
Ein nat¨ urliches Bestreben bei dieser Zerlegung ist es, die Reihenfolge H → Z → E zu w¨ahlen, aufgrund des Endalgorithmus ist es aber evtl. hier schon sinnvoll, diese Reihenfolge zu invertieren. An diesem Beispiel ist bereits zu sehen, dass die Einzelsummanden eben nicht mehr einstellige Vielfache der Zehnerpotenzen sind, es muss also umgeb¨ undelt werden. Der mathematische Gehalt des Additionsverfahren ist der folgenden Gleichungskette zu entnehmen: 257 + 326
EB
=
AG,KG
(200 + 50 + 7) + (300 + 20 + 6)
=
(200 + 300) + (50 + 20) + (7 + 6)
DG
=
(2 + 3) · 100 + (5 + 2) · 10 + (7 + 6)
ZR
5 · 100 + 7 · 10 + 13
=
U B/GgV
= B =
5 · 100 + 8 · 10 + 3 583
Eine Darstellung auf ikonischer (I) Ebene mit Geldsymbolen (vorher entsprechend: enaktiv E) geschieht etwa so:
S. Hilger
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SS 2011
Bereitstellen: 100 ∈
10 ∈
1∈ }}}}}}} }}}}}}
Zusammenlegen: }}}}}}}}}}}}}
Umb¨ undeln: }}}
Auf symbolischer Ebene (S) in der B¨ undeltabelle schaut dies dann so aus: Bereitstellen: 100 ∈
10 ∈
1∈
2
5
7
3
2
6
Stellenweise Addition: 5
7
13
Umb¨ undeln: 5
8
3
Die Endform des schriftlichen Verfahrens wird nun so eingerichtet, dass dieses Vorgehen durch ein Aufschreiben von Ziffern allein realisiert werden kann: 257 + 326 1 ----583 • Wegen des Umb¨ undelns ist es notwendig, die Reihenfolge E → Z → H, d.h. von rechts nach links, bei der Abarbeitung der Ziffernspalten einzuhalten. ¨ • Gr¨oße und genaue Position der Ubertragsziffer und die Frage, ob sie u ¨berhaupt angeschrieben werden soll, unterliegen individuellen Vorlieben.
S. Hilger
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SS 2011
39
• Zur Sprechweise: Die zu notierenden Ziffern werden — sowohl beim tats¨achlichen als auch beim inneren Sprechen — deutlich hervorgehoben. • F¨ ur die Auswahl der vertikalen Richtung der Rechen- und Sprechweise gibt es keine entscheidenden inhaltlichen oder didaktischen Gr¨ unde. Sinnvoll ist es, die gleiche Richtung wie bei der Subtraktion zu w¨ahlen, also — wegen des bald g¨ ultigen Abziehverfahrens — die von oben nach unten. ¨ Es folgt eine Ubungsphase, die sowohl • das Einschleifen (,,Drill”) und damit das Bewußtsein um die Effizienz eines Algorithmus als auch • die zunehmende Einsicht in die Struktur und Funktionsweise des Verfahrens zum Ziel hat. Dabei wird auch das Additionsverfahren f¨ ur mehr als zwei Summanden ¨ thematisiert und ge¨ ubt. Ubungsformen: Klecksaufgaben, Riesenzahlen. Die Bedeutung des Kopfrechnens als Alternative bei entsprechend geeigneten Aufgaben ¨ zum Testen von Ergebnissen ist dabei stark zu aber auch als Uberschlags–Begleitrechnen betonen.
S. Hilger
3.3
Mathematik in der Hauptschule 1
40
SS 2011
Die schriftliche Subtraktion
F¨ ur das schriftliche Subtrahieren gibt es verschiedene Alternativen, die im wesentlichen durch die vier Felder in der folgenden Tabelle charakterisiert sind: ¨ ↓ ZU-Methode \ Grundauffassung →
Abziehen
Gleichsinniges Ver¨andern von Minuend und Subtrahend (Erweitern) Umb¨ undeln innerhalb des Minuenden (Borgen)
Erg¨anzen (S¨ uddeutsches) Erg¨anzungsverfahren
(Norddeutsches) Abziehverfahren
Anhand des Beispiels 372 − 125 beschreiben wir die beiden in der Tabelle benannten und im derzeitigen Grundschul–Lehrplan erw¨ahnten Verfahren. 3.3.1
Erg¨ anzungsverfahren
Das Erg¨anzungsverfahren war seit 25.3.1958 gem¨aß Beschluß der Kultusministerkonferenz (KMK) in ganz Deutschland verbindlich vorgeschrieben. Die dem ganzen Verfahren eigentlich zugrundeliegenden Rechengesetze sind der folgenden Gleichungskette zu entnehmen: 372 − 125
EB
=
AG,KG
(300 + 70 + 2) − (100 + 20 + 5)
=
(300 − 100) + (70 − 20) + (2 − 5)
DG
(3 − 1) · 100 + (7 − 2) · 10 + (2 − 5)
=
U B/GlV
=
(3 − 1) · 100 + (7 − 3) · 10 + (12 − 5)
ZR
2 · 100 + 4 · 10 + 7 247
= B =
Die Repr¨asentation dieser Aufgabe auf ikonischer (I) bzw. enaktiver (E) Ebene mit Geld geschieht in etwa so:
S. Hilger
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Bereitstellen von Minuend und Subtrahend: 100 ∈
10 ∈
1∈ }} }}}}}
Gleichsinniges Ver¨andern von Minuend und Subtrahend: }}}}}}}}}}}} }}}}} Stellenweise Subtraktion: }}}}}}} Symbolisch (S) in der B¨ undeltabelle ist dies: 100 ∈
10 ∈
1∈
3
7
2
1
2
5
Gleichsinniges Ver¨andern: 3
7
12
1
3
5
Stellenweise Subtraktion: 2
4
7
Die Endform des schriftlichen Verfahrens ist: 372 - 125 1 ----247
S. Hilger
3.3.2
Mathematik in der Hauptschule 1
42
SS 2011
Das Abziehverfahren
Es geschieht eine fortschreitende Entb¨ undelung im Minuenden. Das Verfahren und die zugrundeliegenden Rechengesetze werden wieder in der Gleichungskette offenbar: EB
372 − 125
=
AG,KG
(300 + 70 + 2) − (100 + 20 + 5)
=
(300 − 100) + (70 − 20) + (2 − 5)
DG
=
(3 − 1) · 100 + (7 − 2) · 10 + (2 − 5)
UB
=
(3 − 1) · 100 + (6 − 2) · 10 + (12 − 5)
ZR
2 · 100 + 4 · 10 + 7 247
= B =
F¨ ur die Endform des schriftlichen Verfahrens gibt es mehrere M¨oglichkeiten: 6 372 - 125 ----247
1 372 - 125 ----247
. 372 - 125 ----247
Bei der ersten Version wird die um Eins verminderte neue Ziffer notiert. Der Lehrplan sieht dies Version vor, zus¨atzlich wird die alte Ziffer (hier: 7) gestrichen. Dies ist von Vorteil bei mehrfachem Entb¨ undeln (siehe unten), ein Nachteil bildet die Tatsache, dass das Durchstreichen auch bei der Fehlerkorrektur angewandt wird oder dass die durchgestrichene Ziffer nicht mehr erkennbar ist, was bei einer Kontrolle der Daten oder der Rechnung ung¨ unstig ist. Anstelle eines Ersetzens der Ziffern k¨onnte man auch die abzuziehende 1 — eventuell auch nur durch einen Punkt symbolisiert — angeben. Die Position der Eins bzw. des Punktes unterhalb w¨are sinnvoll, f¨ uhrt aber zu Notationsschwierigkeiten. Ein gewichtiges Problem tritt auf, wenn • die Ziffer Null im Minuenden auftritt
oder
• bei mehreren Subtrahenden zu kleine Ziffern im Minuenden auftreten. und deshalb fortschreitend umgeb¨ undelt werden muss. Dies wird an dem folgenden Beispiel, bei dem auch gleich die zugeh¨orige Verfahrensweise angegeben ist, deutlich: 69 705 - 417 -----288
(Die ,,Zahl” 70 ist dabei durchzustreichen).
Diese Sonderf¨alle werfen auch die Problematik der Entscheidung u ¨ber das richtige Verfahren wieder auf, da durch sie eine Einsicht in das Verfahren wieder in Frage gestellt ist. Andererseits wird die Idee eines Algorithmus als eines schnellen universell einsetzbaren ,,automatisierten” Verfahrens in Frage gestellt.
S. Hilger
3.3.3
Mathematik in der Hauptschule 1
43
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Gegenu ¨ berstellung
Name
Abziehverfahren
,,Heimatregion”
norddeutsch
Auffassung von Subtraktion als . . .
Verminderung (Standard- Erg¨anzung (Pr¨asent im auffassung bei der Sub- Alltag beim Zahlvorgang: traktion, Repr¨asentation R¨ uckgeld) mit konkretem Material m¨oglich)
Behandlung des ner¨ uberschreitung
Umb¨ undelung im Minuen- Gleichsinnige Ver¨anderung den von Minuend und Subtrahend
Zeh-
Erg¨anzungsverfahren (Erweiterungstechnik) ¨ s¨ uddeutsch (Osterreich)
Einsicht in den Algorithmus:
leichter
schwerer
Problemf¨alle bei . . .
Fortschreitender Eine Verwechslung von Ad† Umb¨ undelung , dition und Subtraktion tritt Mehreren Subtrahenden, eher auf. Die Merkziffer tritt zu Beginn, nicht am Ende der gedanklichen Subtraktion auf. Schwierigkeiten sp¨ater bei der schriftlichen Division.
Handhabung des Algorithmus:
schwerer
Aktueller Stand
Im neuen BayLP/GS festgelegt.
leichter
S. Hilger
3.4
Mathematik in der Hauptschule 1
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44
Typische Fehler und Schwierigkeiten bei den schriftlichen Verfahren der Addition und Subtraktion
Das Wesen eines Algorithmus besteht darin, dass er automatisiert ausgef¨ uhrt wird. Deshalb stehen auch nicht so sehr Schwierigkeiten im Zusammenhang mit dem Verst¨andnis oder und grundlegenden Rechenfertigkeiten im Vordergrund, sondern eher solche, die einer mangelnden Sorgfalt, Fl¨ uchtigkeit oder Irrtum zugeordnet werden k¨onnen. Selbstverst¨andlich verhindert eine mangelnde Einsicht auch diese sich • Fehler beim Ziffernrechnen (Eins–Plus–Eins, Eins–Minus–Eins). • Die Operationen Addition und Subtraktion werden verwechselt. • Falsche Stellenzuordnung beim (tabellarischen) Notieren der Aufgabe. • Fehler in Zusammenhang mit der Ziffer Null: Sie wird beim Ziffernrechnen versehentlich als Eins gesehen. Sie wird beim Rechnen unterschlagen und so geschehen falsche Stellenzuordnungen. ¨ • Ubertragsziffern werden falsch interpretiert, an falscher Stelle hingeschrieben oder ¨ vergessen. Ubertragsund Ergebnisziffer werden verwechselt. • Fehler in Zusammenhang mit f¨ uhrenden Leerstellen. • Es wird entsprechend der Schreibrichtung von links nach rechts gerechnet. ¨ • Der Algorithmus wird nicht abgeschlossen (letzter Ubertrag ist einsam und wird im Ergebnis nicht ber¨ ucksichtigt). • Probleme bei einer Wiederholung der Verfahrens: Bereits notierte Merkziffern werden zum Bestandteil der Aufgabenstellung. Unter Umst¨anden kann ein Durchstreichen aufgrund des Umb¨ undelns beim Abziehverfahren von einem Durchstreichen aufgrund eines Fehlers nicht unterschieden werden. Genauere und mehr differenzierte Beschreibungen der Schwierigkeiten findet man in [?, S. 126,138].
S. Hilger
4
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SS 2011
45
Die schriftliche Multiplikation
4.1
Rechengesetze
Den Normalverfahren zur Multiplikation und Division liegen entscheidend die folgenden beiden Rechengesetze zugrunde: • Das Assoziativgesetz der Multiplikation: AG/M
3 · 600 = 3 · (6 · 100) = (3 · 6) · 100 = 18 · 100 = 1800. • Das Distributivgesetz: (∗)
7 · 23 = 7 · (20 + 3) = (7 · 20) + (7 · 3) = 140 + 21 = 161. Bei Anwendung in der Richtung links → rechts spricht man auch von ,,Ausmultiplizieren”, in der umgekehrten Richtung von ,,Ausklammern”. In dem Ausdruck rechts von (∗) wurden hier bewusst die Klammern gesetzt; aufgrund der (internationalen) Konvention (nicht Rechengesetz!) ,,Punkt vor Strich” k¨onnten sie auch fortgelassen werden. • Das Kommutativgesetz der Multiplikation geh¨ort nicht zum Begr¨ undungsrahmen f¨ ur das schriftliche Verfahren der Multiplikation. Es wird lediglich zur a priori– Vereinfachung einer Aufgabe herangezogen. 205 205} = 1435. | {z· 7} = |7 ·{z schr.
gdkl.
Eine Multiplikation ist im allgemeinen im Kopf (gedanklich) leichter und geschmeidiger auszuf¨ uhren, wenn der erste Faktor kleiner ist als der zweite. F¨ ur die schriftliche Multiplikation ist es dagegen, wie wir sehen werden, g¨ unstiger, wenn der zweite Faktor eine geringere Stellenzahl aufweist als der erste. Die ersten beiden Rechengesetze erm¨oglichen es in Verbindung mit dem Stellenwertsystem wieder, das Multiplizieren mehrstelliger Zahlen auf das Multiplizieren einstelliger Zahlen, eben auf das kleine Ein–Mal–Eins zur¨ uckzuf¨ uhren.
4.2
Schrittweise Erarbeitung
Die Erarbeitung der Multiplikation erfolgt in einer Vielzahl von kleinen aufeinander aufbauenden Schritten. Die st¨andige Einbettung dieser Erarbeitung in eine Abfolge von . . . • zunehmender Komplexit¨at (kein, ein oder mehrere Zehner¨ ubergange), • Repr¨asentationsebenen, • wechselnden Sachbezug, • Einschleifen und Einsicht,
S. Hilger
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46
• Ausnutzung von Rechenvorteilen, • unterschiedlichen Spielformen, ¨ • Zuhilfenahme von Uberschlagsrechnungen wird im folgenden nicht st¨andig (schon wieder) kommentiert. 4.2.1
Vorbereitung
Schritt A1 Vor¨ ubungen bestehen darin, Multiplikationen mit einem einstelligen Faktor im Kopf auszuf¨ uhren 3 · 81
5 · 27
43 · 6
Schritt A2 Multiplikation einer Zahl mit 10 bzw. 100: 12 · 10 = 120
45 · 100 = 4500.
¨ zum Stellenwertsystem einsichtig gemacht Diese Operation muss mit Hilfe von Ubungen werden. Mit der Zeit kann man dazu u ¨bergehen, diese Multiplikationen als ein ,,Anh¨angen entsprechend vieler Nullen” anzusehen. Diese verk¨ urzte Sichtweise mag zwar ein schnelles Ausf¨ uhren dieser Rechenoperationen erm¨oglichen, verblaßt aber die Vorstellung von der unterliegenden Struktur des Dezimal–Stellenwertsystems, so k¨onnen mittel- oder langfristig viele Schwierigkeiten oder Fehleranf¨alligkeiten hervorgerufen werden. Schritt A3 Multiplikation einer Zahl mit Z bzw. H: Es liegt das Assoziativgesetz der Multiplikation zugrunde. (AG)
9 · 70 = 9 · (7 · 10) = (9 · 7) · 10 = 63 · 10 = 630. Schritt 3 Multiplikation einer Zahl ZE oder HZE mit E: Hier kommt das Distributivgesetz zur Geltung: Im Beispiel: 27 · 4 = (20 + 7) · 4 = 20 · 4 + 7 · 4 = 80 + 28 = 108. 4.2.2
Einstellige zweite Faktoren: Die Einzeilen–Multiplikation
Insbesondere bei der Multiplikation einer HZE–Zahl mit E d¨ urfte die Bew¨altigung dieses Verfahrens per Kopfrechnen (eventuell gest¨ utzt durch Sprechen) vielen Sch¨ ulern schwerfallen. Dies liegt vor allem an der notwendigen ,,Speicherung” von Zwischenergebnissen. Deshalb muss zu einer schriftlichen Fixierung — zun¨achst im sogenannten halbschriftlichen Verfahren — u ¨bergegangen werden.
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Schritt B1: Multiplikation einer Zahl HZE mit E: Dies wird zun¨achst ausf¨ uhrlich (zur Einsicht!), dann unter schrittweiser Reduzierung auf das Notwendigste (d.h. unter Fortlassung redundanter Daten), durchgef¨ uhrt. An Beispiel der Aufgabe 235 * 7 erl¨autert, schaut das so aus (Im folgenden steht anstelle des Malpunkts · aus schreibtechnischen Gr¨ unden ein Stern *): 235 * 7 = ---------------200 * 7 = 1400 30 * 7 = 210 5 * 7 = 35 ---------------235 * 7 = 1645
235 * 7 ------1400 210 35 ------1645
235 * 7 ------35 210 1400 ------1645
Die nach der Zerlegung nach dem Distributivgesetz auftretenden Einzelmultiplikationen werden zun¨achst ausf¨ uhrlich notiert. Die Beachtung der Stellenwerte durch rechtsb¨ undiges Anschreiben erleichtert die anschließende Addition der Einzelprodukte. Schritt B2 Die Produktterme werden nicht mehr notiert, da diese Informationen in der Kopfzeile vorhanden sind. Schritt B3 Die Reihenfolge bzgl. der Ziffern des ersten Faktors wird — im Hinblick auf das sp¨ater notwendige rechtsb¨ undige (siehe weitere Bezugnahme durch r) Anschreiben des Produktwerts — vertauscht, das heißt, die einzelnen Multiplikationen werden bzgl. des ersten Faktors von rechts nach links ausgef¨ uhrt. Schritt B4 In jeder der Additionsspalten treten immer nur zwei Ziffern ungleich Null auf. Dies wird noch besser deutlich bei einem komplexeren Beispiel: 542769 * 7 ---------63 420 4900 14000 280000 3500000 ---------3799383 Dies bedeutet aber, dass die abschließende Addition — im Wechsel mit den KleinesEinMalEins–Aufgaben — im Kopf durchgef¨ uhrt werden kann. Man gelangt insgesamt zur Ein–Zeilen–Multiplikation: Sie besteht aus dem fortlaufenden Multiplizieren des (einstelligen) zweiten Faktors mit den Ziffern des ersten Faktors in der Reihenfolge von rechts nach links. Genauer ist dabei f¨ ur jede Ziffer des ersten Faktors diese Abfolge von Teilschritten auszuf¨ uhren: • Man multipliziert den zweiten Faktor mit der aktuellen Ziffer des ersten Faktors und erh¨alt als Ergebnis eine zweistellige Zahl.
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• Dazu addiert man — gegebenenfalls — die Merkziffer aus der vorangegangenen Multiplikation, • notiert die Einerziffer des neuen Ergebnisses • merkt die Zehnerziffer. 235 * 7 ------1645
und
542769 * 7 ---------3799383
r Die Richtung von rechts nach links bzgl. des ersten Faktors erm¨oglicht ein Notieren des Ein–Zeilen–Produkts rechtsb¨ undig genau unter der Ziffer des zweiten Faktors. Dies ist f¨ ur den Ausbau des Verfahrens zum Multiplizieren von zwei mehrstelligen Faktoren zwingend notwendig. Sprechweise: 7 mal 5 gleich 35 / 5 an 3 gemerkt / 7 mal 3 gleich 21 / plus 3 gleich 24 / 4 an 2 gemerkt / 7 mal 2 gleich 14 / plus 2 gleich 16 / 16 an. Es besteht die M¨oglichkeit, die Merkziffern — klein — zwischen den Hauptziffern zu notieren (in den Beispielen: 162 43 5 bzw. 372 91 95 34 86 3). Damit entledigt man sich zwar der Zwischenspeicherung der Merkziffern, die Darstellung wird aber — insbesondere bei der nachfolgenden Multiplikation zweier mehrstelliger Faktoren — sehr un¨ ubersichtlich und damit fehleranf¨allig. Auf diesem Zwischenniveau (einstelliger zweiter Faktor) muss eine Einschleifung durch ¨ l¨angerfristige Ubung erfolgen. 4.2.3
Mehrstellige zweite Faktoren: Die Endform der schriftlichen Multiplikation
Schritt C1 Multiplikation einer Zahl HZE mit Z bzw. H: Hier kommt wieder das Assoziativgesetz zum Tragen: 253 · 600 = 253 · (6 · 100) = (253 · 6) · 100 = 1518 · 100 = 151 800. Bei der schriftlichen Bearbeitung dieses Typs von Aufgaben kann bereits die Notwendigkeit der genauen Beachtung der Stellenwerte (das exakte Untereinanderschreiben) herausgearbeitet werden. Schritt C2 Multiplikation einer Zahl HZE mit HZE: Dies wird mit Hilfe einer stellenweise Zerlegung des 2. Faktors (Multiplikanden) auf die bereits erlernten Techniken zur¨ uckgef¨ uhrt. Anschließend erfolgt wieder eine geeignete Reduzierung des Schreibumfangs. Schritt C3 431 * 243 431 * 200 --------86200
=
431 * (200 + 40 + 3) 431 * 40 -------17240
431 * 3 ------1293
86200 + 17240 + 1293 -------104733
S. Hilger
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SS 2011
Schritt C4 Die Schreibarbeit wird erheblich verringert, wenn man die Summanden f¨ ur die abschließende Addition gleich untereinander angibt: 431 * 243 --------86200 + 17240 + 1293 --------104733
431 * 243 --------862 + 1724 + 1293 --------104733
431 * 243 --------862.. + 1724. + 1293 --------104733
r Hier ist — unausweichlich — auf eine genaue Stellenzuordnung der Summanden zu achten. Die Ein–Zeilen–Produkte m¨ ussen genau rechtsb¨ undig unter die zugeh¨origen Ziffern des zweiten Faktors geschrieben werden. Schritt C5 In der Endform (Mitte) wurden noch die Endnullen weggelassen (Vgl. Anhang ¨ Lehrplan), was die Ubersicht bei der Addition erh¨oht. Eine Alternative besteht noch darin, die Stellenpositionen der Endnullen durch Punkte zu markieren. 4.2.4
¨ Weitere Uberlegungen
• A–priori–Vereinfachung: Kommutativgesetz. • A–priori–Vereinfachung: End–Nullen. ¨ • Uberschlagsrechnen als Test oder Ersatz. • M¨ogliche Fehler.
S. Hilger
5 5.1
Mathematik in der Hauptschule 1
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Die schriftliche Division Division von Z bzw. H durch 10 bzw. 100 120 : 10 = 12
4500 : 100 = 45.
Auch hier sollte diese Operation nicht als ein bloßes Weglassen von Nullen nahegebracht werden.
5.2
Division einer Zahl durch Z bzw. H
Es liegt das Gesetz von der ,,Konstanz des Quotienten bei gleichsinniger Ver¨anderung von Dividend und Divisor” zugrunde. (GlV )
560 : 80 = (56 · 10) : (8 · 10) = 56 : 8 = 7. ¨ Vorsicht: Ein Fehler, der bei Uberbetonung des Operatoraspekts leicht auftreten kann, ist — dargestellt an dem obigen Beispiel: !
560 : 80 = 56 : 8 · 10 = 7 · 10 = 70. Es wurde ein — vermeintlich g¨ ultiges — Assoziativgesetz angewandt.
5.3
Division einer Zahl ZE oder HZE durch E mittels Zerlegung
Hier kommt das Distributivgesetz (der Division) zur Geltung: Im Beispiel: (DG)
639 : 3 = (600 + 30 + 9) : 3 = 600 : 3 + 30 : 3 + 9 : 3 = 200 + 10 + 3 = 213. Anders als bei der Multiplikation kann es passieren, dass nach der Stellenzerlegung die Division nicht mehr ausgef¨ uhrt werden kann: 972 : 4 = (900 + 70 + 2) : 4 = 900 : 4 + 70 : 4 + 2 : 4 =?? Man k¨onnte sich bestenfalls mit Bruchrechnung behelfen. Das ist aber im Hinblick auf die sp¨atere Umsetzung in ein schriftliches Normalverfahren — nicht nur wegen der dann ¨ eintretenden Uberforderung von Grundsch¨ ulern — nicht geeignet. Es ist also eine ver¨anderte Zerlegung in ,,teilbare” Summanden notwendig, beispielsweise: 972 : 4 = (900 + 60 + 12) : 4 = 900 : 4 + 60 : 4 + 12 : 4 = 225 + 15 + 3 = 243. Es tritt aber immer noch das Problem auf, dass nach der Division der Summanden Quotienten auftreten k¨onnen, die keine reinen Zehner- oder Hunderterzahlen sind. Dies ist jedoch im Hinblick auf das sp¨atere schriftliche Verfahren unerw¨ unscht. Die abschließende Addition der Teilergebnisse sollte so angelegt sein, dass in jedem Stellenwert genau ein Beitrag ungleich 0 auftritt. Bei Anwendung einer anderen Zerlegung wird dieses Problem behoben: 972 : 4 = (800 + 160 + 12) : 4 = 800 : 4 + 160 : 4 + 12 : 4 = 200 + 40 + 3 = 243. Hier ist die abschließende Addition ein Kinderspiel, sie kann ,,ziffernweise” erfolgen.
S. Hilger
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Die Zerlegungssummanden (hier: 800, 160, 12) m¨ ussen bei der Division durch 4 reine Hunderter–, Zehner–, (Einer–)Zahlen als Ergebnis hervorbringen. Das bedeutet umgekehrt, dass sie selbst Vielfache von 400, 40 bzw. 4 sein m¨ ussen. Gem¨aß dieser Vorschrift k¨onnte man auch die Zerlegung 972 : 4 = (800 + 120 + 52) : 4 = 800 : 4 + 120 : 4 + 52 : 4 = 200 + 30 + 13 = 243 anwenden. Hier ist aber die abschließende Addition ,,zehner¨ ubergreifend”. Dieses Vorgehen wird vermieden, wenn man nacheinander die gr¨oßtm¨oglichen Vielfachen von 400, 40 bzw. 4 aus der Zahl 972 (subtraktiv) herauszieht. Dies geschieht aber gerade mit Hilfe der ,,Division mit Rest”: 972 : 400 = 2 R 172; 172 : 40 = 4 R 12; 12 : 4 = 3 R 0; ! Man sieht, dass in der Spalte ! auch gleich die Ziffern des endg¨ ultigen Ergebnisses (in der Reihenfolge links → rechts) auftreten. Die Berechnung des Rests in einer Divisionsaufgabe geschieht im wesentlichen durch eine Subtraktion des gr¨oßten enthaltenen Vielfachen. Man rechnet also eigentlich wie folgt: 972 // 400 = 2; 172 // 40 = 4; 12 // 4 = 3;
2 * 400 = 800; 4 * 40 = 160; 3 * 4 = 12;
972 - 800 = 172 172 - 160 = 12 12 - 12 = 0
(Das Rechenzeichen // bedeutet ,,Ganzzahldivision ohne Angabe des Rests”). In jeder Zeile treten Stellenwerte auf, die f¨ ur die eigentliche Berechnung des Ganzteils und des Rests gar keine Rolle spielen. Man kann sie weglassen, sie werden nur hier zur Verdeutlichung noch weiter als Punkte markiert. 9.. // 4.. = 2; 17. // 4. = 4; 12 // 4 3;
2 * 4.. = 8..; 4 * 4. = 16.; 3 * 4 = 12;
9.. - 8.. = 1.. 17. - 16. = 1. 12 - 12 = 0
Die in der zweiten bzw. dritten Zeile neu hinzutretenden Ziffern 7 bzw. 2 sind in dem Ausgangsdividenden 972 gespeichert. Jetzt kann man noch erheblich an Schreibarbeit sparen dadurch, dass man die jeweils zweite Rechnung in jeder Zeile im Kopf durchf¨ uhrt und die Subtraktion rechts in die Spalte ganz links verlagert: 9.. // 4.. = 2 - 8.. --17. // 4. = 4 - 16. ---12 // 4 = 3 - 12 ---0
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Eine weitere Verringerung des Schreibaufwands ergibt sich durch Weglassen der // 4– Operationen, die Ergebnisse dieser Operationen werden in der Kopfzeile nacheinander notiert. Das // 4 in der Kopfzeile wird wieder durch das : 4 ersetzt, da dies die eigentliche Aufgabenstellung ist. Weiter werden die Punkte weggelassen und zugleich die Zahl 972 in der Kopfzeile ausgeschrieben. Da die beiden Ziffern als Informationen f¨ ur die dritte, f¨ unfte usw. Zeile gebraucht werden (Herunterholen). Diese Zahl ist aber sowieso Bestandteil der Aufgabenstellung. 972 : 4 = 243 - 8 --17 - 16 ---12 - 12 ---0 ¨ Dieses Verfahren muss abermals durch langandauernde Ubung bis zur Einschleifung beherrscht werden. In dem Beispiel 1972 : 4 tritt ein Sonderfall auf, n¨amlich der, dass man bei strenger Durchf¨ uhrung des obigen Algorithmus als erstes die Rest–Division 1 : 4 = 0 R 1 durchf¨ uhren m¨ usste: 1972 : 4 = 0493 - 0 --19 - 16 ---37 - 36 ---12 - 12 ---0
1972 : 4 = 493 - 16 ---37 - 36 ---12 - 12 ---0
Auf der rechten Seite wurde die erste Division mit dem Ganzteil–Ergebnis 0 gar nicht dargestellt, da dies v¨ollig u ussig ist. Es wird sogleich die Division 19 : 4 durchgef¨ uhrt. ¨berfl¨ Um zu vermeiden, dass bei der n¨achsten Division die zweite Ziffer 9 versehentlich nach unten geholt wird, kann man die beiden Ziffern 1 und 9 durch einen kleinen Bogen gekennzeichnet.
S. Hilger
Mathematik in der Hauptschule 1
SS 2011
53
Beachte aber, dass ein Auftreten der Null als Quotient im weiteren Verlauf des Divisionsalgorithmus nicht einfach ,,unterschlagen” werden darf. 4832 : 4 = 1208 - 4 ^ --| 08 - 8 ---03 - 0 ---32 - 32 ---0
S. Hilger
5.4 5.4.1
Mathematik in der Hauptschule 1
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SS 2011
Division bei mehrstelligen Divisoren Division einer Zahl ZE oder HZE durch Z bzw. H
Hier kommt wieder das Gesetz der Konstanz des Quotienten bei gleichsinniger Ver¨anderung von Dividend und Divisor zum Tragen: GV
680 : 40 = (68 · 10) : (4 · 10) = (68 : 4) = 17. 5.4.2
Division einer Zahl HZE durch ZE
Anders als an der entsprechenden Stelle bei der Multiplikation, kann hier keine Zerlegung des Divisors in Summanden erfolgen. Dies liegt daran, dass im allgemeinen bez¨ uglich des Divisors das Distributivgesetz nicht gilt, wie durch das Gegen–Beispiel !
36 : 6 = 36 : (4 + 2) = 36 : 4 + 36 : 2 = 9 + 18 = 27 aufgezeigt wird. Deshalb bleibt nichts anderes u ¨brig, als das obige Verfahren entsprechend anzuwenden. Man bemerkt, dass es hier nicht mehr m¨oglich ist, die Berechnungen allein mit dem kleinen Einmaleins auszuf¨ uhren. So ist beispielsweise bei der Division durch 13 die — irgendwie geartete Pr¨asenz (Auswendig, schnell aufgeschrieben, u ¨berschlagsgerechnet) 13er–Einmaleins notwendig. 69511 : 13 = 5347 - 65 -45 - 39 -61 - 52 -91 91 --
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6
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Teilbarkeitslehre
Hier begegnen die Sch¨ uler zum ersten Mal einem mathematischen Konzept, das im Alltag nicht st¨andig pr¨asent ist. Ein Teil der Sch¨ uler empfindet die Algorithmen und Gesetze als u uren in diesem Teilgebiet ein wenig von der ,,Sch¨onheit der ¨berraschend, sie sp¨ Mathematik”. Deshalb geht davon eine vergleichsweise hohe intrinsische Motivation aus. Voraussetzungen: Die unendliche Menge N0 der nat¨ urlichen Zahlen mit der totalen Ordnung ≤ und den Verkn¨ upfungen + und ·.
6.1
Grundbegriffe — Strukturregeln
Eine Zahl m ∈ N0 heißt Teiler der Zahl n ∈ N0 , wenn es ein k ∈ N0 gibt mit k · m = n. n heißt dann auch Vielfaches von m und k Komplement¨arteiler. • Man schreibt und spricht m|n
oder
mvn
m teilt n
oder
m ist Teiler von n
• Wir haben in der Definition f¨ ur alle drei beteiligten Zahlen in Kauf genommen, dass sie Null sein k¨onnen. Bei der Formulierung von S¨atzen zur Teilbarkeit muss man hinsichtlich dieses Sonderfalls Vorsicht walten lassen. Beispielsweise ist die Implikation m | n =⇒ m ≤ n f¨ ur den Fall n = 0 nicht richtig. • Eine Definition der Teilbarkeit u ¨ber ,,ohne Rest teilbar” o.¨a. ist nicht so vorteilhaft. Sowohl bei bestimmten Sonderf¨allen (bei Auftreten der von 0) als auch beim mathematischen Argumentieren ger¨at man leicht in Schwierigkeiten. • Die Teilbarkeitsrelation ist die durch n o R| = Rv = (m, n) ∈ N0 × N0 m | n gegebene Teilmenge von N0 × N0 . Die gespiegelte Relation n o Rw = (n, m) ∈ N0 × N0 m | n heißt Vielfachenrelation. • Die h¨ohermathematische Notation mit den eckigen Relationszeichen l¨aßt bereits eine gewisse Dualit¨at zwischen den Begriffen Teilbarkeit und Vielfachheit vermuten. Diese Dualit¨at wird in der mathematischen Verbandstheorie (vgl. unten) aufgearbeitet. F¨ ur eine feste Zahl n werden definiert die Teiler- und Vielfachenmengen n o n o Tn := m ∈ N0 m | n und Vn := m ∈ N0 n | m Ein erster Unterschied hinsichtlich der oben angesprochenen Dualit¨at ergibt sich in der Feststellung, dass |Tn | < ∞
und
|Vn | = ∞
f¨ ur alle n ∈ N = N0 \{0}.
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SS 2011
Satz 2 (Eigenschaften der Teilbarkeit) 1. Die Teilbarkeitsrelation ist eine Halbordnung, d.h. sie ist • reflexiv: n | n f¨ ur alle n ∈ N0 , • antisymmetrisch: Aus m | n und n | m folgt m = n f¨ ur alle m, n ∈ N0 , • transitiv: Aus ` | m und m | n folgt ` | n f¨ ur alle `, m, n ∈ N0 . 2. F¨ ur alle n ∈ N0 gilt: n | 0,
0|n
=⇒
n = 0.
n|1
=⇒
n = 1.
3. F¨ ur alle n ∈ N0 gilt: 1 | n,
4. (Vertr¨aglichkeit mit algebraischen Strukturen) F¨ ur alle m, m1 , m2 , n1 , n2 , k1 , k2 ∈ N0 gilt m | n1
m | n2
und
m | n1 + n2
=⇒
und m 1 | n1
m2 | n2
und
m1 · m2 | n1 · n2 .
=⇒
5. F¨ ur alle m, n ∈ N0 \{0} gilt: m|n
=⇒
m ≤ n.
Ganz allgemein k¨onnen Halbordnungen auf endlichen Mengen in sogenannten Hasse– Diagrammen dargestellt werden: Besteht die Relation m | n, so wird im Diagramm m unterhalb von n angeordnet und, falls nicht noch ein ` mit m | ` | n existiert, ein Strich von m nach n gezogen.
100
24 @ @
8 @ @
20
12 @ @
4 @ @
@ @
4
6 @ @
2 @ @
3
1
50
@ @
@ @
10
@ @
25
@ @
2 @ @
5
1
Fragen: Wie schaut das Hasse–Diagramm aus einer . . . • Primzahl, • Potenz einer Primzahl, • Quadratzahl?
210..........
......... ....... .. ....... .... ....... . . . . . . . ...... ...
2
3
... ....... ....... .. ....... ....... .... ....... ... ..... .
1
... ........ ....... ... ....... ... ....... .. ....
5
. .... ....... ... ....... ... ....... ... ........ .. .......
7
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6.2 6.2.1
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Teilbarkeitstests innerhalb des dekadischen Stellenwertsystems Endstellenregeln
a) Teilbarkeit durch 2, 4, 8, 16, . . . , 2k (k ∈ N): Eine nat¨ urliche Zahl ist genau dann durch 2k teilbar, wenn die aus den letzten k Ziffern dieser Zahl gebildete Zahl durch 2k teilbar ist. b) Insbesondere ist eine nat¨ urliche Zahl durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist. b) Teilbarkeit durch 5, 25, 125, . . . , 5k (k ∈ N): Eine nat¨ urliche Zahl ist genau dann durch 5k teilbar, wenn die aus den letzten k Ziffern dieser Zahl gebildete Zahl durch 5k teilbar ist. c) Aus diesen ersten beiden Teilbarkeitsregeln lassen sich weitere Regeln f¨ ur die Teilbarkeit durch 10, 20, 40, 50, (Allgemein: Zahlen mit Primfaktoren 2 und 5) herleiten. d) Insbesondere Teilbarkeit durch 10, 100, 1000, . . . , 10k (k ∈ N): Eine nat¨ urliche Zahl ist genau dann durch 10k teilbar, wenn die letzten k Ziffern Nullen sind. 6.2.2
Quersummenregeln
Unter der Quersumme einer Zahl (in dekadischer Zahldarstellung) versteht man die Summe ihrer Ziffern. a) Teilbarkeit durch 3: Eine nat¨ urliche Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. b) Teilbarkeit durch 9: Eine nat¨ urliche Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Begr¨ undung: Hat die gegebene Zahl z die Zifferndarstellung z = a` a`−1 . . . a1 a0
(` Ziffern) ,
so ist ihre Quersumme q = a` + a`−1 + . . . + a1 + a0 . Wir bilden die Differenz von Zahl und Quersumme und rechnen ein bißchen herum: z−q = = = =
a` a`−1 . . . a1 a0 − (a` + a`−1 + . . . + a1 + a0 ) a` · 10` + a`−1 · 10`−1 + . . . + a1 · 101 + a0 − (a` + a`−1 + . . . + a1 + a0 ) a` · (10` − 1) + a`−1 · (10`−1 − 1) + . . . + a1 · (101 − 1) . . 99} + . . . + a1 · 9 a` · 99 . . 99} + a`−1 · |99 .{z | .{z ` Stellen
(` − 1) Stellen
Insgesamt ist also die Differenz der Zahl und ihrer Quersumme eine durch 9 teilbare Zahl. Deshalb haben Zahl und Quersumme die gleichen Reste bei einer Division durch 3 bzw. 9. Insbesondere sind beide Zahlen oder keine der beiden Zahlen durch 3 bzw. 9 teilbar.
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6.2.3
Wechselsummenregel
6.2.4
Regel fu ¨ r Teilbarkeit durch 7
Leider ist die Regel etwas komplizierter als die Regeln f¨ ur die Teilbarkeit einer Zahl durch 10,100,1000, . . . ,2,4,8,. . . ,5,25,125,. . . , 3,9 oder 11. G¨ unstig ist es, wenn man einen kleinen Notizzettel zu Hilfe nimmt. Schreibe die Anfangs–Zahl auf! Bilde eine neue Zahl mit weniger Stellen nach der folgenden Regel: 1. Streiche die Einerziffer einfach weg! 2. Ziehe dann diese Einerziffer ab! 3. Ziehe diese Einerziffer noch einmal ab! F¨ uhre diesen Dreierschritt mehrmals so lange aus, bis eine zweistellige Zahl entstanden ist. Wir nennen diese Zahl dann die End–Zahl. Wenn die End–Zahl durch 7 teilbar ist, dann ist auch die Anfangs–Zahl durch 7 teilbar. Wenn die End–Zahl nicht durch 7 teilbar ist, dann ist auch die Anfangs–Zahl nicht durch 7 teilbar. Daf¨ ur sollte man die zweistelligen 7er–Zahlen kennen: 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98. Beispiel: Ist die Zahl 259 durch 7 teilbar? 1
2
3
259 −→ 25 −→ 16 −→ 7 Die Zahl 259 ist also durch 7 teilbar. Beispiele: Ist die Zahl 25606 durch 7 teilbar? 1
2
3
25606 −→ 2560 −→ 2554 −→ 2548 1 2 3 2548 −→ 254 −→ 246 −→ 238 1 2 3 238 −→ 23 −→ 15 −→ 7 Die End–Zahl ist eine 7, also ist die Anfangs–Zahl durch 7 teilbar. Beispiel: Ist die Zahl 36935 durch 7 teilbar? 1
2
3
36935 −→ 3693 −→ 3688 −→ 3683 1 2 3 3683 −→ 368 −→ 365 −→ 362 1 2 3 362 −→ 36 −→ 34 −→ 32 Da 32 nicht durch 7 teilbar ist, ist 36935 auch nicht durch 7 teilbar.
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Ist 4 048 247 durch 7 teilbar? 4048247 404810 40481 4046 392
1
2
3
−→ 404824 −→ 404817 −→ 404810 1 2 3 −→ 40481 −→ 40481 −→ 40481 1 2 3 −→ 4048 −→ 4047 −→ 4046 1 2 3 −→ 404 −→ 398 −→ 392 1 2 3 −→ 39 −→ 37 −→ 35
Die End–Zahl ist durch 7 teilbar, also ist auch die Anfangszahl 4 048 247 durch 7 teilbar.
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6.3
Mathematik in der Hauptschule 1
60
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Primzahlen
Beachte: In der Hauptschule unbekannt. Bei Addition und Subtraktion wird der Hauptnenner durch sukzessives Erweitern gewonnen. 6.3.1
Begriffe
Eine Zahl n ∈ N0 heißt Primzahl, wenn sie genau zwei (verschiedene) Teiler hat. • Die Menge aller Primzahlen wird mit P bezeichnet. • In der obigen Definition ist die Null als ,,keine Primzahl” erfasst, was aber nicht so klar einsichtig ist. • In den Definitionen ist die Grundmenge N0 , obwohl im Nachhinein klar wird, dass 0 keine Primzahl ist. Dies geschieht also aus ,,Gleichm¨aßigkeitsgr¨ unden”: Man sollte nicht jedes Mal u ussen, ob die Grundmenge N oder N0 ist. ¨berlegen m¨ • Die Primzahldefinition mutet etwas umst¨andlich an. Anschaulicher ist die ,,klassische Definition”: Eine Zahl in N0 heißt Primzahl, wenn sie nur 1 und sich selbst als Teiler hat. Die Zahl 1 muß als Primzahl explizit ausgeschlossen werden, da sie dieser Definition gen¨ ugt, aber aus Zweckm¨aßigkeitsgr¨ unden nicht als solche gelten soll. 6.3.2
Die wichtigsten S¨ atze u ¨ ber Primzahlen
Satz 3 Jede nat¨ urliche Zahl n > 2 ist auf genau eine Weise (abgesehen von der Reihenfolge der Faktoren) als ein Produkt von Primzahlen darstellbar. m` m2 1 n = pm 1 · p2 · . . . · p `
mit
p1 , p2 , . . . , p` ∈ P,
m1 , m2 , . . . , m` ∈ N.
Beweis Das bekannte Argument Primzahl p teilt Produkt a · b
=⇒
p teilt einen der Faktoren a oder b
darf hier nicht verwendet werden; es beruht gerade auf diesem Satz. Wir f¨ uhren den Beweis durch Induktion u ¨ber n. Induktionsanfang n = 2: Diese Zahl besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung (PFZ): 2=2 Induktionsschluß n → n + 1: Hier d¨ urfen wir als Induktionsvoraussetzung (IndV) die Tatsache benutzen, daß jede nat¨ urliche Zahl ≤ n eine eindeutige PFZ besitzt. 1. Fall: n + 1 ist eine Primzahl, in diesem Fall ist die PFZ gerade n + 1 = n + 1; da n + 1 keine Teiler besitzt, ist die PFZ eindeutig. 2. Fall: n + 1 ist keine Primzahl. Dann gibt es zwei Zahlen k, l ∈ N mit 2 ≤ k, l ≤ n, so daß n + 1 = k · l. Nach IndV besitzen k und l PFZen, also besitzt auch n + 1 eine.
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Es bleibt noch zu beweisen, daß die PFZ auch eindeutig ist: Dazu nehmen wir an, es g¨abe zwei verschiedene PFZen f¨ ur n + 1, d.h. wir k¨onnen schreiben: p1 · p2 · . . . · ps = n + 1 = q1 · q2 · . . . · qt
(∗)
mit Primzahlen pi , qj ; wobei irgendeiner der Faktoren pi — sagen wir pk , k ∈ {1, . . . , s} fest — nicht unter den Faktoren qj vorkommt. Entscheidend ist jetzt die Gleichung pk · (
n+1 − q2 · . . . · qt ) = (q1 − pk ) · q2 · . . . · qt , pk
deren Richtigkeit durch Ausmultiplizieren festgestellt werden kann. Der Betrag des Produkts auf der rechten Seite der Gleichung ist kleiner als n + 1, besitzt somit gem¨aß IndV eine eindeutige PFZ. Es gilt also pk · (
n+1 − q2 · . . . · qt ) = r1 · . . . · rn ·q2 · . . . · qt , | {z } pk q1 −pk
wobei r1 , . . . , rn Primzahlen sind. pk und q1 sind verschiedene Primzahlen, woraus folgt, dass pk 6 | (q1 − pk ). Das bedeutet, dass die Primzahl pk nicht als Faktor unter den r1 , . . . , rn sein kann, sie muß also in dem Produkt q2 · . . . · qt auftreten. Das steht aber im Widerspruch zu der Annahme (∗). Beachte, dass der obige√Satz entscheidend in die Argumentation beim (Standard–)Beweis der Irrationalit¨at von 2 eingeht. Satz 4 (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis Wir nehmen an, es g¨abe nur r verschiedene Primzahlen p1 , p2 , . . . . . . , pr . Wir bilden die Zahl n = p1 · p2 · . . . · pr Dann kann die Zahl n + 1 keine Primzahl sein, sie besitzt also eine PFZ, in der eine der Primzahlen pi — sagen wir pk — vorkommen muß. Somit kommt pk in den PFZen von n und von n + 1 vor. Das ist ein Widerspruch und wir m¨ ussen unsere eingangs gemachte Annahme verwerfen. < Episode Wagenschein > Satz 5 (Einfacher Primzahltest) Eine Zahl n ∈ N ist genau dann Primzahl, wenn sie keinen Primteiler ( = Teiler, der eine Primzahl ist) p mit p2 ≤ n besitzt. Das heißt, um eine nat¨ urliche Zahl auf ihre Primeigenschaft hin zu u ufen, muß man ¨berpr¨ sie nicht ugt die Division durch alle Primzahlen √ durch alle kleineren Zahlen teilen. Es gen¨ p ≤ n.
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Beweis (1. Richtung) n sei Primzahl; dann besitzt n keine echten Primteiler p, schon gar keine mit p2 ≤ n. (2. Richtung) n sei keine Primzahl =⇒ n besitzt dann eine PFZ mit zwei oder mehr Faktoren. Das Quadrat eines dieser Faktoren muß ≤ n sein. Beispiel: Ist 797 eine Primzahl? 2 6 | 797 3 6 | 797 5 6 | 797 7 6 | 797 11 6 | 797 13 6 | 797 17 6 | 797 19 6 | 797 23 6 | 797 2 29 = 841 > 797
=⇒
797 ist Primzahl
In der Schule l¨asst sich der Beweis anhand von mehreren Beispielen sehr plausibel machen: 35 143 6 49 24
= = = = =
5·7 11 · 13 2·3 7·7 2·2·2·3
Quadriert man den kleinsten Primteiler, so muss das Produkt kleiner oder gleich der gegebenen Zahl sein (Es schwebt — unausgesprochen oder oft ausgesprochen — der Begriff der Wurzel im Raum).
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Primzahltest: Satz 6 (Einfacher Primzahltest) Eine Zahl n ∈ N ist genau dann Primzahl, wenn sie keinen Primteiler p mit p2 ≤ n besitzt. Das heißt, um eine nat¨ urliche Zahl auf ihre Primeigenschaft hin zu u ufen, muß man ¨berpr¨ sie nicht durch alle kleineren Zahlen teilen. Es gen¨ u gt die Division durch alle Primzahlen √ p ≤ n. Schulformulierung: Eine Zahl N ist eine Primzahl, wenn unter allen Primzahlen, deren Quadrat kleiner als die Zahl N ist, kein Teiler ist. Deshalb: Q Welches ist die n¨achstgr¨oßere Quadratzahl und deren Wurzel. P Welche Primzahlen sind kleiner als die Wurzel? T Sind diese Primzahlen Teiler? E Ergebnis: Beispiele: Wir wollen testen, ob 79 eine Primzahl ist. Q 81 ist die n¨achstgr¨oßere Quadratzahl, 9 ist die Wurzel. P 2, 3, 5, 7 sind die kleineren Primzahlen. T Alle diese Primzahlen sind keine Teiler. E 79 ist eine Primzahl. Ist 319 eine Primzahl? Q 324 ist die n¨achstgr¨oßere Quadratzahl, 18 ist die Wurzel. P 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 sind die kleineren Primzahlen. T 11 ist ein Teiler: 319 = 11 · 29. E 319 ist keine Primzahl. Weitere Beispiele: 141 = 3 · 47, 143 = 11 · 13 147 = 3 7 · 7, 323 = 17 · 19, 319 = 11 · 29, 317 = 317 797 = 797 Buch S. 20/21
149 = 149
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6.3.3
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Das Sieb des Eratosthenes
Die Zahlen von 1 . . . . . . n (Hier: n = 504) werden nacheinander aufgeschrieben. 1. Die 1 wird weggestrichen. 2. Dann sucht man nacheinander die Primzahlen p = 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . heraus und • markiert jeweils diese Primzahl p
und
• streicht dann die Echt–Vielfachen k · p, k ≥ 2, dieser Primzahl p weg. 3. Dieses Verfahren wird beendet, sobald das Quadrat p2 der aktuellen√Primzahl die Maximalzahl n u ¨berschritten hat (Dies ist gleichbedeutend mit p > n). Es bleiben dann nur Primzahlen u ¨brig. (Beachte, dass sie nicht alle bei der Markierung aus Schritt 2 erfasst werden.) G¨ unstig ist eine Rechteck–Anordnung (beispielsweise Breite 12), da dann die zu streichenden Zahlen auf Geraden angeordnet sind. Das Verfahren hat gegen¨ uber dem ,,Einfachen Primzahltest” den Vorteil, dass alle Primzahlen in einer gegebenen Menge herausgefunden werden. F¨ ur das Testen einer einzigen gegebenen Zahl n ist es zu aufw¨andig.
S. Hilger
1 13 25 37 49 61 73 85 97 109 121 133 145 157 169 181 193 205 217 229 241 253 265 277 289 301 313 325 337 349 361 373 385 397 409 421 433 445 457 469 481 493
Mathematik in der Hauptschule 1
2 14 26 38 50 62 74 86 98 110 122 134 146 158 170 182 194 206 218 230 242 254 266 278 290 302 314 326 338 350 362 374 386 398 410 422 434 446 458 470 482 494
3 15 27 39 51 63 75 87 99 111 123 135 147 159 171 183 195 207 219 231 243 255 267 279 291 303 315 327 339 351 363 375 387 399 411 423 435 447 459 471 483 495
4 16 28 40 52 64 76 88 100 112 124 136 148 160 172 184 196 208 220 232 244 256 268 280 292 304 316 328 340 352 364 376 388 400 412 424 436 448 460 472 484 496
65
SS 2011
5 17 29 41 53 65 77 89 101 113 125 137 149 161 173 185 197 209 221 233 245 257 269 281 293 305 317 329 341 353 365 377 389 401 413 425 437 449 461 473 485 497
6 18 30 42 54 66 78 90 102 114 126 138 150 162 174 186 198 210 222 234 246 258 270 282 294 306 318 330 342 354 366 378 390 402 414 426 438 450 462 474 486 498
7 19 31 43 55 67 79 91 103 115 127 139 151 163 175 187 199 211 223 235 247 259 271 283 295 307 319 331 343 355 367 379 391 403 415 427 439 451 463 475 487 499
8 20 32 44 56 68 80 92 104 116 128 140 152 164 176 188 200 212 224 236 248 260 272 284 296 308 320 332 344 356 368 380 392 404 416 428 440 452 464 476 488 500
9 21 33 45 57 69 81 93 105 117 129 141 153 165 177 189 201 213 225 237 249 261 273 285 297 309 321 333 345 357 369 381 393 405 417 429 441 453 465 477 489 501
10 22 34 46 58 70 82 94 106 118 130 142 154 166 178 190 202 214 226 238 250 262 274 286 298 310 322 334 346 358 370 382 394 406 418 430 442 454 466 478 490 502
11 23 35 47 59 71 83 95 107 119 131 143 155 167 179 191 203 215 227 239 251 263 275 287 299 311 323 335 347 359 371 383 395 407 419 431 443 455 467 479 491 503
12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 252 264 276 288 300 312 324 336 348 360 372 384 396 408 420 432 444 456 468 480 492 504
S. Hilger
6.3.4
Mathematik in der Hauptschule 1
66
SS 2011
Exkurs: Das GIMPS Projekt
Am GIMPS–Projekt (Great Internet Mersenne Prime Search) beteiligen sich rund 130 000 Freiwillige in aller Welt, die ihren Computer w¨ahrend der ungenutzten Zeit mit der Suche nach Mersenne’schen Primzahlen besch¨aftigen. Mersenne’sche Primzahlen haben die Form 2p − 1,
mit p ∈ P.
Zusammengenommen ist die Rechenleistung des Netzes ungef¨ahr so hoch, wie die der derzeit besten Supercomputer. Dabei versorgt ein zentraler Server, Primenet, alle Beteiligten mit potenziellen Primzahl–Kandidaten, die es zu u ufen gilt. ¨berpr¨ Es konnten bisher die folgenden Erfolge verbucht werden: Nr 39 40 41 42 43 44
Nachweis 14.11.2001 2003/04 07.06.2004 18.02.2005 15.12.2005 04.09.2006
p = Ziffernzahl 13.466.917 ca. 4 Mio. 20.996.011 ca. 6 Mio. 24.036.583 ca. 7,2 Mio. 25.964.951 ca. 7,8 Mio. 30.402.457 9.152.052 32.582.657 9.808.358
Aktuelle Informationen finden Sie auf http://www.mersenne.org/
6.4
Der gr¨ oßte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache
Die Kenntnisse und Fertigkeiten im Zusammenhang mit diesen Begriffen spielen eine große Rolle in der Bruchrechnung der 6. Jahrgangsstufe. 6.4.1
Begriffe
F¨ ur endlich viele nat¨ urliche Zahlen n1 , n2 , . . . , n` (ungleich Null!) heißt die • gr¨oßte Zahl in der Menge T = Tn1 ∩ Tn2 ∩ . . . ∩ Tn` der gr¨oßte gemeinsame Teiler von n1 , n2 , . . . , n` . Bezeichnung: ggT(n1 , n2 , . . . , n` ). Die Zahlen n1 , n2 , . . . , n` heißen teilerfremd, wenn ggT(n1 , n2 , . . . , n` ) = 1. • kleinste Zahl in der Menge V = Vn1 ∩Vn2 ∩. . .∩Vn` das kleinste gemeinsame Vielfache von n1 , n2 , . . . , n` . Bezeichnung: kgV(n1 , n2 , . . . , n` ).
S. Hilger
6.4.2
Mathematik in der Hauptschule 1
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SS 2011
Der Euklidische Algorithmus
Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus kann der ggT zweier Zahlen ohne Primfaktorzerlegung berechnet werden. Man f¨ uhrt, wie im folgenden Beispiel fortlaufend Divisionen mit Rest durch bis der Rest Null auftritt. Es soll der ggT von 2226 und 588 berechnet werden. 2226 : 588 588 : 462 462 : 126 126 : 84 84 : 42
= = = = =
3 1 3 1 2
R R R R R
bzw. 2226 = 3 · 588 + 462
462 126 84 42 0
Tritt der Rest Null ein, so ist der Algorithmus abzubrechen. Der Rest bei der Division unmittelbar vorher ist der gesuchte ggT (im Beispiel: 42). 6.4.3
Berechnung von ggT und kgV mittels PFZ
Theorem 7 (PFZ) Es seien m, n ∈ N und {p1 , p2 , . . . , p` } die Menge aller Primfaktoren aus den Zerlegungen von m oder n. Es sei m = pr11 · pr22 · . . . · pr` ` , n = ps11 · ps22 · . . . · ps` ` . (Es gilt ri = 0 bzw. si = 0, falls pi nicht in der PFZ von m bzw. n vorkommt.) Dann gilt: min{r2 ,s2 }
min{r1 ,s1 }
· p2
max{r1 ,s1 }
· p2
ggT(m, n) = p1 kgV(m, n) = p1
min{r` ,s` }
· . . . · p`
max{r2 ,s2 }
,
max{r` ,s` }
· . . . · p`
.
Der Satz kann problemlos f¨ ur die Berechnung von ggT und kgV f¨ ur mehr als zwei Argumente verallgemeinert werden. Eine interessante, weil gar nicht so selbstverst¨andliche, Folgerung ergibt sich hier: F¨ ur zwei Zahlen m, n ∈ N gilt: ggT(m, n) · kgV(m, n) = m · n. Es gilt n¨amlich f¨ ur die Exponenten der Primfaktoren pi auf beiden Seiten min(ri , si ) + max(ri , si ) = ri + si . F¨ ur die schulpraktische Umsetzung des sich aus dem Satz ergebenden Algorithmus kann man — beispielsweise — wie folgt vorgehen: 1. Primfaktorzerlegung einer Zahl. 72 | 36 | 18 | 9 | 3 | 1 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | Der zugeh¨orige Algorithmus lautet S1 Schreibe die vorgegebene Zahl in der ersten Zeile links an!
S. Hilger
Mathematik in der Hauptschule 1
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S2 Suche einen (wahlweise: den kleinsten) Primteiler und schreibe ihn unterhalb in der zweiten Zeile an! S3 Dividiere und schreibe den Quotienten in der ersten Zeile in die n¨achste Spalte! S4 Wenn der Quotient nicht 1 ist, fahre mit Schritt 2 fort! Wenn der Quotient 1 ist, steht die PFZ in der zweiten Zeile! Wegen der (sonst eigentlich nicht so u ¨blichen) horizontalen Anordnung wirkt die Bruchidee in den einzelnen Spalten. 2. Berechnung von ggT und kgV. Schreibe die PFZen untereinander. Dabei ist es sehr g¨ unstig, wenn gleiche Primfaktoren genau untereinander stehen. Im Beispiel: 72 = 23 · 32 · · · 420 = 22 · 3 · 5 · 7 · 156 = 22 · 3 · · · 13 ggT = 22 · 31 · 50 · 70 · 130 = 12 kgV = 23 · 32 · 51 · 71 · 131 = 32760 Berechnung des ggT: F¨ ur jede vorkommende Primzahlpotenz wird der minimale Exponent (die kleinste Hochzahl) ausgew¨ahlt. Wenn ein Primfaktor dabei ist, der in einer der PFZen nicht vorkommt, so bedeutet das, dass er auch im ggT nicht vorkommt. (Er kann dann gleich weggelassen werden; Die Hochzahl Null stellt sich in der f¨ unften Klasse als noch sehr abstrakt dar.) Berechnung des kgV: F¨ ur jede vorkommende Primzahlpotenz wird der maximale Exponent (die gr¨oßte Hochzahl) ausgew¨ahlt. Wenn ein Primfaktor dabei ist, der in einer der PFZen nicht vorkommt, so spielt das keine Rolle, es wird dann einfach die gr¨oßte Hochzahl aus den anderen Zeilen ermittelt. Die Kenntnis des Algorithmus bedeutet nicht, dass andere kognitive Leistungen (Kopfrechnen, Intuition, Ged¨achtnis, Beherrschung der Einmaleins–S¨atze) ausgeklammert werden sollen, ganz im Gegenteil: Bei der Bruchrechnung sollte man sich nicht st¨andig mit der Ausf¨ uhrung dieses Algorithmus aufhalten m¨ ussen. Die Beispiele sind dann aber auch meist mit kleineren Zahlen (im Nenner) konstruiert. 6.4.4
Kontextfelder fu ¨ r ggT, kgV
Gr¨oßter gemeinsamer Teiler: • Auslegung eines Rechtecks durch quadratische Platten. • Eine Sorte Briefmarken f¨ ur zwei verschiedene Frankierungen. Kleinstes gemeinsames Vielfaches: • Koinzidenzsituationen – Gegen¨ uberstehen von R¨adern oder Zahnr¨adern,
S. Hilger
Mathematik in der Hauptschule 1
SS 2011
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– Aufeinanderschichtung von unterschiedlich hohen Steinen – Runden beim Autorennen. • Bildung von Hauptnennern zum Gr¨oßenvergleich, Addieren, Subtrahieren von Br¨ uchen.
S. Hilger
7
Mathematik in der Hauptschule 1
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SS 2011
Anhang
7.1
Fachw¨ orter bei den Grundrechenarten
• Addition — Addieren zu (Zusammenz¨ahlen) 1. Summand
2. Summand
Summenwert
z}|{ z}|{ 12 + 4 }= | {z
z}|{ 16
Summe
• Subtraktion — Subtrahieren (Abziehen, Wegnehmen) von Minuend
Subtrahend
Differenzwert
z}|{ z}|{ 12 − {z 4 } = |
z}|{ 8
Differenz
• Multiplikation — Multiplizieren (Malnehmen) mit 1. Faktor
Produktwert
2. Faktor
z}|{ z}|{ · 4 }= | 12 {z
z}|{ 48
Produkt
• Division — Dividieren (Teilen) durch Dividend
Quotientenwert
Divisor
z}|{ z}|{ | 12 {z: 4 } =
z}|{ 3
Quotient
• Potenz — Potenzieren (,,Hochnehmen”) mit Basis/Grundzahl
Exponent/Hochzahl
z}|{ 12
z}|{ 4
|
↑ {z
Potenz
Potenzwert
z }| { = 20736 }
S. Hilger
7.2
Mathematik in der Hauptschule 1
71
SS 2011
Relationen in einer Menge
Es sei wieder M eine Menge. Im folgenden sind m¨ogliche Eigenschaften einer solchen Relation aufgelistet. Eine Relation R in einer Menge M heißt . . . • reflexiv, wenn f¨ ur alle x ∈ M gilt:
(x, x) ∈ R.
• symmetrisch, wenn f¨ ur alle x ∈ M, y ∈ M die folgende Implikation gilt: (x, y) ∈ R =⇒ (y, x) ∈ R. (∗ Das heißt: Nur wenn (x, y) ∈ R ist, muß auch (y, x) ∈ R sein. ∗) • transitiv, wenn f¨ ur alle x ∈ M, y ∈ M, z ∈ M die folgende Implikation gilt: (x, y) ∈ R und =⇒ (x, z) ∈ R (y, z) ∈ R • irreflexiv, wenn f¨ ur alle x ∈ M gilt:
(x, x) ∈ / R.
• antisymmetrisch, wenn f¨ ur alle x ∈ M, y ∈ M mit x 6= y h¨ochstens eine der beiden folgenden Aussagen wahr ist: (x, y) ∈ R
(y, x) ∈ R
• total, wenn f¨ ur alle x, y ∈ M mindestens eine der beiden folgenden Aussagen wahr ist: (x, y) ∈ R
(y, x) ∈ R
¨ • Aquivalenzrelation, wenn sie • Halbordnung, wenn sie
reflexiv, symmetrisch und transitiv
reflexiv, antisymmetrisch und transitiv
• lineare (oder totale) Ordnung, wenn sie ist. • strenge Halbordnung, wenn sie
ist. ist.
eine Halbordnung und zus¨atzlich total
irreflexiv, antisymmetrisch und transitiv
• strenge lineare Ordnung, wenn sie eine
strenge Halbordnung und total
ist. ist.
S. Hilger
7.3
Mathematik in der Hauptschule 1
72
SS 2011
Aufstellung von Rechengesetzen
Es sei M eine Menge, deren Elemente in diesem Zusammenhang Zahlen heißen. Auf M sind zwei Operationen (= Verkn¨ upfungen) definiert: ⊕:M ×M →M ⊕ heißt: plus Die Addition heißt: mal Die Multiplikation :M ×M →M Im folgenden sind m¨ ogliche Eigenschaften dieser Operationen aufgelistet:
Eigenschaften der Addition • Assoziativgesetz der Addition (AG/A) F¨ ur alle a, b, c ∈ M gilt: (a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c). (∗ Damit wird die Schreibweise a ⊕ b ⊕ c := (a ⊕ b) ⊕ c sinnvoll. ∗) • Kommutativgesetz der Addition (KG/A) F¨ ur alle a, b ∈ M gilt: a ⊕ b = b ⊕ a. • Neutrales Element der Addition (NE/A) Es gibt ein Element 0 ∈ M , so dass f¨ ur alle a ∈ M gilt:
a ⊕ 0 = 0 ⊕ a = a.
• Eindeutigkeit ,,der L¨ osung” (EiL/A) Zu beliebigen a, b ∈ M gibt es h¨ ochstens ein Element c ∈ M , so dass gilt: • Existenz ,,der L¨ osung” (ExL/A) Zu beliebigen a, b ∈ M gibt es mindestens ein Element c ∈ M , so dass gilt:
a ⊕ c = b. a ⊕ c = b.
Eigenschaften der Multiplikation • Assoziativgesetz der Multiplikation (AG/M) F¨ ur alle a, b, c ∈ M gilt: (a b) c = a (b c). (∗ Damit wird die Schreibweise a b c := (a b) c sinnvoll. ∗) • Kommutativgesetz der Multiplikation (KG/M) F¨ ur alle a, b ∈ M gilt: a b = b a. • Neutrales Element der Multiplikation (NE/M) Es gibt ein Element 1 ∈ M , so dass f¨ ur alle a ∈ M gilt:
a 1 = 1 a = a.
• Eindeutigkeit ,,der L¨ osung” (EiL/M) Zu beliebigen a ∈ M \ {0}, b ∈ M gibt es h¨ ochstens ein Element c ∈ M , so dass gilt: a c = b. • Existenz ,,der L¨ osung” (ExL/M) Zu beliebigen a ∈ M \ {0}, b ∈ M gibt es mindestens ein Element c ∈ M , so dass gilt: a c = b.
Eine Eigenschaft, die eine Beziehung zwischen Addition und Multiplikation herstellt • Distributivgesetz (DG) F¨ ur alle a, b, c ∈ M gilt: a (b ⊕ c) = (a b) ⊕ (a c) = a b ⊕ a c. (∗ Die Unterlassung der Klammersetzung im letzten Term wird durch die Punkt–vor– Strich–Konvention gerechtfertigt: Punktrechnung bindet st¨arker als Strichrechnung. ∗)
S. Hilger
7.4
Mathematik in der Hauptschule 1
SS 2011
73
¨ Operatives Uben innerhalb der Arithmetik
¨ Unter operativem Uben versteht man das • vielf¨altige, variations– und assoziationsreiche • ausf¨ uhrlich wiederholende einschleifend–automatisierende • methodisch abwechslungsreiche, verschiedene Unterrichtsprinzipien einbindende • den Lernprozess f¨ordernde und Lernziele festigende • Durchwandern, Durcharbeiten und Durchdringen eines mathematischen Inhalts. ¨ Die folgenden inhaltlichen und methodischen Gesichtspunkte lassen das operative Uben zur Arithmetik konkreter werden: • Algebraische Gesichtspunkte – Kopfrechnen, unterst¨ utztes Kopfrechnen, halbschriftlich, vollschriftlich – Ankeraufgaben, Nachbaraufgaben, Umkehraufgaben, Tauschaufgaben, Platzhalteraufgaben – Verschiedene Zahlbereiche: Bruchzahlen, Dezimalbruchzahlen, negative Zahlen – Zauberzahlen, besonders kleine Zahlen, besonders große Zahlen – Kreuzzahlr¨atsel – Einbettung in abstraktere Konzepte: Terme, Gleichungen, Proportionalit¨aten (Funktionen) • Geometrische Gesichtspunkte – Zahlenstrahl, Zahlengerade – Fl¨achen geometrischer Figuren und Volumina geometrischer K¨orper • Sach–Gesichtspunkte – Klassische verschiedene Gr¨oßenbereiche: Geld, L¨angen, Gewichte, Zeitspannen und Zeitpunkte. – Fl¨achen und Volumina – Fach¨ ubergreifende Ans¨atze – Scherz- und Denksportaufgaben – Anwendungen, Optimierung • Gesichtspunkte aus Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit – Wie viele M¨oglichkeiten?
