MATEMÁTICAS BÁSICAS

\yor de longitud B y base menor de longitud b,

~ ) h , que es igual a la suma de las áreas de los 3, b). a

= a 2 + b 2 = (h 2 + m 2 )+ ~ 2 + n 2 ) = 2h 2 + m 2 + n 2 . 2m n = 2h 2 , Y así m n = h 2 .

En efecto : (m + n)2 Luego

b)

El número

11:

(pi)

Desde hace aproximadamente 4000 años, se notó que el número de veces que el diámetro de una circunferencia está contenido en la longitud de ella es siempre el mismo, cualquiera sea la circunferencia. Ese valor constante de la razón longitud de la circunferencia de radio r 2r se representa por la letra griega 11:. Tal número 11: no es racional y su valor aproximado es

3.1416.

G

Se sigue de la relación anterior que si C es una circunferencia de radio r, entonces

longitud de C = 211: r Medida de ángulos (no dirigidos o no orientados) Los ángulos se miden en grados y en radianes. La medida en grados es bien conocida y por ello sólo nos referiremos a la medida en radianes.

\

Consideremos un ángu lo a , como se muestra en la figura sigu iente . En dicha figura el arco AB, de la circunferencia de centro en O y radio r, tiene longitud L.

\

!

67

MATEMÁTICAS BÁSICAS

Nótese que un radián es la medida del ángul En particular se da la siguiente correspondeno grados

O Un hecho notable para el ángulo a es que el cociente sean r y su correspondiente L. ángulo a.

~ r

30 es siempre el mismo, cualesquiera

Ese valor constante se dirá la medida en radianes del

Por tanto, si e es la medida en radianes del ángulo a , entonces

~=e r

o bien L = re .

Por ejemplo, de la figura siguiente

La medida de un ángulo mida en grados o en radi Congruencia de ángulos

se sigue que la medida en radianes de un ángulo de 90 0 es 2 n/ 4 , es decir, n/ 2.

Dos ángulos L A Y LB misma medida.

Análogamente, la medida en radianes de un ángulo de 180 0 es n radianes y la de uno de 360 0 será 2 n radianes.

A continuación 6 resultad

I

1. Angulos opuestos po Relación entre grados y radianes:

En la figura IS siguie grados

360

radianeS} 1(2n) n 2n => x = - - = ­ 360 180 x

es decir, J o equivale a n/ 180 radianes. De manera simi lar,

(LA Y LB

radianes 2n

gradOS} 360 => x = 1(360) = 180 2n n x

es decir, 1 radián equivale a 180/ n grados ( 180 grados::::: Srl8' ). n

68

Esto es consecuencia d luego m(LC) = m(L 2. Ángulos correspondi

En la figura 16 siguien

~ ~

~

MATEMÁTICAS BÁSICAS

-

......

\

Nótese que un radián es la medida del ángulo cuyo arco es igual al radio, pues

...

e = 1= r . r

En particular se da la siguiente correspondencia:

IL 1 I

1

grados

-_./

L

O 30 45 60 90 180 270 360

.

cociente - es siempre el mismo, cualesquIera r

tonstante se dirá la medida en radianes del

l·

H

radianes

H

O

H

n/6

H

n/ 4

H

n/ 3

H H

n/ 2 n

H

3n/ 2

H

2n

La medida de un ángulo a la denotaremos m(La) o simplemente m(a), ya sea que se mida en grados o en radianes. Congruencia de ángulos

Dos ángulos L A Y LB se dicen congruentes, y se escribe LA:::: LB, si ellos tienen la misma medida. de

A continuación 6 resultados básicos. 1. Ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

En la figura 15 siguiente, se tiene que L A:::: LB y L C :::: L D .

\

FIGURA. 15 ( L A Y LB son opuestos por el vértice, lo mismo que L C y L D)

Esto es consecuencia de que, por ejemplo, m(L A) + m( L C) = n luego m(LC) = m(LD), y así L C:::: L D. 2. Ángulos correspondientes son congruentes.

\

En la figura 16 siguiente, en la cual L 1 11 L 2 ' se tiene que:

69

= m( LA) + m( L D),

MATEMÁTICAS BÁSICAS

LA~L B;

LE~LF

Le~L O ;

Y

~ D

LA ~ L~, entonces m(LA m(L ~)+ m(L e) = m (La), entonces m

eomo

LG~LH

L¡



H

FIGURA 16

6. En todo triángulo ABe se tiene que m de las medidas es en grados, o m(L medidas es en r ;,.

(LA Y L B son correspondientes, al igual que LE y LF, Le y L O Y LG Y LH)

Prueba: eo

L 2 si son iguales o

m( La)+m

si siendo diferentes toda recta secante (recta que las atraviesa) forma con ellas ángulos correspondientes iguales .

m(LA)+ m

Nota: Precisamente, dos rectas L¡ y L 2 son paralelas y se escribe L I

11

Triángulos sem

3. Ángulos alternos internos son congruentes. ~

En la figura 16 anterior, se tiene que L e

LB

Y L F ~ L G (L e y L B son

alternos internos , lo mismo que L F Y L G )

Dos triángulos correspondencia congruentes y lad

4. Angulos alternos externos son congruentes. En la figura 16 anterior, se tiene que ¿ A alternos externos, al igual que L E Y L H)

~

LO

Y LE

~

L H (L A Y L O son

Por ejemplo, los correspondencia: se tiene

5. Teorema del ángulo externo: m(L a) = m(L A)+ m (Le).

En

la

figura

17

siguiente,

se

tiene

que

y

A

B FIGURA 17

(La medida m( La), del ángulo exterior La, es igual a la suma de las medidas, m(LA) y m (L e), de los ángulos interiores no-adyacentes L A y Le). Prueba: considérese la figura 18 siguiente:

70

MATEMÁTICAS BÁSICAS

, y LC=:LD;

~

.

~

LA=:LP, entonces m(LA)+m(LC)=m( L p)+m(LC), m(Lp)+m(LC)= m(La) , entonces m(LA)+m(LC) = m(La) .

Como

LG=:LH

y

como

L¡

:B '~----L2

6. En todo triángulo ABC se tiene que m(LA)+m(LB)+m(LC)=180°, si cada una m(LA)+ m(LB)+ m(LC )= rr, si cada una de las

irRA 16

de las medidas es en grados, o medidas es en radianes.

,¡al que LE y LF, LC y LO Y L G Y LH)

Prueba: Considérese de nuevo la figura 18 anterior:

m(La)+m(LB)= 180° Y como m(L A)+ m(LB)+ m(LC )= 180°.

paralelas y se escribe L I 11 L 2 si son iguales o qte (recta que las atraviesa) fonna con ellas

m(La) = m(LA )+ m(LC),

entonces

Triángulos semejantes Dos triángulos ABC y EFG se dicen semejantes si es posible establecer una correspondencia biunívoca entre sus vértices de modo que ángulos correspondientes sean congruentes y lados correspondientes sean proporcionales.

Por ejemplo, los triángulos de la figura 19 siguiente son semejantes, ya que bajo la correspondencia: se tiene

LA=:LE, LB=: L F,

LC=:LG

y

IABI

IBCI

ICAI

IEFI =IFGI= IGE I =

1

J3

G

e

J3~2

~ A 1 B

3

60·

FIGURA 19

71

F