MATEMÁTICAS I

Soluciones Hoja 1:Trigonometría Esférica Curso 09-10

1.- Razonar si puede existir al menos un triángulo esférico con los elementos dados. En caso afirmativo, calcular los elementos restantes: a) a=60º00’31’’, b=137º20’40’’, c=116º00’32’’ b) A=70º00’25’’, B=131º10’15’’, C=94º50’53’’ c) a=64º24’03’’, b=42º30’10’’, C=58º40’52’’ d) c=116º12’05’’, A=70º51’15’’, B=131º20’26’’ e) a=58º46’22’’, b=137º02’50’’, B=131º52’33’’ f) A=70º, B=119º, b=76º g) a=90º,c=67º38’, b=48º50’ Solución: a) Aplicando el teorema del coseno: cos a − cos b cos c = 0,2912659729 cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A ⇒ cos A = senb senc ⇒ A=73º03’58’’. Análogamente: cos b − cos a cos c cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B ⇒ cos B = = -0,6632204119 sena senc ⇒ B=131º32’45’’ cos c − cos a cos b cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C ⇒ cos C = = -0,1207886561 sena senb ⇒ C=96º56’15’’ Comprobación: Usando el teorema del seno obtenemos información acerca de la validez o precisión de los resultados. sena senb senc = 0,905355; = 0,905353; = 0,905354 senA senB senC (5 cifras decimales coincidentes en estas razones asegura aproximadamente un error menor que 1 segundo) b) Aplicando el teorema del coseno para ángulos: cos A + cos Bcos C = 0,530015814 cos A = − cos Bcos C + senBsenC cos a ⇒ cos a = senBsenC ⇒ a=57º59’37’’. Análogamente, cos B + cos A cos C = −0, 733898576 cos B = − cos A cos C + senAsenC cos b ⇒ cos b = senAsenC ⇒ b=137º12’51’’ cos C + cos A cos B = −0, 437657969 cos C = − cos A cos B + senAsenBcos C ⇒ cos c = senAsenB c=115º57’16’’ sena senb senc Comprobación: = 0,902369; = 0,902369; = 0,902369 senA senB senC c) Aplicando el teorema del coseno: cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C = 0,6352607851 ⇒ c = 50º 33’ 38.42”

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Y ahora, con este dato incorporado, aplicamos de nuevo el teorema del coseno para calcular A y B: cos a − cos b cos c cos A = = -0,06951367 ⇒ A = 93º 59’ 9.8” senb senc cos b − cos a cos c cos B = = 0,6644274671 ⇒ B = 48º 21’ 41.7” sena senc sena senb senc Comprobación: = 0,904025; = 0,904025; = 0,904024 senA senB senC d) Aplicando el teorema del coseno para ángulos:

cos C = − cos A cos B + senAsenBcos c = −0, 0965239 ⇒ C = 95º 32 '21'' Y ahora teorema del coseno para los ángulos de nuevo para calcular a y b: cos A + cos B cos C = 0,5242012028 ⇒ a = 58º 23’ 7.86” cos a = senB senC cos B + cos A cos C = -0,7361569118 ⇒ b = 137º 24’ 18.2” cos b = senA senC sena senb senc Comprobación: = 0,901456; = 0,901457; = 0,901456 senA senB senC e) Por el teorema del seno: ⎧A = 69º 08' 09' ' < B ⇔ a < b sen a sen b = ⇒ sen A = 0.934428211 ⇒ ⎨ sen A sen B ⎩A = 110º 51' 51' ' < B ⇔ a < b Las dos soluciones son válidas pues no contradicen ninguna propiedad, tenemos por tanto dos soluciones. Resolvemos ahora dos triángulos esféricos: Uno para A1=69º 08’ 09’’ y otro para A2=110º 51’ 51’’ Datos conocidos del 1º triángulo: A1= 69º08’09’’, a, b, B Aplicando las analogías de Neper: A +B cos 1 c1 2 tg a + b = 1,5370151 ⇒ c1 = 56º 57’ 5.92” ⇒ c = 113º 54’ 12” tg = 1 A −B 2 2 2 cos 1 2 a−b cos C1 C 2 tg = = 1,04520437 ⇒ 1 = 46º 15’ 58.25” ⇒ C1= 92º 31’ 57” a + b A1 + B 2 2 cos tg 2 2 senc1 sena senb Comprobación: = = 0,9151243; = 0,9151244 senA senB senC1 Datos conocidos del 2º triángulo:: A2=110º51’51’’, a, b, B Aplicando las analogías de Neper: A +B cos 2 c 2 tg a + b = 3,810561712 ⇒ c 2 = 75º 17’ 13.2” ⇒ c = 150º 35’ 27.8” tg 2 = 2 A2 − B 2 2 2 cos 2

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a−b C 2 = 3,436280124 ⇒ 2 = 73º 46’ 27.66” ⇒ C2= 147º 32’ 55.3” A + B a+b 2 cos tg 2 2 2 senc 2 sena senb Comprobación: = = 0,9151243; = 0,91512439 senA senB senC 2

C tg 2 = 2

cos

f) Por el teorema del seno: senb ⋅ senA sen76º sen70º sena = = = 1.042487067 1>1⇒ ¡IMPOSIBLE! senB sen119º g) Se trata de un triángulo rectilátero en a = 90º luego su polar es rectángulo en Ap = 90º y los elementos conocidos de dicho polar son: Ap=180º- a = 90º; Bp =180º- b =131º 10’ ; Cp = 180º- c = 112º 22’ Aplicamos las reglas del pentágono de Neper al triángulo polar:

Cp

ap ap Bp

Bp

Ap

cp

cosap= cotgBp cotgCp =

Bp

Ap=90º

90º-cp

Cp

90º-bp

1 =0,3598094492 ⇒ ap = 68º 54’ 41.42” tg B p tg C p

( ) ( )

cosBp=sen(90º-bp)senCp = cosbp senCp ⇒ cos b p =

cos B p sen(C p )

= -0,7118022192

⇒ bp= 135º 22’ 54.2” cosCp=sen(90º-cp)senBp = coscp senBp ⇒ cos c p =

cos C p sen( B p )

= -0,5054907662.

⇒ cp= 120º 21’ 50.1” Comprobamos con el teorema del seno la validez de estos datos sena senb senc = 0,9330258; = 0,9330260; = 0,9330259 senA senB senC Y ahora calculamos los datos del triángulo dado que nos faltaban: A = 180º - ap = 111º 5’ 18.58” (si queremos dar solo hasta los minutos A ≈ 111º 5’) B = 180º - bp = 44º 37’ 5.8” (si queremos dar solo hasta los minutos B ≈ 44º 37’) C = 180º - cp = 59º 38’ 9.9” (si queremos dar solo hasta los minutos C ≈ 59º 38’)

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2.- Dado el triángulo esférico de lados a=80º, b=40º y c=100º, hallar la altura esférica sobre el lado “a” y decir si es interior o exterior al triángulo. Solución: Si la altura sobre el lado a es interior (h), al B triángulo ABC, entonces h, B y C han de ser C todos agudos o todos obtusos, pues son ángulos c b=54º10' h a que se oponen al cateto h, en los triángulos B rectángulo en que h),divide al triángulo ABC. A=84º30' b c=104º22' Si la altura es exterior (h), entonces han de ser h, B y (180º- C) agudos u obtusos simultáneamente C A es decir, B y C han de tener distinto carácter. h H

Por tanto, hemos de calcular primero los ángulos B y C: cosB=

cos b − cos a cos c = 0.820952891⇒ B = 34º 49 ' 11'' sena senc

cos c − cos a cos b = -0.484454398⇒ C = 118º 58 ' 36 '' sena senb Luego al ser B = 34º 49’ 11’’< 90º y C = 118º 58’ 36’’> 90º, deducimos que la altura sobre el lado a es exterior al triángulo ABC y su valor es un ángulo agudo. Considerando el triángulo ABH rectángulo en H

cosC=

senh= senBsenc = 0.562321217⇒ h =

34º 12 ' 59 '' 145 º 47' 1'' > 90º

3.- Calcular los arcos de circunferencia máxima correspondientes a la: C a. Altura sobre el lado c. b=54º10' b. Mediana sobre el lado. B c. Bisectriz del ángulo C. A=84º30' c=104º22' Solución: a) Se descompone el triángulo en dos triángulos rectángulos y la altura se obtiene por el teorema del seno: Podemos, previamente, comprobar que la altura es interior investigando si el ángulo B es agudo, para lo cuál basta hallar el lado a. cosa = cosbcosc + senbsenc cosA= -0.069986 07184 ⇒ a = 94º 00’ 47’’ Como b