Kapitel 13

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MATERIE im MAGNETFELD

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Das Magnetfeld einer Stromschleife gleicht im Fernfeld dem Feld eines Permanentmagneten. Das magnetische Moment einer Stromschleife mit einer einzelnen Windung um die Fl¨ ache S = a · b ist µ ! mag = I S n ˆ

(13.1)

Der Normalenvektor n ˆ auf die Fl¨ ache S bildet mit der Umlaufrichtung von I eine Rechtsschraube. Diese Anordnung bezeichnet man magnetischer Dipol. ! verbunden ist, Das atomare magnetische Moment, das mit dem Drehimpuls L betr¨ agt µ ! bahn = −

e ! L 2m

(13.2)

Neben dem Bahndrehimpuls liefert auch der Eigendrehimpuls des Elektrons (Spin) einen Beitrag zum magnetischen Moment eines Atoms (siehe Seite 69). ! erf¨ In einem homogenen ¨ außerem Magnetfeld B ahrt jeder der Abschnitte a dieser Stromschleife die Kraft ! " ! F!mag = a I eˆa × B (13.3)

Mit eˆa und eˆb bezeichnen wir die Einheitsvektoren in den Abschnitten a und b der Schleife. Ist die Stromschleife drehbar um die vertikale Achse (parallel zu 111

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KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD

den Vektoren eˆa ) entsteht das Drehmoment: ! mag D

" ! " b ! ! eˆb × F! = a b I eˆb × eˆa × B 2 ! " ! =µ ! = IS n ˆ×B ! mag × B

= 2

(13.4)

Die potentielle Energie des Dipols im homogenen Feld betr¨ agt ! Wmag = −! µmag · B

(13.5)

Im inhomogenen Feld erf¨ ahrt der magnetische Dipol die Kraft (siehe Seite 67) ! ∂B F! = µ !· ∂!r

13.1

(13.6)

Magnetisierung

Das Magnetfeld einer Spule kann verst¨ arkt werden, wenn man in die Spule ein geeignetes Material einbringt. Zum Beispiel steigt das Feld eines Elektromagneten mit Weicheisenkern um den Faktor 102 − 103 . Wir zeigen das an einem Induktionsexperiment. Zur Charakterisierung der Feldverst¨ arkung f¨ uhrt man eine dimensionslose Gr¨ oße ein, die relative Permeabilit¨ at Bmat µ= (13.7) Bvac F¨ ur die meisten Matrialien ist µ ≈ 1. In der Elektrostatik fanden wir, dass Dielektrika immer in ein inhomogenes Feld hineingezogen werden. Im Zusammenhang mit dem Magnetismus findet man Materialien, die in ein inhomogenes Feld hineingezogen werden (paramagnetische), und andere, die aus dem Feld herausgestoßen werden (diamagnetische). Dies zeigt ein Experiment mit Polschuhen, die einen starkem Feldgradienten erzeugen.

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Diamagnetisch sind zum Beispiel Wismut, H2 O, Kupfer, Blei. In diesen F¨ allen liegt ohne externes Feld kein resultierendes permanentes magnetisches Dipolmoment vor. In diamagnetischen Materialien werden beim Einbringen der Substanz in das Magnetfeld atomare Str¨ ome induziert. Nach der Lenz’schen Regel ist die Stromwirkung der Zunahme des externen Feldes entgegengerichtet. Das induzierte magnetische Dipolmoment ist dem a ¨ußeren Feld entgegengerichtet. Diese Stoffe haben µ < 1. Der Diamagnetismus ist temperaturunabh¨ angig. ∼ Paramagnetisch sind zum Beispiel Aluminium und (fl¨ ussiger) Sauerstoff. Atomare magnetische Momente sind permanent vorhanden. Diese atomaren Moarken das externe Feld. Die Ausmente werden im Feld ausgerichtet und verst¨ richtung der atomaren Momente wird durch thermische Bewegung behindert. Diese Stoffe haben µ > at ist temperaturabh¨ angig, µ ∝ 1/T . ∼ 1. Ihre Permeabilit¨

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13.1. MAGNETISIERUNG

Analog zur elektrischen Polarisation definiert man eine Magnetisierung. Die Magnetisierung ist die Vektorsumme u ¨ber alle atomaren magnetischen Momente pro Volumeneinheit: # ! = 1 M µ ! mag V

(13.8)

V

Schematisch l¨ asst sich f¨ ur eine magnetisierte Substanz ein Oberfl¨ achenstrom ome) einf¨ uhren. (als Resultierende aller atomaren Kreisstr¨ Wenn wir das gesamte magnetische Moment eines Zylinders der L¨ ange L und der ! V =M ! L S einf¨ Querschnittsfl¨ ache S mit M uhren, dann k¨ onnen wir in Analogie mit dem magnetischen Moment der Stromschleife einen Magnetisierungsstrom ! |. Das folgt aus der Definition des pro L¨ angeneinheit einf¨ uhren als IM = |M magnetischen Momentes pro L¨ angeneinheit als IM S und des gesamten magnetischen Momentes des Zylinders (Volumen V = L S), IM L S ! "

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F¨ ur das Magnetfeld einer Spule in Anwesenheit einer magnetisierten (oder magnetisierbaren) Substanz summieren wir das Feld der externen Stromschleife1 und das Magnetisierungsfeld der Substanz: B = µ0 (w If rei + IM ) = µ0 (w If rei + M )

(13.9)

oder B − M = w If rei µ0

(13.10)

! ein, F¨ ur diesen Ausdruck f¨ uhren wir ein neues Vektorfeld H ! B ! =H ! −M µ0

(13.11)

die magnetische Erregung.2 Sie wird nur durch die freien Str¨ ome erzeugt. ! ist A/m. Die Dimension von B ! ist V s/m2 = T esla. Die Dimension von H ! die magnetische Feldst¨ Im Gegensatz dazu ist B, arke, mit dem gesamten Strom verbunden (freie und atomare Str¨ ome). Experimentell findet man ! = χH ! M

(13.12)

wobei χ die magnetische Suszeptibilit¨ at genannt wird. Damit gilt in Anwesenheit von Materie: ! = µ0 (1 + χ) H ! = µ0 µ H ! B

(13.13)

1 w gibt die Zahl der Windungen pro Meter an und I f rei den freien Strom, der durch die Windungen fließt. 2 H¨ ! der Name magnetische Feldst¨ ! die aufig wird in der Literatur f¨ ur H arke und f¨ ur B Bezeichnung magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion verwendet.

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KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD

! = µ0 H. ! wobei µ = 1 + χ ist. Im Vakuum hingegen ist µ = 1 und es gilt B ! ×H ! = !jf rei . Die freien Str¨ ome erzeuAmperesches Gesetz f¨ ur Materie: ∇ ! ! gen das ¨ außere Magnetfeld Bvac = µ0 H, in dem die Materie gebadet wird. Im ! mat = µ µ0 H. ! Inneren der Materie herrscht das Feld B Analogie: ! steht f¨ E ur alle Ladungen,

! f¨ D ur die freien Ladungen.

! steht f¨ B ur alle Str¨ ome,

! f¨ H ur die freien Str¨ ome.

13.2

Diamagnetismus

Kennzeichen des Diamagnetismus sind: χ ≈ −10−6


1

Bmat > Bvac

(13.21)

Paramagnetisch sind z.B. Atome und Molek¨ ule mit einer ungeraden Anzahl von Elektronen. Dann besitzen sie nicht abges¨ attigte magnetische Momente. Der außeren Magnetfeld Paramagnetismus kann als Kopplungsenergie zwischen dem ¨ und dem mit der Bahnbewegung (bzw. dem Spin) verbundenen magnetischen Moment angesehen werden. µ ! bahn = −

e ! µB ! L=− L, 2m ¯h

(13.22)

wobei das Bohrsche Magneton definiert ist als µB =

e¯h = 9.274 J/T 2m

(13.23)

Die potentielle Energie des magnetischen Dipols im ¨ außeren Magnetfeld ist ! =− W = −! µbahn · B

µB ! ! L·B. ¯h

(13.24)

! =µ ! Die Vektoren Das magnetische Moment erf¨ ahrt ein Drehmoment D ! bahn × B. ! L und µ ! bahn pr¨ azidieren auf einem Kegelmantel um die z-Achse. Gem¨ aß der Quantentheorie bleiben ihre z-Komponenten zeitlich konstant und nur solche z-Komponenten sind erlaubt, f¨ ur die sich die Komponente Lz um einen Wert von h ¯ unterscheidet (siehe Seite 69): Lz = m¯h

mit

− % ≤ m ≤ %.

(13.25)

! = {0, 0, B}, erhalten wir als zus¨ F¨ ur B atzliche potentielle Energie eines wasserstoffartigen Zustandes (n, %, m) in einem Magnetfeld Wpot = −m µB B 3 Damit

(13.26)

ist gemeint, dass die Elektron sich in dem tiefsten Energieniveaus befinden.

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KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD

wobei m die magnetische Quantenzahl ist. Dieses atomare magnetische Moment ist unabh¨ angig von B, man nennt diesen Anteil paramagnetisch.4 Die atomaren Momente zeigen ohne ¨außeres Magnetfeld in beliebige Raumrichtungen. Wenn ein Magnetfeld ein- ) ! " # geschaltet wird, versucht es, die atomaren Magnete u ¨ber das Drehmoment (10.3) auszurichten. Die thermische Bewegung verhindert die v¨ ollige Ausrich! " # % &' ( tung, sodass ein effektives magnetisches ! " # $ Moment ! = N )! M µ*

(13.27)

entsteht, das von der Temperatur abh¨ angt. N gibt die Dichte der paramagnetischen Atome an und )µ* die mittlere z-Komponente der magnetischen Momente der Atome (das externe Magnetfeld ist entlang z angenommen). Bei hohem Feld, bzw. bei kleiner Temperatur tritt S¨ attigung durch die maximal erlaubte Ausrichtung ein. Adiabatische Entmagnetisierung ! Ein paramagnetisches Material befindet sich in einem starkem B-Feld bei sehr kleiner Temperatur. Die Magnetisierung ist nahezu ges¨ attigt. Jetzt unterbricht man den Kontakt zum K¨ uhlbad (die Probe befindet sich im Vakuum) und schaltet das Magnetfeld langsam aus. Die geringe, noch vorhandene thermische Energie wird jetzt verwendet, um die atomare Momente isotrop zu verteilen. Der damit verbundene Energieverbrauch (Entropiegewinn) erniedrigt die Temperatur der Probe. Spezielle Substanzen k¨ onnen mit adiabatischer Entmagnetisierung bis auf einige 10−6 K abgek¨ uhlt werden.

13.4

Ferromagnetismus

Kennzeichen des Ferromagnetismus sind: χ+0

µ+1

(13.28)

Bmat + Bvac

Die Magnetisierung kann um Gr¨ oßenordnungen u ¨ber der bei paramagnetischen Stoffen liegen (z. B. hat Mumetall, eine Mischung von N i, Cu, Co einen Wert ! ist keine eindeutige Funktion von µ ≈ 105 ). F¨ ur ferromagnetische Stoffe ist M des ¨ außeren Magnetfeldes, sondern h¨ angt von der magnetischen Vorgeschichte des Materials ab. ! ! Man unterscheidet magnetisch ! # ! harte (große Remanenz) und ! magnetisch weiche Materialien ' ' ) ' (kleine Remanenz). Die Fl¨ ache ur Hystereseschleife ist ein Maß f¨ # # die Remanenz. Bei ersten Anschalten einer magnetischen Erregung entwickelt sich das B-Feld "

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4 Unter Ber¨ ¨ ucksichtigung des Spins gelten analoge Uberlegungen f¨ ur das magnetische Mo! +S ! verbunden ist. ment, das mit dem Gesamtdrehimpuls J! = L

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13.4. FERROMAGNETISMUS

von 0 nach P1 entlang der sogenannten Neukurve. Nach Abschalten von H f¨ allt das B-Feld nur langsam auf den Wert Br (das Remanenzfeld ) ab. Auf Null kommt man erst durch Anlegen einer gegenpoligen Erregung Hk , der sogenannten Koerzitivkraft. Bei Durchlaufen der Hysteresekurve wird Energie zum Ausrichten der Dipole verwendet und in W¨ armeenergie der Probe umgewandelt. F¨ ur einen Dauerur den Eisenkern eines Transformators magneten fordert man große Remanenz, f¨ einen Werkstoff m¨ oglichst geringer Hysterese. In der Gasphase (einzelne Atome) ist jedes ferromagnetische Material paramagnetisch. In Festk¨ orpern f¨ uhrt die Wechselwirkung zwischen Elektronenspins benachbarter Atome zu einer spontanten Magnetisierung, wobei eine Ausrichtung der Momente benachbarter Atome in kleinen Bereichen (Weiß’sche Bezirke) erfolgt. Das Bild zeigt die mikroskopische Struktur eines Ferromagneten, die Weiß’schen Bezirke. Ohne ¨ außeres Feld sind einzelne Weiß’sche Bezirke statistisch verteilt. Innerhalb des Bezirkes sind die Dipolmomente ausgerichtet. außeren Erregung richten sich ganze Bezirke aus. F¨ ur durchBei Anlegen der ¨ sichtige ferromagnetische Materialien (d¨ unne Filme im Bereich von wenigen µm) k¨ onnen die Grenzen der Bezirke sichtbar gemacht werden, da an den Grenzen eine vom Bezirk unterschiedliche Polarisationsdrehung von polarisierten Licht stattfindet (Aufnahme u ¨ber Mikroskop). Eine genaue Beobachtung der Hysteresekurve zeigt, dass diese keine glatte Kurve ist, sondern Barkhausen Spr¨ unge aufweist. Das Umklappen ganzer Bezirke kann h¨ orbar gemacht werden, wenn man die statistisch ansteigende Magnetisierung u ¨ber eine Induktionsspule einem Verst¨ arker und Lautsprecher zuf¨ uhrt.

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Der Ferromagnetismus verschwindet oberhalb der Curie-Temperatur. Bei der Curietemperatur u ¨bersteigt die thermische Energie (kT ) die Wechselwirkungsenergie aus der geordneten Ausrichtung der magnetischen Dipolmomente. Ferromagentische Stoffe werden oberhalb der Curie-Temperatur paramagnetisch. Mit dem Einstein-de-Haas Experiment konnte man zeigen, daß der Ferromagnetismus seinen Ursprung im Spin der Elektronen hat.

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13.5

KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD

Felder an Grenzfl¨ achen

Elektrostatik: An einer Oberfl¨ ache mit der Fl¨achenladungsdichte σ macht (siehe Seite 16) ! einen Sprung von σ/'0 . die Normalkomponente von E ¨ Wegen der Polarisationsladungen erniedrigt sich beim Ubergang vom Vakuum atskonstante ' die Normalkomponente der in ein Medium mit der Dielektrizit¨ elektrischen Feldst¨ arke vac diel E⊥ = ' E⊥

(13.29)

! ×E ! = 0 zeigen (siehe Seite 49): Mit dem Stokes’schen Satz l¨ asst sich aus ∇ ! geht stetig u Die Tangentialkomponente von E ¨ber. Im Spezialfall eines leitendes Mediums verschwindet in der Elektrostatik die arke im Inneren des Leiters. Die freien Ladungen sitzen an der Oberfl¨ ache. Feldst¨ ! und dieAuf einer Metalloberfl¨ ache gibt es nur eine Normalkomponente von E se ist durch die Fl¨ achenladungsdichte σ bestimmt. Eine Tangentialkomponente ! w¨ von E urde zu Str¨ omen f¨ uhren. Diese verschieben die Ladungen solange, bis diese Komponente Null ist. Magnetostatik: ! ×H ! = !jf rei = 0 ) gilt analog: Wenn keine freien Str¨ ome vorliegen (∇ ! geht stetig u Die Tangentialkomponente von H ¨ber. ¨ Daraus folgt, dass sich beim Ubergang vom Vakuum in ein Material mit der Permeabilit¨ at µ die Tangentialkomponente der magnetischen Feldst¨ arke erh¨ oht B||vac =

1 mat B µ ||

(13.30)

und vac mat B⊥ = B⊥

(13.31)

! geht stetig u Die Normalkomponente von B ¨ber. Diese Bedingungen f¨ uhren zu einem Brechungsgesetz f¨ ur die Komponenten der magnetischen Feldst¨ arke, das die starken magnetischen Abschirmeigenschaften von Material mit hohem Wert von µ vorhersagt (µ-Metall). " # $

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13.6. ELEKTROMAGNETE

13.6

Elektromagnete

Wir betrachten eine toroidale Spule (Radius R) mit N Windungen, durch die ein Strom I fließt. Die Spule ist mit einem geschlossenen Weicheisenkern gef¨ ullt. Die große Permeabilit¨ at des Kerns (µ ≈ 104 ) erh¨ oht die magnetische Feldst¨ arke ¨ im Weicheisenring. Diese Uberh¨ ohung kann man in einen kleinen Luftspalt des Rings auskoppeln, das Konzept hinter magnetischen Polschuhen. ! ×H ! = !jf rei gilt f¨ Auf Grund von ∇ ur den geschlossenen Integrationsweg $ ! · d!s = 2Rπ · H = N I (13.32) H

da der Strom I N -mal durch die Kreisfl¨ ache tritt. Die magnetische Erregung im Kern ist NI H= (13.33) 2πR Die magnetische Feldst¨ arke im Kern ist um den Faktor der relativen Permeabilit¨ at gegen¨ uber oht: dem Vakuumwert u ¨berh¨ B = µ µ0

NI 2πR

(13.34)

Verwendet man nun anstelle des geschlossenen Weicheisenkerns ein Joch mit einem kleinen Luftspalt der Dicke d, dann kann sich diese Feld¨ uberh¨ ohung bis zu einem gewissen Grad ins Vakuum auskoppeln. Damit teilt sich das Linienintegral (13.32) in einen Beitrag des Eisenjoches und einen Beitrag des Luftspaltes: $ ! · d!s = (2Rπ − d) · H F e + d H vac = N I H Indem wir B = µ µ0 H setzen erhalten wir 1 1 B F e + d B vac = N I (2Rπ − d) · µ µ0 µ0

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(13.35)

(13.36)

¨ Das Magnetfeld steht senkrecht auf den Spaltfl¨ achen. Beim Ubergang vom Ei! stetig: senkern ins Vakuum ist die Normalkomponente von B Fe vac B⊥ = B⊥

(13.37)

B(mitKern) µ = d B(ohneKern) µ 2Rπ +1

(13.39)

Die magnetische Feldst¨ arke im Luftspalt wird damit N I µ µ0 B vac = µ d + 2Rπ − d N I µ µ0 wenn d , R ≈ (13.38) µ d + 2Rπ F¨ ur das Verh¨ altnis von B im Luftspalt mit und ohne Eisenkern ergibt sich

F¨ ur kleine Werte von d ist die F¨ ur große Werte von d ist die

¨ Uberh¨ ohung des Feldes gleich dem Betrag von µ. ¨ Uberh¨ ohung nur gleich 2πR/d.

120

13.7

KAPITEL 13. MATERIE IM MAGNETFELD

Magnetfeld der Erde

Das Erdmagnetfeld ist n¨ aherunsgweise gleich dem Feld eines magnetischen Dipols, dessen Achse gegen¨ uber der Erdrotationsachse um etwa 11o geneigt ist. ¨ Am Aquator liegen die magnetischen Feldlinen etwa parallel zur Erdoberfl¨ ache. In Freiburg ist die Inklination etwa 60o . An der Erdoberfl¨ ache ist das Feld etwa 0.5 Gauss. Abweichungen vom Dipolfeld entstehen durch lokale Schwankungen des Anteils magnetischer Mineralien in der Erdkruste. Die Magnetpole fallen nicht mit den geographischen Polen zusammen (magnetische Deklination). Die wichtigsten Ursachen f¨ ur das Dipolfeld sind elektrische Str¨ ome im fl¨ ussigen Erdkern. Auf Grund des radialen Temperaturgradienten gibt es Konvektionsstr¨ome in radialer Richtung. Durch die Coriolis-Kr¨ afte auf Grund der Erdrotation !v × ω ! werden diese tangential abgelenkt und bilden eine Art Kreisstrom um die Rotationsachse. Geladene Teilchen von der Sonne treffen in das inhomogene Erdmagnetfeld. Sie sind Ursache f¨ ur Leuchterscheinungen wie die Aurora. Weit von der Erde entfernt wird das Dipolfeld durch die elektrischen Str¨ ome des Sonnenwindes stark ver¨ andert (Magnetopause, siehe Seite 73). Der Van Allen Strahlungsg¨ urtel in 103 − 104 km H¨ ohe stellt eine magnetische Flasche dar. Das Magnetfeld ist relativ schwach in der ¨ Aquatorgegend, aber steigt zu den Polen hin an. In dieser H¨ ohe bewegen sich Ladungstr¨ ager frei und werden von der Lorentz-Kraft senkrecht zur Einschussbahn und zum Magnetfeld abgelenkt.

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Je nach Einschussrichtung in das Feld beschreibt ein geladenes Teilchen eine Spiralbahn um eine Feldlinie und folgt dieser, wenn sich die Feldlinie kr¨ ummt. Im inhomogenen Feld bewegt sich das Teilchen in einen Trichter von Feldlinien, sodass r¨ ucktreibende Kr¨ afte entstehen, die das Teilchen (bei ben¨ ugend kleiner Energie und gen¨ ugend großer Inhomogenit¨ at) zur¨ uckspiegeln. In der Folge be¨ at das Teilchen zur¨ uck zum Aquator, von wo es gegen schleunigt die Inhomogenit¨ den gegen¨ uberliegenden Pol anl¨ auft und dort gespiegelt wird. Im inneren Van-Allen G¨ urtel finden sich Elektronen mit bis zu 0.78 MeV und Protonen mit Energien bis 150 MeV. Die scharfe Grenzenergie der Elektronen deutet auf einen Ursprung aus dem Zerfall eines Neutrons n → p + e + ν¯ hin. Die hohe Konzentration schneller Protonen (sie durchdringen ohne weiteres mehrere mm Blei) macht den Strahlungsg¨ urtel so gef¨ ahrlich.