ESTADO LIBRE ASOCIADO DE PUERTO RICO Departamento de Educación

Math and Science Partnership for the 21st Century Middle School Teacher MSP-21

http://bc.inter.edu/msp21

Proyecto sufragado con Fondos Federales del Departamento de Educación bajo el Programa Título II B – Mathematics and Science Partnership de la Ley de Educación Elemental y Secundaria de 1965, según enmendada por la Ley “No child left behind” LP-107-100.

Este material se distribuye gratituamente. Su venta está estrictamente prohibida.

Primera Edición, 2006 Derechos Proyecto MSP-21 Omar Hernández Rodríguez, MS, Ed D Director Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni transmitida por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el previo permiso escrito de MSP-21. Esta obra ha sido subvencionada por el proyecto MSP-21 mediante proyectos del Departamento de Educación de Puerto Rico. Contrato OAF081060070. Universidad Interamericana de Puerto Rico Recinto de Bayamón Carretera Dr. John Will Harris # 500 Bayamón, PR 00959 Tel (787) 279-1912 Fax (787) 279-7028 http://bc.inter.edu/msp21

Universidad Interamericana de Puerto Rico Recinto de Bayamón Math and Science Partnership for the 21st Century Middle School Teacher MSP 21

GEOMETRÍA Javier O. Sierra-Padilla

JUNIO DE 2006

Índice Introducción……………………………………………………………………………...2 Capítulo 1 Conceptos básicos………………………………………………………...3 Sección 1.1 Definiciones básicas…………………………………………….4 Sección 1.2 Círculos…………………………………………………………...9 Sección 1.3 Ángulos………………………………………………………….13 Sección 1.4 Polígonos………………………………………………………..18 Sección 1.5 Triángulos……………………………………………………….24 Sección 1.6 Cuadriláteros……………………………………………………30 Sección 1.7 Rectas y planos en el espacio………………………………..36 Capítulo 2 Sólidos…………………………………………………………………….43 Sección 2.1 Poliedros...………………………………………………………43 Sección 2.2 Prismas…...……………………………………………………..45 Sección 2.3 Pirámides..……………………………………………………...50 Sección 2.4 Conos……………………………………………………………52 Sección 2.5 Cilindros…………………………………………………………57 Sección 2.6 Esferas…………………………………………………………..60 Capítulo 3 Transformaciones………………………………………………………..62 Sección 3.1 Reflexiones……………………………………………………...62 Sección 3.2 Traslaciones…………………………………………………….70 Sección 3.3 Rotaciones………………………………………………………75 Sección 3.4 Dilataciones……………………………………………………..82 Respuestas a ejercicios……………………………………………………………….86

PROLOGO Los recintos de Bayamón y San Germán de la Universidad Interamericana de Puerto Rico y las Regiones Educativas de Bayamón y San Germán, desde hace dos años participan en el proyecto Math and Science Partnership for the 21st Century Middle School Teacher (MSP21) que tiene como meta mejorar el rendimiento académico de los estudiantes de escuela intermedia mediante la capacitación integral de los maestros de ciencias y matemáticas.

Al final de los tres años del proyecto se espera que: 1. el 85% de los maestros participantes demuestre dominio de los conceptos incluidos en los estándares de matemáticas y ciencias establecidos por el Departamento de Educación de Puerto Rico. 2. el 85% de los maestros participantes integren a su práctica docente experiencias de aprendizaje activo fundamentadas en la interconexión de las disciplinas. 3. los estudiantes de las escuelas participantes mejoren en al menos un 3% su ejecutoria en las pruebas estandarizadas de matemáticas y una prueba correspondiente de ciencias.

Para el logro de los objetivos se diseñó un Programa de Desarrollo Profesional en el cual los

profesores de la Universidad y los maestros debían explorar y redactar actividades

educativas con énfasis en el desarrollo y la búsqueda de conexiones entre las ciencias y las matemáticas. Además, las actividades debían estar alineadas con los Marcos Curriculares de Ciencias y Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico y, en específico, atender la integración por los temas y los procesos correspondientes a los estándares de conservación y cambio, interacciones, geometría y álgebra.

Durante el segundo año del proyecto se ofrecieron conferencias, talleres y simposios que tenían como tema central la integración de las ciencias y las matemáticas. Para cada uno de ellos, se le pidió a los profesores y a los maestros que produjeran un trabajo que evidenciara su reflexión sobre el tema.

Las conclusiones de este proceso indican que para lograr la

integración es necesario que los maestros dominen con profundidad su disciplina y que posteriormente exploren avenidas que lleven a la integración.

Parte del resultado de los

trabajos realizados se presenta en la serie de libros INTEGRACIÓN DE LAS CIENCIAS Y LAS MATEMÁTICAS A NIVEL INTERMEDIO. Los títulos de los libros que componen la serie son:

• Geometría • • Taller de Genética • • Calculadoras Gráficas para Maestros de Escuela Intermedia • • Matemáticas para Maestros de Escuela Intermedia: Conexiones y Tasas de Cambio • • El Aprendizaje Basado en Problemas y Proyectos: Una Estrategia de Integración • • Memorias de los Residenciales Académicos 2006 • • Actividades Integradoras de Ciencias y Matemáticas para Escuela Intermedia • Los libros Geometría y Taller de Genética de los profesores Javier O. Sierra y Vilma S. Martínez, respectivamente, tienen como objetivo fortalecer y ampliar los conocimientos de los maestros.

El profesor Sierra define y explica los conceptos geométricos de una manera

formal a diferencia de los autores tradicionales, que lo hacen de una manera intuitiva. Esta forma de presentar los conceptos geométricos fortalece el pensamiento deductivo que es fundamental para el desarrollo de un curso de geometría. Por su parte, la profesora Martínez, presenta actividades experimentales para reforzar los conceptos de genética y sus aplicaciones a las ciencias forenses.

En el libro Calculadoras Gráficas para Maestros de Escuela Intermedia, sus autores, el profesor Rafael Canales y el doctor Omar Hernández exploran la integración de la tecnología para la enseñanza de las ciencias y las matemáticas. Tiene como objetivo enseñar a los maestros a utilizar la calculadora gráfica y prepararlos en el uso de sensores para la recolección de datos del ambiente. La información posteriormente es analizada para descubrir patrones y crear modelos matemáticos.

En el libro Matemáticas para Maestros de Escuela Intermedia: Conexiones y Tasas de Cambio, el doctor Ángel Cruz nos presenta una guía para un curso de matemáticas integrada. El doctor Cruz hace un análisis profundo sobre la integración de los conceptos de matemáticas de escuela intermedia y los conceptos relacionados a los estándares de las interacciones, la conservación y el cambio. Además, presenta sugerencias metodológicas y ejemplos para el de las “assessment” actividades integradoras.

En el libro El Aprendizaje Basado en Problemas y Proyectos: Una Estrategia de Integración, las autoras, las profesoras Carmen Caiseda y Evelyn Dávila, hacen un análisis

profundo sobre el uso de estas metodologías para la integración de las ciencias y las matemáticas. Discuten aspectos como la planificación, el diseño, el desarrollo y la evaluación de actividades fundamentadas en la solución de problemas y el desarrollo de proyectos. Además de ejemplos y sugerencias para implantar estas estrategias en la sala de clases, incluyen instrumentos de assessment y una guía para el estudiante.

El libro Memorias de los Residenciales Académicos 2006 incluye las transcripciones de las conferencias y los talleres ofrecidos, y el resultado de los trabajos en comisiones realizados durante los simposios Retos, controversias y oportunidades de la enseñanza de las ciencias y las matemáticas realizados durante agosto y septiembre de 2006.

Además, recoge las

reflexiones, opiniones y sugerencias de los maestros sobre los temas trascendentales que se discutieron.

El aporte de los maestros al proyecto se recoge en el documentos:

Actividades

Integradoras de Ciencias y Matemáticas para Escuela Intermedia. Desde la perspectiva de su salón de clases, los maestros desarrollan actividades integradoras para los estudiantes de escuelas intermedias. Se integran la biología, la ecología, las ciencias terrestres, la electrónica, la astronomía, la química y las matemáticas. Algunas de estas actividades se validaron con estudiantes y mostraron que la integración es una estrategia que motiva a los estudiantes, requisito indispensable para que se de el aprendizaje.

Ha sido un año muy productivo. El trabajo ha sido arduo pero gratificante. Tenemos asuntos pendientes: es necesario validar todas las actividades con los estudiantes y mostrar la efectividad de la integración en el dominio de los conceptos matemáticos y científicos.

Finalmente, quiero agradecer a todas las personas que han colaborado en el proyecto MSP-21. Ha sido un ejercicio intelectual interesante.

Omar Hernández Rodríguez, MS, EdD Director, Proyecto MSP-21

Introducción Este documento va dirigido a los maestros de matemáticas y otros interesados, participantes de la propuesta Math and Science Partnership for the 21st Century Middle School Teacher MSP-21, como parte de un curso de Geometría de 30 horas de contacto. Este documento tiene como uno de sus objetivos principales, fortalecer y ampliar los conocimientos de los maestros participantes en los conceptos de la geometría. Estos conceptos son definidos y explicados de una manera formal y no de una manera intuitiva, así se tendrá una buena base para seguir ampliando sus conocimientos en la geometría y poder pasar a hacer inferencias y utilizar el razonamiento deductivo en un futuro inmediato.

El documento divide su contenido en tres capítulos: Conceptos Básico, Sólidos y Transformaciones.

Cada capítulo esta dividido en secciones para

facilitar su entendimiento y cada sección tiene un conjunto de ejercicios con sus respectivas contestaciones al final del documento. Estos ejercicios deben de ser realizados según se va avanzando en la lectura de cada sección para asegurar el entendimiento de los diferentes conceptos presentados.

Para complementar este documento se deben realizar otras actividades donde el participante aplique sus conocimientos y conceptos según los va adquiriendo. Estas actividades serán integradas paulatinamente en el curso y brindará la oportunidad de trabajar con objetos y manipulativos, de tal manera que la geometría sea vista en un contexto real.

Capítulo 1 Conceptos básicos 1.1 Definiciones básicas

El punto es el concepto más básico de la geometría. Este no puede ser definido sino que lo entenderemos intuitivamente.

Un punto puede ser

entendido como una ubicación o localización específica sin tamaño ni medida.

Podemos hacer una representación gráfica de un punto por medio de una marca de la forma más mínima.

Los puntos generalmente son identificados por medio de letras mayúsculas y podemos hacer referencia a ellos por medio de estas letras.

Puntos A, B y C

El espacio es el conjunto de todos los puntos.

Denotaremos a la distancia desde un punto A hasta un punto B por AB y diremos que un punto C está entre A y B si AC + CB = AB.

El punto C está “entre” A y B

Geometría

1

El punto medio entre dos puntos A y B es el punto M tal que está entre A y B y además AM = MB.

El punto M es el punto medio de A y B

Podemos definir un segmento como el conjunto de dos puntos diferentes en el espacio (figura 1) identificados como los extremos del segmento y los puntos entre ellos (figura 2). Si los extremos del segmento son los puntos A y B, podemos referirnos al segmento como el segmento AB, AB o equivalentemente segmento BA, BA (figura 3).

Figura 1

Figura 2

Figura 3

La medida de un segmento es la distancia que exista entre sus extremos y decimos que dos segmentos son equivalentes si tienen la misma medida. Si AB y CD son equivalentes podemos escribir AB ≅ CD .

Si A y B son dos puntos diferentes, el rayo AB, AB es el segmento AB y además cualquier otro punto C tal que B está entre A y C. En este caso diremos que el punto A es el extremo del rayo.

Rayo AB

2

Javier O. Sierra Padilla

La recta AB, AB es el rayo AB y además cualquier otro punto C tal que A está entre B y C. Podemos referirnos a una recta por medio de una letra minúscula, por lo regular en cursiva.

Recta AB o recta l

Decimos que tres o más puntos son colineales si están contenidos en la misma recta.

Puntos colineales

Puntos no colineales

La distancia de un punto a una recta es la medida del segmento menor posible tal que los extremos estén en el punto y la recta.

El punto A está a 3 unidades de distancia de la Recta l

Geometría

3

Dos rectas son paralelas si la distancia de cada punto de una a la otra es siempre la misma. Si las rectas l 1 y l 2 son paralelas escribimos l 1 || l 2.

Rectas paralelas

Un plano es la colección de tres puntos no colineales y las rectas que pasan por cada dos puntos que estén entre estos tres puntos.

Podemos

representar un plano con una figura de 4 lados e identificarla con una letra mayúscula en cursiva.

Plano M

Decimos que dos o más puntos o rectas son coplanarios si están contenidos en el mismo plano.

Puntos coplanarios

4

Rectas coplanarias

Javier O. Sierra Padilla

Cualquier conjunto de puntos (segmento, recta, plano, etc.) que tenga en común con un segmento su punto medio decimos que es un bisector del segmento.

CD bisector en M de AB

Recta l bisector en M de AB

Plano M bisector de AB

Ejercicios 1.1

1. Sean A, B y C tres puntos tales que AB = 7, AC = 4 y CB = 11. ¿Está el punto C entre A y B? Dibuje un diagrama que muestre la ubicación de los puntos A, B y C.

Geometría

5

2. Sean A, B y C tres puntos tales que AB = 6, AC = 3 y CB = 8. ¿Está el punto C entre A y B? Dibuje un diagrama que muestre la ubicación de los puntos A, B y C.

3. Sean A, B y C tres puntos tales que AB = 9, AC = 5 y CB = 4. ¿Está el punto C entre A y B? Dibuje un diagrama que muestre la ubicación de los puntos A, B y C.

4. Sean A, B y M tres puntos tales que M está entre A y B, AB = 14, AM = 7 y MB = 7. ¿Es M el punto medio de A y B? Dibuje un diagrama que muestre la ubicación de los puntos A, B y M.

5. Sean A, B y M tres puntos tales que AB = 10, AM = 8 y MB = 8. ¿Es M el punto medio de A y B? Dibuje un diagrama que muestre la ubicación de los puntos A, B y M.

6. ¿Es equivalente decir AB y BA ?

7. ¿Es equivalente decir AB y BA ?

8. Si los puntos A, B y C son colineales, ¿es equivalente decir AB y BC ?

9. Si la distancia de un punto A a la recta l es 3, ¿existe algún punto en la recta l tal que la distancia del punto A al punto sea igual a 2?

10. ¿Es equivalente decir l1 || l2 y l2 || l 1?

11. Si l1 || l2 y A es un punto de la recta l1 y la distancia de A a la recta l2 es 3, ¿existe un punto de l2 tal que la distancia al punto A es 5? Dibuje un diagrama que lo explique.

6

Javier O. Sierra Padilla

12.

Si los puntos A, B, C y D son coplanarios, ¿entonces AB y CD son

coplanarios? Dibuje un diagrama que lo explique.

13. Si los puntos A, B y C son colineales, ¿entonces estos tres puntos son coplanarios? Dibuje un diagrama que lo explique.

14. Si CD es un bisector de AB en D y AD = 4, ¿cuánto es DB?

15. Si CD es un bisector de AB en D y AD = 12, ¿cuánto es DB?

1. 2 Círculos

Un círculo es la colección de puntos coplanarios que equidistan de un punto llamado centro del círculo.

Círculo con centro P

A cualquier segmento con extremos en el centro del círculo y en el círculo le llamamos radio del círculo. A cualquier segmento con extremos en el círculo le llamamos cuerda del círculo. A la cuerda que pasa por el centro del círculo le llamamos el diámetro del círculo.

Círculo con radio PQ

Geometría

Círculo con cuerda TQ

Círculo con diámetro PQ

7

Si d es la medida del diámetro de un círculo y r la de su radio, entonces el perímetro o circunferencia del círculo es C = d π y el área del círculo es A = r2 π . Por ejemplo, un círculo con diámetro d = 6 y radio r = 3 (note que r = d/2), tiene circunferencia C = 6 π ≈ 6(3.14) = 18.84 y área A = 32 π ≈ 32(3.14) = 9(3.14) = 28.26

Círculo con circunferencia 18.84 y área 28.26

Si los puntos A y B representan dos puntos de la intersección de dos círculos, entonces el arco menor AB de un círculo,

es el conjunto de los

puntos A, B y los puntos del círculo en el interior del otro círculo. En el caso de tomar en lugar de los puntos del interior, tomamos los puntos del exterior tendríamos el arco mayor AB del círculo, igualmente denotado por

Arco menor AB

.

Arco mayor AB

Si los puntos A y B son los extremos del diámetro de un círculo, entonces el arco

es un semicírculo.

Semicírculo

8

Javier O. Sierra Padilla

Si una recta interseca a un círculo en dos puntos diferentes, decimos que la recta es secante al círculo. Si la recta interseca al círculo en un sólo punto, entonces decimos que la recta es tangente al círculo.

Recta secante

Recta tangente

Si tomamos 360 radios con extremos en el centro de un círculo e intersecciones igualmente esparcidas en el círculo, entonces decimos que el espacio entre cada uno de los rayos corresponde a un grado (1o). De esta manera podemos decir que un círculo contiene 360o, medio círculo 180o y una cuarta parte de círculo 90o.

Geometría

9

Ejercicios 1.2

1. Si el radio de un círculo es r = 4, ¿cuál es su diámetro?

2. Si el diámetro de un círculo es d = 3, ¿cuál es su radio?

3. ¿Cuál es la circunferencia de un círculo con radio r = 4? ¿Cuál es su área?

4. ¿Cuál es la circunferencia de un círculo con diámetro d = 3? ¿Cuál es su área?

5. ¿Es equivalente

y

?

6. Si un círculo tiene circunferencia C = 8 y un arco menor tiene longitud o largo igual a 3, ¿cuál es la longitud o largo del arco mayor correspondiente? Explique por medio de un diagrama.

7. Si un círculo tiene circunferencia C = 9 y un arco mayor tiene longitud o largo igual a 7, ¿cuál es la longitud o largo del arco menor correspondiente? Explique por medio de un diagrama.

8. ¿Cuántos grados tiene una octava parte de un círculo?

9. ¿Cuántos grados tiene una décima parte de un círculo?

10. ¿Cuántos grados tiene cinco sextas partes de un círculo?

10

Javier O. Sierra Padilla

1.3 Ángulos

Un ángulo es la unión de dos rayos con un extremo en común, llamado vértice del ángulo. Si A es un punto de uno de los rayos, C un punto del otro rayo y el punto B es el vértice, podemos referirnos al ángulo como el ángulo ABC, ∠ ABC. Los rayos, BA y BC son llamados los lados del ángulo.

La medida de un ángulo, m ∠ es la cantidad de grados entre 0o y 180º que hay entre los lados del ángulo cuando es colocado con el vértice en el centro de un círculo.

Esta medida también se le conoce como la medida

interior del ángulo y al restar 360º menos la medida interior del ángulo se obtiene la medida exterior del ángulo.

Geometría

11

m ∠ ABC = 30º y medida exterior 330º Si m ∠ ABC = m ∠ PQR decimos que son ángulos equivalentes y podemos escribir ∠ ABC ≅ ∠ PQR.

Si los lados de un ángulo coinciden, decimos que es un ángulo nulo y su medida es cero. Por otro lado, si la medida de un ángulo es 180º, decimos que es un ángulo llano y sus lados son rayos opuestos.

Ángulo nulo

Ángulo llano

Los ángulos pueden ser clasificados según sus medidas. Si la medida de un ángulo es menor de 90º, se dice que es un ángulo agudo, si su medida es mayor a 90º, que es un ángulo obtuso y su medida es 90º, que es un ángulo recto.

12

Javier O. Sierra Padilla

Ángulo agudo

Ángulo obtuso

El pequeño cuadro en el vértice del ángulo denota que la medida del ángulo es 90º. Un punto D está en el interior de ∠ ABC si m ∠ ABD + m ∠ DBC = m ∠ ABC.

El punto D está en el interior de ∠ ABC

Geometría

13

La bisectriz de un ángulo ABC es el rayo BD tal que el punto D está en el interior del ángulo y ∠ ABD ≅ ∠ DBC.

Ángulo ABC con bisectriz BD

En una figura podemos colocar determinada cantidad de marcas en todos los ángulos que tengan la misma medida.

Un par de ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90o y son suplementarios si es 180º.

∠ ABC y ∠ DEF complementarios; ∠ ABC y ∠ GHI suplementarios

Ejercicios 1.3 1. ¿Es equivalente decir ∠ ABC y ∠ CBA? 14

Javier O. Sierra Padilla

2. ¿Es equivalente decir ∠ ABC y ∠ CAB? 3. ¿Es equivalente decir ∠ ABC y ∠ ACB?

4. ¿Cuál es la medida exterior de un ángulo con medida igual a 100º?

5. ¿Cuál es la medida exterior de un ángulo recto?

6.

Clasifique los siguientes ángulos entre agudo, obtuso o recto según sus

medidas:

a. 113º

e. 0o

b. 73º

f. 90º

c. 100º

g. 180º

d. 80º

h. 75º

7. Si el punto D es un punto interior de ∠ ABC, m ∠ ABC = 75º y m ∠ ABD = 40º, ¿cuál es el valor de m ∠ DBC? Dibuje un diagrama que lo explique.

8.

Si el punto D es un punto interior de ∠ ABC, m ∠ ABD = 58º y

m ∠ DBC = 113º, ¿cuál es el valor de m ∠ ABC? Dibuje un diagrama que lo explique.

9. Si BD es una bisectriz de ∠ ABC y m ∠ ABC = 82º, ¿cuál es el valor de m ∠ ABD?

10. Si BD es una bisectriz de ∠ ABC y m ∠ ABD = 77º, ¿cuál es el valor de m ∠ ABC?

11. Halle la medida de los ángulos complementarios:

Geometría

15

a. m ∠ ABC = 38º b. m ∠ ABC = 43º c. m ∠ ABC = 90º d. m ∠ ABC = 0º e. m ∠ ABC = 8º

12. Halle la medida de los ángulos suplementarios: a. m ∠ ABC = 38º b. m ∠ ABC = 143º c. m ∠ ABC = 90º d. m ∠ ABC = 0º e. m ∠ ABC = 172º

1.4 Polígonos

Un polígono es la unión de tres o mas segmentos coplanarios tal que cada segmento interseca dos segmentos, cada uno en un extremo y además no son colineales. Cada uno de estos segmentos es conocido como un lado del polígono.

16

Javier O. Sierra Padilla

Polígonos

Ejemplos de figuras que no son polígonos

En un polígono podemos colocar determinada cantidad de marcas en todos los lados que tengan la misma medida.

Polígono con dos pares de lados equivalentes

Si los segmentos AB y CB son lados de un polígono con un extremo en común (punto B), decimos que este punto es un vértice del polígono y que el ángulo ∠ ABC es un ángulo del polígono, además que los lados AB y CB son

Geometría

17

lados consecutivos. A cualquier par de puntos en los extremos de un lado de un polígono es conocido como vértices consecutivos.

Polígono con ángulos ∠ ABC, ∠ BCD, ∠ CDE, ∠ DEA y ∠ EAB

Decimos que dos lados de un polígono son paralelos si las rectas que los contienen son paralelas.

Si AB y ED son lados paralelos de un polígono,

escribimos AB || ED .

Polígono con AB || ED

Los polígonos pueden ser clasificados según la cantidad de lados:

Número de lados

18

Nombre

Número de lados

Nombre

Javier O. Sierra Padilla

3

triángulo

7

heptágono

4

cuadrilátero

8

octágono

5

pentágono

9

nonágono

6

hexágono

10

decágono

Triángulo

Cuadrilátero

Octágono

Un polígono es convexo si cualquier segmento con extremos en los lados del polígono esta completamente en el interior del polígono.

Cuadrilátero convexo

Cuadrilátero no convexo

Decimos que un polígono es un polígono regular si todos sus lados tienen la misma medida y además todos sus ángulos miden lo mismo.

Algunos polígonos regulares

El perímetro de un polígono es la suma de las medidas de sus lados.

Geometría

19

Polígono con perímetro 19

Ejercicios 1.4

1. Clasifique cada una de las siguientes figuras entre polígono o no polígono:

a.

d.

b.

e.

c.

2. Mencione todos los ángulos de los siguientes polígonos:

20

Javier O. Sierra Padilla

a.

b.

3. Clasifique los siguientes polígonos según la cantidad de lados:

a.

d.

b.

e.

c.

4. Clasifique los polígonos anteriores entre convexos o no convexos.

5. Dibuje los siguientes polígonos regulares:

a. heptágono regular

b. octágono regular Geometría

21

c. nonágono regular

d. decágono regular

6. Halle el perímetro de los siguientes polígonos:

a.

b.

c.

d.

1.5 Triángulos

22

Javier O. Sierra Padilla

Los triángulos son polígonos con tres lados y tres ángulos. Si los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo podemos referirnos al triángulo como el triángulo ABC, ∆ABC. Podemos clasificar a los triángulos según la cantidad de lados iguales o según la medida de sus ángulos. Si dos lados un triángulo tienen la misma medida decimos que es un triángulo isósceles. Si los tres lados del triángulo tienen la misma medida, entonces decimos que es un triángulo equilátero. Por otro lado, si los tres lados del triángulo son diferentes, entonces decimos que es un triángulo escaleno.

Triángulo escaleno

Triángulo isósceles

Triángulo equilátero

Si los tres ángulos de un triángulo son agudos, decimos que el triangulo es un triángulo acutángulo, si tiene un ángulo recto, que es un triángulo rectángulo y si tiene un ángulo obtuso, que es un triángulo obtusángulo.

Triángulo acutángulo

Triángulo rectángulo

Triángulo obtusángulo

Note que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo siempre es 180º. Así que por ejemplo, si en ∆ABC, m ∠ ABC = 50º y m ∠ BCA = 45º, Geometría

23

entonces podemos deducir que m ∠ BAC = 180º – (50º + 45º) = 180º - 95º = 85º.

Triángulo con m ∠ BAC = 85º

Si ∆ABC es un triángulo rectángulo con el punto B en el vértice del ángulo recto, entonces los lados AB y BC son catetos del triángulo y el lado AC es la hipotenusa del triángulo. Según la Regla de Pitágoras, si a y b son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la medida de su hipotenusa, entonces c2 = a2 + b2. Por ejemplo, si los catetos de ∆ABC miden 6 y 8, entonces c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100, por lo tanto c =

100 = 10.

Triángulo rectángulo con hipotenusa c = 10

Si tenemos un triángulo ABC, al segmento con un extremo en un vértice, digamos el vértice A y contenido en la bisectriz del ∠ BAC tal que el otro

24

Javier O. Sierra Padilla

extremo del segmento está en BC le llamamos bisectriz del triángulo. Note que un triángulo tiene un máximo de tres bisectrices.

Triángulo ABC con bisectrices AD , BE y CF

En un triángulo, al segmento con extremos en un vértice y el punto medio del segmento contiene a los otros dos vértices, se le llama mediana del triángulo. Note que un triángulo tiene un máximo de tres medianas.

Triángulo ABC con medianas AD , BE y CF

A la distancia de un vértice A de un triángulo a la recta que contiene a los otros dos vértices B y C, se le llama altura del triángulo y a la medida del

Geometría

25

segmento BC se le llama la base correspondiente a esa altura. Note que los triángulos tienen un máximo de tres alturas.

Triángulo ABC con alturas h1, h2 y h3 Si h es una altura de un triángulo y b la base correspondiente, el área del triángulo es A =

b×h . Por ejemplo, si la altura h = 4 y la base b = 7, entonces 2

el área del triángulo es A =

7× 4 28 = = 14. 2 2

Triángulo altura h = 4, base b = 7 y área A = 14

Ejercicios 1.5 1. ¿Es equivalente ∆ABC y ∆BCA? 2. ¿Es equivalente ∆ABC y ∆CAB? 3. ¿Es un triángulo equilátero un triángulo isósceles?

26

Javier O. Sierra Padilla

4. ¿Es un triángulo isósceles un triángulo equilátero?

5. Dibuje un triángulo recto e isósceles.

6. Dibuje un triángulo obtusángulo e isósceles.

7. ¿Un triángulo equilátero es un triángulo acutángulo? 8. Halle m ∠ ABC en los siguientes triángulos:

a.

b.

c.

d.

9. Halle la medida del lado x en los siguientes triángulos rectángulos:

Geometría

27

a.

c.

b.

d.

10. Dibuje un triángulo equilátero con sus tres bisectrices.

11. Dibuje un triángulo equilátero con sus tres medianas.

12. Dibuje un triángulo equilátero con sus tres alturas.

13. Dibuje la bisectriz, la mediana y la altura con extremo en el vértice A del siguiente triángulo:

14. Calcule el área de un triángulo con base b = 10 y altura h = 6.

15. Calcule el área de un triángulo rectángulo con medidas de sus catetos 6 y 8.

1.6 Cuadriláteros

28

Javier O. Sierra Padilla

Si A, B, C y D son los vértices de un cuadrilátero con lados AB , BC , CD y DA , entonces podemos referirnos al cuadrilátero como el cuadrilátero ABCD,

□ABCD

y decimos que los segmentos AC y BD son las diagonales del

cuadrilátero. Además decimos que los vértices A y C son vértices opuestos, al igual que los puntos B y D.

Cuadrilátero ABCD con diagonales AC y BD

Un cometa es un cuadrilátero con dos pares de lados consecutivos congruentes.

Cometa con AB ≅ AD y BC ≅ CD

Geometría

29

Si d1 y d2 son las medidas de las diagonales de un cometa, entonces el área del cometa es A =

d 1d 2 . Por ejemplo, si las diagonales del cometa son 2

d1 = 7 y d2 = 4, entonces el área del cometa es A =

7× 4 28 = = 14. 2 2

Cometa con diagonales d1 = 7, d2 = 4 y A = 14 Un rombo es un cometa con los cuatro lados congruentes.

Rombo AB ≅ AD ≅ BC ≅ CD

Un trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos.

Trapecio con AB || CD

30

Javier O. Sierra Padilla

Si h es la distancia entre cualquier punto de la recta que contiene un lado paralelo de un trapecio a la recta que contiene el otro lado y b1 y b2 son las medidas de los lados paralelos, entonces el área del trapecio es A =

h(b1 + b2 ) . 2

A la cantidad h se le llama la altura del trapecio y a las cantidades b1 y b2 las bases del trapecio. Por ejemplo, si la altura del trapecio h = 4, las bases b1 = 8 y b2 = 3, entonces el área del trapecio A =

4(8 + 3) 4(11) 44 = = = 22. 2 2 2

Trapecio con altura h = 4, bases b1 = 8, b2 = 3 y área A = 22 Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos.

Paralelogramo con AB || CD y AD || BC

Note que en un paralelogramo los lados paralelos tienen la misma medida. Si le llamamos a una de estas medidas b, base del paralelogramo y la altura del paralelogramo h, es la distancia entre las rectas que contienen a estos

Geometría

31

lados, entonces el área del paralelogramo es A = b × h. Por ejemplo, si la base del paralelogramo b = 10 y la altura h = 4, entonces el área del paralelogramo A = 10 × 4 = 40.

Paralelogramo con base b = 10, altura h = 4 y área A = 40

Un rectángulo es un paralelogramo con los cuatro ángulos rectos.

Rectángulo con AB || CD y AD || BC Si b es la base del rectángulo, la altura a, corresponde a la medida de otro de sus lados y el área del rectángulo es A = b × a. Por ejemplo, si la base del rectángulo b = 6 y la altura a = 4, entonces el área del rectángulo A = 6 × 4 = 24.

Rectángulo con base b = 6, altura a = 4 y área A = 24

En ocasiones nos referimos a la base de un rectángulo como el largo del rectángulo y entonces a la altura como el ancho del rectángulo.

32

Javier O. Sierra Padilla

Un cuadrado es un rectángulo con los cuatro lados congruentes.

Cuadrado con AB ≅ BC ≅ CD ≅ CA

Si s es la medida de los lados de un cuadrado, entonces el área del cuadrado es A = s2. Por ejemplo, si un lado del cuadrado s = 5, entonces el área del cuadrado A = 52 = 25.

Cuadrado con lado s = 5 y área A = 25

Ejercicios 1.6 1. ¿Es equivalente □ABCD y □ADCB?

2. ¿Es equivalente □ABCD y □ABDC?

3. ¿Es un cometa un rombo?

4. ¿Es un rombo un cometa?

5. ¿Es un trapecio un paralelogramo? Geometría

33

6. ¿Es un paralelogramo un trapecio?

7. ¿Es un paralelogramo un rectángulo?

8. ¿Es un rectángulo un paralelogramo?

9. ¿Es un rectángulo un cuadrado?

10. ¿Es un cuadrado un rectángulo?

11. ¿Es un cuadrado un paralelogramo?

12. ¿Es un cuadrado un trapecio?

13. ¿Cuál es el área de un cometa con diagonales d1 = 4 y d2 = 9? 14. ¿Cuál es el área de un rombo con diagonales d1 = 6 y d2 = 3? 15. Halle el perímetro y el área de los siguientes cuadriláteros:

34

a.

b.

c.

d.

Javier O. Sierra Padilla

1.7 Rectas y planos en el espacio

Si dos rectas l1 y l2 en un plano no son paralelas, entonces se intersecan exactamente en un punto, llamémosle punto C. Si los puntos A y B están en la recta l1 y los puntos D y E en la recta l2 tal que el punto C está entre A y B, además de estar entre D y E, entonces las rectas l1 y l2 determinan cuatro ángulos, estos son ∠ ACD, ∠ DCB, ∠ BCE y ∠ ECA.

Para mayor facilidad

podemos referirnos a estos ángulos como ∠ 1, ∠ 2, ∠ 3 y ∠ 4 respectivamente.

Rectas con ∠ ACD, ∠ DCB, ∠ BCE y ∠ ECA Decimos que ∠ 1 y ∠ 3, al igual que ∠ 2 y ∠ 4 son ángulos opuestos por el vértice. También decimos que ∠ 1 y ∠ 2 son un par lineal, al igual que ∠ 2 y ∠ 3, ∠ 3 y ∠ 4 y que ∠ 4 y ∠ 1. Note que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes y que los ángulos que conforman un par lineal son suplementarios.

Ángulos congruentes opuestos por el vértice

Geometría

35

Si alguno de estos ángulos es recto, entonces los cuatro ángulos son rectos y decimos que las rectas l 1 y l 2 son perpendiculares l 1 ⊥ l 2.

Rectas l 1 ⊥ l 2

Una recta que interseca dos rectas coplanarias es una transversal. Una transversal determina ocho ángulos sobre las dos rectas.

Si un lado de un

ángulo contiene los dos puntos de intersección de la transversal, entonces es un ángulo interior y los ángulos opuestos por el vértice a los ángulos interiores son ángulos exteriores. Un ángulo exterior y el ángulo interior que contiene al menos uno de sus puntos interiores más allá de los de sus lados son ángulos correspondientes.

Un ángulo interior y el opuesto por el vértice a su

correspondiente son ángulos alternos interiores.

Igualmente, un ángulo

exterior y el opuesto por el vértice a su correspondiente son ángulos alternos exteriores.

36

Javier O. Sierra Padilla

Transversal l con ángulos interiores ∠ 3, ∠ 4, ∠ 5 y ∠ 6 En la figura anterior

∠1 y

∠

5 es un ejemplo de ángulos

correspondientes, ∠ 3 y ∠ 5 un ejemplo de ángulos alternos interiores y por otro lado, ∠ 1 y ∠ 7 es un ejemplo de ángulos alternos exteriores.

Si una recta es transversal a dos rectas paralelas, entonces los ángulos correspondientes son congruentes al igual que los ángulos alternos interiores. Note también, que ángulos alternos exteriores son congruentes.

Recta l transversal a l 1 || l 2

Una recta l es perpendicular a un plano M si es perpendicular a toda recta del plano que pase por el punto de intersección y podemos escribir l ⊥ M.

Geometría

37

Recta l perpendicular al plano M

La distancia de un punto a un plano es la medida del segmento con extremos en el punto y el plano y contenido en una recta perpendicular al plano.

El punto A está a 5 unidades de distancia del plano M

La distancia de una recta a un plano que lo interseque es cero y la distancia de cualquier otra recta al plano es la distancia de cualquier punto de la recta al plano.

38

Javier O. Sierra Padilla

Recta l a 5 unidades de distancia del plano M

La distancia entre dos planos que se intersequen es cero, de otra manera los planos son paralelos y la distancia entre planos paralelos es la distancia de cualquier recta contenida en uno de los planos al otro plano.

Planos M1 || M2 a 5 unidades de distancia

Cuando dos planos se intersecan su intersección es una recta.

Recta l intersección de los planos Geometría

39

Dos planos M1 y M2 son perpendiculares si se intersecan en una recta l y cada recta perpendicular a la recta l en el plano M2 es perpendicular a cada recta del plano M1 que la interseque. En este caso podemos escribir M1 ⊥ M2.

Planos M1 y M2 perpendiculares Ejercicios 1.7

1. Determine lo siguiente:

a. ángulos opuestos por el vértice

b. ángulos que son un par lineal 2. Halle la medida de ∠ 1, ∠ 2 y ∠ 3 en la siguiente figura:

40

Javier O. Sierra Padilla

3. Determine lo siguiente:

a. ángulos interiores

c. ángulos alternos exteriores

b. ángulos alternos interiores

d. ángulos correspondientes

4. Halle la medida de ∠ 1, ∠ 2, ∠ 3, ∠ 4, ∠ 5, ∠ 6 y ∠ 7 en la siguiente figura:

5. En la siguiente figura el plano M1contiene a la recta l y al punto A. Si la distancia de M1 a M2 es 5 y la distancia de M2 a M3 es 3, conteste lo siguiente:

Geometría

41

a. ¿Cuál es la distancia del plano M1 al plano M3?

b. ¿Cuál es la distancia de la recta l al plano M2?

c. ¿Cuál es la distancia del punto A al plano M2?

d. ¿Cuál es la distancia de la recta l al plano M3?

e. ¿Cuál es la distancia del punto A al plano M3?

Capítulo 2 Sólidos 2.1 Poliedros

Un poliedro es la unión de varios polígonos en el espacio de tal manera que cada lado de cada polígono es compartido por exactamente dos polígonos. A los polígonos que componen un poliedro se le llaman caras del poliedro, a los lados de las caras aristas y a los extremos de los lados vértices del poliedro.

42

Javier O. Sierra Padilla

Poliedro

Los poliedros pueden ser clasificados según las características de sus caras. Por ejemplo, un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares congruentes.

Hexaedro

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

El área de superficie de un poliedro es la suma de las áreas de cada una de sus caras. Por ejemplo en un hexaedro, si cada lado en sus caras mide 3, entonces cada cara tiene un área de 32 = 9 y como el hexaedro tiene seis caras congruentes, entonces el área de superficie es 6 × 9 = 54.

Geometría

43

Hexaedro con área de superficie 54

Ejercicios 2.1

1. Indique cuantas caras, aristas y vértices tiene el siguiente poliedro:

2. Indique cuantas caras, aristas y vértices tiene el siguiente poliedro:

3. Un tetraedro es un poliedro regular con 4 caras y cada cara es un triángulo equilátero. Dibuje un tetraedro.

4. Si cada lado en las caras de un hexaedro mide 5, entonces ¿cuál es el área de superficie del hexaedro?

44

Javier O. Sierra Padilla

5. Si cada lado en las caras de un octaedro mide 4, entonces ¿cuál es el área de superficie del octaedro?

6. ¿Cuántas caras tiene un dodecaedro?

7. ¿Cuántas caras tiene un icosaedro?

8. Si cada una de las caras de un dodecaedro tiene área 6, entonces ¿cuál es el área de superficie del dodecaedro?

2.2 Prismas

Un prisma es un poliedro con dos caras congruentes contenidas en planos paralelos y sus otras caras son paralelogramos. Las caras congruentes contenidos en los planos paralelos son las bases del prisma y las otras caras son las caras laterales.

Prisma La distancia entre los planos que contienen las bases de un prisma es la altura del prisma. Si las aristas que no están en las bases son perpendiculares a las bases, entonces el prisma es un prisma recto, de lo contrario es un prisma oblicuo.

Geometría

45

Prisma recto con altura h

Prisma oblicuo con altura h

Si B es el área de una de las bases de un prisma y h su altura, entonces el volumen del prisma es V = B × h. Por ejemplo, si la base de un prisma es un rectángulo con largo 6 y ancho 4 y la altura del prisma es 3, entonces el área de la base B = 6 × 4 = 24 y el volumen del prisma es V = 24 × 3 = 72.

Prisma con volumen V = 72

Los prismas se pueden clasificar según las características de sus bases. Si las bases son triángulos, entonces es un prisma triangular. Si las bases son rectángulos, entonces es un prisma rectangular. Por otro lado, si las bases son pentágonos, entonces es un prisma pentagonal.

46

Javier O. Sierra Padilla

Prisma triangular

Prisma rectangular

Prisma pentagonal

Un prisma regular es un prisma donde las bases son polígonos regulares.

Por ejemplo, si las bases del prisma son triángulos regulares

(triángulos equiláteros), entonces el prisma es un prisma triangular regular.

Prisma triangular regular

Si las bases de un prisma son paralelogramos, entonces todos sus lados son paralelogramos y el prisma recibe el nombre de paralelípedo.

Geometría

47

Paralelípedo

Note que un paralelípedo tiene tres pares de caras congruentes contenidas en planos paralelos.

Si un prisma recto es rectangular entonces decimos que el prisma es un sólido rectangular o simplemente que es una caja y podemos notar que todas sus caras son rectangulares.

Sólido rectangular

Si en un sólido rectangular todas sus caras son iguales (cuadrados), entonces decimos que el prisma es un cubo.

48

Javier O. Sierra Padilla

Cubo

Ejercicios 2.2

1. Si la base de un prisma es un hexágono, ¿cuántos vértices tiene el prisma?

2. Si la base de un prisma es un octágono, ¿cuántas aristas tiene el prisma?

3. Si un prisma tiene 8 vértices, ¿cuántas caras tiene el prisma?

4. Si un prisma tiene 10 vértices, ¿cuántas aristas tiene el prisma?

5. Si la base de un prisma con altura 5 es un rectángulo con largo 3 y ancho 6, ¿cuál es el volumen del prisma?

6. Si la base de un prisma con altura 8 es un triángulo rectángulo con catetos de medidas 3 y 4, ¿cuál es el volumen del prisma?

7. Dibuje un prisma hexagonal recto.

8. Dibuje un prisma hexagonal oblicuo.

9. ¿Cuántas alturas diferentes puede tener un paralelípedo?

10. ¿Es todo prisma rectangular un paralelípedo? 2.3 Pirámides

Geometría

49

Una pirámide es un poliedro donde todas sus caras excepto una comparten un vértice. El vértice que es compartido por las caras usualmente es llamado el vértice de la pirámide y la cara que no comparte el vértice es la base de la pirámide.

Pirámide con vértice A y base □BCDE Note que todas las caras de una pirámide excepto la base son triángulos.

Las pirámides se pueden clasificar según las características de su base. Si la base de la pirámide es un triángulo, entonces decimos que es una pirámide triangular.

Si su base es un rectángulo, decimos que es una

pirámide rectangular y si su base es un pentágono, que es una pirámide pentagonal.

Pirámide triangular

Pirámide rectangular

Pirámide pentagonal

La distancia del vértice de la pirámide al plano que contiene la base es la altura de la pirámide. Si la base de la pirámide es un polígono regular y todas

50

Javier O. Sierra Padilla

sus caras (excepto la base) son triángulos isósceles, decimos que es una pirámide regular. La altura de estos triángulos corresponde también a lo que llamamos la altura lateral de la pirámide.

Pirámide regular con altura h1 y altura lateral h2

Si B es el área de la base de una pirámide y h su altura, entonces el volumen de la pirámide es V =

B×h . Por ejemplo, si la altura h de una 3

pirámide rectangular es 5 y la base tiene largo 6 y ancho 4, entonces el área de la base es B = 6 × 4 = 24 y el volumen de la pirámide es V =

24 × 5 120 = = 40. 3 3

Pirámide con volumen V = 40

Ejercicios 2.3

Geometría

51

1. Si la base de una pirámide es un octágono, ¿cuántas caras tiene la pirámide?

2. Si la base de una pirámide es un decágono, ¿cuántas aristas y cuántos vértices tiene la pirámide?

3. Dibuje una pirámide hexagonal. Identifique su vértice.

4. Dibuje una pirámide pentagonal regular. Identifique su vértice.

5. Si la base B de una pirámide tiene área 36 y su altura h es 4, ¿cuál es el volumen de la pirámide?

6. Si la base de una pirámide regular es un cuadrado con lados de medida 4 y su altura h es 9, ¿cuál es el volumen de la pirámide?

2.4 Conos

Si el número de lados de un polígono regular es grande, entonces podemos apreciar que el polígono parece un círculo.

Dodecágono dentro de un círculo

De igual manera, si la cantidad de lados de la base de una pirámide regular es grande, entonces la base de la pirámide parece un círculo.

52

Javier O. Sierra Padilla

Pirámide decagonal regular

Esto nos lleva a definir la siguiente figura análoga a una pirámide regular pero en lugar de que la base sea un polígono regular, sea un círculo.

La unión de todos los puntos en el espacio de un círculo, un punto fuera del círculo y los puntos entre todos estos puntos es un cono. El círculo es la base del cono y el punto fuera del círculo es el vértice del cono.

Cono con vértice A

A la medida del segmento perpendicular al plano que contiene la base del cono, con extremos en este plano y el vértice del cono es la altura del cono. Si

Geometría

53

este segmento tiene extremo en el centro de la base, decimos que el cono es recto y de otra manera, decimos que el cono es oblicuo.

La medida de

cualquier segmento con extremos en el vértice de un cono recto y la base del cono es la altura lateral del cono.

Cono recto con altura h y altura lateral l

Cono oblicuo

Note que los conceptos de altura y altura lateral de un cono recto son análogos a los correspondientes en una pirámide regular.

El área de superficie de un cono recto incluye el área de la base y lo que se conoce como el área lateral del cono. El área lateral de un cono recto

54

Javier O. Sierra Padilla

con base de radio r y altura inclinada l es Al = r l π . Por lo tanto, el área superficial de un cono recto con altura inclinada l

y base de radio r

es

AT = r l π + r2 π . Por ejemplo, si la base de un cono recto tiene radio r = 3 y altura inclinada l = 5, entonces el área de superficie total del cono es AT = 3 × 5 × π + 32 × π = 15 π + 9 π = 24 π .

Cono recto con área de superficie total AT = 24 π

El volumen de un cono es muy análogo al de una pirámide. Si B es área de la base del cono y h es la altura del cono, entonces el volumen del cono es V =

B×h . Por ejemplo, si la base de un cono con altura h = 6, es un círculo 3

con radio r = 5, entonces el área de la base es B = 52 π = 25 π y por lo tanto, el volumen del cono es V =

25π × 6 150π = = 50 π . 3 3

Cono con volumen V = 50 π Ejercicios 2.4

Geometría

55

1. Dibuje un cono recto con altura igual al radio de su base.

2. Dibuje un cono oblicuo con altura igual al diámetro de su base.

3. ¿Cuál es el volumen de un cono con altura h = 9 y base con radio r = 4?

4. ¿Cuál es el volumen y área de superficie total de un cono recto con altura h = 6 y base con diámetro d = 16?

5. Un plano que pasa por el segmento que representa la altura de un cono recto con volumen 24 π , divide el cono en dos secciones idénticas. Dibuje una de estas secciones y mencione su volumen.

6.

Un plano que biseca perpendicularmente al segmento que representa la

altura de un cono recto con radio r = 2 y volumen 8 π , divide el cono en dos secciones. Dibuje cada una de estas secciones.

2.5 Cilindros

56

Javier O. Sierra Padilla

Hemos visto que si la cantidad de lados de un polígono regular es grande, entonces puede parecer un círculo. De igual manera, si la cantidad de lados de las bases de un prisma con bases regulares es grande, entonces estas bases lucirán como círculos.

Prisma con bases undecagonales

Esto nos lleva a definir la siguiente figura análoga a un prisma regular pero en lugar de que las bases sean polígonos regulares, sean círculos.

La unión de dos círculos congruentes contenidos en planos paralelos, los puntos en el interior de los círculos y de todos los segmentos con extremos en estos círculos paralelos al segmento con extremos en los centros de los círculos es un cilindro. Cada uno de estos círculos y los puntos correspondientes en sus interiores son bases del cilindro.

Cilindro

Geometría

57

Si el segmento con extremos en los centros de las bases de un cilindro es perpendicular a las bases, decimos que es un cilindro recto, de otra manera decimos que es un cilindro oblicuo.

Cilindro recto

Cilindro oblicuo

El área de superficie de un cilindro recto incluye el área de las bases y lo que se conoce como el área lateral del cilindro. El área lateral de un cilindro recto con altura h y con bases de radio r es Al = 2rh π . Por lo tanto, el área superficial de un cilindro recto con altura h y base de radio r es AT = 2rh π + 2r2 π . Por ejemplo, si las bases de un cilindro recto con altura h = 6, tienen radio r = 4, entonces el área de superficie total del cilindro es AT = 2 × 4 × 6 × π + 2 × 42 × π = 48 π + 32 π = 80 π .

Cilindro recto con área de superficie total AT = 80 π

58

Javier O. Sierra Padilla

El volumen de un cilindro es muy análogo al de un prisma. Si r es el radio de una de las bases del cilindro y h es la altura del cilindro, entonces el volumen del cilindro es V = r2h π . Por ejemplo, si el radio de una de las bases de un cilindro con altura h = 6 es r = 3, entonces el volumen del cilindro es V = 32 × 6 × π = 9 × 6 × π = 54 π .

Cilindro con volumen V = 54 π

Ejercicios 2.5

1. Dibuje un cilindro recto con altura igual al radio de sus bases.

2. Dibuje un cilindro oblicuo con altura igual al diámetro de sus bases.

3. ¿Cuál es el volumen de un cilindro con altura h = 8 y bases con radio r = 5?

4. ¿Cuál es el volumen y área de superficie total de un cilindro recto con altura h = 9 y bases con diámetro d = 16?

5.

Si se duplica la altura de un cilindro, ¿cuánto aumenta el volumen del

cilindro?

6. Si se duplica el radio de las bases de un cilindro recto, ¿cuánto aumenta el volumen del cilindro? ¿cuánto aumenta el área de las bases? ¿cuánto aumenta el área de superficie lateral?

Geometría

59

2.6 Esferas

La colección de todos los puntos en el espacio que equidisten a una distancia determinada de cierto punto es una esfera.

El punto del cual

equidistan los puntos de la esfera es el centro de la esfera y la distancia a la cual se encuentran los puntos de la esfera del centro es el radio de la esfera. Esta definición es análoga a la de un círculo, con la excepción de que el círculo se limita a un plano y la esfera está en el espacio.

Esfera con centro C y radio r

Si un plano pasa por el centro de una esfera, divide la esfera en dos secciones iguales llamadas semiesferas.

Semiesfera

60

Javier O. Sierra Padilla

El área de superficie de una esfera con radio r es A = 4r2 π .

Por

ejemplo, si el radio de una esfera es r = 6, entonces su área de superficie es A = 4 × 62 × π = 4 × 36 × π = 144 π . Por otro lado, el volumen de una esfera es V = V=

4r 3π . En el ejemplo anterior, el volumen de la esfera de radio r = 6 es 3

4(216)π 864π 4(6)3 π = = = 288 π . 3 3 3

Esfera con área de superficie A = 144 π y volumen V = 288 π

Ejercicios 2.6

1. ¿Qué resulta de la intersección de un plano y una esfera?

2. ¿Qué resulta de la intersección de un plano y una semiesfera?

3. ¿Cuál es el volumen y área de superficie de una esfera con radio r = 3?

4. ¿Cuál es el volumen y área de superficie de una semiesfera con radio r = 6?

5. ¿Cuál es el radio de la esfera mayor posible circunscrita en un cubo con lados de medida 8?

6. ¿Cuál es el volumen del sólido rectangular menor posible que contenga dos esferas de radio r = 4? Geometría

61

Capítulo 3 Transformaciones Sección 3.1 Reflexiones

Una transformación o proyección de un conjunto de puntos es una regla que asigna una nueva ubicación o localización a cada punto del conjunto. Estas transformaciones pueden ser muy variadas y complejas o ser muy simples. Por ejemplo, una transformación muy sencilla es la que a cada punto del conjunto le asigna su localización original, obteniéndose así la misma figura. Este tipo de transformación donde cada punto del conjunto es dejado en su localización

original

es

conocida

como

una

identidad.

En

otras

transformaciones ya no tan simples, todos los puntos son asignados a una nueva ubicación por medio de una misma regla. La naturaleza de esta regla es la que le da un nombre particular a la transformación. Veremos en esta sección aquellas que son conocidas como reflexiones.

Sea el punto A un extremo de un segmento bisecado perpendicularmente por el plano M, el punto A’ en el otro extremo del segmento es la reflexión del punto A a través del plano M. El plano M es llamado el plano de reflexión.

Reflexión del punto A a través del plano M

62

Javier O. Sierra Padilla

Es más interesante ver reflexiones de conjuntos de puntos con formas conocidas.

Reflexión de una pirámide a través del plano M

Es bueno recalcar que los puntos a ser reflejados no tienen que estar todos a un mismo lado del plano de reflexión.

Reflexión de la recta l a través del plano M

Podemos hacer una definición análoga a la de reflexión a través de un plano, donde en lugar de utilizar un plano para hacer la reflexión, utilizamos una recta.

Geometría

63

Sea el punto A un extremo de un segmento bisecado perpendicularmente por la recta l, el punto A’ en el otro extremo del segmento es la reflexión del punto A a través de la recta l. La recta l es llamada la recta de reflexión. Esta definición es válida en el espacio, sin embargo es más fácil de visualizar si todos los puntos a ser reflejados están en un plano.

Reflexión de los puntos A, B, C y D a través de la recta l

Note que si todos los puntos a ser reflejados están en un plano, entonces las reflexiones de esos puntos también están en el mismo plano.

Reflexión de ∆ABC a través de una recta

64

Javier O. Sierra Padilla

Podemos hacer otra definición análoga a la de reflexión a través de un plano o recta, donde en lugar de utilizar un plano o recta para hacer la reflexión, utilizamos un punto. Sea el punto A un extremo de un segmento bisecado por un punto M, el punto A’ en el otro extremo del segmento es la reflexión del punto A a través del punto M. El punto M es llamado el punto de reflexión.

Reflexión de los puntos A y B a través del punto M

Una isometría es una transformación tal que si el punto A’ es la proyección del punto A y el punto B’ es la proyección del punto B, entonces AB = A’B’, o sea la distancia del punto A al punto B es igual a la distancia del punto A’ al punto B’. En otras palabras, una isometría es una transformación donde se preservan las distancias. Note que todas las reflexiones presentadas hasta el momento son isometrías. Por ejemplo, en la figura anterior se puede observar que AB = A’B’.

Isometría con AB = A’B’

Geometría

65

En una isometría al preservarse las distancias entre puntos, también se puede observar que la medida de ángulo se preserva de igual manera. Por lo tanto, podemos predecir que la reflexión de un triángulo es otro triángulo, la proyección de un cubo es otro cubo, etc. Una característica que tienen ciertas figuras es la simetría. Para saber si una figura es simétrica hay que efectuar una reflexión y comparar esta figura con su proyección. Existen diferentes tipos de simetrías que se distinguen según el tipo de reflexión.

Un conjunto de puntos tiene simetría a través de un plano si existe un plano tal que al reflejar la figura a través de este plano, se obtiene el mismo conjunto de puntos.

Cubo simétrico a través de un plano

Un conjunto de puntos puede tener simetría a través de una recta. Esto nos lleva a la siguiente definición análoga a la de simetría a través de un plano. Un conjunto de puntos tiene simetría a través de un plano si existe una recta tal que al reflejar la figura a través de esta recta, se obtiene el mismo conjunto de puntos.

66

Javier O. Sierra Padilla

Triángulo isósceles simétrico a través de una recta La definición de simetría a través de un punto es análoga a la de simetría a través de un plano o una recta. Un conjunto de puntos tiene simetría a través de un punto si existe un punto tal que al reflejar la figura a través de este punto, se obtiene el mismo conjunto de puntos. Ejemplos muy simples son una esfera con simetría a través de su centro o un segmento a través de su punto medio.

Esfera simétrica a través del centro C Segmento simétrico a través del punto M

Es bueno notar que es posible que una figura tenga más de un plano, recta o punto de simetría. Además que algunas simetrías son mejor apreciadas en un plano en lugar que en el espacio.

Ejercicios 3.1

1. Si los puntos A’, B’, C’ y D’ son las proyecciones de los puntos A, B, C y D respectivamente, entonces ¿cuál es la reflexión de las siguientes figuras? Geometría

67

a. AB

d. ∠ABC

b. AB

e. ∆ABC

c. AB

f.

□ABCD

2. ¿Es toda identidad una isometría?

3. Dibuje la reflexión del siguiente cuadrilátero a través de la recta.

4. Dibuje la reflexión de la siguiente figura a través del plano.

5. Dibuje la reflexión del siguiente segmento a través del punto M.

68

Javier O. Sierra Padilla

6. ¿Cuántos planos de simetría tienen las siguientes figuras?

a. Cubo

d. Cilindro recto

b. Segmento

e. Prisma rectangular recto

c. Círculo

f. Pirámide triangular regular

7. ¿Cuántas rectas de simetría tienen las siguientes figuras en el mismo plano?

a. Segmento

d. Cuadrado

b. Triángulo equilátero

e. Círculo

c. Rectángulo

f. Hexágono regular

8. ¿Cuántos puntos de simetría tienen las siguientes figuras?

a. Segmento

d. Cuadrado

b. Triángulo equilátero

e. Círculo

c. Rectángulo

f. Hexágono regular

9. Indique si las siguientes figuras son simétricas a través de un plano.

a. Geometría

c. 69

b.

d.

10. Indique si las siguientes figuras son simétricas a través de una recta.

a.

c.

b.

d.

3.2 Traslaciones

Antes de poder presentar las transformaciones conocidas como traslaciones, necesitamos definir lo que son vectores.

Un vector es un segmento donde uno de los dos extremos es identificado como el punto inicial y el otro extremo como el punto final. Para diferenciar entre los extremos de un vector hacemos una flecha en el extremo que sea el punto

70

Javier O. Sierra Padilla

final. En ocasiones nos referimos a un vector por medio de una letra minúscula, digamos u y escribimos u .

Vector u No debe confundirse la notación para un vector con la de un rayo. En la notación de vector se utiliza una letra minúscula y en la de rayo dos letras mayúsculas.

Tampoco

debe

confundirse

el

concepto

de

segmentos

equivalentes con el de vectores. Para que dos segmentos sean equivalentes deben simplemente tener la misma medida, sin embargo para que dos vectores sean equivalentes, deben tener la misma medida y tener la misma dirección.

Vector equivalentes

Vectores no equivalentes

Para referirnos a la medida de un vector u escribimos |u | y note que si A es el punto inicial de u y B el punto final, entonces AB = |u |. Vector u con |u | = 5

Ya que tenemos definido lo que es un vector, podemos definir aquellas trasformaciones conocidas como traslaciones. La traslación u de un conjunto de puntos es el conjunto de puntos finales de todos los vectores equivalentes a u tal que tengan punto inicial en algún punto del conjunto de puntos.

Geometría

71

Traslación u de los puntos A, B y C

Visto de otra manera, la traslación u de una figura es el movimiento de la figura en la dirección del vector u la cantidad de unidades correspondiente a la medida de u .

Traslación u de una pirámide

Una traslación puede ser vista como la como la reflexión a través de un plano de la reflexión a través de otro plano paralelo de un conjunto de puntos.

72

Javier O. Sierra Padilla

Traslación de una pirámide

Note que una toda traslación es una isometría.

Ejercicios 3.2

1. Utilice el vector u para crear las traslaciones u de las siguientes figuras.

a.

Geometría

c.

73

b.

d.

2. Utilice el vector u para crear las traslaciones u de las siguientes figuras.

3.

a.

c.

b.

d.

Indique que figura se obtiene al unir las siguientes figuras con sus

traslaciones u . Vector u con |u | = 3

a. Segmento horizontal con medida 4

b. Una recta horizontal

c. Dos rectas verticales a 3 unidades de distancia

d. Un punto

74

Javier O. Sierra Padilla

4. Un punto es trasladado hacia la derecha por medio de un vector horizontal de medida 4, luego es trasladado hacia arriba por medio de un vector vertical de medida 3, ¿cuál debe ser la medida del vector necesario para trasladarlo a su lugar original?

5. ¿Cuál debe ser la medida de un vector para que una traslación sea una identidad?

6. Trace todas las rectas de simetrías del siguiente polígono.

3.3 Rotaciones

Ya que los vectores parecen rayos gráficamente, podemos hacer una definición análoga para el ángulo entre dos vectores con un punto inicial en común.

En ángulo entre dos vectores con un punto inicial común, es la

medida del ángulo que forman los rayos con punto inicial en común que contiene a los vectores.

Geometría

75

Ángulo entre los vectores u y v Sea α un número real y los vectores u y v dos vectores con punto inicial en común. Si α es un número no negativo, decimos que el vector v está a α grados del vector u si la cantidad de grados en el sentido contrario al de las manecillas del reloj es α grados desde el vector u hasta el vector v. Si α es un número negativo, decimos que el vector v está a α grados del vector u si la cantidad de grados en el sentido de las manecillas del reloj es α grados desde el vector u hasta el vector v.

Vector v a 30º del vector u ó vector u a -330º del vector v Según esta definición si un vector v está a α grados de un vector u, entonces el vector u está a -α grados del vector v. Además note que si un vector v está a α grados de un vector u, entonces el vector v también está a α + k360o grados del vector v, donde k es un número entero. Por ejemplo, si el vector v está a 60º del vector u, entonces podemos decir que también está a 60º + (1)360º = 420º del vector u ó que está a 60º + (-1)360º = -300º. Estos ejemplos son con valores k = 1 y k = 2 respectivamente. Si k = 2, entonces podemos decir que el vector v está a 60º + (2)360º = 60º + 720º = 780º del vector u.

76

Javier O. Sierra Padilla

Vector v a 60º, 420º, 780º ó -300º del vector u

Veamos ahora otros tipos de transformaciones conocidas como rotaciones Sea un punto A el punto final de un vector perpendicular y punto inicial en una recta l. La rotación α grados del punto A a través de la recta l es el punto final del vector perpendicular y con punto inicial en la recta l que está a unos α grados del vector con punto final A.

Rotación del punto A 30º a través de la recta l La rotación α de un conjunto de puntos a través de una recta l es la rotación α a través de la recta l de cada uno de los puntos del conjunto. A la recta l se le conoce como la recta de rotación.

Geometría

77

Rotación de un cono 30º a través de la recta l

Si los puntos a ser rotados son coplanarios y la recta de rotación es perpendicular a este plano, entonces la rotación se puede ver como una rotación a través de un punto en este plano. Este punto de rotación corresponde a la intersección de la recta de rotación y el plano.

En este caso, el punto es

conocido como el punto de rotación.

Rotación de un triángulo 90º a través de un punto Note que las rotaciones también son isometrías y que una rotación de 0o ó 360o es una identidad. Note también que una rotación de 180o puede ser vista como una reflexión.

Una rotación puede ser vista como dos reflexiones a través de dos planos que se intersecan en la recta de rotación. En el caso de que los puntos a ser rotados sean coplanarios, se puede ver una rotación como dos reflexiones a través de dos rectas que se intersecan en el punto de rotación. Estas dos rectas

78

Javier O. Sierra Padilla

son las que corresponden a la intersección de los dos planos de reflexión con el plano donde están los puntos a ser rotados.

Rotación de un triángulo como dos reflexiones

Al rotar algunas figuras a través de ciertas rectas se obtiene nuevamente la misma figura. En este caso decimos que la figura tiene simetría rotacional y la cantidad positiva mínima de grados necesarios para obtener esta simetría se conoce como la medida del ángulo de simetría.

Pirámide triangular regular con ángulo de simetría de 120º

Algunas figuras como por ejemplo la esfera, tienen varias rectas de rotación con las cuales se obtienen simetrías rotacionales (en este caso cualquier recta que pase por el centro de la esfera). Además en una esfera no importa cuanto rote a través de una recta que pase por su centro, se obtiene una Geometría

79

esfera igual. En estos casos decimos que la figura tiene simetría rotacional para todo ángulo.

Esfera con varias rectas de simetría rotacional

También es interesante observar las simetrías de figuras en el plano como por ejemplo, la de un rectángulo.

Rectángulo con simetría rotacional de 180º

Ejercicios 3.3

1. Efectúe una rotación de 90º de las siguientes figuras a través del punto C.

80

Javier O. Sierra Padilla

a.

c.

b.

d.

2. Indique cuantas rectas de simetría rotacional tienen las siguientes figuras.

a.

c.

b.

d.

3.

Indique la medida del ángulo de rotación a través de la recta l de las

siguientes figuras.

Geometría

81

a.

c.

b.

d.

4.

Indique la medida del ángulo de rotación a través del punto C de las

siguientes figuras.

a.

c.

b.

d.

5. Deduzca una fórmula para la medida del ángulo de simetría de un polígono regular según la cantidad de lados del polígono. 3.4 Dilataciones

82

Javier O. Sierra Padilla

Veamos ahora otros tipos de transformaciones conocidas como dilataciones. Aunque la palabra dilatación pudiera sugerir que la proyección será más “grande” (mayor volumen, área o perímetro), la realidad es que una dilatación puede ser una figura más “pequeña” (menor volumen, área o perímetro). De esta manera, veremos que las dilataciones generalmente no son isometrías, aunque en casos muy particulares si lo son.

Sea k un número real positivo y u un vector con punto inicial C y punto final en A. La dilatación de k unidades del punto A desde un punto C es el punto final del vector con punto inicial C y medida k| u |.

Dilatación de 2 unidades del punto A desde el punto C

La dilatación de k unidades de un conjunto de puntos desde un punto C es la dilatación de k unidades desde el punto C de cada punto en el conjunto.

Dilatación de 4 unidades de una esfera desde su centro

Es interesante ver lo que sucede cuando el valor de k es menor a 1. Esta dilatación hace una proyección de una figura más “pequeña”. Geometría

83

Dilatación de 0.5 unidades de un cubo desde el punto C

También es interesante ver dilataciones en el plano, especialmente desde puntos que no son parte de la figura.

Dilatación de 2 unidades de un triángulo desde el punto C

Note que para el caso en el que el valor de k es igual a 1 se obtiene una identidad y que independientemente el valor de k la dilatación de una recta desde uno de sus puntos o de un rayo desde su punto inicial, también es una identidad. Ejercicios 3.4

84

Javier O. Sierra Padilla

1. Dibuje la dilatación de 2 unidades de las siguientes figuras desde el punto C.

a.

c.

b.

d.

2. Dibuje la dilatación de 2 unidades de las siguientes figuras desde el punto C.

a.

c.

b.

d.

3.

Si se hace una dilatación de 3 unidades de un segmento que mide 4

unidades desde uno de sus extremos, ¿cuál es la medida del segmento resultante de la proyección?

Geometría

85

4. ¿Cuál es la medida del segmento resultante de la dilatación de 4 unidades desde el punto C del siguiente segmento?

5. ¿Cuál es la medida del ángulo resultante de la dilatación de 3 unidades desde el vértice de un ángulo con medida 30º?

6. Si se hace una dilatación de 3 unidades de un círculo con radio 4 unidades desde su centro, ¿cuál es la circunferencia del círculo resultante de la proyección? ¿cuál es el área?

7. Si se hace una dilatación de 0.5 unidades de una esfera con radio 6 unidades desde su centro, ¿cuál es el área de superficie de la esfera resultante de la proyección? ¿cuál es su volumen?

8. Si se hace una dilatación de 3 unidades de un cono recto de altura 2 y radio 1 desde su vértice ¿cuál es el volumen del cono resultante de la proyección?

Respuestas a ejercicios Ejercicios 1.1

86

Javier O. Sierra Padilla

1. No,

2. No,

3. Si,

4. Si,

5. No, 6. No 7. Si 8. Si 9. No 10. Si

11. Si,

Geometría

87

12. Si,

13. Si,

14. 4 15. 12

Ejercicios 1.2

1. 8 2. 1.5 3. Circunferencia: 8 π , área: 16 π 4. Circunferencia: 3 π , área: 2.25 π 5. Si

6. 5,

7. 2, 8. 45º 9. 36º 10. 300º

Ejercicios 1.3

1. Si 2. No 3. No 88

Javier O. Sierra Padilla

4. 260º 5. 270º 6. a) obtuso b) agudo c) obtuso d) agudo e) agudo f) recto g) obtuso h) agudo

7. 35º,

8. 171º, 9. 41º 10. 154º 11. a) 52º b) 47º c) 0º d) 90º e) 82º 12. a) 142º b) 37º c) 90º d) 180º e) 172º

Ejercicios 1.4

1. a) Si b) Si c) Si d) No e) No 2. a) ∠ ABC, ∠ BCD, ∠ CDE, ∠ DEA, ∠ EAB b) ∠ ABC, ∠ BCD, ∠ CDE, ∠ DEF, ∠ EFA, ∠ FAB 3. a) Triángulo b) Heptágono c) cuadrilátero d) Octágono e) Pentágono 4. a) Convexo b) No convexo c) Convexo d) No convexo e) No convexo

Geometría

89

5. a)

b)

c)

d)

6. a) 18 b) 32 c) 12 d) 19

Ejercicios 1.5

1. Si 2. Si 3. Si 4. No

5.

6. 7. Si 8. a) 40o b) 50o c) 30o d) 45o 9. a) 5 b) 15 c) 13 d)

2 2

10.

11.

90

Javier O. Sierra Padilla

12.

13. 14. 30 15. 24

Ejercicios 1.6

1. Si 2. No 3. No 4. Si 5. No 6. Si 7. No 8. Si 9. No 10. Si 11. Si 12. Si 13. 18 14. 9 15. a) Perímetro: 22, área: 18 b) Perímetro: 20, área: 18 c) Perímetro: 16, área: 12 d) Perímetro: 16, área: 16

Geometría

91

Ejercicios 1.7 1. a) ∠ 1 y ∠ 3; ∠ 2 y ∠ 4 b) ∠ 2 y ∠ 3; ∠ 3 y ∠ 4; ∠ 4 y ∠ 1 2. m ∠ 1 = 55º, m ∠ 2 = 125º, m ∠ 3 = 55º 3. a) ∠ 3, ∠ 4, ∠ 5 y ∠ 6 b) ∠ 1, ∠ 2, ∠ 7 y ∠ 8 c) ∠ 3 y ∠ 6; ∠ 4 y ∠ 5 d) ∠ 1 y ∠ 8; ∠ 2 y ∠ 7 e) ∠ 1 y ∠ 5; ∠ 2 y ∠ 6; ∠ 3 y ∠ 7; ∠ 4 y ∠ 8 4. m ∠ 1 = 75º, m ∠ 2 = 105º, m ∠ 3 = 75º, m ∠ 4 = 75º, m ∠ 5 = 105º, m ∠ 6 = 75º, m ∠ 7 = 125º 5. a) 8 b) 5 c) 5 d) 8 e) 8

Ejercicios 2.1 1. caras: 6, aristas: 12, vértices: 8 2. caras: 6, aristas: 11, vértices: 7

3. 4. 150 5. 32 3 6. 12 7. 20 8. 72

Ejercicios 2.2 1. 12 2. 24 3. 6 4. 15 5. 80 6. 96

92

Javier O. Sierra Padilla

7.

8. 9. 3 10. Si

Ejercicios 2.3 1. 9 2. aristas:20, vértices 11

3.

4. Geometría

93

5. 48 6. 48

Ejercicios 2.4

1.

2. 3. 48 π 4. Volumen: 128 π , área de superficie total 144 π

5.

6.

12 π

,

Ejercicios 2.5

1. 94

Javier O. Sierra Padilla

2. 3. 200 π 4. Volumen 576 π , área de superficie total 372 π 5. Aumenta el doble 6. Aumenta 4 veces el volumen original; aumenta 4 veces el área original de las bases; aumenta el doble del área de superficie lateral

Ejercicios 2.6

1. Un círculo 2. Un semicírculo 3. Volumen 36 π , área de superficie 36 π 4. Volumen 144 π , área de superficie 72 π 5. 4 6. 1024

Ejercicios 3.1 1. a) A' B' b) A ' B' c) A ' B' d) ∠A ' B' C' e) ∆A’B’C’ f) □A’B’C’D’ 2. Si

3. Geometría

95

4.

5. 6. a) 9 b) 2 c) infinitos d) infinitos e) 5 f) 9 7. a) 2 b) 3 c) 2 d) 3 e) infinitas f) 6 8. a) 1 b) 0 c) 1 d) 1 e) 1 d) 1 9. a) No b) Si c) Si d) Si 10. a) No b) Si c) Si d) No

Ejercicios 3.2

1. a)

96

Javier O. Sierra Padilla

b)

c)

d)

2. a)

b)

c)

d) 3. a) Segmento horizontal con medida 7 b) Una recta horizontal c) Tres rectas verticales d) Un punto Geometría

97

4. 5 5. 0

6.

Ejercicios 3.3

1. a)

b)

c)

d)

2. a) 1 b) 4 c) 5 d) 10 3. a) 90º b) 180º c) 120º d) 90º 4. a) 180º b) 180º c) 180º d) 64º 5.

360 o , n es el número de lados del polígono regular n

Ejercicios 3.4

1. a)

98

b)

Javier O. Sierra Padilla

c)

d)

2. a)

Geometría

b)

c)

99

d) 3. 12 4. 12 5. 30º 6. Circunferencia: 24 π , área: 144 π 7. Área de superficie: 36 π , volumen: 36 π 8. 18 π

100

Javier O. Sierra Padilla