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CORRELAÇÕES PN-1 – SN EQUIVALENTES ÀS CONDIÇÕES DE CONTORNO DE MARK

Marcos Pimenta de Abreu

Departamento de Modelagem Computacional Instituto Politécnico (IPRJ), Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ), Caixa Postal 97282, 28601-970 Nova Friburgo-RJ Brasil

RESUMO Neste trabalho, estabelecemos correlações envolvendo aproximações para momentos angulares e para fluxos angulares definidos no contorno de uma placa plana finita e uniforme em problemas da teoria linear de transporte de radiação. Mostramos que as correlações resultantes são equivalentes às condições de contorno de Mark empregadas em problemas de transporte de radiação na formulação de harmônicos esféricos. Adicionalmente, mostramos que as correlações obtidas ao longo deste trabalho podem ser úteis na solução de diferentes classes de problemas de transporte de radiação e ilustramos com duas classes: problemas inversos em blindagem de radiação e problemas diretos de determinação da distribuição espacial de potência térmica em núcleos de reatores nucleares. Keywords: radiation transport, discrete ordinates, spherical harmonics, Mark boundary conditions, direct and inverse problems.

I. INTRODUÇÃO Formulações de harmônicos esféricos (PN) e de ordenadas discretas (SN) têm sido empregadas para uma descrição aproximada do transporte de radiação em meios hospedeiros [1,2]. A conveniência do emprego destas formulações reside essencialmente na relativa simplicidade de se obterem soluções analíticas para problemas básicos e importantes de transporte de radiação e de se conjugarem a métodos numéricos de discretização da variável espacial para a solução numérica eficiente de problemas de transporte de radiação com maior complexidade e proximidade aos de interesse prático. Para ordem N par, a formulação SN com quadratura angular de Gauss-Legendre e ordem de aproximação da seção de choque macroscópica de espalhamento limitada a N é equivalente à formulação PN-1 com condições de contorno de Mark para problemas de transporte azimutalmente simétricos e definidos em geometria plana e coordenadas Cartesianas [2]. Recentemente, Barichello e Siewert [3] demonstraram essa equivalência para uma generalização de quadraturas de Gauss-Legendre e de condições de contorno de Mark em problemas de transferência de calor por radiação definidos em geometria plana, coordenadas Cartesianas e com dependência azimutal. Neste trabalho, fazemos uso da equivalência citada no parágrafo anterior e estabelecemos correlações entre aproximações para momentos angulares e aproximações

para fluxos angulares definidos no contorno de uma placa plana finita e uniforme. Mostramos que essas correlações são equivalentes às condições de contorno de Mark empregadas na formulação PN de problemas de transporte de radiação azimutalmente simétricos e definidos em geometria plana e coordenadas Cartesianas. Em seguida, mostramos que as correlações obtidas ao longo deste trabalho podem proporcionar esquemas numéricos simples e eficientes para a solução de classes de problemas de transporte de radiação. Ilustramos com duas classes. Na primeira, empregamos correlações apresentadas neste trabalho na solução eficiente de um problema inverso típico em blindagem de radiação: as propriedades materiais e geométricas da blindagem são conhecidas, a distribuição angular de radiação é conhecida na fronteira da blindagem com o meio exterior e determina-se a intensidade de radiação emitida pela fonte. Na segunda, empregamos correlações apresentadas neste trabalho para eliminar regiões não-multiplicativas em problemas de núcleos de reatores nucleares de fissão. Nestes problemas, determinamse o fator de multiplicação de nêutrons do núcleo e a distribuição espacial de potência térmica no núcleo. Uma sinopse das seções subseqüentes deste trabalho segue. Na Seção II, consideramos um problema SN definido em uma placa plana finita e uniforme. Em seguida, estabelecemos correlações entre momentos angulares e fluxos angulares no contorno da placa. Mostramos que essas correlações equivalem às condições de contorno de Mark empregadas na solução PN do problema de transporte

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definido na placa. Na Seção III, ilustramos a utilidade das correlações obtidas ao longo deste trabalho na solução de problemas de transporte na formulação PN e na Seção IV, concluímos com uma discussão e com um encaminhamento de trabalhos futuros.

ψm = ∑θm,p ψ p (0) + ∑θm,p ψ p (H) , m = 1: N, µp >0

conjuntamente às condições de contorno (1b). A quantidade H

ψm ≡ II. CORRELAÇÕES PN-1 – SN Iniciamos esta seção com a formulação SN de um problema estacionário de transporte de radiação definido em uma placa plana finita e uniforme com espessura H e espalhamento isotrópico

µm

N d 1 ψ m (z ) + σ t ψ m ( z ) = σ s ∑ ω n ψ n ( z ) , dz 2 n =1

z ∈ [0,H]; m = 1 : N,

(1a)

com as condições de contorno

ψ m (0) = f m ,e , µ m > 0 ; ψ m (H ) = f m ,d , µ m < 0.

(1b)

A notação empregada na formulação (1) é usual em publicações especializadas [1,2]. O inteiro par N denota a ordem da quadratura angular de Gauss-Legendre que aproxima o momento angular de ordem zero na formulação SN (1); ψm(z) é o fluxo angular de nêutrons que se deslocam nas direções angulares definidas por µm no ponto z pertencente ao domínio [0,H] e ωn é o peso angular associado à direção µn. Os parâmetros materiais da placa são constantes, onde σt denota a seção de choque macroscópica total e σs denota a seção de choque macroscópica de espalhamento. As funções reais discretas fm,e e fm,d prescrevem fluxos angulares incidentes nos pontos do contorno esquerdo (z=0) e direito (z=H) da placa, respectivamente. Nos anos 90, métodos espectro-nodais [4,5] foram desenvolvidos para a solução numérica de problemas de valor de contorno do tipo expresso na formulação (1). Especificamente, o método SGF, cf. “spectral Green’s function”, fornece valores para o fluxo angular médio na placa e para o fluxo angular nos pontos do contorno da placa que coincidem com os correspondentes valores obtidos da solução analítica do problema (1)

(4)

µ p 0 µp 0. Uma reformulação adicional do sistema de equações lineares e algébricas (6) fornece as soluções

ψ m ( H ) = ψ m (0) +

H (S − Fm ), µ m > 0 µm

(7)

ψ m (0) = ψ m ( H ) +

H (S − Fm ), µ m < 0, µm

(8)

e

N

ψ m (z) = ∑ α i a m (ν i ) exp(σ t z / ν i ), i =1

m = 1: N, z ∈ [0,H].

(2)

Maiores detalhes podem ser encontrados nas Refs. [4,5]. Os valores fornecidos pelo método SGF advêm da solução do sistema de equações lineares e algébricas [4] N µm (ψm (H) − ψm (0)) + σt ψm = 1 σs ∑ωn ψn , H 2 n=1

onde

S≡

(3) e

N   1 σ s ∑ ω n  ∑ θ n , p ψ p (0) + ∑ θ n , p ψ p (H)   2 n =1  µ p > 0 µ p 0 µ p 0, 2

(27)

∑ l=0

( 2 l + 1) Pl (µ m ) φ l ( p s ) = 0 , µ m < 0 . 2

onde

H (S − Fm ) , µ m < 0 , µm

ψ p (0), µ m < 0.

(31)

ψ m (0) =

∑γ

µ p >0

m ,p

ψ p (0) , µ m < 0,

(32)

onde

γ m,p ≡

H 1 N   σs ∑ωn θn,p − σt θm,p  . µm  2 n=1 

(33)

Substituímos a aproximação PN-1 (25) nos dois lados da expressão (32), rearranjamos e obtemos

 (2l +1)   ∑γ m,p Pl (µp ) − Pl (µm )φl (0) = 0 , µm < 0. 2 µp >0 l=0 

N−1

(28)

Entretanto, podemos empregar correlações estabelecidas ao longo da Seção II para substituir as condições (27) e (28) por condições equivalentes e definidas na interface núcleo ativo – refletor. Descrevemos a substituição da condição (28) por uma condição equivalente e definida na interface RMT – refletor superior. A substituição da condição (27) segue analogamente. Iniciamos a substituição da condição (28) com uma decomposição do domínio representado na Fig. 3 e definimos um problema local no subdomínio associado ao refletor superior. Neste problema local, as propriedades materiais e o comprimento do refletor são conhecidos, condições de contorno de vácuo se aplicam no contorno direito (ponto ps) e buscam-se determinar condições equivalentes e definidas na interface RMT – refletor superior. Para tanto, fazemos uso do resultado (8) da Seção II com z=0 correspondendo à interface RMT – refletor e com z=H correspondendo ao ponto ps, observamos que ψm(H) = 0, µm < 0, e escrevemos

ψ m (0) =

m, p



e N −1

∑θ

µp >0

Substituímos as expressões (30) e (31) na relação (29), rearranjamos e obtemos

(26)

O problema PN-1 tradicionalmente formulado se associa à imposição de N/2 condições de contorno de Mark para aproximação da condição de vácuo em pi e ps, i.e.



(30)

(29)

(34)

Relembramos que z=0 no problema local corresponde à interface RMT – refletor superior. Portanto, a condição (34) equivale à condição de contorno de Mark (28) e elimina o refletor superior do cálculo PN-1 da distribuição axial de potência térmica e do fator de multiplicação efetivo. Consideramos que essa eliminação contribui para uma redução dos esforços algébrico e computacional no cálculo PN-1. Na próxima seção, concluímos este trabalho com uma discussão e com desenvolvimentos futuros.

IV. DISCUSSÃO Estabelecemos neste trabalho correlações visando à solução precisa e eficiente de problemas de transporte de radiação na formulação de harmônicos esféricos. Essas correlações se aplicam a problemas inversos e diretos de transporte de radiação azimutalmente simétricos e definidos em geometria plana e coordenadas Cartesianas. Em uma primeira etapa, restringimos nosso trabalho à aproximação isotrópica para a seção de choque de espalhamento e a problemas de transporte de radiação sem dependência energética. A partir de correlações obtidas no âmbito da formulação de ordenadas discretas e da equivalência entre as formulações restritas de harmônicos esféricos (PN-1) e de ordenadas discretas (SN), derivamos correlações entre momentos angulares e fluxos angulares definidos no contorno de uma placa plana finita e uniforme. Essas correlações são equivalentes às condições de contorno de Mark empregadas na formulação PN-1. Através de

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aplicações a diferentes classes de problemas de transporte de radiação, mostramos que as correlações obtidas ao longo deste trabalho podem proporcionar esquemas eficientes para a obtenção de soluções PN-1 para esses problemas. Como trabalho futuro, pretendemos estender as correlações obtidas neste trabalho a problemas de transporte de radiação com espalhamento anisotrópico. Em etapa posterior, pretendemos incorporar a dependência energética através do formalismo multigrupo.

REFERÊNCIAS [1] Lewis, E.E. and Miller Jr., W.F., Computational Methods of Neutron Transport, John Wiley & Sons, NY, 1984. [2] Davison, B., Neutron Transport Theory, Oxford University Press, London, 1957. [3] Barichello, L.B. and Siewert, C.E., On the Equivalence Between the Discrete Ordinates and the Spherical Harmonics Methods in Radiative Transfer, Nuclear Science and Engineering, vol. 130, p. 79-84, 1998. [4] Barros, R.C. and Larsen, E.W., A Numerical Method for One-Group Slab-Geometry Discrete Ordinates Problems with No Spatial Truncation Error, Nuclear Science and Engineering, vol. 104, p. 199-208, 1990. [5] de Abreu, M.P., Alves Filho, H. and Barros, R.C., An Accelerated Numerical Method for One-Speed OneDimensional Eigenvalue Problems in Neutron Transport Theory with No Spatial Truncation Error, Boletim da Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional, vol. 4, no. 4, p. 1-11, 1993. [6] Chandrasekhar, S., Radiative Transfer, Oxford University Press, London, 1950. [7] Duderstadt, J.J. and Hamilton, L.J., Nuclear Reactor Analysis, John Wiley & Sons, NY, 1976.

ABSTRACT We take advantage of the equivalence between discrete ordinates and spherical harmonics methods and we derive mathematical conditions involving angular moments and fluxes that are equivalent to Mark boundary conditions. We then illustrate the attractiveness of these new PN conditions with applications to different classes of radiation transport problems – inverse problems in radiation shielding and direct problems in nuclear reactor theory.