Prof. Dr. E. Triesch Prof. Dr. Y. Guo

Mathematik I WiSe 2017/2018 



Variante A



Hinweise zur Bearbeitung: Benutzen Sie zur Beantwortung aller Aufgaben ausschließlich das in der Klausur ausgeteilte Papier! Es werden nur die Antworten gewertet, die auf dem Antwortbogen stehen! Zugelassene Hilfsmittel: Als Hilfsmittel zugelassen sind zwei handbeschriebene DIN-A4-Bl¨atter (Vorder- und R¨ uckseite beschriftet, keine Fotokopien oder Ausdrucke). Das Konzeptpapier zur Bearbeitung der Aufgaben (Schmierbl¨atter) ist von den Studierenden zur Klausur mitzubringen. Sonstige Hilfsmittel wie zum Beispiel alte Klausuren, Skripte, B¨ ucher, Mobiltelefone, Smartphones, Laptops und insbesondere Taschenrechner sind nicht erlaubt! Hinweise zur Bewertung der einzelnen Klausurteile: I: (Aufgabe I.1-I.3) Sie m¨ ussen unter expliziter Darstellung des L¨osungsweges nachvollziehbar zu einer L¨osung kommen. Ohne L¨osungsweg gibt es keine Punkte. II: (Aufgabe II.1-II.4) Sie m¨ ussen das richtige Ergebnis in das entsprechende “Ergebnis”K¨astchen des Antwortbogens eintragen. Dar¨ uber hinaus k¨onnen Sie in dem dazugeh¨origen Feld “L¨osungsskizze” einen kurzen Rechenweg angeben, der in die Bewertung mit einbezogen wird, sollte Ihr Ergebnis falsch sein. III: (Aufgabe III.1-III.3) Sie m¨ ussen Aussagen den Wahrheitswert “wahr”(W) oder “falsch”(F) zuordnen. Sie erhalten nur dann Punkte, wenn Sie in einer Teilaufgabe alle Wahrheitswerte richtig und vollst¨ andig zuordnen. Es gibt keine Minuspunkte. Bitte schreiben Sie keine Rechnungen oder Begr¨ undungen zu Teil III auf den Antwortbogen. Nutzen Sie daf¨ ur Ihr eigenes Konzeptpapier. 



Beispiel: Bestimmen Sie die Wahrheitswerte der folgenden zwei Aussagen: (2 Pkt.) 1. 2 · 3 = 6 2. 1 + 1 = 3.



Antwort

1.

2.

Punkte

Antwort

1.

2.

Punkte

(i)

W

W

0

(v)

F

-

0

(ii)

W

F

2

(vi)

W

-

0

(iii)

F

W

0

(vii)

-

F

0

(iv)

F

F

0

(viii)

-

W

0

Viel Erfolg! 1



Teil I Aufgabe I.1:

(3+4+5 Pkt.)

a) Geben Sie f¨ ur den Term x3 + 4x2 x5 − x4 + 2x3 − 2x2 + x − 1 den Ansatz f¨ ur eine Partialbruchzerlegung an. Hinweis: F¨ ur das Ausrechnen der Koeffizienten gibt es keine Punkte! b) F¨ ur A, B, C ∈ R sei der folgende Ansatz f¨ ur eine Partialbruchzerlegung gegeben: A Bx + C 3x2 − 2x + 4 = + 2 2 (x − 1)(x + 4) x−1 x +4 Bestimmen Sie die Koeffizienten A, B, C ∈ R. c) Bestimmen Sie das unbestimmte Integral  Z  1 2 + dx. 3 − 2x x2 − 2x + 5

Aufgabe I.2:

(6+6 Pkt.)

a) Zeigen Sie mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion die folgende Aussage: F¨ ur alle n ∈ N gilt 2n X (−1)k k(k − 1) = 2n2 . k=1

b) Gegeben sei die Funktion f : R\{4} → R mit f (x) = von f .

x+2 . Es bezeichne f (n) die n-te Ableitung x−4

Zeigen Sie mit Hilfe der vollst¨andigen Induktion die folgende Aussage: F¨ ur alle n ∈ N gilt (−1)n · 6 · n! f (n) (x) = , x ∈ R \ {4}. (x − 4)n+1

Aufgabe I.3: a) Gegeben sei die Funktion f : R\{−1, 0} → R durch

(5+6 Pkt.)

 2  ln(2x − 1) , x < −1,   1 − 1 f (x) = x 1 x+11 , −1 < x < 0,  −x  x−1    |x| − 1 , x > 0. Bestimmen Sie den Stetigkeitsbereich von f . An welchen Stellen ist die Funktion stetig erg¨anzbar? 2

b) Gegeben sei die Funktion g : R → R durch  3  −1 + cos(x ) , x ≤ 0, g(x) = x2 , 0 < x < 1,   cos(ex−1 − 1) , x ≥ 1. Bestimmen Sie alle x ∈ R, f¨ ur die g(x) differenzierbar ist. Geben Sie f¨ ur diese x die Ableitung 0 g (x) an.

Teil II Aufgabe II.1:

(2+3+4 Pkt.)

a) Gegeben sei v ∈ C mit v=

(2i − 1)(3 + i) . 2+i

Geben Sie den Imagin¨arteil von v an. b) Gegeben sei w ∈ C mit

√ 5(1 − i 3) w= . (1 − i)(1 + i)

Geben Sie den Realteil von w480 an. c) Gegeben sei die in der Skizze eingezeichnete komplexe Zahl z ∈ C. Tragen Sie die Potenzen z 2 , z 3 und z 4 in die Skizze auf dem Antwortbogen ein. Im(z) 8 16 6 16 4 16

z 2 16 8 − 16

6 − 16

4 − 16

2 16

2 − 16

4 16

6 16

8 16

Re(z) 2 − 16 4 − 16 6 − 16 8 − 16

3

Aufgabe II.2:

(4+4+4 Pkt.)

a) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (an )n∈N mit √ √ an = n2 + 6n + 4 − n2 + n + 3. b) Bestimmen Sie den Grenzwert der rekursiven Folge (bn )n∈N mit p b1 = 1, bn+1 = −1 + 5(bn + 2) + 1. Sie d¨ urfen dabei annehmen, dass die Folge konvergiert. c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe ∞ X −6 + 2k

3k+1

k=0

.

Aufgabe II.3:

(5+4 Pkt.)

a) Bestimmen Sie das folgende Integral Z

3

ln(x2 + 1) dx.

0

b) Bestimmen Sie das folgende Integral mit Hilfe der Substitutionsregel Z 0 1 dx. x −x + 2 −1 e + e

Aufgabe II.4: Bestimmen Sie den Grenzwert

(8 Pkt.) p cos(6x) − cos(x) . lim x→0 x2

Teil III Aufgabe III.1:

(5 Pkt.)

Sei f : R → R eine bijektive und differenzierbare Funktion. Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 



1. Die Funktion f ist f¨ ur alle x ∈ R stetig. 2. Es gibt genau ein x0 ∈ R mit f (x0 ) = 0. 3. Es gibt genau ein x0 ∈ R mit f (x0 ) = x0 . 4. Die Umkehrfunktion f −1 von f ist f¨ ur alle x ∈ R differenzierbar.



4



Aufgabe III.2:

(4+4+4 Pkt.)

 3 1 + √ x , x ≥ 0, Gegeben sei die Funktion f : [−1, 8] → R mit f (x) = √ 1 − 3 −x , x < 0. a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen:





1. f ist auf (−1, 0) monoton wachsend.

2.

f ist auf (−1, 0) monoton fallend.

3. f ist auf (0, 8) monoton wachsend.

4.

f ist auf (0, 8) monoton fallend.





b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 



1. f hat im Intervall (−1, 8) keinen kritischen Punkt. 2. x = 0 ist der einzige kritische Punkt von f im Intervall (−1, 8). 3. f ist f¨ ur alle x ∈ (−1, 8) differenzierbar. 4. f ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar.





c) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 



1. f hat im Punkt x = −1 ein globales Minimum. 2. f hat im Punkt x = −1 ein globales Maximum. 3. f hat im Punkt x = 8 ein globales Minimum. 4. f hat im Punkt x = 8 ein globales Maximum.





Aufgabe III.3:

(6+2+2 Pkt.)

4 x2 − . Gegeben sei die Funktion f : R \ {−2, 1} → R mit f (x) = x+2 x−1 a) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 

1. Es gibt ein x0 ∈ [−1, 0] mit f (x0 ) = 0. 3. Es gibt ein x0 ∈ (2, 4) mit f 0 (x0 ) = −



2.

13 . 4. 6



Es gibt ein x0 ∈ [2, 4] mit f (x0 ) = 0. Es gibt ein x0 ∈ (−1, 0) mit f 0 (x0 ) = 1.

b) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 

1. 

lim f (x) = ∞

x→−2+

2.

4 lim + f (x) = − x→−2 3

3.

lim f (x) = −∞ 4.

x→−2+

4 lim + f (x) = x→−2 3

 

c) Beurteilen Sie den Wahrheitswert der folgenden Aussagen: 

1. 

lim− f (x) = − 13

x→1

2.

lim− f (x) = ∞

3.

x→1

lim− f (x) = −∞

x→1

5

4.

lim− f (x) =

x→1

1 3