MATE 3013
LA REGLA DE LA CADENA
La composición de funciones DEFINICION: La composición función f g , de f con g, se define
f g f ( g ( x))
La composición de funciones Ejemplo : Para f (x) x y g(x) 1 x , 2
3
Hallar ( f g )( x) y
( g f )( x).
( f g )( x) f ( g ( x))
( g f )( x) g ( f ( x))
f (1 x 2 )
g ( x3 )
(1 x 2 )3
1 ( x3 ) 2
1 3x 2 3x 4 x 6
1 x6
La composición de funciones x and g(x) x 1, ( g f )( x).
Ejemplo : Para f (x) Hallar ( f g )( x) y
( f g )( x) f ( g ( x)) f ( x 1)
( f g )( x)
x 1
( g f )( x) g ( f ( x))
g( x ) ( g f )( x)
x 1
La composición de funciones Práctica adicional Para las funciones en el Ejemplo anterior, hallar: a.)
f
f x (f
b.)
g
f )( x) f ( f ( x)) f ( x )
x 4x
g x
g
g x g g x g ( x 1) x 1 1 x 2
La regla para potencias - extendida Suponer que g(x) es una función en x diferenciable. Entonces, para cualquier número real k,
d k k1 d g x k g x g x dx dx Dicho en palabras, la derivada de una función cualquiera elevada a una potencia es la derivada de la potencia multiplicada por la derivada de la función que se eleva a la potencia.
La regla para potencias - extendida Ejemplo 1: Derivar
𝑓(𝑥) =
f x 1 x
1 + 𝑥3
1 3 2
.
𝑓′(𝑥) = 1 = 1 + 𝑥3 2
3x 2 2 1 x3
𝑑 1 + 𝑥3 𝑑𝑥 1 − 2
∙ 3𝑥 2
La regla para potencias - extendida Ejemplo 2: 3 𝑓 𝑥 = 1 − 3𝑥 Derivar: Si no existiera otra forma tendríamos que expandir el binomio y aplicar la regla para sumas de términos y potencias. El éxito depende de que te acuerdes de como expandir un cubo, o en este caso multiplicar 1 − 3𝑥
1 − 3𝑥
1 − 3𝑥 = 1 − 9x + 27𝑥 2 − 27𝑥 3
𝑓 ′ 𝑥 − 9 + 54𝑥 − 81𝑥 2 Hallar la derivada de esta forma es fácil si somos buenos en álgebra básica. Sino…
La regla para potencias - extendida Ejemplo 2: (continuación)
Derivar: 𝑓 𝑥 = 1 − 3𝑥
3
Usando la regla de cadena tenemos que: 𝑓 ′ 𝑥 = (1 − 3𝑥)3 ′ ∙ 1 − 3𝑥
′
En palabras decimos, la derivada de la potencia por la derivada de la base.
𝑓 ′ 𝑥 = 3(1 − 3𝑥)2 ∙ −3 𝑓 ′ 𝑥 = −9(1 − 6𝑥 + 9𝑥 2 ) 𝑓 ′ 𝑥 = −9 + 54𝑥 − 81𝑥 2 Llegamos al mismo resultado que anterior.
La regla para potencias - extendida Ejemplo 2: Derivar: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 5 − 2𝑥 5 Primero aplicaremos primeramente la regla del producto. 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 3 ′ ∙ 5 − 2𝑥
5
+ 𝑥 3 [ 5 − 2𝑥 5 ]′
Ahora, en cada término en el que hay que derivar, usaremos la regla para potencias o la regla extendida para potencias, según sea necesario. 𝑑 3 𝑑 𝑓′ 𝑥 = [𝑥 ] ∙ 5 − 2𝑥 5 + 𝑥 3 [ 5 − 2𝑥 5 ](5 − 2𝑥)′ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Aquí, buscamos la derivada de la potencia, dejando la base igual, y luego derivamos la base.
𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 ∙ 5 − 2𝑥
5
+ 𝑥 3 ∙ 5 5 − 2𝑥
4
− 10𝑥 3 5 − 2𝑥
4
𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 ∙ 5 − 2𝑥
5
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 2 ∙ 5 − 2𝑥
4
[3 5 − 2𝑥 − 10𝑥]
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 2 ∙ 5 − 2𝑥
4
(15 − 16𝑥)
∙ (−2) Respuesta correcta sin simplificar.
Respuesta completamente simplificada.
La regla para potencias - extendida Ejemplo 3: Derivar: 𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 5 3 7 − 𝑥 2 Primero aplicaremos la regla del producto. 𝑓′ 𝑥 =
3𝑥 − 5
3 ′
∙ 7−𝑥
2
+ 3𝑥 − 5
3
7−𝑥
2
′
Ahora, en cada derivada que vamos a buscar, usaremos la regla para potencias - extendida. 𝑑 𝑓 𝑥 = [ 3𝑥 − 5 3 ] ∙ 3𝑥 − 5 ′ ∙ 7 − 𝑥 𝑑𝑥 ′
+ 3𝑥 − 5
𝑓 ′ 𝑥 = 3 3𝑥 − 5
2
∙3∙ 7−𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = 9 3𝑥 − 5
2
∙ 7−𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 − 5
∙ 7−𝑥
[9 7 − 𝑥 − 2 3𝑥 − 5 ]
∙ 7−𝑥
73 − 15𝑥
𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 − 5
2 2
2
2
2
+ 3𝑥 − 5
− 2 3𝑥 − 5
3
3
∙2 7−𝑥
∙ 7−𝑥
3
𝑑 [ 7 − 𝑥 2 ](7 − 𝑥)′ 𝑑𝑥 ∙ −1 Respuesta correcta sin simplificar.
Respuesta completamente simplificada.
La regla para funciones exponenciales - extendida Parte 1: Suponer que g(x) es una función en x diferenciable. Entonces, para cualquier número real k,
𝑑 𝑔 𝑒 𝑑𝑥
𝑥
= 𝑒𝑔
𝑥
𝑑 ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Dicho en palabras, la derivada de una función cualquiera función exponencial natural es la función exponencial multiplicada por la derivada del exponente.
La regla para funciones exponenciales - extendida Ejemplo: Derivar:
𝑑 𝑔 𝑒 𝑑𝑥
𝑥
𝑓 𝑥 = −5𝑒 4𝑥
= 𝑒𝑔
𝑥
𝑑 ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑 𝑓′(𝑥) = −5𝑒 ∙ (4𝑥) 𝑑𝑥 𝑓′(𝑥) = −5𝑒 4𝑥 ∙ 4 4𝑥
𝑓′(𝑥) = −20𝑒 4𝑥
La regla para funciones exponenciales - extendida Ejemplo: Derivar:
𝑑 𝑔 𝑒 𝑑𝑥
𝑥
𝑓 𝑥 = 2𝑒 3𝑥 −2
= 𝑒𝑔
𝑥
𝑑 ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑 𝑓′(𝑥) = 2𝑒 ∙ (3𝑥 − 2) 𝑑𝑥 𝑓′(𝑥) = 2𝑒 3𝑥−2 ∙ 3 3𝑥−2
𝑓′(𝑥) = 6𝑒 3𝑥−2
La regla para funciones exponenciales - extendida 3
𝑒𝑥 Ejemplo: Derivar: 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 Aplicaremos dos reglas, primeramente la regla para cocientes y luego la regla para potencias - extendida.
𝑓′(𝑥) =
3 𝑥 𝑒
′
∙
𝑥4
3 𝑥 − 𝑒 (𝑥 4 )′
(𝑥 4 )2 3
3
𝑒 𝑥 (3𝑥 2 ) ∙ 𝑥 4 − 𝑒 𝑥 (4𝑥 3 ) 𝑓′(𝑥) = 𝑥8 𝑓′(𝑥) =
𝑒𝑥
3
3𝑥 6 − 4𝑥 3 𝑥8
La regla para funciones exponenciales - extendida Parte 2: Suponer que g(x) es una función en x diferenciable. Entonces, para cualquier número real k,
𝑑 𝑔 𝑎 𝑑𝑥
𝑥
= ln(𝑎)𝑎
𝑔 𝑥
𝑑 ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Dicho en palabras, la derivada de una función cualquiera función exponencial es la función exponencial multiplicada por el logaritmo natural de la base multiplicada por la derivada del exponente.
La regla para funciones exponenciales - extendida Ejemplo: Derivar:
𝑑 𝑔 𝑎 𝑑𝑥
𝑥
𝑔 𝑥 =3
𝑥2
= ln(𝑎)𝑎 𝑔
𝑔′(𝑥) = ln(3) ∙ 3
𝑥2
𝑥
𝑑 ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑 2 ∙ (𝑥 ) 𝑑𝑥
𝑥2
𝑔′(𝑥) = ln(3) ∙ 3 (2𝑥) ′
𝑔 𝑥 = 2𝑥 ln 3 3
𝑥2
La regla para funciones exponenciales - extendida Ejemplo: Derivar: 2 −9𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 = 4(3 )
𝑑 𝑔 𝑎 𝑑𝑥
𝑥
= ln(𝑎)𝑎 𝑔
𝑔′(𝑥) = 4 ∙ ln(3) ∙ 3
𝑥 2 −9𝑥
𝑔′(𝑥) = 4 ∙ ln(3) ∙ 3 ′
𝑥
𝑑 ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑑 2 ∙ (𝑥 − 9𝑥) 𝑑𝑥
𝑥 2 −9𝑥
(2𝑥 − 9)
𝑔 𝑥 = 4 ∙ ln 3 (2𝑥 − 9) 3
𝑥 2 −9𝑥
La regla de la cadena - general La derivada de una composición , f g está dada por
d d ( f g )( x) f ( g ( x)) f '( g ( x)) g '( x) dx dx dy dy du o lo que es igual, dx du dx En otras palabras la derivada de una composición es la derivada de la función que está afuera por la derivada de la función de adentro.
La regla de la cadena Ejemplo : Hallar 𝑓´(𝑥) para
𝑓 𝑥 =
𝑥3 + 1
dy dy du dx du dx Dice: la derivada de una composición es la derivada de la función externa multiplicada por la derivada de la función interna.
𝑑 𝑑𝑥 𝑑 𝑑𝑥
′
𝑥 3 + 1 ∙ [𝑥 3 + 1]′
𝑥3 + 1 = 𝑥3
1 2
+1 = ∙ 𝑓′(𝑥) =
𝑥3
+1
3𝑥 2 2 𝑥3 + 1
1 − 2
∙ 3𝑥 2
La regla de la cadena - generalizada Ejemplo : Hallar h´(𝑧) para
3 ℎ 𝑧 = . (4𝑧 − 5)3
dy dy du dx du dx Dice: la derivada de una composición es la derivada de la función externa multiplicada por la derivada de la función interna.
Si cambiamos h(x) de forma ℎ 𝑧 = 3(4𝑧 − 5)−3 entonces podemos aplicar la regla de la cadena. ℎ′(𝑥) = 3 ∙ 4𝑧 − 5
−3 ′ (4𝑧
ℎ′(𝑥) = 3 ∙ −3 4𝑧 − 5
−4
− 5) ′
∙ 4
ℎ′(𝑥) = −36 4𝑧 − 5 −4 36 ℎ′(𝑥) = − 4𝑧 − 5 4
