Máquinas de corriente alterna

M´aquinas de corriente alterna Luis Enrique Arango Jim´enez.- Jorge Juan Guti´errez Granada. Universidad Tecnol´ogica de Pereira M´aquinas de corri...
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M´aquinas de corriente alterna

Luis Enrique Arango Jim´enez.- Jorge Juan Guti´errez Granada. Universidad Tecnol´ogica de Pereira

M´aquinas de corriente alterna Luis Enrique Arango Jim´enez. Universidad Tecnol´ogica de Pereira

Jorge Juan Guti´errez Granada. Universidad Tecnol´ogica de Pereira

2011

Este libro est´a hecho con ayuda de KOMA -Script y LATEX.

Introducci´on

E

l trabajo que presentamos en este libro, recoge la aplicaci´ on sistem´ atica durante varios a˜ nos a la ense˜ nanza de las M´ aquinas El´ectricas, como profesores de la Universidad Tecnol´ ogica de Pereira. En ´el confluye tanto el inter´es de cumplir un fin did´ actico, como la probada experiencia en la comprobaci´ on de los desarrollos logrados. El libro pretende, partiendo de lo m´ as simple a lo complejo, presentar una teor´ıa unificada para las m´ aquinas de corriente alterna desde el punto de vista de la conversi´ on de energ´ıa electromec´ anica. El primer cap´ıtulo se preocupa de la obtenci´ on de las ecuaciones generales para el funcionamiento de una m´ aquina el´ectrica bif´ asica. Igualmente, utiliza una transformaci´ on de coordenadas con el fin de simplificar la presentaci´ on y soluci´ on de las ecuaciones. Adicionalmente, utiliza la transformaci´ on de tres ejes a dos ejes para extender los desarrollos a la m´ aquina trif´ asica. El segundo cap´ıtulo particulariza la soluci´ on de las ecuaciones para el caso de la maquinaria sincr´ onica, haci´endose ´enfasis en el r´egimen transitorio de las soluciones. El tercer y u ´ltimo cap´ıtulo se dedica a la soluci´ on de las ecuaciones generales para el caso de la maquinaria de inducci´ on en diversas variantes de funcionamiento. Aunque varios autores han trabajado sobre la teor´ıa generalizada de las m´ aquinas rotativas, sin embargo no hemos encontrado un texto apropiado para la ense˜ nanza de la misma a nivel de estudiantes de Ingenier´ıa. A llenar este vac´ıo se orient´ o nuestro esfuerzo. El libro presenta numerosos desarrollos originales y algunos, a pesar de ser conocidos, se han adaptado de manera que armonicen con el estilo y enfoque general del trabajo. Consideraci´ on especial merece el an´ alisis del corto-circuito en el generador sincr´ onico, tema casi que inabordable en el campo de la ense˜ nanza de las m´ aquinas el´ectricas , y que en el libro que hoy entregamos se haya muy bien logrado. El trabajo realizado no agota el tema de por si. El campo de las t´ecnicas num´ericas de la soluci´ on a las ecuaciones, en situaciones que exceden el marco de las soluciones anal´ıticas, se propuso. Se abre entonces una gran expectativa, para la continuaci´ on de este trabajo en el campo de la aplicaci´ on de t´ecnicas computacionales, que partiendo de las ecuaciones generales no lineales, aborden cualquier situaci´ on posible de la maquinas el´ectrica rotativa. Los autores agradecen las facilidades brindadas por la Universidad para que el prop´ osito original se realizara y dedican este modesto aporte a sus respectivas esposas Pamela y Gloria. Luis Enrique Arango Jim´enez Juan Jorge Guti´errez Granada Universidad Tecnol´ ogica de Pereira.

I

I´ndice general

1. Ecuaciones 1.1. Configuraci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Aproximaci´ on para el caso de entrehierro no uniforme en m´ aquinas de corriente alterna . . . . 1.2.1. Extensi´ on para el caso de n par de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Campos magn´eticos en las m´ aquinas de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Campos concentrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Campos distribuidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. M´ aquina bif´ asica de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Representaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. C´ alculo de los par´ ametros circuitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Ecuaciones el´ectricas de equilibrio para la m´ aquina bif´ asica de corriente alterna . . . . . . . . . 1.5.1. Simetr´ıa en el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Ajuste de las ecuaciones para polos salientes en el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Ecuaci´ on mec´ anica de equilibrio para la m´ aquina bif´ asica de corriente alterna . . . . . . . . . . 1.6.1. Determinaci´ on del torque electromagn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Extensi´ on de la expresi´ on del torque para polos salientes en el rotor . . . . . . . . . . . 1.6.3. Ley de Newton para el eje mec´ anico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Soluci´ on de las ecuaciones generales de la m´ aquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Transformaci´ on Θ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1. Definici´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.2. Invariancia de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8.3. Aplicaci´ on de la transformaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Transformaci´ on de tres ejes a dos ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1. La transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2. Incidencia de la transformaci´ on en la matriz de impedancias de la m´ aquina real trif´ asica 1.9.3. Aplicaci´ on de la transformaci´ on a un sistema simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.4. Aplicaci´ on de la transformaci´ on a la m´ aquina trif´ asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Componentes sim´etricas en la m´ aquina de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2. Componentes sim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3. Potencia en t´erminos de las componentes sim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.4. Componente de secuencia cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.5. Efecto de la componente de secuencia cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 1 4 4 5 7 12 12 14 23 25 25 27 27 30 30 31 32 32 33 34 38 39 42 43 44 46 46 46 49 51 52 55 79

2. La m´aquina sincr´onica 2.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Ajuste de las ecuaciones para devanados amortiguadores . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 86 87

III

I´ndice general

IV

2.2. M´ aquina sincr´ onica trif´ asica balanceada en regimen permanente y velocidad constante 2.3. An´ alisis fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Diagrama fasorial del motor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Diagrama fasorial del generador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Reactancia sincr´ onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Consideraciones sobre el signo del ´ angulo del par δ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Ajustes en el voltaje de excitaci´ on para cambiar el factor de potencia . . . . . . 2.4. Ecuaci´ on del eje mec´ anico para la m´ aquina sincr´ onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Devanados de amortiguaci´ on y/o arranque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Influencia del devanado amortiguador y/o de arranque en la ecuaci´ on del par . 2.5. Oscilaciones y estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Par de sincronizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.4. Criterio de ´ areas iguales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Operaci´ on transitoria y desbalanceada de la maquinaria sincr´ onica . . . . . . . . . . . 2.6.1. Ecuaciones y generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2. Alternador en corto circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.3. Eliminaci´ on de variables en un sistema matricial de ecuaciones . . . . . . . . . 2.6.4. Determinaci´ on de las corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.5. Maquinaria sincr´ onica trif´ asica desbalanceada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. La m´aquina de inducci´on 3.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Rotor devanado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Jaula de ardilla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Modelo circuital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. La m´ aquina de inducci´ on con alimentaci´ on sinusoidal desbalanceada en el estator . . . . . . 3.3.1. Componentes sim´etricas bif´ asicas adelante-atr´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Referencias de las ecuaciones al devanado 1 del estator . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Transformaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4. Caso del rotor en cortocircuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5. Simetr´ıa en el estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Caso de voltajes balanceados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Frenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Motorizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Generaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. An´ alisis de la motorizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Determinaci´ on del torque medio para la m´ aquina bif´ asica alimentada sinusoidalmente y con rotor en corto circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. La m´ aquina de inducci´ on monof´ asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Arranque de los motores monof´ asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Transitorios en la m´ aquinas de inducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliograf´ıa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . el . . . . . . . . . . . .

87 94 96 96 98 98 102 104 105 106 108 108 108 109 109 111 111 112 115 122 144 151 179 187 187 187 187 187 190 190 194 195 197 199 200 205 205 205 205 207 209 213 215 225 260 263

Cap´ıtulo

1 Ecuaciones

1.1. Configuraci´on

L

as m´aquinas de corriente alterna (c.a.) constan de dos estructuras conc´entricas de material ferromagn´etico, usualmente laminado para disminuir las p´erdidas magn´eticas.

La estructura exterior se denomina estator y la interior rotor. En cada una se las estructuras van alojados devanados el´ectricos que dan lugar a campos magn´eticos; los devanados pueden estar distribuidos en la estructura o concentrados en alg´un lugar particular de ella, identificado como polos f´ısicos. De hecho, las estructuras pueden ser cil´ındricas o de polos salientes; si son cil´ındricas se tiene un entrehierro uniforme y si alguna de ellas tiene polos salientes, un entrehierro no uniforme. Ver Figuras 1.1 y 1.2.

1.2. Aproximaci´on para el caso de entrehierro no uniforme en m´aquinas de corriente alterna La Figura 1.3 muestra un corte de una m´aquina el´ectrica de polos salientes en el estator. Se denomina g(θ) la magnitud del entrehierro en el a´ ngulo θ, medido desde el eje directo (eje d), y en el sentido anti-horario. gd es la distancia m´ınima entre estructuras y gq la distancia m´axima entre ellas. Adem´as se utilizar´an coordenadas cil´ındricas: b ar ×b aθ = b az , donde el eje z sale del papel. Si se desarrolla el entrehierro en forma lineal, tal como muestra la Figura 1.4, se tiene la siguiente expresi´on para g como una funci´on del a´ ngulo θ: ( 5π gd , para − π4 < θ < π4 y 3π 4 Rχ′ 2 > Rχ′ 1 . Para una buena regulaci´on el par m´aximo debe estar tan cerca a la velocidad sincr´onica como sea posible.

3.5. Determinaci´on del torque medio para la m´aquina bif´asica alimentada sinusoidalmente y con el rotor en corto circuito 207

3.5. Determinaci´on del torque medio para la m´aquina bif´asica alimentada sinusoidalmente y con el rotor en corto circuito Se puede ver que para las ecuaciones referidas al devanado 1 del estator, se cumple:  Tg = nL′1xmax i′2 i′a − i1 i′A .

Sea:

i1 = i′2 i′a i′A

= = =

√ √

2I1 cos (ωt − α) ,

2I ′ cos (ωt − α1 ) , √ 2′ 2I cos (ωt − β) , √ a′ 2IA cos (ωt − β1 ) .

(3.37) (3.38) (3.39) (3.40)

′ valores eficaces. I1 , I2′ , Ia′ e IA

N´otese que la frecuencia de las corrientes del modelo i′a , i′A son de frecuencia ω. Por lo tanto   ′ Tg = nL′1xmax 2I2′ Ia′ cos (ωt − α1 ) cos (ωt − β) − 2I1 IA cos (ωt − α) cos (ωt − β1 ) .

 ′ Tg = nL′1xmax I2′ Ia′ [cos(β − α1 ) + cos(2ωt − α1 − β)] − I1 IA [cos(β1 − α) + cos(2ωt − α − β1 )] . (3.41) Se halla el valor medio de la expresi´on anterior. Tgmed

Como:

1 = T

Z

T

Tg (t)dt. 0

  ′ Tgmed = nL′1xmax I2′ Ia′ cos(β − α1 ) − I1 IA cos(β1 − α) .

(3.42)



Re[I2′ Ia∗ ] = I2′ Ia′ cos(β − α1 ), ′

′ Re[I1 IA∗ ] = I1 IA cos(β1 − α).

Adem´as como:

 ′  ′ Tgmed = nL′1xmax I2′ Ia∗ − I1 IA∗ . 

  I1 1 r  I2′  −j 1  =   Ia′  2 0 ′ IA 0

1 0 j 0 0 1 0 −j

 ′  If s 0 ′    0  Ibs . ′ 1 If r  ′ j Ibr

(3.43)

208

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

Se puede expresar el torque en funci´on de los componente sim´etricas:   ′ ′ ∗ ′ ′ ∗ Tgmed = nL′1xmax Re (−jIf′ s + jIbs )(If′ r + Ibr ) − (If′ s + Ibs )(−jIf′ r + jIbr ) /2, h i ′ ′ ′ ′ ′ ′ )(If∗r + Ibr∗ ) − (If′ s + Ibs )(jIf∗r − jIbr∗ ) /2, Tgmed = nL′1xmax Re (−jIf′ s + jIbs h i ′ ′ ′∗ Tgmed = nL′1xmax Re 2j(−If′ s If∗r + Ibs Ibr ) /2.

(3.44)

Del circuito equivalente de la figura 3.19

R1

L1 − L′1xmax

L′x0 − L′1xmax

+

Rx′ Vf′s −

If′ s 1 (R2′ 2

1 (L′2 2

− R1 )

If′ r

L′1xmax

R′x (1 s

− s)

− L1 )

+ R′x (s 2−s ′ Vbs

L′1xmax

′ Ibs

− 1)

′ Ibr

Rx′ −

R1

L1 − L′1xmax

L′x0 − L′1xmax

Figura 3.19: Circuito equivalente

If′ s

′ Ibs



 Rx′ ′ + jωLx0 If′ r s = − , jωL′1xmax  ′  Rx ′ ′ + jωLx0 Ibr 2−s = − . jωL′1xmax

(3.45)

(3.46)

Reemplazando:

Tgmed



 ′    Rx Rx′ ′ ′   s + jωLx0  ′ ′ ∗  2 − s + jωLx0  ′ ′ ∗    I I  /2, = nL′1xmax Re  2j I I − 2j   fr fr   jωL′  br br  jωL′1xmax 1xmax 

3.6. La m´aquina de inducci´on monof´asica

209

pero ′

If′ r If∗r = |If′ r |2 , ′

′ ′ 2 Ibr∗ = |Ibr | . Ibr

Luego:

Tgmed

    ′  ′  Rx Rx ′ ′   s + jωLx0  ′ 2  2 − s + jωLx0  ′ 2   |I |  /2,  = nL′1xmax Re  2 |I | − 2  fr  br    ωL′  ωL′ 1xmax

Tgmed

2n = ω



1xmax

 Rx′ ′ 2 Rx′ ′ 2 |I | − |I | /2. s fr 2 − s br

(3.47)

Que se puede hallar del mismo circuito equivalente. Para simetr´ıa R2′ = R1 y L′2 = L1 Tgmed /f ase =

n|If′ r |2 Rx′ 2ωs



′ |R′ n|Ibr x . 2ω(2 − s)

(3.48)

Es el torque medio por fase del bif´asico. Se sabe que la potencia mec´anica transportada por fase es: PM /f ase =

ω (Tgmed /f ase) (1 − s). n

As´ı: PM /f ase = |If′ r |2 Rx′

(1 − s) (1 − s) ′ − |Ibr |Rx′ . 2s 2(2 − s)

(3.49)

Es la potencia por fase del bif´asico.

3.6. La m´aquina de inducci´on monof´asica Se toman las ecuaciones referidas de la m´aquina bif´asica:      V1 R1 + jωL1 0 jωL′1xmax 0 I1 ′ + jωL′ ′ ′  V2′     0 R 0 jωL 2 2 2xmax   I2  .  =  Va′   jωL′1x L′2xmax nρθ0 Rx + jωL′x0 L′x0 nρθ0   Ia′  max ′ ′ ′ ′ ′ VA −L1xmax nρθ0 jωL2xmax −Lx0 nρθ0 Rx + jωL′x0 IA

(3.50)

210

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

Al aplicar la transformaci´on de las componentes sim´etricas bif´asicas se tiene:   Vf′s R1 + R2′ + jω(L1 + L′2 ) R1 − R2′ + jω(L1 − L′2 ) jω(L′1xmax + L′2xmax )  V ′  1  R1 − R2′ + jω(L1 − L′2 ) R1 + R2′ + jω(L1 + L′2 ) jω(L′1xmax − L′2xmax )  bs  =  ′ ′ ′ ′ ′ V  2 j(ω − nρθ0 )(L1x + L2xmax ) j(ω − nρθ0 )(L1xmax − L2xmax ) 2 (Rx′ + jL′x0 (ω − nρθ0 )) fr max j(ω + nρθ0 )(L′1xmax − L′2xmax ) j(ω + nρθ0 )(L′1xmax + L′2xmax ) 0 Vbr′  ′  ′ ′ If s jω(L1xmax − L2xmax ) ′ ′ ′    jω(L1xmax + L2xmax )   Ibs . ′   0 If r  ′ 2 (Rx′ + jL′x0 (ω + nρθ0 )) Ibr (3.51) Se hacen cero los elementos que tienen que ver con la bobina dos (figura 3.20) 

ηρθ0

ηθ0

A x a

1

Figura 3.20: Representaci´on de la m´aquina monof´asica.



  Vf′s R1 + R2′ + jωL1 R1 + jωL1 jωL′1xmax ′ V  1  R1 + jωL1 R1 + jωL1 jωL′1xmax  bs  =  V ′  2 jL′1x (ω − nρθ0 ) jL′1x (ω − nρθ0 ) 2 (Rx′ + jL′x0 (ω − nρθ0 )) fr max max jL′1xmax (ω + nρθ0 ) jL′1xmax (ω + nρθ0 ) 0 Vbr′    If′ s jωL′1xmax ′  I′  jωL1xmax   bs  .  I ′  0 fr ′ ′ ′ 2 (Rx + jLx0 (ω + nρθ0 )) Ibr Con: sω = ω − nρθ0 ,

(2 − s)ω = ω + nρθ0 .

(3.52)

3.6. La m´aquina de inducci´on monof´asica

211

  jωL′1xmax jωL′1xmax R1 + jωL1 R1 + jωL1   R1 + jωL1 R1 + jωL1  If′ s Vf′s jωL′1xmax  jωL′1xmax    ′   1    Ibs Rx′ Vbs′ ′ ′ ′       = + jL jωL jωL 2 0 x0 1xmax 1xmax  I ′  .  Vf′r /s  2  s f r   ′  ′   I Rx Vbr′ /(2 − s) ′ ′ ′ br jωL1xmax + jLx0 jωL1xmax 0 2 2−s (3.53) 



Sumando las primeras dos ecuaciones de 3.53: ′ ′ Vf′s + Vbs′ = (R1 + jωL1 )(If′ s + Ibs ) + jωL′1xmax If′ r + jωL′1xmax Ibr .

Como: I1 =

′ ) (If′ s + Ibs √ , 2

V1 =

(Vf′s + Vbs′ ) √ . 2

y,

′ V1 = (R1 + jωL1 )I1 + jωL′1xmax If′ r + jωL′1xmax Ibr .

  R1 + jωL1 V1  ′  Vf r /s  =  1 jωL′1x 2 max 1 ′ Vbr′ /(2 − s) jωL 1x 2 

max

jωL′1xmax R′x ′ s + jωLx0 0

(3.54)

  jωL′1xmax I1  ′  0  If r . R′x ′ ′ Ibr 2−s + jωLx0

(3.55)

El siguiente circuito (figura 3.21), satisface las ecuaciones anteriores:

R1

L1 − L′1xmax

L′x0 − L′1xmax

R′x s

+

+

L′1xmax

Vf′r s

If′ r



I1 2

V1

+

L′1xmax

′ Vbr 2−s

′ Ibr





R1

L1 − L′1xmax

L′x0 − L′1xmax

R′x 2−s

Figura 3.21: Circuito equivalente para la m´aquina monof´asica.

212

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

Para el rotor en cortocircuito: Vx = 0, Va = 0, VA = 0. Luego: Vf′r = 0, Vbr′ = 0. La figura 3.22 muestra el circuito equivalente de la m´aquina monof´asica.

R1

L′x −L′1x max 2

L1 − L′1xmax

+

L′1xmax 2

V1

2If′ r

R′x 2s

′ 2Ibr

R′x 2(2−s)

I1 L′1xmax 2

− L′x −L′1x max 2

Figura 3.22: Circuito equivalente de la m´aquina monof´asica.

Del circuito de la figura 3.22 PM = (1 − s)Pg , (1 − s) ′ 2 ′ (s − 1) + |2Ibr | Rx , 2s 2(2 − s)

(3.56)

′ |2 R′ 2n|If′ r |2 Rx′ 2n|Ibr PM x = − . ω (1 − s) sω ω(2 − s) s

(3.57)

PM = |2If′ r |2 Rx′ TM =

El torque tiene dos componentes: una que act´ua en el sentido de giro o hacia adelante y otra que act´ua en contra del giro o hacia atr´as. Cuando s = 1,

3.6. La m´aquina de inducci´on monof´asica

213

se nota del circuito de la m´aquina monof´asica (figura 3.22) que: ′ If′ r = Ibr .

De donde se desprende que: TM = 0.

(3.58)

Efectivamente el motor monof´asico no tiene par de arranque. La figura 3.23 es una gr´afica para las dos componentes del torque.

TM

s

2

1.5

Curva hacia adelante

1

0.5

0

Torque mec´anico total Curva hacia atr´as

Figura 3.23: Par de motor monof´asico.

3.6.1. Arranque de los motores monof´asicos Al no tener arranque propio, los motores monof´asicos requieren m´etodos de arranque. Se conocen el del flujo giratorio y el del colector con escobillas en el rotor. El m´as conocido es el primero en el cual de incorpora un devanado auxiliar o de arranque adicional al devanado principal, el que produce una diferencia de fase entre las corrientes de ambos devanados (flujo giratorio), y un par neto de arranque. En el fondo la m´aquina se comporta como una bif´asica en el arranque. Los dos tipos principales de este m´etodo de arranque se logran en los siguientes motores: motor de fase partida y motor con condensador de arranque. A. Fase partida La figura 3.24 muestra esquem´aticamente este tipo de motor donde los devanados principal y de arranque tienen diferencias sensibles de impedancia para lograr, como ya se plante´o, la diferencia de

214

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

fase entre las corrientes. Interruptor centr´ıfugo

Devanado de arranque

Rotor jaula de ardilla

Devanado principal

Figura 3.24: Motor de fase partida.

El devanado principal tienen una resistencia relativamente baja y una alta reactancia comparada con la anterior. El devanado de arranque tiene una alta resistencia y una baja reactancia. Un interruptor centr´ıfugo en la rama del arrollamiento de arranque, que se acciona cuando el motor ha alcanzado aproximadamente el 70 % de la velocidad final, desconecta autom´aticamente dicho devanado. El an´alisis de este motor durante el arranque puede hacerse con el circuito equivalente de la m´aquina bif´asica asim´etrica en el estator. Cuando se acciona el centr´ıfugo se utiliza el circuito equivalente monof´asico. La caracter´ıstica par-velocidad es como muestra la gr´afica de la figura 3.25.

B. Condensador de arranque Como el motor de fase partida es generalmente un motor fraccionario sin un alto par de arranque; el requerimiento de un par mayor de arranque se logra incorporando un condensador electrol´ıtico en serie con el devanado de arranque (figura 3.26). El condensador es simplemente una ayuda para el arranque y obviamente se desconecta con el centr´ıfugo. Dentro de este m´etodo (arranque por campo giratorio) tambi´en hay motores que no sacan el condensador, sino que lo dejan operando permanentemente y motores que emplean dos condensadores en el arranque, de los cuales uno se deja operando permanentemente. Sin embargo, estos dos u´ ltimos tipos de motores son de hecho bif´asicos desbalanceados.

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

215

TM

Par de la m´aquina bif´asica Par de la m´aquina monof´asica

s

1

Apertura del interruptor centr´ıfugo

Figura 3.25: Pares para los motores bif´asico y monof´asico.

Figura 3.26: Motor monof´asico con condensador de arranque.

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on Los transitorios que pueden ocurrir en la maquinaria de inducci´on son de dos tipos; el´ectricos como los producidos por cambios de voltajes o mec´anicos como los producidos por cambios en cargas. En general, cualquier tipo de transitorio puede ser analizado de las ecuaciones ya estudiadas y que se presentan de nuevo      v1 R1 + L1 ρ 0 L′1xmax ρ 0 i1 ′ + L′ ρ ′ ′   v2′     0 R 0 L ρ 2 2 1xmax  =   i2  . (3.59)  va′   L′1x ρ L′1xmax nρθ0 Rx + L′x0 ρ L′x0 nρθ0   i′a  max ′ vA −L1xmax nρθ0 L′1xmax ρ −L′x0 nρθ0 Rx′ + L′x0 ρ i′A

216

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

Y de la ecuaci´on del eje mec´anico Tg − f ρθ0 ± Tcarga = Jρ2 θ0 , donde

 Tg = nL′1xmax i′2 i′a − i1 i′A .

(3.60)

(3.61)

La soluci´on de este sistema de cinco ecuaciones exige t´ecnicas num´ericas por ser ecuaciones diferenciales no lineales. Sin embargo en esta maquinaria puede suponerse que los transitorios el´ectricos han terminado antes que los mec´anicos se inicien. Esto permite considerar como constante la velocidad en la matriz de las ecuaciones el´ectricas, logr´andose una importante simplificaci´on.

A. Arranque del motor de inducci´on Para calcular el transitorio de arranque se considera que la velocidad es cero hasta que termina el transitorio el´ectrico, luego en la medida que va evolucionando la velocidad se va modificando la misma para calcular corrientes. Haciendo nρθ0 = 0. De la ecuaci´on matricial 3.59: v1 = (R1 + L1 ρ)i1 + L′1xmax ρi′a ,

(3.62)

va′ v2′ ′ vA

(3.63)

= = =

L′1xmax ρi1 + (Rx′ + L′x0 ρ)i′a , (R2′ + L′2 ρ)i′2 + L′1xmax ρi′A , L′1xmax ρi′2 + (Rx′ + L′x0 ρ)i′A .

(3.64) (3.65)

Como: vx′ = vy′ = 0



′ va′ = vA = 0.

(3.66)

Las ecuaciones pueden ser representadas por los siguientes circuitos equivalentes (figura 3.27). De donde pueden calcularse los transitorios. Si se desprecia Rx′ , los circuitos se reducen (figura 3.28). Definiendo: ′

L′1T

L2 = L1 − 1x′max , Lx0

L′2T

L2 = L2 − 1x′max , Lx0

(3.67)



(3.68)

inductancias transitorias 1 y 2 respectivamente i1 (0− ) = i′2 (0− ) = 0. Si v1 = V1max cos(ωt + λ),

(3.69)

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

R1

v1

217

L1 − L′1xmax

Rx′

L1xmax

i1

R2

v2′

L2 − L′1xmax

L′x0 − L′1xmax

i′a

Rx′

L1xmax

i2

L′x0 − L′1xmax

i′A

Figura 3.27: Diagramas para el calculo del transitorio de arranque del motor de inducci´on.

R2′

R1



v1

i1

L1 −



2 L1x max L′x0

v2

i′2

L′2 −

2 L1x max L′x0

Figura 3.28: Diagrama de la figura 3.27 simplificado.

i1 (t) = q

V1max R12

+

(ωL′1T )2





 −1 cos ωt + λ − tg



ωL′1T R1





− cos λ − tg−1



ωL′1T R1



 R1 t ′  e L1T  . −

(3.70)

La constante de tiempo (figura 3.29) del transitorio es L′1T , R1 es muy peque˜na y se puede suponer que la velocidad no ha cambiado cuando ya se alcanza el r´egimen permanente.

218

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on i1 (t)

t

Figura 3.29: Variaci´on de i1 con el tiempo.

Evoluci´on de la velocidad (transitorio mec´anico) Si se incluye la fricci´on dentro de la carga: TL = Tcarga + f ρθ0 , Tg − TL = Jρ2 θ0 = J

(3.71)

dω , dt

dω . (3.72) dt Tg depende de las corrientes i′2 , i′A , i1 , i′a ; sin embargo como se est´a en r´egimen permanente de corrientes, se poden tomar del circuito equivalente, y entonces Tg ser´a una funci´on del deslizamiento, es decir de la velocidad. Tg = Tg (ω). ∆T = Tg − TL = J

El par externo de la carga siempre se describe en funci´on de la velocidad as´ı: Tcarga = Tcarga (ω), TL (ω) = Tcarga (ω) + f ω, ∆T (ω) = Tg (ω) − TL (ω). Siendo ∆T funci´on de ω, el problema se reduce a resolver la ecuaci´on diferencial dω ∆T (ω) = . dt J Soluci´on gr´afica (figura 3.30): De la gr´afica de la figura 3.31 se puede determinar la expresi´on para ∆T (ω).

(3.73)

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

219

Tg (ω) ∆T (ω) TL (ω)

ωs ωr.p. (r´egimen permanente) Figura 3.30: Soluci´on gr´afica para el transitorio mec´anico. ∆T (ω)

ωr.p.

ω

Figura 3.31: Gr´afica para ∆T (ω)-ω.

Z

ω 0



J ∆T (ω)



dω =

Z

t

dt. 0

El a´ rea bajo la curva de la figura 3.32 va mostrando el tiempo necesario para ir alcanzando la velocidad respectiva (figura 3.33). Tambi´en se puede graficar el valor de r´egimen permanente que toman las corrientes con el tiempo. Para cada t1 se determina el s1 correspondiente. Con este valor del deslizamiento se resuelve el circuito equivalente del motor de inducci´on. Al final se podr´a obtener el gr´afico de la figura 3.34.

˜ en la carga mec´anica del motor B. Variaciones pequenas Se considera un motor alimentado con voltajes balanceados y equilibrados trabajando con una carga mec´anica TL0 cuando re´une una peque˜na variaci´on de esta carga.

220

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on J ∆T (ω)

ωr.p.

ω1

ω

t1 Figura 3.32: Gr´afica para J/∆T (ω)-ω ω

ωr.p. ω1

t1

t

Figura 3.33: Cambio de la velocidad en el tiempo.

Como se vi´o, el par desarrollado por un motor se puede expresar por: TM = sω

"

2n(Vth )2 Rx′ #.  Rx′ 2 2 Rth + + (χth + χ′a ) s

Multiplicando y dividiendo por s2 TM =

h

2n(Vth )2 Rx′ s

ω (sRth + Rx′ )2 + s2 (χth + χ′a )2

i.

(3.74)

Esta funci´on se muestra en la figura 3.35 El rango de operaci´on del motor se da en las vecindades de s = 0, lo cual permite suponer la

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

221

|I1 |

Corriente m´axima de arranque en r´egimen permanente

Corriente de r´egimen para ωr.p.

t Figura 3.34: Variaci´on de |I1 | en el tiempo. TM

0

1

ωs

S ωm

Figura 3.35: Gr´afica de TM - s.

caracter´ıstica lineal. Linealizando: TM = ks



Evaluando: k=

dTM k= . ds s=0

2n|Vth |2 , ωRx′

(3.75)

222

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

TM =

2n|Vth |2 s . ωRx′

(3.76)

La ecuaci´on general para el eje mec´anico ser´a: X

T = (Jmotor + Jcarga )

dωM , dt

(3.77)

Jmotor + Jcarga = JT ,

Tg (ωm ) − f ωm − TL = JT

dωm . dt

(3.78)

Expresando en funci´on de deslizamiento s: ωM dωm dt Tg (s) − Reemplazando:

ω(1 − s) , n ω ds = − . n dt =

ω ω ds (1 − s)f − TL = −JT + . n n dt

ω ω − Jt ρs + f (1 − s) + TL = ks. n n

(3.79)

(3.80)

La anterior es la ecuaci´on del eje mec´anico en funci´on del deslizamiento, siempre y cuando se est´e en la regi´on lineal. Ahora para trabajar con variaciones de carga alrededor de un punto: TL = TL0 + ∆TL (t), s = s0 + ∆s(t).

(3.81) (3.82)

Reemplazando y notando que: ω f (1 − s0 ) + ∆TL0 = ks0 . n

(3.83)

Estado estable antes de la perturbaci´on. ω  ω JT ∆L s(t) ˙ + f + k ∆L s(t) = ∆TL (t). n n

(3.84)

En t´erminos de Laplace y con condiciones iniciales iguales a cero; note que el operador s se cambio por ∆L ω  ω JT ∆L ∆L s(∆L ) + f + k ∆L s(∆L ) = ∆TL (∆L ), n n hω ω i ∆L s(∆L ) JT ∆L + f + k = ∆TL (∆L ), n n

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

223

∆TL (∆L )  = G(∆L ). ω J ∆ n T L + nf + k

∆L s(∆L ) =  ω

(3.85)

∆L s(t) = L−1 G(∆L ).

(3.86)

El caso particular cuando ∆TL (t) = cte = ∆TL , se puede resolver f´acilmente G(∆L ) =

∆L

∆s(t) =

∆TL n JT ∆L +



∆TL +k

ω nf

donde: τ=

ω nf

+k



 t − 1 − e τ  ,

 ,

(3.87)

(3.88)

JT . f + nk ω

Ver figura 3.36 ∆S(t)

∆TL ω n JT +K

t Figura 3.36: Variaci´on de ∆S(t) en el tiempo.

An´alogamente la variaci´on de la velocidad ser´a: ωm (t) = ωm (0) + ∆ωm (t), ωm (0) + ∆ωm (t) = ωm (0) + ∆ωm (t) =

(3.89)

ω (1 − s0 − ∆s(t)), n

ω ω (1 − s0 ) − ∆s(t), n n

ω ∆ωm (t) = − ∆s(t), n

(3.90) (3.91)

224

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

  t − ∆TL  ∆ω(t) = − 1 − e τ . f + ωn k

Ver figura 3.37.

(3.92)

∆ω(t)

t

∆TL n JT +K ω

Figura 3.37: Variaci´on de ∆ω(t) en el tiempo.

La cual era de esperarse, si la carga aumenta la velocidad disminuye.

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

225

Ejemplos Ejemplo 3.1. Un servomotor de amortiguaci´on viscosa, de 6 polos, 400 c.p.s., 26 V (en cada fase) bif´asico, tiene las siguientes constantes referidas al estator: R1 = 65 Ω, Rx′ = 165 Ω, χ1 = 75 Ω, χ′a = 65 Ω. Despreciar la rama de magnetizaci´on. La inercia del rotor es 0,69 gr-cm2 . El coeficiente de amortiguaci´on viscosa es 3,0 dinas-cm/rad/s. Para rotor bloqueado (s = 1) a) Determinar la potencia de entrada para el voltaje nominal aplicado a ambos devanados. b) Repetir la parte a) para la mitad del voltaje aplicado al devanado de control. Soluci´on 3.1. a) La figura 3.38 es la representaci´on circuital de un servomotor bif´asico sim´etrico en el estator y en el rotor. jχ′a

jχ1

R1

Rx′

+

Vf s

If s

jχ′φ

If′ r

R′x (1−s) s

Ibs

jχ′φ

′ Ibr

R′x 2−s

− +

Vbs −

R1

jχ1

jχ′a

Figura 3.38: Representaci´on circuital de un servomotor bif´asico sim´etrico en el estator y en el rotor.

 jχ′a = jω L′x0 − L′1xmax ,

jχφ = jωL′1xmax ,

jχ1 = jω (L1 − L1xmax ) .

226

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

V1 = 26∠0◦ , V2 = 26∠ − 90◦ , V1 + jV2 26∠0◦ + j26∠ − 90◦ √ √ Vf s = = = 36, 77∠0◦ , 2 2 V1 − jV2 26∠0◦ − j26∠ − 90◦ √ √ Vbs = = = 0. 2 2 ′ = 0. Ibs = Ibr

De la figura 3.39

65

j75

j65

+

36.77∠0◦

If s

165



Figura 3.39: Circuito del ejemplo 3.1

36, 77∠0◦ = (65 + j75 + j65 + 165)If s = (230 + j140)If s , If s = 0, 1366∠ − 31, 33◦ , If′ r = −If s = 0, 1366∠148, 67◦ , ′ Ibs = Ibr = 0.

As´ı: P = Vf s If s , P = (36, 77)(0, 1366)cos(31, 33◦ ) = 4, 29 W. Si:

     1 I1 1 1 If s =√ I2 2 −j j Ibs I1 = 0, 0966∠ − 31, 33◦ ,

I2 = 0, 0966∠ − 121, 33◦ .

P = 2V1 I1 cosθ = 2(26)(0, 0966)cos(31, 33◦ ) = 4, 29 W.

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on Como ilustraci´on se utiliza la transformaci´on: V1 + jV2 = 26∠0◦ , 2 = 0,

Vf s = Vbs

If s = 0, 0966∠ − 31, 33◦ ,

If′ r = −If s = 0, 0966∠148, 67◦ , ′ Ibs = Ibr = 0.      I1 1 1 If s = I2 −j j Ibs

I1 = 0, 0966∠ − 31, 33◦ ,

I2 = 0, 0966∠ − 121, 33◦ .

As´ı: Pent = (26)(0, 0966)cos(31, 33◦ ) + (26)(0, 0966)cos(31, 33◦ ) = 4, 29 W, es id´entica; pero: P = Vf s If s , P = (26)(0, 0966)cos(31, 33◦ ) = 2, 145 W, que es la mitad de la potencia total de entrada. b) El devanado de control es V1 V1 = 13∠0◦ , V2 = 26∠ − 90◦ , 13∠0◦ + j26∠ − 90◦ √ Vf s = = 27, 58∠0◦ , 2 13∠0◦ − j26∠ − 90◦ √ = −9, 19∠0◦ . Vbs = 2 De la figura 3.40 27, 58∠0◦ = (230 + j140)If s , If s = 0, 0724∠ − 31, 33◦ . −9, 19∠0◦ = (230 + j140)Ibs , Ibs = 0, 034∠148, 67◦ . If′ r = 0, 1024∠148, 67◦ , ′ Ibr = 0, 034∠ − 31, 33◦ .

227

228

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

j75

65

j65

+

27.58∠0◦

If s

165

If s

165

− +

−9.19∠0◦ −

j75

65

j65

Figura 3.40: Circuito del ejemplo 3.1

I1 = I1 =

(0, 0724∠ − 31, 33◦ + 0, 034∠148, 67◦ √ = 0, 0484∠ − 31, 33◦ . 2 I2 =

I2 =

(If s + Ibs ) √ , 2

−jIf s + jIbs √ , 2

(0, 0724∠ − 121, 22◦ + 0, 034∠238, 67◦ √ = 0, 0964∠ − 121, 33◦ . 2

Pent = (13)(0, 0484)cos(31, 33◦ ) + (26)(0, 0964)cos(31, 33◦ ) = 2, 67 W. Nota: El estator es sim´etrico N1 = N2 y V2′ =

N1 N2 V2

= V2 .

Ejemplo 3.2. En aplicaciones de potencia de los motores de inducci´on se puede obtener una expresi´on simplificada del par, considerando la resistencia del estator como cero y tomando la relaci´on del par a deslizamiento s, con la expresi´on del par m´aximo, y simplificando. Obtenga la expresi´on: T 2 = smax s . T Tmax + s smaxT Soluci´on 3.2. De la figura 3.41 Zth = j

T = sωs

χ1 χ′1a χ1 + χ′1a

"



Rth = 0.

2Vth2 Rx′ #,  Rx′ 2 + (χth + χ′a )2 s

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

229

jχ1

jχ′1a

Figura 3.41: Diagrama para el ejemplo 3.2

Tmax = smaxT ωs T Tmax

=

"

2Vth2 Rx′ #, 2 Rx′ + (χth + χ′a )2

smaxT

i h ′ s Rx2 + (χth + χ′a )2 s2max smax [Rx2 + (χth + χ′a )2 s2 ]

,



Rx2 (T smax − Tmax s) = (χth + χ′a )2 (Tmax ss2max − T s2 smax ), smax = q s2max =

Rx′ (Rth + χ′eq )2

,



Rx2 . (Rth + χ′eq )2

s2max (T smax − Tmax s) = (Tmax ss2max − T s2 smax ), T Tmax T Tmax

=

2ssmax , + s2

s2max

2 = smax s . ◭ + s smax

Ejemplo 3.3. Un motor de inducci´on de rotor devanado de 4 polos, conectado en Y, para 440 V, trif´asico, 60 c.p.s.; tienen los siguientes par´ametros por fase referidos al devanado del estator: R1 = 0, 045 Ω, Rx′ = 0, 040 Ω, χ1 = 0, 31 Ω, χ′a = 0, 21 Ω. La reactancia magnetizante es de 10,0 Ω. a) Con las terminales del rotor en corto circuito determine para un deslizamiento de 0,02, la potencia de entrada, el factor de potencia y la corriente de l´ınea.

230

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on As´ı mismo determine el par electromagn´etico, la p´erdida total en el cobre del rotor y la potencia mec´anica desarrollada.

b) ¿Cu´al es el valor m´aximo del par desarrollado y a qu´e velocidad y deslizamiento ocurre? √ Soluci´on 3.3. a) N´otese que el 2/2 que afecta al circuito de la figura 3.11 es redundante, y puede ser dado en funci´on de V1 , I1 e Ia′ en vez de vf s , If s e If′ r . De la figura 3.42 χ′a

χ′1

R1 +

Rx′ V1

I1

χ′1a

Ia′ R′x (1−s) s



Figura 3.42: Circuito para el motor de inducci´on.

χ′1 = ω(L1 − L′1xmax ),

χ′a = ω(L′x0 − L′1xmax ),

χ′1a = ωL′1xmax . Y, de la figura 3.43 Zab =

j10(2 + j0, 21) = 1, 84 + j0.56 2 + j(10 + 0, 21)

Zent = 0, 045 + j0, 31 + 1, 84 + j0, 56 = 2, 07∠24, 78◦ . De la figura 3.44

V1f I1 I13φ

r 440 3 = √ = 254∠0◦ , V1 = 254 = 331, 09∠0◦ , 2 3 V1 331, 09∠0◦ = = = 150, 28∠ − 24, 78◦ , ◭ Zent 2, 07∠24, 78◦ r 2 = I1 = 127, 7∠ − 24, 78◦ . 3

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

231

j0.31

0.045

j0.21

+

V1

Ia′

j10

I1

2



Zab

Equivalente Th´evenin

Figura 3.43: Circuito con valores para el ejemplo 3.3.

I1 + V1

Zent

− Figura 3.44: Impedancia de entrada para el ejemplo 3.3

f.p = cos(−24.78◦ ) = 0, 9 atrasado. ◭

Pent = V1 I1 cosθ = (311, 09)(150, 28)(0, 9) = 42.075, 54 W, es la potencia de entrada de una fase del bif´asico equivalente.

Pt ent = 2Pent = 84.151, 09 W. ◭

Como ya es sabido la potencia se conserva en la transformaci´on de tres ejes a dos ejes; as´ı: Pt ent3φ = Pt.ent2 = 84.151, 09 W.

232

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on Reemplazando en la formula anterior: 3Pent /f ase(3φ) = 2Pent /f ase(2φ), 2 Pent /f ase(3φ) = Pent /f ase(2φ), 3 2 Pent /f ase(3φ) = (42.075, 54) = 28.050, 36 W. 3 que es la potencia por fase del trif´asico.

Pg total = 2I12 Re(Zab ), Pg total = 2(150, 28)2 (1, 84), Pg total = 83.109, 4 W.

Pt mec = (1 − s)Pg total ,

Pt mec = (1 − 0, 02)(83.109, 4), Pt mec = 81.447, 22 W.

Pcu = sPg total , Pcu = (0, 02)(83.109, 4), Pcu = 1662, 19 W.

Tg =

Pg total 83.109, 4 W = = 440, 9 N w − m. ωs (377/2)

b) smaxT = q

Ra′ 2 + (χ + χ′ )2 Rth th a

,

j10(0, 04 + j0, 31) 0, 045 + j(10 + 0, 31) 0, 042 + j0, 3 = 0, 3∠81, 96◦ .

Zth =Rth + jχth =

smaxT = p

0, 04 (0, 042)2 + (0, 3 + 0, 21)2

Deslizamiento del torque m´aximo = 0, 078. ωm = ω(1 − s),

= 0, 078. ◭

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

ωm maxT = ωs (1 − ωmaxT ) Vth

233 377 (1 − 0, 078) = 173, 69 rad.mec/s. ◭ 2



 311, 09∠◦ = j10 = 301, 74∠0, 25◦ . 0, 045 + j0, 31 + j10

Tmax /f ase =

=

0, 5n|Vth |2 q i, 2 + (χ + χ′ )2 ω Rth + Rth th a h

0, 5(2)(301, 74)2 i, p 377 0, 042 + (0, 042)2 + (0, 3 + 0, 21)2 h

Tmax /f ase = 436, 14 N − m. TmaxT = 872, 29 N − m. ◭

Ejemplo 3.4. Un motor de inducci´on (el del ejemplo 3.3), de rotor devanado, 4 polos, conectado en Y, para 440 V, 3φ, 60 Hz, tiene los siguientes par´ametros por fase referidos al devanado estator: R1 = 0, 045 Ω, Rx′ = 0, 04 Ω, χ′1 = 0, 31 Ω, χ′a = 0, 21 Ω. Reactancia magnetizante (χ′1a ) de 10 Ω. Se desea desarrollar el par m´aximo para s = 1, 0. Determine la resistencia por fase que debe ser agregada al circuito de rotor para llenar este requerimiento. Con Rx′ para par m´aximo en el arranque, determine el par desarrollado y la p´erdida por cobre en el rotor para un deslizamiento de 0,5. Soluci´on 3.4. De la figura 3.45 Vα = 254∠0◦ V,

Vβ = 254∠ − 120◦ V,

Vγ = 254∠120◦ .

    r   Vαs 2 1 √ −1/2 −1/2 V1 Vβs  . √ = V2 3/2 − 3/2 3 0 Vγs V1

r   r 2 1 3 = Vα − (Vβ + Vγ ) = Vα , 3 2 2 r 3 = (254∠0◦ ) = 311∠0◦ V. 2

234

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

440V, Y 3φ,60hz

+ 440 √ 3

P =4

= 254V

440V ∼

ωr



(a)

(b)

Figura 3.45: Motor del ejemplo 3.4

V2 =

r

! 3 (Vβ − Vγ ) = 311∠ − 90◦ V. 2



2 3

Ver figura 3.46 En el rotor: Vαr = Vβr = Vγr = 0. (rotor en cortocircuito)

ωs

V1 = 311∠0◦

V2 = 311∠ − 90◦ V Figura 3.46: Voltaje del bif´asico.



Va = VA = 0.

C´alculo de componentes sim´etricas: 1 1 Vf s = √ (V1 + jV2 ) = (311∠0◦ + (1∠90◦ )311∠ − 90◦ ) = 439, 82∠0◦ V, 2 2 1 1 Vbs = √ (V1 − jV2 ) = (311∠0◦ + (1∠ − 90◦ )311∠ − 90◦ ) = 0∠0◦ V. 2 2 1 Vf r = √ (Va + jVA ) = 0∠0◦ V. 2

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

235

1 Vbr = √ (Va − jVA ) = 0∠0◦ V. 2 Adem´as: (If s + Ibs ) If s √ =√ , 2 2 (−jIf s + jIbs ) If s √ = −j √ , 2 2 If r (If r + Ibr ) √ =√ , 2 2 If r (−jIf r + jIbr ) √ = −j √ , 2 2

I1 = I2 = Ia = IA = dado que:

Ibs = Ibr = 0. (Por ser balanceado) De la figura 3.47

Vf s =

2V √1 2

= 439.82

jχ′a

jχ1

R1

If s =

2I √1 2

jχ′1a

I′f r =

2I′a √ 2

Figura 3.47: Circuito para el ejemplo 3.4

R1 = 0, 045 Ω, Rx′ = 0, 04 Ω, χ1 = 0, 31 Ω, χ′a = 0, 21 Ω, χ′1a = 10 Ω. Reemplazando se obtiene el resultado observado en la figura 3.48. Aqu´ı, Rx′ es la existente en el rotor (0, 04 Ω) m´as la que se agregar´a. Del ejemplo: Zth = 0, 042 + j0, 3 , Vth = j10



 439, 82∠0◦ = 426, 59∠0, 25◦ , 0, 045 + j0, 31 + j10

R′x s

236

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

0.045Ω

439.82∠0◦

j0.31Ω

j0.21Ω

j10

I′f r

If s

j0.21Ω

Zth



R′x s

+

Vth

If′ r =



(a)

′ 2Ia √ 2

(b)

Figura 3.48: Circuito equivalente de Th´evenin para el ejemplo 3.4

Rx′ =

q

2 + (χ + χ′ )2 = Rth th a

pero Rx′ del rotor es 0, 04 Ω.

p

(0, 042)2 + (0, 3 + 0, 21)2 = 0, 512 Ω,

Se debe agregar: ′ = (0, 512 − 0, 04) = 0, 47 Ω/f ase, Rxa

2I ′ If′ r = √ a = 2 Rth + |If′ r | = r

Vth R′a s

+ j(χth + χ′a )

|Vth | = r 2 R′x ′ 2 Rth + s + (χth + χa ) 0, 042 +

|If′ r | = 360, 99 A.

Ia′ TM /f ase =

=

,

426, 59 2 0,512 + (0, 3 + 0, 21)2 0,5



2 ′ I = 255, 34 A. 2 fr

|Ia′ |2 Rx′ , En el bif´asico equivalente ω en radianes el´ectricos. sω

TM /f ase = TM

total

(255, 34)2 (0, 512) = 354, 18 N − m. (0, 5)(377/2) = 2(354, 18) = 708, 36 N − m.

Pcu rotor /f ase = |Ia′ |2 Rx′ = (255, 34)2 (0, 512) = 33, 38 KW, Pcu rotor total = 2(33, 38) = 66, 76 KW. Comprobaci´on: TM /f ase =

n|If′ r |2 Rx′ 2sω

,

R′a s

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on donde:

237

2 If′ r = √ Ia′ . 2

Reemplazando: TM /f ase = ω en radianes el´ectricos.

2 n √22 Ia′ Rx′ 2sω

=

n|Ia′ |2 Rx′ , sω

Ejemplo 3.5. Determine la resistencia que debe ser agregada por fase de tal manera que el ejemplo 3.4 desarrolle su par m´aximo a un deslizamiento de 2,0. Cu´al es la velocidad real del rotor para un deslizamiento de 2,0. Determine la potencia en el entrehierro y la potencia en la flecha mec´anica para la resistencia original. As´ı mismo, ¿cu´al es la p´erdida por cobre en el rotor? Interprete los resultados. Soluci´on 3.5. sm : deslizamiento para m´aximo torque sm = q

Rx′ 2 + (χ′ + χ )2 Rth th 2

.

Para m´aximo torque con sm = 2, 0; se tiene:

Del ejemplo 3.4

2, 0 = p

R2′ (0, 0042)2 + (0, 21 + 0, 3)2

.

Zth = 0, 042 + j0, 3, hp

i (0, 0042)2 + (0, 21 + 0, 3)2 = 1, 023 Ω,   R2′ adicional /f ase = R2′ calculado − R2′ original /f ase,

R2′ = 2

R2′ adicional /f ase = 1, 023 − 0, 04 = 0, 983 Ω/f ase. ωm = ωs (1 − s) = ωm =

120f (1 − s), P

120(60) (1 − 2) = −1800 r.p.m. 4

Funciona en la regi´on de frenado porque se ha invertido el sentido de giro. Se resuelve para Rx′ = 0, 04 Ω De la figura 3.49



R′x s

=

0,04 2

= 0, 02 Ω.

238

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

j0.31

0.045

j0.21

+

V1

j10

I1

Ia′

0.02



Figura 3.49: Representaci´on de una fase de la m´aquina trif´asica con alimentaci´on balanceada.

j10(0, 02 + j0, 21) , j10 + j0, 21 + 0, 02 = 0, 045 + j0, 31 + 0, 0186 + j0, 199,

Zent = 0, 045 + j0, 31 + Zent

Zent = 0, 51∠82, 87◦ . Si I1 e Ia′ son corrientes del trif´asico por alimentar con un voltaje del trif´asico por fase: 440 V1 = √ ∠0◦ = 254∠0◦ . 3 El circuito de la figura 3.49 representa una fase de la m´aquina trif´asica con alimentaci´on balanceada. As´ı: I13φ =

254∠0◦ = 498, 04∠ − 82, 87◦ , 0, 51∠82, 87◦ Pg /f ase = |I1 |2 Re(Zab ),

Pg /f ase = (498, 04)2 (0, 0186) = 4.613, 6 W, que es la potencia de una fase del trif´asico. Pg total = 3(4.613, 6) = 13.840, 8 W, PM = (1 − s)Pg total = (1 − 2)(13.840, 8) = −13.840, 8 W. Absorbe potencia mec´anica por el eje (PM < 0), siendo el par en el mismo sentido de motorizaci´on. Por lo tanto da origen a un par de sentido contrario al movimiento y se dice que se frena. Pcu rotor = sPg = 2(13.840, 8) = 27.681, 6 W. N´otese el equilibrio de potencias: Pg = Pcu rotor + PM .

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

239

Ejemplo 3.6. Un motor de inducci´on, 6 polos, 230 V, 3φ, es accionado a 1248 r.p.m. cuando el estator se conecta a una l´ınea de 230 V. Las constantes de la m´aquina son: R1 = 0, 27 Ω, Ra′ = 0, 22 Ω, χ1 = 0, 51 Ω, χ′a = 0, 46 Ω. La reactancia de magnetizaci´on es de 22 Ω. Las constantes son valores de fases referidos al devanado de estator, que est´a conectado en Y. Determinar la corriente del estator y del rotor, el par desarrollado y la magnitud y la direcci´on de la potencia en las terminales del estator. Soluci´on 3.6. Tomando una fase del trif´asico (figura 3.50) 0.27

j0.51

j0.46

+

j22

V1

5.5



Figura 3.50: Fase de la m´aquina trif´asica.

s=

ωs − ωm 1200 − 1248 = = 0, 04 ⇒ Generador. ωs 1200 Zab =

j22(j0, 46 − 5, 5) = −4, 98 + j1, 67 , j22 + j0, 46 − 5, 5

Ztotal = 0, 27 + j0, 51 − 4, 98 + j1, 67 = −4, 71 + j2, 18 = 5, 19∠155, 16◦ , 230 V1 = √ ∠0◦ = 132, 79∠0◦ , 3 V1 = Ztotal I1 , I1 =

132, 79∠0◦ = 25, 58∠ − 155, 16◦ . 5, 19∠155, 16◦

Pentrada = V1 I1 cosθ = (132, 79)(25, 58)cos(−155, 16◦ ) = −3.082, 51 W,

240

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

Ptotal = −9.247, 54 W. Est´a precedida por un signo menos; esto indica que la m´aquina est´a generando; la potencia va de la m´aquina hacia la l´ınea. Pentrehierro = Pg = |I1 |2 Re(Zab ) = (25, 58)2 (−4, 98) = −3.258, 59 W,     Pg −3.258, 59 Tg = 2 =3 = −77, 79 N − m. ωs 377/3 Corriente en el rotor: Ia′ =

j22I1 = 24, 34∠ − 168, 91◦ . j0, 46 + j22 − 5, 5

Ejemplo 3.7. El motor del ejemplo 3.6 se conecta en ∆ y se alimenta con los siguientes voltajes: Vα = 132, 8∠0◦ , Vβ Vγ

= 132, 8∠ − 120◦ , = 132, 8∠120◦ .

Accionado a la misma velocidad, calcular: las corrientes en el estator y el rotor, potencia de entrada y par desarrollado. Soluci´on 3.7. Ver la figura 3.51

b b

b

b

b b b

b

132.8V 60 ∼

Figura 3.51: Motor del ejemplo 3.7

     r  132, 8∠0◦ 2 1 √ −1/2 −1/2 V1 132, 8∠ − 120◦  , √ = V2 0 3/2 − 3/2 3 132, 8∠120◦

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

241

V1 = 162, 65∠0◦ , V2 = 162, 65∠ − 90◦ . Para invariancia de potencia:   r     √    1 1 j vf s V1 230 2v1 = = = . vbs 0 0 2 1 −j jV1 De la figura 3.52 jχ1 = j0.51Ω

R1 = 0.27Ω

jχd = j0.46

+

If′ s

Vf s = 230

j22

If′ r

R′a s

=

0.22 −0.04

= −5.5



Figura 3.52: Circuito para el ejemplo 3.7

If′ s =

230∠0◦ = 44, 43∠ − 155, 2◦ , 5, 177∠155, 2◦

If′ r = −

(j22)I1 = 42, 28∠11, 05◦ , j22 + j0, 46 − 5, 5 ′ Ibs = If′ r = 0.

  r      1 1 1 44, 43∠ − 155, 2◦ 31, 42∠ − 155, 2◦ I1 = = . I2 0 31, 42∠ − 245, 2◦ 2 −j j N´otese que: I2 = jI1 .  r      1 1 1 42, 28∠11, 05◦ Ia′ 29, 9∠11, 05◦ = = , ′ IA 0 29, 9∠ − 78, 95◦ 2 −j j

 donde:

′ IA = −jIa′ .

  r       1 Iα 25, 65∠ − 155, 2◦ ◦ √0 2 31, 42∠ − 155, 2 Iβ  = −1/2  = 25, 65∠ − 275, 2◦  . √3/2 31, 42∠ − 245, 2◦ 3 Iγ 25, 65∠ − 35, 2◦ −1/2 − 3/2

La corriente real en el rotor no puede ser calculada, pues se desconoce la relaci´on de transformaci´on, entre el rotor y el estator, a causa de ser el rotor fundido en jaula de ardilla, sin embargo se puede

242

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

calcular referida al estator.

′    ix cos nθ sen nθ i′a = , i′y −sen nθ cos nθ i′A

donde: n = 3, θ = θ0 + Ωt,   2π Ω = 1248 rad/s = 130, 69 rad/s, 60 θ0 = 0 por comodidad, θ = 130, 69t.

√ i′a (t) = 29, 2 2cos(ωt + 11, 05◦ ), √ = 29, 9∠ − 78, 95◦ , → i′A (t) = 29, 2 2cos(ωt − 78, 95◦ ).

Ia′ = 29, 9∠11, 05◦ , →

′ IA

As´ı: i′a (t) = 42, 3cos(377t + 11, 05◦ ),

i′A (t) = 42, 3sen(377t + 11, 05◦ ).

′    ix cos 392, 07t sen 392, 07t 42, 3cos(377t + 11, 05◦ ) = i′y −sen 392, 07t cos 392, 07t 42, 3sen(377t + 11, 05◦ ) i′x (t) = 42, 3cos(377t + 11, 05◦ )cos(392, 07t) + 42, 3sen(377t + 11, 05◦ )sen(392, 07t). De inmediato: i′x (t) = 42, 3cos(15, 07t − 11.05◦ ), con cos(α − β) = cosαcosβ + senαsenβ. An´alogamente: i′y (t) = −42, 3sen(15, 07t − 11.05◦ ), con sen(α − β) = senαcosβ − cosαsenβ. Estas son las corrientes en la m´aquina bif´asica equivalente referidas al estator. Esto es apenas l´ogico; las corrientes inducidas en el rotor son de frecuencia menor y dependen de la velocidad relativa f2 = sf1 = 0.04(377) = 15, 08 rad/s. Para el c´alculo de las trif´asicas referidas; en forma fasorial: Ix′ = 29, 9∠ − 11, 05◦ ,

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

243

i′y = −42, 3sen(15, 07t − 11.05◦ ) = 42, 3cos(15, 07t + 78, 95◦ ), Iy′ = 29, 9∠78, 95◦ . 

 ′  r  1  ′ Iαr 0 √ 2 ′   Ix′ , Iβr 3/2 = −1/2 √ Iy 3 ′ Iγr −1/2 − 3/2 ′ Iαr = 24, 4∠ − 11, 05◦ , ′ Iβr = 24, 4∠108, 95◦ ,

′ Iγr = 24, 4∠ − 131, 05◦ .

No olvidar que la frecuencia de estas corrientes es 15, 07 rad/s, y no la de la red (377 rad/s). Una ′ , muestra que para efectos pr´ comparaci´on de las magnitudes de Ia′ e Iαr acticos son muy similares. Tgmedio =

n|If′ r |2 Rx′ sω

=−

3(42, 28)2 (0.22) = −78, 24 N − m, 0, 04(377)

′ = 0. porque Ibr

Recu´erdese que la f´ormula para torque es invariante en el sistema total, as´ı se calcule en el sistema dos a tres, en el de componentes sim´etricas o en el real referido (problema anterior). En el trif´asico: Pent = 2Vα Iα cosϕ = 3(132, 8)(25, 65)cos(−155, 2) = −9.276 W. En el bif´asico: Pent = 2V12φ I12φ cosϕ = 3(162, 65)(31, 42)cos(−155, 2) = −9.276 W. En bif´asico con If s : Pent = Vf s If s cosϕ = (230)(44, 43)cos(−155, 2) = −9.276 W. Ejemplo 3.8. Si vab = 180 V, vbc = 210 V, vca = 150 V. a) Hallar los voltajes de secuencia de l´ınea. b) Hallar el sistema de voltajes de fase. c) Hallar un sistema equivalente de voltajes v1 , v2 . d) Hallar un sistema de voltajes vf s , vbs . Soluci´on 3.8. Secuencia acb (figura 3.53) Aplicando el teorema del coseno al tri´angulo de la figura 3.54, se tiene

244

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

b b b

b

b

b b b

b

c a

Figura 3.53: Diagrama del ejemplo 3.8

γ Vbc

Vca α 180◦ − α

β

180◦ − β

Vab

Figura 3.54: Diagrama de voltajes del ejemplo 3.8

cosα =

v 2ab + v 2ca + v 2bc 32400 + 22500 − 44100 = 0, 2 , = 2vab vca 2(150)(180) α = 78, 46◦ .

cosβ =

v 2bc + v 2ab − v 2ca 44100 + 32400 − 22500 = = 0, 71 , 2vbc vab 2(210)(180) β = 44, 4◦ .

γ = 180◦ − (α − β) = 180◦ − (78, 46◦ + 44, 4◦ ) = 57, 14◦ . As´ı: Vab = 180∠0◦ , Vbc = 210∠135, 6◦ , Vca = 150∠ − 101, 54◦ . Este diagrama de fasores se muestra en la figura 3.55       Vab 2 1 1 a a   Vab1 =√ Vbc , 2 Vab2 a 3 1 a V ca

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

245

vbc

180◦ − α

vab

−(180◦ − α) vca Figura 3.55: Diagrama fasorial para el ejemplo 3.8

puesto que la componente de secuencia cero de los voltajes de linea no existe. 1 Vab1 = √ (180∠0◦ + 1∠120◦ 210∠135, 6◦ + 1∠240◦ 150∠ − 101, 54◦ ) , 3 Vab1 = 8, 95 − j59, 8 = 60, 43∠ − 81, 48◦ . 1 Vab2 = √ (180∠0◦ + 1∠240◦ 210∠135, 6◦ + 1∠120◦ 150∠ − 101, 54◦ ) , 3 Vab2 = 302, 8 + j60 = 308, 6∠ + 11, 2◦ . Secuencia: acb Vab1 = 60, 43∠ − 81, 5◦ Vca1 = 60, 43∠158, 5◦ Vbc1 = 60, 43∠38, 5◦ . De la figura 3.56

vca1 158.5

vbc1



vca1 vcn1

38.5◦ 81.5◦

van1

vbn1

vab1 vab1 (a)

(b) Figura 3.56: Secuencia acb

Vab1 Van1 = √ ∠(−81, 5◦ + 30◦ ). 3

vbc1

246

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on Van1 = 34, 89∠ − 51, 5◦ Vcn1 = 34, 89∠188, 5◦ Vbn1 = 34, 89∠68, 5◦ .

Secuencia: abc Vab2 = 308, 6∠11, 2◦ Vbc2 = 308, 6∠ − 108, 8◦ Vca2 = 308, 6∠131, 2◦ . De la figura 3.57 vca2 131.2

vab2



vab2 vca2

van2

11.2◦ 108.8

vcn2 vbn2



vbc2

vbc2 (a)

(b) Figura 3.57: Secuencia abc

Vab2 Van2 = √ ∠(11, 2◦ − 30◦ ). 3 Van2 = 178, 17∠ − 18, 8◦ Vbn2 = 178, 17∠ − 138, 8◦ Vcn1 = 178, 17∠101, 2◦ . As´ı se obtiene el diagrama mostrado en la figura 3.58 vbn1

188.5◦ vcn1

68.5

vcn2

101.2◦



18.8◦

51.5◦ 138.8◦

van2 van1

vbn2

(a) Secuencia acb

(b) Secuencia abc

Figura 3.58: Componentes de secuencia.

Los voltajes de fase se obtienen sumando sus componentes de secuencia: Van = Van1 + Van2 ,

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

247

Van = 34, 89∠ − 51, 5◦ + 178, 17∠ − 18, 8◦ , Van = 208, 37∠ − 23, 99◦ . Vbn = Vbn1 + Vbn2 , Vbn = 34, 89∠68, 5◦ + 178, 17∠ − 138, 8◦ , Vbn = 148, 05∠ − 144, 99◦ . Vcn = Vcn1 + Vcn2 , Vcn = 34, 89∠188, 5◦ + 178, 17∠101, 2◦ , Vcn = 182, 95∠112, 18◦ . Van = 208, 4∠ − 24◦ , Vbn = 148, 05∠ − 145◦ , Vcn = 183∠112◦ . Este diagrama se muestra en la figura 3.59 vcn

112◦ 24◦ 145



van vbn

Figura 3.59: Voltaje de fase

Se aplica ahora la transformaci´on invariante en potencia al sistema bif´asico. Dado que: Van + Vbn + Vcn = 0.     r   208, 4∠ − 84◦ 2 1 √ −1/2 −1/2 V1 148, 05∠ − 145◦  , √ = V2 3/2 − 3/2 3 0 183∠112◦   r    1 1 j Vf s 255, 8∠ − 23, 8◦ = , Vbs 2 1 −j 182, 52∠ − 101, 13◦

248

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on V1 = 255, 8∠ − 23, 8◦ , ◭

V2 = 182, 52∠ − 101, 13◦ , ◭

Vf s = 308∠ − 18, 5◦ , ◭

Vbs = 61, 83∠ − 50, 98◦ . ◭

Ver figura 3.60 Vf s

Vbs

jVbs

−jVf s

Figura 3.60: Componente del sistema bif´asico.

Ejemplo 3.9. Un motor monof´asico de 4 polos, con arranque por capacitor, de 1/3 H.P., 110 V, 60 c.p.s., tiene las siguientes constantes: Para el devanado de trabajo: R1 = 1, 95 Ω, χ1 = 2, 7 Ω. Los valores del rotor referidos al devanado de trabajo son: Rx′ = 4, 0 Ω, χa = 2, 3 Ω. Resistencia del devanado auxiliar, de arranque: Ra1 = 6, 8 Ω, χ1a = 3, 2 Ω. El capacitor electrolitico de arranque en serie con el devanado de arranque tiene una impedancia: Zc = 3 − j15, 2 Ω. Na La relaci´on de espiras efectiva entre el devanado de arranque y el devanado de trabajo ( N ) es m 1,2. El valor de la reactancia magnetizante referida al devanado de trabajo es 65, 3 Ω.

a) En el arranque determine las corrientes de cada uno de los devanados y la corriente de l´ınea, el voltaje a trav´es del capacitor, el par neto y la p´erdida total en el cobre del rotor. b) Un interruptor, operado por fuerza centr´ıfuga, abre el circuito del devanado de arranque cuando el deslizamiento es 0,25. Determine la corriente de l´ınea, el factor de potencia, la potencia y el par neto, as´ı como la p´erdida en el cobre del rotor para un deslizamiento de 0,05.

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

249

Soluci´on 3.9. a) Se utiliza el circuito equivalente para la m´aquina bif´asica (s = 1), con asimetr´ıa ′ = 0). Ver figura 3.61. en el estator y con el rotor en corto (vf′ r = vbr L1 − L′1xmax

R1

L′x0 − L′1xmax

+

Vf′s −

If′ s

1 (R2′ 2

1 (L′2 2

− R1 )

L′1xmax

If′ r

R′x s

L′1xmax

′ Ibr

R′x 2−s

− L1 )

+

′ Vbs

′ Ibs



R1

L1 − L′1xmax

L′x0 − L′1xmax

Figura 3.61: Circuito equivalente para la m´aquina bif´asica (s = 1), con asimetr´ıa en el estator y con el rotor en corto.

Es necesario referir las cantidades del devanado auxiliar al de trabajo: ′ R1a R1a

χ′1a χ1a

= =

 

Nm Na Nm Na

2 2

 1 2 = 4, 72 Ω, 1, 2   1 2 = 3, 2 = 2, 22 Ω, 1, 2



′ R1a = 6, 8



χ′1a



donde: ′ R2′ = R1a ,

jωL′2 = jχ′1a (2 es el devanado auxiliar). Se da la reactancia del devanado de trabajo: χ1D = 2, 7 Ω, L1 − L′1xmax

ωL1 −

ωL′1xmax

= L1D , = ωL1D ,

ωL1 = ωL1D + ωL′1xmax ,

250

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on donde ωL1D = χ1D = 2, 7 Ω, es la reactancia de dispersi´on dada χ1 = ωL1 = 2, 7 + 65, 3 = 68 Ω. Con este valor, se tiene para la rama central de la figura 3.61 1 1 ′ (R2 − R1 ) = (4, 72 − 1, 95) = 1, 39 Ω, 2 2 ω j j j (L′2 − L1 ) = (χ′1a − χ1 ) = (2, 22 − 68) = −j32, 89 Ω. 2 2 2 As´ı se obtiene el circuito equivalente mostrado en la figura 3.62. j2.7Ω

1.95Ω

j2.3Ω

+

Vf′s −

If′ s

j65.3

If′ r

4Ω

j65.3

′ Ibr

4Ω

−j32.89Ω

1.39Ω

+

′ Vbs

′ Ibs



1.95

j2.7

j2.3

Figura 3.62: Circuito equivalente para la m´aquina bif´asica (s = 1), con asimetr´ıa en el estator y con el motor en corto.

Se debe incluir en el anterior circuito el efecto del condensador de la bobina 2 mostrado en la figura 3.63 Aqu´ı: V1 = V2′ + Zc I2′ . Pero:

  r    1 1 1 If′ s I1 = , ′ I2′ 2 −j j Ibs

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

251

Zc′ I2′ I2′



+

+

V2′

2 −

b

1

b

b

b

I1

b b

b b



V1

+

IL = I1 + I2′

Figura 3.63: Motor monof´asico con condensador de arranque.

1 ′ I2′ = √ (−jIf′ s + jIbs ), 2

1 ′ ). V2′ = V1 − √ Zc (−jIf′ s + jIbs 2 Adem´as: Vf′s = Vf′s = Vf′s =

Vbs′ = Vbs′ = Vbs′ =

V1 + jV2′ √ , 2  V1 + j V1′ −

√1 Z′ (−jI ′ fs 2 c



2

 ′ ) + jIbs

,

 V Z′ ′ √1 (1 + j) − c If′ s − Ibs . 2 2 V1 − jV2′ √ , 2  V1 − j V1′ −

√1 Zc (−jI ′ fs 2



2

 ′ ) + jIbs

 V Z′ ′ √1 (1 − j) − c Ibs − If′ s . 2 2

,

252

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on Se refiere el capacitor: Z′c

= Zc



Nm Na

2

= (3 − j15, 2)



1 1, 2

2

= 2, 08 − j10, 56 Ω,

Z′c = 1, 04 − j5, 28 Ω. 2 El siguiente circuito (figura 3.64), cumple con las ecuaciones dadas anteriormente consecuencia de la inclusi´on del condensador. 1.95Ω

j2.7

j2.3

b

+

+

V1 √ (1 2

+ j)



Vf′s

1.04 − j5.28Ω



If′ s

1.39Ω

j65.3

If′ r

4Ω

j65.3

′ Ibr

4Ω

−j32.89Ω

b

+

+

V1 √ (1 2

− j)

′ Vbs

′ Ibs





b

1.95

j2.7

j2.3

Figura 3.64: Motor monof´asico con el condensador incluido.

Se resuelve con: V √1 (1 + j) = 2 V √1 (1 − j) = 2

√ 2 √ V1 ∠45◦ = 110∠45◦ , 2 √ 2 √ V1 ∠ − 45◦ = 110∠ − 45◦ . 2

As´ı: ′ Ibs = 10, 97∠ − 39, 59◦ ,

If′ s = 9, 21∠ − 46, 55◦ .

     1 I1 1 1 If′ s =√ ′ I2′ 2 −j j Ibs

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

253

1 I1 = √ (6, 51∠ − 46, 55◦ + 7, 76∠ − 39, 59◦ ), 2 I1 = 14, 25∠ − 42, 75◦ . 1 I2 = √ ((6, 51∠ − 46, 55◦ )(1∠ − 90◦ ) + (7, 76∠ − 39, 59◦ )(1∠90◦ )) , 2 I2 = 1, 51∠82, 03◦ . I2′ Na = ∴ I2 = 1, 51∠82, 03◦ I2 Nm



1 1, 2



= 1, 25∠82, 03◦ .

IL = I1 + I2 = 14, 25∠ − 42, 75◦ + 1, 25∠82, 03◦ , IL = 13, 57∠ − 38, 45◦ . Vc = Zc I2 = (3 − j15, 2)(1, 25∠82, 03◦ ), Vc = 19, 36∠3, 19◦ .

If′ r = 8, 88∠136, 84◦ A, ′ Ibr = 10, 58∠143, 8◦ A.

 r    1 1 1 If′ r Ia′ = , ′ ′ IA 2 −j j Ibr

 Ia′

=

r

1 (6, 28∠136, 84◦ + 7, 48∠143, 8◦ ), 2 Ia′ = 13, 74∠140, 61◦ .

′ IA =

r

1 ((1∠ − 90◦ )(6, 28∠136, 84◦ ) + (1∠90◦ )(7, 48∠143, 8◦ )) , 2 ′ IA = 1, 46∠ − 94, 7◦ .

Estas corrientes est´an referidas al devanado de trabajo. Tg medtotal = Tg medtotal =

n|If′ r |2 Rx′ sω



′ |2 R′ n|Ibr x , (2 − s)ω

2(8, 88)2 (4) 2(10, 58)2 (4) − = −0, 7 N − m. 377 377

254

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

′ 2 Pcu rotor = Rx′ |If′ r |2 + Rx′ |Ibr | ,

 Pcu rotor = 4 (8, 88)2 + (10, 58)2 , Pcu rotor = 763, 16 W.

b) Se utiliza el circuito de la figura 3.65 donde: L1 − L′1xmax

R1

L′x −L′1x max 2

+

V1

L′1x max 2

2If′ r

R′x 2s

L′1x max 2

′ 2Ibr

R′x 2(2−s)

I1

− L′x −L′1x max 2

Figura 3.65: Circuito para el ejemplo 3.9

L′x = L′x0 ,

Rx′ 2s

=

Rx′ 2(2 − s)

=

4 = 40 Ω, 2(0, 05) 4 = 1, 03 Ω. 2(2 − 0, 05)

Resolviendo el circuito de la figura 3.66 I1 = 3, 69∠ − 51, 67◦ . f.p. = cos(−51, 67◦ ) = 0, 62 atrasado

2If′ r = 2, 3∠178, 13◦ , ′ 2Ibr = 3, 56∠130, 08◦ .

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

255

j2.7

1.95

j1.15

+

110∠◦

j32.65

2If′ r

40

j32.65

′ 2Ibr

1.03

I1



j1.15

Figura 3.66: Circuito para el ejemplo 3.9

(1 − s) (s − 1) ′ − 2Ibr Rx′ , 2s 2(2 − s) (1 − 0, 05) (0, 05 − 1) = (2, 3)2 (4) − (3.56)2 (4) , 2(0, 05) 2(2 − 0, 05)

PM = 2If′ r Rx′ PM

PM = 188, 67 W.

188, 67 PM TM = ω = , 377 (1 − s) (1 − 0, 05) n 2 TM = 1, 05 N − m. ′ 2 | , Pcu rotor = Rx′ |If′ r |2 + Rx′ |Ibr " 2   # 2, 3 3, 56 2 Pcu rotor = 4 + , 2 2

Pcu rotor = 17, 95 W. Ejemplo 3.10. Un motor de inducci´on trif´asico con 4 polos, 5 H.P., 760 V, 60 c.p.s., en Y, tiene una caracter´ıstica velocidad-par, dada por la tabla 3.1: a) Representar la caracter´ıstica par-velocidad, usando unidades MKS de Newton-metro y radianes por segundo respectivamente. b) La m´aquina est´a acoplada a un par de carga constante igual a 16,2 lb-pie. El momento de inercia total de la carga y el rotor es de 50 lb/pie2 . Obtener una representaci´on gr´afica de la velocidad cuando se arranca el motor. Soluci´on 3.10.

a) Teniendo en consideraci´on que: 1 N − m = 0, 730 lb − pie.

256

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on Velocidad (r.p.m.) 1800 1725 1650 1575 1500 1350 1200 900 600 300 0

Par (lb-pie) 0 18,3 27,1 33,2 36,6 39,4 39,8 37,1 34,4 32,4 30,7

Tabla 3.1:

Se obtiene la tabla 3.2: Velocidad (rad/s) 188,5 180,5 172,8 164,9 157,1 141,4 125,7 94,3 62,8 31,4 0

Par (N-m) 0 24,8 36,7 45,0 49,6 53,4 53,9 50,3 46,6 43,9 41,6

Tabla 3.2:

La soluci´on gr´afica se ilustra en la figura 3.67. b) Teniendo en consideraci´on que : TL = 16, 2 lb − pie = 21, 95 N − m, 1 kg − m2 = 23, 73 ln − pie2 , (JL + JM ) = 2, 1 kg − m2 .

Se obtiene la tabla 3.3: La soluci´on gr´afica se puede ver en la figura 3.68 A partir de la figura 3.68, se calcula la tabla 3.4: Donde: t(s) = 5(0, 005)(# cm).

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

257

T (N − m)

60

50

40

30

20

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

Figura 3.67: La m´aquina de inducci´on. Caracter´ıstica par-velocidad.

Velocidad (rad/s) 188,5 180,5 172,8 164,9 157,1 141,4 125,7 94,3 62,8 31,4 0

∆T (ωm ) (N-m) -21,95 2,84 14,77 23,23 27,64 31,42 31,97 28,32 24,66 21,95 19,64 Tabla 3.3:

Ver gr´afica de la figura 3.69.

J/∆T (ωm ) -0,05 0,73 0,14 0,09 0,07 0,06 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1

190

200

ω( rad s )

258

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

J ∆T (ωm )

0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.10 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

Figura 3.68: La m´aquina de inducci´on.

Velocidad (rad/s) 0 31,4 62,8 94,3 125,7 141,4 157,1 164,9 172,8 175 177,5

Tiempo (s) 0 3,0 6,0 8,2 10,0 10,8 11,6 12,0 12,7 13,5 13,9

Tabla 3.4:

160

170

180

190

ωm ( rad s )

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on

259

V elocidad ( rad s ) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Figura 3.69: La m´aquina de inducci´on. Representaci´on de la velocidad.

14

t(s)

260

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on

Ejercicios Propuestos 3.2 Ejercicio 3.1. Demostrar a partir de las ecuaciones dadas en el numeral 3.2: Tg = − n (L1xmax i1 ix sen nθ0 − L2xmax i2 ix cos nθ0 + L1xmax i1 iy cos nθ0 +L2xmax i2 iy sen nθ0 ) ,

Tg = n (L2xmax i2 ia − L1xmax i1 iA ) . 3.3 Ejercicio 3.2. Referir las ecuaciones siguientes al devanado 1 del estator      V1 R1 + jωL1 0 jωL1xmax 0 I1  V2      0 R + jωL 0 jωL 2 2 2xmax   I2   = .  Va   jωL1xmax   L2xmax nρθ0 Rx + jωLx0 Lx0 nρθ0 Ia  VA −L1xmax nρθ0 jωL2xmax −Lx0 nρθ0 Rx + jωLx0 IA Ejercicio 3.3. Las ecuaciones de 1 referidas, se escriben como :  ′  [I1,2,a,A ] . [V1,2,a,A ] = Z1,2,a,A Demostrar que:



1 2 (R1  1 (R 2 1

′ [Z1,2,a,A ][Tf b ]−1 =   

donde:

+ R2′ ) + j ω2 (L1 + L′2 ) − R2′ ) + j ω2 (L1 − L′2 )

1 2 (R1 1 2 (R1

− R2′ ) + j ω2 (L1 − L′2 ) + R2′ ) + j ω2 (L1 + L′2 )

jωL′1xmax 0

0 

0  jωL′1xmax  , 0   Rx′ ′ + jωLx0 (2 − s)

Ejercicio 3.4. Resolver:



 1 j 0 0 1 1 −j 0 0  . [Tf b ] =  2 0 0 1 j  0 0 1 −j ′ [Tf b ][Z1,2,a,A ][Tf b ]−1 ,

jωL′1xmax

jωL′1xmax Rx′ + jωL′x0 s 0

3.7. Transitorios en la m´aquinas de inducci´on si

261



 1 j 0 0 1 1 −j 0 0  . [Tf b ] = √  2 0 0 1 j  0 0 1 −j

3.4 Ejercicio 3.5. Para el circuito de la figura 3.70, hallar la impedancia de entrada

R1

L′x0 − L′1xmax

L1 − L′1xmax

If′ r

L′1xmax

If s

R′x s

Figura 3.70: Circuito del ejercicio 3.5

Ejercicio 3.6. Dado: TM = demostrar que:

y

n|Vth |2 Rx′ h  i, ′ sω Rth + Rsx + (χth + χ′a )2

smax = q Tmax =

Rx′ 2 + (χ + χ′ )2 Rth th a

,

0, 5n|Vth |2 h  i. ′ ω Rth + Rsx + (χth + χ′a )2

Ejercicio 3.7. Hallar utilizando el circuito de la figura la corriente de arranque para un motor de inducci´on.

3.6

262

Cap´ıtulo 3. La m´aquina de inducci´on Ejercicio 3.8. Para la m´aquina de inducci´on monof´asica demostrar:  ′   Vf s R1 + R2′ + jω(L1 + L′2 ) R1 − R2′ + jω(L1 − L′2 ) jω(L′1xmax + L′2xmax )  V ′   R1 − R2′ + jω(L1 − L′2 ) R1 + R2′ + jω(L2 + L′2 ) jω(L′1xmax − L′2xmax )  bs  =  ′ ′ ′ ′ ′ V  j(ω − nρθ0 )(L1x + L2xmax ) j(ω − nρθ0 )(L1xmax − L2xmax ) 2 (Rx′ + j(ω − nρθ0 )L′x0 ) fr max j(ω + nρθ0 )(L′1xmax − L′2xmax ) j(ω + nρθ0 )(L′1xmax + L′2xmax ) 0 Vbr′  ′  ′ ′ If s jω(L1xmax − L2xmax ) ′ ′ ′    jω(L1xmax + L2xmax )   Ibs . ′   0 If r  ′ 2 (Rx′ + j(ω + nρθ0 )L′x0 ) Ibr

3.7 Ejercicio 3.9. Hallar la respuesta i(t) para el circuito de la figura 3.71 cuando en t = 0 se cierra el interruptor k, siendo i(0) = 0. k

L′

+

V

i(t)



Figura 3.71: Circuito del ejercicio 3.9

R

Bibliograf´ıa

Adkins, Bernand. The General Theory of Electric Machines. London: Chapman and Hall, 1957. Alger, Philip L. Nature of Polyphase Induction Machines. New York:Wiley, 1951. Behrend, Bernard A. The Induction Motor and Other Alternating Current Motors, 2nd Ed. New York:McGraw-Hill, 1921. Bewley, Loyal V. Alternating Current Machinery. New York:Macmillan, 1949. Clarke, Edith. Circuit Analysis of A-C Power Systems, Vol I. New York:Wiley, 1943. Clarke, Edith. Circuit Analysis of A-C Power Systems, Vol II. New York:Wiley, 1950. Concordia, Charles. Synchronous Machines. New York:Wiley, 1951. Fitzgerald, A.E., kingsley, Charles. Jr. and Umans, Stephen. Electric Machinery. New York:McGraw-Hill, 2002. Hayt, William H. and Buck, Jhon. Engineering Electromagnetics. New York:McGraw-Hill, 2005. Herman, Stephen L. Alternating Current Fundamentals, 7th Ed. New York: Delmar Cengage Learning, 2006. Jones, Charles V.The Unified Theory of Electrical Machines. London: Butterworths, 1967. Kron, Gabriel. Equivalent Circuit of Electric Machinery. New York:Dover, 1967. Ku, Yu-Hsiu. Electric Energy Conversion. New York:Ronald Press, 1959. Langsdorf, Alexander S. Theory of Alternating Current Machinery. New York:McGraw-Hill, 1937. Lawrence, Ralph R. and Richards, Henry E. Principles of Alternating Current Machinery, 4th Ed. New York:McGraw-Hill, 1953. Liwschitz-Garik, Michael and Whipple, Clyde C. Electric Machines, Vol II: A-C Machines. Princeton:D. Van Nostrand Company, 1946. Lyon, Waldo V. Transient Analysis of Alternating Current Machinery. Cambridge,Mass:The MIT Press, 1954. McAllister, Addams S. Alternating Current Motors, 3rd Ed. New York:McGraw-Hill. (1909). Meisel, Jerome. Principios de Conversi´on de Energ´ıa Electromec´anica. Mexico:McGraw-Hill, 1969. M.I.T. Electrical Engineering Staff. Magnetic Circuits and Transformer. Cambridge,Mass:The MIT Press, 1977. Puchstein, Albert F., Lloyd, T.C. and Conrad. A.G. Alternating Current Machines, 3d Ed. New York:Wiley, 1949.

263

264

BIBLIOGRAFI´A Say, M.G. and Pink, E.M. Performance and Design of Alternating Current Machinery. London:Pitman and Sons, 1936. Seely, S. Electromechanical Energy Conversion. New York:McGraw-Hill, 1962. Shoults, David R., Jhonson, Theron C. and Rife, C.J. Electric Motors in Industry. New York:Wiley, 1942. Stevenson, William D. Element of Power System Analysis. New York:McGraw-Hill, 1982. Thaler, George J. y Wilcox, Milton L. M´aquinas el´ectricas. Estado din´amico y permanente. Mexico:Limusa, 1974. Van Valkenburg, Mac E. Network Analysis, 3rd Ed. New York:Prentice Hall, 1974. Veinott, Cyril G. Theory ans Design of Small Induction Motors. New York:McGraw-Hill, 1959. Wagner, Claus F. and Evans, Robley D. Symmetrical Components. New York:McGraw-Hill, 1933. White, David C. and Woodson, Herbert H. Electromechanical Energy Conversion. Cambridge,Mass:The MIT Press, 1968.