MATEMÁTICAS II

Cónicas en coordenadas polares

Curso 10-11

1.- La Luna es el satélite natural de la Tierra y tiene una órbita elíptica con el centro de la Tierra en uno de sus focos. Esta órbita tiene los siguientes datos: a= 384400 km, e=0.05. Tomando como radio de la Tierra R= 6370 km y como radio de la Luna 1738 km a) Hallar una ecuación polar de la órbita de la Luna. b) Hallar la distancia más lejana de la superficie de la Tierra a la superficie de la Luna y la distancia para  = /2. Solución a) a= 384400km, c=a·e=19220km, b2 = a2-c2 = 147393951600, p= b2/a= 383439 km

b) La distancia más lejana es el punto apogeo y hemos de tener en cuenta los radios, luego, d1= a+c-RT-RL= 395512 km

La distancia para  = /2 es d2=

- 6370-1738= 375331 km (obsérvese que se

trata de la longitud del parámetro p menos los radios de los astros) 2.- Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos. a) Hallar la ecuación polar de la órbita de Marte sabiendo que tiene por excentricidad e = 0,0934 y que el semieje mayor es a = 227,94 x 106 km. b) Hallar la distancia más lejana de Marte al Sol (afelio) y la distancia para  = /6. c) Hallar una ecuación cartesiana de la órbita. Solución a) Ecuación polar de la órbita de Marte b2 p , con p  . r a 1  e cos  c b 2 a 2  c 2 515.03  1014 e   c  e  a  212.89  10 5  p     225.95  10 6 a a a 227.94  10 6 r

p 225.95  10 6  1  e cos  1  0.0934 cos 

b) Distancia más lejana al sol (afelio): 225.95  106 r  249.23  106 km 1  0.0934 cos 0

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MATEMÁTICAS II Distancia para  

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225.95 106  : r  245.84  106 km  6 1  0.0934 cos 6

c) Ecuación cartesiana de la órbita: x2 y2 x2 y2  1   1  519.57  1014 515.03 1014 (227.94 106 ) 2 (226.94 106 ) 2 x2 y2  1 169 100

3.- Dada la hipérbola de ecuación hallar la ecuación polar de su rama derecha suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo está: i) en el foco izquierdo de la hipérbola. ii) en el centro de la hipérbola. En el caso i), hallar la ecuación polar de sus directrices y asíntotas. Solución i)

a 2  169  a  13 b 2  100  b  10 c 2  a 2  b 2  269  c  269

 b 2 100  p  a 13   caso 4 e  c  269  a 13 p r  1  ecos

100  100 13  269 13  269 cos  cos  1 13 

Ecuación polar de las directrices: a2 169 438 269 438 269  269   r cos  r 269 269 cos c 269 2 a 169 100 269 100 269  269   r cos   r dir2  x '  c  269 269 cos c 269

dir1  x '  c 

Ecuación polar de las asíntotas: Son rectas que, en el sistema de referencia x’ y’, pasan por el punto (c, 0) y tienen de b pendiente  ; por tanto, tienen de ecuación: a b 10 10 y'   x 'c   y'   x ' 269  r sen   r cos  269 ; y despejando r se a 13 13 obtiene ya la ecuación pol,ar:







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

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10 269 13 r 10 sen  cos 13 

ii)

P (r,  ) 

hipérbola 



PF  e. dist (P, dir ) Por el teorema del coseno en el triángulo OPF, se verifica:  2

PF  r 2  c 2  2rc cos 



dist (P, dir )  PD  OM 

a2  c

a2 r cos c 

r 2  c 2  2rc cos c  . a a2 r cos c Elevando al cuadrado en la expresión anterior y operando se obtiene: PF Por tanto, e dist (P, dir )

c 2 r 2 cos 2  a 4  a 2 r 2  a 2 c 2  r 2  a 2  c 2 cos 2   a 4  a 2 c 2  a 2  a 2  c 2  

 a 2  b 2   r 2 

r2  

 a 2b 2  a 2  c 2 cos 2

b2

1

c2 cos 2 a2



b2  1  e 2 cos 2

100 16900  269 169  269cos 2 1 cos 2 169

2º método Efectuando el cambio a polares en la propia ecuación cartesiana de la hipérbola pues ahora coincide el polo con el origen del sistema de referencia cartesiano:

r 2 cos 2 r 2sen 2 x2 y2 100r 2 cos 2  169r 2sen 2  1 1  1  169 100 16900 169 100 16900 r 2 100cos 2   169sen 2    16900  r 2   2 100cos   169sen 2  16900 16900  2 2 100cos   1691 - cos   169  269cos 2 

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4) Dada la parábola de ecuación y2 = 6 x, hallar su ecuación polar suponiendo que la dirección del eje polar coincide con la dirección positiva del eje de abscisas y que el polo está en el foco de la parábola. Solución:

y 2  6x  2px  p  3 ; e = 1. La ecuación adecuada es: r

3 p  . 1  e cos 1 cos

21 determina una elipse y hallar los semiejes y las 5  2 cos ecuaciones polares de sus directrices.

5) Verificar que la ecuación r 

Solución:

r

21 21 21 2 5  p = , e= 5  2 cos 1  2 cos 5 5 5

Por ser e < 1, se trata efectivamente de una elipse; y, por la forma de la ecuación, un foco está en el polo, la directriz no corta al eje polar y la cónica y el foco están en el mismo semiplano respecto de la directriz. d

y

y`

2

a /c F

d1

c

d2

21 p 21 p  de  d   5  . e 2 2 5 x` p p  21 . x a 2 5, b = 1 e 1  e2 c 2  a 2  b 2  25  21  4  c  2 .

La directriz d1 tiene de ecuación: 21 21 21 x ` d    r cos     d 1  r   . 2 2 2 cos  La otra directriz d2 tiene de ecuación: a2 25 29 29 29 x ` c   2   r cos =  d2  r  c 2 2 2 2 cos

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Cónicas en coordenadas polares

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16 determina la rama derecha de una hipérbola y 3  5 cos hallar las ecuaciones polares de sus directrices y asíntotas. 6) Verificar que la ecuación r 

Solución: r

16 16 16 5 3  p , e= . 3  5 cos 1  5 3 cos 3 3

Por ser e > 1, se trata de una rama de una hipérbola. A la vista de la ecuación, la cónica y el foco están del mismo lado respecto de la directriz y el eje polar no corta a dicha recta, luego, la situación es la siguiente: Así pues, se trata de la rama derecha de una hipérbola. p 16 p p d  , a 2 3, b= 4 . e 5 e 1 e2  1 c 2  a 2  b 2  25  c  5 .

Las ecuaciones polares de las directrices se hallan de forma análoga a como se hizo en el problema anterior, obteniéndose: 16 34 , d2  r   . 5 cos 5 cos d Las ecuaciones de las asíntotas respecto al sistema de a2/c F x referencia x , y (de origen el centro de la cónica, y de x` ejes los de la cónica) son: y   b x . c a x` x  5 d1 d2 Los nuevos ejes son ahora:   y` y Respecto a estos nuevos ejes, las ecuaciones cartesianas de las asíntotas son, por tanto: 4 y`  ( x`5) . 3 Por consiguiente, las ecuaciones polares de estas rectas son: 4 r sen =  (r cos  5) ; es decir, operando para cada uno de los signos se obtiene: 3 20 - 20 r= , r= 3 sen - 4 cos 4 cos  3 sen y

y`

d1  r  

1 tiene un foco en el origen y su directriz correspondiente 4 tiene de ecuación polar rcos = 8. Sabiendo que el eje polar es OX+, se pide: a) Hallar las coordenadas del otro foco. b) La ecuación polar de la elipse c) Dibujar la elipse

7) Una elipse de excentricidad e 

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De la ecuación de la directriz: a /c 8 r  x` 8 cos  F F` x x` se deduce que la directriz está a la derecha del c foco F (polo); por tanto, el eje polar corta a la dir directriz y la cónica y el foco están en el mismo dir` semiplano (izquierdo) respecto de la misma. p Debe usarse una ecuación del tipo 3: r  1  e cos a) Las coordenadas polares del otro foco serán: F`(r = 2c,    ). Hallemos c: y`

2

a2 16c 2 1 c 8   a  4c , luego 8  c   c  15c  c  . c c 4 a 15 8 16 Por tanto, : F`(r = 2  ,    ). 15 5 e

b 2 a 2  c 2 4c   c 2 p  b) p    2 r  a a 4c 1  e cos 2

2 1 1  cos  4

c)

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