Mathematik I - Woche 10 Philip Müller

1 1.1

Reihen Was ist eine Reihe

Wir hatten bis jetzt Folgen. Eine Folge (an )n∈N ist eine Vorschrift, die von den natürlichen Zahlen, in die reellen Zahlen abbildet. Ein Beispiel ist: (an )n∈N =

1 n+1

(1)

Es ist relativ einfach etwas über die Konvergenz einer Folge auszusagen, man berechnet einfach den Grenzwert limn→∞ an . Wenn man eine Folge (an )n∈N hat, kann man sich fragen, ob man daraus eine neue “Folge” definieren kann und diese natürlich untersuchen. Wir definieren deshalb: sn :=

n X

ak = a0 + a1 + a2 + . . . + an−1 + an

(2)

k=0

lim sn = lim

n→∞

n→∞

n X k=0

ak =

∞ X

ak

(3)

k=0

Der obige Ausdruck (2) ähnelt zwar einer Folge, er wird aber Reihe genannt1 . Gleichung (3) ist der Grenzwert der Reihe, man sagt auch Wert der Reihe dazu. Ihn zu berechnen ist anders als bei Folgen sehr schwierig.

1.2

Konvergenz von Reihen

Zuerst will ich sagen, dass Reihen nicht intuitiv sind. Auch ist es sehr Konter intuitiv, dass es Reihen gibt, die konvergent sind, dennoch gibt es konvergente Reihen. P∞ Satz 1 Wenn gilt dass k=0 ak eine konvergente Reihe ist, so muss zwingend gelten, dass die Folge ak eine Nullfolge ist, also limk→∞ ak = 0. Es sei hier erwähnt, dass die Umkehrung von Satz 1 nicht gilt. Das bedeutet, dass eine Nullfolge nicht zwingend zu einer konvergenten Reihe führt. Das beste Beispiel hier ist die harmonische Reihe.

1.3

Feststellen von Konvergenz

Es gibt verschiedene Methoden, um die Konvergenz einer Reihe zu zeigen. In der Regel, sagen diese Kriterien nichts über den Wert der Reihe aus. Ausser bei einigen spezial Fällen, werdet Ihr niemals eine Reihe selber bestimmen müssen. Generell gibt es zwei Vorgehensweisen bei Reihen. Abschätzen oder anwenden eines Satzes. Welche Methode man anwenden soll, kommt sehr auf die Funktion an. 1.3.1

Quotientenkriterium P∞ Eine Reihe, S := k=0 ak , ist konvergent, wenn für den Grenzwert der Quotienten folgendes gilt: an+1 1, wenn (ak )k∈N eine beschränkte Folge ist. Sie eignet sich sehr als Vergleichsreihe im LCT (??).

2

Potenzreihen

Wir hatten in Woche 6 schon einmal Kontakt mit Taylor-Reihen. Taylor-Reihen, sind eine “spezielle” Art von Potenzreihen. Aber zuerst einige allgemeine Bemerkungen zum Thema Reihen.

2.1

Von der Reihe zur Potenzreihe

Eine Potenzreihe ist nun eine Modifikation einer Potenzreihe. Man nimmt den Term ak und multipliziert ihn mit xk . Man erhält im Endeffekt folgendes: ∞ X

⇒

ak

k=0

∞ X

a k xk

(10)

k=0

Die rechte Seite von Gleichung (10) kann man nun als eine Funktion auffassen. Dies führt zur Frage, wie kann ich die Potenzreihe als “normale” Funktion darstellen und wie finde ich die Potenzreihe einer gegeben Funktion?

2.2

Schreibweise

Gleichung (10) ist noch nicht ganz vollständig. Wie bei Taylor-Reihen, kann man eine Reihe um verschieden Entwicklungspunkte x0 entwickeln. Dem muss Rechnung getragen werden, darum ist die vollständige Schreibweise einer Potenzreihe: ∞ X

ak (x − x0 )k

(11)

k=0

Dabei ist x0 wie bei der Taylor-Reihe der Entwicklungspunkt.

2.3

Eindeutigkeit von Potenzreihen

Hat man eine Potenzreihe für eine Funktion und einen gegeben Entwicklungspunkt gefunden, so ist diese Potenzreihe eindeutig. Es gibt also keine zweite Potenzreihe. Dies bedeutet, dass die Potenzreihe und die Taylor-Reihe, sofern diese existiert, gleich der Potenzreihe ist. Wenn ihr die Potenzreihe einer Funktion finden wollt, so könnt ihr auch die Taylor-Reihe der Funktion berechnen. Noch einfacher ist, wenn die Funktion, die ihr suchen wollt ein Polynom ist. Denn jedes Polynom ist bereits eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt 0.

2.4

Konvergenz

Wie man sehen kann, ist die Konvergenz einer Potenzreihe Abhängig ist von der Wahl von x. Dies führt zum Begriff des Konvergenzradius %. Es gilt folgendes |x − x0 | < % Dann konvergiert die Reihe. |x − x0 | = % Man ist also direkt auf dem Konvergenzradius. Hier ist keine Aussage möglich. |x − x0 | > % Hier ist die Potenzreihe divergent.

3

2.5

Bestimmung des Konvergenzradius

Um die Konvergenz zu untersuchen, modifiziert man das Quotientenkriterium zu: an % = lim n→∞ an+1

(12)

Man bemerke, dass (12) fast gleich aussieht wie (4), aber Zähler und Nenner vertauscht sind, man darf die beiden nicht verwechseln. Ein Extrem ist der Fall, wenn der Konvergenzradius unendlich ist. In diesem Fall ist die Funktion auf ganz R konvergent. Das andere Extrem ist, wenn der Konvergenzradius 0 ist. Dann ist die Potenzreihe nur in einem Punkt, dem Entwicklungspunkt, konvergent.

2.6

Wichtige Potenzreihen

Hier nun eine Auflistung von wichtigen Funktion und ihrer Darstellung als Potenzreihe. 2.6.1

Exponentialreihe

exp(x) =

∞ X xk k=0

= ex

(13)

x2k+1 (2k + 1)!

(14)

x2k (2k)!

(15)

k!

Diese Reihe hat einen unendlichen Konvergenzradius. 2.6.2

Sinus sin(x) =

∞ X

(−1)k

k=0

Diese Reihe hat einen unendlichen Konvergenzradius. 2.6.3

Cosinus cos(x) =

∞ X

(−1)k

k=0

Diese Reihe hat einen unendlichen Konvergenzradius. 2.6.4

Geometrische Reihe ∞

X 1 f (x) = = xk 1−x

∀ |x| < 1

(16)

k=0

Diese Funktion ist um 0 entwickelt und ihr Konvergenzradius ist 1.

2.7

Taylor-Reihe

Der sagt dass man eine Funktion in eine Taylor-Reihe entwickeln kann. Die vollständige Reihe, ist gegeben durch (nur der Vollständigkeit wegen). f (x) =

∞ X f (n) (x0 ) (x − x0 )n n! n=0

= f (x0 ) + f 0 (x0 ) · (x − x0 ) +

f 00 (x0 · (x − x0 )2 + . . . 2

Dabei ist: f

(n)

Die n-te Ableitung. Die 0-te Ableitung ist die Funktion selber.

x0 Ist der sogenannte Entwicklungspunkt n! Ist die Fakultät. 4

2.7.1

Berechnen einer Taylor-Reihe

Eine Taylor-Reihe zu bestimmen, ist eigentlich ganz einfach. Man muss “nur” einen Ausdruck, für die n-te Ableitung finden.

3

Tipps

Ich gebe euch hier ein paar Tipps. Ich rate euch aber nicht, diese Tipps einfach zu lesen, sondern versucht zuerst die Aufgaben selbst 2 zu lösen, bevor Ihr die Tipps lest, es bringt euch mehr. Auch wenn ihr die Tipps gelesen habe, benutzt sie nicht einfach, sondern denkt darüber nach, wieso es so ist!

2 oder

in Gruppen

5

3.1

Aufgabe 1

Betrachtet in einem ersten Schritt nur einmal Abschnitt 1.3 von Seite 1 in Verbindung.

3.2

1 nα

für n, α > 0. Bringt es nachher mit einem der Kriterien von

Aufgabe 2

Hier empfehle ich euch auf n + 1 < n2

n→∞

⇒

6

1 1 > 2 n+1 n